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    apcargelem apcargelem Presentation Transcript

    • CARGAS ELEMENTALES EN DISEÑO MECÁNICO Julio Vergara Aimone ICM 2312
    • INTRODUCCION En una sesión anterior (y en cursos pasados) se mencionaron tipos básicos de cargas según el modo y tiempo de aplicación, el área y dirección. Estas cargas se traducen al interior y superficie de un componente mecánico, con las cuales se configura un estado de esfuerzos en cualquier elemento diferencial de volumen. Pudimos revisar las deformaciones que resultan de estos esfuerzos, lo que nos permite derivar las relaciones entre ambos tipos de variables. J.Vergara ICM2312
    • INTRODUCCIÓN La Ley de Hooke puede relacionar deformaciones, medidas con galgas extensiométricas con esfuer- zos. Así se infieren los esfuerzos reales. En esta sesión, revisaremos los tipos de carga elemental a las cuales podría estar sometido un componente mecánico (estudiaremos los puntos críticos a través de elementos de volumen, dV). Dentro del límite elástico, podremos superponer estas cargas (esfuerzos) y aplicarles algún con- centrador de esfuerzo en caso que se justifique. J.Vergara ICM2312
    • INTRODUCCIÓN Utilizando teorías de falla, el proceso de diseño mecánico nos permite verificar si el componente tolera los esfuerzos esperados, a partir de ensa- yos de materiales en un ambiente controlado. Lo anterior es válido en condiciones estáticas, las que se pueden generalizar, con ciertas limi- taciones, en un ambiente de cargas dinámicas. Al final estaremos en condiciones de dimensio- nar cualquier componente mecánico, resolviendo la dupla geometría ̶ material. J.Vergara ICM2312
    • CARGAS ELEMENTALES Tipos de Carga En sesiones pasadas enunciamos varios tipos de cargas mecánicas. Existen cuatro de estas que pueden ser consideradas cargas elementales, o bloques de carga elemental. Así, un cuerpo sometido a un conjunto de cargas puede ser analizado integralmente. Para nuestro caso, se consideran cargas elementales las de: a) Tensión (o Compr.), c) Flexión, b) Corte, d) Torsión. J.Vergara ICM2312
    • CARGAS ELEMENTALES Tipos de Carga Las cargas de Tensión y Corte producen esfuerzos uniformes (en teoría), que se derivan de fuerzas. Las cargas de Flexión y Torsión producen esfuer- zos no uniformes, aunque lineal en cierta dimen- sión, que se derivan de momentos. En comportamiento elástico, estas cargas pueden superponerse. Así, un cuerpo puede estar someti- do a estas simultáneamente, las cuales se traduci- rán en esfuerzos en un elemento de volumen (dV). J.Vergara ICM2312
    • CARGAS ELEMENTALES Resolución de problemas clásicos Se puede resolver cualquier problema complejo de diseño mecánico determinando por inspección los puntos del componente que sarán sometidos a las mayores cargas (esfuerzos). En esos puntos, se obtienen los esfuerzos princi- pales, y los planos principales si es necesario. Luego, se aplica un criterio de falla para evaluar si su geometría, así como el material elegido, so- portan satisfactoriamente las cargas aplicadas. J.Vergara ICM2312
    • CARGAS ELEMENTALES Tensión Cizalle Flexión Torsión Esfuerzos Asociados J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Cargas de tensión Ya conocemos los aspectos relevantes de cargas de tensión y corte directo, que producen esfuerzos de tracción y de cizalle, respectivamente. F u s= = E = E·e A l J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Cargas de tensión La “idea” de cargas de tensión y compresión la da el ensayo de tensión. En tal ensayo, se mide la resistencia a la tracción de un material (elás- tica con sy y última con su). (FT) sX AT sX Así es posible estimar el área mínima (A) o la fuerza (F) máxima a tolerar. J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Cargas de tensión Si Traccionamos una sección, podemos estimar AT mínima (rango elástico). Usamos n = factor de seguridad que acomoda diferencias de producción e incertidumbre. (FT) sX AT sX En este caso: FT sy FT·n sX = < sADM = AT ≥ AT n sy J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Concentración de esfuerzos en tensión (compr.) Como vimos en las clases de materiales, se usa un Concentrador de Esfuerzo (Kt) en un cuerpo sujeto a tensión o compresión, que relaciona el máximo esfuerzo en una discontinuidad relativo al esfuerzo nominal. Es un factor geométrico, y es independiente del material. sMAX Kt = s 0 Normal J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Concentración de esfuerzos en tensión (compr.) Según la forma del cuerpo, elementos de unión y dimensiones, se aplica un factor Kt , i.e.: Kt Kt Kt s0 = F s0 = F s0 = F A A A pd2 A = d·t A = d·t A= 2 J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Cargas de cizalle También conocemos los aspectos de cargas de corte directo, que producen esfuerzos de cizalle. Si una gillotina acciona al cuerpo, tendremos: V v t= = G = G·g A l J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Cargas de cizalle Si Cortamos una sección, podemos estimar AC mínima (rango elástico). Usamos n = factor de seguridad que acomoda diferencias de producción e incertidumbre. (FC) AC tYX En este caso: FC ty FC·n tYX = < tADM = AC ≥ ty AC n J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Cargas de cizalle Demostramos, por círculo de Mohr, en tracción (1D), que el esfuerzo cortante máximo es igual s (magnitud), a la mitad del límite elástico ty ≈ y 2 1A (FC) AC tYX Luego: 2A FC·n FC·2n AC ≥ = ty sy J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Concentración de esfuerzos en cizalle En forma análoga a lo visto en tracción, se usa un Concentrador de Esfuerzo (Kts) en un cuerpo sujeto a cizalle, que relaciona el máximo esfuer- zo cortante en una discontinuidad relativo al esfuerzo cortante nominal. Éste también es un factor geométrico, independiente del material. tMAX Kts = t 0 Corte J.Vergara ICM2312
    • TENSIÓN Y CIZALLE Concentración de esfuerzos en cizalle Según la forma del cuerpo, elementos de unión y dimensiones, se aplica un factor Kt , i.e.: Kt s0 = F A A = (w - d)·t J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Sabemos que las cargas de flexión producen los siguientes esfuerzos (ver IQ en tablas), y que se mostrarán a continuación: M·y y f s= = E = E· IQ R L J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Y Suponemos una barra de una M sección recta sometida a una flexión M en este sentido (en Z), que mantiene su forma siguien- Z do su eje. Se asume un material M isotrópico en el rango elástico. X La barra se flexiona en la dirección indicada, con el eje X coincidiendo con un eje neutro en un plano XZ (plano neutro), eje en el cual no sufre esfuerzo. Este plano coincide con el eje neutro (EN). J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Sometiendo dx a flexión: l e = y dx l l =  e= c e l e e e = dx Esto implica que la deformación en la fibra es proporcional al plano neutro. sY y sC sY sC  y = c E = c E Aplicando Hooke: J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Los esfuerzos normales serán proporcionales a la distancia al eje neutro, con esta distribución: c dA Y dy dF Compresión y sX(y) MZ MZ X Z Tensión L dF = sX(y)·dA dMZ = y·dF = y·sX(y)·dA ∫ s (y) ∫ MZ = y·sX(y)·dA = ∫ y2· X y dA J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Los esfuerzos normales serán proporcionales a la distancia al eje neutro, con esta distribución: sX(y) sX(y) 2 Sabemos que y = cte. Entonces, MZ = y ∫ y ·dA ∫ Llamamos IQ = y2·dA Momento de Inercia Ecuatorial en EN MZ·y MZ·cMAX MZ Luego: sX(y) = - y: sMAX = = IQ IQ Z Módulo de IQ la sección c (en tablas) J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión w = peso lineal, lbf/pie m = masa lineal, kg/m A = área, pulg2 (cm2) I = segundo momento de área, pulg4 (cm4) k = radio de giro, pulg (cm) y = distancia centroidal, pulg (cm) Z = módulo de sección, pulg3 (cm3) Tamaño, in Módulo de sección (Z) y Momentos de Inercia (IQ) de diferentes perfiles J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Si Z ó IQ no están tabulados, se puede evaluar IQ. Por ejemplo, veamos los esfuerzos extremos en la viga T, sujeto a MX = 2.5 kNm. 1) Area de sección de la viga A = (1.2·7.5)+(8.8·1.2) = 19.56 cm2 2) EN (c) por momento de área en O 19.56·c = (1.2·7.5)·0.6+(8.8·1.2)·5.6 c = 3.3 cm J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión 3) Momento de inercia de la sección Y h X I = b·h3 I = b3·h I = I + A·d2 Steiner b X 12 Y 12 Q X,Y IQ = 7.5·1.23/12 + (7.5·1.2)·(3.3-0.6)2 + 1.2·8.83/12 + (8.8·1.2)·(1.2+4.4-3.3)2 IQ = 190.7 cm4 MX·c 2500·3.3 sZ(a) = = = 43.2 MPa (t) IQ 190.7 MX·c 2500·6.7 sZ(b) = = = 87.8 MPa (c) IQ 190.7 J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de flexión Es común encontrar momentos en planos XY y XZ, en cuyo caso se suman los esfuerzos. s (z) X c dA Y dy z dF MY y sX(y) MZ MZ X Z MY L EN MZ·y MY·z En este caso: sX = - + IQZ IQY J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Concentración de esfuerzos en flexión En forma análoga a lo visto en tracción, se usa un Concentrador de Esfuerzo (Kt) en un cuerpo sujeto a flexión, que relaciona el máximo esfuer- zo en una discontinuidad relativo al esfuerzo no- minal. Es un factor geométrico, independiente del material. sMAX Kt = s 0 Normal J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Concentración de esfuerzos en flexión Según la forma del cuerpo, elementos de unión y dimensiones, se aplica un factor Kt , i.e.: Kt Kt Kt d d s0 = M·c s0 = M·c c = s0 = M·c c = I I 2 I 2 (w-d)h3 bh3 bh3 I= I= I= 12 12 12 J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Esfuerzos cortantes en vigas bajo flexión Normalmente, hay esfuerzos cortantes junto con flexión. Asumiendo V y M en x, en esta sección: Y A EN dX MZ V MZ X h Z dA y dY dF1 dF dF2 c t dFt dA M1·y M2·y dA = s1dA = dF1 dF dF2 = s2dA = dA IQ M1 M2 IQ Balance de Fuerza en X : dF2 - dF1 - dFt = 0 J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Esfuerzos cortantes en vigas bajo flexión Normalmente, hay esfuerzos cortantes junto con flexión. Asumiendo V y M en x, en esta sección: Y A EN dX MZ V MZ X h Z dA y dY dF1 dF dF2 c t y Del balance: dFt = (M2 - M1) dA IQ dM c Ft = IQ ∫h y dA = tYX t dX J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Esfuerzos cortantes en vigas bajo flexión Normalmente, hay esfuerzos cortantes junto con flexión. Asumiendo V y M en x, en esta sección: Y A EN dX MZ V MZ X h Z dA y dY dF1 dF dF2 c t c dM 1 c tYX = dX IQ t ∫h y dA con Q = ∫h y dA V·Q 1er momento tYX = IQ t de área J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Esfuerzos cortantes en vigas bajo flexión La distribución de esfuerzo cortante en las vigas depende de la variación de Q/t. En una viga de sección rectangular, el esfuerzo (t) será máximo para h=0 y mínimo para h=c. Si dA = t·dY: c c A ∫h ∫h Q = y·dA = t y·dy = ½·t·(c2 - h2) h = 2c b V·Q V·t·(c2 - h2) IQ = b·h3 A·c3 tYX = = = tMAX IQ·t 2·IQ·t 12 3 3·V h2 3·V tYX = (1 - 2 ) tMAX = 2·A c 2·A J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Esfuerzos cortantes en vigas bajo flexión La distribución de esfuerzo cortante en las vigas depende de la variación de Q/t. En una viga de sección circular, el esfuerzo (t) será máximo en h=0 y mínimo para h=c. Si dA= t·dY: c c A ∫ h ∫ Q = y·dA = 2 y·(r2-y2)½ dy = ² 3·(R2-h2)3/2 h p·R2 V·Q V·² 3·(R2-h2)3/2 IQ = p·R4 tYX = = 4 ·(r2-y2)½ tMAX IQ·t ¼p·R 4 4·V h2 4·V tYX = (1 - 2) tMAX = 3·A R 3·A J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Esfuerzos cortantes en vigas bajo flexión Algunos valores de tMAX para geometrías típicas: Forma Perfil Fórmula Forma Perfil Fórmula A 3·V Aalma V tMAX = tMAX = 2·A Aalma b A A 4·V 2·V tMAX = tMAX = p·R2 3·A p·(R2-r02) A J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de torsión También postulamos que las cargas de Torsión producen esfuerzos (ver J en tablas), que mos- tramos a continuación: T·r q·r t= = G = G·g J L J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de torsión El torque T del cilindro produce una rotación, y un ángulo de giro. T Z T· L f= G·J Y X En una viga cilíndrica: T T·r t = g J r f T·r r tMAX = J J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de Torsión Algunos valores de J para geometrías típicas: Forma Área Fórmula Forma Área Fórmula tMAX tMAX t p·R4 t p·(R4-r04) J= J= 2 2 p·R2 p·(R2-r02) J es el segundo momento polar de área. J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Cargas de torsión En algunos casos, la sección puede no ser uniforme y estar constituída T de varios segmentos. Z En tal situación, los ángulos Y se pueden aplicar a cada X sección y luego sumar: T n Ti· Li f= S i=1 Gi·Ji r f J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Concentración de esfuerzos en torsión En forma análoga a lo visto en tracción y flexión, se usa un Concentrador de Esfuerzo (Kts) en un cuerpo sujeto a torsión, que relaciona el máximo esfuerzo cortante en una discontinuidad relativo al esfuerzo cortante nominal. Este es un factor geométrico, independiente del material. tMAX Kts = t 0 Corte J.Vergara ICM2312
    • FLEXIÓN Y TORSIÓN Concentración de esfuerzos en torsión Según la forma del cuerpo, elementos de unión y dimensiones, se aplica un factor Kt , i.e.: Kts Kts Kts d d t0 = T·c t0 = T·c c = t0 = T·c c= J J 2 J 2 pD3-dD2 pd4 pd4 J= J= J= 16 32 32 J.Vergara ICM2312
    • CONCLUSIONES Revisamos varios tipos de carga elemental a las cuales puede someterse un componente. Estas son las cargas de tensión y corte, con esfuerzos uniformes, y las cargas de flexión y torsión, con esfuerzos lineales no uniformes. Estas pueden ser aplicadas simultáneamente, lo que agravará o reducirá la intensidad de esfuer- zo. Por cierto, los esfuerzos dependerán de la geometría y de la distribución de estos. El cuadro siguiente resume los principales mo- dos de esfuerzo resultante de cargas. J.Vergara ICM2312
    • CONCLUSIONES Tensión Cizalle Flexión Torsión Esfuerzos Asociados J.Vergara ICM2312
    • CONCLUSIONES Si existe flexión en un cuerpo, es posible que los esfuerzos axiales se tornen despreciables. Cuan- do hay fuerzas flexionándolo, las distancias pue- den ser determinantes. De igual modo, si existe torsión, es posible que los esfuerzos cortantes directos se vuelvan des- preciables. Cuando hay fuerzas torsionantes, los radios pueden ser importantes. Podemos además determinar las energías de de- formación elástica que se asocian a cada caso. J.Vergara ICM2312
    • CONCLUSIONES Tensión Cizalle Flexión Torsión Energías de Deformación Elástica Asociadas e g l 2 r 2 se tg M T  U = s·de = 0 2  U = t·dg = 0 2 U=  0 2EI ·dx U =0 2GJ ·dx s2 F2l t2 F2l = = = = 2E 2AE 2G 2AG J.Vergara ICM2312
    • CONCLUSIONES Vimos por último el caso particular de esfuerzo cortante que sucede por flexión. Es decir, si se aplica un momento, se inducirán esfuerzos indi- cados al centro del siguiente cuadro: Esfuerzos Asociados por: Tensión Flexión Torsión J.Vergara ICM2312