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Presentación sobre Sistemas de Numeración y Álgebra de Boole.

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  • 1. Sistemas de numeración y Álgebra de Boole Unidad 2 T. P.I.A.E.
  • 2. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL <ul><li>Es un sistema posicional de base 10 </li></ul><ul><li>Construimos todos los números con 10 dígitos diferentes </li></ul><ul><li>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} </li></ul><ul><li>Las potencias de 10 que multiplican a cada una de las cifras es lo que llamaremos el “ peso ” de cada cifra. </li></ul><ul><li>Al estar en el sistema decimal utilizamos 10 números, la base es 10 y el “peso” de cada cifra son potencias de 10. </li></ul><ul><li>P.ej.: </li></ul>
  • 3. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO <ul><li>Es un sistema posicional de base 2 </li></ul><ul><li>Construimos todos los números con 2 dígitos diferentes </li></ul><ul><li>{0,1} </li></ul><ul><li>Los “pesos” de cada cifra son potencias de 2 </li></ul>1 2 4 8 16 32 64 128 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7
  • 4. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO <ul><li>Para convertir un número de binario a decimal , basta con sumar los “pesos” de las cifras donde tengo “1” </li></ul><ul><li>Ejemplo 1: convertir 111011 2 en decimal. </li></ul><ul><li>111011 2 = 1  2 5 + 1  2 4 + 1  2 3 + 0  2 2 + 1  2 1 + 1  2 0 =  </li></ul><ul><li> = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59 10 </li></ul>
  • 5. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO <ul><li>Los pesos de las cifras a la derecha de la coma serán: </li></ul><ul><li>1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , etc </li></ul>Ejemplo 2: convertir 1001,001 2 en decimal . 1001,001 2 = 1  2 3 +1  2 0 + 1  (1/2 3 ) = 8 + 1 + 0,125 =   = 9,125 10
  • 6. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO <ul><li>Conversión de decimal a binario: </li></ul><ul><li>una forma de realizar el paso de decimal a binario es dividir repetidas veces el número en decimal entre dos, marcamos los restos (que al dividir entre dos sólo podrán ser 0 o 1) y el último cociente. Para formar el número binario tomamos el último cociente como bit más significativo y a continuación los restos de abajo a arriba. </li></ul>
  • 7. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO <ul><li>Conversión de decimal a binario: </li></ul><ul><li>Ejemplo 3: convertir 17410 a binario. </li></ul>1 0             2 2 1             2 5 0             2 10 1             2 21 1             2 43 1             2 8 7 0             2 1 7 4
  • 8. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
  • 9. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL <ul><li>Es un sistema posicional de base 16 </li></ul><ul><li>Construimos todos los números con 16 dígitos diferentes </li></ul><ul><li>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} </li></ul><ul><li>Los “pesos” de cada cifra son potencias de 16 </li></ul>1 16 256 4096 65536 1048576 16777216 268435456 16 0 16 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 7
  • 10. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL Ejemplo 6: convertir 3AF 16 en decimal . 3AF 2 = 3  16 2 + 10  16 1 + 15  16 0 =   = 3  256 + 10  16 + 15  1 = 768 + 160 + 1 = 943 10
