Matemática – função 01 – 2013
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Matemática – função 01 – 2013 Matemática – função 01 – 2013 Document Transcript

  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 1 MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 VALOR NUMÉRICO 01) 02) 03) 04) 05) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 02. (UESB – 2010.2_Q. 47 VERMELHO) Considerando-se a função f, de R em R, definida por f(x) = 50 - ka−bx , f(0) = 30 e f(2) = 40, pode-se afirmar que o valor de f(4) é 01) 35 02) 38 03) 40 04) 45 05) 48 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ PAR E ÍMPAR 03. Funções pares e impares: Determine a paridade, observe os gráficos e diga qual é a definição adequada para cada uma delas: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 04. Decida se as funções abaixo, dadas por seus gráficos são pares, ímpares ou nenhuma delas: a) b) c) d) e) f) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 05. (UFC-CE) Sejam f e g funções não identicamente nulas. Se f é par e g é ímpar, então: (01) f + g é par. (02) f + g é ímpar. (04) f . g é par. (08) f . g é ímpar. (16) f + g² é par. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 01. (UESB – 2007-1_Q. 46) Considerando-se f(x) a função que calcula o número de quadrados e x o número de palitos, pode- se concluir que f(x) é igual a
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 2 CRESCENTE E DECRESCENTE 06. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora: 07. f : Q→Q definida por f(x) = x2 + 1 . 08. f : Z→Z definida por f(x)= x2 . 09. f : Z→Z definida por f(x)= x+1. 10. f : Z→Z definida por f(x)= x2 . 11. f : Z→Z definida por f(x) = x+1. 12. f : Z→Z definida por f(x) = x + 1. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ COMPOSTA __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 14. (MACK-02) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g. A soma f(g(1)) + g (f (–1)) é igual a: a) –1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 1 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 13. (UESB – 2004-2_Q. 46) Considerando-se a função f, representada no gráfico, pode-se afirmar que f(f( 3)) 2f(f(2)) é igual a 01) 3 02) 1 03) 0 04) 1 05) 4
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 3 INVERSA 15. (UESB – 2008-1_Q. 42) Considerando-se as funções f(x) = 3x +2 e g(x) = -2x + 1, pode-se afirmar que (fog-1 )(x) é definida por 01) 02) – 03) 04) – 05) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16. (UESB – 2004-2_Q. 47) Para a função f(x) = 2x – 6, existem valores reais a e b, tais que f(a) = f 1 (b). Sendo assim, é correto afirmar: 01) a = 2b 02) b = 4a 03) a + b = 4 04) 4b a + 12 = 0 05) 4a b – 18 = 0 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ PRIMEIRO GRAU 17. Identifique as funções f: IR IR abaixo em afim, linear, identidade e constante: a) f(x) = 5x + 2 e) f(x) = -x + 3 b) e) f(x) = 3 1 2 x f) f(x) = x 7 1 c) f(x) = 7 g) f(x) = x d) f(x) = 3x h) f(x) = 2 – 4x 18. Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1). 19. Dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7. 20. Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4 21. Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (- 8, 0) e (0, 4) e verifique: a) Se a função é crescente ou decrescente; b) A raiz da função; c) o gráfico da função; d) Calcule f(-1). 22. Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas: a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3 23. Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00? 24. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. b) calcule o custo para 100 peças. SEGUNDO GRAU
