Apostila De Algebra Linear

Álgebra Linear Prof.: Denilson Paulo

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA1 Data: ____/_____/____ MATRIZES Definição: Conjunto de números dispostos numa forma retangular (ou quadrada). Exemplo: 1 4 8 7 0 1 A B C D 3 E 40 2 34 2 0, 6 51 32 1 2, 7 1 0 3x2 3x1 A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas. A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna. A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas. A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna. A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas. De uma forma geral, uma matriz A mxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas dimensões e sua representação genérica é a seguinte: a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n A ... ... ... ... a m1 a m2 . . . a mn mxn Usamos as palavras quot;tamanhoquot; ou quot;dimensãoquot; ou quot;ordemquot; para dizer quantas linhas e colunas uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la: A a ij mxn ou a ij . Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a 23 encontra-se na segunda linha e terceira coluna. Exercício 1: Dadas as matrizes: 23 14 521 15 8 0 54 5 2 12 6 5 192 A B C 23 1 4 05 3 1 03 35 4 04 2 6 4 2 27 0 2 34 36 9 16 4 2 1 3 4 6 7 8 9 10 D 2 5 13 5 3 1 0 1 6 4 3 8 4 2 a) Determine a ordem de cada matriz acima. b) Determine os elementos c 45 , c 16 , c 37 , d 51 , d 45 , a 34 , a 12 , b 32 e b 23 .

Aula 1 Matrizes Especiais Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero. 00000 Exemplo:A 00000 00000 3x5 Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por a ij 0 para todos i e j. Obs: Usa-se a notação A 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!! Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz. 7 0 1 Exemplo: A . Neste exemplo a matriz A é de ordem 3. 34 2 0, 6 2, 7 1 0 3x3 Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos. 700 Exemplo:A 020 003 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: a ij onde d R. d se i j Obs: 1. Os elementos a 11 , a 22 , a 33 , . . . , a nn constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada. 7 41 Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A . 9 3 6 5 1 0 3x3 2. Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero. Porém, se a diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula. 3. Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto é, a 11 a 22 a 33 . . . a nn . O traço não está definido se a matriz A não for quadrada. n Notação: tr A a 11 a 22 a 33 . . . a nn a kk k1 Exemplo: Do exemplo acima: tr A 7 2 3 12. 1 2 3 Exercício 2: Encontre o traço da matriz B . 56 8 0 1 3 2

Aula 1 Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais a 1. É geralmente denotada pela letra I. 100 Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I 3 010 001 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: a ij para i1,..., n 1 se i j e j 1, ...,n. Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5. I2 I4 I5 Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz A mxn é definida através da seguinte relação: a T a ji , para todo i e todo j. ij 15 8 0 Exemplo.: Seja a matriz A , então sua transposta será 23 1 4 2 6 4 2 1 2 2 5 3 6 AT . 8 1 4 0 4 2 Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine: a) Os elementos da diagonal principal da matriz D. b) O traço da matriz de D. c) B T d) C T 3

Aula 1 Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação: a T a ji , isto é, A T A. ij 7 14 Exemplo: A matriz A é simétrica, pois A A T . Verifique encontrando a 1 2 5 4 5 3 3x3 matriz transposta de A, A T . Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz A nxn é definida através da seguinte relação: a ji a T , isto é, A A T . ij 0 1 4 Exemplo: Seja a matriz A é uma matriz anti-simétrica. 1 0 5 4 5 0 3x3 Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos nulos. Por quê??? Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1). 8 Exemplo: Neste caso, B é um vetor coluna e E é um vetor linha. 2 51 1x2 1 3x1 Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior. 7 00 Exemplo: A 5 20 874 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: a ij onde d d se i j R. Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior. 4

Aula 1 74 3 Exemplo: B 02 6 00 4 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: b ij onde d R. d se i j Propriedades: 1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior. 2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas? 3 4 A 4 1 4 30 001 0 36 34 B C D E 3 5 2 002 3 0 7 40 0 2 1 123 6 70 Operações com Matrizes Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se a ij b ij , elemento por elemento. 3x 3 4 Exemplo: Se A B e A eB , então x 4. 52 5 2 21 21 Exercício 6: Dadas as matrizes A eB . Qual o valor de x para que 3x 35 A B? Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais. x2 5x 7 8 6 z 8 A e B 2 2 y 1 29 1 5

Aula 1 x2 5x 7 É possível a matriz C se igual a A para algum valor de x e de y? Justique a y2 2 sua resposta. Soma e Subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma dimensão e é definida como c ij a ij b ij , onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. A subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde c ij a ij b ij . 2 1 03 43 5 1 Exemplo: Considere as matrizes A eB . Calcule 1 0 24 2 2 0 1 5 276 3 2 4 5 ABeA B. 2 1 03 43 5 1 245 4 AB 1 0 24 2 2 0 1 1 22 3 5 276 3 2 4 5 8 0 3 11 2 1 03 43 5 1 6 2 52 B A 1 0 24 2 2 0 1 3 2 2 5 5 276 3 2 4 5 2 4 11 1 Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas. Propriedades: a) (A B) C A (B C) (associativa) b) A B B A (comutativa) c) A 0 0 A A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição) 2 3 46 Exercício 8: Dadas as matrizes A eB . Calcule A B e A B. 35 18 0 1 93 6

Aula 1 Multiplicação por uma constante Multiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos da matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C k A será c ij k a ij para todo i e j. 2 1 03 Exemplo: Seja a matriz A 1 . Calcule 2A, A e A. 1 0 24 2 5 276 2 1 03 4 2 0 6 2A 2 1 0 24 2 0 4 8 5 276 10 4 14 12 1 3 1 0 2 1 03 2 2 A 1 1 1 0 1 2 1 0 24 2 2 2 5 7 5 276 1 3 2 2 2 1 03 2 1 0 3 A 1 0 24 1 0 2 4 5 276 5 2 7 6 2 3 46 Exercício 9: Dadas as matrizes A eB . Calcule 2A 3B e 1 A 2B. 35 18 3 0 1 93 Multiplicação de matrizes Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz, ou seja, a multiplicação A mxn . B nxp terá como resultado uma matriz C mxp . A 7

Aula 1 multiplicação de matrizes é definida como sendo: A mxn B nxp C mxp n Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij a ik b kj , para i 1, . . . , m e k1 j 1, . . . , p. 16 1358 Exemplo: Dadas as matrizes A eB . 50 9765 87 Qual é a dimensão da matriz C, onde C A B? Qual é a dimensão da matriz D, onde D B A? Então, só será possível encontrar a matriz C, que será: 16 .......... .......... .......... .......... 1358 C AB 50 .......... .......... .......... .......... 9765 87 .......... .......... .......... .......... Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A B B A, em geral. Multiplicação de matriz por vetor Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz. Multiplicação de vetores É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor linha por um vetor coluna, o resultado será um número. Propriedades: Sejam e dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam realizar as operações. 1) A B C A B C (associativa) 2) A B C A B A C (distributiva à esquerda) 3) A B C A C B C (distributiva à direita) 4) I A A I A (Ié matriz identidade e elemento neutro) 5) A A 6) A B A B 7) A B A B 8) A A A 8

Aula 1 9) A B 0 para A 0 e B 0 (0 é a matriz nula) 10) A A 0 11) A 0 0 A 0 Das matrizes triangulares: 12) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior. 13) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior. Da matriz transposta: 14) A T T A 15) A B T A T B T 16) k A T k A T , para k uma constante real. 17) A B T B T A T 18) Se AB AC com A 0, não implica que B C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Das matrizes simétricas: Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então: 19) A T é simétrica; 20) A B é simétrica; 21) k A é simétrica. 22) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica. 23) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, A T A e A A T são simétricas. Do traço: 24) tr A B tr A tr B 25) tr k A k tr A Potenciação Se A é uma matriz quadrada, definimos: A0 I A1 A A2 A A A A A A A, com n 0 n n vezes Propriedades Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então: a) A r A s A rs b) A r s A rs 1 12 3 201 Exercício 10: Sejam as matrizes A ,B ,C e 2 21 1 3 01 4 9

Aula 1 D 2 1 Encontre: a) A B b) A C c) B C d) C D e) D A f) D B g) A h) D i) 2A 3B 10

Aula 1 j)C T A T 21 Exercício 11: Seja A . Calcule A 2 . 3 2 3 2 Exercício 12: Se A , ache B, de modo que B 2 A. 4 3 2 1 0 2 Exercício 13: Sejam as matrizes A eB . 1 0 2 0 Encontre: a) A T B T b) B T A T c) A B 2 d) A 2 11

Aula 1 e) B 2 Exercícios de Revisão 1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens: A 4x5 B 4x5 C 5x2 D 4x2 E 5x4 Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê a ordem da matriz resultante. a) B A b) A C D c) A E B d) A B B e) E A B f) E A C g) E T A h) A T E D Resp:não é possível fazer: a, c, d, g, b) 4x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2 2. Considere as matrizes: 3 0 1 52 6 13 4 1 142 A ,B ,C ,D ,E 12 101 112 0 2 315 1 1 3 24 4 13 Calcule (quando possível) a) D E c) 5 A b) D E d) 7C e) 2 B C f) 4 E 2 D g) 3 D 2 E h) A A j) tr D 3 E k) 4 tr 7 B i) tr D l) tr A m) 2A C 1T 1 T o) D T E T ED T p) B T CC T ATA n) 2 C A 4 2 q) B Resp: . não é possível fazer: e, L 7 65 5 4 1 15 0 7 28 14 Resp: a) b) c) d) , 213 0 1 1 5 10 21 7 35 7 37 1 1 1 5 5 48 104 84 39 21 24 f) g) h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168 24 4 20 9 6 15 24 88 52 33 12 30 5 3 4 2 724 40 72 16 6 7 m) n) o) matriz nula p) q) 0 4 357 26 42 0 4 3 9 4 4 Exercícios Aplicados 12

Aula 1 1. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterrâneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8,5,1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? 2. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que a ij 1, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, a ij 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma. 01111 10110 A 01010 00101 00010 Qual seria o significado da matriz A 2 A A? 5 Seja A 2 c ij . Calculemos o elemento c 42 a 4k a k2 0 0 1 0 0 1. k1 Note que a única parcela não nula veio de a 43 a 32 1 1. Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3, embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2. 2 01111 11231 10110 02222 2 a) Calcule A . Resp: 01010 10211 00101 01020 00010 00101 b) Qual o significado de c 13 2? c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirmação: quot;A matriz A 2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra como uma única retransmissãoquot;. d) Qual o significado das matrizes A A 2 , A 3 e A A 2 A 3 ? e) Se A fosse simétrica, o que significaria? 3. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: A, B,e C. O termo a ij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. 13

Aula 1 Para A. . . B. . . C. . A 0, 7 0, 2 0, 1 De B 0, 3 0, 5 0, 2 C 0, 4 0, 4 0, 2 Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro novo de mesma marca. A 2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas compras. Calcule A 2 e interprete. 2 0. 7 0. 2 0. 1 0. 59 0. 28 0. 13 Resp: 0. 3 0. 5 0. 2 0. 44 0. 39 0. 17 0. 4 0. 4 0. 2 0. 48 0. 36 0. 16 Gabarito 10. 2 1 124 15 6 a) b) c) d) e) f) 4 2 037 5 10 4 1 8 4 701 1 2 3 8 4 3 g) h) i) j) 21 15 4 2 1 1 52 5 70 11. : 07 2 4 20 1 6 5 2 4 0 13: a) b) c) d) e) 0 2 42 2 3 2 1 0 4 14

