Cómo realizar "paso a paso" un contraste de hipótesis con SPSS para Windows

DOCUWEB FABISDot. Núm 0702004Cómo realizar "paso a paso" un contraste de hipótesis conSPSS para Windows y alternativamente con EPIINFO yEPIDAT: (II) Asociación entre una variable cuantitativa y unacategórica (comparación de medias entre dos o más gruposindependientes).Aguayo Canela, Mariano.Hospital Universitario Virgen Macarena (Sevilla), Servicio de Medicina Interna.ResumenCuando queremos evaluar el grado de asociación o independencia entre una variable cuantitativa yuna variable categórica (y recuérdese que ésta clasifica o diferencia a los individuos en grupos, tantoscomo categorías tiene dicha variable), el procedimiento estadístico inferencial recurre a comparar lasmedias de la distribuciones de la variable cuantitativa en los diferentes grupos establecidos por lavariable categórica. Si ésta tiene solo dos categorías (es dicotómica), la comparación de medias entredos grupos independientes se lleva a cabo por el test t de Student; si tiene tres o más categorías, lacomparación de medias entre tres o más grupos independientes se realiza a través de un modelomatemático más general, el Análisis de la Varianza (ANOVA). En ambos casos, las pruebasestadísticas son exigentes con ciertos requisitos previos: la distribución Normal de la variablecuantitativa en los grupos que se comparan y la homogeneidad de varianzas en las poblaciones delas que proceden los grupos; su no cumplimiento conlleva la necesidad de recurrir a pruebasestadísticas no paramétricas. En este documento se enseña a hacer estos análisis con el programaSPSS para Windows, y alternativamente con los programas EPIINFO 6.0 y su versión 3.3.2(actualizada en 2005) y con el programa EPIDAT 3.1.0. INTRODUCCIÓN TEÓRICA.Cuando tengamos que evaluar la asociación entre una variable categórica (o nominal) y unavariable cuantitativa, el procedimiento es analizar y comparar las medias de la distribución dela variable cuantitativa en cada uno de los grupos que conforma la variable categórica.Si la variable cualitativa sólo tiene dos categorías (por ejemplo la variable sexo) elprocedimiento se reduce a comparar las medias de la variable cuantitativa en esos dosgrupos (hombres y mujeres en el ejemplo). El contraste de hipótesis es la t de Student, paracomparar las medias (de la variable contínua) en dos grupos independientes, que en SPSSestá en: Analizar > Comparar medias > Prueba t para dos muestras independientesSi la variable categórica tiene tres o más categorías (por ejemplo la variable raza con lassiguientes mediciones: blanca, negra, otras) el procedimiento también consiste en compararlas medias de la variable cuantitativa en cada uno de los grupos que conforma cada estratoo categoría de la variable nominal, pero el procedimiento ya no es la t de Student sino unmodelo matemático más amplio: el Análisis de la Varianza (ANOVA de una vía), que va apermitir no sólo saber si hay diferencias en las medias en los diferentes grupos sino explorarCorrespondencia: marianoaguayo@telefonica.net 1 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgentre qué grupos concretos están o no esas diferencias (a través de los llamados “contrastesa posteriori”). El análisis en SPSS está en: Analizar > Comparar medias > ANOVA de un factorUn aspecto muy importante de estos contrastes, tanto la t de Student como el ANOVA,es que son muy exigentes sobre una serie de requisitos en la distribución de lavariable cuantitativa que está evaluando; en concreto sobre dos aspectos: a) La variable cuantitativa debe distribuirse según la Ley Normal en cada uno de los grupos que se comparan (CRITERIO DE “NORMALIDAD”). b) Las varianzas de la distribución de la variable cuantitativa en las poblaciones de las que provienen los grupos que se comparan deben ser homogéneas (CRITERIO DE HOMOCEDASTICIDAD).El primero es el más importante. Aunque puede asumirse que se cumple para muestrasgrandes (n > 100), debe explorarse siempre, con gráficos y pruebas de normalidad.1 EnSPSS las pruebas de normalidad más completas están en la opción “EXPLORAR” y al quese llega con la rutina: Analizar > Estadísticos Descriptivos > ExplorarCon respecto al segundo requisito para aplicar estos contrastes (ANOVA y t de Student), esmenos exigente, y existen alternativas para hacer el contraste. Así veremos que en SPSShay una lectura de la prueba “asumiendo varianzas desiguales”.Cuando estos requisitos se incumplen hay que recurrir a las PRUEBAS NOPARAMÉTRICAS, que en SPSS están en:Analizar > Pruebas no paramétricas > 2 muestras independientes (ó k muestras independientes)Vamos a trabajar con el ejemplo del estudio de obesidad e hipertensión. En esta base dedatos, la variable obesidad es categórica (obeso / no obeso) y desearíamos saber si estárelacionada con la edad de los individuos (una variable cuantitativa, cuya medida son losaños cumplidos), esto es, responder a la pregunta ¿hay diferencias en la edad de losindividuos según sean o no obesos? O de forma alternativa, ¿está relacionada la edad conla presencia de obesidad?1. PASOS A DAR EN SPSS PARA COMPARAR LAS MEDIAS DEUNA VARIABLE (CUANTITATIVA) EN DOS GRUPOSESTABLECIDOS POR UNA VARIABLE DICOTÓMICA.1. Antes que nada debe explorarse la variable cuantitativa para comprobar que secumplen los requisitos que van a permitir aplicar las pruebas paramétricas. Para ellorecurrimos al procedimiento “EXPLORAR” en la pestaña de Analizar > Estadísticosdescriptivos:1 Debe recordarse aquí también que en determinados casos en que una variable cuantitativa no sigueuna Ley Normal puede transformarse mediante una operación matemática (por ejemplo unatransformación logarítmica), consiguiendo entonces que su “transformada” sí cumpla el criterio denormalidad. Merece la pena probar antes de optar por una prueba