Ejercicios de derivadas y gráficas soluciones [1]

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Ejercicios de derivadas y gráficas soluciones [1]

  1. 1. SOLUCIONES DE DERIVADASEjercicio nº 2.- 2Aplicando la definición de derivada, calcula f ( 1) , siendo f ( x ) = . xSolución: 2 −2 f ( 1 + h ) − f (1) 1+ hf ( 1) = lim = lim = h →0 h h →0 h 2 − 2(1 + h ) 2 − 2 − 2h − 2h = lim (1 + h ) = lim (1 + h) = lim (1 + h) = h →0 h h →0 h h →0 h − 2h −2 −2 = lim = lim = = −2 h →0 ( 1 + h ) h h →0 ( 1 + h ) 1Ejercicio nº 3.- 2x f (x) =Halla, utilizando la definición, la derivada de la función: 3Solución: 2( x + h ) 2 x − f ( x + h) − f ( x ) 3f ( x ) = lim = lim 3 = h →0 h h →0 h 2 x + 2h − 2 x 2h 3 2h 2 = lim = lim 3 = lim = h →0 h h →0 h h →0 3h 3Ejercicio nº 4.-Calcula la función derivada de:a) f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 1  a) f ( x ) = 6 x − 2 x 2 1 b) f ( x ) =b) f ( x ) = lnx  xEjercicio nº 5.-Calcula f´(x) en cada caso:
  2. 2. a) f ( x ) = 3x 2 6x ( 2x + 3)− 3x 2 ⋅ 2 12x 2 + 18x − 6x 2 6x 2 + 18x 2x + 3 a ) f (x ) = = =  (2x + 3) 2 ( 2x + 3) 2 (2x + 3)2b) f ( x ) = x ⋅ sen x  b) f ( x ) = x ⋅ sen x 3 13 1 1 f ( x ) = x − 2 3 sen x + x 1 3 ⋅ cos x = sen x + 3 x ⋅ cos x 3 3 3 x 2Ejercicio nº 6.-Calcula la derivada de la función: 1 12 x 2 6x 2 f ( x) = ⋅ 12 x 2 = =f ( x ) = 4x 3 + 1 2 4x 3 + 1 2 4x 3 + 1 4x 3 + 1 -Ejercicio nº 7.- 2Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + 2x −1 en el punto de abscisa x = 1.Solución:• y = 2x + 2• La pendiente de la recta es y ( 1) = 4 .• Cuando x = 1, y = 2• La recta será: y = 2 + 4( x − 1) = 2 + 4 x − 4 = 4 x − 2Ejercicio nº 8.-Determina los puntos de tangente horizontal de la función: x3 f (x) = x +2Solución: 3 x 2 ( x + 2) − x 3 3x 3 + 6x 2 − x 3 2x 3 + 6 x 2• f ( x) = = = ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 x = 0 → Punto ( 0 , 0 ) • f ( x) = 0 ⇒ 2x 3 + 6 x 2 = 0 ⇒ x 2 ( 2x + 6 ) = 0  x = − 3 →  Punto ( − 3 , 27 )Ejercicio nº 9.-
  3. 3. Estudia dónde crece y dónde decrece la función: f ( x ) = 3 + 12 x − 3 x 2Solución:• f ( x ) = 12 − 6 x• Estudiamos el signo de la derivada: 12 − 6 x = 0 ⇒ x=2 12 − 6 x > 0 ⇒ 12 > 6 x ⇒ 6 x < 12 ⇒ x<2 12 − 6 x < 0 ⇒ 12 < 6 x ⇒ 6 x > 12 ⇒ x>2• La función es creciente en (−∞, 2) y decreciente en (2 +∞) (y tiene un máximo en x = 2).Ejercicio nº 10.-Dibuja la gráfica de la función f ( x ) , sabiendo que:• Su derivada se anula en ( 0, 0 ).• Solo corta a los ejes en ( 0, 0 ).• Sus asíntotas son: x = −2, x = 2 e y = 0• La posición de la curva respecto a las asíntotas es:• lim− f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −∞ x → −2 x → −2 + x →2 − x →2 +Solución:Ejercicio nº 11.-
  4. 4. Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respectoa ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:Solución:• Asíntota vertical: x = 0 Posición de la curva: lim f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = +∞ x →0 − x →0 + Asíntota horizontal: y = 0 Posición de la curva:  Si x → −∞, y <0  Si  x → +∞, y >0• La función es decrecient e en ( −∞, 0 ) y en ( 0, + ∞ ) .Ejercicio nº 12.-Estudia y representa la función: f ( x ) = x − 2x 4 2Solución:• ( ) lim x 4 − 2 x 2 = +∞; x →+∞ ( ) lim x 4 − 2 x 2 = +∞ x →−∞• Puntos de corte con los ejes: x = − 2 → Punto ( − 2 , 0)  Con el eje X → x 4 − 2x 2 = 0 ⇒ ( )  x 2 x 2 − 2 = 0  x = 0 → Punto (0, 0)   x = − 2 → Punto ( − 2, 0)  Con el eje Y → x = 0 → y=0 → Punto (0,0)• Puntos singulares:
