Matemática – progressão aritmética 01 – 2013

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Matemática – progressão aritmética 01 – 2013

  1. 1. MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 GRUPO 01 1) O número 15 possui quantos múltiplos com 2 dígitos? 2) Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 21? 3) Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo? 4) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão? 5) A soma dos dez termos de uma P.A. é igual a -35. O último termo é igual ao número de termos. Qual é o primeiro termo? 6) Há uma certa P.A. que tanto o primeiro termo, quanto a razão são iguais ao número de termos. Sabe-se que a soma do primeiro com quarto termo é igual a 40. Qual é esta P.A.? 7) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendose que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81? 8) A soma dos 3 termos de uma P.A. decrescente finita é igual a 21 e o seu produto é igual a 231. Qual é o valor do último termo? 9) A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. é igual a -35 e a soma dos 10 primeiros termos é igual a 5. Qual é a soma dos 15 primeiros termos desta P.A.? 10) A soma dos termos da P.A. (5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x? 11) (PUC RJ 2008) - A soma de todos os números naturais ímpares de 3 algarismos é ? a) 220.000 b) 247.500 c) 277.500 d) 450.000 e) 495.000 12) Determine a soma dos 50 primeiros termos de uma P.A onde o último elemento é 140 e a razão 3. a) 3 325 b) 4 3 70 c) 5 650 d) 6 650 GRUPO 02 1) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...). 2) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...). 3) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...). 4) Qual é o centésimo número natural par ? 5) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...). 6) Ache o sexagésimo número natural ímpar. 7) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ? 8) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21. 9) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ? 10) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785). 11) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ? 12) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ? 13) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ? 14) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ? 15) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37. MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 1
  2. 2. 16) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8 ? 17) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500. 18) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. 19) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ? 20) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987 ?b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ? MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 2
  3. 3. GABARITO - MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 GRUPO 01 Questão 01 Sabemos que todos os números naturais são múltiplos de si mesmos exceto o zero, então neste exercício tratamos de uma P.A. que se inicia no número 15 e de quinze em quinze termina no número 90, que é o maior número com dois dígitos que é divisível por 15, ou seja, que é o maior múltiplo de quinze com dois dígitos. Então os dados que possuímos para a resolução do problema são: Através da fórmula do termo geral vamos identificar o número de termos desta P.A.: Portanto a referida P.A. possui 6 termos. Apenas para que você possa conferir, veja abaixo a P.A. completa: P.A. ( 15, 30, 45, 60, 75, 90 ) Logo: O número 15 possui 6 múltiplos com 2 dígitos. _______________________________________________ Questão 02 Sabemos que com exceção dele próprio, o número zero é múltiplo de todos os números naturais, então estamos tratando da seguinte P.A.: P.A. ( 0, 21, 42, ..., a30 ) Estamos em busca do termo a30, sendo que dispomos dos seguintes dados: Através da fórmula do termo geral vamos identificá-lo: Logo: O trigésimo múltiplo do número natural 21 é 609. _______________________________________________ Questão 03 Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão: MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 3
