Tutotial practico de capacitación en los temas: relaciones y funciones en el área de álgebra. Demostrando procedimientos, teoremas y leyes que permiten operar los ejercicios planteados. De esta manera los objetivos esperados son que mediante este tutorial se pueda aumentar los niveles de enseñanza, ya que estos medios permiten exponerlos en la red y pueden ser de utilidad para los diversos niveles de educacion

1. Autores:
Luis Jiménez C.I: 26.187.565
Beatriz Jiménez C.I: 24.354.999
Jorfran Díaz C.I: 14.649.415
Sección:
1if04
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO
‟LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”
(Tutorial)

2. Relaciones:
Relaciones binarias………….4
Relaciones vacías…………....5
Domino y rango de una
relación……………………....6
Representación cartesiana…...8
Relación inversa……………..9
Composición de relaciones….10
Relaciones en conjunto……...15
Relaciones de equivalencia….23
Funciones:
Funciones inyectivas……..28
Funciones sobreyectivas….29
Funciones biyectivas……..30

3. Una relación surge cuando un elemento A se relaciona con un
elemento B, es decir, que se trata de la correspondencia que existe
entre dos conjuntos. Por ejemplo, 1 es menor que 3 (1<3).
Entonces la relación entre los dos conjuntos es el símbolo menor
que (<).
Una relación entre dos conjuntos X e Y es un subconjunto del
producto cartesiano X × Y.

4. Sean dos conjuntos A y B, una relación de A en B es un
subconjunto de R del producto cartesiano A×B, pero en este caso
pueden existir varios elementos dentro del conjunto A, y otros
elementos dentro del conjunto B, ejemplo mediante la
Representación Sagital:
R
R es una relacion de A B
A en B ⟺ R ⊂ A × B.
1
2
3
4
2
4
6
8

5. Cuando se plantea representar una relación vacía entre dos
conjuntos. La relación se representa así:
Sean: A={1,2,3,4} y B={2,4,6,8} R
A B
R = { }
1
2
3
4

6. Sea R una relación de X en Y. el dominio es:
𝐝𝐨𝐦(𝐑) = {x ∈ X / (x, y) ∈ R, para algún y ∈ Y}
Sea R una relación de X en Y. el rango es:
rang 𝐑 = {y ∈ Y / (x, y) ∈ R, para algún x ∈ X}

7. Sean A{1,2,3,4) y B{2,4,6,8} hallar el rango y el
dominio de la relación.
R
A B
R = {(1,2);(1,4);(3,8);(4,6)}
dom(R) = {1,3,4} rang(R) = {2,4,8,6}

8. La Representación Cartesiana es una de las más utilizadas
para representar las relaciones binarias.
Y
X = {a, b, c, d } 4
Y = {1, 2, 3, 4} 3
R = {(a,4);(c,2);(d,3)} 2
1
X
0 a b c d

9. La relación inversa es el resultado de una relación
representada de forma contraria:
R R−1
X Y Y X
x R y ⟺ y R−1 x
R= {(a,1), (b,4), c,2), (c,3)} R−1= {(1,a), (2,c), (3,c), (4,b)}
a
b
c
1
2
3
4
1
2
3
4
a
b
c

10. La composición de relaciones consiste en combinar
nuevas relaciones para formar otras relaciones.
R S
X Y Z
aRb bSc
S°R
a(S°R)c
a
b
c

11. X Y Z
Sean: R S
X = {1,2,3}
Y = {a, b, c, d}
Z = {10,20,30}
Buscar: X Z
S°R={(1,10),(2,20),(3,30)} S°R
1
2
3
a
b
c
d
10
20
30
1
2
3
10
20
30

12. Sean X = {3, 5, 7}, Y = {1, 3, 11, 17}, R ⊂ X×Y la relación
Hallar x R y ⟺ x + y < 15
a) dom (R)
b) rang (R) X + Y < 15
c) cartesiana 3 1 =
e) R−1
5 3 =
7 11 =
R = {(3,1), (3,3), (3,11),
(5,1), (5,3), (7,1), (7,3)} menores que 15
dom (R) = {3,5,7} rang(R) = {1,3,11}
4
6
14
6
8
8
10

13. R = {(3,1), (3,3), (3,11), (5,1), (5,3), (7,1), (7,3)}
Y
Representación cartesiana:
11
3
1
X
3 5 7

14. Representación sagital para obtener R−1
R = {(3,1), (3,3), (3,11), (5,1), (5,3) , (7,1), (7,3)}
R−1= {(1,3), (1,5), (1,7), (3,3), (3,5), (3,7), (11,3)}
X Y Y X
R R−1
3
5
7
1
3
11
17
1
3
11
17
3
5
7

