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ApDefo ApDefo Presentation Transcript

  • DEFORMACIONES Y ESFUERZOS EN MATERIALES Julio Vergara Aimone ICM 2312
  • INTRODUCCION En las clases anteriores hemos visto los tipos de carga a las que se puede someter un elemento. Hemos revisado el estado de esfuerzo al cual se somete secciones relevantes de un componente mecánico al aplicarse fuerzas externas. Lo anterior –en todas las dimensiones posibles– nos permite determinar los esfuerzos principales y los planos en que estos ocurren, así como los esfuerzos cortantes y sus planos. Estos pueden obtenerse en forma analítica o gráficamente, por medio del círculo de Mohr. J.Vergara ICM2312
  • INTRODUCCIÓN Nos queda pendiente revisar las deformaciones que resultan de estos esfuerzos, lo que implicará derivar relaciones entre estos tipos de variables, en sus diferentes dimensiones. Con tales relaciones, y utilizando teorías de falla, se podrá determinar las formas en las cuales el proceso de diseño mecánico adopta la informa- ción que se obtiene de los ensayos de materiales en ambiente controlado, y lo asocia a un estado de esfuerzos multiaxial, y así poder dimensionar la geometría de los componentes. J.Vergara ICM2312 View slide
  • INTRODUCCIÓN Nos queda pendiente revisar las deformaciones que resultan de estos esfuerzos, lo que implicará derivar relaciones entre estos tipos de variables, en sus diferentes dimensiones. Con tales relaciones, y utilizando teorías de falla, se podrá determinar las formas en las cuales el proceso de diseño mecánico adopta la informa- ción que se obtiene de los ensayos de materiales en ambiente controlado, y lo asocia a un estado de esfuerzos multiaxial, y así poder dimensionar la geometría de los componentes. J.Vergara ICM2312 View slide
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte Vimos una estructura de enlaces simples: s s ao J.Vergara a ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte Supongamos la misma estructura, < rm > rm pero ahora con t: Si cede t, Si no cede t, vuelve 1 queda 2 3 3 3 2 2 2 t t 1 1 1 0 0 0 ao Plano de deslizamiento J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte El cristal se ha deslizado: experimen- < rm > rm tó deformación plástica (de 1 e.a.). Si cede t, Si cede t, Para materiales estructurales, se ha vuelve 1 queda 2 calculado el esfuerzo cortante para superar fuerzas de enlace de un pla- 3 3 no respecto a otro, e iniciar la d.p.: 2 2 tt = 7000-14000 MPa 1 1 Pero, experimentalmente: ¿? 0 0 te = 70 a 350 MPa J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte Lo explica la Teoría de Dislocaciones, < rm > rm desarrollada por Taylor, Orowan y Po- Si cede t, Si cede t, lanyi. En simple, una dislocación es vuelve 1 queda 2 un Defecto Lineal, visible en un E.M., que puede moverse en un cristal con 3 3 un bajo esfuerzo. 2 2 La deformación plástica ocurre por: a) deslizamiento (slip), b) maclaje 1 1 (twinning), c) cizalle en el borde de 0 0 grano y d) creep difusional. J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte El deslizamiento, en planos preferentes, es el mecanismo más común de deformación plástica. t Banda de deslizamiento (~100 espacios atómicos). En ciertos casos se escucha t J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte Las propiedades mecánicas clásicas (resistencia y ductilidad) dependen de la orientación cristalina. F Necesitamos algún modelo que señale el inicio de A la deformación plástica. Supongamos un cristal y n único con un plano de cizalle definido por y. SD l A FSD = F cos l ASP = ASP cosy tS = FSD = F cosy cosl ASP A SD = superficie de deslizamiento Factor Schmid F SP = superficie proyectada J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte Las propiedades mecánicas clásicas (resistencia y ductilidad) dependen