Tesis filosofia

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Filosofia del lenguaje, matemáticas, Wittgenstein

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Tesis filosofia

  1. 1. LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DELAS MATEMÁTICASJaime Eduardo Guzmán Moreno432143UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS HUMANASDEPARTAMENTO DE FILOSOFÍABogotá, Octubre de 2005.
  2. 2. LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DELAS MATEMÁTICASJaime Eduardo Guzmán Moreno432143DirectorRaúl MeléndezTrabajo de Grado como requisito para optar al título de filosofóUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS HUMANASDEPARTAMENTO DE FILOSOFÍABogotá, Noviembre de 2005.
  3. 3. LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DELAS MATEMÁTICASINDICECAPITULO 1: DEL ATOMISMO LÓGICO A LA GRAMÁTICA FILOSÓFICAPág. 1CAPITULO 2: “ENDURECIMIENTO”: DE LA PROPOSICIÓN EMPÍRICA A LAPROPOSICIÓN GRAMATICALPág. 9CAPITULO 3: PAPEL GRAMATICAL QUE PARA EL WITTGENSTEINTARDÍO JUEGAN LAS PROPOSICIONES MATEMÁTICASPág. 18CAPITULO 4: IMPLICACIONES DE SU TEORIA EN LA FILOSOFÍA DE LASMATEMÁTICASPág. 30
  4. 4. INTRODUCCIÓNEl lugar privilegiado que se le ha concedido a la matemática culturalmente, y que de algunaforma signa nuestra visión del mundo y de las ciencias de las que nos valemos para suinterpretación, no pocas veces ha sido confrontado. De hecho, la creación en la primeramitad del siglo XIX de las geometrías no euclidianas significó en el campo de la filosofíade las matemáticas una profunda crisis que tuvo importantes repercusiones en toda la teoríadel conocimiento humano.La existencia de varios sistemas geométricos, aparentemente bien fundamentados desde elpunto de vista de su lógica interna, hizo cuestionar lo que se entendía por “verdad” dentro delconocimiento.1Pese a esto, en el marco del conocimiento humano en general, el ideal de lamatematización, legado de los presupuestos de la revolución científica y de la constituciónde la ciencia moderna como última fase de una ciencia que se considera plenamentedesarrollada, aun prevalece oculto bajo nociones como rigor, precisión y simplicidad.Esto supone, que en el contorno del conocimiento científico la ciencia (cualquiera que éstasea) recurre a la cuantificación, al uso de conceptos cuantitativos, a la formalización oexpresión en un lenguaje formal libre de vaguedad y ambigüedad y a la axiomatización dela teoría. Puntos estos que se orientan a la obtención de una aproximación a los hechos de lanaturaleza en términos de validez, exactitud y objetividad.Las geometrías no-euclidianas y el descubrimiento de paradojas y contradicciones en elseno del edificio matemático, que parecían afectar seriamente el uso de conceptos claves de1FALK, M. introducción a la matemática contemporánea. Universidad Nacional de Colombia.Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas y Estadística. Santafé de Bogotá, diciembre de1992. p. 1.
  5. 5. esta bien autorizada ciencia suscitaron, a comienzos del siglo XX, uno de los másimportantes problemas de la filosofía de las matemáticas. La cuestión de fundamentar lamatemática sobre bases sólidas, que no dieran origen a contradicciones, dió lugar aimportantes desarrollos en lógica y en filosofía de la matemática asociados con nombresfamosos como los de Frege, Hilbert, Russell, Zermelo, Brouwer y Heyting.La parcialmente exitosa utilización de la nueva lógica matemática en los primeros pasos deestos proyectos fundacionistas, sirvió como inspiración y modelo para el trabajo en unproyecto más ambicioso: el de fundar o reconstruir, haciendo uso de herramientas lógicasde análisis, todo el conocimiento empírico a partir de lo inmediatamente dado en laexperiencia sensible.2Sin embargo, Wittgenstein no sólo no participó de estos proyectos defundamentación sino que se opuso a ellos al considerarlos innecesarios y fuentes deconfusiones filosóficas, que había que aclarar y despejar:¿Para qué necesita la matemática una fundamentación? La necesita tan poco, creo, como lasproposiciones que tratan de objetos físicos o las que tratan de impresiones de los sentidos,necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto las proposiciones matemáticas como las otrasde una clarificación de su gramática.3Para Wittgenstein muchos de los malentendidos filosóficos pueden solucionarse medianteaclaraciones de tipo gramatical, en el sentido que da al termino “gramatical” en supensamiento tardío.En efecto, para Wittgenstein, algunas de estas confusiones filosóficas surgen, en principio,de atribuirle erróneamente una función descriptiva a las proposiciones matemáticas como siellas fuesen leyes de una realidad matemática abstracta o principios que describenrasgos muy generales del mundo empírico.4A estas confusiones nos podríamos verconducidos por las engañosas similitudes entre la gramática superficial de las proposicionesmatemáticas y la de las proposiciones empíricas o descriptivas. Estas similitudes podrían2Ver MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento de L.Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento deFilosofía. Bogotá D. C., 2001. p. 177.3 WITTGESTEIN, L. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Alianza Editorial.Madrid. 1987. VII, §, 319.4Ver MELÉNDEZ, R. Op. cit., p. 177.
  6. 6. ocultar importantes diferencias en los usos que damos a estos dos tipos de proposiciones.La discutible asimilación de las primeras a las segundas conllevaría a extravíos endiferentes teorías filosóficas sobre matemáticas, tal y como acaeció, según Wittgenstein,con el platonismo o realismo matemático defendido por Frege, Gödel, Hardy, entre otros,con el empirismo matemático representado por Mill o con el intuicionismo matemático deBrouwer y Heyting.Wittgenstein se opuso radicalmente la manera como estas tres teorías dan explicación delsignificado y la función de las proposiciones matemáticas argumentando que la matemáticano es la descripción ni de un mundo abstracto, ni de rasgos generales del mundo, ni de lasconstrucciones mentales, sino que es una creación, una invención humana. El matemáticono descubre sino que inventa.Así por ejemplo el teorema de Cantor sobre números transfinitos constituye un buenejemplo de una proposición matemática que puede interpretarse, y que seduce a serinterpretada así, como un enunciado que describiría una realidad matemática diferente a ladel mundo físico, investigada mediante una actividad análoga a la de un explorador queva descubriendo las rarezas y maravillas de una realidad abstracta, misteriosa ydifícilmente penetrable. Según Meléndez (2001), para Wittgenstein esta imagen hace partede la niebla metafísica, que él quiere disipar mediante sus clarificaciones gramaticales, queimpide ver claramente y lleva a interpretar erróneamente la actividad que lleva a cabo elmatemático, oscureciendo el sentido de sus pruebas y teoremas. De ahí que Wittgensteinrecomiende examinar detallada y cuidadosamente las demostraciones y lo que ellas dicenevitando caer cautivos, debido a nuestra admiración y perplejidad, en ilusiones metafísicas.Observando dicho propósito, y en el marco que brinda la filosofía tardía wittgensteniana enlo referente a la naturaleza de las proposiciones matemáticas y la concepción general dela actividad filosófica como una actividad gramatical, descriptiva y terapéutica, elobjetivo central que se desarrolla en este trabajo es la interpretación de la polémica tesis del
  7. 7. Wittgenstein tardío: el sentido de un teorema de la matemática está dado por sudemostración.Presente en la discusión que celebra Wittgenstein en Observaciones acerca de losFundamentos de la Matemática alrededor del método de la diagonal de Cantor:El método de la diagonal de Cantor no nos muestra un número irracional que sea diferentede todos los del sistema, pero da un sentido a la proposición matemática que dice que tal y talnúmero es diferente de todos los del sistema.5Y que Meléndez (2001) interpreta como: “el sentido del teorema nos lo da su demostración(antes o independiente de ella el teorema no tendría todavía un sentido claro) y no unapresunta referencia a, o una correspondencia con, un paraíso matemático ideal.”6Para tal propósito se emprenden los siguientes pasos:En primer lugar se discurre brevemente en el marco del Tractatus Logico-philosophicus yde las Investigaciones Filosóficas, acerca de la concepción presente en cada uno de ellassobre la actividad filosófica, esto con el propósito de fijar y clarificar la postura deWittgenstein en lo concerniente a la gramática filosófica, abonando el terreno para abordarlos problemas filosóficos relacionados con la ciencia matemática.Luego se emprende a la luz de su gramática filosófica la cuestión de la transición de laproposición empírica a la gramatical ilustrad por Wittgenstein con la imagen de un“endurecimiento”Posteriormente se expone el papel gramatical que para el Wittgenstein tardío juegan lasproposiciones matemáticas en el desarrollo de una demostración y la cuestión del sentido.5____________ . Op. cit. OFM II, § 29, p. 107.6Ver MELÉNDEZ, R. Op. cit., p. 184.
  8. 8. Para en ultimo lugar brindar algunas luces sobre las implicaciones de su teoría para lafilosofía de la matemática.
  9. 9. BIBLIOGRAFÍAPrimariaWITTGESTEIN, L. Tractatus Logico – Philosophicus. Alianza Editorial. Madrid. 1973.________________ . Sobre la certeza, trad. Joseph Lluís Prades y Vicent Raga, Gedisa,Barcelona, 1988.________________ . Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. AlianzaEditorial. Madrid. 1987.________________ . Investigaciones filosóficas. Colección Critica. Editorial Grijalbo.Barcelona. 1988.________________ . Gramática filosófica. Universidad Nacional Autónoma de México.1992.________________ . Zettel, Ed. Univ. Nac. Autónoma de México, 1985 (segunda edicióncastellana), 458________________ . Philosophical Remarks. The University of Chicago Press. 1975.Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics. Cambridge, 1939. From thenotes of R.G. Bosanquet, Norman Malcon, Rush Rhees, and Yorick Smythies. Edited byCora Diamond. The University of Chicago Press. Chicago and London. 1976.
  10. 10. SecundariaARREGUI, J. Acción y sentido en Wittgenstein. Ediciones Universidad deNavarra, S. A. Pamplona 1984.BACON, F. Instauratio magna * Novun organum * Nueva Atlántida. Estudio introductivoy análisis de las obras por: Francisco Larroyo. Editorial Porrúa, S. A. México. 1991.BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática enWittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas.Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 1993.ESPINEL, O. Monografía. Concepto de filosofía en Wittgenstein. Universidad Nacionalde Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C.,2004. Director Raúl Meléndez Acuña.DE LORENZO, J. Aportes epistemológicos del hacer matemático En: Revista Ideas yValores. IV Coloquio internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas.Universidad Nacional de Colombia. Santafé de Bogotá, Agosto de 1993.FALK, M. introducción a la matemática contemporánea. Universidad Nacional deColombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas y Estadística. Santafé deBogotá, diciembre de 1992.MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento deL. Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas.Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 2001.________________ . Crítica del lenguaje, lógica y ética en el Tractatus logico-philosophicus. En: El pensamiento de L. Wittgenstein. Universidad Nacional de
  11. 11. Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C.,2001.VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre lasinvestigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein". En: Textos,N° 4. Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000.p. 166.WAISSMAN, F. Ludwing Wittgenstein y el Circulo de Viena. México: Fondo de CulturaEconómica, 1973.
