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  • 1. ESTADO DE ESFUERZOS Julio Vergara Aimone ICM 2312
  • 2. INTRODUCCION El mercado demanda sistemas más seguros, y a la vez más económicos, compactos, versátiles, rápidos, limpios, simples de mantener, etc. Uno de los problemas del ingeniero es anticipar el instante en que un componente se hace suscepti- ble de fallar por un contexto de cargas externas. Las cargas externas inducen esfuerzos en el com- ponente. Si estos superan un valor de capacidad propia del material, el componente fallará, lo cual tendrá consecuencias en la seguridad, la econo- mía y la utilidad de éste. J.Vergara ICM2312
  • 3. INTRODUCCION Para conocer ese valor en forma cercana, el inge- niero de materiales debiera intentar probar la falla de un componente real, sujeto al rango esperado de cargas que conducen a la falla (sin personas). Eso es caro, absurdo y no necesariamente predi- ce la falla con certeza (puede haberse fabricado con tratamiento térmico levemente diferente, pue- de adquirir un defecto en la manufactura o ser in- ducido en la operación). Entonces, se debe encon- trar algún modelo que permita predecir el desem- peño mecánico a partir de ensayos simples. J.Vergara ICM2312
  • 4. INTRODUCCION ¿Puede utilizarse un ensayo simple (probetas de escala pequeña) para predecir la falla de un com- ponente mayor sujeto a esfuerzos multiaxiales? La respuesta no es definitiva ni única. Los ensa- yos tampoco son decisivos. El ambiente del ensa- yo difícilmente emulará el de operación real. El desempeño de los materiales dependerá de su historia previa (manufactura, acabado superficial, etc., y una secuencia de distintos tipos de carga). Según la complejidad del sistema y el impacto de una falla, requerirá ensayos de varios tipos. J.Vergara ICM2312
  • 5. INTRODUCCION Por ejemplo, ¿puede una probeta de acero, emular el desempeño de esta vasija?. Es un cilindro de acero, en- vainado con acero inoxidable some-12 m tido a ciclos térmicos, a una presión de trabajo de 15.5 MPa. Para soportar esa presión, la vasija tiene un espesor medio de ~0.2 m (0.3 m en flanges). La pared está so- metida a un haz neutrónico y agua ligeramente oxidante por radiólisis. 5m f J.Vergara ICM2312
  • 6. INTRODUCCION Cada reactor mantiene en su interior una columna de testigos de la opera- ción, con distintas orientaciones de forja, que reciben una dosis neutróni- ca y gama similar a la vasija, que re- plican el ambiente real. Cada X número de años se retira un testigo y se somete a ensayos para determinar los efectos de su historial de operación, que incluirán una baja de tenacidad y corrimiento del NDTT. J.Vergara ICM2312
  • 7. INTRODUCCION Hay sistemas complejos que requie- ren ser calificados con ensayos de tracción, fatiga, fractura, creep, etc., en distintos ambientes de operación (cargas, temperatura, medio, dósis), independientes y combinados. Persiste, no obstante, la dificultad de replicar eficazmente el estado real de esfuerzos con un arreglo de ensayos tradicionales, para lo cual se deberá validar con algún modelo. J.Vergara ICM2312
