2. Objektif Pembelajaran
Untuk mempelajari bagaimana menggunakan sampel dari dua
populasi untuk menguji hipotesis tentang perhubungan antara
populasi.
Untuk mempelajari bagaimana bagaimana ujian hipotesis bagi
perbezaan antara min populasi mengambil bentuk yang berlainan,
bergantung kepada saiz sampel.
Untuk memebzakan di antara sampel bebas dengan sampel
bersandar apabila membandingkan dua min.
Untuk mempelajari bagaimana mengurangkan ujian hipotesis bagi
perbezaan min dari sampel bersandar kepada ujian min tunggal.
Untuk mempelajari bagaimana menguji hipotesis yang
membandingkan kadar dua populasi yang mempunyai beberapa
stribut yang menarik.
Untuk memahami bagaimana nilai kebarangkalian boleh digunakan
dalam pengujian hipotesis.
2
3. Taburan Persampelan diantara Dua
Min Sampel yang Berbeza
Populasi 1 X 1
X 1
− X 2
∑x
X = n
1
1
X −X 1 2
=
∑x
X 2
n2
X 2
Populasi 2
3
5. Formula Z untuk Perbezaan
Dua Min Sampel
n1 ≥ 30, n2 ≥ 30, varian populasi
diketahui dan Sampel Bebas
( X − X ) − (µ − µ )
1 2
Z= 1 2
σ1 + σ2
2 2
n1 n2
5
6. Contoh
Katakan pada bulan Januari purata bil letrik isirumah di Pulau
Pinang ialah RM185, dengan sisihan piawai RM35. Katakan juga
pada bulan yang sama, purata bil letrik di Kota Bahru ialah RM91,
dengan sisihan piawai RM22. Jika sampel rawak 40 isirumah di
Pulau Pinang dan 32 isirumah di Kota Bahru diambil, apakah
kebarangkalian perbezaan di antara purata sampel ialah RM100?
Pulau Pinang Kota Baru
µ1 = 185 µ2 = 91,
σ1 = 35 σ2 = 22,
n1 = 40 n2 = 32
6
9. Contoh
Diawal tahun 1990an kajian oleh Jabatan Buruh Malaysia mendapati purata
anggaran upah lebihmasa sejam di antara juruanalisis komputer dan jurutera
adalah hampir sama. Katakan kita mahu menjalankan ujian hipotesis untuk
menentukan sama ada ia masih lagi sama sekarang ini. Sampel rawak 32
juruanalisis komputer dan 34 jurutera diseluruh Malaysia diambil dan ditanya
gaji lebih masa mereka. Data upah lebih masa sejam ditunjukkan didalam
Jadual dibawah dan katakan nilai α = 0.02:
Juruanalisis Sistem Jurutera
24.10 25.00 24.25 20.75 23.30 22.75
23.75 22.70 21.75 23.80 24.00 23.00
24.25 21.30 22.00 22.00 21.75 21.25
22.00 22.55 18.00 21.85 21.50 20.00
23.50 23.25 23.50 24.16 20.40 21.75
22.80 22.10 22.70 21.10 23.25 20.50
24.00 24.25 21.50 23.75 19.50 22.60
23.85 23.50 23.80 22.50 21.75 21.70
24.20 22.75 25.60 25.00 20.80 20.75
22.90 23.80 24.10 22.70 20.25 22.50
23.20 23.25 22.45
23.55 21.90 19.10 9
10. Ujian Hipotesis Perbezaan antara
Dua Min
Langkah 1: Hipotesis
H0: µ1 - µ2 = 0 Langkah 3: Ujian Statistik
Ha: µ1 - µ2 0
(X 1 - X 2 ) - (µ 1 - µ 2 )
Z=
2 2
Langkah 2: Nilai σ1 σ 2
+
n1 n 2
= 0.02; /2 = 0.01
10
11. Langkah 4: Peraturan Keputusan
Jika Z < - 2.33 atau Z > 2.33, tolak Ho.
Jika - 2.33 ≤ Z ≤ 2.33, terima Ho.
11
13. Langkah 6: Nilai Ujian Statistik
( X − X ) − (µ − µ )
1 2
Z= 1 2
2 2
S1 + S 2
n1 n2
( 23.14 − 21.99 ) − ( 0)
= = 3.36
1.885 1.968
+
32 34
Langkah 7: Kesimpulan
Oleh kerana Z = 3.36 > 2.33, tolak Ho.