  12. 12. 11. DEL ATOMISMO LÓGICO A LA GRAMÁTICA FILOSÓFICA(De la interpretación lógica del sentido a la pragmática)En el pensamiento filosófico de Wittgenstein son claramente diferenciables dos etapas: unaprimera corresponde al trabajo en las ideas del Tractatus, y una segunda que se inicia apartir de 1929 y que descuella con las Investigaciones Filosóficas. Estas obras tienen sucorrespondiente influencia posterior, la primera sobre el Circulo de Viena y la segundasobre la llamada filosofía del lenguaje ordinario. El Tractatus es una obra escrita en formade aforismos enumerados según el sistema decimal de clasificación1, que contiene sieteproposiciones fundamentales, de las cuales, las dos primeras:1. El mundo es todo lo que acaece1.1 Lo que acaece, el hecho, es la existencia de los hechos atómicos2Se refieren al mundo y a la realidad, mientras que las cuatro siguientes son el desarrollo desu lógica y de su teoría del lenguaje, la última proposición, la conocida y oscura frase, “Delo que no se puede hablar, mejor es callarse” 3cierra el libro marcando el límite de lo quese puede pensar y decir (la proposición).En interpretación de Arregui (1984), el Tractatus es antes que nada, una obraeminentemente crítica que tiene como una de sus nociones angulares la noción de sentido,1“Los números decimales, en cuanto números de las proposiciones separadas, significan laimportancía lógica de las proposiciones, el alcance que tienen en mi exposción. Las proposiconesn.1, n.2, n.3, etc. son observaciones a la proposición are N.° n; las proposiciones n.m1, n.m2, etc. sonobservaciones a la proposición N.° n.m; y así susecivamante.” WITTGESTEIN, L. Tractatus Logico– Philosophicus. Introducción de Bertrand Russell. Versión española de Enrique Tieerno Galván.Alianza Editorial. Madrid. 1985. p. 35.2 Ibid., p. 35.3 Ibid., p. 203.
  13. 13. 2en tanto que ésta brinda el soporte necesario para dicha critica. Ella tiene como fin “trazarunos límites al pensamiento, definiendo qué es lo pensable y qué lo impensable a través deldiscernimiento entre lo que se puede decir y lo que no se puede decir.” 4Precisar loexpresable de lo inexpresable es distinguir lo impensable de lo pensable:4. El pensamiento es la proposición con significado.5Así, al considerar los límites del pensamiento a través de los del sentido, la filosofíatractariana como intento por establecer los límites del pensamiento y del sentido, seconstituye en una critica del lenguaje.Signo inequívoco de tal propósito es la composición misma del Tractatus donde la mayorparte versa sobre lógica y lenguaje, y los párrafos iniciales que además de referirse almundo se refieren a una singular visión metafísica del mismo, que es común alWittgenstein tractariano como a Russell, a saber, la del atomismo lógico. Para éste elmundo y el lenguaje tienen una misma estructura común o “forma lógica”. Por ser ellenguaje el espejo del mundo, en él se refleja su naturaleza. Así, para Wittgenstein, elmundo es la totalidad de los hechos y el lenguaje es la totalidad de las proposiciones, quecomparten una misma estructura lógica común.2.04 La totalidad de los hechos atómicos existentes es el mundo.2.05 La totalidad de los hechos atómicos existentes determina también cuáles hechos atómicosno existen.2.06 La existencia y no-existencia de los hechos atómicos es la realidad [...].2.063 La total realidad es el mundo.64.001 La totalidad de las proposiciones es el lenguaje.7En el corpus tractariano los objetos o cosas son simples y forman parte de los hechosatómicos o estados de cosas, entendiendo a éstos como la combinación o relación deobjetos o cosas. No obstante, según Wittgenstein, lo que puede conocerse de las cosas delmundo es sólo lo que acaece, esto es, las asociaciones o relaciones de cosas y objetos: los4 ARREGUI, J. Acción y sentido en Wittgenstein. Ediciones Universidad de Navarra, S. A.Pamplona 1984.5____________ . Op. cit. TLP. p. 69.6Ibid., p. 43.7 Ibid., p. 69.
  14. 14. 3hechos atómicos, o hechos simples y los hechos compuestos de simples, o simplementehechos, cuyo agregado constituye la realidad.Según el Tractatus, el lenguaje asocia a las cosas del mundo, nombres, a los hechosatómicos, proposiciones simples y a los hechos complejos, proposiciones compuestas,teniendo el lenguaje la facultad de representar, como en un espejo, la realidad del mundo,constituyéndose el lenguaje en imagen del mundo gracias a su capacidad pictórica, ocapacidad de representación o configuración (Abbildung). Cuando por medio deproposiciones describe hechos, sus elementos “reproducen” y “representan” la mismarelación que establecen los objetos en los hechos atómicos, siendo lo que hace posible esteisomorfismo entre lenguaje y realidad, la participación en una misma figura lógica oestructura común. La proposición -el signo con que expresamos el pensamiento- representaun estado de cosas (un hecho atómico), si este estado de cosas se da efectivamente, laproposición es verdadera, y el conjunto de todas ellas describe el mundo.4. 26 La enumeración de todas las proposiciones elementales verdaderas describe el mundocompletamente. El mundo está completamente descrito por la especificación de todas lasproposiciones elementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas.8Únicamente las proposiciones, y no los nombres, son significativas y revelan la formalógica de la realidad. De tal forma, mientras que los nombres tienen significado o referencia(Bedeutung), las proposiciones tiene sentido (Sinn).4. 121 [...] La proposición muestra la forma lógica de la realidad.La exhibe.9Para Wittgenstein, el sentido se da en las proposiciones, por ser éstas como flechasorientadas a las cosas 10, éstas tienen sentido, aun en el caso de que sean falsas, dado que es8 Ibid., p. 101.9 Ibid., p. 87.10 “El sentido es, pues, una relación de proposición a la realidad, distinta a la de la verdad.”ARREGUI, J. Op. cit., p. 31.
  15. 15. 4posible en el mundo y sólo describiendo lo que es posible puede una proposición tenersentido.114.26 [...] El mundo está completamente descrito por la especificación de todas las proposicioneselementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas.4.27 Con relación a la existencia de n hechos atómicos hay nvnvnK0posibilidades.Es posible para todas las combinaciones de hechos atómicos existir, y a las otras noexistir.4.28 A estas combinaciones corresponde el mismo número de posibilidades de verdad - yde falsedad – de n proposiciones elementales.4.3 La posibilidad de verdad de las proposiciones elementales significa las posibilidades yde no existencia de los hechos atómicos.12Las proposiciones que no describen estados de cosas posibles, carecen de sentido,dividiéndose ellas en dos clases: la primera comprende las tautologías13, que nada dicenrespecto del mundo, y sus negaciones, las contradicciones; las segundas comprendenaquellas proposiciones que no comparten la figura lógica con la realidad que pretendenrepresentar. Y esto a su vez sucede de dos maneras: en razón de que esta mal construidas yno figuran una combinación posible de objetos o en razón de que no se da a un signo unsentido, erigiendo enunciados que contienen signos carentes de significado, porque apuntana objetos que trascienden el mundo, queriendo expresar lo inexpresable, como pasa con lasproposiciones sobre ética, con las metafísicas y aquellas que quieren esclarecer el sentidodel mundo.6. 41 El sentido del mundo debe quedar fuera del mundo. En el mundo todo es como es ysucede como sucede: en él no hay ningún valor, y aunque lo hubiese no tendría ningún valor.11 “La proposición tiene sentido, pues, en cuanto es verdadera o falsa, pero el sentido esindependiente de la verdad o falsedad de hecho. Lo esencial para la proposición con sentido espoder ser verdadera y poder ser falsa. El sentido se encuentra en el ámbito de la posibilidad.”Ibid., p. 29.12 ____________ . Op. cit. TLP. p. 101.13 “Toda proposición significativa es necesariamente verdadera o falsa. Por ello, si una proposiciónes siempre verdadera, carecerá de sentido. [ ... ] Una proposición significativa ha de poder serverdadera y ha de poder ser falsa (condición que como ya se ha dicho, que no cumplen lastautologías).” ARREGUI, J. Op. cit., p. 29 -30.
  16. 16. 5Si hay un valor que tenga valor, debe quedar fuera de todo lo que ocurre y de todo ser –así. Pues todo lo que ocurre y todo ser – así son casuales.Lo que lo hace no casual no puede quedar en el mundo, pues de otro modo sería a suvez casual.Debe quedar fuera del mundo.6. 42 Por lo tanto, tampoco puede haber proposiciones de ética [...]6. 421 Es claro que la ética no se puede expresar.La ética es trascendental.(Ética y estética son lo mismo).14Justamente para el Wittgenstein de (TLP) sólo las proposiciones de las ciencias empíricastienen sentido, la lógica consta únicamente de tautologías y todas las proposiciones sobreética o metafísica son carentes de sentido. Así, el papel que tiene el análisis filosófico enel primer Wittgenstein es el ejercicio que ayuda a esclarecer el sentido de las proposicionesdel lenguaje ordinario. Al punto que Wittgenstein declara a las proposiciones del lenguajefilosófico como carentes de sentido, incluso las del propio TLP, las cuales una vezcomprendidas y aplicadas, deben descartarse como carentes de sentido. La cuestión delsentido es retrotraída a la cuestión de la proposición significativa.15La segunda etapa filosófica, aquella que permite hablar de un Wittgenstein tardío, sepolariza en torno a Investigaciones Filosóficas y algunos apuntes de obras que las preparan,como Los cuadernos azul y marrón, donde Wittgenstein abandona la teoría especular dellenguaje. De esta suerte, el lenguaje no refleja el mundo ni tiene como único objetivodescribir el mundo, sino que es una forma de conducta entre otras, con pluralidad defunciones: describir, informar, ordenar, hacer conjeturas, contar historias, hacer teatro,contar chistes, adivinar enigmas, etc., cada una de las cuales puede definirse como un juego14 ____________ . Op. cit. TLP. p. 197.15 “Si el sentido de la proposición no es su valor de verdad, sino la posibilidad de tenerlo, cabemantener también que el sentido viene determinado por las condiciones de verdad, pues<<para poder decir: ‘p es verdadero (o falso)’ debo haber determinado en qué condiciones llamoverdadero a ‘p’ y con ello, apostilla Wittgenstein, determino el sentido de la proposición>> (t, 4 .063).” ARREGUI, J. Op. cit., p. 30.
  17. 17. 6de lenguaje16(Sprachspiel; language game). Para el Wittgenstein de las Investigaciones,las proposiciones son significativas no porque sean figuras de la realidad, sino porque sonexpresiones de estos juegos de lenguaje: los diversos y variados usos a que sirve ellenguaje, que igual como pasa con los juegos, manifiestan como característica común uncierto aire de familia que los asemeja, a saber, se someten a reglas, pero cada cual a lassuyas propias. Por esto, el significado hay que buscarlo, no en la verificabilidad de lo quese dice, sino en el uso que se hace de las palabras, en la praxis vital humana:El significado de una palabra es su uso en el lenguaje17la proposición sólo tiene sentido a través del uso. 18En definitiva, para Wittgenstein, es el contexto y el uso en tal contexto lo que da sentido alas palabras. La mayoría de errores filosóficos provienen de confundir los contextos o dejuzgar un contexto por las reglas de otro (como en los juegos, las reglas se respetan;cambiarlas es cambiar de juego). Todo el lenguaje consiste en multitud de juegos delenguaje, y el lenguaje correcto es aquel que observa el recto uso de las reglas. Pero todapalabra tiene sentido, si es empleada correctamente en su contexto. El sentido lo dan lasreglas de uso, tal como, en el ajedrez, el sentido de cada una de las piezas lo dan las reglasque describen sus movimientos.En los escritos correspondientes a esta etapa Wittgenstein abandona la posición delTractatus, que enfoca el lenguaje como representación de la realidad, entendida desde laperspectiva metafísica del atomismo lógico, para explicarlo ahora como un producto de laconducta humana que debe interpretarse gramaticalmente, es decir, desde la perspectiva dellenguaje en uso, desde la pragmática. De ahí que para este Wittgenstein los juegos delenguaje sean parte de una actividad humana o de una forma de vida.16 "La palabra juego de lenguaje debe (...) poner de relieve que el hablar un lenguaje es unaactividad, una forma de vida" WITTGESTEIN, L. Investigaciones filosóficas. Colección Critica.Editorial Grijalbo. Barcelona. 1988. § 122.17 Ibid., § 43. p. 61.18 WITTGESTEIN, L. Sobre la certeza, trad. Joseph Lluís Prades y Vicent Raga, Gedisa, Barcelona,1988. § 10. p. 13.