  • 8. INTRODUCCION La Resistencia de los Materiales estudia el desem- peño de los componentes de sistemas mecánicos mediante un análisis geométrico y de sus cargas. El comportamiento real se deduce al contrastar la geometría de los componentes con sus materiales previamente caracterizados experimentalmente en el ambiente de operación. Su resultado define las relaciones de esfuerzo y deformación de los componentes y en definitiva las cargas mecánicas que éstos resistirán y con- tribuye al estudio de fallas de materiales. J.Vergara ICM2312
  • 9. INTRODUCCION El objetivo del diseño es lograr que el componen- te mecánico sirva a la aplicación sin fallar. Para esto se requiere un modelo que se pueda re- lacionar físicamente al modo de falla, de manera que ésta se pueda predecir con adecuada certeza cuando un módulo mecánico sobrepasa un valor crítico (criterio de falla). Los módulos más usados son el esfuerzo, la deformación y la energía. Muchas veces basta el esfuerzo para dimensionar un componente. Veremos el concepto de estado general de esfuerzo en un punto geométrico. J.Vergara ICM2312
  • 10. CLASIFICACIÓN DE CARGAS En análisis de resistencia de materiales depende de las cargas a las cuales se somete. El material no tiene la misma tolerancia a una carga de corte (cizalle) que a una carga de tracción o de impacto. Más allá a lo anterior, el proceso de manufactura impone una anisotropía que importa al momento de diseñar los componentes (planos y defectos). Las cargas se pueden clasificar según el área y dirección donde se aplican, según el tiempo de aplicación, y según el modo de aplicación. J.Vergara ICM2312
  • 11. CLASIFICACIÓN DE CARGAS Clasificación según el Área y Dirección.  Cargas Concentradas: las que se aplican en pocos puntos del componente.  Cargas Distribuidas: las que se aplican en forma repartida a lo largo de toda el área.  Cargas de Tensión y Compresión: las que traccionan o presionan el componente.  Cargas de Torsión o Flexión: las que tienden a torcer o combar un elemento. J.Vergara ICM2312
  • 12. CLASIFICACIÓN DE CARGAS Clasificación según el Tiempo de aplicación.  Cargas Estáticas: las que se aplican en forma gradual por un tiempo relativamente corto.  Cargas Permanentes: las que se aplican en for- ma constante por un período largo de tiempo.  Cargas Variables: las que se varían con el tiempo en ciclos largos y cortos.  Cargas de Impacto: las que se aplican rápida y bruscamente. J.Vergara ICM2312
  • 13. ESTADO DE ESFUERZOS Aplicación Ambiente Cargas T Geometría E+ SP, Q, M, I, Pb, kt, kf, n s 1, s 2, s 3, e i, … Comportamiento f (si, ej,...) < sADM Desarrollo J.Vergara ICM2312
  • 14. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos Fuerzas sobre un cuerpo: F1 Las fuerzas externas, Si la microestructura momentos e inercia a es homogénea (masa, las que se somete el dA defectos, orientación cuerpo son resisti- de granos, etc.), estas das por fuerzas in- fuerzas resistivas esta- ternas (i.e. en dA). rán distribuidas. F2 M1 F3 J.Vergara ICM2312
  • 15. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos Esfuerzos en el cuerpo: n F1 dFn Un componente En coordenadas dF normal (s) )a: dA: (sZ cartesianas: dF Z dA dFtY sZ==dFnn s dA dF dA s= Y dFtX dFt 2 componentes tan- dA Un componente t ): X genciales (tZX y tan- gencial (t) a dA: ZY dFtX tZX = dFt F2 M1 F3 t = dA dF tZY =dA tY dA J.Vergara ICM2312
  • 16. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos Esfuerzos en el cuerpo: Tres esfuerzos Un componente Si reemplazamos sZ en el plano : normal (sZ) Z: dA por dV: dF dF dA sZ = nn Z tZX tZY dA dA Y 2 componentes tan- dFtX X dV tZX = (t gencialesdAZX y tZY): dFtX dFtY tZX = tZY = dA Y además se puede adoptar un estado dA de esfuerzos general, en cada una de dF tZY = tY las caras de dV, i.e. en dX, dY y dZ. dA J.Vergara ICM2312