13
14. Selang Keyakinan untuk
Menganggar µ1 - µ2 apabila n1 dan
n2 adalah besar dan σ1, σ2 tidak
diketahui
2 2 2 2
(X − X ) − Z S + S ≤ µ − µ ≤ (X − X ) + Z S + S
1 2 1 2
1
n n2
1 2
1
n n
2 1 2
1 2
2 2 2 2
Pr ob [ (X − X ) − Z S + S ≤ µ − µ ≤ (X − X ) + Z S + S
1 2 1 2
] = 1− α
1 2
n n 1 2
1 2 1
n n 2
1 2
14
15. Contoh
Katakan satu kajian telah dijalankan untuk menganggar perbezaan
purata perbelanjaan di antara pelanggan berpendapatan sederhana
dan pelanggan berpendapatan rendah disebuah kedai menggunakan
kupon. Sampel rawak 60 pelanggan berpendapatan sederhana dan 80
pelanggan berpendapatan rendah diambil, dan perbelanjaan mingguan
mereka dipantau selama 1 minggu. Purata jumlah yang dapat
dijimatkan dengan menggunakan kupon, dan saiz sampel serta sisihan
piawai sampel adalah sebagaimana berikut. Nilaikan pada paras 98%
keyakinan
Pelanggan Berpendapatan Pelanggan Berpendapatan
Sederhana Rendah
n1=60 n2 = 80
X1= RM5.84 X2= RM2.67
S1 = RM1.41 S2 = RM0.54
15
18. Ujian t untuk Perbezaan
dalam Min Populasi
• Kedua-dua populasi adalah
bertaburan normal.
• Dua sampel adalah bebas.
• Sekurang-kurangnya satu sampel
adalah kecil, n < 30.
• Nilai varian populasi tidak diketahui.
• Varian bagi dua populasi ini adalah
sama. σ12 = σ22
18
19. Formula t untuk Menguji
Perbezaan Min dengan
Mengandaikan σ12 = σ22
( X − X ) −( µ − µ )
1 2 1 2
t=
S ( n −1) + S ( n )
2 2
1 1 2 2
−1 1 1
+
n +n −2
1 2 n n 1 2
df = n1 + n2 - 2
19
21. Contoh
Katakan satu syarikat pengendali seminar mahu menguji perbezaan
pengetahuan peserta seminar menggunakan kaedah A, kuliah dan
sesi soal jawab dan kaedah B, menggunakan video kaset da tiada
sesi soal jawab. Untuk menguji perbezaan didalam dua kaedah ini,
pengurus mengambil sampel rawak 15 orang untuk kumpulan
pertama pekerja baru dengan menggunakan Kaedah A dan kumpulan
kedua 12 pekerja baru menggunakan kaedah B. Jadual dibawah
menunjukkan skor ujian bagi dua kumpulan tersebut. Menggunakan
α = 0.05, pengurus mahu menentukan sama ada terdapat perbezaan
yang signifikan didalam min skor dua kumpulan latihan tersebut. Ia
mengandaikan skor bagi ujian adalah bertaburan normal dan varian
populasi adalah sama.
Kaedah A Kaedah B
56 50 52 44 52 59 54 55 65
47 47 53 45 48 52 57 64 53
42 51 42 43 44 53 56 2143 57
23. Langkah 4: Peraturan Keputusan
df=25
df = n1 + n2 – 2
= 15 + 12 – 2
= 25
-2.060 2.060
Jika t < - 2.060 atau t > 2.060, tolak Ho
Jika - 2.060 ≤ t ≤ 2.060, tidak dapat tolak Ho
23
24. Langkah 5: Data
Kaedah A Kaedah B
n1=15 n2 = 12
X1= 47.73 X2= 56.500
S12 = 19.495 S22 = 18.273
24
25. Langkah 6: Nilai Ujian Statistik
(47.73 - 56.50) - 0
t= = - 5.20
(19.495)(14) + (18.273)(11) 1 1
+
(15 + 12 − 2) 15 12
Langkah 7: Kesimpulan
Disebabkan nilai dikira t = -5.20, adalah kurang daripada nilai jadual
kritikal, t = - 2.06, nilai t yang dikira berada didalam kawasan
penolakan. Hipotesis nul adalah ditolak Oleh itu terdapat perbezaan
yang signifikan didalam min skor bagi dua ujian tersebut. Berdasarkan
min sampel, kita menyedari bahawa kaedah B sebenarnya
memberikan purata skor 8 markah lebih berbanding dengan kumpulan
yang dilatih menggunakan kaedah A.