  18. 18. 7En el análisis del lenguaje y en la formación de conceptos de las Investigaciones Filosóficas,Wittgenstein utiliza la analogía o comparación: el lenguaje es como una "caja de herramientas",no hay un lenguaje sino "juegos" de lenguaje; la relación de semejanza de los juegos entre síes como los "parecidos de familia” ... Los juegos de lenguaje (y sus reglas) son "ciegamenteaceptados" y se fundan en "formas de vida aprobadas socialmente. 19Con respecto al nuevo criterio de sentido, -el sentido de la proposición está dado por eluso-, Arregui (1984) interpreta que lo que liga al lenguaje con la realidad, es su uso, y no yala figura lógica de la filosofía tractariana. Así “El lenguaje adquiere su significado encuanto que la actividad lingüística se entrelaza con la praxis vital humana. <<Unaexpresión sólo tiene significado (Bedeutung) en medio del flujo de la vida>>, o comoescribe en Über Gewissheit, <<nuestro hablar adquiere su sentido (Sinn) a partir del restode nuestra conducta>> (ÜG, 229), e incluso afirma que <<la praxis da su sentido (Sinn) alas palabras>> (CV, p. 85)” 20.Muchos autores, entre ellos, Arregui y los citados por él,21juzgan que no se interrumpeuna continuidad de base entre el primero y segundo Wittgenstein. La primera etapainsistiría en la clarificación del lenguaje mediante el análisis de la estructura lógica ocultade las frases del lenguaje ordinario; y la segunda, en descubrir y describir cuáles son losjuegos de lenguaje, esto es, los contextos, que suponen las diversas proposiciones, en lo queArregui interpreta apoyado en Pears: “como la vuelta sobre sí misma de la critica dellenguaje que se había emprendido en el Tractatus contra la metafísica.”22En amboscasos, en opinión propia, desaparecen los problemas filosóficos; en la primera comoresultado de una actividad que consiste en aclarar las proposiciones a través de un lenguaje19 VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre lasinvestigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein”. En: Textos, N.° 4Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000. p. 165.20 ARREGUI, J. Op. cit., p. 128.21 “En efecto, quien se acerca por primera vez a las distintas monografías existentes sobreWittgenstein tiene la impresión de que se habla en ellas de autores distintos. Y no se trata sólo dela aparentemente profunda ruptura entre el Tractatus y las Philosophische Untersuchungen, que hapermitido que, durante cierto tiempo, se hablara de la existencia de dos filosofías en Wittgenstein,de las que la segunda hundiría sus raíces en la negación de la primera. La cuestión es mucho másde fondo; porque si la publicación de sus escritos del amplio interregno que media entre el Tractatusy las Investigaciones Filosóficas ha permitido revisar esa pretendida ruptura entre esas dos obras,descubriendo una continuidad tanto en el concepto de filosofía como en sus temas fundamentales,la disparidad de interpretaciones continúa.” Ibid., p. 17.22Ibid., p. 19.
  19. 19. 8lógico ideal; y en la segunda, aclarando el significado recurriendo al uso y al contexto. Enel Tractatus desaparecen, porque el metafísico ha de percibir que usa palabras sin sentidodeterminado y en las Investigaciones, porque se obliga al metafísico a usar sus palabras deacuerdo con los contextos originarios del lenguaje común:Cuando los filósofos usan una palabra - «conocimiento», «ser», «objeto», «yo», «proposición»,«nombre»- y tratan de captar la esencia de la cosa, siempre se ha de preguntar: ¿Se usaefectivamente esta palabra de este modo en el lenguaje que tiene su tierra natal? 2323 ____________ . Investigaciones filosóficas. Op. cit., § 116.
  20. 20. 92. “ENDURECIMIENTO”: DE LA PROPOSICIÓN EMPÍRICA A LAPROPOSICIÓN GRAMATICALEl hombre siempre ha buscado trascender lo dado, repercutiendo lo que tiene ante sí, alimponer un orden a las cosas que forzosamente lo aleja de lo puramente empírico, al hacerdevenir la realidad en conceptos. De hecho la empresa humana de la ciencia recrea esto enel paso que al interior de ella se da de los hechos sintéticos de la naturaleza a lasafirmaciones analíticas de la razón.4.11 La totalidad de las proposiciones verdaderas es la ciencia natural total (o la totalidad delas ciencias naturales).24Barajas (1993) identifica en relación a este pasaje del TLP el inconveniente de la perdidadel punto de partida, que trae consigo la dificultad posterior para explicar de maneracoherente el sentido y la naturaleza de dichas formaciones conceptuales.25En declaracionesa cerca de la ciencia y la filosofía Wittgenstein sostiene:4.111 La filosofía no es una de las ciencias naturales.(La palabra <<filosofía>> debe significar algo que esté sobre o bajo, pero no junto a lasciencias naturales).4.112 El objeto de la filosofía es la aclaración lógica del pensamiento.Filosofía no es una teoría, sino una actividad.Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones.El resultado de la filosofía no son <<proposiciones filosóficas>>, sino el esclarecer de lasproposiciones.La filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modoserían, por así decirlo, opacos y confusos. 26Que, de alguna forma, podría decirse, resumen la actitud de Wittgenstein frente al lenguajey la filosofía, erigiéndose en los inicios de su posterior empresa de clarificación gramatical.24____________ . Op. cit. TLP. p. 85.25Ver BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática enWittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamentode Filosofía. Bogotá D. C., 1993. p. 5-6.26____________ . Op. cit. TLP. p. 85.
  21. 21. 10Los problemas que surgen de una mal interpretación de nuestras formas lingüísticas tieneel carácter de lo profundo. Son profundas inquietudes; se enraízan tan profundamente ennosotros como las formas de nuestro lenguaje y su significado es tan grande como laimportancia de nuestro lenguaje.- Preguntémonos: ¿Por qué sentimos como profundo un chistegramatical? (Y ésta es por cierto la profundidad filosófica).27En el marco que proporciona el pensamiento tardío de Wittgenstein la clásica distinciónentre proposiciones gramaticales y proposiciones empíricas, o si se quiere, entreproposiciones de experiencia y esencia, que esta a la base del problema de la perdida delpunto de partida, mora en la distinción entre la naturaleza de los objetos a las que ellasrefieren, y en el uso que de ellas se hace, o lo que es lo mismo, en la función que ellasdesempeñan en el lenguaje.Las normas de descripción son identificadas por Wittgenstein bajo el rótulo deproposiciones gramaticales, diferenciándose éstas de las proposiciones descriptivas encuanto las segundas dan cuenta de lo descrito, mientras que una proposición gramatical dacuenta del significado o uso de conceptos. En contraste las proposiciones empíricas refierenal mundo y los fenómenos. Adoptando tanto una como la otra su carácter en virtud de lafunción que desempeñe en el juego de lenguaje en el que opere, y no -como comúnmentesuele creerse- por su forma sintáctica o por razones de necesidad o contingencia.En OFM la distinción entre proposiciones empíricas y gramaticales reposa en que lasprimeras son aquellas que tienen como cometido una creencia, en concordancia con el levegiro que da el pensamiento wittgensteiniano de las IF a Sobre la Certeza (SC) dondeintroduce el concepto de creencias para denominar a las certezas prácticas, que configuranun sistema 28, brindando un telón de fondo para nuestras prácticas 29. Así, mientras en IFsobresale una distinción fuerte entre reglas y prácticas (y entre proposiciones empíricas yproposiciones gramaticales), en SC esta distinción se hace menos transparente, al tenerse uncontinuo con una cantidad de puntos intermedios, haciéndose la frontera o delimitaciónentre proposiciones empíricas y gramaticales borrosa y fluctuante en el tiempo.27____________ . Op. cit. IF. § 111. p.121.28 ____________ . Op. cit. SC §§105, 108, 126, 140, 141, 142, 410.29 Ibid., § 94.
  22. 22. 11Wittgenstein desde IF ha instado, con la introducción del concepto de juego de lenguaje, aque se debe ver el lenguaje como una actividad humana sumida en un conjunto deprácticas, las cuales constituyen lo que él llamó una forma de vida, sostiene por un lado,que hay reglas que rigen nuestras prácticas, y por otro, que estas reglas están sustentadaspor las prácticas mismas, con lo cual se hace claro que no tiene sentido hablar de una reglasin referirnos a su aplicación, más aun, cuando se concibe el seguir la regla como unaactividad que remite a un uso estable, a una costumbre. En consecuencia desde el punto devista de las IF carece de sentido preguntar por el fundamento de la regla, dado que todo usosignificativo del lenguaje presupone el seguimiento de una regla.Para Wittgenstein sobre las proposiciones gramaticales, se asienta el sentido, la verdad yla falsedad de las proposiciones empíricas, en tanto con éstas se formulan las reglas de losjuegos de lenguaje. Y en tanto esa es su función, éstas no pueden ser verdaderas ni falsas,puesto que expresan reglas que son el fundamento de toda verdad y falsedad (SC). Poresto, y de forma sucinta, se puede decir: el sentido, la verdad y la falsedad de lasproposiciones empíricas reposa sobre las reglas que rigen su uso.Ahora bien, por más que las proposiciones gramaticales no puedan ser ni verdaderas nifalsas, ya que: 1° expresan reglas que son el fundamento de toda verdad y falsedad, y 2°dado que su contraria carece de sentido, es decir, no es verdadera ni falsa, esto no implicaque ellas al carecer de sentido, sean vacías. Un claro ejemplo de ello lo proporciona laproposición gramatical <<Hay objetos físicos>>, que carece de sentido, pero que estásupuesta en todas las proposiciones que hablan acerca de objetos físicos. 30Para Wittgenstein las proposiciones gramaticales no forman parte del juego, no sonmovidas en él, sino que están en el inicio, son reglas del juego. Adolecen de sentido porqueeste se da en el uso del lenguaje, es decir, en el juego, en lo que se dice. En SC la distinciónentre proposiciones empíricas y proposiciones gramaticales, como ya antes se mencionó,30 Ibid. §§ 35, 36.
  23. 23. 12se vuelve borrosa y fluctuante en el tiempo, así se da el caso de proposiciones empíricasque se solidifican, que se endurecen entrando a funcionar como un canal para lasproposiciones empíricas que no están solidificadas haciéndolas fluir, dicha relación cambiacon el tiempo, de modo que las proposiciones que fluyen se solidifican y las sólidas sefluidifican. 31Metáfora que Wittgenstein emplea en relación al concepto de creencia, que es introducidoen su acepción técnica en SC, y del cual se sirve para designar certezas prácticas quefuncionan como reglas y que rigen nuestro actuar, cumpliendo el mismo papel que lasreglas. De hecho para Wittgenstein al igual que las reglas no son ningún tipo de estadopsicológico subjetivo, - discusión con Moore-, las creencias tampoco lo son, y en tanto esasí, coinciden con las reglas en el ser algo compartido y en el suponer una conducta regular.Asimismo, éstas no tienen porque ser explícitas, pueden ser sencillamente algo que seasiente como obvio, que nunca se cuestiona, y que quizá nunca siquiera se formula. 32Carácter este que está estrechamente relacionado con el hecho de que en realidad no se lasaprende explícitamente. Con todo, para Wittgenstein las creencias adquiridas ciegamentepueden ser descubiertas con posterioridad, 33ya que las creencias, explícitas o no, semuestran en nuestro actuar.Que la creencia y su símil la regla configuren un sistema, se debe a que sirven como untelón de fondo para nuestras prácticas:Mis convicciones constituyen un sistema, un edificio.34Cuando empezarnos a creer algo, lo que creemos no es una única proposición sino todo unsistema de proposiciones. (Se hace la luz poco a poco sobre el conjunto.)35No me aferro a una proposición, sino a una red de proposiciones.3631 Ibid. § 96.32 Ibid. § 87.33 Ibid. § 152.34 Ibid. § 102.35 Ibid. § 141.36 Ibid. § 225.