  • 17. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos Con 3 planos y 3 vectores y un tensor de esfuerzos, se define el estado general de sZ esfuerzos en el punto (dV). sZ dA tZY s Z tt ZX tZY X ZX Y sY tYX tXY tYZ X tXZ dV tXZ tYZ sY tYX tXY tZX Se muestra la sX tZY dZ Los esfuerzos de corte notación positiva son tij (i:plano y j:dirección) sZ J.Vergara ICM2312
  • 18. ESTADO DE ESFUERZOS Z sZ Esfuerzos X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Estado general de esfuerzos: tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY sX = sX eX + tXY eY + tXZ eZ sZ sY = tYX eX + sXeY + tYZ eZ Ecuaciones = 3 Incognitas = 9 sZ = tZX eX + tZY eY + sZeZ sX tXY tXZ S = tYX sY tYZ S = sij ej tZX tZY sZ J.Vergara ICM2312
  • 19. ESTADO DE ESFUERZOS Z sZ Esfuerzos X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Tensor de Esfuerzos: es un objeto que incluye la tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY noción de escalar, vector y matriz, que en mecá- nica describe los esfuerzos o deformaciones de un punto en cuyas caras actúan hasta 9 entidades. Se le llama tensor de segundo orden (tipo 2.0) por su arreglo de 3x3 en la forma cartesiana que aparece en la figura. sX tXY tXZ S = tYX sY tYZ S = sij ej notación de índices tZX tZY sZ J.Vergara ICM2312
  • 20. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos Estado general de esfuerzos: sZ tZY Z tZX sX Y sY tYX tXY tYZ X tXZ tXZ tYZ sY tYX tXY tZX sX tZY dZ sZ J.Vergara ICM2312
  • 21. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos Momentum (fuerzas) en : dFtY·dz – dFtZ·dy = 0 sZ tZY·(dAZ)·dz = tYZ ·(dAY)·dy dAZ tZY Z tZY·(dy·dx)·dz = tYZ ·(dz·dx)·dy dY tYZ Y sY sY M tZY = tYZ dZ tYZ M dAY M tXZ = tZX tZY M tXY = tYX sZ J.Vergara ICM2312
  • 22. ESTADO DE ESFUERZOS Z sZ Esfuerzos X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Estado general de esfuerzos: tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY sX = sX eX + tXY eY + tXZ eZ sZ sY = tYX eX + sXeY + tYZ eZ Ecuaciones = 3 Incognitas = 9 6 sZ = tZX eX + tZY eY + sZeZ sX tXY tXZ tZY = tYZ S = tYX sY tYZ Por EQM: tXZ = tZX tZX tZY sZ tXY = tYX J.Vergara ICM2312
  • 23. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 1D Estado de esfuerzo lineal (sZ = 0, sY = 0, i.e. solo sX). Es lo que experimentará una probeta de ensayo de tracción. Lo cruza un plano inclinado en f y revisamos las reacciones. sn Z sX f tnt X Y sX f sn tnt X Y sX dA J.Vergara ICM2312
  • 24. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 1D principales y cortantes máximos Estado de esfuerzo lineal (balance de fuerzas) en eje n; SFn=0 en eje t; SFt=0 sndA = sXdAcos2f tntdA = -sXdAsenfcosf sn = sXcos2f tnt = -sXsenfcosf tnt f sn sn = ½sX(1+cos2f) tnt = -½sXsen2f sX   X MAX MAX Y s sX sX dA sP1, P2 = 2X tm = 2  2  MIN MIN J.Vergara ICM2312
  • 25. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D Estado de esfuerzo plano (sZ = 0, i.e. solo s en planos X e Y) Lo cruza un plano inclinado en f y revisamos las reacciones. sn Desde Z: Z f tnt X Y sX f sn tnt sY tXY X tXY tYX tYX Y sX dA sY J.Vergara ICM2312
