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Resolvendo Problemas

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Aprenda com resolver problemas matemáticos.

Aprenda com resolver problemas matemáticos.

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  • 1. R esolvendo P roblemas
  • 2. Professora: Jacqueline Oliveira da Cunha R esolvendo P roblemas
  • 3. R esolvendo P roblemas “ A arte de resolver problemas”
  • 4. R esolvendo P roblemas Primeiro É preciso compreender o problema COMPREENSÃO DO PROBLEMA Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória? Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?
  • 5. R esolvendo P roblemas Segundo Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar em um problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
  • 6. R esolvendo P roblemas Segundo Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar em um problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
  • 7. R esolvendo P roblemas Segundo É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições.
  • 8. R esolvendo P roblemas Segundo É preciso chegar afinal a um plano para a resolução. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até eu ponto fica assim determinada a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?
  • 9. R esolvendo P roblemas Terceiro Execute o seu plano EXECUÇÃO DO PLANO Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto?
  • 10. R esolvendo P roblemas Quarto Examine a solução obtida RETROSPECTO É possível verificar o resultado ? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto em um relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
  • 11. R esolvendo P roblemas “ Heurísticas na sala de aula” Alan H. Schoenfeld Heurística : sugestão ou estratégia geral, independente de algum tópico particular ou do assunto em questão, que ajude os resolvedores de problemas a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus recursos para resolvê-lo
  • 12. R esolvendo P roblemas Algumas heurísticas importantes na resolução de problemas Analisando e entendendo um problema: 1. Desenhe um diagrama , se for possível. 2. Examine casos particulares para: a) exemplificar o problema; b) explorar as várias possibilidades, através de casos com limitações; e c) encontrar padrões de indução fazendo os parâmetros inteiros iguais sucessivamente a 1, 2, 3, ... 3. Tente simplificar, usando simetrias ou “sem prejuízo da generalidade”.
  • 13. Delineando e planejando uma solução: R esolvendo P roblemas
    • Planeje as soluções hierarquicamente.
    • Seja capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que você está fazendo e por quê; o que você fará com o resultado dessa operação
  • 14. R esolvendo P roblemas Explorando soluções para problemas difíceis:
    • Considere uma variedade de problemas equivalentes:
    • a) substitua a condicionante por outras equivalentes;
    • b) recombine elementos do problema por outras equivalentes;
    • c) introduza elementos auxiliares;
    • d) reformule o problema:
            • com uma mudança de perspectiva ou notação;
            • argumentando por contradição ou contrapositivamente;
            • Assumindo uma solução e determinando as propriedades que ela precisa ter.
  • 15. R esolvendo P roblemas Explorando soluções para problemas difíceis: 2. Considere ligeiras modificações do problema original: a) escolha metas secundárias e tente alcançá-las; b) desconsidere uma condicionante e, depois, tente impô-la novamente; c) decomponha o problema e trabalhe nele, parte por parte.
  • 16. R esolvendo P roblemas Explorando soluções para problemas difíceis: 3. Considere modificações amplas do problema original: a) examine problemas análogos com menor complexidade (menos variáveis); b) explore o papel de uma única variável ou condicionante deixando o resto fixo; c) explore algum problema de forma, dados ou conclusões similares; tente explorar o resultado e o método.
  • 17. R esolvendo P roblemas Verificando uma solução:
    • Use estes testes específicos:
    • A solução usa todos os dados?
    • É adequada a estimativas razoáveis?
    • Resiste a testes de simetria, análise de dimensões, escala?
    • 2. Use testes gerais:
    • Pode ser obtida de forma diferente?
    • Pode ser comprovada em casos particulares?
    • Reduzida a resultados conhecidos?
    • Pode gerar alguma coisa que você conhece?
  • 18. R esolvendo P roblemas “ Formulando problemas adequadamente” Thomas Butts
    • Tipos de Problemas
    • Exercícios de reconhecimento;
    • Exercícios algorítmicos;
    • Problemas de aplicação;
    • Problemas de pesquisa aberta;
    • Situações-problema .