de la orientación cristalina. F La influencia del esfuerzo normal no es tan rele- A vante para la deformación; sí lo es para fractura. y n SD l FN Fcosy sn = = ASP A/cosy ASP F sn = cos2y A F J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte El cristal único, al momento que inicia F la deformación plástica, tendrá una F A evolución similar a la figura . A En estructuras policristalinas, se po- y n SD l dría obtener algunas propiedades del factor de Schmid (1/M). ASP F tS = cosy cosl A F tS s= = = tS M F A cosy cosl F J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En respuesta a un esfuerzo de corte Nuestro interés es que no se genere una deformación irre- versible, confinándola dentro del rango elástico (< rm). Esto implica que el átomo vuelve a su posición original (1) y no se 3 3 produce el deslizamiento. 2 2 El diseño mecánico clásico se limi- ta a este rango, de modo de evitar 1 1 fallas (lo que aún deja algún margen antes de una falla catastrófica). 0 0 J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En un ensayo de laboratorio Sometimos a una tracción y medimos la elongación. F inicio de Una teoría general F kE fluencia es el deslizamiento l A F de dislocaciones F F (defectos lineales) A0 que facilitan el co- A0 l0 u rrimiento de planos F cristalinos. u F=0 F=0 l0 A0 J.Vergara F ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En un ensayo de laboratorio Pudimos relacionar el esfuerzo con la deformación. F F F F kE s= A0 E F F l A F F F A0 u Esta es la dimensión F que interera ahora  u u F=0 F=0 F=0 F=0 e= l0 l0 A0 J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En un ensayo de laboratorio El esfuerzo posibilita la falla de una pieza. La deformación también F implicará fallas en meca- s= A0 E nismos muy ajustados. F u lf - l0 s= e= = A0 l0 l0 Interesa limitarnos al área amarilla. Veremos que las teorías de falla clásicas se u limitan a ese campo. e= l0 J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En un ensayo de laboratorio Notamos que podemos tener un ensayo similar de torsión. t≈ Ft G ut s= F E u A0 ft A0 f yt ? y F et e  et e ? y  yt T T ? u  ut g ? f f  ft ? EG F g e J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN En el ensayo de laboratorio pasado Los puntos corresponden, aunque aún es elástico en c. t≈ Ft G ut s= F E u A0 ft A0 f yt y F et e T T g f t = G·g F s = E·e g e J.Vergara ICM2312
  • TEORÍA DE DEFORMACIÓN Hasta ahora hemos podido establecer esfuerzos debido a fuerzas de tensión y compresión, y en términos simples, los esfuerzos cortantes. Asimismo, se sabe la energía que puede absorber una pieza (elástico-resiliencia o último-tenacidad). En esta clase estableceremos las relaciones cons- titutivas que asocian los esfuerzos y las deforma- ciones, y estableceremos la relación entre E y G. Más adelante veremos los esfuerzos que producen la torsión y la flexión de ciertos componentes. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL El análisis de las deformaciones en diseño mecá- nico es importante por varias razones: Permite conocer el cambio dimensional que puede tolerar un componente sin trabar algún mecanis- mo en movimiento. Permite estimar, usando relaciones de esfuerzo vs deformación, los esfuerzos que estaría experimen- tando un componente. En la mayoría de los casos no es posible medir las cargas, sí las deformacio- nes y ello puede llevarnos a determinar las cargas reales, incluso en operación. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura: Z Teoría de Robert Hooke (S.XVII) Y Demuestra en forma experimental X que esta condición de tensión no produce distorsión angular, y la sY elongación en Y contrae en las s direcciones X y Z. Y Lo opuesto sucede en caso de dZ compresión uniaxial pura. