2. Pegas Ideal Dan GerakPegas Ideal Dan Gerak
Harmonik SederhanaHarmonik Sederhana
Pegas merupakan suatu benda yang seringPegas merupakan suatu benda yang sering
kita jumpai dalam berbagai aplikasi, darikita jumpai dalam berbagai aplikasi, dari
saklar hingga sistem suspensi kendaraan.saklar hingga sistem suspensi kendaraan.
Pegas amat berguna karena memilikiPegas amat berguna karena memiliki
kemampuan untuk direntang dan ditekan.kemampuan untuk direntang dan ditekan.
3. ContohContoh
Gambar bagian atasGambar bagian atas
menunjukkan pegas yangmenunjukkan pegas yang
direntangkan. Dalam hal inidirentangkan. Dalam hal ini
tangan memberikan gayatangan memberikan gaya
tarik +tarik +FFAppliedApplied pada pegas.pada pegas.
Akibatnya pegas teregangAkibatnya pegas teregang
dan mengalami pergeserandan mengalami pergeseran
sebesar +sebesar +xx dari kondisidari kondisi
awalnya, atau panjangawalnya, atau panjang
“mula-mula”.“mula-mula”.
4. Gambar bagian bawahGambar bagian bawah
menunjukkan pegasmenunjukkan pegas
dalam keadaan tertekan.dalam keadaan tertekan.
Dalam hal ini tanganDalam hal ini tangan
memberikan gaya tekanmemberikan gaya tekan
sebesar -sebesar -FFAppliedApplied pada pegas,pada pegas,
akibatnya pegasakibatnya pegas
mengalami pergeseranmengalami pergeseran
sebesar -sebesar -xx dari panjangdari panjang
mula-mulamula-mula
ContohContoh
5. Konstanta PegasKonstanta Pegas
Percobaan menunjukkan bahwa untukPercobaan menunjukkan bahwa untuk
pergeseran yang kecil, besar gayapergeseran yang kecil, besar gaya FFAppliedApplied yangyang
dibutuhkan untuk meregangkan ataudibutuhkan untuk meregangkan atau
menekan pegas berbanding lurus denganmenekan pegas berbanding lurus dengan
pergeserannya,pergeserannya, xx, atau dinyatakan sebagai, atau dinyatakan sebagai
FFappliedapplied ∝∝ xx
Seperti biasa, kesebandingan tersebut dapatSeperti biasa, kesebandingan tersebut dapat
diwujudkan dalam persamaan yangdiwujudkan dalam persamaan yang
mengandung konstanta kesebandinganmengandung konstanta kesebandingan kk::
kxF =
6. Hukum Hooke UntukHukum Hooke Untuk
Pegas IdealPegas Ideal
Gaya pulih pada pegas ideal adalahGaya pulih pada pegas ideal adalah
F = -kxF = -kx
dengandengan kk adalah konstanta pegas danadalah konstanta pegas dan xx
adalah perubahan panjang pegas. Tandaadalah perubahan panjang pegas. Tanda
negatif menunjukkan bahwa gaya pulihnegatif menunjukkan bahwa gaya pulih
selalu berlawanan arah dengan arahselalu berlawanan arah dengan arah
pertambahan panjang pegas.pertambahan panjang pegas.
8. Gerak Harmonik Sederhana DanGerak Harmonik Sederhana Dan
Kaitannya dengan Gerak MelingkarKaitannya dengan Gerak Melingkar
Gerak harmonik sederhana dapat dijelaskanGerak harmonik sederhana dapat dijelaskan
menggunakan besaran-besaran perpindahan,menggunakan besaran-besaran perpindahan,
kecepatan dan percepatan. Model dalam Gambarkecepatan dan percepatan. Model dalam Gambar
akan membantu dalam menjelaskan besaran-akan membantu dalam menjelaskan besaran-
besaran tersebut.besaran tersebut.
Pada model ini terdapat sebuah bola kecil yangPada model ini terdapat sebuah bola kecil yang
menempel pada permukaan meja putar. Bolamenempel pada permukaan meja putar. Bola
tersebut bergerak melingkar beraturan dalamtersebut bergerak melingkar beraturan dalam
lintasan yang disebutlintasan yang disebut lingkaran acuanlingkaran acuan..
9. Jika bola bergerak, maka bayangannyaJika bola bergerak, maka bayangannya
tergambar pada lapisan pita yang bergeraktergambar pada lapisan pita yang bergerak
vertikal dengan laju tetap.vertikal dengan laju tetap.