  4. 4. Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos. Em notação matemática temos: Assim sendo: O primeiro termo desta sucessão é igual a -14. _______________________________________________ Questão 04 Vamos utilizar a fórmula abaixo na resolução do problema: Temos os seguintes dados: Substituindo-os na fórmula temos: Agora que conhecemos a razão da sucessão, podemos partir do termo a20, poderia ser o termo a10 se assim quiséssemos, para encontrarmos o termo a30: Assim sendo: O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123. _______________________________________________ Questão 05 Do enunciado tiramos que o último termo, a10, é igual a 10. Então podemos utilizar a fórmula a seguir para solucionarmos a questão: Dispomos dos seguintes dados: Substituindo-os na fórmula em busca de a1 temos: MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 4
  5. 5. Portanto: O primeiro termo desta progressão é igual a -17. _______________________________________________ Questão 06 Temos os seguintes dados: Utilizaremos a fórmula abaixo para representarmos a4 em função de a1: Para n = 4 do termo a4 e m = 1 do termo a1, temos: Portanto a4 = 4a1 e como sabemos que a1 + a4 = 40 temos: Como temos uma P.A. com 8 termos, que se inicia em 8 e cuja razão também é igual a 8 temos: A P.A. procurada é P.A. ( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 ). _______________________________________________ Questão 07 Na resolução deste problema utilizaremos a seguinte fórmula: Temos os seguintes dados: Substituindo estes dados na fórmula acima temos: Portanto: A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5. __________________________________________________ Questão 08 Temos então a seguinte progressão aritmética: P.A. ( a1, a2, a3 ) Como visto na parte teórica, sabemos que podemos representar um termo em função de outro, através da adição ou da subtração da razão, de n vezes a razão, onde n é a quantidade de termos deslocados de um ao outro. Pensando nisto podemos eleger o termo a2 para representarmos todos os outros em função dele, assim: P.A. ( a2 - r, a2, a2 + r ) Mas por que foi escolhido o termo a2 e não o a1, por exemplo? Caso tivéssemos escolhido o termo a1 teríamos: P.A. ( a1, a1 + r, a1 + 2r ) MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 5
  6. 6. Repare que como a2 é o termo central, ao escolhê-lo temos a possibilidade de eliminarmos a razão r e encontramos o seu valor ao somarmos todos os termos da P.A., vejamos: No entanto podemos ver que se tivéssemos escolhido o termo a1 isto não seria possível: Note que neste caso teríamos uma expressão com duas variáveis, o que não nos permitiria obter o valor das mesmas a partir de uma única sentença. Agindo de forma análoga, na expressão do produto iremos escrever os demais termos também em função de a2, visto que este é um valor já identificado: Visto que a P.A. é decrescente, a sua razão é negativa. Como a2 = 7, r = -4 e a3 = a2 + r, temos que: Logo: O valor do último termo desta P.A. é igual a 3. ______________________________________________ Questão 09 Sabemos que através da fórmula abaixo podemos calcular a soma dos n primeiro termos de uma progressão aritmética. Com o auxílio dela iremos solucionar o problema. Para a soma dos 5 primeiros termos temos: Para a soma dos 10 primeiros termos temos: Expressando estas duas equações em função de a1 temos: Multiplicando 2a1 + 4r = -14 por -1 e somando com 2a1 + 9r = 1, temos: Tendo conhecimento do valor da razão, podemos identificar o valor de a1 na expressão 2a1 + 9r = 1: Finalmente conhecendo-se o valor de a1 e da razão, podemos calcular a soma dos 15 primeiros termos: MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 6
