Projeção de um Veio de Transmissão para uma Caixa de Velocidades de Automóvel. Nesto projeto encontra-se um dimensionamento dos diâmetros do veio da caixa de velocidades de um automóvel, para o dimensionamento foi utilizado um sistema de calculo criado em Excel, de forma a através das variáveis do processo conseguir determinar o diâmetro do veio no local onde se encontra cada engrenagem. Este dimensionamento foi feito à Estática e à Dinâmica. Existem alguns erros de dimensionamento não corrigidos.

1. Discente: Ivan Soares Nº2121005
Grupo Nº 31
Junho 2014 Unidade Curricular: Órgãos de Máquinas I
Docente: António Mário Henriques Pereira
Instituto Politécnico de Leiria – Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Engenharia Mecânica
Projeto de um Veio de Transmissão
de “Caixa de Velocidades de
Automóvel”

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INDICE
Introdução....................................................................................................................... 5
Dimensionamento ........................................................................................................... 6
1. Dados _________________________________________________________ 6
2. Calculos Iniciais__________________________________________________ 7
1. Calculo dos Diâmetros das Engrenagens_____________________________ 7
2. Cálculo do Momento Torsor ______________________________________ 8
3. Calculo das Forças e das Suas Componentes _________________________ 9
3. Analise Estática_________________________________________________ 11
1. Calculo das Reações nos Apoios __________________________________ 11
2. Calculo dos Momentos Fletores __________________________________ 13
3. Cálculo das Tensões Nominais____________________________________ 14
4. Cálculo das Tensões Normais e de Corte Máximas____________________ 14
5. Cálculo das Tensões Equivalentes _________________________________ 15
6. Critério de Dimensionamento ____________________________________ 16
4. Análise à Fadiga ________________________________________________ 19
1. Calculo das Tensões Máximas ____________________________________ 19
2. Calculo das Tensões Aplicadas Equivalentes e Tensões Médias __________ 20
3. Cálculo da Tensão Admissível à Fadiga _____________________________ 21
4. Critério de Dimensionamento ____________________________________ 24
5. Análise Dinâmica _______________________________________________ 26
1. Calculo das Potências___________________________________________ 26

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2. Calculo dos Momentos Torsores __________________________________ 26
3. Calculo das Forças e das Suas Componentes ________________________ 27
4. Calculo das Reações nos Apoios __________________________________ 30
5. Calculo dos Momentos Fletores e Torsores _________________________ 32
6. Calculo das Tensões Normais e de Corte Máximas ____________________ 34
7. Cálculo da Tensão Admissível à Fadiga, σfadm ________________________ 36
8. Cálculo do número de Ciclos de Rotura_____________________________ 37
9. Aplicação da Lei de Miner _______________________________________ 41
Conclusão ...................................................................................................................... 43
Desenhos ........................................................................................................................ 44
Anexos............................................................................................................................ 46

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INDICE DE TABELAS
Tabela 1 - Dados Fornecidos............................................................................................ 6
Tabela 2 – Engrenagens e Relação de Transmissão......................................................... 6
Tabela 3 – Dados das Engrenagens .................................................................................. 7
Tabela 4 - Valores de Forças e suas Componentes ........................................................ 10
Tabela 5 – Dados da Analise Estática ............................................................................ 18
Tabela 6 – Fatores de Concentração de Tensões............................................................ 19
Tabela 7 – Dados calculados em σfadm............................................................................ 23
Tabela 8 – Dados referentes à análise à Fadiga.............................................................. 25
Tabela 9 – Forças nas Engrenagens e suas Componentes para 1ºBloco ........................ 29
Tabela 10 – Forças nas Engrenagens e suas Componentes para 2ºBloco ...................... 29
Tabela 11 – Forças nas Engrenagens e suas Componentes para 3ºBloco ...................... 29
Tabela 12 – Valores das Reações nos apoios para Mudanças 1 e 2 ............................... 30
Tabela 13 – Valores das Reações nos apoios para Mudanças 3, 4 e Marcha-Atrás....... 31
Tabela 14 – Momentos Fletores Equivalentes e Momentos Torsores Equivalentes para a
1ª e 2ª Mudança. ............................................................................................................. 32
Tabela 15 – Momentos Fletores Equivalentes e Momentos Torsores Equivalentes para a
3ª, 4ª e Marcha-Atrás...................................................................................................... 33
Tabela 16 – Tensões Alternadas e Médias Equivalentes para a 1ª Mudança................. 34
Tabela 17 – Tensões Alternadas e Médias Equivalentes para a 2ª, 3ª e 4ª Mudança..... 35

