Universidad Nacional Experimental                                          “Francisco de Miranda”                         ...
√                           √           2                              2/2                                  e             ...
∞                           ∞                                     1    √                                9                 ...
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Respuestas de los ejercicios                                      5                                                       ...
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  1. 1. Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” ´ Area de Tecnolog´ ıa ´ Complejo Academico Punto Fijo Departamento de F´ ´ ısica y Matematica ´ Unidad Curricular: Matematica II ´ Lapso Academico I-2010Coordinador: Lcdo. Dulce Curiel.Profesores: Ing. Jos´ Ollarves, Ing. Nancy Requena, Lcdo. Aida Ulacio, Lcdo. Arnaldo M´ndez, Lcdo. Ariel Luna. e e GU´ N◦ 2 IA ´ MATEMATICA II INTEGRAL DEFINIDA 1. Dada la funci´n f (x) definida en el intervalo I correspondiente, aproxime el area bajo la curva usando o ´ el n´mero de rect´ngulos indicados u a a. f (x) = x2 , en [0, 1] con n = 3 b. f (x) = 3x − 2, en [1, 4] con n = 4 c. f (x) = x3 − 1, en [−1, 1] con n = 10 d. f (x) = 4 − x2 , en [−2, 2] con n = 8 2. Calcule el valor exacto del area para las funciones dadas en el ejercicio anterior utilizando la definici´n ´ o de integral de Riemann b n f (x)dx = l´ ım f (xi )∆xi a ∆x→0 i=1 donde a = x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b 3. Calcule cada una de las siguientes integrales definidas. 0 4 1 √ π x4 2t a. (3x + 6)dx b. 3x − dx c. t t + dt d. sen(θ)dθ 5 5 −2 0 0 0 π/3 −1 3π/4 π 2 2 e. sec (θ)dθ f. dr g. sec(x) tan(x)dx h. 1 + cos(x) dx r2 0 −2 π/4 0 √ 0 π/3 π/2 2 √ 2 2 2 r2 + r i. cos (θ)dθ j. sen (x)dx k. 8y + sen(y) dy l. dr r π/2 −π/3 −π/2 1 4 1 2 1 3 x m. (1 + 2x) dx n. y y2 + 1dy n. ˜ √ dx o. 3x2 x3 + 1dx 2x2 + 8 −2 0 −1 −1 4 3 3 e 3 2 dy sen(ln(x)) p. (2t + 3t ) dt q. y + 1dy r. s. dx 4−y x 0 0 1 1 1
  2. 2. √ √ 2 2/2 e 4 dx x dx t. √ u. √ dx v. w. ln(y)dy 4 − x2 4 − x2 x 0 0 1 1 3 π/2 4 z2 + 1 2 √ x. √ dz y. sen (3x) cos(3x)dx z. y+ 2y + 1 dy z 3 + 3z 1 0 04. Dibuje y calcule el area de las regiones limitadas por: ´ a. El eje x, el intervalo [2, 4], y la curva y = 4x − x2 . b. El eje x, y la curva y = 6x − x2 . c. La curva x = 3 − y 2 , y el eje y. d. La curva x = y 2 − 2y − 3, y el eje y. e. El eje x, y la curva y = x − 4x2 . f. El eje x, y la curva y = x2 − 6x. g. El eje x, y la curva y = x2 + 