大規模グラフアルゴリズムの最先端

2012/01/12 PFI セミナー大規模グラフアルゴリズムの最先端秋葉拓哉 (@iwiwi)

挨拶• 自己紹介 – 秋葉拓哉 / @iwiwi – 東京大学コンピュータ科学専攻 M1 – アルゴリズム系の研究室 – プログラミングコンテストが好き – 2009 年にインターンさせてもらって以来アルバイトアリ本（グラフの話もあるよ） 1

いろんなグラフ道路・交通ネットワーク • 頂点：交差点，駅など • 辺：道，路線などやりたいことの例 • 案内，交通管制 • 輸送や災害のための解析 • 地理情報と絡めたサービス • … 2

いろんなグラフソーシャルネットワーク • 頂点：人 • 辺：人間関係やりたいことの例 • 「知り合いかも？」とか • 重要度・影響度の解析 • コミュニティ解析 • 情報の伝播力の解析 • … (MentionMap で作成) 映画 3

いろんなグラフウェブグラフ • 頂点：Web ページ • 辺：リンク関係やりたいことの例 • PageRank, HITS • Web ページの関連性 • … (Gephi HTTP Graph) 「ネットは広大」 4

大規模グラフ処理の需要界隈種類頂点数 (辺数はもっと) OR 等交通ネットワーク全米：> 2 × 107 Twitter：> 2 × 108 人ソーシャルネットワーク・ Web 等 Facebook：> 5 × 108 人 Web グラフ Google：> 109 ページ生物情報タンパク質間相互作用など > 109 アメリカ国土安全保障省：国防 (?) 謎 > 1015 [Kolda+’04]• みんなデカいグラフを処理したいんだ！• 馬鹿げたサイズのものもある• 他にも一杯あると思います 5

アカデミックな方々の関心• アルゴリズム界隈はもちろん• VLDB (データベース界のトップ会議) – 2011 では “Graph Data” なるセッションが 3 つ• SC (HPC 界のトップ会議) – 2010 でセッション “Graph Algorithms”• 多分他でも… 6

HPC 界の関心 [http://blog.goo.ne.jp/sdpaninf/e/fdd6d1c59516418ccae7514a6512b0d1]• Top500 の新しい仲間• スパコンをグラフの処理能力で格付け• 日本は現在 TSUBAME が 3 位 7

日本のアカデミック界でも関心 [http://blog.goo.ne.jp/sdpaninf/e/87c8bf7886310ecfab1e56c8967e4b1e]JST CREST にも超大規模グラフに挑戦するチーム 8

インダストリアルからも関心 Graph DB 大人気！ 9

話すことアルゴリズムの話をします (いっぱい話すので概要です)• アルゴリズム界隈での話題 – 特に道路ネットワークでの最短路• DB 界隈での話題最短路 – 特に複雑ネットワークでの最短路ばっかり…• HPC 界隈での話題 (´・_・｀) – 特に並列分散環境での最短路（大げさなタイトルにしてすみませんでした） 10

特に道路ネットワークでの最短路1. アルゴリズム界隈の話題 (画像: Google Maps) 11

アルゴリズム界隈河原林先生• トップ会議 (日本が誇る世界のトップ!!) – STOC, FOCS, SODA, … – 理論系．証明．証明のためのアルゴリズム． oxyさんもまけてない!! – 実装して意味のあるアルゴリズムは少ない．• 実験系アルゴリズムの会議 – ALENEX, SEA, ESA (engineering track), … – 実装して良い感じのアルゴリズムはこっちに． – 最近すこし良い感じなんですか？ • SEA: workshop → symposium，ALENEX: workshop → meeting SODA, ALENEX は来週京都で開催!! アメリカ以外での開催は多分はじめて!! 岩間先生 (oxy 神のとこの先生) の還暦祝いという噂 12

実験系界隈でのグラフアルゴリズム• Graph Partitioning, Graph Clustering – 超流行，最近だと毎回 2,3 本は論文がある – 去年，5 年ぶりの DIMACS Implementation Challenge の題材に – グラフを良い感じに分割したい – 様々な応用: ソーシャルネットワーク解析，分散処理，CV，…• その他，計算困難問題 – クリークカバー (ALENEX’12), TSP (SEA’11), シュタイナー木 (ALENEX’10), …• その他，基礎的な操作 – 最短路と仲間 (いっぱい), トポロジカルソート (ALENEX’11), 直径, … 13

最短経路クエリ処理1. 前処理前計算データ活用2. クエリ処理「本郷から駒場」「30 分です」「中野から秋葉原」「20 分です」「札幌から那覇」「7 時間です」

道路ネットワークでの最短路クエリ • 構造を活かしやすい • 様々な効率的な技法有名な手法 • A*, ALT [HNR’72, IHI+’94, GH’05, …] • Reach Pruning [Gut’04, …] • Highway Hierarchy […] • Transit Nodes […] 最新の手法 • Highway Dimension [Abraham+, SODA’10] + • Hub-Based Labeling Algorithm [Abraham+, SEA’11] 15