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 4 25. (UESB – 2007-1_Q. 47) O custo para produzir x uniddes de certa mercadoria é dado pela função Nessas condições, é correto afirmar que o custo é mínimo quando x é igual a 01) 20 02) 15 03) 10 04) 8 05) 5 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 27. De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(x) = x² – 2000x e a receita representada por R(x) = 6000x – x². Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 28. Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 29. Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ EXPONENCIAL 30. (UESB – 2007-1_Q. 48) Considerando-se f(x) = , e f(a) = g(a), pode-se afirmar que a é elemento do conjunto 01) [1;2] 02) [1, + ∞ [ 03) [2; +∞] 05) [- ∞; - 3[ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 31. (UESB – 2005-1_Q. 49) Sobre a função real f(x) = 1 - 3-x , pode-se afirmar: 01) É decrescente em R. 02) É uma função par. 03) Tem para conjunto-imagem ]- ∞, 1[ 04) Tem como domínio [0, + ∞[ 05) Tem como função inversa f -1 (x) = 1 + log3(x) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 26. (UESB – 2005-1_Q. 48) Na figura, estão representadas a parábola de equação y = x2 - 4x + 2 e uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados, pelo vértice V e pelo ponto A da parábola. Com base nessas informações, pode-se concluir que as coordenadas cartesianas do ponto A são 01) 02) 03) ( 1, - 1 ) 04) 05) ( 2, - 2 )
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 5 32. (UNICAMP – Modelo ENEM) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P0. 2 –bt , na qual t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 33. (UNICAMP – Modelo ENEM) O sistema de ar-condicionado de um ônibus quebroudurante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar-condicionado, é T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text, onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T0 = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado. Em seguida, esboçe abaixo o gráfico de T(t). __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 34. Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N(t) = m. 2 t/2 , na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, determine o número de bactérias depois de 8 horas. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 35. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000. (0,9)x . O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ LOGARÍTIMICA 36. (UESB – 2008-1_Q. 44) Considerando-se f(x)= 2x, g(x)= 23x-1 e g(f(x)) = 5 e sendo log2= 0,30, pode-se afirmar que o triplo do valor de x, que satisfaz a essas condições, pertence ao intervalo 01) [0,32, 0,55] 02) [0,65, 0,85] 03) [1,64, 1,72] 04) [1,76, 1,84] 05) [1,92, 1,99] __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 37. Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 38. Seja f(X) = , onde k = 7 . 10 -3 . Qual é o valor de x para o qual f (x) = 6. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 39. Uma substância radioativa está em processo de desintegração, de modo que no nstante t a quantidade não desintegrada é A(t ) = A(0) × e-3t , em que A(0) indica a quantidade da substância no instante t = 0 . Calcule o tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 6 MODULAR 40. (UESB – 2008-1_Q. 42) O gráfico que melhor representa a função f(x)=2 |x 1| é __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Considera a função f (x) = x2 − 4x + 3. Construir os gráficos das seguintes funções: 41. g(x) = | f (x) | = 42. g(x) = f ( |x| ) = 43. g(x) = | f ( |x| ) | = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Considera a função Construir os gráficos das seguintes funções: 44. g(x) = | f (x) | = 45. g(x) = f ( |x| ) = 46. g(x) = | f ( |x| ) | = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Considera a função . Construir os gráficos das seguintes funções: 47. g(x) = | f (x) | = 48. g(x) = f ( |x| ) = 49. g(x) = | f ( |x| ) | = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 7 GABARITO - MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 R 01. 04 /// R 02. 04 /// R 03. R 04. a) nem par nem ímpar; b) ímpar; c) nem par nem ímpar; d) ímpar; e) par; f) par R 05. Vimos na video aula que o expoente determina a paridade nas funções polinomiais, se todos os expoentes da função forem pares ela é par, se todos forem ímpares, essa função é ímpar, e se tivermos expoentes pares e ímpares misturados ela não possui paridade. Bem, se f é par podemos escrevê-la como: f(x) = x². Se g é ímpar podemos escrevê-la como: g(x) = x³. Vamos analisar os itens: (01) f + g será: x² + x³ Sem paridade. Item falso (02) f - g será: x² - x³ Sem paridade. Item falso. (04) f.g será: x².x³ = x5 A função é ímpar. Item falso (08) Verdadeiro (16) f + g² será: x² + (x³)² x² + x6 Função par. Item verdadeiro. Gabarito: 08+16 = 24 R 06. ANULADA