  • 26. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D Estado de esfuerzo plano (balance de fuerzas en eje n; SFn=0) sndA = sXdAcos2f+sYdAsen2f+tXYdAsenfcosf+tXYdAsenfcosf sn = sXcos2f+sYsen2f+tXYsenfcosf+tXYsenfcosf sn = ½sX(1+cos2f)+ ½sY(1-cos2f)+tXYsen2f tnt sX f sn sn = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2f+tXYsen2f  t X XY tYX Y dA sY J.Vergara ICM2312
  • 27. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D Estado de esfuerzo plano (balance de fuerzas en eje t; SFt=0) tntdA = sYdAsenfcosf-sXdAsenfcosf+tXYcos2fdA-tXYdAsen2f tnt = -(sX-sY)senfcosf+tXYcos2f-tXYsen2f tnt sX f sn tnt = -½(sX-sY)sen2f +tXYcos2f  t X XY tYX Y dA sY J.Vergara ICM2312
  • 28. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D Estas ecuaciones dan sn y tnt sobre el plano inclinado. Éstas fueron deducidas con la notación antes indicada, por lo tanto cada sX, sY, tXY y f, tiene su propio signo. sn = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2f+tXYsen2f  tnt sX f sn tnt = -½(sX-sY)sen2f +tXYcos2f  t X XY tYX Y dA sY J.Vergara ICM2312
  • 29. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D Cualquier conjunto de esfuerzos sX, sY, tXY inducirá valores de sn y tnt rotando el plano hasta un cierto valor de f. Hay un par de planos f que son de más interés en diseño mecánico, y que son aquellos en los cuales se obtiene el máximo y mínimo valor de tnt sn y los que dan origen al máximo valor de tnt. s f sn X X Los primeros son los planos normales principa- tXY les (fP), y los segundos son los planos cortan- tYX Y dA tes principales (ft). sY J.Vergara ICM2312
  • 30. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D principales El máximo y mínimo valor de sn son los Esfuerzos Normales Principales (sP), que actúan en los citados planos normales principales (fP). Estos se encuentran anulando la 1a derivada de sn en f y substituyendo los planos fP en . P sn = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2f+tXYsen2f  tnt tnt sX f sn dsn sX fP P = -½(sX-sY)(2)sen2f +tXY(2)cos2f = 0 tXY X df tYX Y 2tXY dA tan2fP =  sX-sY sY J.Vergara ICM2312
  • 31. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D principales Luego, existen dos valores de 2fP (separados en 180 ) o de fP (separados en 90 ). Uno de estos valores define el plano de esfuerzo máximo y el otro el plano de esfuerzo mínimo. Por ende, los sP son perpendiculares entre sí. P Además, se puede apreciar lo siguiente: tnt =0 fP sP dsn sX = 2·tnt = 0 tXY X df tYX Y Por lo tanto, se demuestra que en estos planos dA principales fP no hay esfuerzo cortante tnt. sY J.Vergara ICM2312
  • 32. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D principales Podremos lograr expresiones más simples para los sP de estas ecuaciones: 2tXY  tan2fP = y s -s X Y P sP = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2fP+tXYsen2fP tXY sX-sY 2 tXY 2fP sX-sY 2 sX-sY 2 sX-sY 2 + t2 XY 2 + t2XY 2 J.Vergara ICM2312
  • 33. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D principales De este modo: sP = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2fP+tXYsen2fP sX-sY 2 sX+sY 2 + t2XY Es: sP = 2 + sX-sY 2 2 + t2XY MAX sX+sY sX-sY 2 tXY sP1, P2 = 2 + t2XY  2 MIN 2fP sX-sY 2 J.Vergara ICM2312
  • 34. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D principales La segunda derivada define los Planos Principales (fP), en los cuales actúan los Esfuerzos Principales. d2sn = -2(sX-sY)cos2f -4tXYsen2f df2 P tnt=0 Si esta segunda derivada es menor que 0, sP tendremos el plano del esfuerzo máximo. sX fP X tXY tYX Y dA sY J.Vergara ICM2312
