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Matemática – equação inequação sistema linear_problemas – 2013

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Matemática – equação inequação sistema linear_problemas – 2013

  1. 1. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 1 MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 GRUPO 01 – SISTEMA DE EQUAÇÃO 1° GRAU 01) Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafas de um litro e meio, quanto de 600 ml. Qual é a quantidade de garrafas de cada capacidade sabendo-se que são 13 garrafas no total? 02) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 7,00. Seu irmão Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais, pagando R$ 11,50. Qual é o preço do refrigerante e o da coxinha? 03) Em uma prateleira há 42 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 18,5 kg. Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja o mesmo que o número de embalagens de 500 g? 04) Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo jogador possui 8 fichas com um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possui este jogador? 05) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30 notas. Quantas notas possuo de cada valor? 06) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B, terei que desembolsar R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9 unidades do produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um dos produtos? 07) No supermercado comprei arroz a R$ 2,00/kg e feijão a R$ 3,00/kg, pagando R$ 13,00. Na vendinha do seu Joaquim o arroz teria custado R$ 3,00/kg e o feijão R$ 4,50/kg, pagando R$ 19,50 no total. Quantos quilogramas foram comprados de cada item? 08) Em um pasto há tanto bois quanto cavalos, num total de 50 animais. Somando-se o número de patas de bois ao número de patas de cavalos, obtemos um total de 180 patas. Quantos cavalos temos no pasto, sabendo-se que todos os animais são normais? 09) Têm-se vários quadrados iguais e também vários triângulos iguais. Se destes tomarmos dois triângulos e quatro quadrados, a soma das suas áreas será igual a 784 cm2 , já se tomarmos apenas um triângulo e dois quadrados, a soma das suas áreas será igual a 392 cm2 . Qual é a área de cada um destes triângulos e quadrados? 10) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são estes números? GRUPO 02 – INEQUAÇÃO 1° GRAU 01. O quíntuplo de um número x subtraído de 12 é sempre maior do que 13. Escreva e resolva essa inequação. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 02. A soma de 5 à metade de um número é sempre maior do eu a subtração entre 10 e o dobro desse número. Resolva essa inequação. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 03. Mesmo que eu aumente o meu dinheiro em R$ 1.000,00 e depois dobre o resultado, ainda vou ter menos do que o valor da moto que quero comprar que custa R$ 4.000,00. Quanto eu tenho? 04. Para estudar um projeto, será formada uma comissão mista de deputados e senadores, num total de oito membros. O dobro do número de senadores mais 1 deverá ser menor que total de membros da comissão. Quantos deputados e senadores terá a comissão? 05. Doze atores, entre garotas e rapazes, serão escolhidos para trabalhar em uma peça de teatro. O diretor resolveu que o triplo do número de rapazes menos 1 deverá ser menor que o total de atores da peça. Quantas garotas e quantos rapazes serão escolhidos, se deve haver p pelo menos dois rapazes como atores? 06. Num hospital, será formada uma comissão mista de médicos e enfermeiras. A comissão será formada por sete pessoas, de modo que o quádruplo do número de médicos deverá ser maior ou igual a 12. Quantos médicos e quantas enfermeiras constituirão a comissão? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07. Num congresso, será criada uma comissão científica com nove integrantes, entre matemáticos, físicos e químicos. O triplo do número de matemáticos tem de ser maior que 12, e o número de físicos deve ser maior ou igual ao de químicos. Quantos integrantes de cada especialidade constituirão a comissão, se deve haver pelo menos um químico na comissão?
  2. 2. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 08. Uma comissão salarial mista de seis membros, escolhidos entre operários e economistas, deve ser formada de modo que o dobro do número de operários seja maior que o número de economistas. Quantos operários e quantos economistas haverá na comissão? GRUPO 03 – EQUAÇÃO 1° GRAU 09. Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha idade, somando ao dobro da idade dele, dá 100 anos. Qual a minha idade? 10. Eu tenho o dobro da idade de minha filha, se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade é: 11. Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercícios que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quanto exercício acertou? 12. Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de $10,00 e outras de R$5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu. 13. A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00. 14. A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 120 – 2p. Determinar o preço “p” correspondente a 30 unidades de produtos vendidos. 15. Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos? 16. Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros. 17. A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa? 18. Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica? 19. Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas? 20. Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras? 21. Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?
