Suma de riemann

13,057 views

Published on

Breve explicación sobre suma de riemann apoyados en actividades didácticas

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
13,057
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
8
Actions
Shares
0
Downloads
104
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Suma de riemann

  1. 1. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETESUMA DE RIEMANNPara dar una introducción a este concepto matemático comenzaremos analizando unas graficasdonde se está sobre estimando y subestimando el área bajo una curva, mediante rectángulos dealtura f(x) y de ancho ∆x, con estos datos las áreas de los rectángulos se obtendrían mediante elsiguiente calculo A= f(x)(∆x), en las graficas se están utilizando puntos extremos izquierdos yderechos, los puntos extremos izquierdos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar elárea por defecto, lo que es decir, estamos subestimando el área, por otra parte los puntosextremos derechos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el área por exceso, es decirestamos sobre estimando el área bajo la curva. En estas graficas vemos que el área del rectángulo amarrillo mide 76cm2 (sobre estimación) y el área del rectángulo rojo mide 12 cm2 (sub estimación), ambos tienen la misma base (∆x=4cm) pero diferente altura, en el primer caso la altura es de 19cm y en el segundo de 3cm. Entonces podemos decir que el área bajo la curva (s), la podemos estimar dentro del siguiente intervalo:
  2. 2. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE En estas graficas vemos que el área total estimada está conformada por la suma de dos áreas en ambos casos, en el primer caso los rectángulos tienen alturas de 7cm(morado) y 19 cm(azul), en este caso tenemos un nuevo valor para la base(∆x), y es de 2cm, entonces las áreas son 14cm2 y de 38cm2 respectivamente, para los rectángulos de subestimación tenemos algo similar pero con distintas alturas y son de 3cm para el rectángulo verde y de 7cm para el rectángulo crema, entonces las áreas para estos rectángulos son de 6cm2 y de 14cm2 respectivamente. Entonces la nueva sobre estimación la calculamos sumando las áreas de los primeros rectángulos y la subestimación la obtenemos sumando las áreas de los últimos rectángulos, con lo cual podemos decir que el área bajo la curva (s), la podemos estimar dentro del siguiente intervalo:
  3. 3. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE En estas graficas podemos observar que tenemos cuatro rectángulos para la sobreestimación y 4 rectángulos para la subestimación, la nueva base (∆x) tiene un valor de 1cm, las alturas de los rectángulos (f(x)) de sobreestimación son: Rosa =4cm, morado=7cm, verde=12cm y naranja=19cm. con lo cual las ares de estos rectángulos son: 4cm2, 7cm2, 12cm2 y 19cm2 respectivamente. Las alturas de los rectángulos (f(x)) de subestimación son: Crema=3cm, verde=4cm, morado=7cm y azul=12cm, como tienen la misma base que los otros rectángulos tenemos que sus áreas son: 3cm2, 4cm2, 7cm2 y 12cm2 respectivamente. Entonces la nueva sobre estimación la calculamos sumando las áreas de los primeros rectángulos y la subestimación la obtenemos sumando las áreas de los últimos rectángulos, con lo cual podemos decir que el área bajo la curva (s), la podemos estimar dentro del siguiente intervalo:Observe por favor que los cálculos que se hicieron para obtener las áreas de todos los rectángulosfue utilizando la fórmula del área de un rectángulo escrita en el primer párrafo como:A= f(x) (∆x, donde altura es igual a f(x) y base es igual a ∆x, con lo cual el primer cálculo se realizode la siguiente manera A= (19cm) (4cm)=76cm2, procedimiento que se realizo con cada uno de losrectángulos utilizando su altura y su base correspondiente.
  4. 4. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETESi bien pudiste notar en cada caso la base se fue haciendo más pequeña lo cual traía consigo masrectángulos de aproximación y mayor exactitud en la estimación del área, podemos ahoraimaginar que entre más pequeño sea ∆x, mejor será nuestra estimación.Entonces si nosotros generalizamos el proceso anterior , tomando en cuenta n rectángulos debases iguales ∆x y alturas f(x), siendo f(x) la ordenada correspondiente al valor de un punto de lacurva, en donde “x” es la abscisa, misma que se va obteniendo sumando ∆x a el valor inicial para xen el intervalo, podemos entonces aproximar el área bajo la curva en un intervalo que parte desdex=x1 hasta x=xn, como la suma de esos rectángulos que se van generando con alturas f(x) y bases∆x, escrito en notación sigma tendríamos: ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆Donde ∆ y n es el numero de rectángulos que deseamosLas expresiones anteriores son conocidas como sumas de Riemann, en honor al matemáticoalemán Bernhard Riemann (1826-1866.)Integral DefinidaSi f(x) es una función continua en un intervalo , y dividimos a este intervalo en nsub-intervalos de igual ancho ∆ , elegimos como puntos muestra paracalcular respectivamente, entonces, la integral definida de f(x), desde , es un límite de sumas de Riemann cuando ∆ tiende a cero, o sea la base sereduce infinitamente. La expresio matematica para una integral definida es: ∆Teorema Fundamental del CálculoEl teorema fundamental del Cálculo establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo y sedivide en dos partes:
  5. 5. Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE donde F es cualquier anti-derivada de f, esto es F´=f.La segunda parte del teorema fundamental del Cálculo es conocido como teorema de evaluaciónPropiedades de la integral definida con c= a una constante con c= a una constanteEjemplos:Bibliografía:Jiménez, R. (2011). Matemáticas VI. Cálculo Integral. México: Pearson Educación.Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas. México:Thomson Learning.

×