2x − 15. h. El eje x, y la curva y = 8 − 2x − x2 . i. La curva y = 2 − x2 , y la recta y = −x. j. La curva x = 4 − y 2 , y el eje y. k. El eje y, el eje x, la curva y = x2 − 6, y la recta x = 2. l. La curva x = 2 − y 2 , y la recta y = x − 1. m. Las curvas y = 6 − x2 , y = x2 − 3. n. Las curvas y 2 − 1 = x, x = 3 − y 2 . n. La curva x = 8 + 2y − y 2 , y las rectas y = −1, y = 3, x = 0. ˜ o. Las curvas y = x2 , y = 5 − x2 . p. Las curvas y = x2 + 2, y = 6 − x2 .5 En los siguientes ejercicios, explique por qu´ es impropia la integral (en caso de serlo) y determine si e es convergente o divergente. En caso de convergencia, calcule su valor. ∞ ∞ ∞ 2 −x −x dx 3 a. e dx b. xe dx c. d. dx x+1 (x − 1)2/3 0 1 1 0 4 ∞ 6 ∞ dx ln(x2 ) 2x dx e. √ f. dx g. dx h. dx x x x3 (x 2 − 4)2/3 x ln2 (x) 0 e 0 5 ∞ 0 8 ∞ 2 x3 x dx dx i. x e dx j. 2 + 1)5/2 dx k. √ l. √ (x 3 x x x −∞ −∞ −1 4 2
  3. 3. ∞ ∞ 1 √ 9 dx −2x e x dx m. n. xe dx n. ˜ √ dx o. x ln(x) x (9 − x)3/2 1 0 0 0 −2 ∞ e 1 dx dx dx p. q. r. s. ex − xe dx (x + 1)3 (x − 1)3/2 x −∞ 5 1 0 ∞ ∞ 0 ∞ dx −x/3 −x2 dx t. 2+1 u. e dx v. x5 dx w. √ x x−1 0 0 −∞ 5 ∞ ∞ ∞ 1 3 dx dx x. e−|x| dx y. 2+9 dx z. aa. √ √ x x ln(x) 1−x −∞ 3 e 0 4 π/2 2 ∞ dx dx ab. √ ac. tan(θ)dθ ad. √ ae. eax dx 16 − x2 x x2 − 1 0 0 1 0 ∞ a 3a ∞ dx dx 2x dx af. ag. √ ah. dx ai. (1 + x)3/2 a2 − x 2 3 (x2 − a2 )2 a2 + b 2 x2 1 0 0 0 ∞ ∞ ∞ 3 x dt x y aj. √ dx ak. al. √ dx am. dy 9 + x2 t ln(t) x 2+4 9 − y2 3 2 −∞ 0 ln(2e) ∞ x ln(x) an. dx a˜ . n dx e|x| x3 −∞ 1 S´lidos de revoluci´n o o6. En los siguientes ejercicios, determine el volumen del s´lido generado al rotar entorno a la recta o especificada, la regi´n acotada por las funciones dadas. o a. y = 2x2 , y = 0 y x = 5, alrededor del eje x, y alrededor del eje y. √ b. y = x3 , y = x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y. √ c. y = 2 2x, el eje de las x y la recta x = 2, alrededor del eje x. d. x = 9 − y 2 , y = x − 7, alrededor de x = 4. √ e. y = x − 1, x = 5, y = 0, alrededor de y = 3. f. y = x3 , y = x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y. 3
  4. 4. x2 g. y = , x = 4, y = 0, alrededor del eje x. 4 h. y = 2 − x2 , y = x2 , alrededor del eje x, y alrededor del eje y.7. Encuentre el volumen del s´lido generado cuando la regi´n indicada se gira alrededor del eje o recta o o especificado. (a) Eje de las x (b) Recta x = 3 y y 5   4 ¡ +1 x2 y= y= 4− x 2 1   x x ¡ 0 2 0 2 3 (c) Eje de las x (d) Eje de las y y y 4 ¢ y= 4− £ 1 2x y= x £ x ¢ 0 1 4 x 0 2 4
