Métodos de bisección
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Métodos de bisección Métodos de bisección Presentation Transcript

  • Métodos de bisección
  • Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
  • El método consiste en lo siguiente: Paso 1: escójanse los valores iniciales X1 y Xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo esto se verifica que f(X1)f(Xu)<0Paso 2:la primera aproximación a la raíz Xr se determina como :Xr=𝑋1+𝑋𝑢2Paso 3: realícense las siguientes evaluaciones y determínese en que subintervalo cae la raíz:así f(X1)f(Xr)<0 ,entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo por lo tanto resuelves Xu=Xr y asi se continua hasta el otro paso b. si f(X1)f(Xr)>0,entonces la raíz se encuentra dentro del segundo intervalo por lo tanto se resuelve X1=Xr y se continuac. si f(X1)f(Xr)=0,entonces la raíz es igual a Xr y hasta aquí los cálculos paso 4:calculese una nueva aproximación a la raíz medianteXr=𝑋1+𝑋𝑢2Paso 5 : se verifica si la nueva aproximación es tan exacta como se desea si es asi entonces los cálculos terminan ,de otra manera se debe regresar al paso 3.
     
  • El método de bisección también conocido como corte binario ,de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano ,es un método de búsqueda incremental donde el intervalos se divide siempre en dos .si la función cambia de signo sobre el intervalo se evalúa el valor en el punto medio . la posición de raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde ocurre el cambio de signo , el proceso se repite hasta obtener unas mejor aproximación
  • Programa para encontrar raíces utilizando el método de la bisección en Microsoft ExcelA manera de recordatorio, para que aparezcan solamente 6 cifras significativas, en Excel esto se hace en el menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Número, Posiciones decimales 6. Para poner el signo porcentual: menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Porcentaje.EJEMPLO 1
  • Resolver utilizando el método de la Bisección.
  • Gráfico de la Función
  • FÓRMULAS PARA PROGRAMAR EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN EN MICROSOFT EXCELEn la tabla que se presentará a continuación, no aparecen las fórmulas para cada una de las celdas porque serían demasiadas fórmulas. Basta con presentar algunas y todas las demás se deducen fácilmente. Además, al estar trabajando en Excel, bastará con copiar y luego pegar las fórmulas o celdas de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demás filas serán las mismas, y Excel automáticamente irá cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada. La tabla de fórmulas utilizada es la siguiente:
  • FORMULAS DEL EJEMPLO DADO:
  • CRITERIOS DE PARO Y ESTIMACION DE ERRORES:Es cuando se va a realizar un criterios objetivo para decidir cuando debe terminar el método La sugerencia inicial puede ser que terminen los cálculos cuando el error se encuentren por debajo de algún nivel prefijado se puede decir que el método termina cuando alcance un error por debajo 0,1% Se puede calcular el error relativo aproximado de la siguiente manera |Ea| =|𝑋1𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎−𝑋𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑋𝑟𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎|*100%Donde Xr nueva es la raíz de iteración actual y Xr anterior es el valor de la raíz de iteración anterior .Se usa el valor absoluto ya que en general importa solo su magnitud de Ea sin considerar su signo .
     
  • Cuando |Ea| es menor que un valor previamente fijado que define el criterio de paro , (Es) el programa se detiene.Aunque el error aproximado nos proporciona una estimación exacta del error verdadero se sabe que la raíz exacta cae en un lugar dentro del intervaloXr=𝑋1+𝑋𝑢2=∆𝑥2Por lo tanto la raíz se debe situar dentro de ∆𝑥2 de la aproximación por ejemplo si :Xr=0,5625±0,0625Debido a que ∆𝑥2=Xnueva±anterior si la ecuación proporciona un limite superior exacto sobre real .para que rebase este limite ,la raíz real tendría que caer fuera del intervalo que la contiene ,lo cual por definición jamás ocurriría en el método de bisección en general es mas lento que otros métodos , la elegancia del análisis de errores es un buen aspecto para la ingeniería . 
     
  • Tres formas diferente en que un intervalo puede agrupar a la raíz a. El valor verdadero cae en el centro del intervalo b y c. el valor se acerca a uno de los extremos nótese que la diferencia entre el valor verdadero y el punto medio del intervalo jamás sobre pasa la longitud media del intervalo ∆𝑥2
     
  • Esquema grafico del porque la estimación del error en el método de bisección (∆𝑥2) es equivalente a la estimación actual de la raíz Xrnueva-Xranterior
     
  • BibliografíaGustavo Tapia (2004). Análisis Numérico. Documento en línea]. Disponible: http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN [Consultada: 2011 agosto 8] Santillana (2003). Muchas veces cometemos errores. [Documento en línea]. Disponible: http://www.santillana.es/proyectosEnRed/secunda/htm/4matematicasA/02_2.htm. [Consultada: 2011 agosto 8]