  5. 5. x = − 1 → Punto ( −1, − 1)  ( )  f ( x ) = 4 x 3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 = 0  x = 0 → Punto (0, 0)   x = 1 → Punto (1, − 1) • Gráfica:Ejercicio nº 13.- x2 f (x) =Estudia y representa la siguiente función: x −2Solución:• Dominio = R − {2}• Puntos de corte con los ejes: x2 Con el eje X → y =0 → =0 → x =0 → Punto ( 0, 0 ) x −2 Con el eje Y → x=0 → y =0 → Punto ( 0, 0 )• Asíntota vertical: x = 2 lim f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = +∞ x →2 − x →2 + Asíntota oblicua: x2 4 = x +2+ ⇒ y = x + 2 es asíntota oblicua. x−2 x −2 4 Si x → +∞, >0 ⇒ La curva está por encima de la asíntota. x −2 4 Si x → −∞, <0 ⇒ La curva está por debajo de la asíntota. x −2• Puntos singulares:
  6. 6. 2 x ( x − 2) − x 2 2x 2 − 4 x − x 2 x 2 − 4x x ( x − 4) f (x) = = = = ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2  x = 0 → Punto ( 0, 0 )  f ( x) = 0 ⇒ x ( x − 4) = 0 ⇒   x = 4 → Punto ( 4 , 8 ) • Gráfica:Ejercicio nº 14.- x4 −1 f (x) =Estudia y representa la siguiente función: xSolución:• Dominio = R − {0}• Puntos de corte con los ejes: x4 −1 Con el eje X → y =0 → = 0 → x4 −1= 0 → x = ± 4 1 = ±1 x → Puntos ( 1, 0 ) y ( −1, 0 ) Con el eje Y → No corta al eje Y, pues x = 0 no está en el dominio.• Asíntota vertical: x = 0 lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −∞ x →0 − x ←0 + Rama parabólica (pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del denominador). lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −∞ x → +∞ x → −∞• Puntos singulares:
  7. 7. f ( x) = ( 4x 3 x − x 4 − 1 ) = 4x 4 − x4 +1 = 3x 4 + 1 ≠0 x2 x2 x2 No tiene puntos singulares.• Gráfica:Ejercicio nº 15.- x2 f (x) =Estudia y representa la función: x2 −1Solución:• Dominio = R − {−1, 1}• Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → x=0 → y =0 → Punto ( 0, 0 ) 2 x Con el eje X → y =0 → 2 =0 → x =0 → Punto ( 0, 0 ) x −1• Asíntotas verticales: x = −1, x = 1 lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −∞ x → −1− x → −1+ lim f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = +∞ x →1− x →1+ Asíntota horizontal: y = 1 lim f ( x ) = 1, con y > 1 x → +∞ lim f ( ) = 1, con y > 1 x → −∞
  8. 8. • Puntos singulares: MÁXIMOS, MÍNIMOS,… f (x) = ( ) 2x x 2 − 1 − x 2 ⋅ 2 x = 2 x 3 − 2x − 2x 3 = − 2x (x 2 −1 ) 2 (x 2 ) −1 2 (x 2 −1 ) 2 f (x) = 0 ⇒ − 2x = 0 → x =0 → Punto ( 0, 0 )• Gráfica:Ejercicio nº 16.-Estudia y representa la siguiente función: x3 f (x) = x2 +1Solución:• Dominio = R• Puntos de corte con los ejes: x3 Con el eje X → y =0 → =0 → x=0 → Punto ( 0, 0 ) x +1 2 Con el eje Y → x =0 → y = 0 → Punto ( 0, 0 )• Asíntotas verticales: No tiene Asíntota oblicua: x3 −x 2 =x+ ⇒ y = x es asíntota oblicua x +1 x2 +1 . −x Si x → +∞, <0 ⇒ La curva está por debajo de la asíntota. x2 +1
  9. 9. −x Si x → −∞, >0 ⇒ La curva está por encima de la asíntota. x2 +1• Puntos singulares: f ( x) = ( ) 3 x 2 ⋅ x 2 + 1 − x 3 ⋅ 2x = 3x 4 + 3 x 2 − 2x 4 = x 4 + 3x 2 = ( x2 x2 + 3 ) (x 2 +1 ) 2 (x 2 ) +1 2 (x 2 +1 ) 2 (x 2 ) +1 2 f ( x) = 0 ⇒ ( x2 x2 + 3 = 0 ) ⇒ x =0 → Punto ( 0, 0 )• Gráfica:Ejercicio nº 17.-Dada la función x 4 − 2x 2 + 1 f (x) = x2estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.Solución:• Dominio = R − {0}• Puntos de corte con los ejes: Con el eje X → y =0 → x 4 − 2x 2 + 1 = 0 2± 4−4 2 Si x 2 = z → z 2 − 2z + 1 = 0 → z= = =1 2 2 x2 = 1 ⇒ x = ±1 → Puntos ( − 1, 0 ) y ( 1, 0 ) Con el eje Y → No corta el eje Y porque x = 0, no está en el dominio.• Asíntota vertical: x = 0
  10. 10. lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = +∞ x →0 − x →0 + Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador). lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = +∞ x → +∞ x → −∞• Puntos singulares: f (x) = ( 3 x 2 x 2 + 2 x + 1 − x 3 ( 2 x + 2) ) = 3 x 4 + 6 x 3 + 3x 2 − 2x 4 − 2x 3 = (x 2 + 2x + 1 ) 2 (x 2 ) + 2x + 1 2 = x 4 + 4x 3 + 3x 2 = ( x 2 x 2 + 4x + 3 ) (x 2 + 2x + 1 ) 2 (x 2 + 2x + 1 ) 2 f ( x) = 0 ⇒ ( 2 x4 −1 = 0 ) ⇒ x4 = 1 ⇒ x = ± 4 1 = ±1 → Puntos ( − 1, 0 ) y ( 1, 0 )• Gráfica:

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