  24. 24. 13Como se ya indicó antes, este sistema de creencias forma una especie de mitología queWittgenstein denominó "imagen de mundo". Wittgenstein nos dice que no tenemos nuestra"imagen de mundo" porque estemos convencidos de su corrección. Por el contrario, la"imagen de mundo" es el trasfondo que nos viene dado, y sobre el cual distinguimos entrelo verdadero y lo falso. 37La concepción wittgesteiniana de la naturaleza y función de laimagen de mundo parece revelarse resumida en el siguiente parágrafo de SC:Las proposiciones que describen esta imagen del mundo podrían pertenecer a una suerte demitología. Su función es semejante a la de las reglas del juego, y el juego también puedeaprenderse de un modo puramente práctico, sin necesidad de reglas explícitas.38Es de anotar, en relación con el punto anterior, que Wittgenstein compara nuestro sistemade creencias con un río, cuyo cauce está formado por arena y roca sólida. La arenacorresponde a las creencias menos firmes, y la roca a las certezas inamovibles. Con estaanalogía se revela claro el hecho antes mencionado, que la distinción entre las creenciasmás firmes y las menos firmes es borrosa y varía con el tiempo. Lo que en un momento eraroca sólida, se puede socavar con el tiempo, y lo que era arena, potencialmente puedeasentarse y solidificarse. Así mismo, se revela a nuestros ojos una de las característica másbásicas de las creencias como es el carecer de fundamentos, ya que no tienen otrascreencias anteriores (o más básicas) en las que asentarse.En el fundamento de la creencia bien fundada se encuentra la creencia sin fundamentos. 39Relacionando esto ultimo con la empresa terapéutica de esclarecimiento filosófico queWittgenstein abre entorno a la pregunta por naturaleza de las proposiciones matemáticas, sefacilita el entendimiento de las razones por las que Wittgenstein opta por marginarse de losplanteamientos propios a las escuelas de fundamentación:¡¿Para qué necesita la matemática una fundamentación?!37 Ibid. § 94.38 Ibid. § 95.39 Ibid. § 153.
  25. 25. 14La necesita tan poco, creo, como las proposiciones que tratan de objetos físicos o las quetratan de impresiones de los sentidos, necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto lasproposiciones matemáticas como las otras, de una clarificación de su gramática.40A esta segunda época de su pensamiento corresponde la tesis de que los problemas de lafilosofía tradicional no sólo derivan del mal uso del lenguaje, tal como conceptuaba en elTLP, sino que más bien se deben a un “prejuicio contemplativo”, que lleva a considerar allenguaje en vez de utilizarlo.Según interpreta Meléndez (2001) de Wittgenstein, a la base de muchos de los problemasfilosóficos que suscita la matemática se encuentra la extensión arbitraria de una analogíaque sólo puede funcionar al nivel de las proposiciones descriptivas, que a llevado: 1° a laformulación de objetos ideales, y 2° a la búsqueda de contenidos de significación querevistan el carácter de verdades necesarias, que a su vez engendro las diferentes escuelasde fundamentación de la matemática.De acuerdo con el platonismo matemático, las proposiciones matemáticas, así como lasproposiciones empíricas, tendrían un carácter descriptivo, pero las primeras no describirían elmundo físico, como las segundas, sino un mundo matemático, abstracto e ideal 41Más aún, en opinión de este mismo autor, Wittgenstein asume en relación al problema dela fundamentación de la matemática, una posición original anti-platonica y anti-realista, quelo lleva a investigar la naturaleza de los objetos sobre los que las proposicionesgramaticales o de esencia y las empíricas o de experiencia dicen tratar. Esto bajo elprincipio:la matemática no es la descripción de nuestro presunto conocimiento de un mundo abstracto,independiente, sino que es una creación, una invención humana. El matemático no descubre,como afirma Hardy, sino inventa. 4240 ____________ . Op. cit. OFM VII, § 16, p. 319.41 MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento de L.Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamentode Filosofía. Bogotá D. C., 2001. p. 18042 Ibid. p. 181.
  26. 26. 15Esto lo lleva a concebir al lenguaje, en el que se confinan las proposiciones empíricas, lasgramaticales y las matemáticas como una parte importante de las proposicionesgramaticales, a modo de una praxis y no como un proceso extraordinario del tipo que sea.El lenguaje, quiero decir, remite a un modo de vida.Para definir el fenómeno del lenguaje hay que describir una praxis, no un procesoextraordinario del tipo que sea.43Así, para el Wittgenstein de OFM, en relación a las proposiciones matemáticas, dirá que aéstas les corresponde la determinación del sentido en oposición a una aplicación delsentido.Haga lo que haga, parece que hay que resaltar la diferencia entre determinación del sentidoy aplicación del sentido.44Y al rigor que tradicionalmente ha sido asociado a las construcciones matemáticas lecorresponde no más que el carácter de una aproximación a un ideal, que está dado por elestilo de una matemática que se quiere seguir o que se pretende aplicar. Con lo queWittgenstein proscribe el halo sacro a la proposición matemática y, a cambio, con la mayorcrudeza identifica lo verdadero con el uso.Lo que llamamos “inferencia lógica” es una transformación de una expresión. [...] existetambién lo correcto y lo falso en el paso de una medida a otra, pero ¿con qué realidadconcuerda aquí lo correcto? Seguramente con una conversión, o con un uso, o acaso con lasnecesidades prácticas.45Más aun, para Wittgenstein, como ya antes se ha dicho, la distinción entre proposicionesgramaticales y descriptivas recae en el uso que de ellas se hace, o dicho de forma general,en la función que desempeñan en el lenguaje:La proposición matemática posee la dignidad de una regla.Esto es verdadero por razón de que la matemática es lógica: se mueve en las reglas denuestro lenguaje. Y eso es lo que le proporciona su peculiar solidez, su lugar privilegiadoe inexpugnable.4643 ____________ . Op. cit. OFM VI, § 34, p. 282.44 Ibid. III, § 37, p. 138.45 Ibid. I, § 9, p. 20.46 Ibid. I, § 165, p. 74.
  27. 27. 16Así la cuestión del papel que juegan las proposiciones matemáticas como instrumentos paraordenar, configurar y entender la realidad está más allá de la simple instauración deconexiones ideales que luego se nos escabullen al momento de pretender explicarlas,centrándose ahora la cuestión en el uso que hacemos de las proposiciones de nuestrolenguaje, y en el uso que dimana de su significado. 47En las proposiciones descriptivas, su referirse a objetos, representar estados de cosas,determina su naturaleza y función, función en la que el vínculo entre lenguaje y realidad seinstaura al nivel de la aplicación del sentido, o lo que es lo mismo, en la aplicación de loscontenidos que la proposición es capaz de expresar. Por otro lado, las proposicionesconceptuales (las reglas gramaticales y las proposiciones matemáticas) al establecer laspautas sobre las que accionan las proposiciones descriptivas, recalcando lo anteriormentedicho, operan al nivel de la constitución o determinación del sentido, lo cual hace que ellassean, en lo esencial estipulaciones concernientes a la representación y expresión de hechosde la naturaleza. La regla impone un uso y un ser.<<El significado que pretende darse a la fórmula determina los pasos a seguir.>>48Para Wittgenstein la proposición matemática cumple una función igual a la que tiene en ellenguaje la proposición gramatical, no sin antes reconocer que las proposiciones de lamatemática son proposiciones de experiencia que han sido “inmovilizadas”en razón a unosintereses teóricos.Cualquier proposición de experiencia puede servir como regla si –como a una pieza de unamáquina- se la verifica, inmoviliza, de modo que toda la representación gire ahora en torno aella y ella se convierta en una parte del sistema de coordenadas e independiente de loshechos.49Es como si hubiésemos endurecido la proposición de experiencia hasta convertirla en regla.Y lo que nos queda entonces no es una hipótesis verificable por la experiencia, sino unparadigma con el que se confronta y enjuicia la experiencia. O sea, un nuevo tipo de juicio.5047 Ibid. I, § 13, p. 22.48 Ibid. I, § 2, p. 16.49 Ibid. VII, § 74, p. 370.50 Ibid. VI, § 22, p. 273.
  28. 28. 17El teorema nos proporciona nos proporciona a grandes rasgos un método para proceder conintenciones. Dice algo así como: ‘así es como tiene que ser’.51La identificación de la proposición matemática con una regla hace que ésta seanecesariamente estudiada en términos de su uso, o de su funcionamiento:Las proposiciones ‘a=a’, ‘p q’, “La palabra ‘Bismarck’ tiene ocho letras”, “No existe elverde rosáceo”, son todas evidentes y proposiciones sobre la esencia: ¿qué tienen en común?.Cada una, obviamente, es de un tipo diferente y tiene un uso diferente.52No obstante, el funcionamiento de la proposición matemática en modo alguno correspondea la descripción de hechos empíricos, aunque por su forma se esté invitado a creer que esasí:Hay que reconocer que en la naturaleza no hay rectas, ni curvas continuas y diferenciablesen todos sus puntos, ni cuerpos rígidos, ni gases ideales, ni colores o sonidos puros, nipéndulos, ni sistemas solares de masas puntuales con trayectorias sin rozamientos... Losobjetos y los sistemas de los que trata la fisis transformada, la Física, los objetos y sistemasque son materia apta para el hacer matemático, se encuentran en una naturalezatransformada, se encuentran en el laboratorio, en la industria, en los aceleradores de partículas,en la ciudad. Una ley física que enlaza conceptos como presión, volumen, densidad, sólo esfactible cuando se manejan gases ideales en un primer momento y números reales : gasesideales, números reales, elementos de una naturaleza transformada por la especie humanaque se ponen en interrelación en ese enlazamiento y no por sumar G+P como indicaranEinstein y los empiristas y neo positivistas, sino en una interrelación conceptual,interrelación sólo factible por una transformación en la que interviene de modo sustancialla Matemática porque en ella muestra, por una parte, su carácter de imprescindible; por otra,su instrumentalización efectiva.53Y el que la proposición matemática sea identificada con una regla hace que esta posea ladignidad de una regla, y en tanto es así, es la expresión, según Peña (1993), resultado delconvencimiento que generan las proposiciones matemáticas en tanto actúan comoproposiciones gramaticales de los juegos de lenguaje matemáticos.51Ibid. V, § 39, p. 245.52 Ibid. IV, § 39, p. 204.53 DE LORENZO, J. Aportes epistemológicos del hacer matemático En: Revista Ideas y Valores. IVColoquio internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas. Universidad Nacional deColombia. Santafé de Bogotá, Agosto de 1993. p.82-83.
