Angulo en posicion normal
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Angulo en posicion normal Angulo en posicion normal Presentation Transcript

  • IE SANTA MAGDALENA SOFÍA
  • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER MAGNITUD Prof. Jany Velásquez Santa Cruz
  • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER MAGNITUD Y • Un ángulo está en posición normal, estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de ejes coordenados y su lado inicial coincide con el eje X positivo. B O A X O A X Y B
  • I. Razones trigonométricas de ángulos en posición normal • Anteriormente estudiamos Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, ésta vez las generalizaremos hallando las Razones Trigonométricas de cualquier ángulo en posición normal. • En el capítulo anterior se tomaba como base el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa; esta vez como se trata del Plano Cartesiano la base es: La abscisa (X), la ordenada (y) y el radio vector (r), de un punto del final del ángulo.
  • I. Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Sea un ángulo en posición normal y P(x,y)un punto del lado final de dicho ángulo, entonces las R.T. se definen de la siguiente manera: Y Sen ordenada de P sen radio vector B α Cos r O -X A X Tg ordenada de P r Tg abscisa de P Ctg -Y 2 y abscisa de P 2 Sec radio vector Ctg radio vector ordenada de P , x 0 x , y 0 , x 0 , y 0 y Sec abscisa de P Csc y x ordenada de P recordar que : x x Cos radio vector P(x,y) r abscisa de P y r x Csc r y
  • SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE • En el primer cuadrante las coordenadas de cualquier punto son positivas, en consecuencia todos los valores de las razones son positivas. • En el segundo cuadrante, la abscisa x es negativa y la ordenada y es positiva (r siempre es positivo) en consecuencia, solamente el , sen y r y csc r y son positivas, las otras cuatro razones mas son negativas. • Análogamente se puede determinar los signos en los cuadrante III y IV
  • CUADRO RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS IC IIC IIIC IVC Sen + + - - Cos + - - + Tg + - + II C Sen IC Todas las razones trigonométricas son + - Csc + Cos III C Tg Ctg + - + Sec + - - + Csc + + - - - Ctg + Sec IV C +
  • II. Ángulos Cuadrantales • Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes. • Las definiciones de las razones trigonométricas son válidas para éstos ángulos, aunque para algunos no está definido por tener denominador cero. , , , , son cuadrantales
  • La siguiente tabla muestra los ángulos cuadrantales: En radianes En grados sex. 3 /2 /2 90 Donde K = 1; 180 2; 2 ..... k /2 270 360 ..... 90 k 3; 4; .......
  • Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales Sean x,y Є R/ x ≥0 y ≥ 0 a) Razones trigonométricas de 90 x =0 r =y ND : No está definido. y y x 0 r Cos 90 y r sen 90 y y y x Tg 90 X Csc 90 x 0 r y 0 r y y y ND y x Sec 90 0 0 y Ctg 90 1 0 ND 1
  • Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales b) Razones trigonométricas de 180 y =0 , r =x ND : No está definido. 180 Cos 180 y 0 r sen 180 x x r (-x;0) Tg 180 y x Ctg 180 0 x x 0 0 x x x y Sec 180 r x ND 0 x Csc 180 1 1 x r x y 0 ND
  • Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales c) Razones trigonométricas de 270 x =0 , r =y Sen 270 y y r Tg 270 x 0 r Cos 270 y y x Ctg 270 x ND 0 0 0 y r y x Csc 270 0 y y Sec 270 1 y 0 r y ND y y 1
  • Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales d) Razones trigonométricas de 360 y =0 , r =x Cos 360 P (x; 0) X 0 x x x r Sen 360 y r Y x y x 0 x x y Ctg 360 1 0 x Tg 360 0 0 ND Csc 360 x x Sec 360 r x 1 r x y 0 ND
  • RESUMEN DE LAS R.T.DE ÁNGULOS CUADRANTALES (rad) 0 /2 3 /2 2 (grados) 0 90 180 270 360 Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tg 0 ND 0 ND 0 Ctg ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND -1 ND 1 Csc ND 1 ND -1 ND
  • III. Ángulos Coterminales • Los ángulos coterminales son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, obviamente el, mismo vértice. ejemplos
  • PROPIEDADES PROPIEDAD 1 • La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número entero de vueltas. n vueltas n Є Z- {0} Si y son ángulos coterminales Como 1 vuelta es igual a 360 o 2π rad, entonces: ó n Є Z- {0} n 360 n 2 rad Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado. PROPIEDAD 2 • • Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales Si y son ángulos coterminales y los ubicamos en posición normal(evidentemente pertenecen al mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple: Sen Sen Tg Cos Cos Ctg Tg Ctg Sec Sec Csc Csc
  • IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS: • Dado un ángulo y P un punto de su lado final tal que (x,y) son sus coordenadas. • Entonces (- ) será su simétrico respecto al eje x, en consecuencia las coordenadas de P serán (x,-y). • Observa que: sen y Sen (- ) r Cos -y r x r Cos - x r
  • de éstas dos igualdades se deduce: Sen( ) Sen Cos( ) Cos Análogamente se deduce: Tg ( ) Tg Ctg( ) Ctg Sec( ) Sec Csc( ) Csc
  • PRÁCTICA 1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el valor de Cscα a) 4/3 b) 5/4 c) -4/5 d) -5/3
  • PRÁCTICA 2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo signo? a) I y III b) I y II c )I y IV d) II y III
  • PRÁCTICA 3) El resultado de: a) 0 Csc270º (Sen90º + cos180º), es: b) -1 c) 2 d) -2
  • PRÁCTICA 4) ¿Son coterminales los ángulos? a) 445º y 85º b) 69º y 429º c) -17º y 343º d) 735º y 25º ( Falso) ( Falso) ( Falso) ( Falso) (Verdadero) (Verdadero) (Verdadero) (Verdadero)
  • PRÁCTICA a) -1/2 5) El valor de [sen(-30)]3 es: b) -1/4 c) -1/8 d) -1/6