  • 35. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D cortantes máximo y mínimo Ahora, anulando la 1a derivada de tnt en f se encontrarán los planos cortantes principales (ft) en los cuales actúan los Esfuerzos Cortantes máximo y mínimo. t tnt = -½(sX-sY)sen2f +tXYcos2f  tnt m sX ft f ssn dtnt sX n = -½(sX-sY)(2)cos2f -tXY(2)sen2f = 0 tXY X df tXY tYX Y sX-sY dA tan2ft = -  2tXY sY J.Vergara ICM2312
  • 36. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D cortantes máximo y mínimo Expresiones para los tm a partir de estas ecuaciones: fP y ft son s -s tangentes tan2ft = - X Y y 2tXY recíprocos tm = -½(sX-sY)sen2ft +tXYcos2ft 2ft tXY sX-sY - 2 tXY sX-sY 2 sX-sY 2 sX-sY + t2 XY + t2XY - 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • 37. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 2D cortantes máximo y mínimo De este modo: tm = -½(sX-sY)sen2ft +tXYcos2ft sX-sY 2 2 + t2XY Es: tm = sX-sY 2 2 + t2XY MAX 2ft sX-sY 2 tm1, m2 = + t2XY  tXY MIN 2 sX-sY - 2 J.Vergara ICM2312
  • 38. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 3D Estado de esfuerzos tridimensional: Lo definen los siguientes: A = área plano bcd sX tXY Z AY sY tYZ dZ Y Usamos cosenos X sX sZ tZX tYX tXY directores: l, m, n sY g AX Si se conocen estos 6 (con a, b, g) b tXZ tYZ a componentes en ese l = cos a AX = Al tZX tZY “punto” (dV), se podrán m = cos b AY = Am n = cos g AZ = An estimar los esfuerzos AZ sZ en cualquier plano. J.Vergara ICM2312
  • 39. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 3D Estado de esfuerzos tridimensional: A = área plano bcd FX FX·l Z sX = = AY A AX dZ Y FZ X sX FY FY·m tYX tXY sY = = sY A AY g F Y AX FX b tXZ FZ FZ·n l = cos a AX = Al tYZ a tZX sZ = = tZY A AZ m = cos b AY = Am n = cos g AZ = An AZ sZ J.Vergara ICM2312
  • 40. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY Componentes del esfuerzo s, normal a bcd: g FY AX FX b tXZ a tYZ tZX tZY AZ FX FY FZ sZ sX = sY = sZ = AX = A·l; AY = A·m; AZ = A·n A A A Haciendo un balance de fuerzas en los ejes x, y, z, queda: FX = AX·sX + AY·tYX + AZ·tXZ sX = l·sX + m·tYX + n·tXZ FY = AX·tXY + AY·sY + AZ·tZY sY = l·tXY + m·sY + n·tZY  FZ = AX·tXZ + AY·tYZ + AZ·sZ sZ = l·tXZ + m·tYZ + n·sZ J.Vergara ICM2312
  • 41. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX El esfuerzo normal al plano bcd es el siguiente: FX tYZ a tZY b tZX tXZ AZ sZ sn = sXn + sYn + sZn Con sXn, sYn, sZn componentes normales a bdc de cada uno de los esfuerzos sX, sY, sZ, dados por: sXn = l·sX sXn = l2·sX + l·m·tYX + l·n·tXZ sYn = m·sY sYn = m·l·tXY + m2·sY + m·n·tZY sZn = n·sZ sZn = n·l·tXZ + n·m·tYZ + n2·sZ J.Vergara ICM2312
  • 42. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX El esfuerzo normal al plano bcd es el siguiente: FX tYZ a tZY b tZX tXZ AZ sZ sn = sXn + sYn + sZn Con la forma de sXn, sYn, sZn, da lugar a: sn = l2·sX + m2·sY + n2·sZ + 2·(l·m·tYX + l·n·tXZ + n·m·tYZ) La expresión anterior refleja la magnitud del esfuerzo normal (sn) en cualquier plano –definido por los cosenos directores l, m, n– en términos de sX, sY, sZ, tYX, tXZ, tYZ. J.Vergara ICM2312