15. Las relaciones en conjunto son las relaciones en que los
elementos del conjunto de partida coincide con el conjunto de
llegada, es decir, cuando los elementos del conjunto A son iguales
a los del conjunto B. por ejemplo:
R
A B
Los elementos (2, 3 y 4) son un
Subconjunto de A y B, ya que estos
tres elementos se encuentran tanto
en A como en B formando así las
relaciones en conjunto
1
2
3
4
5
2
3
4

16. Dentro de una relación en un conjunto X se establece que:
1) R Es reflexiva si y solo si. ∀x, x R x
2) R Es simétrica si y solo si. x R y ⟺ y R x
3) R Es antisimétrica si y solo si. x R y ˄ y R x ⟺ x = y
4) R Es transitiva si y solo si. x R y ˄ y R z ⟺ x R z

17. Representación sagital de las relaciones antes definidas:
Reflexiva Simétrica
Si y solo si cada Si y solo si para cada flecha
vértice tiene un lazo. que une dos vértices distintos
existe otra en sentido contrario.

18. Antisimetrica Transitiva
Si y solo si ningún Si y solo si para cada par de
par de vértices distintos flechas consecutivas existe
tiene camino de ida y vuelta. una tercera flecha que une el
vértice inicial de la primera
flecha con el vértice final de
la segunda flecha.

19. Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} A
A
Es reflexiva debido a que los
Todos los elementos de A
terminan en donde empiezan.
1 2
3 4

20. Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:
R = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}
A
Es simétrica debido a que
los elementos (1 , 2) y (3, 4)
tienen una flecha de ida
y otra flecha de regreso
1 2
3 4

21. Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:
R = {(1,2), (2,3), (3,4),(4,1)}
A
Es antisimetrica debido a
que la relación entre dos
elementos solamente tiene
una sola flecha de ida.
1 2
4 3

22. Si A = {1, 2, 3} y R es la relación:
R = {(1,2), (3,3), (1,3)}
Es transitiva debido a
que el elemento 1 esta
relacionado con el 2
y con el 3.
1 2
3

23. Una relación es equivalente si es una relación que es reflexiva,
simétrica y transitiva. Normalmente una relación equivalente se
representa con el símbolo ~.
A ~ B : esto significa que A es equivalente a B.
Esta nueva notación se reformula la definición de equivalencia:
1) R Es reflexiva: ∀ x  X, x ~ x
2) R Es simétrica : x ~ y ⟹ y ~ x
3) R Es transitiva : x ~ y ˄ y ~ z ⟹ x ~ z

24. Sea A = {1,2,3,4} demostrar A ~ A A
R = {(1,1),(2,2),(3,3),
(1,2),(2,3),(1,3),(2,1),(3,2) (3,1)}
El siguiente conjunto
demuestra que es
reflexivo, simétrico y
transitivo por lo que
significa: A ~ A
1 2
3

25. Una función del conjunto X en un conjunto Y es un regla que
asigna a cada elemento de X un único elemento de Y.
f
A B
Aquí se plantea que y es la imagen de x mediante f, y que x es
una pre-imagen de y.
y = f(x)x

26. Sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una
triada (f, X, Y), donde f es la relación que existe entre X e Y.
x f y ˄ x f z ⟹ y = z
f : X → Y
Para indicar que (F,X,Y) es una función de X en Y se escribe así:
Y = f(x)

27. Si X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3}, entonces la siguiente relación
es una función de X en Y.
f = {(a,2),(b,1),(c,2),(d,3)}
f
X Y
f(a) = 2 f(b) = 1 f(c) = 2 f(d) = 3
a
b
c
d
1
2
3

28. Una función f: X → Y es inyectiva cuando satisface la siguiente
condición
f(x1) = f(x2) ⟹ x1 = x2
f
Una función es inyectiva si cada X Y
cada elemento de X tiene un solo
valor de Y, por lo que, en el conjunto
X no pueden haber elementos que
tengan dos o mas relaciones.
f(a)= 2 f(b)= 3 f(c)= 4
a
b
c
1
2
3
4

29. Una función f: X → Y es sobreyectiva si:
Rang(f) = Y
f
X Y
Una función es sobreyectiva
cuando todos los elementos de
Y son una imagen de un valor de X.
f(a)= 1 f(b)= 2 f(c)= 2 f(d)= 3
a
b
c
d
1
2
3

30. Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la
vez.
Simplemente cada elemento f
de X esta relacionado con un X Y
elemento de Y.
f(a)= 2 f(b)= 1 f(c)=3
a
b
c
1
2
3

31. Sea A= {-2,-1,0,1,2} y B= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} hallar:
f: A → B
f(x)= x2 f
A B
*Que sea una
función general*
-2
-1
0
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4