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  • 1. VIGAS CURVAS E INESTABILIDAD Julio Vergara Aimone ICM 2312
  • 2. INTRODUCCION Las cargas externas se traducen a la superficie e interior de un componente mecánico, configuran- do diferentes estados de esfuerzos en elementos diferenciales de volumen. En una sesión anterior, vimos los tipos de carga elemental a las cuales podría estar sometido un componente mecánico, lo que nos permitía revi- sar los puntos críticos de cierto componente. Dentro del límite elástico, podíamos superponer estas cargas (esfuerzos) y aplicarles algún con- centrador de esfuerzo en caso que se justificara. J.Vergara ICM2312
  • 3. INTRODUCCIÓN En esta sesión, veremos efectos en ciertos com- ponentes curvados (i.e. vigas) que son sometidos a fuerzas combinadas y momentos. Estos son comunes en dispositivos mecánicos, en pescantes, grúas, mecanismos de fuerza, etc. Por eso la ingeniería ha desarrollado modelos bá- sicos para diseñarlos. Si no se consideran ciertos aspectos, podrían no dar el desempeño esperado. Antes de revisar otras materias haremos un repa- so breve de deflexión en vigas. J.Vergara ICM2312
  • 4. INTRODUCCIÓN Por otro lado, veremos que ciertos elementos de máquinas y estructuras pueden ser sometidos a cargas de compresión aparentemente bajas, que se tornan inestables y colapsan. Veremos este fenómeno y el efecto en el diseño. Esto es común en soportes, cilindros y placas bajo cargas críticas, que experimentan cambios notables de geometría (comba, arruga, flexión o pandeo) y deflexiones, que conlleva al colapso, con un nivel de esfuerzo inferior al admisible. De este modo, tendremos otro módulo para diseño. J.Vergara ICM2312
  • 5. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión Las vigas (así como los ejes, cigüeñales, barras, resortes, y otras estructuras de la disciplina de la ingeniería mecánica) se flexionan en forma no- table con cargas laterales, lo cual se traduce en un problema clásico en diseño. En una clase an- terior vimos la producción de esfuerzos norma- les y cortantes en vigas por un momento flector. Lo siguiente es un repaso para posteriormente diseñar ejes, columnas y otras formas. J.Vergara ICM2312
  • 6. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión Ejemplo clásico: diseño de aerosuperficies, una de cuyas respuestas es la deflexión. La figura (Korea Aerospace Ind.) muestra un ensayo está- tico a un caza sometido a 150% de la carga de diseño. La deflexión del ala puede llegar a ½ m. J.Vergara ICM2312
  • 7. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas Sometiendo dx a flexión: l e= l = y·df dx La curvatura de la sección es: 1 df = r dx y df y E·y Luego: e= = Hooke: s=Ee = r df r r J.Vergara ICM2312
  • 8. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas Anteriormente se demostró: M·y s= I E·y M·y Por Hooke: = r I E·y s= r 1 M Luego: = r E·I J.Vergara ICM2312
  • 9. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas Por matemáticas, la curvatura de un plano curvo la describe: d2y 1 dx2 M = dy = r 1 + dx 2 3/2 E·I En el cual “y” es la deflexión de la viga. La pendiente de la viga en cualquier punto será: dy q = dx J.Vergara ICM2312
  • 10. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas En el caso de pequeñas defle- xiones y pendientes: 1 » dy dx d2y M dx2 d2y E·I = dy 2 3/2 ≈ dx2 1 + dx Derivando o integrando: dy d2y d3y d4y y = f(x) q = dx M = E·I 2 V = E·I 3 q = E·I 4 dx dx dx Deflexión Pendiente Momentum Fza Cortante Intensidad Fza J.Vergara ICM2312