  5. 5. Respuestas de los ejercicios 5 1111a. Aproximaci´n por abajo : A ≈ o = 0.185 1b. Aproximaci´n por abajo : A ≈ o = 13.875 27 8 14 159 Aproximaci´n por arriba : A ≈ o = 0.518 Aproximaci´n por arriba : A ≈ o = 19.875 27 8 9 171c. Aproximaci´n por abajo : A ≈ o = 1.8 1d. Aproximaci´n por abajo : A ≈ o = 8.5 5 2 11 25 Aproximaci´n por arriba : A ≈ o = 2.2 Aproximaci´n por arriba : A ≈ o = 12.5 5 2 1 33 322a. A = = 0.333 . . . 2b. A = = 16.5 2c. A = 2 2d. A = = 10.666 . . . 3 2 3 424 33 √ √3a. 6 3b. − 3c. 3d. 2 3e. 3 3f. 1 3g. − 2 2 25 100 √ √ π π 3 2π 3 5 √ 8−13h. π 3i. − 3j. − 3k. 3l. + 2 2 3m. 810 3n. 4 3 4 3 2 3 √ √ 4− 10 4 2 819968 16 π3˜ . n 3o. 3p. 3q. 3r. ln 3 3s. 1 − cos(1) 3t. 2 3 105 3 4 7 8 13u. 2 − 3v. 1 3w. 4 ln(4) − 3 3x. 3y. − 3z. 14 2 3 9 y y 4 x= y= √ 3− 3 y2 4x 4a. 4c. √ A=4 3 − 3 x x 2 16 A= 3 √ x − 3 2 4 y y 1 y = x − 4x2 −1 x 16 −5 3 256 A= 15 3 − 4e. 1 4g. A= 2x 96 x x2+ 1 1 4 8 y= −16 5
  6. 6. y y y = x2 − 6 y 2 2 x = √ 6 2− 28 4i. 4k. A= x 3 2 √ A= 9 √ − 2 2 2 2 x −1 y = − x −2 −6 x=2 y y 6 x = 8 + 2y − y 2 y = x2 − 3 y=3 4m. √ 4˜ . n A= 92 3 A = 18 2 1 5 9 x x y = −1 3 3 − √2 √ 2 y = 6 − x2 −3 y 6 y = x2 + 2 √ 16 2 4p. A= 3 2 y = 6 − x2 √ √ x − 2 2 25a. Converge, 1 5b. Converge, 5c. Diverge 5d. Converge, 18 e 3 √ 3 15e. Diverge 5f. Converge, 5g. Converge, 9 4 5h. Converge, 2e2 ln(5) 1 9 5i. Diverge 5j. Converge, − 5k. Converge, 5l. Converge, 1 3 2 15m. Diverge 5n. Converge, 5˜ . Converge, 2(e − 1) n 5o. Diverge 4 6
  7. 7. 1 e2 − 2 5p. Converge, − 5q. Converge, 1 5r. No es impropia, 1 5s. No es impropia, 2 e+1 π 1 5t. Converge, 5u. Converge, 3 5v. Converge, − 5w. Diverge 2 2 ln(5) π 5x. Diverge 5y. Converge, 5z. Diverge 5aa. Converge, 2 3   Diverge si a>0 π π 5ab. Converge, 5ac. Diverge 5ad. Converge, 5ae. 2 6   − 1 si a<0 a  π si a>0 √ √   2 3 π5af. Converge, 2 5ag. 5ah. Converge, 9 a2 5ai. Converge,  π  − si a<0 2ab 25aj. Diverge, 1 5ak. Diverge 5al. Diverge 5am. Converge, 3 −2 − ln(2) 15an. Converge, 5a˜ . Converge, n 2e 4 5 Alrededor del eje x: V = 2500 π = 7853.98 Alrededor del eje x: V = 14 π = 1.126a. 6b. 2 Alrededor del eje y: V = 625π = 1963.5 Alrededor del eje y: V = 5 π = 1.26 3336c. Alrededor de la recta x = 2: V = 16 π = 50.27 6d. Alrededor de la recta x = 4: V = 5 π = 209.23 8 Alrededor del eje x: V = 21 π = 1.1976e. Alrededor de la recta y = 3: V = 28 π = 87.96 6f. 8 Alrededor del eje y: V = 15 π = 1.68 16 64 Alrededor del eje x: V = 3 π = 16.7556g. Alrededor del eje x: V = 5 π = 40.21 6h. Alrededor del eje y: V = π = 3.1416 206 3 167a. V = π = 43.14 7b. V = 12π = 37.7 7c. V = π = 2.36 7d. V = π = 16.75516 15 4 3 7

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