Dijkstra → 双方向 Dijkstra Dijkstra 双方向 Dijkstra s t s t 最短路が得られている両側からやると頂点が広がってゆく余計な頂点が減る．アルゴリズム． 16

三角不等式• �� , �� ≔ グラフ �� 上での ��, �� の最短距離• �� , �� ≤ �� (��, ��) + �� (��, ��)• �� , �� ≥ �� , �� − �� (��, ��) ★今回はこっち(下界)(�� は任意の頂点)

A*, ALT アルゴリズム A* ALT s v s t t l人工知能等の探索でもお馴染み．ランドマークの頂点を用意．近そうなところから探索．そこからの距離と三角不等式で距離の下界を推定し A*．この辺は実装が楽，速度はそこそこ． (state-of-the-art と比べると全然) 18

双方向 Dijkstra + Reach Pruning の効果 Dijkstra 双方向 Dijkstra 双方向 RE [http://research.microsoft.com/en-us/people/goldberg/hwd.pdf] やばすぎ！効果絶大！ 19

Highway Dimension [Abraham+, SODA’10]• これらの手法はヒューリスティクスだった – 「なんとなく」うまくいきそうな手法 – 実験してみるとたしかにうまくいく• うまくいくことを解析したい！→ 道路ネットワークを数理的にモデル化• 道路ネットワーク ≒ “Highway Dimension” の小さいグラフ [Abraham+, SODA’10] 「ある程度の距離になる最短路は，必ず限られた頂点のどれかを通る」（限られた頂点≒大都市的な．で，Highway Dimension が小さい ≒限られた頂点集合が割りと小さい．定義はもっとフォーマル） 20

Hub-Labeling Algorithm [Abraham+, SEA’11]• Hub-Labeling Algorithm – DB 界隈で 2-Hop と呼ばれるものと同じ – 各頂点に関して，中継点候補を前計算あらゆる頂点対について，最短路を与える共通の頂点対が存在するようにしておく前計算アルゴリズムの性能で，中継点のサイズが違ってきて，小さくできるほど良い• Highway Dimension が小さいというモデルで解析をすると，これが凄い速そう → 少し工夫して実装してみたら実際爆速!! 21

Hub-Labeling Algorithm [Abraham+, SEA’11] はやいｗｗｗｗ 5 ランダムアクセスぐらい？ 22

特に複雑ネットワークでの最短路2. データベース界隈の話題 23

会議と話題• DB 系の会議: SIGMOD, VLDB, ICDE, CIKM, EDBT, … – Web, IR 界隈とも近い – インダストリアルとの距離が近い – プラクティカルな話題が多い• グラフデータベース，分散グラフ処理系• グラフアルゴリズム – パターン検索，コミュニティ抽出，頻出パターン抽出 – RDF のクエリ処理，構造のある検索 – Uncertain Graph 上での各種処理 (枝に不確定性) – 到達可能性クエリ，最短路クエリ (亜種もいっぱい) 24

最短路クエリの応用例: Social Search

最短路クエリの応用例: Context-Aware Search 「木」を検索

最短路クエリの応用例• Social Search – Social Network: 人を頂点，枝を友人関係• Context-Aware Search – Web Graph: ページを頂点，枝をリンクこれらのグラフ上での最短距離を結果のランキングの指標に使う

複雑ネットワークでの最短路クエリ • 構造がカオス • 交通ネットワークと比べ難しい有名な手法 • 2-HOP [Cohen+, SODA’02] [Cheng+, EDBT’09] • 対称性の活用 [Xiao+, EDBT’09] • ランドマーク系 (近似) [Potamias+, CIKM’09] [Das Sarma+, WSDM’10] [Gubichev+, CIKM’10] 最新の手法 • 木分解による Core-Fringe 構造の活用 [Wei, SIGMOD’10] [Akiba+, EDBT’12] ← Christian さん河原林先生 → 30

三角不等式• �� , �� ≔ グラフ �� 上での ��, �� の最短距離• �� , �� ≤ �� (��, ��) + �� (��, ��) ★今回はこっち(上界)• �� , �� ≥ �� , �� − �� (��, ��)(�� は任意の頂点)

上界による最短距離推定 (単一ランドマーク)• �� , �� ≤ �� (��, ��) + �� (��, ��) ★ uこれをそのまま使う s t1. 前処理 – 頂点 �� を1つ選ぶ（ランドマーク） – �� (∗, ��), �� ,∗ を全頂点に対し前計算しておく (幅優先探索)2. クエリ処理 �� , �� = �� , �� + �� (��, ��)