no paramétrica.DocuWeb fabis.org 2 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). Como puede apreciarse, se selecciona como factor de exploración la variable nominal, esto es, la categórica que nos va a permitir establecer los grupos a comparar (en este ejemplo la variable “Obesidad”, con sus dos categorías posibles, “obeso” / “no obeso”); y como variable dependiente a explorar la variable cuantitativa (en nuestro caso la variable “Edad”, medida en años cumplidos). En la pestaña de “Gráficos” elegimos la opción Gráficos con pruebas de normalidad. Vemos que esta ventana de Explorar > Gráficos también es posible obtener: • Diagramas de caja (box-plot) para evaluar gráficamente la distribución de la variable cuantitativa en los diferentes grupos que se comparan, y tener una aproximación visual a lo que luego haremos en el contraste de hipótesis. • Gráficos descriptivos de la variable cuantitativa, como los de tallo y hojas (stem&leaf) o los histogramas de frecuencias. A continuación mostramos la salida de SPSS con las opciones marcadas anteriormente: Explorar PRESENCIA DE OBESIDAD Primero se muestra un resumen de los casos (individuos) que se van a explorar o procesar. Resumen del procesamiento de los casos Casos PRESENCIA Válidos Perdidos Total DE OBESIDAD N Porcentaje N Porcentaje N Porcentaje EDAD EN AÑOS obeso 33 100,0% 0 ,0% 33 100,0% CUMPLIDOS no obeso 17 100,0% 0 ,0% 17 100,0% Luego un cuadro resumen con la estadística descriptiva de la variable cuantitativa (el dependiente para el programa SPSS) en cada uno de los grupos establecidos por las diferentes categorías e la variable cualitativa (el factor para el programa SPSS). En esta salida podemos ver un aspecto muy interesante: los IC95% para la media en cada grupo, una forma alternativa al contraste de hipótesis clásico para tomar decisiones sobre la relación entre variables DocuWeb fabis.org 3 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.org Descriptivos PRESENCIA Estadístico Error típ. EDAD EN AÑOS DE OBESIDAD obeso Media 48,70 0,90 CUMPLIDOS Intervalo de confianza Límite inferior 46,84 9 para la media al 95% Límite superior 50,55 Media recortada al 5% 48,60 Mediana 49,00 Varianza 27,280 Desv. típ. 5,223 Mínimo 41 Máximo 59 Rango 18 Amplitud intercuartil 10 Asimetría ,085 0,40 Curtosis -1,067 9 0,79 no obeso Media 50,24 8 1,199 Intervalo de confianza Límite inferior 47,69 para la media al 95% Límite superior 52,78 Media recortada al 5% 50,21 Mediana 49,00 Varianza 24,441 Desv. típ. 4,944 Mínimo 42 Máximo 59 Rango 17 Amplitud intercuartil 7 Asimetría ,101 0,55 Curtosis -,583 0 1,063 .En nuestro ejercicio vemos que, tanto la estimación puntual de la media de la variable “edad” enambos grupos (48,70 vs 50,24) como sus intervalos de confianza (46,84 – 50,55 en el grupo “obeso”vs 47,89 – 52,78 en el grupo “no obeso”) son muy “superponibles”, por lo que es altamenteimprobable que las variables edad y obesidad estén relacionadas en la población (lo que conllevaría aque las edades medias en ambos grupos fueran muy diferentes).Seguidamente, se nos muestra las pruebas de normalidad que lleva a cabo el programa SPSS. Noshemos de fijar en la significación estadística de estos dos contrastes, asumiendo la normalidad de ladistribución si en ambos grupos el nivel de “p” es no significativo (esto es, p>0,05). En nuestroejemplo podemos asumir la normalidad de la variable cuantitativa “edad” en ambos grupos (“obesos” /“no obesos”). Pruebas de normalidad a PRESENCIA Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk DE OBESIDAD Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig. EDAD EN AÑOS obeso ,124 33 ,200* ,951 33 ,142 CUMPLIDOS no obeso ,145 17 ,200* ,950 17 ,450 *. Este es un límite inferior de la significación verdadera. a. Corrección de la significación de LillieforsSi hemos solicitado otros gráficos, la salida nos lo mostrará: Gráfico Q-Q normal de EDAD EN AÑOS CUMPLIDOSEDAD EN AÑOS CUMPLIDOS para obesi= obesoGráficos de tallo y hojas 2EDAD EN AÑOS CUMPLIDOS Stem-and-Leaf Plot for obesi= 1 Normal esperadoobeso 0 Frequency Stem & Leaf 3,00 4 . 111 -1 5,00 4 . 22333 -2 40 45 50 55 60 Valor observadoDocuWeb fabis.org 4 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). 4,00 4 . 4555 2,00 4 . 77 60 3,00 4 . 899 4,00 5 . 0001 6,00 5 . 222333 3,00 5 . 445 2,00 5 . 77 55 EDAD EN AÑOS CUMPLIDOS 1,00 5 . 9 Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s) 50 EDAD EN AÑOS CUMPLIDOS Stem-and-Leaf Plot for obesi= no obeso Frequency Stem & Leaf 45 2,00 4 . 22 7,00 4 . 7778889 5,00 5 . 02344 3,00 5 . 779 40 Stem width: 10 obeso no obeso Each leaf: 1 case(s) PRESENCIA DE OBESIDAD Gráficos Q-Q normales Gráfico Q-Q normal de EDAD EN AÑOS CUMPLIDOS para obesi= no obeso En el box-plot tenemos una representación gráfica 2 de la distribución de la variable cuantitativa (edad) en los dos grupos establecidos por la variable cualitativa (obesidad), y nos sirve para una aproximación visual al contraste de hipótesis, que 1 planteará como hipótesis nula (H0) “que no son Normal esperado diferentes las medias de edad en estos grupos”. 0 Como puede verse en nuestro ejemplo, las edades medias en el grupo “no obeso” son ligeramente mayores que en el grupo “obeso”, pero las -1 medianas son idénticas y un amplio porcentaje de individuos (los situados dentro de cada caja, el 50% de cada muestra) tienen unas edades muy 40 45 50 55 60 parecidas. Valor observado Con lo ya visto hasta ahora tenemos una aproximación inferencial sin necesidad de recurrir al contraste. Tanto el análisis de los intervalos de confianza de las medias como el estudio de los gráficos de caja nos permiten una evaluación de hasta qué punto pueden estas dos variables estar relacionadas en la población de la que proviene la muestra. Es muy probable que no estén asociadas. Pero para completar el análisis inferencial debemos recurrir al contraste de hipótesis. 