25
26. Selang Keyakinan untuk
Menganggar µ1 - µ2 dengan
Sampel Kecil dan σ1 = σ2
2 2
S (n ) (n )
2 2
−1 + S 2 −1
( X − X ) ±t
1 2
1 1
n +n1 2
−2
2 1
n n
1
+
1
2
where df = n1 + n2 − 2
26
27. Contoh
Satu kumpulan penyelidik telah Wanita Lelaki
menjalankan kajian untuk 35.38 35.03
menentukan sama ada terdapat 37.06 33.9
perbezaan di antara wanita dan 37.74 34.56
lelaki didalam ujian kepintaran.
36.97 36.24
Kajian adalah berdasarkan
kepada soalan bertulis yang 37.84 34.59
sama terhadap kumpulan 37.5 34.95
tersebut. Katakan sampel rawak 40.75 33.3
keputusan ujian 9 wanita dan 10 35.31 34.73
lelaki telah diambil didalam kajian 35.3 34.79
ini. Keputusan ujian tersebut
37.83
berdasarkan markah 50% adalah
ditunjukkan didalam berikut. n1 = 9 n2 = 10
Nilaikan selang perbezaan di X1 = 37.09 X2=34.99
antara dua min untuk 99% S1 = 1.727 S2 = 1.253
keyakinan.
df = 9 + 10 – 2 = 17
27
30. Sampel Tidak Bebas
Ukuran sebelum dan selepas ke
atas induvidu yang sama
Kajian ke atas pasangan kembar
Kajian ke atas pasangan suami
isteri
30
31. Formulas bagi Sambel Tidak
Bebas
d−D
t=
S d
d =
∑d
n n
∑ ( d −d )
2
df = n − 1
n = number of pairs
S d
=
n −1
d = sample difference in pairs ( ∑d) 2
∑d 2
−
n
D = mean population difference =
n −1
S
d
= standard deviation of sample difference
d = mean sample difference
31
32. Contoh
Sebelas pekerja telah diletakkan di
bawah perhatian panel kesihatan Pekerja Sebelum Selepas
disebabkan tingginya kandungan 1 255 197
kolestrol didalam badan. Doktor telah 2 230 225
memberi nasihat tentang bahaya 3 290 215
keadaan ini dan meletakkan mereka
didalam diet makanan yang baru.
4 242 215
Ditunjukkan didalam dibawah adalah 5 300 240
kandungan kolestrol bagi 11 pekerja 6 250 235
tersebut sebelum dan selepas 1 bulan 7 215 190
mengamalkan diet baru. Pengurus 8 230 240
syarikat pekerja tersebut mahu 9 225 200
menjalankan ujian statistik untuk
10 219 203
menentukan sama ada terdapat
perbezaan yang signifikan kandungan 11 236 223
kolestrol sebelum dan selepas diet baru
tersebut diamalkan. Gunakan α = 0.01. 32
33. Langkah 1: Hipotesis
Langka 3: Ujian statistik
H0: D=0
Ha: D≠0
d-D
t =
Sd
Langkah 2: Nilai alpha
n
df = n - 1
α = 0.01
33
34. Langkah 4: Peraturan Keputusan
df=10
df = n - 1
= 11 - 1
= 10
α α
= 0.005 = 0.005
2 2
t0.005,10 = 3.169
-3.169 3.169
Jika t < - 3.169 atau t > 3.169, tolak Ho
Jika - 3.169 ≤ t ≤ 3.169, tidak dapat tolak Ho
34
36. Langkah 6: Nilai Ujian Statistik
28.0909 - 0
= 3.6094
25.8126
11
Langkah 7: Kesimpulan
Disebabkan nilai t yang dikira lebih besar daripada nilai kritikal jadual t
(t = 3.6094 > t0.005,11 = 3.169) maka kita dapat menolak Ho. Maka
terdapat bukti yang mencukupi untuk menyatakan terdapat perbezaan
yang signifikan didalam purata kandungan kolestrol sebelum dan
selepas mengamalkan diet baru.
36
37. Selang Keyakinan bagi Sampel
Tidak Bebas
Sd
d ± tα / 2
n
atau
Sd Sd
d − tα / 2 ≤ D ≤ d + tα / 2
n n
37
38. Contoh Jualan rumah baru adalah turun naik
mengikut musim. Keadaan musiman ini
Firma Mei 1998 Mei 2000 menunjukkan keadaan ekonomi dan
pusingan perniagaan yang memberi kesan
1 8 11 keatas jualan rumah. Katakan Kementerian
2 19 30 Kerajaan Tempatan mahu menganggarkan
3 5 6
purata perbezaan didalam bilangan jualan
4 9 13
5 3 5 rumah baru di Kuala Lumpur di antara 1998
6 0 4 dan 2000. Untuk melakukannya,
7 13 15 kementerian memilih secara rawak 18 firma
8 11 17 pemaju perumahan dan memperolehi angka
9 9 12 jualan untuk Mei, 1998 dan Mei, 2000.