Gerak Harmonik Sederhana DanGerak Harmonik Sederhana Dan
Kaitannya dengan Gerak MelingkarKaitannya dengan Gerak Melingkar
10. PerpindahanPerpindahan
Bola mulai dari sumbu x padaBola mulai dari sumbu x pada
x = +Ax = +A dan bergerakdan bergerak
menempuh sudutmenempuh sudut θθ dalamdalam
waktuwaktu tt. Karena gerak ini. Karena gerak ini
merupakan gerak melingkarmerupakan gerak melingkar
beraturan, maka bola bergerakberaturan, maka bola bergerak
dengan laju sudut konstandengan laju sudut konstan
ωω (dalam rad/s). Akibatnya(dalam rad/s). Akibatnya
dapat dinyatakan,dapat dinyatakan, θθ == ωωtt..
Perpindahan bayangan padaPerpindahan bayangan pada
araharah xx adalah proyeksi jari-jariadalah proyeksi jari-jari
lingkaranlingkaran AA pada sumbupada sumbu xx::
x = Ax = Acoscosθθ = A= Acoscosωωtt
11. PeriodaPerioda
Waktu yang diperlukan oleh suatu benda yangWaktu yang diperlukan oleh suatu benda yang
bergerak harmonik sederhana untuk menempuhbergerak harmonik sederhana untuk menempuh
satu putaran penuh disebutsatu putaran penuh disebut periodaperioda T.T.
Besar periodaBesar perioda TT bergantung pada laju sudut bolabergantung pada laju sudut bola
ωω, hal ini karena semakin besar laju sudut, maka, hal ini karena semakin besar laju sudut, maka
semakin singkat waktu yang diperlukan untuksemakin singkat waktu yang diperlukan untuk
menempuh satu putaran.menempuh satu putaran.
Hubungan antaraHubungan antara ωω andand TT diperoleh daridiperoleh dari ωω ==
∆∆θθ//∆∆tt, sehingga, sehingga
T
π
ω
2
=
12. FrekuensiFrekuensi
Tidak jarang digunakan juga istilahTidak jarang digunakan juga istilah
frekuensifrekuensi yang menyatakan banyaknyayang menyatakan banyaknya
putaran dalam satu detik.putaran dalam satu detik.
Biasanya, satu putaran per detik dinyatakanBiasanya, satu putaran per detik dinyatakan
sebagai 1 hertz (Hz),sebagai 1 hertz (Hz), satuansatuan diambil daridiambil dari
nama Heinrich Hertz (1857–1894).nama Heinrich Hertz (1857–1894).
T
f
1
=
13. Frekuensi SudutFrekuensi Sudut
Dengan menggunakan hubunganDengan menggunakan hubungan ωω = 2= 2ππ//TT
dandan ff = 1/= 1/TT, dapat diperoleh hubungan, dapat diperoleh hubungan
antara laju sudutantara laju sudut ωω (dalam rad/s) dengan(dalam rad/s) dengan
frekuensifrekuensi ff (dalam putaran/s atau Hz):(dalam putaran/s atau Hz):
KarenaKarena ωω berbanding lurus denganberbanding lurus dengan
frekuensifrekuensi ff, maka, maka ωω sering juga disebutsering juga disebut
sebagaisebagai frekuensi sudut.frekuensi sudut.
f
T
π
π
ω 2
2
==
14. KecepatanKecepatan
Model lingkaran acuan dapatModel lingkaran acuan dapat
pula digunakan untukpula digunakan untuk
menentukan kecepatan bendamenentukan kecepatan benda
yang bergerak harmonikyang bergerak harmonik
sederhana.sederhana.
Gambar di sampingGambar di samping
menunjukkan bahwa kecepatanmenunjukkan bahwa kecepatan
bayanganbayangan vv adalahadalah komponenkomponen
dalam arah sumbu x daridalam arah sumbu x dari
vektorvektor vvTT, sehingga,, sehingga, v = -vv = -vTT
sinsinθθ, dengan, dengan θθ == ωωtt..
15. Tanda negatif diperlukan karenaTanda negatif diperlukan karena vv berarahberarah
ke kiri, dalam arah sumbuke kiri, dalam arah sumbu x.x.
Karena laju tangensialKarena laju tangensial vvTT berhubunganberhubungan
dengan laju angulardengan laju angular ω,ω, yaituyaitu vvTT == rrωω dandan
karenakarena r = Ar = A, maka, maka vvTT == AAωω..
Oleh karena itu, kecepatan benda yangOleh karena itu, kecepatan benda yang
bergerak harmonik sederhana adalahbergerak harmonik sederhana adalah
v = -Av = -Aωωsinsinθθ == -A-Aωωsinsinωωtt
vvmaxmax = A= Aωω ((ωω dalam rad/s)dalam rad/s)
KecepatanKecepatan
16. PercepatanPercepatan
Dalam gerak harmonikDalam gerak harmonik
sederhana, kecepatan bendasederhana, kecepatan benda
tidak konstan; hal ini dapattidak konstan; hal ini dapat
terjadi karena adanyaterjadi karena adanya
percepatan. Percepatan ini dapatpercepatan. Percepatan ini dapat
pula ditentukan dengan bantuanpula ditentukan dengan bantuan
model lingkaran-acuan.model lingkaran-acuan.