  29. 29. 183. PAPEL GRAMATICAL QUE PARA EL WITTGENSTEIN TARDÍO JUEGANLAS PROPOSICIONES MATEMÁTICASPartiendo de los supuestos: 1° que no se interrumpe una continuidad de base entre laprimera y segunda filosofía de Wittgenstein y 2° que la primera etapa insistiría en laclarificación del lenguaje mediante el análisis de la estructura lógica oculta de las frases dellenguaje ordinario; y la segunda, en describir cuáles son los juegos de lenguaje y cómo secomunican en ellos los conceptos. Es pertinente, con miras ha esclarecer el papelgramatical que para el Wittgenstein tardío juegan las proposiciones matemáticas, iniciarcon la celebre afirmación tractariana: “La matemática es un método lógico.” 54, en tantoella revela de forma temprana un proyecto que Wittgenstein sólo consolida después de laescritura de OFM, en donde aborda el problema de la inferencia y el del método de lalógica. En interpretación de Peña (1993), dicha afirmación en manera alguna apunta asugerir que la matemática se derive de un conjunto de principios lógicos a la manera deFrege o Russell, o de proposiciones lógicas. Más bien con esto se indica que es esencial enella un aspecto de la operación lógica fundamental, según la cual una proposición se derivade otra. Idea esta que explora Wittgenstein en OFM al preguntarse qué es el inferir.Hay que clarificar en qué consiste propiamente el inferir. Se dirá, quizá, que consiste en latransición de un aserto a otro. [...] es una derivación de una sentencia a partir de otra deacuerdo a una regla; una comparación de ambas con un paradigma cualquiera que representepara nosotros el esquema del transito; o algo parecido. Esto puede suceder sobre el papel,oralmente o ‘en la cabeza’. –Pero la conclusión puede sacarse también expresando unaproposición tras otra, sin transición alguna; o bien la transición consiste sólo en que decimos<<por tanto>>, o <<de ahí se sigue>>, o cosas parecidas... Hablamos de <<conclusión>>cuando la proposición inferida puede derivarse efectivamente de las premisas.55Para Barajas (1993), en relación a lo que es el inferir, el énfasis puesto en OFM sobre elcarácter constructivo de la proposición matemática, más allá de ser un recursopuramente explicativo, muestra un cambio de orientación respecto a la deducciónlógica y por ende a la demostración matemática, entendiendo a éstos como54 ____________ . Op. cit., TLP. § (6. 2). p. 181.55 ____________ . Op. cit., OFM. I, § 6. p. 19.
  30. 30. 19procedimientos conceptuales que son resultado de una construcción que determina yestablece el sentido de la proposición a partir de la práctica, de la elaboración y de laregularidad de los procesos en que ella se ve inmersa; dicho en términos de Bouveressecitado por Barajas:Como el de los intuicionistas, el concepto de demostración que interviene en lasconsideraciones de Wittgenstein sobre lo que da a la proposición matemática su sentido y suimportancia matemática no es el concepto exacto del lógico sino un concepto mucho máspróximo a la práctica real del matemático y afectado del mismo género de indeterminaciónrelativa.56Asimismo, afirmaciones del Tractatus como: “Las proposiciones de la lógica sontautologías” 57, “ Por consiguiente, las proposiciones de la lógica no dicen nada.” 58, “Lasproposiciones de la lógicas describen la armazón del mundo o, mejor, la representan. No<<tratan >> de nada, presuponen que los nombres tienen significado, y las proposicioneselementales, sentido; y ésta es su conexión con el mundo.” 59, “La matemática es unmétodo lógico. Las proposiciones de la matemática son ecuaciones, y, por consiguiente,pseudo-proposiciones.” 60y “La lógica del mundo, que en las proposiciones de la lógicaaparece en tautologías, aparece en matemáticas en ecuaciones.” 61, antes bien que serpreludio de afirmaciones categóricas como: “El teorema nos proporciona a grandesrasgos un método para proceder con intenciones. Dice algo así como: ‘así es como tieneque ser’.” 62, o “El problema de hallar una solución matemática a un teorema podríallamarse, con cierta justicia, el problema de dar sentido matemático a una fórmula” 63,que encarnan la visión pragmática del sentido subyacente al segundo Wittgenstein,descubren uno de los temas perennes de la segunda filosofía wittgensteniana, la profunda56 BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática en Wittgenstein.Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía.Bogotá D. C., 1993. p. 21.57____________ . Op. cit., TLP. § (6. 1). p. 169.58Ibid., § (6. 11). p. 169.59Ibid., § (6. 124). p. 177.60Ibid., § (6. 2). p. 181 -183.61Ibid., § (6. 22). p. 65.62 ____________ . Op. cit., OFM. V, § 39. p. 245.63 Ibid., V, § 42. p. 247.
  31. 31. 20oposición al realismo matemático de Russell. Al considerar que al igual que lasproposiciones lógicas no dicen nada, las proposiciones matemáticas tampoco dicen nada,nada acerca del mundo, como tampoco representan objetos ni estados de cosas, como creíaRussell.Así pues, para el joven Wittgenstein las proposiciones matemáticas no son enunciadossobre objetos matemáticos, ni es interés de la matemática investigarlos. Antes bien, y muya pesar de carecer de contenido cognoscitivo, las proposiciones matemáticas sonsusceptibles de ser usadas para diferenciar estados de cosas en el mundo, dado que estas,según interpreta Peña (1993), expresan normas y reglas eventualmente susceptibles de seraplicadas en la descripción de la realidad.Lo que, visto desde la óptica de OFM, se traduce en que la proposición matemática más queser una descriptora de la realidad, análogamente a las proposiciones empíricas, es y sefundamenta en una técnica, aunque no la describe, desempeñando el papel de la regla alproporcionar el entramado para una posible descripción.La proposición se basa en una técnica. Y, si quieres, en los hechos físicos y psicológicosque hacen posible esa técnica. Pero no por eso su sentido consiste en expresar esascondiciones. Lo contrario de aquella proposición, ‘12 pulgadas = 1 pie’, no dice que losinstrumentos con los que medimos no sen suficientemente rígidos, o que todos nosotros nocontemos y calculemos del mismo modo.La proposición se basa en una técnica, pero no la describe.64La proposición desempeña el típico (pero no por ello simple) papel de la regla. ...Quien conoce una proposición matemática no por ello conoce algo ya. ...Quien conoce una proposición matemática, no por ello conoce algo ya.O sea, la proposición matemática sólo ha de proporcionar el entramado para una descripción.65Y en tanto regla es, en primer lugar, fruto de un modo de uso, que en principio estuvo alnivel de las proposiciones empíricas, y fue endurecida en regla a través de su tránsito porotras reglas y, en segundo lugar, es la encargada de determinar y fijar un camino, resultadodel convencimiento que generan las proposiciones matemáticas, en virtud de actuar comoproposiciones gramaticales en ciertos juegos de lenguaje.64Ibid. VII, § 1. p. 299 – 300.65Ibid. VII, § 1. p. 300 - 301.
  32. 32. 21La proposición matemática es una regla –producida según reglas- que determina y fija uncamino. La proposición matemática viene a ser, entonces, una proposición de la gramática,referente a las transformaciones de signos; muestra las conexiones que consideramos rígidas. Laregla así considerada no expresa una entidad preexistente a la gramática a la cual pertenece....al contrario que las proposiciones descriptivas, las proposiciones matemáticas desempeñan endeterminados juegos de lenguaje el papel de reglas de representación. ...El pedestal, sobre el que para nosotros está la matemática, lo ha conseguido ésta gracias alpapel concreto que sus proposiciones desempeñan en nuestros juegos de lenguaje.66Que Wittgenstein permita a las proposiciones matemáticas la actuación de reglasgramaticales aboga por el reconocimiento de algunas formas de autoridad que configuranlos lineamientos generales para de una manera u otra poder juzgar o hablar con sentidoacerca de los hechos de la realidad. Esto no es más que otra forma de plantear que aquelloa partir de lo cual se determina lo que es verdadero o falso no puede ser en modo alguno niverdadero, ni falso. Tesis esta (también expuesta en SC) que constituye un clarocuestionamiento al intuicionismo matemático, en cuanto riñe con la tradicionalmenteindiscutida afirmación, de que la matemática se cimentaban en alguna clase de intuición.¿No sucede que mientras se piensa que no puede ser de otro modo, se sacan conclusioneslógicas’Esto significa ciertamente: mientras esto y esto no se pone en absoluto en cuestión.Los pasos que no se ponen en cuestión son conclusiones lógicas. Pero no es que no se lesponga en cuestión porque ‘corresponden con certeza a la verdad’ –o por cosas semejantes-,sino que esto es precisamente lo que se llama ‘pensar’, ‘hablar’, ‘inferir’, ‘argumentar’. No setrata aquí en absoluto de una correspondencia cualquiera de lo dicho con la realidad; másbien la lógica está antes de una correspondencia así, a saber, en el sentido en el que ladeterminación del método de medida está antes de la correlación o falsedad de una medidadada.67Igual que la proposición: esta habitación tiene 16 pies de larga, no se volvería falsa si surgierala confusión en los patrones de medida y en el medir. Su sentido, no su verdad, se basa en elproceso regular de las mediciones.68Si bien esta discusión se encuentra a la raíz de las críticas de Wittgenstein a Russell, entanto el punto central de esta discusión está, según cita Barajas (1993) de Bouveresse, en66Ibid. VII, § 6. p. 306.67 Ibid. I, § 156. p. 71-72.68 Ibid. III, § 75. p. 165.
  33. 33. 22que: “una proposición debe tener un sentido antes de que sepamos si ella es verdadera ofalsa. (WLC 1932 -1935. p. 195)”69, evoca uno de los planteamientos más fuertes deWittgenstein en filosofía de las matemáticas: las proposiciones gramaticales y lasproposiciones matemáticas al establecer las pautas sobre las que accionan las proposicionesdescriptivas o de experiencia, operan al nivel de la constitución o determinación delsentido, lo cual hace que ellas sean en lo esencial estipulaciones concernientes a larepresentación y expresión de hechos de la naturaleza. De ahí, según Barajas (1993), que“El problema del sentido de la proposición matemática es algo que de cualquier modo estaresuelto, pero esto es así, solo en tanto que no depende de la proposición en cuestión.”70, yaque ella no tiene contenido proposicional, lo cual se constituye en razón suficiente parapoder diferenciar la validez de las proposiciones de la ciencia con respecto a las de lamatemática. Hecho este ultimo que denuncia la fidelidad de Wittgenstein desde TLP aOFM a la idea que las propiedades estructurales comunes al lenguaje y a la realidad nopueden en todo rigor ser descritas en las proposiciones, sino solamente mostradas en el usoo en la practica del lenguaje.En lo que se refiere a la proposición matemática demostrada, en OFM ésta es el productode la aceptación incondicional de una cadena, de una figura urdida a partir de definiciones,proposiciones axiomáticas y otras proposiciones matemáticas demostradas, que en losjuegos matemáticos son llamadas más comúnmente teoremas.La demostración -podríamos decir- es una figura en uno de cuyos extremos hay ciertasproposiciones y en el otro una proposición (a la que llamamos ‘demostrada’).Podría decirse, como descripción de una figura así: que en ella la proposición ... se sigue de... Esta es una forma de describir un patrón, ...71Decir <<Esta proposición se sigue de aquélla>> es aceptar una regla. La aceptación seproduce sobre la base de la demostración. Es decir, considero aceptable esta cadena (esta69BOUVERESSE. Le pays des Possibles. Wittgenstein, les mathématiques et le monde réel. Citado por :BARAJAS, N., Op. cit. p. 22.70 Ver BARAJAS, N. Ibid., p. 22 – 23.71 ____________ . Op. cit., OFM. I, § 28. p. 28.