2. Cuando se cumple el criterio de NORMALIDAD puede llevarse a cabo una evaluación inferencial, bien a través de comparar los intervalos de confianza de las medias en ambos grupos o bien a través del contraste de hipótesis, siendo la hipótesis nula… H0 → µ1 = µ2 En el programa SPSS este último procedimiento se encuentra en la secuencia de ventanas: Analizar > Comparar medias > Prueba T para muestras independientes… DocuWeb fabis.org 5 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.org En el siguiente cuadro de diálogo que se abre tras optar por Prueba T para muestras independientes, debemos seleccionar la variable a contrastar –la variable cuantitativa, en nuestro caso “edad”, y la variable de agrupación –la variable categórica dicotómica, en nuestro ejemplo la variable “obesidad”-, a la que habrá que “definir grupos” activando la casilla correspondiente (mientras tanto aparecen en la ventana unos signos de interrogación entre paréntesis): Si usamos los “valores especificados”anotaremos en cada grupo los valores con los que está recogida cada categoría de lavariable categórica en nuestra base de datos (en nuestro ejemplo 1 = obeso; 2 = no obeso).2La salida del programa es:Prueba T Estadísticos de grupo PRESENCIA Desviación Error típ. de DE OBESIDAD N Media típ. la media EDAD EN AÑOS obeso 33 48,70 5,223 ,909 CUMPLIDOS no obeso 17 50,24 4,944 1,199Primero se muestran los estadísticos resumen en cada grupo: N (tamaño), media, desviación típica yel error estándar de la media.Luego el programa SPSS nos aporta información de la prueba T en un único cuadro resumen, dondese nos ofrecen varias cosas, que no debemos confundir: • Una prueba de homogeneidad de varianzas (la prueba de Levene), que nos va a informar sobre el segundo requisito para aplicar la comparación de medias mediante la prueba t de Student: la homogeneidad de varianzas. El programa hace un contraste a través del estadístico F de Snedecor y nos aporta una significación estadística, o valor “p” asociado a la hipótesis nula de que “las varianzas son homogéneas” (señalado en color naranja en el siguiente cuadro). Cuando ese valor “p” es significativo (p<0,05) debemos dudar de la homogeneidad de varianzas. • Una doble salida de la comparación de medias en los dos grupos, expresada en dos filas de la ventana: o en la fila superior la salida es cuando se han asumido varianzas iguales en el2 Vemos como también es posible agrupar por una variable cuantitativa estableciendo un “punto decorte”, lo que la transformaría de facto en una variable categórica con dos niveles o estratos.DocuWeb fabis.org 6 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). contraste anteriormente comentado (o prueba de Levene); o en la línea inferior los resultados son los que habría que elegir cuando no se han asumido varianzas iguales, esto es, cuando la prueba de Levene en el paso anterior es significativa (p<0,05). El programa hace en este caso una “variante” de la t de de Student, aplicando -para construir el estadístico de contraste- una varianza promediada entre las varianzas de cada grupo. • La prueba T propiamente dicha, “para la igualdad de medias” nos da diversa información: o El valor de T (t), los grados de libertad del estadístico (gl) y, lo más importante, el valor de “p” (Sig. Bilateral) asociado al contraste (en color amarillo en el cuadro siguiente). o El valor de la diferencia de medias entre los dos grupos, su error típico, y el intervalo de confianza al 95% de dicha diferencia de medias, que nos da una información sobre cuán diferentes son las medias en la población, no sólo mediante una estimación puntual sino también a través de un intervalo de valores que tiene una elevada probabilidad de contener la verdadera diferencia de medias (en color celeste en el cuadro siguiente). Esta información también es útil para comprender si las medias son o no diferentes entre ambos grupos, aportando además datos para conocer con cuánta precisión estamos estimando: un intervalo de confianza que contenga el valor cero supone que no hay diferencias en las medias de ambos grupos, y si su recorrido (rango entre el valor superior e inferior) es pequeño estamos diciendo que esta estimación es bastante precisa. Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la igualdad de varianzas Prueba T para la igualdad de medias 95% Intervalo de confianza para la Diferencia Error típ. de diferencia F Sig. t gl Sig. (bilateral) de medias la diferencia Inferior Superior EDAD EN AÑOS Se han asumido ,273 ,604 -1,004 48 ,320 -1,538 1,532 -4,619 1,542 CUMPLIDOS varianzas iguales No se han asumido -1,022 34,059 ,314 -1,538 1,505 -4,596 1,520 varianzas iguales En el ejemplo con el que estamos trabajando, la prueba de Levene no es significativa (p = 0,604), por lo que asumimos la homogeneidad de varianzas y leemos la t de Student en la fila superior (“se han asumido varianzas iguales”): el estadístico t vale -1,004 (con 48 grados de libertad) y el valor”p”asociado es 0,32. Conclusión: “No hay asociación entre la edad y la obesidad, ya que la media de edad de obesos y no obesos no son estadísticamente diferentes al nivel de significación alfa = 0,05)”. Por otra parte, si interpretamos la diferencia de medias de edad entre ambos grupos, ésta se situaría en la población, con una elevada confianza, entre -4,619 y +1,542 años. Es una estimación algo imprecisa (unos cinco años arriba o abajo) y contiene el valor “cero”, que nos hace llegar a la misma conclusión: por la variabilidad del muestreo (error aleatorio) es posible explicar las pequeñas diferencias de medias de edad (1,53 años) encontradas en nuestro estudio, por lo que debemos asumir la no-diferencia de medias de edad en la población. 