Este documento describe la evolución histórica de los ambientes de trabajo con gráficas y cómo estas han permitido construir argumentaciones sobre variación. Se identifican cuatro ambientes gráficos principales: el de Oresme, Galileo, matemático y de cómics. El objetivo es determinar cómo estos ambientes pueden usarse en la escuela para que los estudiantes construyan significados sobre variación.

1. LAS GRAFICAS UN ESPACIO DE CONSTRUCCIÓN DE ARGUMENTACIONES SOBRE VARIACIÓN Eduardo Carrasco H. Universidad de Valparaíso

2. Fenómeno Educativo Confundir la Gráfica de la trayectoria del móvil con la gráfica distancia tiempo No asocian la gráfica horizontal con un objeto estacionario No interpretan que cuando la posición de la grafica retoma el eje horizontal el objeto retorna al origen Arrieta (2002) destaca que estudiantes tienden a : t h

3. Y=f(x) Registro Algebraico Registro Gráfico Af(x)+B Las gráficas son el resultado de ciertas prácticas sociales que han generado el conocimiento del cálculo, y a partir ello propone resignificar el uso e las gráficas debatiendo entre su funcionamiento y su forma Cordero 2007

4. (Buendía, 2008) En ello se reconocen prácticas asociadas con la construcción significativa de lo periódico a partir de la visualización de la gráfica, y por tanto ella actúa como un soporte que permite construir argumentos para predecir "Es como si hiciéramos un cuadrito en la primera para ver el periodo de repetición. Podemos hacer también un cuadrito para la segunda gráfica y veríamos, igual que en la primera, que el cuadrito se va repitiendo todo el tiempo igual...aunque también sube”.

5. El comportamiento de las Gráficas es una categoría que no pertenece a la estructura matemática. Es un recurso para hablar de ciertas propiedades matemáticas de las funciones y sus gráficas, es una categoría que no esta definida en los textos. Sin embargo, el individuo lo utiliza cuando se involucra en cierta actividad matemática (Buendía, 2004) Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional se precisa entre otras cosas, el manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende. (Cantoral y Farfan 1998)

6. Una mirada a la Gráfica

8. Oresme (~1377) “ Por que no hacer un dibujo de la manera en que las cosas varían” (Boyer, 1969).” El dibujo permite incorporar argumentaciones geométricas al trabajo con el cambio I say that the line DE is one-half the li ne AB. For BC/BE=AC/AD=AB/DE, and BC=2BE. Therefore, AB=2DE, and DE=(1/2)AB. Oresme citado en Clagett, 1968, p. 95 Estas características proporcionan un uso de las gráficas que depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones) que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfica diferentes a las asociadas a la representación gráfica de una función. (Suarez 2008) Estudio Histórico

9. Galileo Obediente de los números, numérica las gráficas e incorpora el tiempo como variable. Folio 81r Folio 107v Dos nuevas Ciencias CD= Distancia Recorrida AB = Tiempo demorado AG = Velocidad

10. Las líneas se engendran mediante el movimiento de puntos Newton (1638) La geometría Analítica incorpora el Algebra al trabajo con la geometría. Podemos trabajar la analiticidad de las curvas La continuidad y el limite eran dados naturalmente por el movimiento. No era necesario definirlos ni preguntarse por ellos

11. Y=sen(1/x) Esta gráfica no se puede trabajar bajo la metáfora de la trayectoria de un punto en el espacio. Se necesito un nuevo paradigma Dedekind- Weiesstras La gráfica son Conjuntos de Puntos (No hay movimiento) Continuidad y Limite ya no son naturales, hay que formalizarlos y verificarlos (x,y)

12. Profesores de Matemática Describiendo una Situación de Variación Días, 2007 Estudiantes de Secundaria Describiendo una Situación de Variación Carrasco, 2006

13. (Varela, 1998) Se considera como la “historia del acoplamiento estructural que enactúa (hace emerger) un mundo” y que ésta funciona “a través de una red de elementos interconectados capaces de cambios estructurales durante una historia ininterrumpida”. Así, el acento en el campo de las ciencias cognitivas se ha ido desplazando hacia el plano de las experiencias humanas La cognición

14. Cotidian o trabajo matemátic a Escolar Lo virtual Conformando ideas y significados propios de cada espacio ……

15. Dialogo Benéfico A B C D E F G H (x,y)

17. Argumentos

18. "Es como si hiciéramos un cuadrito en la primera para ver el periodo de repetición. Podemos hacer también un cuadrito para la segunda gráfica y veríamos, igual que en la primera, que el cuadrito se va repitiendo todo el tiempo igual...aunque también sube”. … no es periódica si tomo como sistema de referencia los ejes de coordenadas propuestos, pero si yo tomo uno distinto (rotando el eje x para que coincida con la gráfica), entonces sí lo es

19. Las líneas se engendran mediante el movimiento de puntos “ Por número real entendemos (…) un cuociente abstracto de una cierta magnitud a otra tomada como unidad ” El tiempo es una distancia Continua Newton (1638) El tiempo absoluto, verdadero y matemático, en sí y por su naturaleza, fluye igualmente sin relación con nada externo “Se encuentre la palabra tiempo (…) aquella cantidad a través de cuyo incremento o flujo uniforme se expresa y mide el tiempo” El tiempo, construido a partir de una metáfora de flujo continuo, coherente con su representación como la línea continua

21. EPISTEMES DE TIEMPO Faceta Paramétrica Faceta Proyectivo-Cualitativa Collage Irreversible Heterogéneo Dependiente Discreto: Números Continuo: Intervalos Irreversible Homogéneo Independiente Victimas vs Protagonistas Continuo El continuo de IR Reversible Homogéneo Independiente Una distancia en el registro gráfico SUBJETIVO Cotidianas y culturales MATEMÁTICO

23. Permite reconocer significados y practicas que están a la base del trabajo con graficas Formas de hacer que cada ambiente de graficas potencian Metáforas que están al seno de las explicaciones que se generaron De modo de dialogar en el aula, con los diferentes saberes de los estudiantes, aquellos que traen de la vida, aquellos que ya han construido en la escuela Producciones históricas Producciones Escolares Producciones Cotidianas

25. Elementos Metodológicos

26. Formas de hacer genéricas que van normando el hacer en un área de actividad matemática Actividades, que responden a una intencionalidad de prácticas Montiel, 2004 Práctica social Prácticas de referencia Prácticas de referencia Prácticas de referencia Prácticas de referencia … Actividades Actividades Actividades … Argumentos variacionales Argumentos variacionales Argumentos variacionales …

27. Representaciones “ Son estructuras mentales cuyo contenido se compone de las frases, los conceptos, los términos que se utilizan. La estructura, refiere a la manera en que se presenta organizado el contenido, la articulación y relación de conceptos y términos entre sí. ” (Díaz, 1999).

28. Metáfora Como Herramienta Dominio Fuente Dominio de Llegada Restar es Quitar 5-2= -7 “ No se puede tener menos que nada ” 3