10 5 12 Bilangan jualan rumah baru setiap firma
11 8 6 ditunjukkan didalam Jadual 10.7.
12 2 5
Menggunakan data ini, kementerian
13 11 10
14 14 22
menganggar purata perbezaan bilangan
15 7 8 jualan rumah baru oleh firma di Kuala
16 12 15 Lumpur untuk Mei, 1998 dan Mei, 2000 dan
17 6 12 melakukan 99% selang keyakinan.
18 10 10 38
42. Taburan Persampelan Perbezaan
dalam Perkadaran Sampel
For large samples
1. n ⋅ p > 5,
1
1
2. n ⋅ q > 5,
1
1
3. n ⋅ p > 5, and
2
2
4. n ⋅ q > 5 where q
2
2
= 1 - p
the difference in sample proportions is normally distributed with
µp
− =
p2 P −P
1 2
and
1
P ⋅Q P ⋅Q
σ p1− p2 =
1 2
1
+ 2
n 1 n 2
42
43. Formula Z untuk Menguji
Perbezaan dalam Perkadaran
Populasi
Z=
( p − p ) −( P − P )
1 2 1 2
P ⋅Q1 1
+
P ⋅Q
2 2
n 1 n 2
p = proportion from sample 1
1
p = proportion from sample 2
2
n = size of sample 1
1
n = size of sample 2
2
P = proportion from population 1
1
P = proportion from population 2
2
Q=1- P
1 1
Q =1- P
2 2 43
44. Formula Z untuk Menguji
Perbezaan dalam Perkadaran
Populasi
Z=
( p − p ) −( P − P )
1 2 1 2
1 1
( P ⋅Q ) +
n1 n2
P=
X +X 1 2
n +n 1 2
=
n p +n p
1
1 2 2
n +n 1 2
Q = 1− P
44
45. Contoh
Adakah pelanggan dan CEO mempunyai perbezaan didalam
persepsi etika perniagaan? Sekumpulan penyelidik cuba untuk
menguji untuk menentuka sama ada terdapat perbezaan didalam
perkadaran pelanggan dan perkadaran CEO yang mempercayai
kehilangan satu pekerjaan mempunyai pengaruh yang kuat
terhadap gelagat etika. Didalam kajia tersebut, mereka mendapati
57% daripada pelanggan menyatakan bahawa kehilangan satu
pekerjaan mempunyai pengaruh yang kuat keatas gelagat etika
tetapi hanya 50% sahaja CEO yang beranggapan sedemikian.
Katakan data telah dipungut dari sampel rawak 755 pelanggan
dan 616 CEO. Adakah penyelidik mempunyai bukti yang
mencukupi untuk menyatakan pelanggan mempunyai perkadaran
yang lebih tinggi berbanding CEO didalam mempercayai
kehilangan satu pekerjaan mempunyai pengaruh yang kuat
terhadap etika perniagaan. Gunakan α = 0.10.
45
46. Langkah 1: Hipotesis
dimana
H0: P1 – P2 = 0 P1 ialah perkadaran pelanggan yang memilih faktor
Ha: P1 – P2 > 0 P2 ialah perkadaran CEO yang memilih faktor
Langkah 3: Ujian statistik
Langkah 2: Nilai alpha
Z =
(p − p ) − (P
ˆ ˆ1 2 1
−P 2 )
1 1
α = 0.01
( P ⋅Q)
+
n1 n2
P = X 1+ X 2
n1 + n2
ˆ ˆ
n1 p1 + n2 p2
=
n1 + n2
Q =1−P 46
47. Langkah 4: Peraturan Keputusan
Oleh kerana ujian ini α = 0.01
adalah ujian satu
hujung, nilai kritikal
jadual Z ialah Zc =
1.28. Jika nilai Z yang Zc = 1.28
dikira lebih besar
daripada 1.28,
hipotesis nul ditolak.
47
49. Langkah 6: Nilai Ujian Statistik
(0.57 0 0.50) - (0)
Z= = 2.59
1 1
( 0.539 )( 0.461) +
755 616
Langkah 7: Kesimpulan
Disebabkan Z = 2.59 adalah lebih besar daripada nilai kritikal jadual Z,
1.28, dan ia berada didalam kawasan penolakan, maka hipotesis nul
ditolak. Perkadaran pelanggan yang signifikan lebih tinggi berbanding
CEO didalam mempercayai kehilangan satu pekerjaan adalah
pengaruh yang kuat keatas gelagat etika. CEO mungkin mahu melihat
cara lain yang mempengaruhi etika perniagaan. Jika pekerja lebih
mengemari pelanggan berbanding CEO, CEO mungkin berkebolehan
untuk melihat kehilangan satu pekerjaan sebagai alat untuk
memastikan gelagat etika didalam kerja.