上界による最短距離推定 (複数ランドマーク)ランドマークを単一 (�� ) から複数 (��) にしよう• �� , �� ≤ �� (��, ��) + �� (��, ��) ★複数頂点に使う s t1. 前処理 – 一定数の頂点集合 ��を決める（ランドマーク） – 各 �� ∈ ��に対し �� (∗, ��), �� ,∗ を全長点に対し前計算 (BFS)2. クエリ処理 �� , �� = min{ �� , �� + �� (��, ��)} ��∈��

ランドマークの選択• ランドマークの選び方で近似性能が大きく変わる – ベースライン：ランダム• 実は次数が大きいものから選ぶだけで良くなる！ [Potamias+’09] – 他にも Closeness Centrality や Graph Partitioning を使う方法 – 労力の割に大差ないかも [Potamias+’09, Table2] 34

複雑ネットワークの Core-Fringe 構造 [Lu’00] 複雑ネットワークは以下の 2 つ (3 つ) に分けられる • 密な “Core” Core • 木に近い “Trails” • (“Middle Layer”)Fringe よりフォーマルには，モデル (恣意的な可視化) の仮定のもとで証明可 35

木分解の活用 [Wei’10], [Akiba+’12] 木分解 • グラフ → 頂点集合の木 • どちらかというと理論界の道具 • グラフが“木っぽい”とオイシイ (よりフォーマルには木幅が小さいと良い) 複雑ネットワーク • 全体としては木っぽくない • しかし Fringe 部分は木っぽい！ – 木分解してウマウマ • Core はやっぱしんどい – 諦めるor頑張る 36

木分解の活用 [Akiba+’12] 数 M 頂点・辺ぐらいまでなら厳密解で爆速クエリ処理クエリ時間 (μs) それ以上はシンドイので，近似手法と組み合わせる（5 M 頂点，70 M 辺 → 数十 μs，数％エラー） 37

特に並列分散環境での最短路3. HPC 界隈の話題 38

会議と話題• HPC 系の会議: SC, ICS, ISCA, …• 話題（全て並列or分散） – 連結成分分解 – BFS, SSSP (最短路) – Eigenvector (PageRank, HITS) –…特に IBM と LLNL 辺りが力いれてる SC? でバイオリンを弾く平木先生 39

並列・分散環境でのグラフアルゴリズムグラフアルゴリズムの性質• ランダムなアクセスパターン• データの再利用がない→ 時間的局所性・空間的局所性の両方が超低い• 並列化はとても難しい – 簡単には逐次を超えられない 40

Graph 500 日本では CRESTスパコンのベンチマーク (超デカいグラフ) のチームの方々• 現在 BFS のみでやっています• 次に SSSP が入るという噂• 更にその次は極大独立集合• グラフは難しいので，ベンチマークとしては逆に良い – Top 500 の LINPACK は “簡単” ?• 将来の需要も考慮• 現状，アルゴリズム・実装の優劣も大きく影響 – 配られてるリファレンス実装はスケールしない – まだまだアプローチに「決定版」がない – アツい！（しかしスパコンのベンチマークになっているかは謎） 41

並列 BFS (共有メモリ)並列 BFS の基本アルゴリズム1. キューに始点入れる2. キューが空でない間: ←このループを並列に – キューから頂点 v だす – v に隣接する全頂点で未訪問のものをキューに追加 42

並列 BFS (共有メモリ) の最適化 [Agarwal+’10]基本• 到達したかのフラグをビットセットに – キャッシュミス減• ロックする前に値みてからロックソケット超えの最適化• ソケットごとにキューを別に (inter-socket queue) – ソケット内での push とソケット外への push を別に – ソケット外から push されたのは後でまとめて処理 – 良い感じの lock-free queue• Inter-socket キューの処理の batching – 何個か頂点まとめて push/pop → 通信を整理

実験結果 (性能向上) Nehalem-EX 8 コア × 4 ソケット (= 32 コア) [Agarwal+’10, Figure 5]

分散 BFS (クラスタ) [Buluc+’11]他繰り返す1 次元分割 × = 隣接行列距離 i で到達可能な距離 i+1 で到達可能な頂点集合頂点集合全体全通信が必要となりスケールしない 45

分散 BFS (クラスタ) [Buluc+’11]他繰り返す2 次元分割 ■ ■ ■ ■ ■ ■ × = + ■ ■ ■ ■ ■ ■ 隣接行列距離 i で到達可能な距離 i+1 で到達可能な頂点集合頂点集合通信が √n 倍程度減る (n はノード数) （しかし，これをベースに頑張り 40K コア使っても， SMP 32 コアの数十倍程度とかだったりしたりしなかったり…？) 46

終わりです：まとめ• アルゴリズム界隈の話題：道路ネットワーク – A*, ALT, Highway Dimension, Hub-Labeling• DB 界隈の話題：複雑ネットワーク – Landmark, Core-Fringe Tree-Decomposition• HPC 界隈の話題：並列分散 – ソケット超えの最適化，1D/2D 分割法ありがとうございました（・__________・）／ 47

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大規模グラフアルゴリズムの最先端

by Takuya Akiba

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