  • 11. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL <ul><li>Conversión de hexadecimal a binario: una de las razones para utilizar el sistema hexadecimal es que permite representar los números con un menor número de cifras que el decimal y el binario. </li></ul><ul><li>Fijándonos en la tabla 1 podemos observar que con cuatro bits de un número binario podemos representar los número decimales del 0 al 15 , o lo que es lo mismo, los dieciséis símbolos del código hexadecimal. </li></ul><ul><li>Para convertir un número binario en hexadecimal agruparemos sus bits de cuatro en cuatro desde la derecha y escribiremos el equivalente en hexadecimal de cada uno de estos grupos </li></ul>
  • 12. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL F 15 1111 E 14 1110 D 13 1101 C 12 1100 B 11 1011 A 10 1010 9 9 1001 8 8 1000 7 7 0111 6 6 0110 5 5 0101 4 4 0100 3 3 0011 2 2 0010 1 1 0001 0 0 0000 hexadecimal decimal binario
  • 13. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL Ejemplo : convertir 110011100010111001110011000110011 2 en hexadecimal. 110011100010111001110011000110011 2 = 19C5CE633 16 3 3 6 E C 5 C 9 1 0011 0011 0110 1110 1100 0101 1100 1001 0001
  • 14. OPERACIONES BINARIAS
  • 15. SUMA DE NÚMEROS BINARIOS Ejemplo 7: La suma se realiza igual que en el sistema decimal. Hay que tener en cuenta que al sumar en sistema decimal tenemos un acarreo(“nos llevamos una”) cuando el resultado de la suma de dos cifras es mayor que nueve. Al sumar en binario tendremos acarreo si la suma de dos cifras en mayor que uno. 68 0 0 1 0 0 0 1 + 43 1 1 0 1 0 1 + 25 1 0 0 1 1 Acarreo 1 1 1 1 1
  • 16. SISTEMAS DIGITALES <ul><li>Sistema digital: dispositivo físico destinado a la generación, procesamiento, transmisión y almacenamiento de información, siendo esta representada por magnitudes físicas discretas, tanto en número como en magnitud. </li></ul><ul><ul><li>Los sistemas digitales son los sistemas automáticos - o de control - gobernados por variables que pueden tomar un número finito de valores. </li></ul></ul><ul><li>Sistema binario: sistema digital de dos valores. </li></ul>
  • 17. Álgebra de Boole <ul><li>El álgebra de Boole nació como herramienta matemática para la representación de postulados lógicos (proposiciones o enunciados que solo admiten dos tipos de soluciones, cierto o falso). </li></ul><ul><li>El álgebra de Boole queda definida por un conjunto de elementos, dos leyes de composición interna y sus correspondientes propiedades .... </li></ul>
  • 18. Ejemplos de álgebra de Boole
  • 19. Funciones lógicas fundamentales <ul><li>Son las combinaciones lógicas básicas de unos valores binarios de entrada (0 o 1), que da como resultado una como resultado una variable binaria de salida. </li></ul><ul><li>Las funciones lógicas básicas son las leyes de composición interna para el álgebra de boole aplicada a los sistemas binarios (AND , OR), junto con la negación (NOT) </li></ul><ul><li>Las funciones lógicas quedan definidas por su tabla de verdad: valores de las salidas para las distintas combinaciones de las entradas. </li></ul>
  • 20. Funciones lógicas fundamentales <ul><li>Las funciones lógicas y el álgebra de Boole nos servirán para describir el funcionamiento de sistemas binarios: </li></ul><ul><ul><li>... Aquellos cuyas entradas, salidas, variables... Podemos describirlos en términos de todo – nada, conduce - no conduce , nivel alto de tensión – nivel bajo, activado-desactivado, encendido- apagado , etc... </li></ul></ul><ul><li>Los sistemas binarios se pueden construir con diferentes tecnologías: electrónica, electrónica programada, lógica cableada ... Aunque su funcionamiento se sustancialmente similar. </li></ul>
  • 21. AND – Y – Producto lógico
  • 22. AND – Y – Producto lógico Ejemplo <ul><li>En electrónica digital podemos realizar esta función con los circuitos integrados: 7408 (TTL) y 4081 (CMOS). </li></ul>