  • 11. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas La resolución de las ecuaciones de deflexión se desarrollan por los siguientes métodos: Doble Integración: a partir del momento flector, aplica condiciones de acoplamiento y de límite en las diferentes secciones de la viga. Momentos de Área: proceso semigráfico para encontrar las pendientes en distintas secciones y a partir de ello se encuentra la deflexión. J.Vergara ICM2312
  • 12. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas La resolución de las ecuaciones de deflexión se desarrollan por los siguientes métodos (cont): Superposición: método simple que consiste en separar las cargas y mediante tablas obtener la contribución a la deflexión total de cada una. Teorema de Castigliano: la deflexión se obtiene a partir de la energía de deformación. La deriva- da parcial de esa energía con respecto a cada fuerza entrega la componente de deflexión. J.Vergara ICM2312
  • 13. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas En ejemplo simplificado: Estimar la deflexión del ala de un F-16 derivada de su peso. PMWTO(ala) = 100 kN. F M q = 25 kN/m F = qL = 100 kN qL2 25·42 M= = = 200 kNm 2 2 J.Vergara ICM2312
  • 14. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas El máximo esfuerzo ocurrirá en la parte inferior donde el ala se une con el fuselaje. F M I pc·t3 p1·0.33 I= = = 1.3·10-3 m4 64 64 p(c·t3-c·t3) I= = 7.1·10-5 m4 64 M·c 200·0.15 s= = = 420 MPa I 7.1·10-5 J.Vergara ICM2312
  • 15. DEFLEXIONES EN VIGAS Deflexión en vigas La máxima deflexión ocurrirá en el extremo del ala (en rigor, no se diseña para carga uniforme). F M w d q·L4 x x4 w= 3-4 + 4 24·E·I L L q·L4 25·103·44 d= = 8·E·I 8·70·109·7.1·10-5 d = 0.009 m (Al sólido) d = 0.160 m (Al piel) J.Vergara ICM2312
  • 16. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas Hasta ahora hemos visto los esfuerzos en vigas rectas causados por flexión. El resultado fue: c Y sX(y) Compresión y MZ MZ X Z Tensión L MZ·y MZ·cMAX MZ sX(y) = - con: sMAX = = IQ IQ Z J.Vergara ICM2312
  • 17. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas Los esfuerzos normales no serán proporcionales a la distancia al eje neutro. Serán hiperbólicos: ro c ro Y dy dA A y dF Compresión rc e e MZ EN´ MZ X Z Tensión L ri ri Con ello, el eje neutro se desplazará un valor “e” hacia el centro de curvatura. “I” se modifica. J.Vergara ICM2312
  • 18. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, en mayor detalle Cambiamos el sistema de coordenadas por uno cilíndrico y a MZ agregamos una fuerza axial F. R ro q dA dA r P P dL df df = Z MZ EN´ MZ r-Rn F df L w= ri dq R R n dL (r-Rn)df eq = = dq L rdq (Rn-r) Típico ejemplo eq = w r J.Vergara ICM2312
  • 19. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, en mayor detalle (Rn-r) (Rn-r) Dado: eq = w Por Hooke  sq = Eeq = Ew r r (Rn-r) ∫ ∫ F = sq·dA = Ew dA = Ew Rn dA - dA ∫ ∫ EQM A A r A r A Fuerzas dA F = Ew Rn·Am - A si: Am = ∫ A r (Rn-r) EQM ∫ M = sq·(R-r)·dA = Ew A ∫ A r (R-r)·dA Momentum M = Ew Rn·R·Am - RnA J.Vergara ICM2312
  • 20. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, en mayor detalle Tenemos: F = Ew Rn·Am - A y M = Ew Rn·R·Am - RnA M EwRn = R·Am - A M·Am F= - Ew A R·Am - A M·Am F Luego: Ew = A (R·A - A) – A m J.Vergara ICM2312
