Persamaan differensial part 1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Persamaan differensial part 1

on

  • 4,427 views

 

Statistics

Views

Total Views
4,427
Slideshare-icon Views on SlideShare
4,416
Embed Views
11

Actions

Likes
3
Downloads
136
Comments
0

1 Embed 11

http://ahmadjamilsirman.blogspot.com 11

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Persamaan differensial part 1 Persamaan differensial part 1 Document Transcript

    • PERSAMAAN DIFFERENSIAL (PD)1. Pengertian Persamaan diferensialDefinisi 1.Persamaan Differensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan pertama ataulebih dari fungsi. Atau persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsidari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.(A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives orpartial derivatives.)Persamaan differrensial disingkat dengan PD , diklasifikasikan dalam: tipe, tingkat (ordo),derajat (pangkat), sebagai berikut :Tipe PD :1. PD biasa (Ordinary Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan dari suatu fungsisatu peubah.2. PD Parsial (Partial Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan parsial dari suatufungsi dengan dua atau lebih peubah bebas.Tingkat (Ordo)Tingkat dari suatu PD adalah bilangan yang menunjukkan tingkat tertinggi dari turunan yangterdapat dalam PD tersebut.Derajat (Pangkat) atau DegreePangkat suatu PD adalah pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang terdapat dalamPD tersebut.Contoh 1:1. xdxdy4 adalah PD biasa tingkat 1 pangkat 12. 0333ydxydadalah PD biasa tingkat 3 pangkat 13. xdxdydxyd6322adalah PD biasa tingkat 2 pangkat 34. 02222xyadalah PD parsial tingkat 2 pangkat 1
    • Penyelesaian PD BiasaPenyelesaian PD biasa adalah suatu hubungan fungsional antara peubah-peubahnya yangtidak mengandung lagi differensial atau turunan yang memenuhi PD. Penyelesaian PD dapatberbentuk fungsi eksplisit atau fungsi implisit.Penyelesaian Umum (PU) atau general solution dari PD pangkat n adalah penyelesaian yangmemuat n konstanta dari hasil integrasi.Penyelesaian partikulir dari suatu PD adalah suatu penyelesaian yang diperoleh dari PUdengan memberi suatu nilai pada konstanta dari PU.Pada integrasi sederhana, konstanta dari hasil integrasi dari PD dapat mempunyai nilaitertentu dengan adanya syarat batas atau syarat awal yang diberikan. Misalnya pada suatu PDdiketahui untuk nilai x=x0 maka y = y0 , hal ini disebut syarat batas.Kejadian khusus jika diketahui x = x0 maka y = 0, disebut syarat awal.2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATUPD ordo satu derajat satu dapat dinyatakan dalam bentuk :),( yxfdxdy……………………………….. (1)Jika f(x,y) suatu konstanta, maka penyelesaian didapat dengan mengintegralkan f(x,y) tersebut. Jikaf(x,y) fungsi dengan peubah x dan y, misalkan f(x,y) =),(),(yxNyxMbiasanya PD dirubah kebentuk :M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ……………… (2)Penyelesaiannya merupakan fungsi implisit, berbeda dengan bentuk persamaan (1). Metodepenyelesaian PD tergantung dari klasifikasi bentuk PD kadang-kadang dapat diselesaikan denganlebih dari satu metode.Pada umumnya PD ordo satu derajat satu dapat diklasifikasikan ke dalam bentuk :1. Peubah dapat dipisahkan dalam ruas persamaan yang berbeda atau dapat dikelompokkandalam 2 kelompok, kelompok peubah x saja dan kelompok y saja sehingga bentuknya menjadi: f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 atau0)()()()(1221 dyygygdxxfxfatau dyygygdxxfxf)()()()(1221……..(3)Hal ini biasa disebut PD dengan peubah yang dapat dipisahkan.Contoh1. dx2. dy/dx
    • 0)()()()(1221 dyygygdxxfxf3.4.dengan mengintegralkan (3) akan diperoleh :…….(4)5. Contoh:Selesaikan PD 0)1( 2xydxdyxJawab :0)1( 2xydxdyx bila dikali dengan dx, maka :0)1( 2dxxydyx dibagi dengan yx )1( 2maka :0)1( 2xdxxydydengan mengintegralkan kedua ruas, maka :0)1( 2xdxxydyln y +21ln (1 + x2) = Cln y(1 + x2)1/2= Cy(1 + x2)1/2= eCjika ruas kanan diambil ln C, hal ini boleh karena ln C juga merupakan konstanta,maka penyelesaian menjadi :ln y(1 + x2)1/2= ln Cy(1 + x2)1/2= C
    • y/x= atau y= adalah solusinya2. PD Homogen, bila fungsi M(x,y) dan fungsi N(x,y) keduanya merupakan fungsi homogendengan derajat sama .Fungsi f(x,y) disebut fungsi homogen pangkat n jika memenuhi fungsif( tx,ty ) =t nf(x,y), dengan t adalah konstanta.Contoh :a. f(x,y) = 3 x2y3- 2 x4yf(tx,ty) = 3 (tx)2(ty)3- 2 (tx)4(ty)= t5(3 x2y3- 2 x4y)= t5f(x,y)Jadi, f(x,y) disebut homogen derajat 5.b. g(x,y) = 4 x y2+ 2 x2y2g(tx,ty)= 4 (tx) (ty)2+ 2 (tx)2(ty)2= t3(4x y2) + t4(2 x2y2)Jadi, g(x,y) bukan fungsi homogenBerdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika jumlah pangkat peubah x danpeubah y sama pada setiap suku dari f(x,y), maka fungsi tersebut adalah homogen.PD yang berbentuk :M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ......................... (5)Disebut PD homogen jika M(x,y) dan N(x,y) keduanya fungsi homogen dengan derajat sama.Penyelesaian PD homogen yaitu dengan mengandaikan y = Vx atau x = Vy, sehinggaPD tersebut dapat diselesaikan dengan metode peubah dapat dipisahkan.Jika diandaikan y = Vx maka dy = V dx + x dV ......................... (6)atau x = Vy maka dx = V dy + y dV ......................... (7)selanjutnya (6) atau (7) substitusi ke (5) sehingga diperoleh PD dengan peubah dapatdipisahkan.6