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 2 Data: ____/_____/____ DETERMINANTES O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde: a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n A ... ... ... ... a n1 a n2 . . . a nn nxn é denotado por det A ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de A multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra : “Seja o produto escrito na seguinte forma: a 1i a 2j a 3k . . . (n termos). Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1, 2, 3, . . . . , n, então o produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”. Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência i, j, k. . . n. Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2: a 11 a 12 A a 21 a 22 2x2 será definido pelo produto: a 11 a 12 det A a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3: a 11 a 12 a 13 A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 3x3 será definido pelo produto: a 11 a 12 a 13 det A a 11 a 22 a 33 a 21 a 32 a 13 a 31 a 23 a 12 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 21 a 12 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Quando |A| 0, a matriz A é dita singular. Exercício 1: Calcule os determinates: 15

Aula 2 3 4 51 1. 2. 13 03 3 12 3. 4 5 6 0 1 0 10 1 4. 25 0 12 2 Propriedades As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes: 1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos; 2 67 4 3 0 Exemplo: 0 0 0 5 9 0 5 4 8 1 10 0 2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i, isto é, det A det A T . 1 32 1 32 Exemplo: Seja a matriz A com det A 103 103 4 32 4 32 Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é, calculando a matriz transposta de A: 1 14 1 14 AT . Então, o determinante de A T 3 0 3 3 0 3 2 3 2 2 3 2 3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se uma coluna é permutada com outra coluna; 1 32 Exemplo: Seja a matriz A . Trocando a linha 2 com a linha 3, temos 103 4 32 16

Aula 2 1 32 B . Então, 4 32 103 1 32 o determinante de B 4 32 103 4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante fica também multiplicado por este número; 1 32 Exemplo: Seja a matriz A . 103 4 32 13 2 Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B e 20 6 43 2 13 2 2 det A 20 6 43 2 1 36 Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C e 109 4 36 1 36 3 det A 109 4 36 Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos: 2 64 D , então o det D 2 2 2 det A 206 8 64 De uma forma geral, det k A k n det A , onde k é uma constante real. 5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou proporcionais entre si; 17

Aula 2 232 1 2 3 Exemplo: 303 3 2 7 232 2 4 6 Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais 6. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número. 1 32 Exemplo: Seja a matriz A . Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o 103 4 32 132 132 três vezes a linha 1, isto é, L 2 L 2 3 L 1 , temos: . Então, 299 299 432 432 7.Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então det A é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, det A a 11 a 22 . . . a nn . 2 3 5 3 0 0 Exemplo: 0 27 5 2 0 0 0 1 8 94 8. O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detI n 1. 10000 01000 Exemplo: 00100 00010 00001 9.det A B det A det B , em geral. 3 2 01 Exemplo: Sejam as matrizes A eB 4 5 35 Calcule 3 2 01 det A det B 4 5 35 18

Aula 2 3 2 01 AB det A B 4 5 35 10. det A B det A det B 3 2 01 Exemplo: Sejam as matrizes A eB , as matrizes do exemplo 4 5 35 anterior. Calcule 3 2 01 AB 4 5 35 det A B Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a propriedade utilizada. 11 1 1. 30 2 22 2 3 1 0 2. 0 25 0 0 4 0 0 1 3. 0 5 2 3 1 4 2 3 4 4. 1 3 2 1 5 2 123 5. 041 164 4 1 3 6. 20 2 5 4 1 19

Aula 2 1000 0010 7. 0100 0001 0 200 3000 8. 0 004 0 010 1010 0101 9. 1100 0011 Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o determinante da submatriz M ij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta matriz. Notação: |M ij |. 4 12 Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A . O menor do elemento a 21 é o 3 0 5 6 1 7 determinante da submatriz M 21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é, 12 |M 21 | 9. 1 7 Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz. Cofatores: O cofator de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o quot;menor com sinalquot; de a ij e é dado pela seguinte relação: Cof a ij 1 ij |M ij | Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cof a 21 1 21 |M 21 | 1 9 9. Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos elementos da matriz original, ou seja: a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n Se A , então a matriz dos cofatores é dada por: ... ... ... ... a n1 a n2 . . . a nn nxn 20

Aula 2 cof a 11 cof a 12 . . . cof a 1n cof a 21 cof a 22 . . . cof a 2n Cof A ... ... ... ... cof a n1 cof a n2 . . . cof a nn nxn Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja, Adj A Cof A T . 4 12 Exemplo: A matriz dos cofatores de A . 3 0 5 6 1 7 4 12 Exemplo: E a matriz adjunta de A é: 3 0 5 6 1 7 Expansão de Determinantes por Co-fatores O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de cofatores, mediante uma das seguintes expressões: n |A| a ik cof a ik , desenvolvendo através da linha i, ou k1 n |A| a kj cof a kj , desenvolvendo através da coluna j. k1 21

Aula 2 2 3 5 Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A . 6 7 5 1 10 11 O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por: 7 5 3 5 35 det A 2 6 1 11 21 31 1 1 1 10 11 10 11 75 O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por: 3 5 2 5 2 3 det A 6 7 5 21 22 23 1 1 1 10 11 1 11 1 10 Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o mesmo: 2 3 5 136 det 6 7 5 1 10 11 DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de zeros. Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente. 5 22 112 1. 3 00 1 1 1 2. 2 0 1 3 2 1 4 1 3 3. 2 24 1 10 cos sen tg cos 4. 0 sen cos 0 sen 1 103 2 5 26 5. 0 1 00 1 4 21 22

Aula 2 2 0 3 1 1 0 2 2 6. 0 11 4 2 0 1 3 Resp: 2) 7 3) -12 5) 4 6) 8 Curiosidade: O produto de uma matriz pela sua matriz adjunta dará uma matriz diagonal, cuja diagonal é o valor do determinante da matriz original. ab d b Exemplo: A e Adj A . Então, cd c a ab d b ad bc 0 . cd c a 0 ad bc 3 5 Exercício 4: Multiplique a matriz A pela sua matriz adjunta e calcule o 14 determinante de A. Compare os resultados. Exercícios de revisão 1. Calcule os determinantes: ab0 0a0 ab 2 a 2 b 0 a) b) b c d 0ab a0b 0e0 000a 1 0 0 00bc abdg 1 0 cos c) d) sen 0def cos 0 sen ghij 23

Aula 2 x 5 7 0. Resp; x 0 ou x 1 ou x ½. 0 x1 2. Resolva a equação 6 0 0 2x 1 abc 4. 3. Encontre os determinantes, assumindo que def ghi 2a 2b 2c 3a b 2c def a) b) 3d c) d e f e 2f abc g h i 3g h 2i ghi ag bh ci 2c b a d) e) d e f 2f e d g h i 2i h g Resp: a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8 Exercícios de aplicação 1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos: a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4) b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6) c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2) 2. Calcule a área do triângulo de vértices: a) (0,0), (3,4), (-2,3) b) (2,-1), (3,3), (-2,5) c) (-3,-1), (1,4), (3,-2) 3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices: a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0) b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1) 24

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 3 Data: ____/_____/____ MATRIZ INVERSA Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se det A 0, então existe uma matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita : A B B A I (I é a matriz identidade) A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B A 1 . Logo, temos: AA 1 A 1A I Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa. Se det A 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular. Cálculo da Matriz Inversa A matriz inversa é calculada pela seguinte relação: A 1 1 AdjA. det A 2 3 5 Exemplo: Calculando a matriz inversa de A 6 7 5 1 10 11 2 3 5 136 Calculando-se o determinante da matriz A: 6 7 5 1 10 11 ..... ..... ..... A matriz de cofatores é calculada como sendo: Cof A . ..... ..... ..... ..... ..... ..... A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta: ..... ..... ..... Adj A Cof A T ..... ..... ..... ..... ..... ..... Com isso temos: 25

Aula 3 27 1 5 ..... ..... ..... 136 8 34 AdjA 1 1 61 1 5 1 . A ..... ..... ..... 136 det A 136 8 34 53 1 1 ..... ..... ..... 136 8 34 Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal são todos não-nulos. Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível: 3 1 a) A 1 1 63 b) 21 26

Aula 3 Propriedades 1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior. 2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior. 3) Se A B é inversível, então A B 1 B 1 A 1 . 4) A é inversível, então A 1 1 A. n 5) A n A 1 A 1 A 1 A 1 . n fatores A 1 n para n 0, 1, 2, . . . n1 5) An é inversível e A 6) Para qualquer k constante real, a matriz k. A é inversível e. k A 1 1 A 1 . k 7) Se A é uma matriz inversível, então A T também é inversível e A T 1 A 1 T . 8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A 1 é simétrica. 9) Se A é uma matriz inversível, então A A T e A T A são também inversível. 47 Exercício 2: Seja A . Calcule: 12 a) A 3 3 b) A 2 A I, onde I é a matriz identidade c) A 2 27

Aula 3 Exercício de revisão 1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível: 3 3 a) A 5 4 Resp:não é possível 5 2 6 3 1 1 2 2 2 2 5 5 2 b) Resp: 2 1 2 2 22 2 5 10 cos cos sen sen c) Resp: cos cos sen sen 1 0 0 é inversível para todos os valores de . Em 0 cos 2. Mostre que a matriz sen cos 0 sen 1 0 0 0 cos seguida, encontre a sua inversa. Resp: . sen sen cos 0 21 3. Dada A 3AI . Calcule:a) A 2 2 c) A 2 b) A 11 53 2 3 98 Resp: a) b) c) 32 3 5 81 2 3 20 4. Dadas as matrizes A eB . Calcule: 1 1 41 a) A B b) A B c) A A d) 2 B 1 1 T 1 I 1 1 3 0 16 6 4 2 2 Resp: a) b) c) 0 d) 1 3 1 1 3 8 2 Exercício de aplicação 28

Aula 3 Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: ABCDEFGHI J L M N O P Q R S T U V W X Y Z 123 4 567 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suponhamos que a nossa mensagem seja quot;PUXA VIDAquot;. Podemos formar uma matriz 3x3 assim: PUX 15 20 23 M , que usando a correspondência numérica fica . A V 1 0 21 IDA 9 4 1 1 01 Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C . 131 0 11 Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo 15 20 23 1 01 5 83 58 MC 1 0 21 131 1 21 22 9 4 1 0 11 5 13 14 Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5 13 14). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC . C 1 M) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para o código. a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave, traduza a mensagem. b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a 11 1 matriz chave por C . Você transmite a mensagem quot;CRETINOquot; a ele (codificada, 11 0 00 2 naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem? c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e descodifique à vontade! 29

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 4 Data: ____/_____/____ Equações matriciais 12 10 Exercício 1: Ache X, dadas A eB . 34 1 1 2A 3B 0 1. X 2. 2X A B 3. 2 A 2B 3X BX 3 X 4. 2 A A 30

Aula 4 Exercício 2: Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operações indicadas estão definidas) 1. ABX C 2. CAX T C 3. AX 2 C AXBC 4. ADX ABC 31

Aula 4 5. DX T DC 6. ABCX 2 D 2 ABCXD 7. D 1 XD AC 8. CX 2B 3B Exercício de revisão Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operações indicadas estão definidas) 1. A 1 BX 1 A 1 B 3 2 2. XA 2 A 1 3. AXB BA 2 4. A 1 X 1 A B 2 A 1 5. ABXA 1 B 1 I A 32

AULA 5 Data: ____/_____/____ Sistemas de Equações Lineares E quação Linear Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da forma: a1 x a2 y b onde a 1 , a 2 e b são constantes reais e a 1 e a 2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma é chamada de equação linear nas variáveis x e y. De forma geral, uma equação linear nas n variáveis x 1 , x 2 , ..., x m como uma equação que pode ser expressa na forma: a1 x1 a2 x2 am xm b onde a 1 , a 2 , ..., a m e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas. Exemplo: São equações lineares: x 3y 7 y 1 x 3z 1 2 x 1 2x 2 3x 3 2 x 4 3 3 Não são equações lineares: x3 y 5 3x 2y z xz 4 y senx Exercício 1:Quais das seguintes equações são lineares: 2 x4 1 1. x 1 5x 2 2. x 1 3x 2 x 2 x 3 2 3. x 1 7x 2 3x 3 4. x 1 2 2x 2 3x 3 5 3 5. x 15 2x 2 x 3 4 6. x 1 2 x2 3 x3 0 4 Exercício 2: Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares? 1. x 1 2x 2 3x 3 senk x 9 2 2. kx 1 k2 3. 2 x 1 7x 2 x 3 0 k 32