  • 21. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, en mayor detalle EwRn Por Hooke: sq = Ew (Rn-r) = – Ew r r M – M·Am + F Entonces: sq = r· (R·Am – A) A (R·Am - A) A M·(A – r·Am) F sq = + A·r·(R·Am – A) A M·A En el EN: sq = 0  r = Rn = Am·M + F·(A - R·Am) J.Vergara ICM2312
  • 22. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas: Ejemplo: encontrar los esfuerzos impuestos por F en el siguiente marco. 3 cm F=10 kN F=10 kN 10 cm r1 3 cm b 5 cm r2 8 cm J.Vergara ICM2312
  • 23. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, dimensiones y áreas 15.5 cm 3 cm F=10 kN A= b(r2 - r1) F M A= 0.05(.08-.03) A= 0.0025 m2 10 cm r1 3 cm Am= b ln(r2 / r1) b 5 cm dA = b dr Am= 0.05 ln(.08/.03) Am= 0.0049 m2 r2 8 cm ∫ Am = A r ∫r r J.Vergara ICM2312
  • 24. VIGAS CURVAS Si fuese una viga recta con similar carga axial F F sq = F = 10000 = 4 MPa A 0.0025 r1 3 cm F=10 kN b 5 cm r2 8 cm J.Vergara ICM2312
  • 25. VIGAS CURVAS Esfuerzo por Tensión F en viga recta: -80 MPa -60 -40 -20 Axial 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 20 40 60 80 100 120 140 J.Vergara ICM2312
  • 26. VIGAS CURVAS Si fuese una viga recta, con similar momentum M sq = - M·y + F I A b·h3 = 0.05·0.053 I= = 5.21·10-7 m2 12 12 1550·y 10000 sq = (74.4 + 4) MPa (max) sq = - + 5.21·10 -7 0.0025 sq = (-74.4 + 4) MPa (min) r1 3 cm b 5 cm r2 8 cm J.Vergara ICM2312
  • 27. VIGAS CURVAS Esfuerzo por flexión M en viga recta: -80 MPa -60 -40 -20 Axial 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 20 40 60 80 100 120 140 J.Vergara ICM2312
  • 28. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, continuación A = 0.0025 m2 Am= 0.0049 m2 M·A r1 = 0.03 m Rn = r2 = 0.08 m Am·M + F·(A - R·Am) rc = 0.055 m 1550·0.0025 Rn = = 0.0523 m 0.049·1550+10000·(0.0025-0.055·0.049) sq = M·(A – r·Am) + F A·r·(R·Am – A) A 1550·(0.0025 - r·0.0490) 10000 sq = + 0.0025·r·(0.055·0.0490 - 0.0025) 0.0025 J.Vergara ICM2312
  • 29. VIGAS CURVAS Esfuerzo por flexión en viga curva: -80 MPa -60 -40 -20 Axial 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 20 40 60 80 100 120 140 J.Vergara ICM2312
  • 30. VIGAS CURVAS Comparando los diferentes tipos de carga: -80 MPa -60 -40 -20 Tensión 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 20 40 60 80 100 Efecto de la curvatura 120 140 J.Vergara ICM2312
  • 31. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas Entonces, cuando hay M puro, se verifican estas expresiones de excentricidad y esfuerzo min-máx. ro A MZ·co so = rc e (e·A·ro) e = rc - A dA ∫r MZ·ci ri si = (e·A·ri) dA ro - ri Am =∫A r e = rc - ro ln ri J.Vergara ICM2312
  • 32. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas: algunas Am dA Forma A Am = ∫ A r r1 b b(r2 - r1) b ln (r2 / r1) r2 r1 br2 b ½ b(r2 - r1) ln (r2 / r1) - b r2 b(r2 - r1) rm 2c pc2 2p(rm – (rm2-c2)½) rm 2pb 2a 2b pab (rm – (rm2-c2)½) a J.Vergara ICM2312
  • 33. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, gancho de grua r1 5 cm 15 cm b 2 cm 5 cm r2 15 cm M·co so = A (r - r ) (e·A·ro) e = rc - = rc - o i Am ro M·ci ln si = ri (e·A·ri) e = 10 - 15 - 5 = 10 – 9.1 = 0.9 cm 15 ln F = 1 ton 5 J.Vergara ICM2312
  • 34. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas, gancho de grua rn = 0.091 m e = 0.009 m r1 5 cm A = 0.01·0.02 = 0.002 m2 15 cm b 2 cm 5 cm r2 15 cm En todo el radio, debemos considerar además la tensión de F. M·y F so (r) = + e·A·(rn-y) A 980·(0.091-r) 9800 so (r) = + 0.009·0.002·(0.09-r) 0.02 F = 1 ton J.Vergara ICM2312
  • 35. VIGAS CURVAS Esfuerzo por flexión en viga curva: -40 MPa -30 -20 -10 Axial 0 0 0.050 0.010 0.015 10 20 30 40 50 60 70 J.Vergara ICM2312