3. Vamos a ver ahora cómo proceder cuando no es posible aplicar una prueba t de Student, empleando entonces una prueba no paramétrica. Como ejemplo hagamos un segundo análisis aprovechando el estudio de obesidad e hipertensión. En esta base de datos, la variable obesidad es categórica (obeso / no obeso) y desearíamos saber si está o no relacionada con la presión arterial sistólica (TAS) de los individuos (una variable cuantitativa, cuya medida son los mm de Hg en la toma de TAS), esto es, responder a la pregunta ¿hay diferencias en la TAS de los individuos según sean o no obesos? O de forma alternativa, ¿está relacionada la TAS con la presencia de obesidad? DocuWeb fabis.org 7 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgComo en el ejercicio anterior, lo primero es comprobar si se dan los requisitos para aplicarlas pruebas paramétricas, basadas en la media y la varianza. Esto es, hay que explorarcómo es la distribución de la variable “TAS” en cada grupo determinado por la variable“obesidad”, solicitando pruebas de normalidad que nos permitan tomar una decisión.La salida de SPSS es ahora la siguiente:ExplorarPRESENCIA DE OBESIDAD Resumen del procesamiento de los casos Casos PRESENCIA Válidos Perdidos Total DE OBESIDAD N Porcentaje N Porcentaje N Porcentaje PRESIÓN ARTERIAL obeso 33 100,0% 0 ,0% 33 100,0% SISTÓLICA no obeso 17 100,0% 0 ,0% 17 100,0%Como siempre, primero un resumen de los casos (individuos) explorados, e inmediatamente uncuadro con los estadísticos más importantes que recogen información de la variable cuantitativa(dependiente para SPSS) en cada grupo de estudio según los niveles o estratos de la variablecategórica introducida como factor. Descriptivos PRESENCIA Estadístico Error típ. PRESIÓN ARTERIAL DE OBESIDAD obeso Media 125,97 3,191 SISTÓLICA Intervalo de confianza Límite inferior 119,47 para la media al 95% Límite superior 132,47 Media recortada al 5% 125,69 Mediana 120,00 Varianza 336,030 Desv. típ. 18,331 Mínimo 95 Máximo 160 Rango 65 Amplitud intercuartil 28 Asimetría ,398 ,409 Curtosis -,682 ,798 no obeso Media 144,94 6,505 Intervalo de confianza Límite inferior 131,15 para la media al 95% Límite superior 158,73 Media recortada al 5% 144,93 Mediana 150,00 Varianza 719,434 Desv. típ. 26,822 Mínimo 100 Máximo 190 Rango 90 Amplitud intercuartil 45 Asimetría -,045 ,550 Curtosis -,932 1,063Como podemos ver en el cuadro resumen de estadísticos, la media de TAS en los dos grupos decomparación (“obesos” / “no obesos”) es más elevada en el grupo de no obesos (144,95 con un IC95%entre 131,15 y 158,73) que en el grupo de obesos (125,97 con un IC95% entre 119,47 y 132,47). Ladiferencia puntual de estas medias es: 144,95 – 125,97 = 18,98… ¡casi 19 mm de Hg más alta en no obesos!; y los IC95% de las medias en ambos grupos sesuperponen en un rango muy corto (el que va desde 131,15 a 132,47). Es probable que ambasmedias sean estadísticamente diferentes y que podamos concluir que las dos variables (TAS yObesidad) están asociadas en la población de la que proviene la muestra.El programa nos muestra ahora las pruebas de normalidad, para tomar una decisión sobre laadecuación de los test paramétricos a la comparación de medias.DocuWeb fabis.org 8 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). Pruebas de normalidad a PRESENCIA Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk DE OBESIDAD Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig. PRESIÓN ARTERIAL obeso ,203 33 ,001 ,930 33 ,036 SISTÓLICA no obeso ,163 17 ,200* ,958 17 ,587 *. Este es un límite inferior de la significación verdadera. a. Corrección de la significación de Lilliefors Ambas pruebas de normalidad muestran que en el grupo “obeso” la variable TAS no se distribuye según una Ley Normal, ya que la ”p” asociada a los contrastes de K-S (0,001) y S-W (0,036) da por debajo del nivel de significación alfa prefijado (0,05). Esto nos obligará a tomar un camino diferente en el análisis de la relación entre estas dos variables, optando por pruebas no paramétricas. PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA Si hemos solicitado un gráfico de caja para la distribución 200 de la variable TAS en cada grupo de la variable obesidad, obtendremos una imagen como la que se acompaña, donde llama la atención una mayor dispersión de los 180 PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA valores de TAS en el grupo “no obeso” y una tendencia, 160 así mismo, a mostrar valores más elevados de TAS en 140 este último grupo. 120 Llegados a este punto, si deseamos hacer un contraste de hipótesis para evaluar hasta qué punto 100 las medias de TAS son diferentes, debemos optar por una de las Pruebas no paramétricas > (para…) 80 2 muestras independientes, con el casi obeso no obeso PRE SE NC IA DE OB ESIDA D convencimiento de que el test va a ser estadísticamente significativo. Una vez seleccionada la opción no paramétrica y para dos muestras independientes, el cuadro de diálogo del SPSS es el que sigue: Es muy parecido a la que hemos visto en Comparar medias > Prueba T para muestras independientes: en las ventanas hay que seleccionar al menos una variable a contrastar (la cuantitativa) y una variable de agrupación (la categórica), que debe servir para Definir grupos… Se pueden elegir entre varios Tipo de prueba, siendo la más común la “U de Mann- Whitney”, señalada por defecto en el programa SPSS. Tras aplicar, la salida es la siguiente: Pruebas no paramétricas Estadísticos descriptivos Desviación N Media típica Mínimo Máximo PRESIÓN ARTERIAL 50 132,42 23,168 95 190 SISTÓLICA PRESENCIA DE 50 1,34 ,479 1 2 OBESIDAD DocuWeb fabis.org 9 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgPrueba de Mann-Whitney Rangos PRESENCIA Rango Suma de DE OBESIDAD N promedio rangos PRESIÓN ARTERIAL obeso 33 22,05 727,50 SISTÓLICA no obeso 17 32,21 547,50 Total 