49
50. Selang Keyakinan untuk
Menganggar P1 - P2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(p − p ) − Z
ˆ ˆ
p1q1 p2 q 2
+ ≤ P1 − P 2 ≤ (p − p ) + Z
ˆ1 ˆ2
p1q1 p2 q 2
+
1 2
n1 n2 n1 n2
50
51. Contoh
Katakan didalam percubaan untuk menarik pelanggan,
pengurus pasar raya mahu menentukan perbezaan di
antara perkadaran pelanggan disebelah pagi adalah lelaki
dan perkadaran pelanggan selepas jam 5 petang adalah
lelaki. Didalam tempoh masa dua minggu, pengurus
mengambil sampel rawak sistematik seramai 400 pelanggan
sebelah pagi mendapati 352 wanita dan 48 lelaki, sampel
rawak sistematik 480 pelanggan selepas jam 5 petang
mendapati 293 wanita dan 187 adalah lelaki. Jalankan 98%
selang keyakinan untuk menganggar perbezaan didalam
perkadaran populasi bagi lelaki.
51
56. Katakan sebuah mesin menghasilkan
MESIN 1 MESIN 2
kepingan logam yang mempunyai
22.3 21.9 22.0 21.7
ketebalan 22 mm. Disebabkan oleh
mesin, operator, bahan mentah, 21.8 22.4 22.1 21.9
persekitaran kilang dan lain-lain faktor 22.3 22.5 21.8 22.0
terdapat variabiliti didalam ketebalan 21.6 22.2 21.9 22.1
kepingan tersebut. Dua buah mesin 21.8 21.6 22.2 21.9
mengeluarkan kepingan ini. Operator 22.0 22.1
pengeluaran amat menitikberatkan
ketepatan bagi dua mesin ini.
Untuk menguji ketepatan, sampel rawak 10 keping logam yang
dikeluarkan oleh mesin 1 diambil dan 12 keping logam dari mesin 2 juga
diambil. Ukuran ketebalan bagi kepingan dari kedua-dua mesin tersebut
diambil dan ditunjukkan didalam jadual berikut. Andaikan ketebalan
kepingan logam adalah bertaburan normal didalam populasi.
Bagaimanakah kita boleh menguji sama ada varian dari setiap sampel
datangnya dari varian populasi yang sama (varian populasi adalah sama)
atau dari populasi varian yang berbeza (varian populasi tidak sama).
Gunakan α = 0.05.
56
57. Langkah 1: Hipotesis
Langka 3: Ujian statistik
H 0 :σ = σ
2
1
2
2
H a : σ 12 ≠ σ 2
2
2
F = S1
2
S2
Langkah 2: Nilai alpha dfnumerator = υ = n1 − 1
1
dfdeno min ator = υ = n2 − 1
2
α = 0.05
57
59. Langkah 4: Peraturan Keputusan
v1=9, v2 = 11
F .025,9,11
= 359
.
1
F.975,11,9 = F.025,9,11
1
=
359
.
= 0.28
Jika F < 0.28 atau F > 3.59 , tolak Ho.
Jika 0.28 ≤ F ≤ 3.59 , terima Ho.
59
60. Langkah 5: Data
Mesin 1 Mesin 2
22.3 21.8 22.2 22.0 22.2 22.0
21.8 21.9 21.6 22.1 22.0 22.1
22.3 22.4 21.8 21.7 21.9
21.6 22.5 21.9 21.9 22.1
n 1
= 10 n 2
= 12
2
S
2
S 1
= 0.1138 2
= 0.0202
60
61. Langkah 6: Nilai Ujian Statistik
2
F=
S 1
=
01138
.
= 5.63
2
S 2
0.0202
Langkah 7: Kesimpulan
Nilai F yang dikira ialah 5.63, adalah lebih besar daripada hujung
kanan nilai kritikal 3.59. Oleh itu, keputusannya ialah menolak
hipotesis nul. Varian populasi adalah tidak sama. Ujian terhadap
varian sampel menunjukkan varian pengukuran dari mesin 1 adalah
lebih besar daripada pengukuran varian dari mesin 2. Operator dan
pengurus operasi mungkin mahu menguji mesin 1 selanjutnya; dan
pelarasan mungkin diperlukan atau mungkin terdapat sebab lain
menyebabkan terdapat variasi mesin tersebut.
61