  • 43. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D Principales dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX Los Esfuerzos Normales Principales representan FX tYZ a tZY b los tZX tXZ esfuerzos extremos que experimenta un punto. AZ sZ Ocurrirán en los planos principales, i.e. con esfuerzos cortan- tes nulos. Se postula un plano efg, principal, en el cual los componentes de esfuerzo cortante son nulos. Por geometría: FXn = l·Fn FXn = l·sP·A FYn = m·Fn Si Fn = sP·A FYn = m·sP·A FZn = n·Fn FZn = n·sP·A J.Vergara ICM2312
  • 44. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D Principales dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX Entonces: FXn = l·sP·A Además: FXn = A·sX FX tYZ a tZY b tZX tXZ AZ FYn = m·sP·A FYn = A·sY sZ FZn = n·sP·A FZn = A·sZ De : sX = l·sX + m·tYX + n·tXZ sX = l·sP l·sP = l·sX + m·tYX + n·tXZ sY = l·tXY + m·sY + n·tZY sY = m·sP m·sP = l·tXY + m·sY + n·tZY sZ = l·tXZ + m·tYZ + n·sZ sZ = n·sP n·sP = l·tXZ + m·tYZ + n·sZ J.Vergara ICM2312
  • 45. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D Principales dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX De este modo: l·(sP - sX) - m·tYX - n·tXZ = 0 FX tYZ a tZY b tZX tXZ AZ - l·tXY + m·(sP - sY) - n·tZY = 0 sZ - l·tXZ - m·tYZ + n·(sP - sZ) = 0 Si sP es un esfuerzo principal, entonces debe satisfacer las ecuaciones. Pero, éstas no son independientes ya que l, m, n están relacionadas geométricamente por una ecuación de compatibilidad : l2 + m2 + n2 = 1 Esta señala que los cosenos directores no pueden cero en forma simultánea y la definición de dos determina el tercero. J.Vergara ICM2312
  • 46. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D Principales dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX Como las ecuaciones no son independientes, el FX tYZ a tZY b tZX tXZ determinante de coeficientes debe anularse. AZ sZ (sP - sX) - tYX - tZX Ecuación - tXY (sP - sY) - tYZ = 0 Cúbica General de Esfuerzos 3D - tXZ - tZY (sP - sZ) sP - sP·(sX + sY + sZ) + sP·(sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2 - tXZ - tYZ) 3 2 XY 2 2 2 2 2 - (sX·sY·sZ + 2tXY tYZ tXZ - sX·tYZ - sY·tXZ - sZ·tXY) = 0 J.Vergara ICM2312
  • 47. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D Principales dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX De la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos 3D, FX tYZ a tZY b tZX tXZ matemáticamente al menos una solución debe AZ sZ ser real. Por condición física todas son reales. Los esfuerzos principales son independientes de la orienta- ción del sistema de coordenadas. Luego, los coeficientes de la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos 3D son invariantes. Invariante 1: (sX + sY + sZ) = k1 Invariante 2: (sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2XY - t2XZ - t2YZ) = k2 Invariante 3: (sX·sY·sZ +2tXY tYZ tXZ -sX·t2YZ -sY·t2XZ -sZ·t2XY) = k3 J.Vergara ICM2312
  • 48. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D Principales dZ Y X FZ AY sX tYX tXY sY g FY AX Las tres soluciones de la Ecuación Cúbica FX tYZ a tZY b tZX tXZ General de Esfuerzos 3D deben satisfacer: AZ sZ l·(sP - sX) - m·tYX - n·tXZ = 0 - l·tXY + m·(sP - sY) - n·tZY = 0 - l·tXZ - m·tYZ + n·(sP - sZ) = 0 además: l2 + m2 + n2 = 1 Y que determinarán los cosenos directores que definen los planos principales; que son mutuamente perpendiculares. J.Vergara ICM2312
  • 49. ESTADO DE ESFUERZOS Esfuerzos 3D Principales De este modo, habrá un plano efg en que no habrá esfuerzos cortantes y sólo esfuerzos principales sP1, sP2, sP3. s2 l1=1 s3 Para sP1: m1=0 s1 n1=0 l2=0 Para sP2: m2=1 n2=0 l3=0 s1 Para sP3: m3=0 s3 n3=1 s2 J.Vergara ICM2312
