Aplicaciones de la Trigonometría
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Aplicaciones de la Trigonometría

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Aplicaciones de la Trigonometría a la resolución de problemas.

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Aplicaciones de la Trigonometría Presentation Transcript

  • 1. Aplicaciones de la Trigonometr´a ı Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez e a Departamento de Matem´ticas a IES Bajo Guadalquivir Lebrija - Sevilla dpto mates bg@terra.es 23 de marzo de 2007 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 1 / 12
  • 2. Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 1 Ejemplos Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 2 / 12
  • 3. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia Ejemplo Hallar el ´rea de un oct´gono regular inscrito en una circunferencia de 8 m a o de radio. Soluci´n.- Uniendo el centro con los v´rtices, el oct´gono queda dividido o e o en ocho tri´ngulos is´sceles iguales. a o Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 3 / 12
  • 4. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia Ejemplo Hallar el ´rea de un oct´gono regular inscrito en una circunferencia de 8 m a o de radio. Soluci´n.- Uniendo el centro con los v´rtices, el oct´gono queda dividido o e o en ocho tri´ngulos is´sceles iguales. a o Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 3 / 12
  • 5. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es a e a decir: 360o C= = 45o 8 Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces a o a el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos a a calcular la base y altura de este tri´ngulo. a Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C o e coincidir´ con la mediana y la bisectriz. a Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos en dos mitades. Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 4 / 12
  • 6. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es a e a decir: 360o C= = 45o 8 Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces a o a el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos a a calcular la base y altura de este tri´ngulo. a Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C o e coincidir´ con la mediana y la bisectriz. a Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos en dos mitades. Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 4 / 12
  • 7. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es a e a decir: 360o C= = 45o 8 Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces a o a el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos a a calcular la base y altura de este tri´ngulo. a Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C o e coincidir´ con la mediana y la bisectriz. a Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos en dos mitades. Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 4 / 12
  • 8. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es a e a decir: 360o C= = 45o 8 Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces a o a el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos a a calcular la base y altura de este tri´ngulo. a Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C o e coincidir´ con la mediana y la bisectriz. a Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos en dos mitades. Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 4 / 12
  • 9. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M. a a ¿Por qu´?e 45o b= = 22,5o = 22o 30 2 AB MB = 2 MB sen b = sen 22o 30 = ⇒ 8 ⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061 h cos b = cos 22o 30 = ⇒ 8 ⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391 Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es o S = 181,02 m2 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 5 / 12
  • 10. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M. a a ¿Por qu´?e 45o b= = 22,5o = 22o 30 2 AB MB = 2 MB sen b = sen 22o 30 = ⇒ 8 ⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061 h cos b = cos 22o 30 = ⇒ 8 ⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391 Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es o S = 181,02 m2 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 5 / 12
  • 11. Pol´ ıgono regular inscrito en circunferencia El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M. a a ¿Por qu´?e 45o b= = 22,5o = 22o 30 2 AB MB = 2 MB sen b = sen 22o 30 = ⇒ 8 ⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061 h cos b = cos 22o 30 = ⇒ 8 ⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391 Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es o S = 181,02 m2 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 5 / 12
  • 12. ´ ´ Metodo de la observacion directa Ejemplo Para determinar la altura de un monumento, a 50 m de distancia de su base se dispone un teodolito, y desde el mismo se lanza una visual al punto m´s alto del monumento, observ´ndose que forma un ´ngulo de a a a 38 o 32 con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo,calcular la altura del monumento. Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 6 / 12
  • 13. ´ ´ Metodo de la observacion directa Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento o BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo a rect´ngulo BAC se tiene: a BA BA tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819 AC 50 Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es h = 41,52 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 7 / 12
  • 14. ´ ´ Metodo de la observacion directa Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento o BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo a rect´ngulo BAC se tiene: a BA BA tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819 AC 50 Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es h = 41,52 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 7 / 12
  • 15. ´ ´ Metodo de la observacion directa Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento o BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo a rect´ngulo BAC se tiene: a BA BA tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819 AC 50 Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es h = 41,52 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 7 / 12