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Tabela 18 – Tensões Alternadas e Médias Equivalentes para a Marcha-Atrás.............. 36
Tabela 19 – Tensão Admissível à Fadiga para cada bloco............................................. 36
Tabela 20 – Valores para incógnitas da curva S-N ........................................................ 38
Tabela 21 – Valores do Numero de ciclos de rotura em função do diâmetro para a 1ª
mudança.......................................................................................................................... 39
Tabela 22 – Valores do Numero de ciclos de rotura em função do diâmetro para a 2ª,3ª e
4ª mudança...................................................................................................................... 40
Tabela 23 – Valores do Numero de ciclos de rotura em função do diâmetro para a Marcha-
Atrás ............................................................................................................................... 41
Tabela 24 – Diâmetro do VI para dimensionamento Dinâmico..................................... 42

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INTRODUÇÃO
Neste projeto será efetuado o estudo de um Veio Intermedio (VI) de uma caixa de
velocidades. Este veio deverá ser projeto por forma a descobrir o diâmetro mínimo para
o mesmo, dadas as solicitações as quais será exposto.
Com isso será efetuado inicialmente um dimensionamento ao veio intermedio através de
uma análise estática onde serão apresentados o procedimento completo e todos os
cálculos efetuados para a mudança prioritária. Posto isto serão apresentados alguns dos
procedimentos para as demais mudanças.
Tal como inicialmente será efetuado de seguida um dimensionamento, contudo desta vez
será através de uma analise à fadiga na qual se retirarão os valores para o diâmetro em
cada mudança e se efetuará uma comparação entre as várias mudanças.
Por fim, será necessário efetuar uma analise dinâmica ao veio, sendo que nessa analise a
velocidade é constante enquanto a potencia transmitida é variável no tempo segundo três
situações. Na primeira situação ou primeiro bloco, a 𝑃𝑜𝑡1 = 0,75𝑃𝑜𝑡. Na segunda situação
ou segundo bloco, a 𝑃𝑜𝑡2 = 0,40𝑃𝑜𝑡. Na terceira situação ou terceiro bloco, a 𝑃𝑜𝑡3 =
0,50𝑃𝑜𝑡.
Com isto serão comparados todos os valores obtidos e será feita uma análise geral de onde
serão retiradas conclusões acerca do dimensionamento feito.
Caso possível ainda será feita uma abordagem a um enunciado suplementar sendo este
dividido em três pontos de estudo. Estes três pontos são o dimensionamento à
encurvadura de um sistema, o dimensionamento de parafusos de um sistema ou o
dimensionamento de soldadura de um sistema.

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DIMENSIONAMENTO
1. DADOS
Com o enunciado foi-nos fornecido um conjunto de dados, (1), para facilitar a
compreensão do projeto em mãos. Para cada grupo foi atribuído um conjunto de valores.
Estes valores estão apresentados na seguinte tabela (Tabela 1)
Tabela 1 - Dados Fornecidos
Grupo
Dimensões das Engrenagens
Velocidade
[R.P.M]
Potência
[c.v.]
Mudança
Prioritária
Nº a b c d e f g
31
80 60 160 80 160 180 80 5000 80 1ª
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 m αn β
30 38 34 44 26 22 16 2 20º 35º
Para que exista rotação do Veio Intermedio existe um veio que deve lhe deve
proporcionar movimento, chama-se a esse Veio Principal (VP). O veio Principal está
ligado a uma engrenagem, neste dimensionamento será tratada por Engrenagem 1 (Z1),
que está ligada à primeira engrenagem do VI, a Engrenagem 2 (Z2). Desta ligação de
engrenagens seguem-se outras ligações por forma a voltar a ligar o VI ao VP, a cada tipo
de ligação chama-se de mudança. As relações de mudanças são visíveis na tabela seguinte
(Tabela 2):
Tabela 2 – Engrenagens e Relação de Transmissão
Mudança Engrenagens Relação de Transmissão
1ª 1-2-6-11 3.57
2ª 1-2-5-10 2.30
3ª 1-2-3-8 1.46
4ª 1-2-4-9 1.22
5ª 1-5 1.00
Marcha-atrás 1-2-7-13-12 3.57