50 a Estadísticos de contraste PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA U de Mann-Whitney 166,500 W de Wilcoxon 727,500 Z -2,358 Sig. asintót. (bilateral) ,018 a. Variable de agrupación: PRESENCIA DE OBESIDADTras hacer un pequeño resumen de los casos procesados a través de sus estadísticos descriptivos(tamaño muestral, media, desviación típica y valores máximo y mínimo), el programa procesa lainformación contenida en la variable cuantitativa en cada grupo, y calcula varios estadísticos decontraste. Lo que debemos interpretar es la Sig. Asintótica (bilateral), que en nuestro caso vale0,018 y lleva a concluir que se rechaza la hipótesis nula de que “la media de TAS es similar en ambosgrupos”; o lo que es alternativamente igual, “que existe una asociación estadísticamente significativaentre la TAS y la Obesidad)”.2. PASOS A DAR EN SPSS PARA COMPARAR LAS MEDIAS DEUNA VARIABLE CUANTITATIVA EN TRES O MÁS GRUPOSESTABLECIDOS POR UNA VARIABLE CATEGÓRICA.Cuando la variable cualitativa tiene tres o más categorías, el análisis de asociación entreesta variable y una cuantitativa ya no puede llevarse a cabo por el test t de Student, sino quedebe recurrirse a una técnica matemática conocida como ANALISIS DE LA VARIANZA. Estaprueba contrasta la hipótesis H0 de que “las medias de las distribuciones de la variablecuantitativa en todos y cada uno de los grupos independientes son iguales”: H0 → µ1 = µ2 = µ3 … = µnEsto es, con que exista una media diferente a las demás, el test estadístico será significativoal nivel alfa establecido.El ANOVA tiene las mismas exigencias que la t de Student: requiere que la variablecuantitativa se distribuya según una Ley Normal en cada uno de los grupos a comparar, yademás exige que las varianzas sean homogéneas.Vamos a realizar una prueba de ANOVA, para lo cual vamos a convertir la variable cuantitativa “edad”de la base de datos OBESIDAD Y HTA en una variable categórica (“edadrec”) con tres categorías: a) “menos de 47 años” b) “de 47 a 52 años” c) “más de 52 años”Y ahora desearíamos comprobar si existe relación entre la presión arterial sistólica (TAS) y los tressegmentos de edad establecidos por “edadrec”. Consistiría en “evaluar si las medias de TAS sondiferentes en los grupos de edad, y si fuese así en qué sentido y en qué estratos etarios”.DocuWeb fabis.org 10 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). Case Processing Summary Cases EDAD EN AÑOS Valid Missing Total CUMPLIDOS (Banded) N Percent N Percent N Percent PRESIÓN ARTERIAL Menos de 47 años 19 100,0% 0 ,0% 19 100,0% SISTÓLICA De 47 a 52 años 16 100,0% 0 ,0% 16 100,0% Más de 52 años 15 100,0% 0 ,0% 15 100,0% 1. Antes que nada debemos comprobar si se cumple el requisito de normalidad en la distribución de la variable cuantitativa en todos y cada uno de los estratos o grupos que establece la variable categórica. Descriptives Procedemos como ya hemos visto EDAD EN AÑOS Statistic Std. Error antes, a través de Analizar > PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA CUMPLIDOS años Menos de 47 (Banded) Mean 95% Confidence Lower Bound 128,79 4,140 120,09 Estadísticos descriptivos > Interval for Mean Upper Bound 137,49 Explorar 5% Trimmed Mean 126,99 Median 120,00 Variance 325,620 La salida del programa SPSS será: Std. Deviation 18,045 Minimum 110 Maximum 180 Vemos en el cuadro anterior los Range Interquartile Range 70 20 estadísticos descriptivos en cada uno Skewness 1,484 ,524 Kurtosis de los tres grupos establecidos por la De 47 a 52 años Mean 2,300 133,38 1,014 5,994 variable “edadrec”. Las medias 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound 120,60 Upper Bound puntuales de TAS son 128.79, 133,38 146,15 y 136.00 mm de Hg. Los IC95% de 5% Trimmed Mean Median 133,75 142,00 estas medias son algo anchos y se Variance 574,917 superponen en gran parte de su Std. Deviation Minimum 23,977 100 recorrido, por lo que es muy probable Maximum 160 Range que no existan diferencias en las Interquartile Range 60 48 medias y que estas dos variables no se Skewness -,281 ,564 Kurtosis -1,707 1,091 asocien en la población de la que Más de 52 años Mean 136,00 7,355 proviene la muestra analizada. 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound 120,23 Upper Bound 151,77 Con respecto a los test de normalidad, 135,28 130,00 5% Trimmed Mean Median se encuentra significación estadística 811,429 Variance Std. Deviation (p<0,05) en los dos contrastes de 28,486 95 Minimum hipótesis en uno de los grupos (el de 190 Maximum 95 Range menos edad), y en el test de Shapiro- 35 Interquartile Range Wilk en el grupo de edad media, lo que ,492 Skewness ,580 -,597 Kurtosis 1,121 lleva a asumir la no-normalidad en la distribución de la variable TAS en la población de la que provienen los individuos de la muestra. Tests of Normality a EDAD EN AÑOS Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk CUMPLIDOS (Banded) Statistic df Sig. Statistic df Sig. PRESIÓN ARTERIAL Menos de 47 años ,278 19 ,000 ,823 19 ,002 SISTÓLICA De 47 a 52 años ,193 16 ,112 ,850 16 ,013 Más de 52 años ,117 15 ,200* ,953 15 ,574 *. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction Y en el gráfico de cajas puede visualizarse como las distribuciones 200 de la variable TAS en los tres grupos erarios establecidos por 180 7 “edadrec” es bastante similar, aunque con dispersión o PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA 160 variabilidad creciente según aumenta la edad. 140 120 100 80 Menos de 47 años De 47 a 52 años Más de 52 años EDAD EN AÑOS CUMPLIDOS (Banded) DocuWeb fabis.org 11 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgCon los datos previos ya intuímos que no van a encontrarse diferencias estadísticamentesignificativas entre las medias de “TAS” al comparar los tres grupos de edad.Por otra parte no sería demasiado correcto aplicar un ANOVA, ya que la variable“TAS” no se distribuye como una Normal en los grupos de comparación. De todasformas, y con carácter puramente instructivo, vamos llevar a cabo el contraste.2. Análisis de la varianza de una vía. En la ventana correspondiente del SPSS aplicamosAnalizar > Comparar medias > ANOVA de un factor...En la nueva ventana de diálogo seleccionamos la variable categórica que establecerá losgrupos a comparar y la trasladamos a la ventana Factor; en la ventana Dependientes colocamos la variable cuantitativa, en nuestro caso Presión arterial sistólica. En la pestaña que pone “Post hoc...” (contrastes o comparaciones múltiples a posteriori) seleccionamos alguno de los procedimientos que se nos ofrecen. El más habitual es el de Bonferroni (también el de Scheffé). Estos contrastes tienen sentido sólo si el ANOVA salesignificativo o próximo a la significación estadística, ya que lo que realizan es comparacionesde las medias en las múltiples parejas de grupos que puedan contrastarse, para intentaraveriguar dónde está la diferencia (o diferencias) que ha causado que se rechace lahipótesis nula en la primera parte del ANOVA.También debemos explorar los contenidos de la pestaña “Opciones...”, para solicitar unaprueba de homogeneidad de varianzas y, si lo deseamos, un resumen de los principalesdescriptivos en cada grupo de comparación.Los resultados de las pruebas solicitadas son los siguientes:DocuWeb fabis.org 12 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). ANOVA de un factor Primero se nos muestra un cuadro resumen con los estadísticos descriptivos (de la variable cuantitativa) más relevantes en cada grupo que se va a contrastar: las medias (y sus IC95%), las desviaciones típicas y los valores máximo y mínimo. Descriptivos PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA Intervalo de confianza para la media al 95% Desviación Límite N Media típica Error típico Límite inferior superior Mínimo Máximo Menos de 47 19 128,79 18,045 4,140 120,09 137,49 110 180 De 47 a 52 16 133,38 23,977 5,994 120,60 146,15 100 160 Más de 52 15 136,00 28,486 7,355 120,23 151,77 95 190 Total 50 132,42 23,168 3,277 125,84 139,00 95 190 Luego, el programa SPSS nos ofrece un test para evaluar la homogeneidad de varianzas: es el mismo que se aplicaba de rutina en el procedimiento comparación de medias en dos grupos independientes (prueba T): el test de Levene. En nuestro ejemplo la significación estadística “p” vale 0.056, pudiendo asumirse la homogeneidad de varianzas (aunque en el límite de la no significación). Prueba de homogeneidad de varianzas PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA Estadístico de Levene gl1 gl2 Sig. 3,059 2 47 ,056 Por último, aparece la salida del ANOVA propiamente dicho, con sus diferentes componentes o fuentes de variabilidad: la inter-grupos y la intra-grupos. Esta última representaría la variabilidad o dispersión que no es explicada por el factor de agrupamiento (la variable categórica), y que sería explicable sólo por el azar. ANOVA PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Sig. Inter-grupos 457,272 2 228,636 ,416 ,662 Intra-grupos 25844,908 47 549,892 Total 26302,180 49 Para llevar a cabo el contraste, se recurre al estadístico F de Snedecor, que en nuestro ejemplo vale 0.416 y tiene un valor “p” asociado de 0.662 (no significativo). Con esto concluiríamos nuestra evaluación, diciendo que “las variables TAS y grupos de edad no muestran asociación”; o que “se acepta la hipótesis nula de que las medias de TAS son iguales en los diferentes grupos de edad”. En este caso no habría lugar a evaluar los contrastes a posteriori, puesto que no se han encontrado diferencias significativas en el ANOVA. Aún así mostramos la salida de SPSS: Pruebas post hoc Comparaciones múltiples Variable dependiente: PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA Bonferroni Intervalo de confianza al (I) EDAD EN AÑOS (J) EDAD EN AÑOS 95% CUMPLIDOS CUMPLIDOS Diferencia de Límite (Categorizada) (Categorizada) medias (I-J) Error típico Sig. Límite inferior superior Menos de 47 De 47 a 52 -4,586 7,957 1,000 -24,34 15,17 Más de 52 -7,211 8,099 1,000 -27,32 12,90 De 47 a 52 Menos de 47 4,586 7,957 1,000 -15,17 24,34 Más de 52 -2,625 8,428 1,000 -23,55 18,30 Más de 52 Menos de 47 7,211 8,099 1,000 -12,90 27,32 De 47 a 52 2,625 8,428 1,000 -18,30 23,55 DocuWeb fabis.org 13 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgEn el cuadro de comparaciones múltiples vemos que cada grupo de edad se compara con los otrosdos, obteniéndose en cada contraste la diferencia de medias, el IC95%, el error estándar y elvalor”p”asociado, que en todos los casos es no-significativo, como ya sabíamos que iba a suceder.3. Pasos a dar cuando no puede aplicarse ANOVA. En nuestro ejercicio, al habersedetectado “problemas” con la normalidad de la variable TAS en alguno de los grupos etarios,lo correcto habría sido recurrir a una prueba no paramétrica en:Analizar > Pruebas no paramétricas > k muestras independientesUna vez abiertala ventana del procedimiento, vemos que es muy parecida a la del ANOVA, debiendoseleccionarse una variable a contrastar (la cuantitativa, en el ejemplo la “Presión arterialsistólica”) y una variable de agrupación (la categórica, en nuestro caso la “edadrec” quecorresponde a la primitiva variable “edad” que hemos recodificado en nominal, con tresgrupos o estratos), debiendo especificarle al programa SPSS el rango de valores (ennuestro caso de 1 a 3, que son los números con los que se han codificado los tres estratos).El tipo de prueba es por defecto el test de Kruskal-Wallis.La salida que obtendremos, tras dar al botón de aceptar, será la siguiente (nos hemospasado ahora a la versión en inglés del programa SPSS 13.0):NPar Tests (Pruebas No Paramétricas)Primero