Sistemas de equações lineares Um sistema de n equações lineares e m incógnitas tem a seguinte representação algébrica: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1m x m b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2m x m b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nm x m b n onde a ij são coeficientes conhecidos, b i são constantes dadas e x j são as incógnitas do sistema. Uma equação genérica i do sistema poderia ser representada usando a notação (somatório) da seguinte maneira: n ∑a x j = bi ij j =1 Para se representar todas as equações do sistema, basta fazer: n ∑a x j = bi para i = 1,2, h , m ij j =1 Deseja-se agora, representar o sistema usando notação matricial. Pode-se reescrevê-lo da seguinte maneira:  a11   a12   a1m   b1  a  a  a    21  x +  22  x ++  2 m  x = b2  1 2   m       a n1   an 2   a nm  bn  Definindo-se os vetores:  a11   a12   a1m   b1  a  a  a    21  A =  22  A =  2 m b = b2  A1 = l 2 l m l l      an1   an 2   anm  bn  podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma: A 1 x 1 A 2 x 2 . . . . A m x m b. Finalmente se definirmos a matriz A e o vetor x na forma: 33

a1m   a11  x1  a12 a  x  a2m  a22 A= x=  21 2       a nm   an1  xm  an2 podemos representar o sistema matricialmente como: Ax B ou seja,  a11 a12 h a1m   x1   b1  a      21 a 22 h a 2 m   x 2  = b2  l l  l   l  l l       a n1 a n 2 h a nm  , , x b IMMMKMMML  m   n  x B A Nesta notação matricial. A é denominada matriz de coeficientes, x é denominado matriz das variáveis e B é denominado matriz dos termos independentes. 3 x1 4 x2 2 x3 0 4 x1 2 x2 1 Exemplo: Seja o sistema de equações lineares . Este sistema tem 2 x2 x3 3 2 x1 3 x3 2 4 equações e 3 incógnitas. 3 42 0 x1 4 2 0 1 Na forma matricial, tem-se: x2 0 21 3 x3 2 0 3 2 3x1 4x3 X B A Matriz Aumentada: A matriz aumentada é obtida pela adjunção de b a A como a última coluna. a1m b1   a11 a12 a a 2 m b2  a 22 [A b] =  21      a nm bn   a n1 an 2 34

Exemplo: Usando o último exemplo, a matriz aumentada deste sistema fica: 3 42 0 4 2 0 1 0 21 3 2 0 3 2 4x4 Exercício 3: Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares: 2y 1 3x 4x 5y 3 a) 7x 3y 2 2x 4z 1 y 4z 7 b) 3x 6x y z0 x 1 2x 2 x4 x5 1 3x 2 x 3 x5 2 c) x 3 7x 4 1 x1 1 x2 2 d) x3 3 Exercício 4: Encontre o sistema de equaçõe lineares correspondendo à matriz aumentada: 2 0 0 a) 3 40 0 1 1 3 0 2 5 b) 7 1 4 3 0 2 1 7 721 35 c) 124 0 1 1000 7 0100 2 d) 0010 3 0001 4 35

Tipo de sistemas Um sistema de equações lineares (SEL) tem solução quando existem valores para x 1 , x 2 , . . . , x n que sastifazem, simultaneamente, todas as equações do sistema. Quanto a existência de soluções: Sistema Impossível (SI): Um sistema de equações que não possui solução Sistema Possível (SP): Se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é possível. Obs: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou então uma infinidade de soluções. Quanto ao número de soluções: Um sistem possível pode ter um única solução ou infinitas soluções. Quando possui uma única solução, dizemos que o sistema é possível e determinado(SPD). E quando possuir infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI). Pode ser classificado de acordo com a matriz B: Sistema Homogêneo: Um sistema linear é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, b j 0 para qualquer j . a 11 x 1 a 12 x 2 a 1m x m 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2m x m 0 a n1 x 1 a n2 x 2 a nm x m 0 Se pelo ao menos um b j 0, então o sistema é dito não-homogêneo. O sistema homogêneo sempre tem solução, pois têm x 1 0, x 2 0, . . . , x n 0 sempre como uma solução. Esta solução é chamada de solução trivial ou solução nula; se há outras soluções estas soluções são chamadas não-triviais. Como um sistema linear homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas possibilidades para suas soluções: - O sistema tem somente a solução trivial; - O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial. O sistema homogêneo tem infinitas soluções sempre que o sistema tiver mais incógnitas que equações. 36

Exercício 5: Classifique os sistemas abaixo em relação a matriz B: 2y 1 3x 4x 5y 3 a) 7x 3y 2 2x 4z 0 y 4z 0 b) 3x 6x y z0 x 1 2x 2 x4 x5 0 3x 2 x 3 x5 0 c) x 3 7x 4 1 x1 x2 0 x1 x2 0 d) x1 x2 x3 0 Resolver um SEL Resolver um SEL é encontrar a solução deste sistema, isto é, encontrar os valores das incógnitas que sastifaçam, simultaneamente, todas as equaçõe do sistema. Lembrando que nem todo sistema tem solução. A partir de agora, veremos alguns métodos que nos permitirá resolver o SEL. Mas antes disto, veremos as operações que podemos realizar para encontrar uma solução. Operações Elementares O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado por um sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução, mas que é mais simples de resolver. Este sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando a matriz aumentada os seguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas: - Multiplicar uma linha inteira por uma constante. (L i k L i , onde ké um constante real 0); Exemplo:  2 2 4 10  2 2 4 10  0 0 − 2 − 8 ⇒ L ↔ L ⇒ 1 3 4 17      2 3 1 3 4 17  0 0 − 2 − 8     - Trocar duas linhas entre si.(L i Ë L j ); Exemplo: 37

Aula 5 Exemplo:  L2 2 2 4 10  2 2 4 10  L 2 = −4 0 −4 −4 −24  ⇒ ⇒ 0 1 1 6       L3 L 3 = 0 0 −2 −8      0 0 1 4  −2  - Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha (L j L j k L i , onde ké um constante real 0); Exemplo:  2 2 4 10 2 2 4 10  1 1 3 9  ⇒ L = L − 2 L ⇒ 0 0 − 2 − 8     2 1 2 1 3 4 17 1 3 4 17      Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas. Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas, ou simplesmente, forma escalonada reduzida, se: 1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não –nulo da linha é um 1, chamado de pivô. 2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem somente de zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior. 4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos demais elementos. Dizemos que uma matriz que tem as 3 primeiras propriedades está na forma escalonada por linhas, ou simplesmente, em forma escalonada.Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente. Observe que uma matriz na forma escalonada tem zeros abaixo do pivô, enquanto que uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima do pivô. Exemplo: Matrizes estão na forma escalonada as matrizes A, C, D e na forma escalonada reduzida as matrizes B, C, D. 01 201 120 4 100 00 00 0 13 A B C D 010 7 010 00 00 0 00 001 1 001 00 0 00 Exemplo: Matrizes que não estão na forma escalonada: 01 201 100 4 100 10 00 0 13 A B C D 000 7 000 02 00 0 20 001 1 001 00 0 00 38

Aula 5 Exercício 6: Determine se a matriz está na forma escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta. 12030 1005 00 100 00110 A B C D 0013 00 000 00001 0104 00 001 00000 13020 10220 1031 1 755 E F G 00001 0124 0 1 32 00000 Métodos para encontrar a solução de sistemas de equações lineares Método de Eliminação Seja o sistema linear Ax B, onde A tem todas as submatrizes principais não singulares O método de Eliminação de consiste em transformar a matriz aumentada do sistema dado num na forma escalonada por linhas pela aplicação repetidamente as operações elementares. Claro que tal operação não altera a solução do sistema, isto é, obtém-se com ela outro sistema equivalente ao original. Descrição do algoritmo Consideremos o sistema: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1m x m b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2m x m b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nm x m b n cuja matriz aumentada chamaremos A 1 . Montamos a tabela:  a11) b1(1)  a12) a1(n) (1 (1 1  (1) ( a 22) a21n) (1 ( b21)   a21    (1) ( a n12) ann)  an1 bn1)  ( (1   onde a ij1 a ij e b ij1 b ij p/ i, , j 1, 2. . . , n. 1 Por hipótese temos que a 11 0, pois det A 0. Passo 1: Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros. 39

Aula 5 Passo 2: Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter um elemento não-nulo ao topo da coluna encontrada no Passo1. Passo 3: Se o elemento, que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 2, é a, multiplique a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô. Passo 4: Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros em todos os elementos abaixo do pivô. Para isso: 1 a 21 Subtraímos da 2 a equação a 1 a equação multiplicada por . 1 a 11 1 a 31 Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por . 1 a 11 1 a n1 Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por . 1 a 11 Passamos então da tabela inicial a tabela: a11) b1(1)  a12) a1(1) (1 (1 n  ( a22 a 2 n ( 2) ( 2) b2 2)  0    ( a nn ) 0 bn 2)  a n2 ) ( (2   2 onde a i(1 ) 1 aij2) = aij1) − a1(1j) ( ( a11) (1 a i(1 ) 1 =b −b ( 2) (1) (1) b i i 1 a11) (1 p/ i, j 1, 2, . . . n. 2 Por hipótese temos que a 22 0, pois det A 0. Passo 5: Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o Passo 1 a submatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a matriz esteja na forma escalonada. Para isso: 2 a 32 Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por . 2 a 22 2 a 42 Subtraímos da 4a equação a 1a equação multiplicada por . 2 a 22 2 a n2 Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por . 2 a 22 40

Aula 5 Obtemos então a tabela: a11) b1(1)  a12) a1(1) (1 (1 n  ( a22 a 2 n ( 2) ( 2) b2 2)  0   0  ( a nn) 0 bn3)  (3   0 onde ai(2 ) 2 aij3) = aij2 ) − a 22j) ( ( ( a 22) (2 ai(2 ) 2 bi( 3) = bi( 2 ) − b22) ( a 22 ) (2 p/ i, j 1, 2, . . . n. 3 Por hipótese temos que a 33 0, pois det A 0. E assim sucessivamente até chegarmos ao: Temos por hipótese que a nn 1,n 1 0, pois det A 0. 1 n1 a n,n a 1 Subtraímos da na equação, a n equação multiplicada por . 1 . n1 a n 1,n 1 E assim, obtemos a tabela:  a11)  a13) h (1 a12) (1 (1 a1(,1n)−1 a1(1) b1(1) n   a 23 ) h a 22 ) (2 (2 a 22n)−1 ( ( 2) b22 ) ( 0 a2 n  , 0  a33) h (3 ( 3) a 33) ( b3(3) 0 a 3,n −1   n h h h h 0 0 0 0 bnn1 1)  ( n −1) (− (− h a n −1,n −1 a nn 1,1n) 0 0 − −   h 0 bnn )  a nn) (n (   0 0 0 onde ai(,n −1) n −1 ( n −1) ( n −1) =a −a (n) a n −1, j (− ij ij a nn1,1n)−1 − ai(,n−1) n −1 bi( n ) = bi( n−1) − bn−11) (n− ann−,1n)−1 ( −1 p/ in, j n-1,n. 41