  • 23. AND – Y – Producto lógico Ejemplo <ul><li>7408 (TTL)  Dimensiones </li></ul>
  • 24. AND – Y – Producto lógico Ejemplo <ul><li>7408 (TTL)  Conexión </li></ul>
  • 25. OR – O – Suma lógica
  • 26. NOT – NO – Negación
  • 27. Postulados de Boole <ul><li>Un álgebra de Boole es una clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, 0 y 1 , que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+ , OR) y producto (  ,AND). </li></ul><ul><li>Las operaciones suma y producto, además, cumplen los siguientes postulados:   </li></ul><ul><li>a)        Ambas operaciones son conmutativas . </li></ul><ul><li>b)        Existen los elementos neutros . </li></ul><ul><li>c)        Cada operación es distributiva respecto a la otra. </li></ul><ul><li>d) Para cada elemento existe el complementario . </li></ul><ul><li>e)        Las dos operaciones cumplen la ley asociativa . </li></ul><ul><li>Además de los postulados anteriores se desprenden los propiedades muy útiles para la simplificación de funciones lógicas: </li></ul><ul><li>Ley de absorción y Leyes de Morgan. </li></ul><ul><li>Los postulados del álgebra de Boole se pueden demostrar construyendo las correspondientes tablas de verdad. </li></ul>
  • 28. Postulados de Boole <ul><li>CONMUTATIVA: </li></ul><ul><li>ELEMENTOS NEUTROS: </li></ul><ul><li>DISTRIBUTIVA: </li></ul><ul><li>COMPLEMENTARIO: </li></ul><ul><li>ASOCIATIVA: </li></ul>
  • 29. Postulados de Boole <ul><li>CONMUTATIVA: </li></ul>& A B & B A  1 A B  1 B A Equivale a Equivale a
  • 30. Postulados de Boole <ul><li>ELEMENTOS NEUTROS: </li></ul>& 1 A  1 0 A A A 1 1 0 0 0 0 0+A A 0 1 1 1 0 0 1 1  A A 1
  • 31. Postulados de Boole <ul><li>DISTRIBUTIVA: </li></ul>& A & A B  1 B C  1 Equivale a & A C
  • 32. Postulados de Boole <ul><li>DISTRIBUTIVA: </li></ul>1 1 1 0 0 0 0 0 A  (B+C) 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 A  B 1 0 A  C 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 A  B+A  C B+C C B A
  • 33. Postulados de Boole <ul><li>COMPLEMENTARIO: </li></ul> 1 A 1 A 1 A & 1 A 0 A A 1 0 1 1 1 0 A+A A A 0 0 1 0 1 0 A  A A A
  • 34. Postulados de Boole <ul><li>ASOCIATIVA: </li></ul> 1 A  1 A B  1 B C  1 Equivalentes C  1 B C A
  • 35. Postulados de Boole <ul><li>LEY DE ABSORCIÓN: </li></ul><ul><li>LEYES DE MORGAN: </li></ul><ul><li>PRINCIPIO DE DUALIDAD : las operaciones AND y OR son duales. Todos los postulados se enuncian de dos en dos. Cada uno se puede obtener a partir del otro sustituyendo (+) por (.) y (.) por (+), así como (1) por (0) y (0) por (1). </li></ul><ul><li>Las leyes y postulados se demuestran realizando las correspondientes tablas de verdad. </li></ul>
  • 36. Postulados de Boole <ul><li>LEY DE ABSORCIÓN: </li></ul>1 1 0 0 A+A  B 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 A+B 0 0 0 0 A  (A+B) A  B B A
  • 37. Postulados de Boole <ul><li>LEYES DE MORGAN: </li></ul>0 1 1 1 A  B 0 0 0 1 A  B 0 1 0 1 B 0 0 1 1 A 0 0 0 1 A+B 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 A  B 1 0 0 0 A+B A+B B A
  • 38. Más funciones... <ul><li>A parte de las tres funciones fundamentales tenemos otras tres que pueden obtenerse a partir de las primeras: NAND , NOR y XOR </li></ul><ul><li>Su consideración está justificada por su uso tanto en sistemas digitales programados, como en la construcción de circuitos electrónicos. </li></ul><ul><li>Su uso permite en algunos casos simplificar las funciones complejas. </li></ul>
  • 39. NAND
  • 40. NOR
  • 41. XOR – O exclusiva
  • 42. Postulados de Boole <ul><li>LEYES DE MORGAN: </li></ul> 1 A & A 1 B B 1 A B