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura: Z El cambio de longitud D(dY) en la dirección Y será: Y X dY D(dY) s D(dY) = sY E  eYY = dy = EY sY eYY es la deformación sY en la dirección Y (1er subíndice) debido a un esfuerzo en la di- dZ rección Y J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura: Z El cambio de longitud D(dY) en la dirección Y será: Y X dY D(dY) s D(dY) = sY E  eYY = dy = EY sY sX eXX = E sY s Luego eYY = Y E sZ dZ eZZ = E J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura: Z La contracción en las direccio- nes X e Z por el esfuerzo sY y X Y deformación en Y, se conoce como razón de Poisson (n): sY eXY = -neYY = -n sY sY E eZY = -neYY = -n sY E dZ J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: sZ Lo mismo sucede en las otras Z direcciones (X y Z). X Y Para pequeñas deformaciones sX se puede aplicar el principio de sY superposición: eX = eXX + eXY + eXZ s Y eY = eYX + eYY + eYZ sX dZ eZ = eZX + eZY + eZZ J.Vergara sZ ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Componentes de deformación por esfuerzo normal en X, Y, Z Dirección de la Esfuerzos que causa la deformación deformación sX sY sZ sX 1 s s eX = eXX + eXY + eXZ  e= = eX = eXY X – n·(sY + sZ) = -n Z s = -n Y eXZ XX E E + E + E s 1 sY s eY = eYX + eYY + eYZ  e= = -n Y = e X s= eYZ eYY Y – n·(sX + sZ) = -n Z YX E E + E + E eZ = eZX + eZY + eZZ  e= = -n ZsX 1 eZY Z – n·(sX + sY) = ZX e = +s = -n Y s eZZ + sZ E E E E J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Ecuaciones de Hooke: Caso Triaxial 1 E eX = s – n·(sY + sZ) sX = (1 + n)·eX + n·(eY + eZ) E X (1 + n)·(1 - 2n) 1 E eY = s – n·(sX + sZ) sY = (1 + n)·eY + n·(eX + eZ) E Y (1 + n)·(1 - 2n) 1 E eZ = s – n·(sX + sY) sZ = (1 + n)·eZ + n·(eX + eY) E Z (1 + n)·(1 - 2n) J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Ecuaciones de Hooke: Caso Biaxial (sZ = 0 ) 1 E eX = sX – n·sY sX = eX + n·eY E 1 - n2 1 E eY = sY – n·sX sY = eY + n·eX E 1 - n2 –n eZ = sX + sY sZ = 0 E J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Ecuaciones de Hooke: Comprobando el caso Uniaxial (sZ, sY = 0 ) 1 E·eX eX = sX sX = 1 - n2 = E·eX E 1 - n2 –n E eY = sX sY = 0 =0 E 1 - n2 –n eZ = sX sZ = 0 E J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Ecuaciones de Hooke: Para deformaciones principales (e1, e2, e3), se usa s1, s2, s3. Caso Triaxial 1 E e1 = s – n·(s2 + s3) s1 = (1 + n)·e1 + n·(e2 + e3) E 1 (1 + n)·(1 - 2n) 1 E e2 = s – n·(s1 + s3) s2 = (1 + n)·e2 + n·(e1 + e3) E 2 (1 + n)·(1 - 2n) 1 E e3 = s – n·(s1 + s2) s3 = (1 + n)·e3 + n·(e1 + e2) E 3 (1 + n)·(1 - 2n) J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Ecuaciones de Hooke: Para deformaciones principales (e1, e2, e3), se usa s1, s2, s3. Caso Biaxial (s3 = 0 ) 1 E e1 = s1 – n·s2 s1 = e1 + n·e2 E 1 - n2 1 E e2 = s2 – n·s1 s2 = e2 + n·e1 E 1 - n2 –n e3 = s1 + s2 s3 = 0 E J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial: Ecuaciones de Hooke: Para deformaciones principales (e1, e2, e3), se usa s1, s2, s3. Caso Uniaxial (s2, s3 = 0 ) 1 E·e1 e1 = s1 s1 = 1 - n2 = E·e1 E 1 - n2 –n E e2 = s1 s2 = 0 =0 E 1 - n2 –n e3 = s1 s3 = 0 E J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Deformaciones Elásticas X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Estado general de deformaciones: tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY vX = eXX eX + eXY eY + eXZ eZ sZ vY = eYX eX + eXZeY + eYZ eZ vZ = eZX eX + eZY eY + eZZeZ eXX eXY eXZ V = eYX eYY eYZ V = eij ej Tensor de deformaciones eZX eZY eZZ J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Deformaciones Elásticas X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY En este caso: l·(e - eXX) - m·eYX - n·eXZ = 0 tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY l = cos a - l·eXY + m·(e - eYY) - n·eZY = 0 sZ m = cos b n = cos g - l·tXZ - m·eYZ + n·(e - eZZ) = 0 Cosenos Directores Si e es una deformación principal, debe satisfacer las ecua- ciones, que no son independendientes pues l, m, y n se vin- culan por la ecuación de compatibilidad : l2 + m2 + n2 = 1 Esta señala que los cosenos directores no pueden cero en forma simultánea y la definición de dos determina el tercero. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Deformaciones Elásticas X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Como las ecuaciones no son independientes, tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY el determinante de coeficientes debe anularse. sZ (e - eXX) - eYX - eZX Ecuación - eXY (e - eYY) - eYZ = 0 Cúbica General de Defo 3D - eXZ - eZY (e - eZZ) e3 - e2·(eXX +eYY +eZZ)+e·(eXX·eYY + eYY·eZZ +eXX·eZZ -eXY -e2 -eYZ) 2 XZ 2 -(eXX·eYY·eZZ + 2eXY eYZ eXZ - eXX·e2 - eYY·eXZ - eZZ·eXY) = 0 YZ 2 2 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Deformaciones Elásticas X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY De la Ecuación Cúbica General de Deformación tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY 3D, al menos una solución debe ser real. Por sZ realidad física todas son reales. Las deformaciones principales son independientes de la orien- tación del sistema de coordenadas. Luego, los coeficientes de la Ecuación Cúbica General de Deformación 3D son invariantes. Inv. 1: (eXX + eYY + eZZ) = k1 Inv. 2: (eXX·eYY + eYY·eZZ + eXX·eZZ - eXY - eXZ - eYZ) = k2 2 2 2 Inv. 3: (eXX·eYY·eZZ + 2eXY eXZ eXZ -eXX·eYZ -eYY·eXZ -eZZ·eXY) = k3 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Deformaciones Elásticas X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Las tres soluciones de la Ecuación Cúbica tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY General de Deformación 3D deben satisfacer: sZ l·(e - eXX) - m·eYX - n·eXZ = 0 - l·eXY + m·(e - eYY) - n·eZY = 0 - l·eXZ - m·eYZ + n·(e - eZZ) = 0 además: l2 + m2 + n2 = 1 Y que determinarán los cosenos directores que definen los planos principales; que son mutuamente perpendiculares. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones de Rotación Elástica Todo cuerpo elástico P del cubo (dX,dY,dZ) se deforma –lineal e se desplaza a P´, con y angular g– debido a f = ueX+veY+weZ , de la acción de fuerzas: componentes u,v,w. P´ Al mismo tiempo que dZ f es estirado, las esqui- nas rotan. P Z r w Y X J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones de Rotación Elástica Todo cuerpo elástico ∂v ∂w dZ dY dY´-dY ∂Y ∂v se deforma –lineal e ∂Z eY = = = dY dY ∂Y y angular g– debido a ∂w la acción de fuerzas: dY g3 dZ ∂Y ∂w dZ´ g2 = = ∂v dY+ dY ∂Y P´ g2 ∂w ∂Y dZ dY f ∂Y ∂v dZ ∂Z ∂v g3 = = ∂w dZ+ dZ ∂Z P Z r ∂Z w ∂w ∂v gYZ = g2 + g3 = + X Y ∂Y ∂Z J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones de Rotación Elástica Todo cuerpo elástico ∂w ∂w dZ dZ dZ´-dZ ∂Z ∂w se deforma –lineal e ∂Z eZ = = = dZ dZ ∂Z y angular g– debido a g4 ∂u la acción de fuerzas: dZ ∂Z ∂u dZ´ g4 = = ∂w dZ+ dZ ∂Z g5 P´ ∂Y dZ f ∂w dX ∂w ∂X ∂w ∂X dX g5 = = ∂u dX+ dX ∂X P Z r ∂X w ∂u ∂w gXZ = g4 + g5 = + X Y ∂Z ∂X J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones de Rotación Elástica Todo cuerpo elástico ∂u dX dX´-dX ∂X ∂u se deforma –lineal e eX = = = dX dX ∂X y angular g– debido a ∂v la acción de fuerzas: dX ∂X ∂v g6 = = ∂u dX+ dX ∂X P´ ∂X dZ f ∂u g6 g1 dY ∂Y ∂u g1 = = ∂v dY+ dY ∂Y P Z r ∂Y w ∂u ∂v gXY = g1 + g6 = + X Y ∂Y ∂X J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Relaciones de Rotación Elástica Todo cuerpo elástico ∂w dZ eXY = ½ (eX + eY) se deforma –lineal e ∂Z ∂u ∂v =½( + ) y angular g– debido a g4 ∂X ∂Y la acción de fuerzas: = ½ gXY g3 dZ dZ´ eXZ = ½ (eX + eZ) g5 P´ g2 ∂w ∂u ∂w dZ f ∂Y dY =½( + ) g6 ∂X ∂Z g1 ∂w dX = ½ gXZ P ∂X eYZ = ½ (eY + eZ) Z r ∂v ∂w w =½( + ) Y ∂Y ∂Z X = ½ gYZ J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Relaciones de Rotación Elástica X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY Con las relaciones de rotación elástica también tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY es posible derivar la Ecuación Cúbica General sZ de Deformación sustituyendo las deformacio- nes cortantes por los ángulos respectivos, y con ellos encontrar las deformaciones en los planos principales (eP). Ecuación Cúbica General de Defo 3D En función de g 2 2 2 e3 - e2·(eXX +eYY +eZZ)+e·(eXX·eYY + eYY·eZZ +eXX·eZZ -¼(gXY +gXZ +gYZ)) 2 2 2 -(eXX·eYY·eZZ +¼(gXY gYZ gXZ - eXX·gYZ - eYY·gXZ - eZZ·gXY)) = 0 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN LINEAL Z sZ Relaciones de Rotación Elástica X Y tXY tYX sX tYZ sY tYX tXY De igual modo, con las relaciones de rotación tXZ tXZ sY tYZ tXY tYX sX tYX tXY elástica se pueden expresar los coeficientes o sZ invariantes de la Ecuación Cúbica General de Deformación con los ángulos de rotación (g). Invariantes de la Ecuación Cúbica General de Deformación. En función de g: Inv. 1: (eXX + eYY + eZZ) = k1 Inv. 2: (eXX·eYY + eYY·eZZ + eXX·eZZ - ¼(gXY - gXZ - gYZ)) = k2 2 2 2 Inv. 3: (eXX·eYY·eZZ + ¼(gXY gYZ gXZ -eXX·gYZ -eYY·gXZ - eZZ·gXY)) = k3 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Así como los esfuerzos normales se relacionan con las defomaciones elásticas por medio de dos constantes de materiales (E,n), esperamos establecer alguna relación entre los esfuerzos cortantes y las defomaciones cortantes por me- dio de similares constantes. Sabemos que la deformación cortante gXY es la variación angular en un plano XY respecto al elemento original sin deformación, la que es producida por el esfuerzo cortante tXY : a . J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Para desarrollar las relaciones entre G vs E, se iniciará el análisis en el plano XY. La aplicación de torque T T en el cilindro de la figura Z produce una rotación, en Y este caso en plano XY. X Los resultados pueden T extenderse a los demás g planos o a otras formas f de rotación. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G De la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos 3D, para el caso de esfuerzo cortante puro en el plano XY, tenemos: sP - sP·(sX + sY + sZ) + sP·(sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2 - tXZ - tYZ) 3 2 XY 2 2 - (sX·sY·sZ + 2tXY tYZ tXZ - sX·t2 - sY·tXZ - sZ·tXY) = 0 YZ 2 2 3 2 sP - sP·tXY = 0 sP1 = tXY 2 2 sP ·(sP - tXY) = 0 Raíces sP2 = 0 sP3 = - tXY J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Las 3 soluciones de la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos sP1 = tXY sP2 = 0 sP3 = - tXY Deben satisfacer cada una: l·(sP - sX) - m·tYX - n·tXZ = 0  l·sP - m·tYX = 0 - l·tXY + m·(sP - sY) - n·tZY = 0  - l·tXY + m·sP = 0 - l·tXZ - m·tYZ + n·(sP - sZ) = 0  n·sP = 0 l2 + m2 + n2 = 1  l2 + m2 + n2 = 1 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Dado que sP1 = tYX ≠ 0, entonces n1 = 0. Dado que l1·sP1 = m1·tYX, entonces l1 = m1. Dado que l21 + m21 + n21 = 1, entonces l1 = m1 = ± ½ . l1·sP1 - m1·tYX = 0 - l1·tXY + m1·sP1 = 0 n1·sP1 = 0 l12 + m12 + n12 = 1 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Dado que sP2 = 0, y tYX ≠ 0  l2·sP2 = -m2·tYX , m2 = 0. Dado que l2·sP2 = -m2·tYX, entonces l2 = 0. Dado que l22 + m22 + n22 = 1, entonces n2 = ± 1. l2·sP2 - m2·tYX = 0 - l2·tXY + m2·sP2 = 0 n2·sP2 = 0 l22 + m22 + n22 = 1 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Dado que sP3 = -tYX ≠ 0, entonces n3 = 0. Dado que l3·sP3 = -m3·tYX, entonces l3 = -m3. Dado que l23 + m23 + n23 = 1, entonces l3 = ± ½ y m3 = ½. ± l3·sP3 - m3·tYX = 0 - l3·tXY + m3·sP3 = 0 n3·sP3 = 0 l32 + m32 + n32 = 1 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Por lo tanto, se verifica que un torque puro (i.e. tXY) induce esfuerzos principales: sP1 = tXY Tensión Raíces sP2 = 0 sP3 = - tXY Compresión En una dirección a 45° del plano X-Y J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Un elemento sujeto a un esfuerzo cortante puro tXY, encuentra esfuerzos principales (de magnitud tXY y -tXY) en planos a 45° de los ejes x-y. En este caso, está a 45° en el plano ppal 3-1. 