    • c.Persamaan diferensial ini homogen orde 2, karenaDan untuk N(x,y) = 2xyMisalkan y=vx makady= v dx + x dv. Kemudian substitusikan ke soal2x (vx) ( v dx + x dv) = (x2-v2x2) dxBagi dengan x2d. Selesaikan PD : (y2+ xy) dx + x2dy = 0Jawab :M(x,y) = y2– xy homogen berpangkat 2N(x,y) = x2homogen berpangkat 2Jadi PD tersebut di atas adalah PD homogenMisalkan y = Vx maka dy = V dx + x dV, PD menjadi :(V2x2– x Vx) dx + x2(V dx + x dV) = 0x2(V2– V) dx + x2V dx + x3dV = 0x2(V2– V + V) dx + x3dV = 0x2V2dx + x3dV = 0 kedua ruas dikalikan dengan 321xv0112dVVdxxsehingga CdVVdxx 211ln x –V1= C atau ln x –yx= C atauCxxyln
    • 3. PD Eksak, jika memenuhi turunan parsial M(x,y) terhadap y sama dengan turunan parsialN(x,y) terhadap x, atau dapat dinyatakan dengan : ),(),( yxNxyxMyAtau jika diberikan persamaan M dx + N dy = 0 maka PD tersebut persamaaneksak jika :yM=xNContoh1. Apakah PD (x2– y) dx – x dy = 0 merupakan PD eksak atau bukan?SolusiM = (x2– y),N = -x,Karena maka PD eksak2. Diberikan PD ( 3y2+ 8x ) dx + ( 6xy + 9y2) dy = 0, apakah PD tersebuteksak atau bukan ?Jawab :eksakPDydxdNdydMyxNyxyNyyMxyM66),96(6),83(224. PD linier jika PD (1) dapat dibawa ke dalam bentuk persamaan :)()( xQxPydxdyatau )()( yQyPxdxdyContoh1. Apakah PD berikut : + y = 2 + 2x merupakan PD linear ?SolusiPD tersebut merupakan PD linear karena memenuhi )()( xQxPydxdy: dimanaP(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x
    • 2. Ubah PD : 2(y – 4x2) dx + x dy = 0 ke bentuk PD linear !Jawab :PD dapat diubah ke bentuk :+ 2y = 8 x2atau + = 8 x , bentuk umum PD linier.dimana P(X) = dan Q(x) = 8xcontoh lain PD Linear3. 124ydxdy4. 223 xyxdxdy5. xxydxdy64 6. 23822 xyxdxdy6.22 xexydxdy8. xydxdy639. y’ = x3– 2xy,
    • 3. Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenPertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendeksebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding denganpanjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atauDalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial , K > 0 populasi bertambah.K < 0 populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,01324. Menyelesaikan Persamaan Differensialdengan syarat awal y = y0 apabila t = 0 . Dengan memisahkan peubah danmengintegrasikan, kita perolehSyarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0 Sehingga,Ketika k > 0 jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika k < 0disebut peluruhan eksponensial.Peluruhan RadioaktifTentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya,zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk k< 0Teorema= eBuktiPertama ingat kembali bahwa jika f(x) = ln x maka f’(x)= dan khususnya, f’(1) = 1Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat ln , diperoleh
    • Jadi . Karena g(x)= = exp x adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kitadapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikutContoh : Jamil menyimpan uang 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar 4 % . Andaikanbunga majemuknya kontinu, berapakah uang Jamil pada akhir tahun ketiga?Penyelesaian :A(t)= A0 = 500 = 563,75Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan denganmenawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yangsecara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil.Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. AndaikanAadalah nilai pada saat t uang sebesar A0 rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga rmengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari Aterhadap waktu adalah rA , yakniPersamaan diferensial ini adalah A= A0Persamaan Differensial Linear Orde-SatuTidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensialTidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dy dan seluruhungkapan yang melibatkan y pada satu sisi dan dx beserta seluruh ungkapan yang melibatkan xpada sisi lainnya.Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentukDimana P(x) dan Q(x) hanyalah fungsi-fungsi x saja. Persamaan differensial dalam bentuk inidinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.
    • Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-SatuUntuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi denganfactor integrasiDidapatkanSisi kiri adalah turunan hasil kali y . , maka persamaannya mengambil bentukIntegrasi kedua sisi menghasilkanContoh : Carilah penyelesaian umum dariPenyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah =Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentukJadi penyelesaian umumnya adalahatau
    • Tugas KelompokMATEMATIKA DASAR II“ PERSAMAAN DIFFERENSIAL 1 ”OLEH:KELOMPOK IIJAMALUDDIN H22112011AKMAL H22112268MUH. IQBAL MAULANA H22112289AHMAD JAMIL H12110290UNIVERSITAS HASANUDDIN2013