  • 19. R esolvendo P roblemas Exercícios de reconhecimento; Exercícios deste tipo normalmente pedem aos resolvedores para reconhecer ou recordar um fato específico, uma definição ou enunciado de um teorema. São geralmente propostos em forma de verdadeiro ou falso , múltipla escolha , preencha os espaços ou comparação .
  • 20. 2. Exercícios algorítmicos; Trata-se de exercícios que podem ser resolvidos com um procedimento passo-a-passo, freqüentemente um algoritmo numérico. A habilidade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática; o desafio é torná-la interessante .
    • Dê uma seqüência de exercícios algorítmicos com um propósito;
    • Faça a inversão de um problema conhecido.
  • 21.
    • Os problemas de aplicação envolvem algoritmos aplicativos. Os problemas tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua resolução:
    • formulação do problema simbolicamente e depois...
    • manipulação dos símbolos mediante algoritmos diversos.
    3. Problemas de aplicação;
  • 22. Alguns critérios para um “bom exemplo” de problema de aplicação (segundo o Sourcebook on Applications da MAA - NCTM) 3. Problemas de aplicação; 1. Os dados deverão ser realistas, tanto nas informações do que é conhecido como nos valores numéricos usados 2. Deverá ser razoável esperar que a “incógnita” do problema seja efetivamente desconhecida 3. A resposta do problema deverá ser uma quantidade para cuja procura possivelmente se pudesse encontrar uma razão
  • 23. 4. Problemas de pesquisa aberta; São problemas de pesquisa aberta aqueles em cujo enunciado não há uma estratégia para resolvê-los. A função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a conjectura. Jogos matemáticos e quebra-cabeças são também outra rica fonte de problemas de pesquisa aberta.
  • 24. Situações nas quais uma das etapas decisivas é identificar o problema inerente à situação, cuja solução irá melhorá-la. 5. Situações-problema;
  • 25. “ Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar” Gary L. Musser J. Michael Shaughnessy 1. Tentativa e erro 2. Padrões 3. Resolver um problema mais simples 4. Trabalhar em sentido inverso 5. Simulação
  • 26. 1. Tentativa e erro 2. Padrões Envolve simplesmente a aplicação das operações pertinentes às informações dadas. Esta estratégia considera casos particulares do problema. Generalizando-se a partir desses casos, chega-se à solução. 3. Resolver um problema mais simples Esta estratégia pode envolver a resolução de um “caso particular” de um problema, ou um recuo temporário de um problema complicado para uma versão resumida.
  • 27. 4. Trabalhar em sentido inverso 5. Simulação Esta estratégia parte do objetivo, ou do deve ser provado, e não dos dados. Freqüentemente, a solução de um problema compreende preparar e realizar um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada em uma análise de dados.
  • 28. R esolvendo P roblemas “ A solução de problemas em matemática” María del Puy Pérez Echeverría
    • Os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta.
    • Existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático e, normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula pelo professor.
    • Os estudantes “normais” não são capazes de entender Matemática; somente podem esperar memorizá-la e aplicar mecanicamente aquilo que aprenderam sem entender.
    • Os estudantes que entenderam Matemática devem ser capazes de resolver qualquer problema em cinco minutos ou menos.
    • A Matemática ensinada na escola não tem nada a ver com o mundo real.
    • As regras formais da Matemática são irrelevantes para os processos de descobrimento e de invenção.
  • 29. R esolvendo P roblemas Alguns fatores não matemáticos que influenciam na dificuldade de tradução de problemas matemáticos
    • Diferenças no significado de uma mesma expressão na linguagem cotidiana (mais ambígua e contextual) e na linguagem matemática (mais precisa).
    • Diferentes significados matemáticos de uma mesma expressão ou palavra (por exemplo, “é”).
    • Ordem e forma de apresentação dos dados.
    • Presença de dados irrelevantes para a solução do problema.
    • Caráter hipotético dos problemas matemáticos (“dados matemáticos” diante de “dados reais”).
    • Diferença ente as teorias pessoais e as teorias matemáticas.
  • 30. Bibliografia Guzmán,Miguel de. Aventuras matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1986. Krulik, Stephen e Reys, Robert E. A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1997. Polya, George. A arte de resolver problemas . Rio de Janeiro: Interciência, 1995. Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas – Aprender a resolver, resolver para aprender . Porto Alegre: ArtMed, 1998.

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