2 s3 c tXY 1 tXY tXY 3 c´ s1 tXY d´ d b b´ tXY s1 o tXY tXY a´ tXY s1 s3 a 1 s3 3 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR c Módulo de Rigidez G c´ Juntando los vértices b-b´ de los rombos: o´ o b b´ p gXY oa·(1 - e3) 1 - e3 45° o´a´ gXY = tan ( 4 - 2 ) = = (oa=ob) a´ o´b´ ob·(1 + e1) 1 + e1 a 2 Por Hooke: c tXY tXY Como s1 = -s3 entonces e1 = -e3 c´ d´ d b b´ Por trigonometría: o p gXY gXY a´ p gXY tan 4 - tan 2 1- 2 tXY tXY s1 tan ( 4 - 2 ) = p gXY = a 1 + tan 4 tan 2 1 + g2 XY 1 s3 3 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR c Módulo de Rigidez G c´ Luego: gXY b b´ 1- 2 1 - e1 o´ o = 45° gXY 1 + g2 XY 1 + e1 a´ a 2 Por lo tanto: gXY = 2·e1 c tXY tXY c´ 1 Hooke: e1 = s1 - n·(s2 + s3) E d´ d o b b´ 2 Entonces: gXY = s - n·(s2 + s3) tXY a´ tXY s1 E 1 a 1 s3 3 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR c Módulo de Rigidez G c´ Como s1 = -s3 y s2 = 0 o´ o b b´ 45° 2 2 (1 + n) gXY gXY = s - n·(s2 + s3) = s1 a´ E 1 E a 2 En este caso s1 = tXY c tXY tXY 2 (1 + n) tXY c´ gXY = tXY = E G d´ d b b´ o a´ G se conoce como Módulo de Rigidez tXY tXY s1 a o Módulo Cortante de Elasticidad. 1 s3 3 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G Equivalente torsional de E E G= 2 (1 + n) Ft G ut F E u t≈ ft s= A0 A0 f yt y F et e T T g f t = G·g F s = E·e g e J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Módulo de Rigidez G t t t Por analogía a este desarrollo: gXY = G gYZ = G gXZ = G XY YZ XZ Definiendo deformaciones cortantes principales gi en función de esfuerzos principales si y de deformaciones principales ei: t1 = ± ½ (s2 – s3) t2 = ± ½ (s1 – s3) t3 = ± ½ (s1 – s2) 3 s3 3 s3 3 s3 s1 s1 s1 2 2 2 1 s2 1 s2 1 s2 s2 s2 s2 s1 s1 s1 s3 s3 s3 t1 s – s3 t s – s3 t s – s2 g1 = ± =± 2 g2 = ± 2 = ± 1 g3 = ± 3 = ± 1 G 2G G 2G G 2G = e2 – e3 = e1 – e3 = e1 – e2 J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Esfuerzos y Deformaciones principales 1 1 e1 = s1 – n·(s2 + s3) g1 = ± (s – s3) g 1 = e2 – e3 E 2G 2 1 1 e2 = s2 – n·(s1 + s3) g2 = ± (s – s3) g 2 = e1 – e3 E 2G 1 1 1 e3 = s3 – n·(s1 + s2) g3 = ± (s – s2) g 3 = e1 – e2 E 2G 1 Es importante reconocer que las deformaciones normales son independientes de las deformaciones cortantes y vice versa. Por ende, el estado triaxial de deformación resultan- te se logra superponiendo ambos tipos de deformación. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Ley de Hooke tridimensional Dirección Esfuerzos que causa la deformación de la defo. sX sY sZ tXY tYZ tZX sX -n sY -n sZ eX E E E 0 0 0 eY -n sX sY -n sZ 0 0 0 E E E eZ -n sX -n sY sZ 0 0 0 E E E tXY gXY 0 0 0 G 0 0 tYZ gYZ 0 0 0 0 G 0 tZX gZX 0 0 0 0 0 G J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Ley de Hooke tridimensional En el caso de materiales ortotrópicos (propiedades disímiles en direcciones opuestas), es posible utilizar relaciones simi- lares a las que hemos visto acá, con algunas variantes. En principio, se podría reemplazar E por EX, EY, EZ en cada caso, G por GXY, GYZ, GZX y n por nXY, nYZ, nZX. Además, se puede usar herramientas gráficas, i.e. círculo de Mohr. Recordemos que este círculo representa la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos (en dos planos) y en este caso tenemos una similar referida a deformaciones. J.Vergara ICM2312