  • 36. VIGAS CURVAS Flexión en vigas curvas Nuevamente podemos apreciar que la flexión en una sección curva produce un esfuerzo de ten- sión que casi triplica el esfuerzo de compresión. ¿Podemos hacer algo para mejorar este aspecto? Esto implica que no se requiere tanto material en la zona exterior. Una forma de bajar la intensidad del esfuerzo es mediante la corrección de la geo- metría, por ejemplo, utilizando una sección trape- zoidal o una forma I asimétrica. J.Vergara ICM2312
  • 37. VIGAS CURVAS Uso de otras secciones en vigas curvas Problema típico de herramientas J.Vergara ICM2312
  • 38. VIGAS CURVAS Uso de otras secciones en vigas curvas Problema típico de herramientas F= 2000N D= 10.5+10+8 = 28.5 mm M = 57000 N mm A= (h)(d)-2(h´)(d´) I= (1/12)(d)(h)3-(2/12)(d´)(h´)3 A= (8)(16)-2(4)(4) I= (1/12)(8)(16)3-(2/12)(2)(8)3 A= 96 mm2 I= 2560 mm4 Am= b ln(r2 / r1) – 2 b ln(r2 / r1) Am= 8 ln(21/5) – 2 (2) ln(17 / 9) Am= 8.93 mm2 J.Vergara ICM2312
  • 39. VIGAS CURVAS Esfuerzo por flexión en viga curva: -200 MPa -150 -100 -50 Axial 0 0 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 50 100 150 200 250 300 350 J.Vergara ICM2312
  • 40. VIGAS CURVAS Esfuerzo por flexión en viga curva: -200 MPa -150 -100 -50 Axial 0 0 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 50 100 150 330 297 264 200 231 198 165 250 132 99 66 300 33 0 MPa 350 J.Vergara ICM2312
  • 41. VIGAS CURVAS Otras secciones en vigas curvas (b0 + bi) h J.Vergara ICM2312
  • 42. VIGAS CURVAS Tarea grupal (eólicos) F= 2000N D= 10.5+10+8 = 28.5 mm M = 57000 N mm 4 12 Determinar: ¿cuál de estas geometrías es más eficien- te para la prensa indicada? 6 12 Detalles geométricos en SidIng. 4 6 12 J.Vergara ICM2312
  • 43. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad estructural Ciertas estructuras y elementos de máquinas (i.e. soportes, cilindros, placas, etc. pueden ser some- tidos a cargas de compresión que adquieren cier- to nivel crítico, y experimenta un cambio mayor de geometría (comba, arruga, flexión o pandeo) y notables deflexiones que conlleva a un colapso, a un nivel de esfuerzo menor que el admisible. Esta falla se define como inestabilidad o pandeo, la cual no depende de la resistencia del material, sino que de la geometría y del módulo de Young. J.Vergara ICM2312
  • 44. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad estructural Pa Esta falla impone un factor adicio- nal al diseño mecánico, pues un acero de alta resistencia no está mejor calificado que uno de baja A resistencia de similar geometría. El principio del pandeo se puede B representar por este mecanismo articulado sujeto lateralmente por D E resortes que no actúan cuando la columna está alineada. C J.Vergara ICM2312
  • 45. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad estructural Pa Con Pa hay un desplazamiento (B) : Mom. (C) alterador: MA Pa Mom. (C) resistente: MR d A A a Pa B d B D B E Pa tan a PR= kd L MA MR L/2 cosa L/2 2 d a a tan a = C L cos a C C J.Vergara Pa Pa ICM2312
  • 46. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad estructural L P 2d L Mom : MA = (Pa tana) cosa + Pad = a cosa + Pad 2 L cosa 2 MA = Pad + Pad L Mom : MR = (kd) cosa Si MA > MR  inestable 2 Pa L d 2Pacd = (kd) cosa B 2 Pa tan a PR= kd kL MA MR Pac = cosa 4 2 d a kL tan a = Pac ≈  es f (forma) L cos a C 4 J.Vergara Pa ICM2312