  34. 34. 23figura) como demostración. ... esto no es más que la expresión de una aceptaciónincondicional. ...72¿Y cómo se manifiesta, entonces, que la demostración me obliga? Precisamente en queprosigo de tal y tal modo, en que me niego a seguir otro camino.73Acerca de las proposiciones axiomáticas, en la tradición intuicionista de la matemática,éstas tiene el rol de ser proposiciones matemáticas que no necesitan ser demostradas paraconvencer, dado que son evidentes y gracias a que se encuentran a la base del edificiomatemático. Concepción esta que Wittgenstein critica puesto que cuando se propone una deellas, aún no está determinado en general el modo de aplicación de esa proposición, ni susentido, aunque, si se dice de ella que es evidente, ya se ha elegido, sin saberlo, un modoespecifico de aplicación de la proposición. Sobre este punto ya habrá tiempo de volvercuando se discurra alrededor de lo qué es el inferir y la lógica.En cuanto a los teoremas de la matemáticas, éstos vienen a ser una especie particular deproposiciones matemáticas que se encuentran ocultas bajo la difusa segmentación realizadapor Wittgenstein entre proposiciones gramaticales y matemáticas, mostrándose sólo encuanto tales en el procedimiento de demostración. El papel gramatical que tiene paraWittgenstein la proposición demostrada consiste en que “La proposición demostrada por lademostración sirve como regla, o sea, como paradigma.” 74. Asimismo la demostración nosólo induce a dirigirnos por esa regla, sino que muestra cómo hemos de dirigirnos por ella.Según palabras de Wittgenstein esto es: “la proposición matemática ha de mostrarnos loque tiene SENTIDO que se diga.” 75De lo cual se tiene que la pregunta por el sentido deun teorema de la matemática remite ineludiblemente al concepto de demostración.la demostración no investiga la esencia de ambas figuras, sino que manifiesta aquello que, apartir de ahora, voy a considerar perteneciente a la esencia de las figuras. –Lo que pertenecea la esencia lo deposito entre los paradigmas del lenguaje.El matemático produce esencia.7672 Ibid. I, § 33. p. 29.73 Ibid. I, § 34. p. 29.74 Ibid. III, § 28. p. 134.75 Ibid. III, § 28. p. 135.76 Ibid. I, § 32. p. 29.
  35. 35. 24En OFM el tema de la demostración se establece en uno de sus tópicos medulares, en tantoprocedimiento esencial al servicio de la matemática. De hecho en esta obra son explícitaslas alusiones a la importancia de tal procedimiento en cuanto es la figura que nosconvence 77de la legitimidad de un determinado procedimiento, o del resultado de unadeterminada inferencia. Esto pone de manifiesto el doble carácter que para Wittgensteinsintetiza la demostración matemática: el de una instrucción para el uso de una regla, y el dejustificación de su uso al ofrecer el cómo y porqué puede ser usada, es decir, tiene lafunción de fijar el significado. Igualmente, la demostración muestra una nueva conexiónque proporciona un nuevo concepto, en cuanto crea o es un nuevo signo.¿Cómo muestra alguien que comprende una proposición matemática? Aplicándola, porejemplo, ¿Y no lo muestra también demostrándola?Quiero decir: la demostración me muestra una nueva conexión, por ello me proporcionatambién un nuevo concepto.78Dicho de otra manera la demostración es parte de una institución79, haciendo parte delsistema de practicas, del juego en el que se usan las proposiciones que la dotan desentido. Luego la demostración es un distingo de la proposición. Viniendo a ser unpliegue a un determinado uso de los signos.La equiparación de 252y 625 me proporciona, podría decirse, un nuevo concepto. Y lademostración muestra cómo se explica esa igualdad. <<Proporcionar un nuevo concepto>> sólopuede significar introducir un nuevo uso conceptual, una nueva praxis.80En el mismo sentido, la demostración más que ser sus fundamentos más las reglas deinferencia, es una nueva construcción, un nuevo modelo. Con esta concepción de lademostración matemática lo que ansía Wittgenstein es realzar la idea de que el matemáticoproduce siempre nuevas reglas cuando mediante el uso de las ecuaciones y transicionesinferenciales construye nuevas vías conceptuales y amplía el conjunto de las antiguas.77 Ibid. I, § 63. p. 39.78 Ibid. V, § 48. p. 248.79 Ibid. II, § 36. p. 138.80Ibid. IV, § 70. p. 362.
  36. 36. 25Justamente el concepto que crea la demostración puede ser un nuevo concepto de inferenciao del adecuado inferir....la matemática es una ABIGARRADA mezcal de técnicas demostrativas . –Y en ello sebasa su múltiple aplicabilidad y su importancia.81...el matemático inventa siempre nuevas formas de representación . Unas estimuladas pornecesidades prácticas; otras, por necesidades estéticas, y varias otras aún.82El matemático es un inventor, no un descubridor.83Ahora bien, dado que comúnmente se ha sugerido la posibilidad de que la demostraciónmatemática se encuentre cimentada en la evidencia de las proposiciones que le sirven depunto de partida y en el rigor lógico, resulta conveniente explorar en aras de la temática quenos ocupa, algunas de las observaciones wittgenstenianas relativas a la evidencia yesencialmente a la lógica. Para empezar, Wittgenstein se interesa por el fenómeno de lacaptación inmediata, no como fenómeno psíquico particular, sino como fenómeno de laacción humana. Por ello registra que el hecho de aceptar una proposición como evidente, ala manera de una noción común o un axioma, podría equivaler a eximirla de todaresponsabilidad frente a la experiencia y a adoptar su carácter de regla:Los axiomas de la geometría tiene también el carácter de convencionalismos sobre ellenguaje en que queremos descubrir los objetos espaciales. Son reglas de sintaxis. Las reglasde sintaxis no tratan de nada, sino que solamente son formularios.84Asimismo dice, como ya se planteó antes, acerca de las proposiciones axiomáticas, quecuando se propone una de ellas, aún no está determinado en general el modo de aplicaciónde esa proposición, ni su sentido, aunque si se indica de ella que es evidente, ya se hafavorecido sin saberlo un modo específico de aplicación de la proposición. En estaorientación, lo que transforma a una proposición en proposición matemática no es el quenos resulte evidente, sino el que se deje valer su evidencia.81 Ibid. III, § 46. p. 145.82 Ibid. I, § 167. p. 74.83 Ibid. I, § 167. p. 74.84 WAISSMAN, F. Ludwig Wittgenstein y el Circulo de Viena. México: Fondo de CulturaEconómica, 1973. p. 56
  37. 37. 26La naturaleza y el sentido de los enunciados de la matemática dependen, mucho más de lo queestemos dispuestos a aceptar en un primer momento, de esa función, pues sólo a través suyopodemos evaluar y con ello acceder a una comprensión de la matemática y de la lógica queva mucho más allá de la fijación de una estructura -formal- capaz de representar el ordenesencial e inmanente de los hechos de la naturaleza. 85En cuanto a la demostración matemática entendida como procedimiento de inferencia,Wittgenstein señala que existe la inclinación a creer que la demostración lógica posee unafuerza probatoria especial, absoluta, que emana de la certidumbre de las leyes lógicasfundamentales y de las leyes lógicas de inferencia. No obstante, según apunta él, lasproposiciones demostradas no son más ciertas que lo que es la correcta aplicación de lasleyes de inferencia. Lo cual tiene profundas implicaciones en el campo de la lógica,máxime si se tiene en cuenta que lo que ha de ser estimado como prueba suficiente de unenunciado está en la esfera de la lógica, así como de hecho pertenece a ésta todo lo quedescribe un juego del lenguaje.Aceptar la demostración: puede aceptársela como paradigma de la figura que surge cuandoestas reglas se aplican correctamente a determinadas figuras. Puede aceptársela como correctaderivación de una regla de inferencia. O como una correcta derivación de una correctaproposición empírica; o como correcta derivación de una proposición empírica de la que no sesabe si es verdadera o falsa.86Asimismo, anota Wittgenstein, con frecuencia se cree que inferir es una actividad peculiar,una práctica en el medio del entendimiento, un develar, de donde surge después ladeducción, sin embargo no hay nada oculto en esta práctica, es sencillamente el desenlacede una sentencia a partir de otra de acuerdo con una regla, la comparación de ambas con unmodelo cualquiera que esté fijado como el esquema de tránsito.en qué consiste propiamente el inferir. ... consiste en la transición de un aserto a otro. ... esuna derivación de una sentencia a partir de otra de acuerdo a una regla; una comparación deambas con un paradigma cualquiera que represente para nosotros el esquema del tránsito; oalgo parecido. Esto puede suceder sobre el papel, oralmente o ‘en la cabeza’.87La demostración es un modelo de un determinado resultar, que sirve de objeto de comparación(patrón) para transformaciones reales.8885 BARAJAS, N. Op. cit., p. 7 - 8.86 ____________ . Op. cit., OFM. III, § 37. p. 138.87 Ibid. I, § 6. p. 19.88 Ibid. III, § 24. p. 132.
  38. 38. 27Lo que se llama inferencia lógica no es más que una transformación de una expresión,como lo es la conversión de una patrón de medida a otro, pudiendo darse en este paso locorrecto y lo falso, aunque la realidad con la que armoniza, en este caso, lo correcto, es unaconversión, un uso, o una necesidad práctica. Mientras se conciba que no puede ser de otraforma, se infieren conclusiones lógicas. A ellas, no se les pone reparo pues sonconclusiones lógicas; sin embargo, el que no se les ponga reparo no se debe a quecorrespondan con certeza a la realidad, sino porque esto es precisamente lo que se llamapensar, inferir, argumentar.Lo que llamamos ‘inferencia lógica’ es una transformación de una expresión. ...existe también lo correcto y lo falso en el paso de una medida a otra; pero ¿con qué realidadconcuerda aquí lo correcto? Seguramente con una conversión, o con un uso, o acaso con lasnecesidades practicas. 89<<Pero ¿no debe seguirse, por ejemplo, ‘fa’ de ‘(x). fx’, cuando ‘(x). fx’ se entiende tal comonosotros lo entendemos?>> -Y ¿cómo se manifiesta ese como nosotros lo entendemos? ¿Nomediante la práctica habitual de su uso? Y quizá también mediante ciertos gestos – y cosassimilares. Pero es como si la palabra <<todos>>, cuando nosotros la pronunciamos, tuvieraaún algo adherido; algo con lo que un uso diferente resultara incompatible; a saber, elsignificado. <<¡‘Todos’ quiere decir: todos!>>, ...Se aprende el significado de <<todos>> aprendiendo que ‘fa’ se sigue de ‘(x).f(x)’. –Lasprácticas que ejercitan el uso de esta palabra, que enseñan su significado, se orientansiempre a impedir que pueda producirse una excepción.90Con respecto a las leyes lógicas, según Wittgenstein, éstas pueden tomarse como expresiónde rutinas de pensar, pero también del hábito de pensar, al reflejar ellas cómo piensan losseres humanos y a qué llaman ellos pensar. Sin embargo, la coincidencia de los sereshumanos, que es supuesto en el suceso de la lógica, no es una coincidencia de opiniones ymucho menos aún sobre cuestiones de lógica.Las leyes lógicas son ciertamente expresiones de ‘hábitos de pensar’, pero también delhábito de pensar. Esto es, puede decirse que muestran: cómo piensan los seres humanos y aqué llaman los seres humanos <<pensar>>.91Las proposiciones de la lógica son ‘leyes del pensamiento’, ‘ya que expresan la esencia delpensar humano’, pero más correctamente: ya que expresan, o muestran, la esencia, la técnicadel pensar. Muestran lo que es el pensar, o también modos del pensar.9289 Ibid. I, § 9. p. 20.90 Ibid. I, § 10. p. 21.91 Ibid. I, § 131. p. 65.92 Ibid. I, § 133. p. 66.