  • DEFORMACIÓN ANGULAR Y Círculo de Mohr para deformación eY ½(eX-eY) H gYX X g/2 t s gXY (eY, gYX/2) eX eX H gXY V eY gYX f eY Usamos: C en en por sn 2f g/2 por tnt gXY/2 V ½(eX+eY) (eX, gXY/2) eX J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Medición de la Deformación No es fácil medir los esfuerzos en una estructura. Como una fuerza produce un desplazamiento, se puede medir el esfuerzo (al ser conocida A0) y la deformación, con la ayuda de “extensómetros” (entre dos puntos), i.e. para ensayos de tracción, fractura y fatiga, incluso en diferentes ambientes. REF: Catálogo Material testing Systems J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Medición de la Deformación El uso de rosetas de deformación es más simple y barato para puntos de medición de difícil acceso y para estructuras complejas. También se aprecia en aplicaciones domésticas, i.e. baño y cocina: Ref: www.michsci.com/ J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN ¿Por qué extensómetros o rosetas? La medición directa de la deformación de una pro- beta a partir del desplazamiento entre las morza- zas (dividido por la longitud inicial del tramo bajo prueba) suele ser imprecisa, con formas no linea- les como la “S” siguiente: Deformación vía s extensometría MPa Deformación vía desplazamiento E ≈ 120 GPa E ≈ 80 GPa Grip slip Duraluminio (ref: U. of Cambridge) e J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Medición de la Deformación La roseta está construida de un set de calibres de deformación (galgas entensiométricas), con una grilla de conductores cuya resistencia varía si crece. La forma de la galga es la siguiente: Guías el Conectores Grilla Base Resistencia eléctrica J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Medición de la Deformación Implica medir el cambio de resistencia (R) por la elongación de un metal conductor: r : resistividad Sin tracción rl R= A l : longitud metal A : área del conductor A, l, r, r 1 dR el = S R Con tracción r l rl dR = A dl + A dr – A2 dA dR dl dr – dA A2, l2, r2, r2 = + R l r A J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Medición de la Deformación Implica determinar un coeficiente del sensor: dl dA = el = (er + 1)2 – 1 = er + 2er ≈ 2er = -2nel 2 l A dR dr = (1+2n)el + R r 1 dR dr (calibración S = = (1+2n) + el R elr del sensor) 1 dR 1 dR el = S R ≈ 2 R J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Teoría de Rosetas de Deformación Deformación en 2D: eZ, eXZ , eYZ = 0 y eXY = gXY 2 e3 - e2·(eX + eY + eZ) + e·(eX·eY + eY·eZ + eX·eZ - e2XY - e2XZ - e2YZ) - (eX·eY·eZ +2eXY eXZ eXZ - eX·e2YZ - eY·e2XZ - eZ·e2XY) = 0 e3 - s2·(eX + eY) + e·(eX·eY - e2XY) = 0 eX+eY eX-eY 2 gXY 2 eP1 = 2 + + 2 2 e·(e2 - e·(eX + eY) + (eX·eY - e2XY)) = 0 eP2 = 0 eX+eY eX-eY 2 gXY 2 eP3 = 2 - + 2 2 Luego, debemos conocer: eX, eY y gXY. J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Teoría de Rosetas de Deformación Cada calibre de deformación da información en una sola dimensión. Luego, para determinar las deformaciones eX y eY se debe usar dos calibres. No hay galgas capaces de medir la deformación angular gXY, pero un arreglo de 3 unidades (roseta) en diferentes orientaciones, en un mismo punto permite inferir tal deformación.. Recordando que cualquier deformación (en 2D) dependerá de los componentes eX, eY y gXY. Si se rotan, tendremos 3 ecuaciones y 3 incógnitas. J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Teoría de Rosetas de Deformación La roseta está construida de tres o más calibres de deformación, que se adhiere al material que está sometido a las cargas: (eX+eY) (eX-eY) gXY eA = + cos2fA+ sen2fA 2 2 2 (eX+eY) (eX-eY) gXY Y eB = + cos2fB+ sen2fB fC fB 2 2 2 fA X (eX+eY) (eX-eY) g eC = + cos2fC+ XY sen2fC 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Teoría de Rosetas de Deformación La roseta puede tener orientaciones que simplifi- can la obtención de los planos principales. D 45°: (eX+eY) (eX-eY) gXY eA = + cos0° + sen0° 2 2 2 (eX+eY) (eX-eY) gXY Y eB = + cos90° + sen90° 90° 2 2 2 45° X (eX+eY) (eX-eY) g eC = + cos180°+ XY sen180° 