Sebagaimana ditunjukkan dalamSebagaimana ditunjukkan dalam
Gambar, bola pada lingkaranGambar, bola pada lingkaran
acuan bergerak melingkaracuan bergerak melingkar
beraturan dengan demikian adaberaturan dengan demikian ada
percepatan sentripetalpercepatan sentripetal aacc yangyang
arahnya menuju pusat lingkaranarahnya menuju pusat lingkaran
17. Percepatan bayanganPercepatan bayangan aa adalah komponenadalah komponen
arah sumbuarah sumbu xx dari percepatan sentripetal;dari percepatan sentripetal; aa
= -a= -ass coscosθθ. Tanda negatif menunjukkan. Tanda negatif menunjukkan
bahwa percepatan bayangan berarah ke kiri.bahwa percepatan bayangan berarah ke kiri.
Karena percepatan sentripetal dapatKarena percepatan sentripetal dapat
dihubungkan dengan laju sudutdihubungkan dengan laju sudut ωω yaituyaitu aass ==
rrωω 22
dandan r = Ar = A, maka diperoleh, maka diperoleh aass == AAωω 22
..
Percepatan gerak harmonis sederhanaPercepatan gerak harmonis sederhana
menjadimenjadi a = -Aa = -Aωω22
coscosθθ= -= -AAωω22
coscosωωtt
aamaxmax = A= Aωω22
((ωω dalam rad/s)dalam rad/s)
PercepatanPercepatan
18. Frekuensi GetaranFrekuensi Getaran
Dengan menggunakan hukum II NewtonDengan menggunakan hukum II Newton
((ΣΣF = maF = ma), dapat ditentukan frekuensi), dapat ditentukan frekuensi
getaran suatu benda bermassagetaran suatu benda bermassa mm yangyang
terikat pada pegas.terikat pada pegas.
Diasumsikan bahwa massa pegas dapatDiasumsikan bahwa massa pegas dapat
diabaikan dan gaya yang bekerja padadiabaikan dan gaya yang bekerja pada
benda hanya dalam arah horisontal yangbenda hanya dalam arah horisontal yang
disebabkan oleh pegas, yaitu gaya pulihdisebabkan oleh pegas, yaitu gaya pulih
yang sesuai dengan hukum Hooke.yang sesuai dengan hukum Hooke.
19. Frekuensi GetaranFrekuensi Getaran
Karena gaya total adalahKarena gaya total adalah ΣΣF = -kxF = -kx, sehingga, sehingga
dengan menggunakan hukum II Newtondengan menggunakan hukum II Newton
dapat diperoleh -dapat diperoleh -kx = makx = ma, dengan, dengan aa adalahadalah
percepatan benda. Perpindahan danpercepatan benda. Perpindahan dan
percepatan osilasi pegas, berturut-turutpercepatan osilasi pegas, berturut-turut
adalah,adalah, x = Ax = Acoscosωωtt dandan a = -Aa = -Aωω22
coscosωωt.t.
Pada akhirnya dapat diperolehPada akhirnya dapat diperoleh
20. Energi pada Gerak HarmonikEnergi pada Gerak Harmonik
SederhanaSederhana
21. ENERGI POTENSIALENERGI POTENSIAL
ELASTIKELASTIK
DEFINISIDEFINISI
Energi potensial elastik PEEnergi potensial elastik PEelastikelastik adalah energiadalah energi
yang dimiliki pegas dalam keadaan tertekanyang dimiliki pegas dalam keadaan tertekan
atau teregang. Untuk pegas ideal denganatau teregang. Untuk pegas ideal dengan
konstanta pegaskonstanta pegas kk dan besardan besar
regangan/perubahan panjangregangan/perubahan panjang xx relatifrelatif
terhadap panjang mula-mula, maka energiterhadap panjang mula-mula, maka energi
potensial pegas tersebut adalahpotensial pegas tersebut adalah
PEPEelasticelastic = ½= ½ kxkx22
Satuan Internasional (SI) untuk EnergiSatuan Internasional (SI) untuk Energi
Potensial Elastik adalah:Potensial Elastik adalah:
22. PendulumPendulum
Pendulum sederhana terdiri dari benda denganPendulum sederhana terdiri dari benda dengan
massamassa mm, diikat pada suatu sumbu tetap tidak, diikat pada suatu sumbu tetap tidak
bergesekanbergesekan PP oleh sebuah kabel yang panjangnyaoleh sebuah kabel yang panjangnya
LL dan dapat diabaikan massa kabelnya.dan dapat diabaikan massa kabelnya.