  3. 3. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 3 GABARITO GRUPO 01 – SISTEMA DE EQUAÇÃO 1° GRAU - MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 01. Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1° grau com 2 incógnitas, não seja a resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema. Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litrossão 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas. Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de refrigerante. Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l. Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a primeira equação: O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de13 garrafas. Temos então a segunda equação: Eis portanto o nosso sistema: Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da segunda equação por -0,6: Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação. Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y: Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o termo 7,2: Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y: Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema. Na geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml. 02. Para montarmos as equações vamos utilizar a incógnita c para representar a quantidade de coxinhas e a variável rpara a representação da quantidade de refrigerantes. Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos: Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$ 11,50, temos: Temos então o seguinte sistema: Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiro membro, a incógnita r da primeira equação: Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações mais simples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça simplificar a resolução do sistema. Agora vamos substituir r na segunda equação:
  4. 4. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 4 A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r: Então: O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50. 03. Para que as quantidades fiquem iguais, precisamos retirar da prateleira a diferença entre elas. Se representarmos a maior quantidade por x e a menor quantidade por y, precisamos retirar x - y embalagens de 400 g. Obviamente primeiro é preciso obter o valor de x e y. Para isto iremos montar com estas duas variáveis um sistema de equações do primeiro grau. A partir do enunciado podemos facilmente montar o seguinte sistema: A primeira equação representa que a quantidade de embalagens com 400 g, juntamente com a quantidade com500 g totalizam 42 embalagens. A segunda equação representa que a massa das embalagens com 400 g, mais a massa das embalagens com500 g totalizam 18,5 kg. Observe que passamos a massa das embalagens para kg, pois a massa total também está em kg, no entanto poderíamos ter passado a massa total para g se desejássemos. Vamos resolver este exercício pelo método da substituição. Para que possamos eliminar a variável y, vamos multiplicar todos os termos da primeira equação pelo oposto do coeficiente de y na segunda equação que é -0,5: Agora podemos somar as duas equações: Para obtermos o valor de y vamos substituir o valor de x na primeira equação: Como x = 25 e y = 17 a diferença x - y é igual a 8, portanto: 8 embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número destas embalagens seja o mesmo que o número das embalagens de 500 g. 04. Como sempre vamos atribuir uma letra a cada uma das variáveis do problema. Para as fichas com duas figuras vamos atribuir a letra x e para as fichas com quatro figuras vamos atribuir a letra y. Lendo o enunciado fica evidente a primeira equação: Como a letra x está associada às fichas com 2 figuras, assim como a letra y às fichas com quatro figura e como no total temos 22 figuras, podemos escrever a segunda equação: Então temos que solucionar o seguinte sistema: Vamos solucioná-lo pelo método da substituição, primeiramente isolando no primeiro membro a incógnita x da primeira equação: Agora vamos substituir o resultado obtido na segunda equação: Finalmente vamos obter o valor de x: Portanto: Este jogador possui 5 fichas com duas figuras e 3 fichas com quatro figuras. 05. Representando por x as notas de R$ 50,00 e por y as notas de R$ 100,00, a partir das informações do problema podemos equacionar o seguinte sistema:
  5. 5. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 5 Vamos utilizar o método da adição e para que não fiquemos com nenhum termo negativo após efetuarmos a soma, vamos escolher eliminar a variável x e não a y. Para isto iremos multiplicar por -50 todos os termos da primeira equação, valor este simétrico ao coeficiente de x na segunda equação: Após executarmos a soma e isolarmos y temos: E por fim, substituindo o valor de y na primeira equação: Logo: Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de R$ 100,00. 06. Os dados do problema nos levam ao seguinte sistema: Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Iremos começar multiplicando a primeira equação por -3: Agora realizaremos a soma: Note que chegamos a uma sentença inválida, portanto o sistema é impossível, não admitindo soluções. Logo: Não é possível obtermos o preço unitário de cada um dos produtos. 07. Do enunciado chegamos ao sistema: Vamos isolar a variável A da primeira equação para aplicarmos o método da substituição: Agora vamos substituir A na segunda equação: Logo o sistema é possível e indeterminado, possuindo uma infinidade de soluções. Então: As informações do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções. 08. Do enunciado chegamos ao sistema: Vamos isolar a variável A da primeira equação para aplicarmos o método da substituição: Agora vamos substituir A na segunda equação: Logo o sistema é possível e indeterminado, possuindo uma infinidade de soluções.
