Matemática – função sobrejetora injetora_bijetora 01 – 2014
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  • 1. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 1 MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 GRUPO 01 GRUPO 02 1. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)). 2. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, determine: a) f(x) b) f(2) 3. Sabendo que f(3x – 2) = x² + 1, determine f(4). 4. Considere a função IRIR:f  definida por:       0xse²,x2 0xse,x2 )x(f . Calcule f(f(-1))-f(f(3)). 5. Uma função real f é tal que 4 )x(f 4 x f       . Se f(32) = 400, determine f(2). 6. Seja a função f (x) =3x + a . Sabendo que (fof)(a) = 2a +10 , determine o valor de a. 7. Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora: 8. Determine a função inversa da função bijetora }2{IR}4{IR:f  definida por 4x 3x2 )x(f    . 9. Seja }1{IR}3{IR:f  , definida por 3x 3x )x(f    . a) Obtenha a sua inversa f-1 b) Determine f-1(f(x)) 10. Seja a função f de A = {0, 1, 2, 3, 4} em B = {1, 2, 3, 4, 5}, definida por y = x + 1. a) f é invertível? Justifique. b) Determine D(f-1) e Im(f-1) 11. Dada 0x, x3 1x2 )x(f    , determine: a) f-1 (1) b) f-1(x + 1) 12. Considere a função invertível f cujo gráfico é mostrado. Determine a lei que define f-1(x).
  • 2. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 2 GABARITO - MATEMÁTICA –FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 –2014 GRUPO 02 1. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)). Solução. Efetuando as composições, temos: a) f(g(x)) = f(4 – x²) = 2(4 – x²) – 3 = 8 – 2x² – 3 = - 2x² + 5 b) g(f(x)) = g(2x – 3) = 4 – (2x – 3)² = 4 – (4x² - 12x + 9) = 4 – 4x² + 12x – 9 = - 4x² + 12x – 5. 2. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, determine: a) f(x) b) f(2) Solução. Substituindo 4x – 1 = t e trabalhando com a mudança de variáveis, temos:
  • 3. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 3 a) 7x2)x(f,Logo 7t2)t(f5)1t(25 4 1t .8)t(f 5x8)1x4(f 4 1t xt1x4                 . b) f(2) = 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11. 3. Sabendo que f(3x – 2) = x² + 1, determine f(4). Solução. A mudança de variáveis pode ser feita diretamente no valor pedido.   51²2)4(f 1²x)2x3(f 2 3 6 3 42 x42x3          . 4. Considere a função IRIR:f  definida por:       0xse²,x2 0xse,x2 )x(f . Calcule f(f(-1))-f(f(3)). Solução. Observando os intervalos de definição, temos: 6)5(1))3(f(f))1(f(f,Logo 5)7(f))3(f(f 5)7(2)7(fx2)x(f07 792)²3(2)3(f²x2)x(f03 )ii 1)1(f))1(f(f 112)²1(2)1(f²x2)x(f01 1)1(2)1(fx2)x(f01 )i              . 5. Uma função real f é tal que 4 )x(f 4 x f       . Se f(32) = 400, determine f(2). Solução. Escrevendo valores em funções de anteriores iniciando pelof(32) de forma conveniente, temos: 25 4 100 )2(f 4 )8(f 4 8 f 4 )x(f 4 x f 8x 100 4 400 )8(f 4 )32(f 4 32 f 4 )x(f 4 x f 32x                                       . Logo, f(2) = 25.
  • 4. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 4 6. Seja a função f (x) =3x + a . Sabendo que (fof)(a) = 2a +10 , determine o valor de a. Solução. Aplicando a composta duas vezes e comparando com a expressão informada, temos: 11 10 a10a2a13 10a2))a(f(f a13a4)a(9))a(f(fa4x9a)ax3(3)ax3(f))x(f(f       . 7. Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora: Solução. Observando as imagens e os contradomínios, temos: 8. Determine a função inversa da função bijetora }2{IR}4{IR:f  definida por 4x 3x2 )x(f    . Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos: 2x 3x4 )x(fy3x4)2x(y3x4y2xy3y2x4xy 4y 3y2 x:Troca 4x 3x2 y 1           . 9. Seja }1{IR}3{IR:f  , definida por 3x 3x )x(f    .
  • 5. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 5 a) Obtenha a sua inversa f-1 b) Determine f-1(f(x)) Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos: a) 1x 3x3 )x(fy3x3)1x(y3x3yxy3yx3xy 3y 3y x:Troca 3x 3x y 1           . b)     x 6 x6 6 3x . 3x x6 3x 3x3x 3x 9x39x3 3x )3x(3x 3x )3x(33x3 1 3x 3x 3 3x 3x 3 3x 3x f))x(f(f 11                                         . 10. Seja a função f de A = {0, 1, 2, 3, 4} em B = {1, 2, 3, 4, 5}, definida por y = x + 1. a) f é invertível? Justifique. b) Determine D(f-1) e Im(f-1) a) Solução. Para que seja invertível, ela precisa ser bijetora. Obervando o diagrama vemos que é bijetiva. Logo, possui inversa. b)       AfDfIm B)fIm(fD 1 1     . 11. Dada 0x, x3 1x2 )x(f    , determine: a) f-1 (1) b) f-1(x + 1) Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
  • 6. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 6 a) 1 1 1 2)1(3 1 )1(f 2x3 1 )x(fy1)2x3(y1y2xy31y2xy3 y3 1y2 x:Troca x3 1x2 y 1 1                . b) 1x3 1 23x3 1 2)1x(3 1 )1x(f 2x3 1 )x(f 11              . 12. Considere a função invertível f cujo gráfico é mostrado. Determine a lei que define f-1(x). Solução. O gráfico é uma reta. Logo, função afim. Encontrando a lei de f(x), temos: i) 2 3 x2 )x(f 3 2 a2a342a3 b)3(a4 2b b)3(a4 b)0(a2 bax)x(f               . ii) Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos: 3 2 x3 )x(fy6x3y26y2x32 3 y2 x:Troca 2 3 x2 y 1    . FONTE