Ketika bendanya ditarik menjauh dari posisiKetika bendanya ditarik menjauh dari posisi
setimbang dengan sudutsetimbang dengan sudut θθ dan dilepas, makadan dilepas, maka
benda tersebut akan mengayun.benda tersebut akan mengayun.
Apabila gerakan benda tersebut diplot ke kertasApabila gerakan benda tersebut diplot ke kertas
yang juga dapat bergerak, maka akan diperolehyang juga dapat bergerak, maka akan diperoleh
pola yang hampir sama dengan pola sinusoida daripola yang hampir sama dengan pola sinusoida dari
gerak harmonik sederhana.gerak harmonik sederhana.
23. PendulumPendulum
A simple pendulumA simple pendulum
swinging back and forthswinging back and forth
about the pivotabout the pivot PP. If the. If the
angleangle θθ is small, theis small, the
swinging isswinging is
approximately simpleapproximately simple
harmonic motion.harmonic motion.
24. Gaya gravitasi yang menyebabkan ayunanGaya gravitasi yang menyebabkan ayunan
rotasi di sumburotasi di sumbu PP..
Laju rotasi meningkat ketika bendaLaju rotasi meningkat ketika benda
mendekati titik setimbang (atau titikmendekati titik setimbang (atau titik
terendak pada busur) dan melambat ketikaterendak pada busur) dan melambat ketika
mendekati bagian atas dari ayunan.mendekati bagian atas dari ayunan.
Keceepatan sudut berkurang sampaiKeceepatan sudut berkurang sampai
mencapai nilai nol dan benda berayunmencapai nilai nol dan benda berayun
kembali ke titik setimbang.kembali ke titik setimbang.
PendulumPendulum
25. Gaya gravitasiGaya gravitasi mmgg menghasilkan torsi,menghasilkan torsi,
tetapi tegangan kabel tidak menghasilkantetapi tegangan kabel tidak menghasilkan
torsi karena tegak lurus arah gerak.torsi karena tegak lurus arah gerak.
Torsi yang dihasilkan gaya gravitasi denganTorsi yang dihasilkan gaya gravitasi dengan
panjang lenganpanjang lengan adalahadalah ττ = -(= -(mgmg))
adalah jarak tegak lurus lengan antaraadalah jarak tegak lurus lengan antara
garis kerjagaris kerja mmgg dan titik ayunan.dan titik ayunan.
Untuk sudut ayunan yang kecil (Untuk sudut ayunan yang kecil (θθ ≤≤ 1010º),º),
hampir sama dengan panjang busurhampir sama dengan panjang busur ss == LLθθ..
SehinggaSehingga ττ ≈≈ - (- (mgmg)) LL θθ
PendulumPendulum
26. NilaiNilai mgLmgL merupakan suatu konstantamerupakan suatu konstanta kk’,’,
yang tidak bergantung kepadayang tidak bergantung kepada θθ..
Sehingga persamaan di atas menjadiSehingga persamaan di atas menjadi
ττ ≈≈ -- kk’’ θθ yang hampir sama dengan hukumyang hampir sama dengan hukum
Hooke untuk pegas ideal.Hooke untuk pegas ideal.
Untuk sudut kecil, frekuensi dari pendulumUntuk sudut kecil, frekuensi dari pendulum
diberikan oleh:diberikan oleh:
PendulumPendulum
I
mgL
m
k
f === πω 2
27. Tetapi momen inersia dari suatu bendaTetapi momen inersia dari suatu benda
dengan massadengan massa mm dan berotasi pada jarakdan berotasi pada jarak rr ==
LL, adalah, adalah II == mLmL22
, sehingga diperoleh:, sehingga diperoleh:
PendulumPendulum
L
g
=ω
28. ResonansiResonansi
Resonansi adalah kondisi dimana gaya yangResonansi adalah kondisi dimana gaya yang
bergantung waktu dapat menyalurkanbergantung waktu dapat menyalurkan
sebagian besar energinya kepada bendasebagian besar energinya kepada benda
yang berosilasi, menyebabkan amplitudoyang berosilasi, menyebabkan amplitudo
gerak membesar. Karena tidak adanyagerak membesar. Karena tidak adanya
peredaman, resonansi terjadi ketikaperedaman, resonansi terjadi ketika
frekuensi dari gaya tersebut sama denganfrekuensi dari gaya tersebut sama dengan
frekuensi alami dari benda yang berosilasi.frekuensi alami dari benda yang berosilasi.