  6. 6. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 6 Então: As informações do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções. 09. Para equacionarmos o problema, vamos atribuir a letra T aos triângulos e a letra Q aos quadrados, então a partir do enunciado podemos montar o seguinte sistema de equações com duas variáveis: Vamos resolvê-lo pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2 e adicionando à primeira: O fato de termos chegado a 0 = 0 nos indica que este é um sistema possível e indeterminado, pois embora haja solução para o mesmo, não temos apenas uma única solução. Logo: Os dados do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções. 10. Representando por x o número maior e por y o número menor, temos o seguinte sistema a resolver: É bastante claro para nós que ao somarmos as equações iremos eliminar os termos com a variável y e é isto o que iremos fazer para apuramos o valor de x: Agora vamos obter o valor de y trocando o x na primeira equação pelo valor encontrado: Pronto: Os números são 354 e 176. GABARITO GRUPO 02 – INEQUAÇÃO 1º GRAU - MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 01. 02. 03. 04. 1 senador e 7 deputados, ou 2 senadores e 6 deputados, ou 3 senadores e 5 deputados.; 05. 4 rapazes e 8 garotas, ou 3 rapazes e 9 garotas, ou 2 rapazes e 10 garotas.;
  7. 7. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 7 06. 3 médicos e 4 enfermeiras, ou 4 médicos e 3 enfermeiras, ou 5 médicos e 2 enfermeiras, ou 6 médicos e 1 enfermeira.; 07. 08. 3 operários e 3 economistas, ou 4 operários e 2 economistas, ou 5 operários e 1 economista. GABARITO GRUPO 03 – EQUAÇÃO 1° GRAU - MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 01. 8 /// 02. 14 /// 03. 15 /// 04. 3 /// 05. 16 /// 06. 27 /// 07. 4 /// 08. 6 /// 09. 18 anos /// 10. 46 anos /// 11. 35 /// 12. 6 /// 13. 40/// 14. 45 15. Resposta: 20 anos. 15 + 17 + x + x = 72 32 + 2x = 72 2x = 72 - 32 2x = 40 x = 40/2 x = 20 anos 16. Resposta: Bicicletas: x = 12 e Carros: y = 8. x + y = 20 2x + 4y = 56 Sistema com duas equações do 1º grau à duas variáveis. -2x - 2y = -40 2x + 4y = 56 ___________ 2y = 16 y = 8 e x = 12 17. Resposta: Há 90 objetos na caixa. x / 2 + x / 3 = 75 m.m.c.(2,3,1) = 6
  8. 8. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 8 3x / 6 + 2 x / 6 = 450 / 6 3x + 2x = 450 5x = 450 x = 90 18. Resposta: A fábrica tem 135 funcionários. x / 3 + 90 = x m.m.c.(3,1,1) = 3 x / 3 + 270 / 3 = 3 x / 3 x + 270 = 3 x 270 = 2 x x = 135 19. Resposta: Temos 10 bolas brancas. p = bolas pretas b = bolas brancas Temos: p = 3b p -24 = b-4, substituir 3b em p. 3b -24 = b-4 3b -b = - 4 + 24 2b = 20 b = 20/2 b = 10 20. Resposta: Primeira e segunda pessoas receberão R$ 109,50 e a terceira pessoa recerá R$ 219,00. x + x + 2 x = 438 4 x = 438 4x / 4 = 438 / 4 x = 109,5 21. Resposta: O número é 20. 3x + 40 = 5 x 3x - 3x + 40 = 5x - 3x 40 = 2x 40 / 2 = 2x /2 20 = x
  9. 9. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 9 GABARITO - MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013
  10. 10. MATEMÁTICA – EQUAÇÃO_INEQUAÇÃO_SISTEMA LINEAR_PROBLEMAS – 2013 Página 10 http://www.matematicamuitofacil.com/equacaoprimeirograu03.html http://quimsigaud.tripod.com/inequacaodo1grau/ http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasEquacoesPrimeiroGrauDuasIncognitasExercicios.aspx

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