un resumen de los estadísticos para cada variable incluida en el contraste. En nuestroejemplo son sólo dos, a las que SPSS considera numéricas (realmente para la segunda variable -“edadrec”- no tiene sentido la estadística descriptiva llevada a cabo, pues es una variable categórica. Descriptive Statistics N Mean Std. Deviation Minimum Maximum PRESIÓN ARTERIAL 50 132,42 23,168 95 190 SISTÓLICA EDAD EN AÑOS 50 1,92 ,829 1 3 CUMPLIDOS (Banded)Luego aparece la prueba de contraste, el test de Kruskal-Wallis, con los tamaños de muestra (N) y losrangos promedio para cada uno de los grupos a comparar. Y después, en una segunda tabla, apareceel estadístico Chi-cuadrado, que vale 0,487, sus grados de libertad (el número de grupos -3- menosuno), y su significación estadística (p = 0,784). Llegamos a la misma conclusión que con el ANOVA:DocuWeb fabis.org 14 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). “las variables contrastadas no están asociadas en la población de la que provienen la muestra estudiada, pudiendo achacarse las pequeñas diferencias apreciadas en la presión arterial sistólica -en los diferentes grupos de edad- al puro azar o error aleatorio del muestreo”. Ranks EDAD EN AÑOS N Mean Rank PRESIÓN ARTERIAL CUMPLIDOS años Menos de 47 (Banded) 19 23,71 SISTÓLICA De 47 a 52 años 16 26,28 Más de 52 años 15 26,93 Total 50 a,b Test Statistics PRESIÓN En este ejemplo sólo puede concluirse que no tenemos ARTERIAL pruebas para rechazar la hipótesis nula, esto es Chi-Square SISTÓLICA ,487 aceptaremos la igualdad de medias en la población de la df 2 que proviene la muestra y concluiremos diciendo que Asymp. Sig. ,784 “no se han encontrado argumentos que relacionen la a. Kruskal Wallis Test TAS con los tres rangos de edad analizados”. Por otra b. Grouping Variable: EDAD EN parte, si hubiésemos detectado diferencias hemos de AÑOS CUMPLIDOS (Banded) aclarar que con este tipo de contrastes no paramétricos no es posible realizar contrastes a posteriori. 3. PASOS A DAR PARA HACER UNA COMPARACIÓN DE MEDIAS CON EL PROGRAMA EPI-INFO. El programa EPI-INFO permite evaluar medias en dos o más grupos con dos procedimientos o aproximaciones diferentes: • En la versión EPI INFO 6, a través de la rutina EPITABLE, siempre que tengamos ya calculados los estadísticos resumen (media y varianza) de la variable cuantitativa en cada uno de los estratos o grupos establecidos por la variable categórica. • En la versión EPI INFO 2002 o posterior, a través del programa ANALIZAR DATOS, tras cargar el fichero que contiene los datos individuales y las variables medidas, de forma muy parecida a lo que se ha hecho en el programa SPSS. 1. Si tenemos los estadísticos resumen de la variable cuantitativa en todos y cada uno de los grupos establecidos por la variable categórica o, simplemente, en los grupos independientes que van a compararse, el programa EPI INFO 6.0 nos permite una doble aproximación inferencial: la comparación de los intervalos de confianza de las medias en cada grupo y el contraste de hipótesis que parte de la hipótesis nula de que las medias de los diferentes grupos son iguales. Vamos a trabajar con el mismo ejemplo que en el apartado 1 paso 3, esto es, vamos a comparar las medias de “TAS” entre los dos grupos establecidos por la variable “Obesidad” (“obesos” / “no obesos”). Pero en este caso ya tenemos calculados sus índices resumen: la media, la varianza y el tamaño muestral. ¿Existe asociación? Presión arterial sistólica Obesidad N Media Varianza Desv. Estándar Obeso 33 125,97 336,030 18,331 No obeso 17 144,94 719,434 26,822 DocuWeb fabis.org 15 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.org1.1. En primer lugar vamos a calcular los intervalos de confianza de la media de TAS en ambos grupos. Esta es una primera aproximación inferencial. Abrimos en EPITABLE la opción Describe > MeanY ahora debemos introducir los datos que nos pide la calculadora: la media, la desviaciónestándar y el tamaño de la muestra, para cada grupo (“obesos” y “no obesos”). Mostramos acontinuación la salida para el grupo “obesos”:El intervalo de confianza al 95% que nos da el programa EPI INFO (119,72 – 132,22) es ligeramentemás pequeño que el que aportaba el programa SPSS para la misma media (119,47 – 132,47). Deforma similar se haría el cálculo en el otro grupo (“no obesos”), y con ambos intervalos de confianzadeberíamos tomar la decisión de… “hasta qué punto ambas medias en la población serían diferentes”.1.2. En segundo lugar, procedamos a comparar las medias de TAS en los dos grupos. Esta es la aproximación inferencial más clásica, a través del contraste de hipótesis. En la calculadora estadística EPITABLE se realiza a través de la opción Compare > MeansUna vez abierta la ventana de diálogo, nos pide cuantas muestras o grupos vamos acomparar (¿how many samples?). En nuestro ejemplo son solo dos (“obesos” y “noobesos”), por lo que señalamos 2 y aceptamos. El programa nos ofrece una nueva ventanaDocuWeb fabis.org 16 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). para hacer un ANOVA para dos grupos, debiendo introducir para cada uno de los grupos la media, la varianza y el tamaño. Al aceptar (Calculate) el programa nos ofrece la salida de un Análisis de la Varianza (ANOVA), con la variabilidad intergrupos (Variance between samples), la varianza residual (Residual variance), el estadístico de contraste de Snedecor (F Statistic) y el valor ”p” asociado (p value), que en nuestro ejemplo vale 0,004749. Al ser menor del nivel de significación habitualmente prefijado (0,05), concluimos que “las medias de presión arterial sistólica son diferentes en obesos y no 3 obesos”. 