  • 43. Postulados de Boole <ul><li>LEYES DE MORGAN: </li></ul>& A  1 A 1 B B 1 A B
  • 44. Ejemplos... Lógica cableada..NOT
  • 45. Ejemplos... Lógica cableada...AND
  • 46. Ejemplos... Lógica cableada...OR
  • 47. Ejemplos... Lógica cableada...NAND
  • 48. Ejemplos... Lógica cableada...NOR
  • 49. Ejemplos... Lógica cableada...XOR
  • 50. Funciones booleanas <ul><li>Llamamos funciones boleanas o funciones lógicas a aquellas cuyas variables son de tipo binario. Se podrán reducir a expresiones en las que tendremos las funciones lógicas definidas con anterioridad. </li></ul><ul><li>Toda función boleana queda perfectamente definida mediante su tabla de verdad , donde se definen los valores que toman las salidas para todas las posibles combinaciones de las entradas. </li></ul><ul><li>Se intentará obtener una expresión algebraica de la función lo más simple posible para su implementación con la tecnología usada en cada caso. </li></ul>
  • 51. Ejemplos ... Funciones booleanas <ul><li>Función boleana dada a través de su tabla de verdad </li></ul><ul><li>Función boleana dada con una expresión algebraica </li></ul>
  • 52. Funciones boleanas – Definiciones <ul><li>Término producto: expresión boleana que solamente incluye operaciones AND entre sus variables (afirmadas o negadas). </li></ul><ul><li>Función en forma suma de productos (SP): aquella que está formada exclusivamente por la suma (OR) de términos producto (AND). </li></ul><ul><li>Mintérmino: Es un término producto que contiene todas las variables de la función. </li></ul><ul><li>Forma canónica SP: función boleana formada sólo por mintérminos. </li></ul>
  • 53. Funciones boleanas – Definiciones <ul><li>Término suma: expresión boleana que solamente incluye operaciones OR entre sus variables (afirmadas o negadas). </li></ul><ul><li>Función en forma producto de sumas (PS): aquella que está formada exclusivamente por el producto (AND) de términos suma (OR). </li></ul><ul><li>Maxtérmino: Es un término suma que contiene todas las variables de la función. </li></ul><ul><li>Forma canónica PS: función boleana formada sólo por maxtérminos. </li></ul>
  • 54. Formas canónicas - Notación
  • 55. Formas canónicas – Obtención <ul><li>Una función boleana queda perfectamente definida a partir de su tabla de verdad, en la que se expresan los valores que toma la función para todas las posibles combinaciones de sus variables. </li></ul><ul><li>De la tabla de verdad obtenemos las dos formas canónicas de la función. </li></ul><ul><li>De las combinaciones para las cuales la función toma valor ‘1’ obtenemos los ‘Mintérminos’ . </li></ul><ul><li>Con las combinaciones con valor ‘0’ obtenemos los ‘Maxtérminos’ . </li></ul>
  • 56. Formas canónicas – Obtención <ul><li>‘ Mintérminos’ : si para esa combinación la variable vale 0 aparecerá negada, si vale 1 aparece afirmada. </li></ul><ul><li>Obtenemos la Forma canónica SP . </li></ul>Hemos definido la función indicando los casos en los que vale 1. Si sustituimos por cualquier otra combinación , la función será 0. 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 F C B A
  • 57. Formas canónicas – Obtención + + + + + + + + + + + + + + + + F = F = F = F = F = F = F = F = 0  0  1 0  0  0 0  1  1 0  1  0 1  0  1 1  0  0 1  1  1 1  1  0 0  1  1 0  1  0 0  0  1 0  0  0 1  1  1 1  1  0 1  0  1 1  0  0 1  1  0 1  1  1 1  0  0 1  0  1 0  1  0 0  1  1 0  0  0 0  0  1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 F C B A