  • 16. ´ ´ Metodo de la doble observacion Ejemplo Con objeto de determinar la altura de un ´rbol situado en un lugar inaccesible, se a dispone un teodolito en un punto accesible y desde el mismo se lanza una visual al punto m´s alto del ´rbol, obteni´ndose un ´ngulo a a e a de inclinaci´n de 22 o o 47 . A continuaci´n, se o adelanta el teodolito una distancia de 10 metros en direcci´n al ´rbol y se vuelve a o a lanzar otra visual al mismo punto, obteni´ndose, en este caso, un ´ngulo de e a 31 o 19 . Calcular la altura del ´rbol, a considerando que el anteojo del teodolito mide 1 50 m. Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 8 / 12
  • 17. ´ ´ Metodo de la doble observacion Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito, o a a es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD: a BA BA tg β = tg 31o 19 = = AD d Por otra parte, en el tri´ngulo BAC : a BA tg α = tg 22o 47 = d + 10 Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: x  tg 31o 19 =  d   x tg 22o 47  =   d + 10 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 9 / 12
  • 18. ´ ´ Metodo de la doble observacion Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito, o a a es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD: a BA BA tg β = tg 31o 19 = = AD d Por otra parte, en el tri´ngulo BAC : a BA tg α = tg 22o 47 = d + 10 Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: x  tg 31o 19 =  d   x tg 22o 47  =   d + 10 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 9 / 12
  • 19. ´ ´ Metodo de la doble observacion Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito, o a a es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD: a BA BA tg β = tg 31o 19 = = AD d Por otra parte, en el tri´ngulo BAC : a BA tg α = tg 22o 47 = d + 10 Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: x  tg 31o 19 =  d   x tg 22o 47  =   d + 10 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 9 / 12
  • 20. ´ ´ Metodo de la doble observacion Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito, o a a es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD: a BA BA tg β = tg 31o 19 = = AD d Por otra parte, en el tri´ngulo BAC : a BA tg α = tg 22o 47 = d + 10 Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: x  tg 31o 19 =  d   x tg 22o 47  =   d + 10 Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 9 / 12
  • 21. ´ ´ Metodo de la doble observacion Equivalente a x  0, 61 =  d   x  0, 42 =   d + 10 Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas e o ecuaciones: 0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11 Por tanto, la altura del ´rbol es a BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 10 / 12
  • 22. ´ ´ Metodo de la doble observacion Equivalente a x  0, 61 =  d   x  0, 42 =   d + 10 Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas e o ecuaciones: 0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11 Por tanto, la altura del ´rbol es a BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 10 / 12
  • 23. ´ ´ Metodo de la doble observacion Equivalente a x  0, 61 =  d   x  0, 42 =   d + 10 Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas e o ecuaciones: 0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11 Por tanto, la altura del ´rbol es a BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 10 / 12
  • 24. Estrategia de la altura Ejemplo Una monta˜a de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se ve n la cima C de la monta˜a con un ´ngulo de elevaci´n de 24o , y desde B n a o con 36o . ¿Cu´l es la distancia entre los dos pueblos? a Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 11 / 12
  • 25. Estrategia de la altura Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es a a rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En a e estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n a a rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC : a a h 650 650 tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92 a a tg 24o Por otra parte, en el tri´ngulo CHB: a h 650 650 tg 36o = = ⇒b= = 894, 65 b b tg 36o Se deduce, que la distancia entre los pueblos es a + b = 2354, 57 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 12 / 12
  • 26. Estrategia de la altura Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es a a rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En a e estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n a a rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC : a a h 650 650 tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92 a a tg 24o Por otra parte, en el tri´ngulo CHB: a h 650 650 tg 36o = = ⇒b= = 894, 65 b b tg 36o Se deduce, que la distancia entre los pueblos es a + b = 2354, 57 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 12 / 12
  • 27. Estrategia de la altura Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es a a rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En a e estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n a a rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC : a a h 650 650 tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92 a a tg 24o Por otra parte, en el tri´ngulo CHB: a h 650 650 tg 36o = = ⇒b= = 894, 65 b b tg 36o Se deduce, que la distancia entre los pueblos es a + b = 2354, 57 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 12 / 12
  • 28. Estrategia de la altura Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es a a rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En a e estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n a a rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC : a a h 650 650 tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92 a a tg 24o Por otra parte, en el tri´ngulo CHB: a h 650 650 tg 36o = = ⇒b= = 894, 65 b b tg 36o Se deduce, que la distancia entre los pueblos es a + b = 2354, 57 m Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez () e a Aplicaciones de la Trigonometr´ ıa 23 de marzo de 2007 12 / 12