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Matemática – função inversa e composta 01 – 2014
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Matemática – função inversa e composta 01 – 2014

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  • 1. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_INVERSA E COMPOSTA 01 – 2014 Página 1 MATEMÁTICA – FUNÇÃO_INVERSA E COMPOSTA 01 – 2014 01. Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. 02. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x). 03. A função f: R → R , definida por f(x) = x2 : a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = √ 𝑥 b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - √ 𝑥 c) não é inversível d) é injetora e) é bijetora 04. Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = BC 05. Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 d) 5 - 2x e) uma função par.
  • 2. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_INVERSA E COMPOSTA 01 – 2014 Página 2 GABARITO - MATEMÁTICA –FUNÇÃO_INVERSA ECOMPOSTA 01 –2014 1. Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3 Explicitando y em função de x, vem: 2y = x - 3  y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada. 2. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x). Teremos: gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15 fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3 Observe que fog  gof . 3. A função f: R  R , definida por f(x) = x2 : a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) =  x b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = -  x *c) não é inversível d) é injetora e) é bijetora SOLUÇÃO: Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível. Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta é a letra C. 4. Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: *a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc SOLUÇÃO: Teremos: fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b  fog(x) = acx + ad + b gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d  gof(x) = cax + cb + d Como o problema exige que gof = fog, fica: acx + ad + b = cax + cb + d Simplificando, vem: ad + b = cb + d ad - d = cb - b  d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .
  • 3. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_INVERSA E COMPOSTA 01 – 2014 Página 3 5. Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 *d) 5 - 2x e) uma função par. SOLUÇÃO: Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1 Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1 Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u. Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1  f(u) = 5 - 2u Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.

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