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2. CALCULOS INICIAIS
1. Calculo dos Diâmetros das Engrenagens
Visto que serão feitos os dimensionamentos para todas as mudanças, apenas na mudança
prioritária será mostrada a aplicação da fórmula para efetuar o cálculo. Os restantes
diâmetros serão apresentados na tabela abaixo, (Tabela 3), junto com os dois diâmetros
calculados para a mudança prioritária.
Primeiro, deve ser destacado que existem duas fórmulas para calcular os diâmetros
existem duas fórmulas, uma para engrenagens com dentes helicoidais e outra para
engrenagens com dentes retos.
Engrenagens com dentes Helicoidais: 𝒅 =
𝒎 . 𝒁
𝐜𝐨𝐬(𝜷)
Equação 1
Engrenagens com dentes Retos: 𝒅 = 𝒎 . 𝒁 Equação 2
Engrenagem Z1
𝑑 𝑧1 =
2 . 30
cos(35°)
= 73,25 𝑚𝑚
Engrenagem Z2
𝑑 𝑧2 =
2 . 38
cos(35°)
= 92,78 𝑚𝑚
Engrenagem Z6
𝑑 𝑧6 =
2 . 22
cos(35°)
= 53,31 𝑚𝑚
Engrenagem Raio (d/2) [mm] Tipo de Dente Nº Dentes
Z1 36,63 Helicoidal 30
Z2 46,39 Helicoidal 38
Z3 41,51 Helicoidal 34
Z4 53,71 Helicoidal 44
Z5 31,74 Helicoidal 26
Z6 26,86 Helicoidal 22
Z7 16,00 Reto 16
Tabela 3 – Dados das Engrenagens

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2. Cálculo do Momento Torsor
Para efetuar o calculo do momento torsor, foi necessário recorrer a uma formula que
relacionasse os dados que nos foram fornecidos, assim sabendo que:
𝑷 = 𝑴𝒕. 𝒘  𝑴𝒕 =
𝑷
𝒘
Equação 3
Onde:
𝑀𝑡 — Momento Torsor [N.mm]
P — Potencia [Watts]
w — Velocidade Angular [rad/s]
Visto que o objetivo é obter o momento torsor nas unidade acima indicadas, foram
necessárias algumas modificações. Foi necessário converter a Potência (P) da unidade
Cavalos para a unidade Watts, também foi necessário converter a Velocidade Angular
(w) de Rotações por Minuto para Radianos por Segundo, sendo assim, com alguma
pesquisa foi descoberto:
 1c.v. = 735,5 Watts — 80c.v. = 58840 W
 1 r.p.m =
2𝜋
60
rad/s — 5000 r.p.m = 523,59 rad/s
Posto isto é possível determinar o valor do momento torsor sendo que:
𝑀𝑡 =
58840
523,59
= 112,378 𝑁. 𝑚 = 112378 𝑁. 𝑚𝑚
Com isto está determinado o momento torsor do motor, por consequência, do VP. Com
este valor é possível calcular o momento torsor no VI sendo que este sim, é significativo
nos cálculos a efetuar.

