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Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker y LaGrange

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LaGrange. LaGrange. Presentation Transcript

  • Arturo Jaimez C.I: 18.483.090
  • Esquema definiciones de los métodos,  diferencias  aplicaciones. 
  • Método de LaGrange. Joseph Louis LaGrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o LaGrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París)  Fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia y Francia. LaGrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. LaGrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía. 
  • Definición En los problemas de optimización, los multiplicadores de LaGrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones.
  •  Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de LaGrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes.
  •  Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.
  •  Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de LaGrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.
  • Cuando son útiles. Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se está extremized. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o restricciones. El método de los multiplicadores de LaGrange es una herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para eliminar las variables adicionales.
  •  Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de LaGrange son útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla de un problema son despedidos por las restricciones.
  • Las dos áreas mas importantes donde se aplica este método. Economía:  La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía. Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto . El multiplicador LaGrange tiene una interpretación económica como el precio de la oposición asociado con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.
  •  Teoría de control: En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de LaGrange se interpretan como constates variables, y los multiplicadores de LaGrange se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.
  • Objetivos      Ø Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z. Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos. Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de LaGrange. Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante. Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.
  • Método de Kuhn Tucker. Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.
  • Definición. En programación matemática, las condiciones de KarushKuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de LaGrange para restricciones de desigualdad
  • Importancia.  La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis matemático al estudio del comportamiento del consumidor.
  • CAMPO DE APLICACIÓN.  Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas.
  •  Notar que si se han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el problema es infectable. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o de economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
  • Ejemplo
  •  Observamos que las tablas para minimización y para maximización son idénticas salvo que los valores de los multiplicadores están cambiados de signo. Por tanto, la estrategia conveniente para optimizar una función sujeta a restricciones de desigualdad por el método de las condiciones de KKT será:
  • 1. 2. 3. 4. 5. Plantear el problema como si se tratara solo de minimización y resolver el sistema de ecuaciones correspondientes. Eliminar aquellos puntos encontrados que no satisfacen las restricciones gi ≤ 0. Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez multiplicadores positivos y negativos. Para minimización: escoger dentro de aquellos puntos que Tienen multiplicadores no negativos aquél que tienen la menor evaluación de la función objetivo. Para maximización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no positivos aquél que tienen la mayor evaluación de la función objetivo.