  7. 7. Assim sendo: A soma dos 15 primeiros termos desta P.A. é igual a 120. ________________________________________________________ Questão 10 Primeiramente iremos calcular a razão da progressão aritmética: Agora temos como calcular o seu número de termos: Finalmente iremos calcular o valor de x: Portanto: O valor de x é 3. ________________________________________________________ 11) B /// A1=101 An=999 n=? r=2 para saber a soma primeiro temos que saber o numero de termos, n. An=A1 +(n-1)2 999=100 +(n -1)2 999-101=2n-1 898=2n-2 n=900/2 n=450 agora a soma: Sn=(A1 +An)n/2 Sn=(101 +999)450/2 Sn=1100*450/2 Sn=495.000/2 Sn=247.500 ________________________________________________________ 12. a) 3325 GRUPO 02 Questão 1 Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).r an = 2 + (n -1).5 ==> an = 2 + 5n - 5 ==> an = 5n - 3 Resposta: an = 5n - 3 Questão 2 MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 7
  8. 8. Dados: a1 = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; an = ? ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).ran = 7/3 + (n -1). 5/12 ==> an = 7/3 + 5/12n - 5/12 ==> an = 5/12n + 28/12 - 5/12 ==> an = 5/12n + 23/12 Resposta: an = 5/12n + 23/12 ou an = (5n + 23)/12 Questão 3 Dados: a1 = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; an = a15 = ? ; n = 15 Resolução: an = a1 + (n-1).ra15 = 4 + (15 -1).6 ==> a15 = 4 + 14.6 ==> a15 = 4 + 84 ==> a15 = 88 Resposta: a15 = 88 Questão 4 Dados: a1 = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; an = a100 = ? ; n = 100 Resolução: an = a1 + (n-1).ra100 = 0 + (100 -1).2 ==> a100 = 0 + 99.2 ==> a100 = 198 Resposta: a100 = 198 Questão 5 Dados: a1 = a+b ; r = (3a-2b)-(a+b) ==> r = 3a-2b - a-b ==> r = 2a-3b an = a5 = ? ; n = 5 Resolução: an = a1 + (n-1).ra5 = a+b + (5-1).(2a-3b) ==> a5 = a+b + 4.(2a-3b) ==> a5 = a+b +8a-12b ==> a5 = 9a - 11b Resposta: a5 = 9a - 11b Questão 6 Dados: a1 = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; an = a60 = ? ; n = 60 Resolução: an = a1 + (n-1).ra60 = 1 + (60 -1).2 ==> a60 = 1 + 59.2 ==> a60 = 1 + 118 ==> a60 = 119 Resposta: a60 = 119 Questão 7 Dados: a1 = 4 ; r = 5 ; an = 44 ; n = ? MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 8
  9. 9. Resolução: an = a1 + (n-1).r44 = 4 + (n-1).5 ==> 44 = 4 + 5n -5 ==> 44 -4 + 5 = 5n ==> 45 = 5n ==> 45/5 = n ==> 9 = n ou n = 9 Resposta: 9a posição Questão 8 Dados: a1 = ? ; r = 1/4 ; a17 = 21 ; n = 17 Resolução: an = a1 + (n-1).ra17 = a1 + (17-1).(1/4) ==> 21 = a1 + 16/4 ==> 21 = a1 + 4 ==> 21 - 4 = a1 ==> 17 = a1 Resposta: a1 = 17 Questão 9 Dados: a1 = -5 ; r = 3 ; an = 16 ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).r16 = -5 + (n-1).3 ==> 16 = -5 + 3n -3 ==> 16 = 3n - 8 ==> 16 + 8 = 3n ==> 24 = 3n ==> 24/3 = n ==> 8 = n Resposta: n = 8 Questão 10 Dados: a1 = 5 ; r = 5 ; an = 785 ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).r785 = 5 + (n-1).5 ==> 785 = 5 + 5n -5 ==> 785 = 5n ==> 785/5 = n ==> 157 = n Resposta: n = 157 Questão 11 Dados: a1 = ? ; an = a7 = 46 ; a6 = 39 ; r = a7 - a6 ; r = 46 - 39 ==> r = 7 ; n = 7 Resolução: an = a1 + (n-1).r46 = a1 + (7-1).7 ==> 46 = a1 + 6.7 ==> 46 = a1 + 42 ==> 46 - 42 = a1 ==> 4 = a1 Resposta: a1 = 4 Questão 12 Dados:P.A.(105,...,994); a1 = 105 ; an = 994 ; r = 7 ; n = ? MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 9
  10. 10. Resolução: an = a1 + (n-1).r994 = 105 + (n-1).7 ==> 994 = 105 + 7n - 7 ==> 994 = 105 - 7 + 7n ==> 994 = 98 + 7n ==> 994 - 98 = 7n ==>==> 896 = 7n ==> 896/7 = n ==> 128 = n Resposta: n = 128 Questão 13 Dados:P.A.(0,...,95); a1 = 0 ; an = 95 ; r = 5 ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).r95 = 0 + (n-1).5 ==> 95 = 0 + 5n - 5 ==> 95 + 5 = 5n ==> 100 = 5n ==> 100 = 5n ==> 100/5 = n ==> 20 = n Resposta: n = 20 Questão 14 1-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.Dados:P.A.(104,...,496); a1 = 104 ; an = 496 ; r = 8 ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).r496 = 104 + (n-1).8 ==> 496 = 104 + 8n - 8 ==> 496 = 96 + 8n ==> 496 - 96 = 8n ==> 400 = 8n ==> 400/8 = n ==> 50 = n 2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.Dados:P.A.