Aula 5 Assim o sistema triangular obtido  a11) x1 + a12) x 2 + a13) x3 + + a1(,1n)−1 x n−1 + a1(1) x n = b1(1)  (1 (1 (1 n   + + a 22n)−1 x n−1 + a 22) x n = b22 ) a 22 ) x 2 (2 a 23) x3 (2 ( ( (   , n   + + a 3, n−1 x n−1 + a 3n x n = b3(3 ) a 33) x3 (3 ( 3) ( 3)      = bnn1 1)  ( n −1) ( n −1) (− +a a x x n −1,n −1 n −1 n −1, n n −   = bnn )   ( n) (   ax nn n é equivalente ao original. Passo 6: Começando com a última linha não-nula e trabalhando para cima, some múltiplos convenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir zeros acima dos pivôs. E assim, obtemos a tabela:  a11)  0 (1 b1(1) 0 0 0   0 a 22 ) (2 b22 ) ( 0 0 0  0  a33 ) (3 b3(3 ) 0 0 0    0 0 0 0 bn−1 1)  ( n −1) ( n− a n −1,n −1 0 0 0   0 bnn )  a nn ) (n (   0 0 0 Assim o sistema triangular obtido  a11) x1 +0 +0 + +0 +0 = b1(1)  (1   +0 + +0 +0 = b22) a 22) x 2 (2 (     + +0 +0 = b3(3) a 33) x3 (3      = bnn11)  ( n −1) (− +0 a x n −1,n −1 n −1 −   = bnn )   a nn ) x n (n (   Até o Passo 5, isto é, até obter a matriz aumentada a forma escalonada, o método tem o nome de Eliminação Gaussiana. E para encontrar a solução do sistema, usa-se a substituição inversa. Desenvolvendo até o Passo 6, isto é, até obter a matriz aumentada a forma escalonada reduzida por linhas, o método tem o nome de Eliminação de Gauss-Jordan. 42

Aula 5 Obs: Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas. Porém, uma forma escalonada de uma dada matriz não é única. Exemplo: Resolver o sistema usando o método de eliminação de Gauss.  6 2 −1  x 1   7  2 4 1   x  =  7    2     3 2 8   x 3  13      Temos a matriz aumentada: 6 2 −1 7  2 4 1 7     3 2 8 13   Passo 3: 1 1 / 3 − 1 / 6 7 / 6 2 4 7 1   3 2 13    8 Passo 4: 1 1 / 3 − 1 / 6 7 / 6  0 10 / 3 4 / 3 14 / 3   0 17 / 3 19 / 2   1 Passo 5: − 1 / 6   x1   7 / 6  1 2 1 / 3 0 10 / 3 4 / 3   x  =  14 / 3    2    0 81 / 10  x3  81 / 10      0 Assim obtemos: 81 81 ∴ x3 = ⇒ x3 = 1 10 10 10 4 14 x2 + x3 = ⇒ x2 = 1 3 3 3 6 x1 + 2 x2 − x3 = 7 ⇒ x1 = 1 43

Aula 5 1 Portanto, a solução é x . 1 1 A seguir serão mostrados os passos usados num exemplo prático, onde as operações indicadas são operações elementares, feitas com as equações lineares que compõe o sistema de equações. Exemplo: Seja o sistema 2 x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 10   x1 + x 2 + 3 x3 = 9  x + 3 x + 4 x = 17 1 2 3 matricialmente teremos:  2 2 4  x1  10 1 1 3  x  =  9    2    1 3 4  x3  17       Usando operações elementares, podemos executar os seguintes passos: Passo 1: Substituir a segunda linha pela soma da segunda linha, multiplicada por (-2), com a primeira linha L 2 L 1 2L 2  2 2 4 10 2 2 4 10  1 1 3 9  ⇒ L = L − 2 L ⇒ 0 0 − 2 − 8     2 1 2 1 3 4 17 1 3 4 17      Passo 2: Trocar a segunda linha pela terceira;  2 2 4 10  2 2 4 10  0 0 − 2 − 8 ⇒  L2 = L3 ⇒ 1 3 4 17        L3 = L2 1 3 4 17  0 0 − 2 − 8     Passo 3: Substituir a segunda linha pela soma da segunda linha, vezes (-2) com a primeira linha;  2 2 4 10  2 2 10  4 1 3 4 17  ⇒ L = L − 2 L ⇒ 0 − 4 − 4 − 24     2 1 2 0 0 − 2 − 8  0 0 − 2 − 8     Passo 4: Dividir a segunda linha por (-4) e a terceira linha por (-2); 44

Aula 5  L2 2 2 10  2 2 4 10 4  L2 = − 4 0 − 4 − 4 − 24 ⇒ ⇒ 0 1 1 6       L3  L3 = 0 0 − 2 − 8  0 0 1 4      −2  Passo 5: Substituir a segunda linha pela diferença entre a segunda e terceira linhas;  2 2 4 10 2 2 4 10 0 1 1 6  ⇒ L = L − L ⇒ 0 1 0 2      2 2 4 0 0 1 4  0 0 1 4      Passo 6: Substituir a primeira linha pela diferença entre a primeira linha e (-4) vezes a terceira linha; 2 2 0 − 6  2 2 4 10 0 1 0 2  ⇒ L = L − 4 L ⇒ 0 1 0 2      1 1 3 0 0 1 4  0 0 1 4      Passo 7: Finalmente, substituir a primeira linha pela diferença entre a primeira linha e (-4) vezes a terceira linha;  2 2 0 − 6 1 0 0 − 5 0 1 0 2  ⇒ L = L1 − L ⇒ 0 1 0 2      1 2 2 0 0 1 4  0 0 1 4      Com isso obtemos para solução do sistema:  x1 = −5   x2 = 2 x =4 3 Obs: Em sistemas grandes, o método de eliminação de Gauss-Jordan requer cerca de 50% mais operações que a eliminação gaussiana. Exercício 7: Resolva os sistemas e classifique-os quanto ao número de soluções. 2x 3y 18 1. 3x 4y 25 45

Aula 5 4x 2y 100 2. 8x 4y 200 3x 9y 12 3. 3x 9y 15 2x 4y 6z 10 4x 2y 2z 16 4. 2x 8y 4z 24 46

Aula 5 2x y 3z 8 4x 2y 2z 4 5. 2x 5y 3z 12 2x 4y 16 2y 4 6. 5x 4y 3 10x 47

Aula 5 2x 4y 16 2y 4 5x 7. 5x 7 4x 3x 2y 9 Característica de uma matriz Característica da matriz aumentada (C a ): é o número de linhas com elementos não todos nulos de sua forma escalonada equivalente. Característica da matriz dos coeficientes (C v ): é o número de linhas com elementos não todos nulos de sua forma escalonada equivalente. Se C a Cv , o sistema é impossível (SI). Se C a Cv número de variáveis do sistema, o sistema é possível e determinado (SPD). Se C a Cv número de variáveis do sistema, o sistema é possível e indeterminado (SPI). Então o grau de liberdade é g número de variáveis - número de equações não nulos na forma escalonada. Exercício 8: Reveja os sistemas do exercício anterior, analisando a C a e Cv. Exercício 9. Resolva os sistemas e classifique-os quanto ao número de soluções. 8y 24z 18w 84 2x 1. 14y 52x 42w 190 4x 48

Aula 5 3x 6y 9z 0 2. 2x 4y 6z 0 2x 4y 0 8x 0 3. 16 2y 0 12x 49

Aula 5 4z 0 x 3y z0 4. x y yz 0 x 3x 2y 5z 8 2z 4 5. 2x 4y 3z 4 x 2y 50

Aula 5 2x 4y 6z 6 4z 38 6. 3x 2y x y 3z 3 Regra de Cramer Seja o sistema Ax B onde det A é o determinante da matriz A. Seja det A i o determinante da matriz formada pela substituição da coluna i da matriz A pelo vetor de coeficientes constantes B. Cramer demonstrou que a solução deste sistema é dada por det( Ai ) xi = p / i = 1,2, n det( A) Exemplo: Resolver o sistema linear através da regra de Cramer: 3x 2y 5z 8 2z 4 2x 4y 3z 4 x 2y 51

Aula 5 Obs: Só pode ser usado se det A 0. Para resolver um sistema de n equações lineares com n incógnitas pela Regra de Cramer, é necessário calcularn 1 determinantes de matrizes nxn. Para sistema com mais de 3 equações, a eliminação de Gauss é muito mais eficiente, pois somente requer a redução de uma matriz aumentada nx(n1). Exercício 10: Resolver o sistema linear através da regra de Cramer, se possível: 2y 3 7x 1. 3x y 5 4x 5y 2 11x y 2z 3 2. x 5y 2z 1 52

Aula 5 4y z 6 x y 2z 1 3. 4x 2x 2y 3z 20 yz 4 3x x 7y 2z 1 4. 2x 6y z5 53

Aula 5 Método por inversão de matriz Dado um sistema de equações lineares na forma Ax B, podemos multiplicá-lo a esquerda por A 1 , e obtermos: A 1 Ax A 1 B Simplificando a equação anterior, usando A 1 A I obtemos a igualdade: x A 1B que é a solução do sistema de equações. Obs: É vantajoso utilizar este método quando a matriz dos coefiecientes é fixa e a matriz B varia. Exemplo: Resolver o SEL. fazendo a inversão da matriz de coeficientes: 2 x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 8   x1 + x 2 + 3x 3 = 5  x + 3x + 4 x = 8 1 2 3 Colocando o sistema em notação matricial, temos:  2 2 4  x1  8 1 1 3  x  = 5   2    1 3 4  x3  8      Como visto anteriormente  5 / 4 − 1 − 1 / 2 =  1 / 4 − 1 1/ 2  −1 A   − 1 / 2 1 0   ou sejas a solução do sistema será dada por :  5 / 4 − 1 − 1 / 2 8 1  1 / 4 − 1 1 / 2  5 ⇒ x = 1 x=    − 1 / 2 1  MMM MM0 L 8   1 ,  I K M A−1 b Exemplo: Resolva o sistema por inversão de matrizes: xy 2 5x 6y 9 11 6 1 A inversa da matriz A é . Então a solução do SEL será: 56 5 1 54

Aula 5 x 6 1 2 3 . y 5 1 9 1 Exemplo: Resolva o sistema por inversão de matrizes: xy 3 5x 6y 5 Como já foi calculada a matriz inversa no exemplo anterior, temos a solução dada por: x 6 1 3 13 . y 5 1 5 10 Exercício 11: Resolva o seguinte sistema geral por inversão de matrizes. x 2y z b 1 y z b2 x x y b3 para a) b 1 1, b 2 3, b 3 4 b) b 1 5, b 2 0, b 3 0 c) b 1 1, b 2 1, b 3 3 55

Aula 5 Geometricamente O conjunto-solução de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas é equivalente a determinar a interseção de duas retas: ax by c dx ey f com a e b não são simultaneamente nulos e nem o são d e e. Este sistema admite uma interpretação geométrica, e suas propriedades motivam o caso geral. Há três casos, que podem ser descritos geometricamente. Caso 1: O sistema tem exatamente uma solução (SPD). Os gráficos das equações lineares se interceptam em um ponto, isto é, as retas são concorrentes. Y X Caso 2: O sistema não admite soluções (SI). Os gráficos das equações lineares são paralelos, isto é, as retas são paralelas. Y X Caso 3: O sistema tem um número infinito de soluções (SPI). Aqui o gráfico das equações lineares coincidem, isto é, as retas são coincidentes. Y X 56

Aula 5 Exercício 12: Determinar a interseção entre as duas retas e esboce o gráfico. 2x 3y 1 1. 5x 7y 3 2x 4y 10 2. 3x 6y 15 2y 5 4x 3. 6x 3y 1 57

Aula 5 Exemplo: Encontre a reta interseção dos planos x 2y z 3 e 2x 3y z 1. Exercício 13: Encontre a reta interseção dos planos a) 3x 2y z -1 e 2x y 4z 5 b) 4x y z 0 e 2x 3z 4 y 58