  39. 39. 28Puede decirse que la lógica muestra lo que nosotros entendemos por <<proposición>> y por<<lenguaje>>.93Luego, tanto las proposiciones de la lógica como las de la matemática son convalidadas enlos juegos y acuerdos que les son propios, en tanto que se les aplican técnicas detransformación enunciativa, en concordancia con el conjunto de reglas que constituyen elrespectivo método de cálculo y no gracias a una estructura del pensar común a toda lahumanidad.La coincidencia de los seres humanos al calcular no es una coincidencia de opiniones oconvicciones.¿Podría decirse: <<Al calcular, las reglas te parecen inexorables; sientes que sólo puedes hacereso y no otra cosa, si quieres seguir la regla>>?<<Tal como yo veo la regla, lo que ella reclama es esto. >> No depende de mi estado deánimo.94Ahora bien puesto que la matemática está constituida por una gran variedad de técnicas,para Wittgenstein no tiene sentido privilegiar una de ellas, como lo es la lógica, pues conello sólo se consigue una inadecuada estandarización de métodos.Así pues y en definitiva, 1° no es de extrañar que Wittgenstein se hubiese sustraído deldebate relativo a la fundamentación de las matemáticas. 2° las proposiciones matemáticasen cuanto funcionan como proposiciones gramaticales operan en la determinación delsentido de las proposiciones empíricas que contienen conceptos matemáticos, careciendolas primeras de sentido empírico por razón de estar al inicio de los juegos matemáticos. 3°El teorema o la proposición matemática demostrada adopta su sentido de la aceptación queproporciona el ser inferido a partir de reglas, la proposición matemática muestra lo quetiene sentido que se diga. Y 4° la proposición demostrada sirve ahora como un nuevoparadigma para enjuiciar la realidad, en tanto ella ha sido endurecida hasta convertirse enregla.93 Ibid. I, § 131. p. 66.94Ibid. IV, § 30. p. 279- 280.
  40. 40. 29
  41. 41. 304. IMPLICACIONES DE SU TEORÍA EN LA FILOSOFÍADE LAS MATEMÁTICASEl estudio de los problemas epistemológicos que han suscitado las matemáticas a lo largode su devenir histórico, pueden ser compendiados básicamente en: 1) el estudio del razonarmatemático, 2) la fundamentación de la ciencia matemática y 3) la cuestión de qué tipo deentidad son los objetos matemáticos. En relación al primero, debe decirse, que desde susorígenes el razonamiento matemático ha guardado cierta distancia con el clásicorazonamiento de la lógica aristotélica. Descartes y J. Stuart Mil, y antes Bacon 95, pusieronde relieve en su momento la esterilidad científica del razonamiento silogístico frente a lariqueza y rigor del razonamiento matemático. Kant también reconoció el atasco de lalógica, para él cerrada y acabada, en comparación con el conocimiento que aportaban lasmatemáticas y en particular su método. Los epistemologos aprenden de los matemáticos,que existen otras formas de razonamiento distintas a las de la lógica aristotélica, verbo ygracia, el razonamiento por recursividad o inducción matemática. No obstante, lo que másha favorecido la reflexión filosófica sobre las matemáticas ha sido el estudio de sus propiosfundamentos, en la llamada “crisis de fundamentos de las matemáticas”.95 “Bacon anuncia un nuevo modo de encarar la realidad, lo que no significa romper en todocon el pasado. Al contrario: busca con éxito aquí y allá el aprovechar lo aprovechable delpretérito. El tono polémico de su filosofar, la proclamada ruptura, concéntrase en torno de ladoctrina de Aristóteles, quien a la sazón era reconocido como modelo, en el llamadorenacimiento aristotélico.Para Bacon, el pensador de Estagira es la mejor y máxima expresión de los errores que alientan enla filosofía de la época. Ya en sus años de juventud, rememora, según testimonio de su secretarioprivado W. Rawley: “Mientras residía en la Universidad, a los dieciséis años aproximadamente,como su señoría tuvo a bien comunicarme, empezó primero a desagradarle la filosofía deAristóteles: no por la falta de méritos del autor, a quien siempre asignaría grandes cualidades,sino por lo infructuoso de su método, ya que era una filosofía (como solía decir su señoría) sólobuena para debates y disputas, pero estéril para producir obras en provecho de la vida humana,idea con la que continuó hasta el día de su muerte” BACON, F. Instauratio magna * Novunorganum * Nueva Atlántida. Estudio introductivo y análisis de las obras por: Francisco Larroyo.Editorial Porrúa, S. A. México. 1991. p. XVII – XVIII.
  42. 42. 31Antes de esta mencionada época –como ya se dijo antes- tradicionalmente se tenía comoafirmación indiscutida que las matemáticas se cimentaban en alguna clase de intuición.Ejerciendo tal intuición matemática la tarea fundamental de captación básica del objeto, seael número, o el punto, la línea o la figura: dado que los objetos matemáticos se presentancomo tales a un entendimiento humano que es capaz de conocerlos y estudiarlos, como si setratara, de algún modo, de formas platónicas preexistentes e independientes. Estasintuiciones se concretaban deductivamente en axiomas, postulados, definiciones yteoremas.Con el arribo del s. XIX, se logran grandes desarrollos en el campo de las matemáticas, lalógica y la filosofía de las mismas, traducidos en los aportes de Cantor con su teoría deconjuntos, los trabajos de Boole y de De Morgan, y el inicio de la empresa de Frege defundamentación de la lógica en la aritmética. No obstante, por esta época la aparición,hacia 1825, de las llamadas geometrías no- euclídeas en manos de insignes matemáticoscomo Lobachevsky, Gauss, Riemann, entre otros, exigieron un cambio de visiónmatemática, desde la cual ahora se hace más adecuado pensar que las teorías matemáticas ylos objetos matemáticos son obra de la mente. Surge así la concepción moderna de lasmatemáticas.La existencia de varios sistemas geométricos, aparentemente bien fundamentados desde elpunto de vista de su lógica interna, hizo cuestionar lo que se entendía por “verdad” dentro delconocimiento.96A consecuencia de esto, la importancia dada a los sistemas deductivos basados en laintuición de primeros principios, da espacio a la necesidad de justificar por qué se opta porciertos axiomas en vez de otros. Sobreviene a la noción de objeto matemático, comofundamental, la de estructuras matemáticas con propiedades formales. Por esta mismaépoca los axiomas fueron organizados en sistemas y se buscó un lenguaje que los expresaracon todo rigor, lo cual inauguró toda una serie de intentos de formalización yaxiomatización de todas las teorías matemáticas fundamentales.96FALK, M. Op. cit., p. 1.
  43. 43. 32Ahora en lugar de la intuición y la evidencia, características tradicionales de los axiomas,en la usanza matemática anterior, se cambia la mirada hacia considerar fundamentales lasnuevas propiedades de los sistemas formales axiomáticos: consistencia, independencia,completud, decidibilidad y satisfacibilidad. El estudio y la búsqueda de los nuevosfundamentos de la matemática da lugar a la lógica matemática, fruto del enorme esfuerzoque supusieron, para el desarrollo de la nueva matemática, los trabajos sobre teoría deconjuntos, en la que se basaba la fundamentación de la matemáticas. La teoría de conjuntosamenazada por la denominada <<crisis de los fundamentos>>, engendrada por laaparición de contradicciones en el seno de la misma teoría.Las geometrías no-euclidianas, la paradoja de Burali-Forti (1897) y la formulada porRussell (1901) pusieron de manifiesto la relatividad del conocimiento, la inconsistencia dela teoría de conjuntos de Cantor y la de las clases de Frege, respectivamente.Carta de Frege a Russell (22 de junio de 1902)[...] <<Su descubrimiento de la contradicción [paradoja] me produjo la mayor sorpresa, incluso,yo diría, la mayor consternación, porque ha hecho tambalear los cimientos sobre los que yointentaba construir la aritmética. [...] Tengo que reflexionar nuevamente sobre la cuestión. Esuna cuestión muy seria desde que, con la pérdida de mi Regla V, parece desvanecerse no sólo lafundamentación de mi aritmética, sino también la única fundamentación posible de laaritmética. [...]El segundo volumen de mis Grundgesetze está próximo a aparecer. No cabe duda de que tendréque añadir un apéndice en donde su descubrimiento se tenga en cuenta.97Estos hechos parecían afectar seriamente el uso de conceptos claves de esta bien autorizadaciencia, instaurándose a comienzos del siglo XX en uno de los más importantes problemasde la filosofía de las matemáticas. Es así como la duda acerca de la solidez de losfundamentos matemáticos motivó tres vías de investigación: el logicismo, el intuicionismoy el formalismo.97BETH, E. W. Las paradojas de la lógica, Cuadernos Teorema, Universidad de Valencia, Valencia1975, p. 71.
  44. 44. 33En interpretación de Meléndez (2001), la en parte exitosa utilización de la nueva lógicamatemática proveniente de los primeros pasos de estos proyectos fundacionistas, sirviócomo inspiración y modelo para el trabajo en un proyecto más ambicioso: el de fundar oreconstruir haciendo uso de herramientas lógicas de análisis, todo el conocimiento empíricoa partir de lo inmediatamente dado en la experiencia sensible. No obstante, advierte estemismo autor, Wittgenstein no sólo no participó de estos proyectos de fundamentación sinoque se opuso a ellos al considerarlos innecesarios y fuentes de confusiones filosóficas, quehabía que aclarar y despejar. Así pues para el Wittgenstein tardío la matemática demandatan poco de una fundamentación como las proposiciones que versan sobre objetos físicos olas que versan acerca de impresiones sensoriales; más bien lo que ellas necesitan es unaclarificación de su gramática.Pese a haberse interesado en su juventud por el problema de los fundamentos, tal y como lomuestra su trashumar por el atomismo lógico, en el que la metáfora de la "imagen" designala función que desempeña el lenguaje en el conocimiento del mundo, la evolución de supensamiento prontamente lo llevó a su concepción tardía acerca de los fundamentos,derivada de la concepción pragmática del lenguaje donde la metáfora del "juego delenguaje" se realiza como representación icónica de una "forma de vida". No obstante, sibien pueden considerarse el TLP y las IF como definitorias de dos épocas distintas en elpensamiento de Wittgenstein, éstas desde el punto de vista de su enfoque y en relación allenguaje, connotan una continuidad que distingue a la segunda época con un concepto clavecomo es el de juego de lenguaje.En relación con este concepto que Wittgenstein introdujo y que manejó en sus lecciones delos años treinta, inicialmente en conexión a la idea de "cálculo"98, él hace recaer la98“Pero cuando aprendemos el significado de una palabra, con frecuencia se nos da únicamente una regla, ladefinición ostensiva. ¿Cómo es que comprendemos entonces la palabra con esta definición? ¿Adivinamoslas otras reglas?. Pensemos en el caso de un niños que aprende palabras de la manera siguiente: le mostramosobjetos y decimos al mismo tiempo palabras. –Pero. ¿Cuál es aquí el criterio de la comprensión?. Por supuesto, que las aplique correctamente. ¿Adivina las reglas?. En realidad nos preguntaremos si debemosllamar en absoluto”definiciones” a este señalamiento y pronunciación de palabras. Pero el juego dellenguaje es todavía muy sencillo y la definición ostensiva tiene en él un papel diferente al que tiene en
  45. 45. 34posibilidad de hablar de las diferentes conformaciones de estos juegos de lenguaje, que a suvez utiliza para distinguir los distintos modos gramaticales (el llamado nivel de lagramática superficial y de la profunda). Esto le permite advertir la existencia, a nivel de lagramática profunda, de innumerables tipos de proposiciones.99Las reglas de esa gramáticaprofunda no deben ser malentendidas como si ellas regularan el curso mismo de esosjuegos, sino comprendidas en el sentido de articular sólo la operación del comprender quesigue al hacer y que ha sido entrenado, ejercitado. No regulan pues comportamientos.Wittgenstein emplea el concepto de juego de lenguaje para aclarar además los fenómenosde la comunicación verbal en referencia a un modelo simplificado de juego de lenguaje quele sirve de esquema para establecer comparaciones. Gracias a este peculiar método deanálisis de esos fenómenos verbales, Wittgenstein puede trascender y rechazar la actitudfilosófica general y tradicional sobre el lenguaje, que considera al fenómeno del lenguajeescuetamente como un objeto de estudio e instrumento o medio de comunicación. Es lo quese ha dado en llamar el “giro lingüístico” 100o el “cambio de marcha”101en filosofía, queha hecho del lenguaje, no meramente un objeto de estudio como instrumento o medio decomunicación, sino el medio mismo en que ocurre el conocimiento.De manera similar a como la gramática de un lenguaje se registra y comienza a existir cuandolos hombres ya han hablado ese lenguaje durante mucho tiempo, los juegos primitivos sejuegan sin que sus reglas se hayan codificado y aun sin que una sola de sus reglas haya sidoformulada. Consideremos los juegos y el lenguaje desde el punto de vista de un juego queprocede acuerdo con reglas. Es decir, comparamos al lenguaje con un procedimiento de esetipo. 102Es un aspecto muy importante de esta nueva concepción, la función que asigna a esosjuegos de lenguaje: funcionan como objetos de comparación o como esquemas 103, tantojuegos lingüísticos más desarrollados. [...] ” ____________ . Op. cit.,Gramática Filosófica I, § 26. p. 115-117.99“En el uso de una palabra se podría distinguir una ‘gramtica superficial’ de una ‘gramatica profunda’”.____________ . Op. cit., IF. § 664. p. 397.100 RORTY, R. El giro lingüístico. Paidos / ICE UAB. Barcelona 1990.101 FERRATER, J. Cambio de marcha en filosofía. Alianza. Madrid. 1984.102____________ . Op. cit.,Gramática Filosófica I, § 26. p. 117-119.103 ____________ . Op. cit., IF. § 73 p. 93 – 95.