  • 47. PANDEO E INESTABILIDAD Inestabilidad en columnas Una columna tiene un comportamiento análogo al mecanismo pivoteado en B. La diferencia es que acá el momento resistente (MR) lo debe pro- veer la propia columna. En este caso, si la carga P provee un momento MA (subcrítico o inferior a MR), la viga se flexionará y al relajarse la barra volverá a su sitio. Si P es tal que MA > MR, será carga crítica (PCR), una leve per- turbación provocará una deflexión lateral inesta- ble, por debajo de sADM. J.Vergara ICM2312
  • 48. PANDEO E INESTABILIDAD Inestabilidad en columnas Este problema no es exclusivo de vigas y barras. Ciertas estructuras comunes (usualmente delga- das y esbeltas) pueden sufrir esta inestabilidad ante cargas extremas o de impacto. Un estanque de cereal puede ceder por una carga sísmica. Un submarino puede colapsar a causa de una onda de choque. J.Vergara ICM2312
  • 49. PANDEO E INESTABILIDAD Inestabilidad en columnas (cilíndricas) Los submarinos se diseñan para no sufrir inesta- bilidad. Usan reforzamientos. Transiciones L= 1 a 2 D Cubierta Cabezal o Domo Conos Casco de Presión t = f ( h, TT, D, s,...) Mamparos d = 0.1 a 0.2 D Cuadernas (refuerzo, profunda, o tipo T) J.Vergara ICM2312
  • 50. PANDEO E INESTABILIDAD L Inestabilidad en columnas  Fluencia de Casco entre cuadernas: D Modo preferible de falla (predecible en Diseño). Modos  Deformación (pliegues) de entre cuadernas (n ~ 8): Falla: Cuadernas algo espaciadas y casco algo delgado  Inestabilidad o Colapso Generalizado (n ~ 3,4): Cuadernas despreciables y casco más delgado J.Vergara ICM2312
  • 51. PANDEO E INESTABILIDAD Inestabilidad en columnas Este fenómeno puede ser usado positivamente para absorber energía, en forma progresiva. Por ejemplo, en el impacto en automóviles. J.Vergara ICM2312
  • 52. PANDEO E INESTABILIDAD Inestabilidad en columnas Ejemplo, ¿qué deformación tolerarían 2 absorbe- dores de energía de un automóvil de 1.2 ton a 15 km/h y un shock admisible de 3 g? 1 EA = m·v2 = 2 F·d = 2 (m·a)·d 2 1 EA = 1200·4.22 = 2·(1200·3·9.81)·d 2 d = 15 cm J.Vergara ICM2312
  • 53. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas x P d Para una sección elástica P e y (de y pequeña) cualquiera: P e d M = P [ e + (d - y) ] d2y x M = E·I 2 dx L y d2y P 2 = E·I [ e + (d - y) ] y dx M y” = k2 [ e + (d - y) ] P P k2 = P E·I J.Vergara P ICM2312
  • 54. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Una ecuación diferencial describe este sistema: y” + k2 y = k2 (e + d) P e d y = A sen kx + B cos kx + C sol. homo. sol. part. y Definir A,B,C: y” = - k2 (A sen kx + B cos kx) y” = - k2 ( y - C ) M - k2 ( y - C ) + k2 y = k2 (e + d) P C=e+d J.Vergara ICM2312
  • 55. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Condiciones de borde del caso: y (x=0) = 0 y´(x=0) = 0 P e d De y 0 = B+C  B = - (e + d) De y´ 0 = Ak A=0 y Luego: y = - (e + d) cos kx + (e + d) y = (e + d) [ 1 - cos kx ] M P J.Vergara ICM2312
  • 56. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Máxima flecha yMAX = d, ocurre en x = L/2: y = (e + d) [ 1 - cos kx ] P e d d = (e + d) [ 1 - cos kL ] 2 d = e + d - e cos kL - d cos kL 2 2 y 1 d= e (1 - cos kL ) = e [ sec kL - 1 ] kL 2 2 cos 2 M d = e [ sec L P - 1 ] P 2 E·I k2 = P E·I J.Vergara ICM2312
  • 57. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Es fácil notar que si P = 0, sec(0) = 1, y d = 0. Si P > 0, d puede tender a ∞. P kL  ∞ P e d e=0 sec PCR 2 d∞ y e>0 M d = e [ sec L P - 1 ] 2 E·I P d J.Vergara ICM2312