Aula 5 Método para inverter matrizes usando operações elementares Para encontrar a inversa de uma matriz inversível A, nós devemos encontrar uma seqüência de operações elementares sobre linhas que reduz A à identidade e depois efetuar esta mesma seqüência de operações na matriz identidade I para obter A 1 . [A KM ] lI IML ⇓ [I ] l A −1 Exemplo: Encontre a Inversa de  2 2 4 A = 1 1 3   1 3 4   Montar a matriz:  2 2 4 1 0 0 1 1 3 0 1 0   1 3 4 0 0 1   A I Efetuar operações elementares na matriz acima até que: 1 0 0 5 / 4 − 1 − 1 / 2 0 1 0 1 / 4 − 1 1 / 2    0 0 1 − 1 / 2 1 0   A -1 I Exercício 14: Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo. Use o método com operações elementares: 307 1) 2 51 105 59

Aula 5 2 0 3 2) 0 3 2 20 4 Obs: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) A é inversível b) detA 0 Ax 0 só tem a solução trivial c) Ax B é possível e tem exatamente uma única solução. d) Resumo Tipo de sistema no. de eq. no. de var. determinante Escalonada Classificação Método AX B AX 0 60

Aula 5 Exercícios de revisão: 1. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes equaçõe lineares: a) 7x 5y 3 b) 3x 1 5x 2 x 3 7 c) 8x 1 2x 2 5x 3 6x 4 1 d) 3v 8w 2x y 4z 0 2. Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um SEL foi reduzida à forma escalonada dada. Resolva o sistema: 1 347 a) 0 1 22 0 0 15 108 56 b) 014 93 001 1 2 17 20 8 3 00 1 1 6 5 c) 00 0 1 3 9 00 0 0 0 0 1 371 d) 0 1 40 0 0 01 3. Resolva cada um dos seguintes sistemas: x y 2z 8 2y 3z 1 a) Resp: x3, y1 e z2 x 3x 7y 4z 20 2b 3c 1 3a 6b 3c 2 b) Resp: SI 6a b 3c 5 8y 12 4x 6y 9 c) Resp: x32y 3x 2x 4y 6 3y 6z 0 5x Resp: x-315z e y -527z d) 2x y 3z 1 61

Aula 5 v 3w 2x 0 2u v 4w 3x 0 Resp: u x 5 7 e) w e v2x-3w 2u 3v 2w x0 2 2 3v 5w 4x 0 4u 3z 0 2x y x 2y 0 f) Resp: trivial x y 4z 0 3y z 4 x Resp: x ,y ,z y 2 30 38 40 g) 2x 11 11 11 3z 0 4x 4. Use o método de inversão de matrizes para resolver o SEL: 5y b 1 x para b 1 1, b 2 4 e b 1 2, b 2 5 Resp:x ey ;x 22 1 21 a) e 3x 2y b 2 17 17 17 y 11 17 x 3y 5z b 1 b 1 1, b 2 0, b 3 1 x 18, y 9, z 2 2y b 2 b 1 0, b 2 1, b 3 1 . Resp: x 23, y 11, z 2 b) para x 2x 5y 4z b 3 b 1 1, b 2 1, b 3 0 x 5, y 2, z 0 5. Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo. Use o método com operações elementares: 1 3 1 2 3 5 2 2 3 a) Resp: 0 1 0 1 3 2 1 0 0 2 0 0 2 1 0 0 2 00 2 b) Resp: 8 10 4 1 0 29 1 1 536 12 2 6 6.O sistema seguinte não tem soluções para quais valores de a? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? x 2y 3z 4 y 5z 2 3x 4x y a 2 14 z a 2 Resp: a 4, nenhuma; a 4, exatamente uma; a 4, infinitas. 7.Determine o valor de m para que o sistema seja 62

Aula 5 1 x my m 2m m 4 y 9m a) Possível determinado Resp; m 1/2, m 4 b) Possível indeterminado Resp: m1/2 Resp: m -4 c) Impossível 8. Dê um exemplo de três planos: a) cuja interseção seja uma reta. b) não tenham nenhum ponto em comum, mas se interceptam dois a dois. c) de modo que exatamente dois deles sejam paralelos. d) que se interceptam em um único ponto. Exercícios de aplicação 1 Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. Um dia, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas desses três tipos de arranjos. a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima. b) Quantos arranjos de cada tipo ela fez? Use somente uns dos métodos apresentados em sala de aula para resolver o problema. Resp: 2,3,4 2. O seguinte problema faz parte do texto chinês Jiuzhang suanshu (Nove capítulos em arte matemática), escrito durante a Dinastia de Han, cerca de 200 anos a.C.: Há três tipos de milhos. Três feixes do primeiro tipo, dois do segundo e um do terceiro fazem 39 medidas. Dois feixes do primeiro tipo, três do segundo e um do terceiro fazem 34 medidas. Um feixe do primeiro tipo, dois do segundo e três do terceiro fazem 26 medidas. a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima. b) Quantas medidas de milho há em um feixe de cada tipo? Use somente uns dos métodos apresentados em sala de aula para resolver o problema. Resp: 9,25, 4,25 e 2,75 3. A adição de funções racionais (quociente de polinomiais) obtida através de uma escolha de um denominador comum, é feita de modo análogo à adição de números racionais. O processo reverso, de separar uma função racional escrevendo-a como uma soma de funções racionais simples, é útil em muitas áreas da matemática; por exemplo, aparece em cálculo diferencial e integral quando precisamos integrar uma função racional, e em matemática discreta, quando usamos funções geradoras para resolver relações de recorrência. A decomposição de uma função racional como soma de frações parciais leva a uma sistema de equações lineares. Encontre os valores de A, B e C que tornem a equação uma identidade. a) 3xx 1xx 221 3xA 1 BxC Resp: A -7/5, B 4/5, C 3/5 2 x 2 1 Sugestão: Multiplique ambos os lados por (3x-1)(x21) e iguale os coeficientes correspondentes dos polinômios obtidos em ambos os lados da equação resultante. 63

Aula 5 b) x 23x1 3 x3 A B Resp: A 1 e B2. 2x x1 x x1 x2 3x3 A B C c) Resp: x 3 2x 2 x 2 x1 4. Sabemos, da geometria elementar, que existe uma única reta que passa por dois pontos distintos de um plano. É menos conhecido o fato de que existe uma única parábola que passa por quaisquer três pontos não colineares de um plano. Para cada conjunto de pontos a seguir, encontre a parábola com a equação da forma y ax 2 x c que passe pelos pontos dados. (Esboce a parábola resultante para conferir a validade da resposta). Resp: y x 2 2x 1 a) (0,1,(-1,4) e (2,1) Resp: y x 2 6x 10 b) (-3,1), (-2,2) e (-1,5) 5.Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela abaixo. Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III Alimento A 2 2 4 Alimento B 1 2 0 Alimento C 1 3 1 a) Encontre o sistema que equacione a tabela abaixo. b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver o problema) Resp: x 100, y 350 e z 350 6. Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela abaixo. Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III Alimento A 1 1 1 Alimento B 1 2 3 Alimento C 1 3 5 a) Encontre o sistema que equacione o problema. b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver o problema) Existe alguma solução que satisfaça a equação 2x y z 1000? (onde x bactéria I, y c) bactéria II e z bactéria III) Resp: x z , y 1500 -2z e 0 z 750. 64

Aula 5 7.Três proprietários de casas – um pedreiro, um eletricista e um hidráulico –pretendem fazer consertos em suas três casas. Eles concordam trabalhar um total de 10 dias cada de acordo com a seguinte tabela: Dias Dias de trabalho na casa do Trabalho executado pelo Pedreiro Eletricista Hidráulico Pedreiro 2 1 6 Eletricista 4 5 1 Hidráulico 4 4 3 Para efeitos de impostos, eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário razoável, mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. Seus salários diários normais são cerca de R$100,00, mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários diários de tal modo que saiam empatados, ou seja, de tal modo que o total pago por cada um é igual ao total recebido. Para satisfazer a condição de “equilíbrio” de que saiam empatados, nós exigimos que total dos gastos total recebido para cada um dos proprietários pelo período de 10 dias. Resp: pedreiro: R$93,00, Eletricista: R$96,00 e Hidráulico: R$108,00. 65

Álgebra - Prof a Ana Paula AULA 6 Data: ____/_____/____ ESPAÇOS VETORIAIS Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm. Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUA foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia - aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica. Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como o ônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computador durante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos para as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão. Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no Ó n . Por este motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço vetorial.(Texto extraído e adaptado de Livro “Álgebra Linear e suas aplicações”, David C. Lay, 2ª edição. LTC.). Definição: Um espaço vetorial real (abreviado por e.v.) é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma: VV V v, v vv e multiplicação por escalar KV V a, v av satisfazendo a propriedades operatórias análogas às listadas para matrizes e vetores, sendo: da soma: vv A1) u u, com u,v V. wu A2) u v v w. 00 u u. A3) Existe um elemento nulo 0 em V tal que u u 0. A4) Para cada u em V, existe um elemento oposto u em V tal que u da multiplicação por escalar: M1) v u v. u M2) u u u. M3) u u. M4)1 u u, para todo elemento u de V. 66

Portanto, dizer que V é um espaço vetorial real significa que V é fechado para soma e para a multiplicação por escalar. Isto é, se u e v são elementos quaisquer de V, então u v está em V. E se u é um elemento qualquer de V e qualquer número real, então u está em V. Obs: 1. Os elementos de V são chamados de vetores. 2. O vetor nulo (0) de V é único. 3. O vetor oposto de v em V, isto é, v 1 v, é único. 3. Em geral se escreve v v e u v u v, por simplicidade. Exemplo: Se V é o conjunto das matrizes de ordem 2, chamaremos mesmo assim as matrizes de vetores. Exemplos: São espaços vetoriais com as operações usuais (a soma e multiplicação por escalar conhecidas): Ó conjunto dos números reais. Ó 2 x, y /x, y Ó conjunto dos vetores no plano bi-dimensional. Ó 3 x, y, z /x, y, z Ó conjunto dos vetores no plano tri-dimensional. Ó n x 1 , x 2 , , x n /x i Ó conjunto dos vetores n-uplas de números reais. M mxn conjunto das matrizes mxn cujos elementos são reais. M n conjunto das matrizes de ordem n cujos elementos são reais. f x conjunto das funções reais de variável real. P n x a 0 a 1 x a 2 x² a n x n conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de coeficientes reais. Exercício 1: Descreva o vetor nulo e vetor oposto de cada espaço vetorial citado acima. 67

SUBESPAÇOS VETORIAIS Ás vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais quot;menoresquot;. Tais conjuntos serão chamandos subespaços vetoriais de V. Exemplo: O conjunto nulo S{0} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V. Definição: Seja V um espaço vetorial real. Um subconjunto S V (um conjunto não vazio) é um subespaço vetorial de V se: a) 0 S . b) Se v, w S, então v w S. c) Se k Ó e v S, então k v S. Seja V um espaço vetorial real e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida. Exemplo: São subespaços de Ó 2 com as operações usuais: y y y x x x próprio Ó 2 0,0 a origem uma reta que passa pela origem Exemplo: São subespaços de Ó 3 com as operações usuais: - 0, 0, 0 a origem - uma reta que passa pela origem - um plano que passa pela origem. - e o próprio Ó 3 Exemplo: Não é subespaço vetorial de Ó 2 com as operações usuais: S x, y Ó 2 /x 0 e y 0 68

OBS: Ó 2 Ó 3 , isto é, 1, 3 1, 3, 0 !!!!!!!!!! Exemplo: São subespaços vetoriais de V dado: a) S nxn S n M n /S S T conjunto das matrizes simétricas de V M n (conjunto das matrizes quadradas de ordem n). b) Se AX B é um sistema linear homogêneo de m equações em n incógnitas, então o conjunto dos vetores-soluções é um subespaço do V Ó n . 1 23 x 0 Exemplo: . Encontre a solução deste sistema homogêneo. 2 46 y 0 3 69 z 0 Verifique que o vetor-solução pode ser escrito como x 2y 3z 0 que é a equação de um plano que passa pela origem, isto é, S x, y, z Ó 3 /x 2y 3z 0 é subespaço vetorial de Ó 3 com as operações usuais. Isto significa que se somarmos duas soluções, a soma de soluçõe também será uma solução do sistema. Faça o teste: encontre duas soluções e some-as! O produto de uma constante real por uma solução também será solução do sistema. Faça o teste: multiplique uma solução por uma constante real qualquer! 69