  46. 46. 35en lo que concierne a los modos de ver el mundo como a los modos de vida en él. Pero paraello es preciso que el lenguaje usado sea comprendido mediante una reconstrucción de supraxis vital. Esto es, se trata de observar el fenómeno del uso del lenguaje en referencia alos elementos vitales de un interacción sujeta a ciertas reglas y no en una visión abstracta enla que sólo se atiende a los signos empleados y su sintaxis (como en el TLP).Nuestros claros y simples juegos de lenguaje no son estudios preparatorios para una futurareglamentación del lenguaje –como si fueran primeras aproximaciones, sin consideración dela fricción y de la resistencia del aire. Los juegos del lenguaje están más bien ahí comoobjetos de comparación que deben arrojar luz sobre las condiciones de nuestro lenguaje porvía de semejanza y desemejanza. 104Esa meta-observación no seguirá ya el programa logicista dictado en el TLP, tampocobusca explicar causalmente los fenómenos del uso del lenguaje, sino sencillamente quieredescribir. 105Incluso sería un obstáculo a la crítica filosófica del lenguaje ese querer lograruna explicación, es decir, intentar comprender la realidad a partir de presupuestos lógico-teóricos como se hace en ese modelo causal. Por eso afirmaba: “Cuando creemos quehemos de encontrar en el lenguaje real ese orden, el ideal, quedamos descontentos conlo que en la vida ordinaria se llama <<proposición>>, <<palabra>>, <<signo>>.” 106En lugar de una observación sujeta al esquema de explicación jerarquizada en inferenciasdeductivas, lo que Wittgenstein propugna aquí es un total giro epistemológico. Abandonartodo el esquema o modelo tradicional basado en el potencial analítico y deductivo de lamente y buscar un modo de acercamiento a la comprensión de la realidad muy similar alprograma husserliano: "A las cosas mismas". Es decir, se renuncia totalmente a laspretensiones de reconstrucción lógica, elaborando una sintaxis de lenguajes exactos oformalizados, así como también a utilizar tal reconstrucción con la finalidad terapéutica deeliminar los falsos problemas de la metafísica, ética o religión.104Ibid., IF. § 130. p. 131.105 “Hay que dejar de lado toda explicación, y en su lugar debe estar sólo la descripción.” Ibid., IF. §105. p. 121.106 Ibid., IF. § 105. p.121.
  47. 47. 36Así, el Wittgenstein tardío no se dedica, al examen o fundamentación de la matemáticacomo había hecho en su juventud, siguiendo el sendero trazado por su antiguo maestroRussell, sino que sigue la ruta abierta por Moore, de quien fuera alumno y al que habíasucedido en Cambridge, bajo la destina volver a los fenómenos vistos sencillamente, sinmás prejuicios y filtros lógicos. Rechazando el esquema de explicación seguido en lamatemática y en la ciencia natural como esquema universal.Signo inequívoco de este propósito es ofrecido por Wittgenstein en sus Lectures on thefoundations of mathematics (Cambridge 1939) donde, como objetivo primordial esta elresponder a las distintas escuelas de fundamentación de la matemática, y sobre todo a lacorriente logicista, en cabeza de Frege y Russell. Si bien, es menester tener siemprepresente que este texto es una compilación de las notas de clase tomadas por sus estudiantesde Cambridge en el año de 1939, este texto y en especial la Lecture I brinda una clarasíntesis y articulación de las ideas y planteamientos directrices del pensamiento deWittgenstein en lo concerniente a la filosofía de las matemáticas, y su posición acerca delos intentos de fundamentación de la misma.En la Lecture I Wittgenstein buscando la toma de distancia de los planteamiento de Fregey Russell, formula un tópico y dos directrices de su critica. El primero consiste en que él enningún momento se propone otra fundamentación, y como directrices de su critica están:1.° que esta no se adelantará desde el punto de vista de un matemático de oficio o dealguien con un gran conocimiento de matemáticas, sino desde el conocimiento que brindanlas matemáticas escolares, y 2.° que como filósofo lo que él podría decir serian solo“profecías”. Que es otra de las enigmáticas y oscuras afirmaciones a las cuales Wittgensteinya nos tiene habituados.I am proposing to talk about the foundations of mathematics. An important problem arisesfrom the subject itself: How can I - or anyone who is not a mathematician - talk about this?What right has a philosopher to talk about mathematics?One might say : From what I have learned at school - my knowledge of elementarymathematics - I know something about what can be done in the higher branches of thesubjects.
  48. 48. 37I can as a philosopher know that Professor Hardy can never get such -and- such a result ormust get such-and such a result.107No obstante, Wittgenstein parece no inclinase en desarrollo de su critica por ninguna deestas dos directrices, sino, que más bien, basa su empresa en el estudio de las palabras deacuerdo con los contextos originarios del lenguaje común: “Knowing our everydaylanguage –this is one reason why I can talk about them.”108- Conocer el lenguajeordinario esta es la única razón por la que puedo hablar de ellas-. Cambiando sutentativa a una empresa pragmática, al indagar por el uso que se hace de los términos y losenunciados matemáticos en el contexto del lenguaje ordinario. Cuestión esta que seconstituye en sí misma en una critica a los intentos de fundamentación de la aritmética.Para ello Wittgenstein se plantea algunas estrategias y propósitos que le habrán de servirpara tal fin: primero, no interferir con el trabajo de los matemáticos; segundo no proponernuevos cálculos, sino nuevas interpretaciones de aquellos; tercero no brindar una nuevainterpretación, sino tratar las interpretaciones; cuarto producir una nueva interpretación, nopara mostrar que es la correcta, sino para mostrar que ella y la anterior son igualmentearbitrarias.I am going to avoid it at all costs; will be not important not to interfere with themathematicians. I must not make a calculation and say, “That’s the result; not what Turingsay it is.” Suppose it ever did happen – it would have nothing to do whit the foundations ofmathematics. […]I am, may occasionally produce new interpretations, not in order to suggest they are right,but in order to show that the old interpretation and the new are equally arbitrary. I willonly invent a new interpretation to put side by with an old one and say, “Here, choose,take your pick.” I will only make gas to expel old gas.109Wittgenstein rechaza el programa logicista de fundamentación de las matemáticas deRussell, sobre el supuesto de que no se gana nada con reducir las matemáticas a la lógica,107 Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics. Cambridge, 1939. From the notesof R.G. Bosanquet, Norman Malcon, Rush Rhees, and Yorick Smythies. Edited by Cora Diamond.The University of Chicago Press. Chicago and London. 1976. Lecture I. p. 13.108 Ibid. p. 14.109 Ibid., p. 13 – 14.
  49. 49. 38por muy riguroso que fuese el sistema lógico escogido, pues los reparos que se le formulana la verdad necesaria atribuida a las proposiciones matemáticas son extensivos a lasproposiciones de la lógica, y mas aún, cuando es perfectamente concebible una sociedadhumana en la que no exista un cálculo, en el sentido nuestro, ni un medir, en el mismosentido al nuestro.“I only make gas to expel old gas” ésta es la tarea que Wittgenstein se propone. Si bien va aintentar presentar una interpretación de los cálculos matemáticos, él no está preocupadopor ellos, sino por las interpretaciones que se han dado de los mismos. No intenta en ningúnmomento creerse en la posesión de la interpretación correcta. Más que ello se ocupa de losmalentendidos (misunderstandings) y rompecabezas (puzzles) que se dan en el lenguajeordinario en relación a palabras y conceptos tales como: prueba, numero, series, orden,entre otras.I can as a philosopher talk about mathematics because I will only deal with puzzles whicharise from the words of our ordinary everyday language, such as “proof”, “number”,“series”, “order”, etc.110Pues, como es de anotar, para Wittgenstein el resultado de la filosofía no son lasproposiciones filosóficas, sino la clarificación de las proposiciones, la elucidación. Y lafilosofía es una actividad elucidante, por medio de la cual las proposiciones llegan a serclaras:El objeto de la filosofía es la aclaración lógica del pensamiento.Filosofía no es una teoría, sino una actividad.Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones.El resultado de la filosofía no son <<proposiciones filosóficas>>, sino el esclarecimiento delas proposiciones.Las filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modoserían, por así decirlo, opacos y confusos.111No queremos refinar o complementar de maneras inauditas el sistema de reglas para el empleode nuestras palabras.Pues la claridad a la que aspiramos es en verdad completa. Pero esto sólo quiere decir que losproblemas filosóficos deben desaparecer completamente.112110 Ibid., p.14111 ____________ . Op. cit., TLP. § (4. 112), p. 85.112 ____________ . Op. cit., IF. § 133 p. 133.
  50. 50. 39De ahí que para Wittgenstein todas las cuestiones que se pueden plantear, también sepueden responder y que una cuestión que no se pueda responder, en rigor no puede nisiquiera ser planteada y si se formula es una pregunta ilegítima, pues esconde unaconfusión lingüística que debe ser aclarada.En lo referente a la filosofía de las matemáticas, la tarea que emprende Wittgenstein en lasLectures, en desarrollo de su empresa de clarificación gramatical, es en primer lugar laclasificación de los malentendidos que son objeto de estudio de esta debido a lasperplejidades que ellos generan. Distinguiendo dos tipos esenciales de malentendidos: 1°asimilar (tomar como una sola) expresiones con distintas funciones y 2° hablar de cosasdistintas bajo el mismo esquema. Él intenta mostrar que a la raíz de la perplejidad, deldesconcierto que producen los malentendidos no se halla ningún misterio, ni ninguna razónpara desconcertarse; que el desconcierto, por lo general, vendrá de hacer una analogíaincorrecta.I hill have to stress the differences between things, where ordinarily the similarities arestressed, […]113La estrategia que sigue Wittgenstein en las Lectures para identificar los lugares en los quese dan las identificaciones o las analogÀ

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