  • 58. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas La flecha d aumenta sin límite a medida que P  PCR, el cual está determinado haciendo: P 4P 9P d CR PCR CR e sec L PCR  ∞ 2 E·I L PCR np = 2 n = 1, 2, 3, … y 2 E·I El modo fundamental n = 1: M p2E·I PCR = Carga crítica P L2 J.Vergara ICM2312
  • 59. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas El mismo resultado se obtiene para e = 0, ya que la flecha será nula para kL/2 = p/2: El máximo M ocurre en L/2: P e d MMAX = P ( e + d ) y Con: d = e [ sec L P - 1 ] 2 E·I M Luego: MMAX = P·e·sec L E·I 2 P P J.Vergara ICM2312
  • 60. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Por superposición, se conoce el máximo esfuerzo de compresión: MMAX·c P P e d sMAX = + I A I Se define Radio de Giro: k = I = A·k2 A y D h Ejemplos: k= k= 3 4 6 M Se define además la L P SE = Razón de Esbeltez (SE): k J.Vergara ICM2312
  • 61. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Por superposición, se conoce el máximo esfuerzo de compresión (cont): MMAX·c P P e d sMAX = + I A L P c P sMAX = P·e·sec · + y 2 E·I A·k2 A P L P e·c P sMAX = sec · + M A 2 E·I k2 A P Se define excentricidad: J.Vergara ICM2312
  • 62. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Por superposición, se conoce el máximo esfuerzo de compresión (cont): MMAX·c P P e d sMAX = + I A P e·c L P y sMAX = 1 + 2 sec Fórmula de A k 2 E·I la secante: P -1 e·c sMAX· 1 + 2 sec L P M = A k 2·k E·A P J.Vergara ICM2312
  • 63. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Si se establece un esfuerzo máximo, se acota el valor de P a un valor crítico PCR (modo fund. n=1): PCR e d p2E·I p2E·A·k2 p2E·A PCR = 2 = = L L2 (L/k)2 Ecuación PCR p2E y = = sCR de Euler: A (L/k)2 M Es la carga sobre la cual una columna recta PCR colapsaría (independiente de la resistencia). J.Vergara ICM2312
  • 64. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Graficando la ecuación de Euler: Cedencia Pandeo P/A PCR p2E sy A B = A (L/k)2 Zona de Falla C Razón de Esbeltez L/k J.Vergara ICM2312
  • 65. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Similar utilidad tiene la fórmula de la secante: PCR sy = P e d A e·c L PCR 1+ sec k2 2·k E·A Esta expresión no es fácil de resolver, ya y que PCR está en ambos lados. En rigor, PCR/A no se debe tratar como un M esfuerzo, debido a su carácter no lineal, P aun cuando tiene las mismas unidades. J.Vergara ICM2312
  • 66. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Gráficamente la fórmula de la secante  Euler: P/A sy sy A B e·c L PCR 0.1 1+ sec 0.3 k2 2·k E·A 0.6 1.0 Zona e·c de Falla k2 C Razón de Esbeltez L/k J.Vergara ICM2312
  • 67. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Los datos experimentales son dispersos, en es- pecial cerca del punto B. Esto se debe a que es difícil construir un arreglo experimental en esta condición (esfuerzo residual, defectos, carga no centrada, etc.). Una forma de suplir este proble- ma es mediante la fórmula parabólica (Johnson). 2 Fórmula PCR L = a–b a y b = constantes Parabólica: A k de ajuste J.Vergara ICM2312
  • 68. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas La forma parabólica más usada se logra igualan- do el intercepto con sy y haciendo que las curvas de Euler y Johnson sean tangentes en P/A = sy/2. PCR sy p2E L 2 2p2E = = 2  = A 2 (L/k) k sy sy 2p2E s y2 = sy – b  b= 2 2 sy 4p E PCR s y2 L 2 = sy – 2 A 4p E k J.Vergara ICM2312