E a solução trivial é solução do SEL, o que prova que o vetor-solução é um subespaço vetorial do Ó 3 com as operações usuais. E o SEL for não-homogêneo, o conjunto dos vetores-soluções será um subespaço do V Ó n ? Por quê? Exemplo: O conjunto S Ó 3 /2x 3y 6z 0 (plano contendo a origem) é um x, y, z subespaço de Ó 3 . Exemplo: O conjunto S Ó 3 /2x 3y 6z 12 (plano não contendo a origem) não é x, y, z um subespaço de Ó 3 . Exemplo: Sejam S 1 e S 2 subespaços do espaço V. A interseção de subespaços S 1 S 2 é um subespaço de V, mas a união S 1 Þ S 2 não é um subespaço de V. 70

Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos S são subespaços vetoriais de V? Justifique 1) V Ó 3 e S a, 0, 0 Ó 3 /a Ó Resp: sim 2) V Ó 3 e S Ó 3 /a Ó Resp: não a, 1, 1 3) V Ó 3 e S Ó 3 /b a c 1, onde a, b, c Ó Resp: não a, b, c ab 4) V M 2 e S A M 2 /a b c d 0, onde a, b, c Ó Resp: sim cd ab 5) V M 2 e S A M 2 / det A 0 Resp: não cd 6) V M n e S M n /A T A Resp: sim A 71

Exercícios de Revisão 1) Considere o conjunto cujo único elemento é a Lua. Será este conjunto um espaço vetorial com as operações Lua Lua Lua e k Lua Lua para cada número real k? Explique o seu raciocínio. Resp: sim. 2) Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos? Explique o seu raciocínio. Resp: não. 3) Determine se o conjunto-solução do sistema AX 0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação para este plano; se for uma reta, obtenha as equações paramétricas desta reta. 1 1 1 1 2 3 123 a) A b) A c) A 3 1 0 3 6 9 253 2 4 5 2 4 6 108 1 2 6 1 1 1 1 31 d) A e) A f) A 1 4 4 2 1 4 2 62 3 10 6 3 1 11 3 93 Resp: a) reta;x 1/2t, y 3/2t, z t b) reta; x 2t, y t, z 0 c) origem e) reta; x 3t, y 2t, z t f) plano; x 3y z 0 d) origem 4) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. a) Se AX B é qualquer sistema linear possível de m equações em n incógnitas, então o conjunto-solução é um subespaço de Ó n . Resp:falsa b) Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V tal que ku v sempre é um vetor em W para quaisquer vetores u e v em W e qualquer escalar k, então W é um subespaço de V. Resp: verdadeira 5) Considere o sistema linear 2x 4y 6z a y 4z b x 14z c 6y Seja W x, y, z Ó 3 / x, y, z é solução do sistema . Isto é, W é o conjunto-solução do sistema; Que condições devemos impor a a, b,e c para que W seja subespaço vetorial de Ó 3 ? Resp:abc0 72

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 7 Data: ____/_____/____ Combinações Lineares Definição: Seja V um espaço vetorial real e S v 1 , v 2 , , v n uma conjunto de vetores em V. Dizemos que um vetor qualquer v V é combinação linear dos elementos de S, se existem escalares k 1 , k 2 , , k n Ó tal que v k1v1 k2v2 k n v n OBS: 1) Se n 1, então a equação desta definição reduz a v k 1 v 1 ; ou seja, v é uma combinação linear de um único vetor v 1 se for um múltiplo escalar de v 1 . 2) Se o sistema obtido for impossível (SI), então não existem escalares de modo que v possa ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , , v n . Portanto, v não é combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , , v n . 3) Se o sistema tiver solução, isto é, for possível (SP), então v pode ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , , v n . Se o sistema for SPD, os escalares são únicos, isto é, v pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , , v n . Exemplo: O vetor v 3, 2, 1 R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de S 1, 0, 0 , 1, 1, 0 , 1, 1, 1 . v 4, 3, 6 Exemplo: O vetor não é combinação linear dos vetores de R³ S 1, 3, 2 , 2, 4, 1 . 73

Exemplo: . O vetor v 4, 18, 7 é combinação linear dos vetores de R³ S 1, 3, 2 , 2, 4, 1 . Resp:v 2v 1 3v 2 Ó tal que 1, 2, 3 p 1, 0, 0 q 1, 1, 0 r 1, 1, 1 . Exercício 1: Determinar escalares p, q, r Resp: p 1, q 1 e r 3 Exercício 2: Determine o valor de k para que o vetor u 1, k, 7 seja combinação linear dos vetores de S 1, 3, 2 , 2, 4, 1 . Resp: k 13 74

Exercício 3: Determine a condição para que x, y, z de modo que x, y, z seja combinação linear dos vetores de S 1, 3, 2 , 2, 4, 1 . Interprete geometricamente. Resp:x 2y 2z 0 Exercício 4: Mostrar que o vetor v(3,4) Ó 2 pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores de S{(1,0), (0,1), (2,-1)}. 75

Cada vetor a, b, c em Ó 3 pode escrito como uma combinação linear dos vetores: i 1, 0, 0 j 0, 1, 0 k 0, 0, 1 pois v a, b, c a 1, 0, 0 b 0, 1, 0 c 0, 0, 1 ai bj ck. Exercício 5: Escreva os vetores como uma combinação de i, j e k. a) (-3,4,5) b) (0,3,0) c) (-1,0,0) d) (0,0,3) e) (0,3,7) f) (2,0,-4) g) (3,5,0) h) (-1,-1,-1) i) (1,1,1) k) (10, 9, 4) Exercícios de Revisão 1) Quais dos seguintes são combinações lineares de u 0, 2, 2 e v 1, 3, 1 ? a) (2,2,2) b) (3,1,5) c) (0,4,5) d) (0,0,0) Resp: a, b, d 2) Expresse os seguintes como combinações lineares de u 2, 1, 4 , v 1, 1, 3 e w 3, 2, 5 . a) (-9,-7,-15) b) (6,11,6) c) (0,0,0) d) (7,8,9) Resp: a) 2u v 2w b) 4u 5v w c) 0u 0v 0w d) 0u 2v 3w 4 0 1 1 3) Quais das seguintes matrizes são combinações lineares de A , B , 2 2 2 3 02 C ? 14 6 8 00 60 15 a) b) c) d 1 8 00 38 7 1 Resp: a, b, c 76

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 8 Data: ____/_____/____ ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS Definição: Seja V uma espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A v 1 , v 2 , , v n V, A /. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. O subespaço S diz-se espaço gerado pelos vetores v 1 , v 2 , , v n ou gerado pelo conjunto A e é representado por: S v1, v2, , vn onde v 1 , v 2 , , v n são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto gerador de S. OBS: A /, então / 0 , por convenção. Exemplo: 1) Ó 2 1, 0 , 0, 1 2) S x, y, 0 /x, y Ó 1, 0, 0 , 0, 1, 0 3) Ó 3 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 4) 1, 2 x, 2x /x Ó 5) 1, 2, 3 x, 2x, 3x /x Ó OBS: O subespaço gerado por um vetor do Ó 2 ou Ó 3 , v 0, é uma reta que passa pela origem. 6) 1, 2, 1 , , 2, 1, 1 x, y, z Ó 3 /x 3y 5z 0 7) 3, 1 , 5, 2 Ó 2 OBS: O subespaço gerado por dois vetores do Ó 2 ou Ó 3 , não-colineares, é um plano que passa pela origem. No caso do Ó 2 , é o próprio Ó 2 . 8) 1, 1, 1 , 1, 1, 0 , 1, 0, 0 Ó 3 . OBS: O subespaço gerado por 3 vetores não-coplanares é o próprio Ó 3 . 9) V M 2x2 2y t y 12 3 1 Ó , /y, t 23 1 1 y t 77

OBS: O conjunto gerador não é único. Definição: Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A V, tal que V A . Exemplo: São espaços vetoriais finitamente gerados:Ó 2 , Ó 3 , Ó n , Mnxm. Exemplo: Determine se u 1, 1, 2 , v 1, 0, 1 e w 2, 1, 3 geram o espaço vetorial Ó 3 . OBS: O problema reduz a determinar se o sistema obtido é possível para quaisquer valores de x, y e z. Isto é, será SP se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for não-nulo. Se o determinante for nulo, então os vetores não geram o espaço. 78

Exercício de Fixação Determine se os vetores dados geram Ó 3 . 1) u(2,2,2), v(0,0,3), w(0,1,1) 2) u(2,-1,3), v(4,1,2), w(8,-1,8) 3) u(3,1,4), v(2,-3,5), w(5,-2,9), t(1,4,-1) 4) u(1,2,6), v(3,4,1), w(4,3,1), t(3,3,1) Resp: a, d 5) Sejam f cos 2 x e g sen 2 x. Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g? b) 3 x 2 a) cos2x c) 1 d) senx e) 0 Resp: a, c, e 6) Encontre uma equação para o plano gerado pelos vetores u 1, 1, 1 e v 3, 4, 4 . Resp: y z 7) Encontre equações paramétricas para a reta gerada pelo vetor u 3, 2, 5 . Resp: x 3t, y 2t, z 5t onde t Ó 8) Mostre que v 1 1, 6, 4 e v 2 2, 4, 1 e v 3 1, 2, 5 geram o mesmo subespaço vetorial de Ó 3 que os vetores w 1 1, 2, 5 e w 2 0, 8, 9 . 9) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. a) Se S é um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial V, então S é fechado para adição e multiplicação por escalar. Resp: Verdadeira. b) A interseção de dois subespaços de um espaço vetorial V também é um subespaço de V. Resp: verdadeira. c) Se S 1 S 2 , então S 1 S 2 . Resp: falsa. 10) Sob quais condições dois vetores de Ó 3 geram um plano? E uma reta? 11) Sob quais condições vale u v ? Explique. 79

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 9 Data: ____/_____/____ DEPENDÊNCIA LINEAR Definição: Sejam V um espaço vetorial e v 1 , v 2 , , v n V um conjunto não-vazio. Dizemos que o conjunto v 1 , v 2 , , v n é linearmente independente (LI), ou que os vetores v 1 , v 2 , , v n são LI, se a equação k 1 v 1 k 2 v 2 k n v n 0 implica que k 1 k 2 k n 0. No caso em que exista algum k i 0 dizemos que v 1 , v 2 , , v n é linearmente dependente (LD), ou que v 1 , v 2 , , v n são LD. v 1 , v 2 , , v n é LD, se e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros. Isto é, um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhum deles for uma combinação linear dos outros. Dica: Sistema Determinante LD ou LI SPD 0 LI 0 SPI LD Exemplo: do Ó 2 é um conjunto ___________. 1) 1, 0 , 0, 1 do Ó 2 é um conjunto ___________. 2) 2, 3 , 3, 5 do Ó 2 é um conjunto ___________. 3) 2, 3 , 4, 6 do Ó 3 é um conjunto ___________. 4) 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 do Ó 3 é um conjunto ___________. 5) 2, 1, 3 , 1, 0, 2 , 2, 3, 1 do Ó 3 é um conjunto ___________. 6) 1, 3, 2 , 0, 1, 1 do Ó 3 é um conjunto ___________. 7) 0, 0, 0 , 0, 1, 1 , 2, 4, 5 80

do Ó 3 é um conjunto ___________. 8) 0, 1, 0 , 1, 0, 2 , 1, 2, 1 , 1, 1, 1 12 2 3 3 4 9) do M 2x2 é um conjunto __________. , , 31 3 0 3 1 10 01 00 00 10) do M 2x2 é um conjunto __________. , , , 00 00 01 01 do Ó 3 é um conjunto ___________. 11) 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 , 2, 3, 1 do Ó 2 é um conjunto ___________. 12) 2, 1 , 3, 1 , 1, 2 1, 2 do Ó 2 é um conjunto ___________. 13) 1, 3, 5 do Ó 3 é um conjunto ___________. 14) 1 2 3 6 15) do M 2x2 é um conjunto __________. , 4 3 12 9 0, 0 do Ó 2 é um conjunto ___________. 16) 10 01 00 00 17) do M 2x2 é um conjunto __________. , , , 00 00 00 01 1 2 3 6 10 18) do M 2x2 é um conjunto __________. , , 4 3 12 9 00 OBS: Dois vetores formam um conjunto LD se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do outro. Veja o exemplo__________. 81