  • 50. ESTADO DE ESFUERZOS 3 Esfuerzos cortantes máximo y mínimo 1 2 F3 s1 s2 g F2 El set de sX, sY, sz, tXY, tXZ, tZY y l, m, n, inducirán F1 b a valores de sn y tnt. Anulando la 1a derivada de tnt s3 en l, m, n encuentran los planos (ft) en los cuales actúan los Esfuerzos Cortantes máximo y mínimo. En el plano efg el esfuerzo normal será: sn = l2·s1 + m2·s2 + n2·s3 + 2·(l·m·tYX + l·n·tXZ + n·m·tYZ) X Y Z sn = l2·s1 + m2·s2 + n2·s3 s1 = l·s1 Los componentes de sP en el plano efg serán: s2 = m·s2 s3 = n·s3 J.Vergara ICM2312
  • 51. ESTADO DE ESFUERZOS 3 Esfuerzos cortantes máximo y mínimo 1 2 F3 s1 s2 g F2 La fuerza resultante en el plano efg puede ser F1 b a expresado como una suma vectorial de los com- s3 ponentes F1, F2, F3 en el sistema ortogonal 1,2,3. Fr2 = F12 + F22 + F32 /A2  sr2 = s12 + s22 + s32 Substituyendo: y sr2 = sn2 + tnt2 sr2 = l2·s12 + m2·s2 2+ n2·s32 y, sn2 = (l2·s1 + m2·s2 + n2·s3)2 tnt2 = sr2 - sn2 = l2·s12 + m2·s22 + n2·s32 – (l2·s1 + m2·s2 + n2·s3)2 J.Vergara ICM2312
  • 52. ESTADO DE ESFUERZOS 3 Esfuerzos cortantes máximo y mínimo 1 2 F3 s1 s2 g F2 Derivando tnt2 con respecto a l, m, n y anulando F1 b a cada expresión, se logran los Esfuerzos Cortantes s3 máximo y mínimo y sus respectivos planos: tM1 = ½ (s2 – s3) tM2 = ½ (s1 – s3) tM3 = ½ (s1 – s2) s3 s3 s3 3 3 3 2 s1 2 s1 2 s1 1 1 1 s2 s2 s2 s2 s2 s2 s1 s1 s1 s3 s3 s3 J.Vergara ICM2312
  • 53. ESTADO DE ESFUERZOS Z Esfuerzos 3D a 2D dZ Y X AY sX tYX tXY sY Aplicación general a 2D: sZ, tXZ , tYZ = 0 g FY AX FX a b AZ sP - sP·(sX + sY + sZ) + sP·(sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2 - t2 - t2 ) 3 2 XY XZ YZ - (sX·sY·sZ + 2tXY tYZ tXZ - sX·t2 - sY·t2 - sZ·t2 ) = 0 YZ XZ XY sP - sP·(sX + sY) + sP·(sX·sY - t2 ) = 0 3 2 XY sP·(sP - sP·(sX + sY) + (sX·sY - tXY)) = 0 2 2 s +s sX-sY 2 sP1 = X 2 Y + + t2XY 2 a s2 + b s + c = 0  s = -½ b ½ b2 – 4ac Raíces sP2 = 0 s +s sX-sY 2 sP3 = X 2 Y - + t2XY 2 J.Vergara ICM2312
  • 54. CÍRCULO DE MOHR Esfuerzos Representación gráfica de las ecuaciones de la teoría de esfuerzos (muy útil para 2D que puede extenderse a 3D). Para un elemento del cuerpo, el eje de las abcisas indica el nivel de esfuerzo normal (sn) y el de las ordenadas señala el esfuerzo cortante (tnt). El estado de esfuerzo del punto se representa por un par, opuesto en el círculo, en un plano definido por el ángulo doble entre el plano y el eje X, en sentido anti-reloj. J.Vergara ICM2312
  • 55. CÍRCULO DE MOHR Y Esfuerzos sY ½(sX-sY) H tYX X tnt t s tXY (sY, tYX) sX sX H tXY V sY tYX f Método del sY doble ángulo C 2f sn tXY V ½(sX+sY) (sX, tXY) sX J.Vergara ICM2312
  • 56. CÍRCULO DE MOHR Y Esfuerzos sY ½(sX-sY) H tYX X tnt t s tXY (sY, tYX) sX sX tMAX H tXY V sY tYX f sX-sY 2 + tXY2 sY Método del 2 doble ángulo sP2 sP1 C 2fP sn t 2f tXY F tMIN V ½(sX+sY) (sX, tXY) sX s J.Vergara ICM2312
  • 57. CÍRCULO DE MOHR Y Esfuerzos sY tYX X tnt Ft tXY sX sX tXY tYX (sY,tYX) fP sY Método del Pivote sP2 fP sP1 C 2fP sn fP2 (sX,tXY) fP1 ft J.Vergara ICM2312
  • 58. CÍRCULO DE MOHR Esfuerzos Y sY s X tnt sX t sX tXY sX t s sX sY A B C D E F tYX tXY sX t s sX sY tYX sY sn sY tXY sY sX t s sX tXY tYX s sX t sX sX t s sX sY tYX sY J.Vergara ICM2312