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 8 RESPOSTAS 07. Se f é injetora, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Daí, x12 + 1 = x22 + 1 ⇒ x12 = x22 Se f não é sobrejetora pois, para f(x) = 0 não existe x tal que x2+ 1= 0. Como f não é sobrejetora ela também não pode ser bijetora. Portanto ela é injetora. 08. A função f(x) = x2 não é injetora pois, por exemplo 1 ≠-1 mas f(1) = f(-1) = 1. 09. A função f(x) = x+1 é injetora pois sempre x1≠x2, x1+1 ≠ x2+1. 10. A função f(x) = x2 não é sobrejetora pois, por exemplo para f(x) = -1 não existe x tal que x2 = -1. 11. A função f(x) = x + 1 é sobrejetora pois para todo inteiro y existe um inteiro x tal que x + 1 = y. 12. A função f(x) = x+1 é bijetora pois, como vimos acima é injetora e sobrejetora. 13. 02 /// R 14. B /// R 15. 01 /// R 16. 05 /// R 17. afim, afim, constante, linear, afim, linear, identidade, afim. R 18. 1 /// R 19. ½ /// R 20. a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = - 2x + 5 c. f(x) = 3x + 2 R 21. f(x) = 4 2 x a. crescente b. x = - 8 d. f(-1) = 2 7 R 22. R 23. a. f(x) = 5x – 230 b. para x < 46 c. para x = 109 d. para x > 102 R 24. a. C(x) = 8 + 0,5x b. R$ 58,00 R 25. R 26. 03) R 27. L = R – C L = 6000 – x² – (x² – 2000x) L = 6000 – x² – x² + 2000x L = –2x² + 8000x Coeficientes: a = –2, b = 8000 e c = 0 Para determinar o número de peças produzidas para que o lucro seja máximo, devemos utilizar Xv. Para que o lucro seja máximo, a empresa deverá produzir 2 000 peças.
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 9 R 28. Parábola com concavidade voltada para cima. Na função, os coeficientes são: a = 1, b = –80 e c = 3000 Quantidade de unidades vendidas para que o custo seja mínimo será dada por Xv. Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades do produto. Valor do custo mínimo será dado por Yv. O valor do custo mínimo é de R$ 1 400,00. R 29. Parábola com concavidade voltada para baixo. Coeficientes da função: a = –1, b = 60 e c = 0 Altura máxima será representada por Yv. A altura máxima atingida pelo avião de acordo com a função foi de 900 metros R 30. (UESB – 2007-1_Q. 48) /// R 31. 03) /// R 32. Se a meia vida do estrôncio 90 é 29 anos, de acordo com a função dada, resulta P(t) = P0. 2 –b.29 = . P0 2–b.29 = b =
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 10 R 33. R 34. ?? R 35. D /// R 36. 01 ///
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 11 R 37. Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por log N, que representa o logaritmo de N na base 10. Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1. Se necessário, revise logaritmos. Seja Ai o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente. Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010 . Teremos então: A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010 A1 = log A0 = log (4,8.1010 ) = log 4,8 + log 1010 = 10 + log 4,8 Então: A2 = log A1 = log 10 + log 4,8 Ora, como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1). Então, A1 = 10 + log 4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹ e 100 = 10². Nestas condições, teremos: A2 = log A1 = log (10,m) Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja log A2 = 1,n. Portanto, A3 = log A2 = log (1,n) Como 1,n é um número decimal entre 1 = 100 e 10 = 101 , podemos afirmar que log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p . Portanto, A3 = 0,p A4 = log A3 = log (0,p) Ora, como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A4 é menor do que zero, ou seja, um número negativo. Logo, A5 = log A4 e como A4 é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A5 - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 12 R 40. 05 R 41. R 42. R 43. R 44. R 45. R 46. R 47. R 48. R 49. FONTE http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-maximo-minimo.htm#questao-2373 http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/pareimpar/fparimpar.htm http://professorjuniorvieira.files.wordpress.com/2012/11/01-func3a7c3a3o-exponencial-exercc3adcios- resolvidos.pdf
  • MATEMÁTICA – FUNÇÃO 01 – 2013 Página 13