Propriedades: Seja V um espaço vetorial real. 1) v V e v 0, então v é LI. Veja os exemplos _________. 2) Se um conjunto A V contém o vetor nulo, então A é LD. Veja os exemplos ________. 3) Se uma parte de um conjunto A V é LD, então A é também LD. Veja os exemplos___________. 4) Se um conjunto A V é LI, qualquer parte de A é também LI. Veja os exemplos___________. Geometricamente: No Ó 2 ou Ó 3 , um conjunto de dois vetores é LI, se e somente se, os vetores não estão numa mesma reta. No Ó 3 , um conjunto de três vetores é LI, se e somente se, os vetores não estão num mesmo plano. Exercício 1: Verifique quais conjuntos são LI ou LD, no Ó 2 ou Ó 3 : a) O conjunto é __________ y x b) O conjunto é __________ y x 82

c) O conjunto é __________ y x d) O conjunto é __________ y x e)O conjunto é __________ f) O conjunto é __________ g) O conjunto é __________ 83

Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos de vetores do Ó 3 são LD? Justifique a sua resposta. a) 4, 1, 2 , 4, 10, 2 Resp: não b) Resp: sim 2, 0, 1 , 3, 2, 5 , 6, 1, 1 , 7, 0, 2 Exercício 3: a) Mostre que os vetores v 1 0, 3, 1, 1 , v 2 6, 0, 5, 1 e v 3 4, 7, 1, 3 formam um conjunto LD do Ó 4 . b) Expresse cada vetor como combinação linear dos outros dois. Resp: v 1 2 v 2 3 v 3 v2 7 v1 3 v3 v 3 37 v 1 2 v 2 7 7 2 2 3 84

Exercícios de Revisão: Suponha que v 1 , v 2 , v 3 são vetores em Ó 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num plano; 1) v 1 2, 2, 0 , v 2 6, 1, 4 , v 3 2, 0, 4 Resp: não 2) v 1 6, 7, 2 , v 2 3, 2, 4 , v 3 4, 1, 2 Resp: sim Suponha que v 1 , v 2 , v 3 são vetores em Ó 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num reta; 3) v 1 1, 2, 3 , v 2 2, 4, 6 , v 3 3, 6, 0 Resp: não 4) v 1 4, 6, 8 , v 2 2, 3, 4 , v 3 2, 3, 4 Resp: sim 5) Classificar os seguintes subconjuntos do Ó 2 em LI ou LD. Justifique a sua resposta. a) 1, 3 b) 1, 3 2, 6 c) 2, 1 , 3, 5 d) 1, 0 , 1, 1 , 3, 5 Resp: b, d são LD e a,c são LI 6) Classificar os seguintes subconjuntos do Ó 3 em LI ou LD. Justifique a sua resposta. a) 1, 3, 4 b) 1, 1, 1 , 1, 1, 1 c) 2, 1, 0 , 1, 3, 0 , 3, 5, 0 d) 2, 1, 3 , 0, 0, 0 , 1, 5, 2 e) 1, 2, 1 , 2, 4, 2 , 1, 3, 0 f) 1, 1, 2 , 2, 1, 1 , 1, 0, 3 g) 1, 2, 1 , 1, 0, 0 , 0, 1, 2 , 3, 1, 2 Resp: a,b,f são LI e c,d,e,g são LD. 7) Determine o valor de k para seja LI o conjunto 1, 0, 2 , 1, 1, 1 , k, 2, 0 . Resp:k 3 10 11 2 1 8) Determinar o valor de k para que seja LD , , 10 00 k 0 Resp: k 3. 85

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 10 Data: ____/_____/____ BASE E DIMENSÃO Um espaço vetorial pode ser gerado por n vetores, ou mais. Exemplo: O espaço vetorial Ó 3 pode ser gerado por três vetores, ou também por quatro, ou por cinco, etc. Assim, três vetores constituem o número mínimo necessário para gerar o Ó 3 . No entanto, quatro, cinco ou mais vetores podem gerar o Ó 3 . Porém, nesse caso, sobram vetores no conjunto gerador. E nós temos interessados no conjunto gerador que seja o menor possível. Definição: Sejam V um espaço vetorial real e S v 1 , v 2 , V. O conjunto S é uma base , vn de V se, e somente se,: a) S é LI b) S gera V, isto é, S V. OBS: Se S v 1 , v 2 , , v n é uma base de um espaço vetorial V real, então cada vetor em V pode ser expresso da forma v k 1 v 1 k 2 v 2 k n v n de maneira única, isto é, os k i são únicos. Exemplo:Complete com ou não com a palavra quot;nãoquot;: 1) 1, 0 , 0, 1 ________é uma base do Ó 2 . 2) 2, 3 , 3, 5 ________é uma base do Ó 2 . 3) 2, 3 , 4, 6 ________é uma base do Ó 2 . 4) 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 ________é uma base do Ó 3 . 5) 2, 1, 3 , 1, 0, 2 , 2, 3, 1 ________é uma base do Ó 3 . 6) 1, 3, 2 , 0, 1, 1 ________é uma base do Ó 3 . 7) 0, 0, 0 , 0, 1, 1 , 2, 4, 5 ________é uma base do Ó 3 . 8) 0, 1, 0 , 1, 0, 2 , 1, 2, 1 , 1, 1, 1 ________é uma base do Ó 3 . 12 2 3 3 4 9) ________é uma base do M 2x2 .. , , 31 3 0 3 1 10 01 00 00 10) ________é uma base do M 2x2 ... , , , 00 00 01 01 86

1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 , 2, 3, 1 ________é uma base do Ó 3 . 11) 2, 1 , 3, 1 , 1, 2 ________é uma base do Ó 2 . 12) 1, 2 ________é uma base do Ó 2 . 13) 1, 3, 5 ________é uma base do Ó 3 . 14) 1 2 3 6 15) ________é uma base do M 2x2 . , 4 3 12 9 0, 0 ________é uma base do Ó 2 . 16) 10 01 00 00 17) ________é uma base do M 2x2 . , , , 00 00 00 01 1 2 3 6 10 18) ________é uma base do M 2x2 . , , 4 3 12 9 00 OBS: No Ó 2 , um conjunto de dois vetores LI irão gerar o próprio Ó 2 , isto é, este conjunto forma uma base do Ó 2 . No Ó 3 , um conjunto de três vetores LI irão gerar o próprio Ó 3 , isto é, este conjunto forma uma base do Ó 3 . Exemplo: As seguintes bases são chamadas de base canônica do espaço vetorial dado. 1) 1 do Ó 2) 1, 0 , 0, 1 do Ó 2 . 3) 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 do Ó 3 . 4) 1, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 0 , 0, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 1 do Ó 4 . 10 01 00 00 5) do M 2x2 . , , , 00 00 10 01 OBS: Sejam V um espaço vetorial e S v 1 , v 2 , , v n V uma base qualquer de V com n elementos: a) Um conjunto com mais de n vetores é LD. Veja os exemplos _________. b) Um conjunto com menos do que n vetores não gera V, logo não é base. Veja os exemplos_________. c) Qualquer conjunto LI com n vetores é base. Veja os exemplos______________. Todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. 87

DIMENSÃO Definição: O número de vetores de uma base de V é definido como sendo a dimensão de V. Notação:dim v n. Exemplos: V / então dimV 0 (por convenção). dimÓ 1 dimM 2x2 2x2 4 dimÓ 2 2 dimM nxm nxm 33 dim 0 0 dimÓ 44 dimÓ dimÓ n n Sejam V um espaço vetorial real tal que dimV n e S é um subespaço de V, então dimS n. Se dimS n, então S V. Exemplo: V Ó 3 e dimÓ 3 3. Qualquer subespaço do Ó 3 só poderá ter 0,1,2 ou 3 como dimensão, isto é, dimS 0, então S 0, 0, 0 dimS 1, então S é uma reta que passa pela origem. dimS 2, então S é um plano que passa pela origem. dimS 3, então S V Ó 3 . Exercício 1: Analise para V Ó 2 . Reescrevendo: Sejam V um espaço vetorial de dimV n e S v 1 , v 2 , , v n V uma base qualquer de V a) Um conjunto com mais de n vetores é LD. b) Um conjunto com menos do que n vetores não gera V, logo não é base. c) Qualquer conjunto LI com n vetores é base. 88

Exercício 2: Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial S x, y, z Ó 3 /2x y z 0 . Resp: dimS 2 Dica: Uma forma prática para determinar a dimensão de um espaço vetorial é verificar o número de variáveis livres de seu vetor genérico. Esse número é a dimensão do espaço. Definição: Seja B v 1 , v 2 , , v n V, sendo v uma base de V. Tomemos v k 1 v 1 k 2 v 2 k n v n . Os números k 1 , k 2 , k n são chamados de componentes ou coordenadas de v em relação à base B e se representa por: v B k 1 , k 2 , k n . A n-upla k 1 , k 2 , k n . é chamada vetor-coordenada de v em relação à base B. Exercício 3: Seja B 1, 2, 3 , 0, 1, 2 , 0, 0, 1 . a) Mostre que é uma base do Ó 3 . b) Determine o vetor-coordenada de v 5, 4, 2 em relação a base B Resp:x 5, y 6, z 11 89

Ó 3 cujo vetor-coordenada em relação à base B é v B 2, 3, 4 . c) Determine o vetor v Resp: (2,1,4) Exercício 4: Determine uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema homogêneo. x 2y 4z 3t 0 x 2y 2z 2t 0 2x 4y 2z 3t 0 Resp: dimensão 1 e um exemplo de base: {(-2,0,1,2),(-2,1,0,0)} 90

Exercício de Revisão: O conjunto B 2, 1 , 3, 2 é uma base do Ó 2 . Escrever o vetor genérico do Ó 2 como 1. combinação linear de B. Resp: x, y 2x 3y 2, 1 x 2y 3, 2 . Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do Ó 3 ? Justifique a sua 2. resposta. a) 1, 1, 1 , 2, 1, 0 , 3, 2, 0 b) 1, 0, 1 , 0, 1, 2 , 2, 1, 4 c) 2, 1, 1 , 1, 0, 1 , 0, 0, 1 d) 1, 2, 3 , 4, 1, 2 e) 0, 1, 2 , 2, 1, 3 , 1, 0, 1 , 4, 1, 2 Resp: a, c 2 3 1 1 3 2 3 7 3. Mostrar que o conjunto é uma , , , 10 0 2 1 1 2 5 base de M 2x2 . Mostrar que os vetores v 1 1, 1, 1 , v 2 1, 2, 3 , v 3 3, 0, 2 e v 4 2, 1, 1 geram o Ó 3 4. e encontrar uma base dentre destes vetores. Resp: uma das soluções possíveis v 1 , v 2 , v 3 . Determinar o vetor coordenada de v 6, 2 em relação às seguintes bases: 5. a) B 1 3, 0 , 0, 2 Resp: (2,1) b) B 2 1, 0 , 0, 1 Resp: (6,2) c) B 3 1, 2 , 2, 1 Resp:( -2/3, 10/3) d) B 4 0, 1 , 1, 0 Resp: (2,6) No espaço vetorial Ó 3 , consideremos a seguinte base: B 6. 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 1, 1, 1 . Determinar o vetor coordenada de v Ó 3 em relação à base B se: a) v 2, 3, 4 b) v 3, 5, 6 c) v 1, 1, 1 Resp: a) (-2,1,4) b) (-3,11,6) c) (0,0,1) Sejam os vetores v 1 1, 0, 1 , v 2 1, 2, 1 , v 3 0, 1, 0 do Ó 3 . 7. a) Mostrar que B v 1 , v 2 , v 3 é uma base do Ó 3 . b) Escrever e 1 1, 0, 0 , e 2 0, 1, 0 , e 3 0, 0, 1 como combinação linear dos vetores da base B. Resp: (½, ½, 1), (0,0,-1) , (-½, ½, 1). 8. Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais: Ó 3 /y 3x a) x, y, z Ó 3 /y 5xez 0 b) x, y, z Ó 3 /x y 0 c) x, y, z Ó 3 /x 3yez y d) x, y, z Ó 3 /2x y 3z 0 e) x, y, z 91