  • 59. CÍRCULO DE MOHR Esfuerzos Y H Círculo de Mohr 1D: Referencia (criterios) X tnt s t s sX tMAX X V f 2f t sP2 sP1 Eje Y C Eje X sn tMIN ½sX s sX J.Vergara ICM2312
  • 60. CÍRCULO DE MOHR Z Esfuerzos X Y tYX tXY sX sY Círculo de Mohr: ¡Son “3D”!, como sigue: sY tnt sX tXY tYX a) sP3 sP2 sP1 sn Z Y X s2 s1 s1 s2 J.Vergara ICM2312
  • 61. CÍRCULO DE MOHR Z sZ Esfuerzos X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Círculo de Mohr: ¡Son “3D”!, como sigue: tYZ tXZ tXZ tYX sY tnt tXY sX tYX tXY b) sZ sP2 sP1 sP3 sP3 sP2 sP1 sn Z s2 Y X s1 s1 s2 J.Vergara ICM2312
  • 62. CÍRCULO DE MOHR Esfuerzos Círculo de Mohr General en 3D: tnt tMAX ½(s1-s3) tM2 sP3 sP2 sP1 C sn tM1 ½(s2-s3) ½(s1-s2) tM3 ½(s2+s3) ½(s1+s3) ½(s1+s2) J.Vergara ICM2312
  • 63. ESFUERZOS EN FRACTURA Estado de Esfuerzo en Fractura sY tYZ sX Componentes de Y tYX X sZ tZX tXZ tZY esfuerzo adelante tXY Z tXY sZ de la grieta con un tZY tXZ tZX sX tZY tZX Sistema de Coor- X r denadas mixtas. Y sY  Cartesianas.  Cilíndricas. Z J.Vergara ICM2312
  • 64. ESFUERZOS EN FRACTURA Estado de Esfuerzo en Fractura: Modos. KI q q 3q sX = cos 1 - sen sen (2pr)½ 2 2 2 KI q q 3q sY = ½ cos 2 1 + sen 2 sen 2 (2pr) KI q q 3q tXY = ½ sen 2 cos 2 cos 2 (2pr) Modo I sZ = n (sX + sY) tXZ = tYZ = 0 Apertura J.Vergara ICM2312
  • 65. ESFUERZOS EN FRACTURA Estado de Esfuerzo en Fractura: Modos. KII q q 3q sX = sen 2 + cos cos (2pr)½ 2 2 2 KII q q 3q sY = ½ sen 2 cos 2 cos 2 (2pr) KII q q 3q tXY = cos 1 - sen sen (2pr)½ 2 2 2 Modo II sZ = n (sX + sY) tXZ = tYZ = 0 Corte en Plano J.Vergara ICM2312
  • 66. ESFUERZOS EN FRACTURA Estado de Esfuerzo en Fractura: Modos. KIII q tXY = sen (2pr)½ 2 KIII q tYZ = ½ cos 2 (2pr) tXY = 0 Modo III sX = sY = sZ = 0 Corte Fuera de Plano J.Vergara ICM2312
  • 67. CONCLUSIONES En la búsqueda de sistemas más seguros y a la vez económicos y competitivos, conviene antici- par el desempeño de sus componentes, a lo cual contribuye conocer el estado de esfuerzos. Una falla simple en un sistema simple puede oca- sionar un retraso en las operaciones y adelantar un proceso de matenimiento no programado que implica más costos sin ingresos. Una falla -simple o compleja- en un sistema que involucra vidas puede implicar efectos organiza- cionales más serios y permanentes. J.Vergara ICM2312
  • 68. CONCLUSIONES En efecto, una falla que involucre vidas humanas puede, aparte del posible y comprensible trauma de los ingenieros que participaron en su desarro- llo, costos inmensos en reparaciones materiales y sociales, batallas judiciales, terminar en forma abrupta un proyecto o una actividad empresarial. Ejemplos sobran, tanto en estructuras estáticas (ej. Puente Minte) como en plataformas móviles (i.e. De Havilland Comet, AA Vuelo 191, Titanic, Shuttles, etc.). Por esta razón, entre otras, el tra- bajo del ingeniero no debiera ser subestimado. J.Vergara ICM2312
  • 69. CONCLUSIONES Revisamos, en forma analítica y gráfica, el estado de esfuerzos en un componente. Luego veremos las deformaciones que resultan de los esfuerzos, que permitirá derivar relaciones entre esas dos variables, en diferentes dimensiones. Utilizando modelos de predicción de falla, defini- remos más adelante las teorías que nos permiten relacionar el estado de esfuerzos con el desem- peño de los materiales previamente caracteriza- dos mediante ensayos en ambiente controlado, complementando el proceso de diseño mecánico. J.Vergara ICM2312