  • 69. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Graficando la ecuación Parabólica: P/A Zona de Falla 2 PCR s y2 L sy A B = sy – 2 A 4p E k Columnas cortas Euler Columnas largas sy 2 p2E Johnson (L/k)2 Columnas medianas C Razón de Esbeltez L/k J.Vergara ICM2312
  • 70. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Hay otras relaciones empíricas para ajustar esta información al diseño de columnas: PCR a Fórmula de = L 2 A 1+b k Gordon-Rankine Los sistemas normativos adoptan las constantes, pero podemos repetir el procedimiento anterior, con sy cuando la razón de esbeltez es cero y una tangente entre Euler y G-Rankine en P/A = sy/2 J.Vergara ICM2312
  • 71. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas En forma análoga al caso parabólico: PCR sy p2E L 2 2p2E = =  = A 2 (L/k)2 k sy sy sy s y2 = 2p2E  b = 2p2E 2 1+b s y PCR sy = s y2 L A 1+ 2 k 2 2p E J.Vergara ICM2312
  • 72. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Graficando la ecuación de Euler y Gordon-Rankine: P/A Zona de Falla sy sy A B s y2 L 2 1+ 2 k 2p E Columnas cortas Euler Columnas largas sy D 2 p2E Gordon-Rankine (L/k)2 Columnas medianas C Razón de Esbeltez L/k J.Vergara ICM2312
  • 73. PANDEO E INESTABILIDAD Descripción de inestabilidad en columnas Para diferentes materiales: P/A Zona de Falla sy1 A52-34 2 A B s y2 L A42-27 sy – 2 sy2 A37-24 4p E k sy3 D1 D2 D3 p2E (L/k)2 C Johnson 100 115 Euler Razón de Esbeltez L/k J.Vergara ICM2312
  • 74. PANDEO E INESTABILIDAD Efecto de los extremos en la inestabilidad Tanto la fórmula de la Secante cono la fórmula de Euler se dedujeron con la hipótesis de mo- mento flector M nulo en los extremos. PCR e d M Para considerar otras posibilidades de apoyo en los extremos, la longitud y (l) de la columna en estas ecuaciones deberá ser reemplazada por un largo efectivo (le). M PCR J.Vergara ICM2312
  • 75. PANDEO E INESTABILIDAD Efecto de los extremos en la inestabilidad Los casos de los extremos son los siguientes: a) Ambos libres. b) Ambos empotrados. c) Uno empotrado, otro articulado. d) Uno empotrado, otro con traslación. e) Ambos articulados. f) Uno empotrado, otro libre. g) Uno articulado, otro con traslación. J.Vergara ICM2312
  • 76. PANDEO E INESTABILIDAD Efecto de los extremos en la inestabilidad Le Teórico 1.0L 0.5L 0.7L 1.0L 1.0L 2.0L 2.0L Norma 1.0L 0.6L 0.8L 1.2L 1.0L 2.1L 2.0L (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) J.Vergara ICM2312
  • 77. PANDEO E INESTABILIDAD Efecto de los extremos en la inestabilidad Uso de la longitud equivalente (extremos): P/A Zona de Falla 2 sy2 Le sy – 2 sy A B 4p E k sy D 2 Le=0.8L p2E Le=L (L/k)2 Le=2.0L C Razón de Esbeltez L/k J.Vergara ICM2312
  • 78. CONCLUSIONES Revisamos los tipos de carga fundamental a las cuales puede someterse un componente. Estas son las cargas de tensión y corte con esfuerzos uniformes, y las cargas de flexión y torsión con esfuerzos lineales no uniformes. Estas pueden ser aplicadas simultáneamente, agravando o mejorando el estado de esfuerzo. Vimos el caso particular de flexión que impone un momento aplicado a vigas curvas y formas de minimizar sus efectos. J.Vergara ICM2312
  • 79. CONCLUSIONES Verificamos que ciertos elementos de máquinas (ejes y columnas) pueden colapsar por cargas de compresión, fenómeno que no depende de la re- sistencia del material sino que de su geometría. De esta forma, comprobamos un modo adicional de falla el cual también se debe evitar en diseño: si ≤ sy Geometría KI ≤ KIc Material sc ≤ scr J.Vergara ICM2312