Ó 3 /z 0 f) x, y, z Resp: a) dim: 2 b) dim: 1 c) dim: 2 d) dim: 1 e) dim: 2 f) dim: 2 As bases ficarão a cargo de cada aluno. 92

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 11 Data: ____/_____/____ ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO Definição: Produto escalar ou produto interno de um espaço vetorial V é uma função V V em Ó que todo para de vetores (u,v) V V associa um número real, indicado por u.v ou u,v tal que: 1) u v v u 2) u v w u v u w 3) u v u v 4) u . u 0 e u u 0 u 0 (elemento neutro) Exemplo: São chamados de produto interno usuais: 1) Para u x 1 , y 1 e v x 2 , y 2 temos u v x 1 x 2 y 1 y 2 no Ó 2 . 2) Para u x 1 , y 1 , z 1 e v x 2 , y 2 , z 2 temos u v x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 no Ó 3 . Exercício 1: Calcular u v, usando o produto interno usual do Ó 2 . 1) u 3, 4 e v 5, 2 2) u 6, 1 e v 1, 4 2 3) u 2, 3 e v 0, 0 Resp: 1) 30 23 27 Exercício2: Considere o Ó 3 munido do produto interno usual. Sendo v 1 1, 2, 3 , v 2 3, 1, 1 e v 3 2, 2, 0 . Determine u Ó 3 tal que u v 1 4, u v 2 6 e u v 3 2. Resp: u 3, 2, 1 93

Definição: Um espaço vetorial, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano. Definição: Sejam V um espaço vetorial euclidiano e v V. A norma ou comprimento de um vetor é dado por: v vv v, v Exemplo: São normas com produto interno usual: 1) V Ó 2 v x2 y2 x, y 2) V Ó 3 v x2 y2 z2 x, y, z Exercício 3: Calcule a norma dos vetores dados, usando produto interno usual: 1) u 3, 4 2) v 5, 2 3) w 6, 1 4) t 1, 4 2 5) s 2, 3 6) r 0, 0 Exercício 4: No Ó 3 . Determine o componente k do vetor v 6, 3, k tal que v 7. OBS: Se v 1, isto é, v v 1, o vetor é chamado de unitário. Diz-se que v é normalizado. Todo vetor não-nulo pode ser normalizado fazendo: v v v 94

Exercício 5: Normalizar os vetores se eles não forem unitários. 1) u 3, 4 2 2 2) v , 2 2 3) w 1, 1 4) t 1, 4 2 5) r 2, 1, 2 6) s 1, 1, 0 Definição: Distância entre dois vetores de um espaço vetorial euclidiano é dada por: d u, v u v Exemplo: Distância entre dois vetores, usando o produto interno usual: 1) V Ó 2 d u, v x2 2 y1 y2 2 x1, y1 x2, y2 x1 2) V Ó 3 d u, v x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1 Exercício 6: Calcule a distância entre os dois vetores: 1) u 3, 4 e v 5, 2 2) u 6, 1 e v 1, 4 2 3) u 2, 3 e v 0, 0 4) u 2, 1, 5 e v 5, 0, 2 5) u 0, 1, 0 e v 1, 0, 0 95

Propriedades: Sejam V um espaço vetorial euclidiano, u, v V e Ó. 0 para qualquer v V e v 0 v 0. 1) v 2) u ||. v para qualquer v V. 3) u v u . v para quaisquer u,v V. ( Desigualdade de Schwarz). 4) u v u v (Desigualdade triangular). 5) u v u v u e v são colineares. Definição. Sejam u e v vetores não-nulos de V. A desigualdade de Schwarz pode ser escrita assim: uv uv uv 1 1 1 1 u.v u.v u.v Por este motivo, o ângulo entre dois vetores é dado por: uv cos u.v onde 0 cos . Exemplo: Seja o produto interno usual no Ó 3 . Determinar o ângulo entre os seguintes vetores: 1) u 3, 4 e v 5, 2 2) u 6, 1 e v 1, 4 2 3) u 2, 3 e v 0, 0 4) u 2, 1, 5 e v 5, 0, 2 5) u 0, 1, 0 e v 1, 0, 0 Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v de V são ortogonais e são representados por u v uv 0 Exemplo: Seja V Ó 2 com produto interno usual. Verifique se os vetores são ortogonais: 1) u 3, 1 e v 1 ,1 3 2) u 3, 1, 2 e v 1, 1, 1 96

3) u 2, 3 e v 0, 0 4) u 2, 1, 5 e v 5, 0, 2 Exercícios de revisão: 1) Consideremos, no Ó 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v são ortogonais? u 3m, 2, m e v 4, 1, 5 a) u 0, m 1, 4 e v 5, m 1, 1 b) Resp; a) 2/17 b) 3 ou -1 2) Seja V Ó 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u Ó 3 ortogonal aos vetores v 1 1, 1, 2 , v 2 5, 1, 3 , v 3 2, 2, 3 . Resp: u 1, 7, 4 , Ó. 3) Seja v 1, 2, 5 . Encontre todos os escalares k tais que kv 4. 4 Resp: k 30 4) Encontre um vetor unitário do Ó 3 que é ortogonal a ambos u 1, 0, 1 e v 0, 1, 1 . 1,1,1 Resp: (esta reposta não é única, existem outras) 3 3 3 a1 b1 a2 b2 5) Se u ev são matrizes quaisquer de M 2x2 , a seguinte fórmula c1 d1 c2 d2 define um produto interno nesse espaço: u ⋅ v = a1 a 2 + b1b2 + c1 c 2 + d 1 d 2 1 2 02 .Dados os vetores: u ev . Determinar: 11 11 a) u v b) ângulo entre u e v. b) ar cos 4 . Resp:a) 21 42 6) Determinar o valor de m para que os vetores u 2, m, 3 e v m 1, 2, 4 sejam ortogonais em relação ao produto interno usual do Ó 3 . 97

Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 12 Data: ____/_____/____ BASES ORTONORMAIS Definição:Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores com mais do que dois vetores v 1 , v 2 , , v n V é conjunto ortogonal se dois vetores quaisquer distintos são ortogonais, isto é, v i v j 0 para quaisquer i j OBS: Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é LI. A recíproca não é verdadeira, isto é, nem todo conjunto LI é um conjunto ortogonal. Exemplo: No Ó 3 com produto interno usual, o conjunto é um 1, 2 3 , 3, 0, 1 , 1, 5, 3 conjunto ortogonal. Exercício 1: Verifique se os conjuntos dos Ó 2 e Ó 3 com produto interno usual são conjuntos ortogonais: a) 1, 3 2, 6 b) 2, 1 , 3, 5 c) 1, 0 , 1, 1 , 3, 5 d) 1, 1, 1 , 1, 1, 1 e) 2, 1, 0 , 1, 3, 0 , 3, 5, 0 f) 2, 1, 3 , 0, 0, 0 , 1, 5, 2 g) 1, 2, 1 , 2, 4, 2 , 1, 3, 0 h) 1, 1, 2 , 2, 1, 1 , 1, 0, 3 i) 1, 2, 1 , 1, 0, 0 , 0, 1, 2 , 3, 1, 2 98

Definição: Diz-se que uma base v 1 , v 2 , , v n de V é uma base ortogonal se os seus vetores são 2 a 2 ortogonais entre si. é uma base do Ó 3 Exemplo: O conjunto 1, 2 3 , 3, 0, 1 , 1, 5, 3 Exercício 2: Verifique quais dos seguintes conjuntos do Ó 2 e Ó 3 são bases ortogonais. 1) 1, 0 , 0, 1 2) 2, 3 , 3, 5 1, 1 1,1 3) , 2 2 2 2 4) 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 5) 2, 1, 3 , 1, 0, 2 , 2, 3, 1 6) 2, 1, 1 , 1, 0, 1 , 0, 0, 1 31 1, 3 7) ,2 , 2 2 2 Definição: Uma base B v 1 , v 2 , , v n de um espaço vetorial eucliadiano V é uma base ortonormal se B é uma base ortogonal e todos os seus vetores são unitário, isto é, 0 para i j vi vj 1 para i j Exemplo: Verifique que , em relação ao produto interno usual: 1) 1, 0 , 0, 1 é uma base ortonormal do Ó 2 . 31 1, 3 é uma base ortonormal do Ó 2 . 2) ,2 , 2 2 2 é uma base ortonormal do Ó 3 3) 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 é uma base ortonormal do Ó 2 . 3, 4 , 4, 3 4) 55 55 99

Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano e B v 1 , v 2 , , v n uma base ortogonal de V. Para um vetor w V, tem-se: w a1v1 a2v2 a n v n onde wv a i v vi i i Exemplo: Sejam V Ó 2 com produto interno usual e B uma base ortogonal. 2, 1 , 1, 2 Encontrar as coordenadas de (4,7) em relação à B. Resp: (3,2) Exercício 3: Sejam V Ó 2 com produto interno usual . Encontrar as coordenadas do vetor u em relação à B. 1) u 1, 2 em relação à B 1, 0 , 0, 1 . 2) u 1, 2 em relação à B 2, 1 , 1, 2 . 3) u 1, 4 em relação à B 1, 0 , 0, 1 . 4) u 1, 4 em relação à B 2, 1 , 1, 2 . OBS: No caso da base ser ortonormal, os coeficientes são dados por: ai w vi pois v i v i 1. uma base ortonormal do Ó 2 com produto interno usual. 3, 4 , 4, 3 Exemplo: Seja B 55 55 23 , 14 Encontrar as coordenadas de (5,2) em relação à base B. Resp: 5 5 100

Exercício 4: Encontrar as coordenadas de u em relação à base B. 31 1, 3 1) u 1, 2 em relação à ,2 , 2 2 2 31 1, 3 2) u 1, 4 em relação à ,2 , 2 2 2 Exercícios de revisão 1) Dado conjunto B 1, 1 1,1 . , 2 2 2 2 Verifique que é uma base ortonormal do Ó 2 com o produto interno usual. a) Determinar o vetor coordenada de v 2, 4 em relação à base B. b) Resp: . 3 2 , 2 2) Dado conjunto B 4 , 0, 3 , 3 , 0, 4 . O conjunto B é uma base ortonormal do 0, 1, 0 , 5 5 5 5 Ó 3 com produto interno usual? Justifique a sua resposta. 3) Dado o vetor v 1, 1, 2 do Ó 3 com produto interno usual. Encontre o vetor coordenada de v em relação as seguintes bases: a) A base canônica do Ó 3 . b) B 1, 0, 0 , 0, 1 , 1 , 0, 1 , 1 ] 2 2 2 2 4) Dado o vetor v 3, 5 . Encontre o vetor coordenada de v em relação as seguintes bases: a) A base canônica do Ó 2 b) B 2, 3 , 1, 1 c) C 2, 1 1, 3 , 5 5 5 5 101

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Apostila De Algebra Linear

by Jackeline Costa on Feb 18, 2009

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