(100,...,500); a1 = 100 ; an = 500 ; r = 1 ; n = ? Resolução: an = a1 + (n-1).r500 = 100 + (n-1).1 ==> 500 = 100 + n - 1 ==> 500 = 99 + n ==> 500 - 99 = n ==> 401 = n 3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351 Resposta: n = 351 Questão 15 P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)Dados: a1 = 1 ; r = ? ; an = a13 = 37 ; n = 13 Resolução: an = a1 + (n-1).ra13 = 1 + (13-1).r ==> 37 = 1 + 12.r ==> 37 -1 = 12r ==> 36 = 12r ==> 36/12 = r ==> 3 = r Calculamos as 11 interpolações: a2 = a1 + r ==> a2 = 1+3 = 4a3 = a2 + r ==> a3 = 4+3 = 7a4 = a3 + r ==> a4 = 7+3 =10a5 = a4 + r ==> a5 =10+3 =13a6 = a5 + r ==> a6 =13+3 =16a7 = a6 + r ==> a7 =16+3 =19a8 = a7 + r ==> a8 =19+3 =22a9 = a8 + r ==> a9 =22+3 =25a10 = a9+ r ==> a10 =25+3 =28a11 = a10+ r ==> a11 =28+3 =31a12 = a11+ r ==> a12 =31+3 =34 Resposta: an = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37) MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 10
  11. 11. Questão 16 Dados:P.A.(2,...,66); a1 = 2 ; an = 66 ; r = 8 ; n = ? Resolução:an = a1 + (n-1).r66 = 2 + (n-1).8 ==> 66 = 2 + 8n - 8 ==> 66 = 8n - 6 ==> 66 + 6 = 8n ==> 72 = 8n ==> 72/8 = n ==> 9 = n Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7. Resposta: n = 7 Questão 17 Dados:P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500); a1 = 10 ; an = a8 = 500 ; r = ? ; n = 8 Resolução: an = a1 + (n-1).r500 = 10 + (8-1).r ==> 500 = 10 + 7.r ==> 500 - 10 = 7r ==> 490 = 7r ==> 490/7 = r ==> 70 = r Calculamos as 6 interpolações: a2 = a1 + r ==> a2 = 10+70 = 80a3 = a2 + r ==> a3 = 80+70 = 150a4 = a3 + r ==> a4 =150+70 =220a5 = a4 + r ==> a5 =220+70 =290a6 = a5 + r ==> a6 =290+70=360a7 = a6 + r ==> a7 =360+70 =430 Calculamos a média aritmética: M.A. = Adição dos termos / número de termos adicionados = (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) / 6 M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430) / 6 = 1530 / 6 = 255 Resposta: M.A. = 255 Questão 18 P.A.(3,..,88)Dados: a1 = 3 ; r = ? ; an = a18 = 88 ; n = 18 Resolução: an = a1 + (n-1).ra18 = 3 + (18-1).r ==> 88 = 3 + 17.r ==> 88 - 3 = 17r ==> 85 = 17r ==> 85/17 = r ==> 5 = r Calculamos as 16 interpolações: a2= a1 + r ==>a2 = 3+5 = 8a3= a2 + r ==>a3 = 8+5 = 13a4= a3 + r ==>a4 = 13+5 =18a5= a4 + r ==>a5 =18+5 =23a6= a5 + r ==>a6 =23+5 =28a7= a6 + r ==>a7 =28+5 =33a8= a7 + r ==>a8 =33+5 =38a9= a8 + r ==>a9 =38+5 =43a10= a9+ r ==>a10 =43+5 =48a11= a10+ r ==>a11 =48+5 =53a12= a11+ r ==>a12 =53+5 =58a13= a12+ r ==>a13 =58+5 =63a14= a13+ r ==>a14 =63+5 =68a15= a14+ r ==>a15 =63+5 =73a16= a15+ r ==>a16 =73+5 =78a17= a16+ r ==>a17 =78+5 =83 Resposta: km 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83 MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 11
  12. 12. Questão 19 Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000. Resolução: Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r => 10000 = 1000 + (n - 1). 5 => n = 9005 / 5 => n = 1801.Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r => 9996 = 1001 + (n - 1). 7 => n = 9002 / 7 => n = 1286.Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r => 9975 = 1015 + (n - 1).35 => n = 8995 / 35 => n = 257.Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r => 10000 = 1000 + (n - 1).1 => n = 9001. Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos). Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171 Resposta: n = 6171 Questão 20 P.A.(6530, _ , 23330)Dados: a1 = 6530 ; r = ? ; an = 23330 ; n = 3 Resolução: an = a1 + (n-1).ra3 = 6530 + (3-1).r ==> 23330 = 6530 + 2.r ==> 23330 - 6530 = 2r ==> 16800 = 2r ==> 16800/2 = r ==> 8400 = ra2 = a1 + r ==> a2 = 6530 + 8400 ==> a2 = 14930 P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _)Dados: a1 = 6530 ; r = 8400 ; an = a6 = ? ; n = 6 Resolução: an = a1 + (n-1).ra6 = 6530 + (6-1).8400 ==> a6 = 6530 + 5.8400 ==> a6 = 6530 + 42000 ==> a6 = 48530 Resposta: a) 14930; b) 48530 FONTE http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoAritmeticaExercicios.aspx http://www.ebah.com.br/content/ABAAAesEUAL/exercicios-p-a MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013 Página 12

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