  • 58. Formas canónicas – Obtención <ul><li>‘ Maxtérminos’ : si para esa combinación la variable vale 1 aparecerá negada, si vale 0 aparece afirmada. </li></ul><ul><li>Obtenemos la Forma canónica PS . </li></ul>Hemos definido la función indicando los casos en los que vale 0. Si sustituimos por cualquier otra combinación , la función será 1. 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 F C B A
  • 59. Formas canónicas – Obtención         (0+1+0) (0+1+1) (0+0+0) (0+0+1) (1+1+0) (1+1+1) (1+0+0) (1+0+1)         (0+0+0) (0+0+1) (0+1+0) (0+1+1) (1+0+0) (1+0+1) (1+1+0) (1+1+1)                 F = F = F = F = F = F = F = F = (1+1+1) (1+1+0) (1+0+1) (1+0+0) (0+1+1) (0+1+0) (0+0+1) (0+0+0) (1+0+1) (1+0+0) (1+1+1) (1+1+0) (0+0+1) (0+0+0) (0+1+1) (0+1+0) (0+1+1) (0+1+0) (0+0+1) (0+0+0) (1+1+1) (1+1+0) (1+0+1) (1+0+0) 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 F C B A
  • 60. Formas canónicas - Ejemplo 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x y z x’y’z’ x’yz’ x’yz xyz’ xyz mintérminos m 0 m 2 m 3 m 6 m 7 F x’ + y + z’ x’ + y + z x + y + z’ maxtérminos M 1 M 4 M 5 F F = m 0 + m 2 + m 3 + m 6 + m 7 F =  ( 0, 2, 3, 6, 7 ) F = M 1 • M 4 • M 5 F =  ( 1, 4, 5 ) 1 0 1 1 0 0 1 1 F
  • 61. Formas canónicas – Obtención <ul><li>Obtención de la Forma canónica SP . Partiendo de una expresión boleana cualesquiera se puede seguir el siguiente procedimiento: </li></ul><ul><ul><li>Escribir la expresión en forma SP. </li></ul></ul><ul><ul><li>Añadimos a cada término producto la variable que le falta. Para ello lo multiplicamos por 1, escrito en términos de la variable faltante (Ej.: Si nos falta la A , lo multiplicamos por </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicamos la distributividad del producto respecto a la suma. </li></ul></ul><ul><ul><li>Simplificamos los términos idempotentes ( los mintérminos que se repiten) </li></ul></ul>
  • 62. Formas canónicas – Obtención <ul><li>Obtención de la Forma canónica SP : Ejemplo </li></ul>Falta la variable D Faltan las variables A y C Falta la variable B Aplicamos la propiedad distributiva: Eliminamos términos semejantes:
  • 63. Formas canónicas – Obtención <ul><li>Obtención de la Forma canónica PS . Partiendo de una expresión boleana cualesquiera se puede seguir el siguiente procedimiento: </li></ul><ul><ul><li>Escribir la expresión en forma PS. </li></ul></ul><ul><ul><li>Añadimos a cada término suma la variable que le falta. Para ello sumamos 0, escrito en términos de la variable faltante (Ej.: Si nos falta la A , sumamos </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicamos la distributividad de la suma respecto el producto. </li></ul></ul><ul><ul><li>Simplificamos los términos idempotentes ( los maxtérminos que se repiten) </li></ul></ul>
  • 64. Formas canónicas – Obtención <ul><li>Obtención de la Forma canónica PS : Ejemplo </li></ul>Falta la variable D Faltan las variables A y C Falta la variable B Aplicamos la propiedad distributiva: Eliminamos términos semejantes:
  • 65. Maxtérminos - mintérminos <ul><li>Relación entre Maxtérminos y Mintérminos : Usando las leyes de Morgan podemos obtener la equivalencia entre mintérminos y maxtérminos. </li></ul><ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul></ul><ul><li>Esto se cumple para cualquier mintérmino. </li></ul><ul><li>En general el complemento de cualquier mintérmino es el maxtérmino correspondiente. </li></ul>
  • 66. Diseño de circuitos lógicos <ul><li>El diseño de un circuito lógico consistirá en realizar con una tecnología determinada un circuito formado por funciones lógicas que funcione según las especificaciones de partida (condiciones de funcionamiento) que necesitemos conseguir. </li></ul>

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