2. Cuando tengamos a base de datos completa, con datos individuales, es posible recurrir a su explotación de forma similar a como lo hace el programa SPSS, ya que EPI INFO 2000 -y versiones posteriores- es capaz de reconocer e importar archivos en formato DBase (.dbf), Excel (.xls) o Access (.mdb), entre otros. Vamos a resumir aquí los pasos para evaluar la relación entre obesidad y edad con el subprograma ANALIZAR DATOS del programa EPI INFO en su versión 3.3.2 (2005). Tras leer el fichero que contiene los datos, en la ventana Analysis buscamos Estadísticas básicas, y marcamos Medias. Se abrirá un cuadro de diálogo donde es posible seleccionar la variable cuantitativa en la ventana “Medias de”, y la variable categórica -que establece los grupos de comparación- en la ventana “Tabulado por valores de”. Así mismo es posible establecer ciertas Preferencias en la salida del análisis. Hechas estas selecciones se oprime el botón Aceptar, y la salida que se muestra es un análisis estadístico completo: primero un resumen de los estadísticos básicos en los grupos que se comparan (n, media, varianza, desviación típica, mediana, máximo mínimo, moda, y percentiles 25% y 75%). Luego aparece la salida del ANOVA (test paramétrico para comparación de medias) aclarándonos que debe emplearse sólo para datos normalmente distribuidos. En este ejemplo, como se 3 Recuérdese que este contraste lo hicimos en SPSS con una prueba no paramétrica (la U de Mann- Whitney), porque la evaluación de la normalidad de la distribución de la variable “presión arterial sistólica” resultó crítica y asumimos que no deberíamos emplear la prueba de comparación de medias t de Student. El resultado fue parecido (p = 0,018) y la decisión la misma. Con el programa EPITABLE corremos el riesgo de aplicar incorrectamente una prueba paramétrica si no hemos evaluado previamente los requisitos para llevarla a cabo. DocuWeb fabis.org 17 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgtrata de comparar dos grupos, aparte del ANOVA hace un test T de Student, que puede comprobarseque arroja un valor idéntico al obtenido en el punto 1 paso 1 de este mismo documento, con unaprobabilidad ”p” asociada al contraste de 0,32 (no significativo).Si en la opción Preferencias hubiésemos marcado Estadísticas Avanzado, seguidamente se nosmuestra el test de Bartlett para comprobar la homogeneidad de varianzas poblacionales (en este casono es significativo, por lo que se asume la igualdad), y el test no paramétrico de Mann-Whitney/Wilconxon para dos grupos.4. PASOS A DAR PARA HACER UNA COMPARACIÓN DE DOSMEDIAS CON EL PROGRAMA EPIDAT 3.1.El programa EPIDAT trabaja con datos agrupados de forma similar a la calculadoraEPITABLE de EPI INFO 6.0, pero en este caso restringido a comparar sólo dos muestras ogrupos. Conociendo, por tanto, los valores resumen (medias y varianzas) de lasdistribuciones de la variable cuantitativa en los grupos que van a contrastarse, se procede aseleccionar en la pantalla inicial del programa EPIDAT 3.1:Métodos > Inferencia sobre parámetros > Dos poblaciones > Muestras independientesEnseguida se abre una ventana donde debemos introducir datos: la media, la varianza y eltamaño (n) de cada grupo que se desea contrastar. El nivel de confianza (%) viene prefijadoen el 95%, pero puede modificarse.DocuWeb fabis.org 18 de 20

Contraste de hipótesis con SPSS y alternativamente con EPIINFO y EPIDAT(II): Asociación fabis.org, 2007 entre una variable cuantitativa y una categórica (comparación de medias entre dos o más grupos independientes). Tras entrar los datos solicitados se oprime en la barra de herramientas situada arriba el icono que parece una pequeña calculadora de bolsillo, obteniéndose la siguiente salida: Comparación de dos medias. Muestras independientes Nivel de confianza: 95,0% Muestra 1 Muestra 2 -------------------- ---------- ---------- Media 48,697 50,235 Desviación estándar 5,223 4,944 Tamaño de muestra 33 17 Prueba de comparación de varianzas Estadístico F gl numerador gl denominador Valor p ------------------ --------------- --------------- ------- 1,1160 32 16 0,8408 Diferencia de medias Varianzas IC (95,0%) -------------------- ---------- ---------------------- 1,538 Iguales -1,542 4,618 Distintas -1,520 4,596 Prueba de comparación de medias Varianzas Estadístico t gl Valor p ------------------ ------------------ ------- ------- Iguales 1,0039 48 0,3205 Distintas 1,0220 34 0,3140 Vemos como este programa también realiza una prueba previa para comprobar la igualdad de las varianzas, y luego aporta dos aproximaciones: la diferencia de medias entre ambos grupos y su intervalo de confianza, y la prueba de comparación de medias t de Student. Los resultados son idénticos a los obtenidos con el programa SPSS. De forma similar nos ofrece dos opciones de lectura, según sean o no homogéneas las varianzas poblacionales. DocuWeb fabis.org 19 de 20

Aguayo Canela, Mariano DocuWeb fabis.orgAnexo.Tabla de datos del estudio sobre Hipertensión y Obesidad. EDAD PAS PAD SEXO OBESIDAD 41 120 70 2 1 41 140 80 1 1 41 110 80 2 1 42 120 85 2 1 42 120 86 1 2 42 140 90 1 1 42 180 110 2 2 43 120 70 1 1 43 120 86 2 1 43 140 90 1 1 44 110 80 1 1 45 120 70 1 1 45 120 80 1 1 45 122 80 1 1 47 130 80 2 1 47 120 80 1 1 47 155 80 2 2 47 110 80 1 2 47 150 85 2 2 48 110 70 2 2 48 150 100 2 2 48 160 102 2 1 48 160 110 2 2 49 110 70 1 1 49 150 90 1 1 49 139 90 2 2 50 145 70 1 1 50 100 70 2 1 50 120 85 1 2 50 160 100 1 1 51 120 80 1 1 52 100 60 2 1 52 100 70 2 1 52 150 80 2 2 52 160 100 1 1 53 125 75 2 1 53 115 75 1 1 53 110 78 2 1 53 170 100 2 2 54 100 60 1 2 54 120 80 1 1 54 120 80 1 1 54 190 120 2 2 55 135 80 1 1 57 95 70 1 1 57 150 75 1 1 57 130 80 1 2 57 180 95 2 2 59 150 80 1 1 59 150 80 1 2 1= HOMBRE 1= OBESO 2= MUJER 2= NO OBESODocuWeb fabis.org 20 de 20

Cómo realizar "paso a paso" un contraste de hipótesis con SPSS para Windows

by Jairo Acosta Solano on Dec 30, 2011

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