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Teoría de Rosetas de Deformación La roseta puede tener orientaciones que simplifi- can la obtención de los planos principales. D 60°: (eX+eY) (eX-eY) gXY eA = + cos0° + sen0° 2 2 2 (eX+eY) (eX-eY) gXY Y eB = + cos120°+ sen120° 120° 2 2 2 60° X (eX+eY) (eX-eY) g eC = + cos240°+ XY sen240° 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Teoría de Rosetas de Deformación La roseta puede tener orientaciones que simplifi- can la obtención de los planos principales. D 120°: (eX+eY) (eX-eY) gXY eA = + cos0° + sen0° Y 120° 2 2 2 (eX+eY) (eX-eY) gXY eB = + cos240°+ sen240° X 2 2 2 240° (eX+eY) (eX-eY) g eC = + cos480°+ XY sen480° 2 2 2 J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Rosetas Comunes La roseta puede tener orientaciones que simplifi- can la obtención de los planos principales. B 120° Y Y Y 45° 60° 120° 240° 90° 120° X 45° X 60° X C eX+eY eX-eY eX+eY + eX-eY eX = eA eX+eY + eX-eY e = e eA = eX = eA eA = eA = 2 + 2 X A 2 2 2 2 eX+eY gXY eX - 3eY gXY 2eB -2eC eX 3eY gXY -2eB +2eC eB = + gXY = 2eB-eA-eC eB = 4 4 + 4 3 gXY = eB = + - 4 4 4 3 gXY = 2 2 3 3 eX+eY eX-eY eX 3eY gXY 2(e +e )-e e 3e g 2(e +e )-e eC = - eY = eC eC = - - 3 eY = B C A eC = X + Y+ XY 3 eY = B C A 2 2 4 4 4 3 4 4 4 3 J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN base Roseta pegamento Aplicación de Rosetas Las rosetas modernas son hechas de materiales que muestran respuesta a la deformación y baja sensibilidad a la temperatura (bajo coeficiente de expansión). Se espera que el conductor y la placa aislante tengan similar comportamiento. Los más comunes son: Constantan, Karma y NichromeV. Las primeras rosetas se apernaban. Hoy se usan pegamentos aislantes (basados en cianoacrílicos (CA) y en resinas adhesivas). J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Ejemplos de Rosetas La medida de la galga es pequeña (unidades de 10-6) y adimensional, por lo que se requiere un circuito para convertir el cambio de resistencia en un voltaje (puente Wheatstone u otros). J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Lectura de Rosetas El cambio de resistencia en la VOUT galga es pequeño, por lo cual se requiere de excitación exter- na y de un indicador de voltaje. El puente de Wheatstone es un método amplificador simple, en VIN el que una de las resistencias R R –R R es la galga. Otras formas impli- VOUT = 1 2 2 4 VIN (R1+R2)–(R2+R4) can puentes de 3 y 2 alambres, con galgas por resistencias. J.Vergara ICM2312
  • ROSETAS DE DEFORMACIÓN Rosetas de Deformación a Distancia La medición puede ser realizada a distancia, así como la gestión de los sistemas bajo medición, por ejemplo, este riel distante de las estaciones de mantenimiento. www.isirail.com J.Vergara ICM2312
  • CONCLUSIONES Hemos revisado las deformaciones que resultan de los esfuerzos, lo que vemos a través de rela- ciones entre las diferentes variables, en todas sus dimensiones. Hemos asociado todas las derfomaciones y rota- ciones con los esfuerzos normales y cortantes a través de las relaciones de Hooke. Vimos que no es posible medir los esfuerzos en forma directa y que las deformaciones nos dan señales de lo que ocurre en un componente, por ejemplo a través de galgas extensiométricas. J.Vergara ICM2312
  • CONCLUSIONES Si conocemos cómo actúan las cargas mecánicas en un componente, y que se pueden superponer dentro del límite elástico, estaremos en condicio- nes de dimensionar cualquier componente mecá- nico a través de su estado de esfuerzos multiaxial. Con estas relaciones, y utilizando teorías de falla, estamos en condiciones de determinar la técnica mediante la cual el proceso de diseño mecánico usa la información de los ensayos de materiales, en ambiente controlado, los cuales, asociados al estado de esfuerzos, nos definen la geometría. J.Vergara ICM2312