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Sabemos através dos dados fornecidos que a relação entre o momento torsor e a
componente tangencial da força aplicada na Engrenagem quando os seus dentes são
Helicoidais é:
𝑴𝒕 = 𝑭𝒕 × 𝒓  Equação 4
 𝐹𝑡 =
𝑀𝑡
𝑟
Logo, sabemos que a força tangencial aplicada na Engrenagem Z1 é:
𝐹𝑡 =
112378
36,63
= 3067,92 𝑁
Com isto é possível também deduzir que a força tangencial proveniente do contacto
entre as Engrenagens Z1 e Z2 é igual, ou seja, 𝐹𝑡𝑍1 = 𝐹𝑡𝑍2 = 3067,92𝑁. Com isto é
possível através da expressão 2 calcular o Momento torsor na Engrenagem Z2 ou seja
no VI.
𝑀𝑡 = 3067,92 × 46,39 = 142320,80 𝑁. 𝑚𝑚
Ficamos assim a saber o valor do Momento Torsor no Veio intermedio para todas as
mudanças.
3. Calculo das Forças e das Suas Componentes
Existem inúmeras formas de calcular as Forças exercidas sobre as Engrenagens e as suas
componentes, contudo com o Enunciado do Projeto foram-nos fornecidas algumas
fórmulas para facilitar os cálculos destes conteúdos. As fórmulas fornecidas foram as
seguintes:
Para Engrenagens de Dentes Helicoidais:
𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 × (
tan𝛼 𝑛
cos 𝛽
)
𝐹𝑎 = 𝐹𝑡 × tan 𝛽
𝐹 =
𝐹𝑡
cos 𝛼 𝑛×cos 𝛽
Para Engrenagens de Dentes Retos:
𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 × tan𝛼 𝑛
𝐹 =
𝐹𝑡
cos 𝛼 𝑛×cos 𝛽

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Engrenagens Z1 e Z2
FrZ1 = FrZ2 = 3067,92 × (
tan 20°
cos 35°
) = 1363,17 N
FaZ1 = FaZ2 = 3067,92 × tan 35° = 2148,21 N
FZ1 = FZ2 =
3067,92
cos20°×cos 35°
= 10290,08 N
Engrenagem Z6
𝐹𝑡 𝑍6
=
142320,80
26,86
= 5299,20 𝑁
FrZ6 = 5299,20 × (
tan 20°
cos 35°
) = 2354,57 N
FaZ6 = 5299,20 × tan 35° = 3710,54 N
FZ6 =
5299,20
cos 20°×cos35°
= 17773,78 N
Com isto estão calculadas as Forças nas Engrenagens as quais fazem parte da Mudança
Prioritária. Para as restantes Engrenagens é possível verificar os valores calculados na
tabela abaixo, (Tabela 4), contudo não serão aqui apresentados os seus cálculos pois não
existe variação no tipo de cálculo apenas variam os valores.
Tabela 4 - Valores de Forças e suas Componentes
Força Tangencial: [N] Radial: [N] Axial: [N] Total: [N]
F1 3067,96 1363,17 2148,21 10290,08
F2 3067,96 1363,17 2148,21 10290,08
F3 3428,89 1523,55 2400,94 11500,68
F4 2649,60 1177,28 1855,25 8886,891
F5 4483,94 1992,33 3139,69 15039,35
F6 5299,20 2354,57 3710,54 17773,78
F7 8895,05 3237,53

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3. ANALISE ESTÁTICA
A análise estática no dimensionamento de um veio divide-se em várias etapas de cálculos.
Estas etapas de cálculos foram estudadas durante o semestre, e através dos apontamentos
de aula, (2), é possível proceder ao dimensionamento. Com os valores acima calculados
será feita a análise estática do veio para a Mudança Prioritária. Quanto às Restantes
Mudanças, todas elas foram feitas contudo os seus valores serão apenas apresentados em
tabelas por forma a comparar os valores obtidos e apresentar um resultado para o valor
do diâmetro do VI.
1. Calculo das Reações nos Apoios
Para saber o valor dos momentos fletores máximos é necessário determinar as reações
nos apoios do veio. Para isso inicia-se uma análise do Diagrama de Corpo Livre, (Figura
1), abaixo apresentado:
Figura 1 – Diagramas de Corpo Livre do Veio Intermedio Segundo a Mudança Prioritária

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A partir do diagrama de corpo livre é possível compreender que necessitamos de calcular
as reações segundo os planos XY e XZ. Para isso é necessário compreender os seguintes
aspetos:
Plano XY:
{
∑ 𝐹𝑦 = 0
∑ 𝑀𝐴,𝑧 = 0
Plano XZ:
{
∑ 𝐹𝑧 = 0
∑ 𝑀𝐴,𝑦 = 0
Com isto podemos deduzir cada um dos sistemas e obter as reações, como abaixo
apresentado:
Plano XY:
{
𝑅 𝑦𝐴 + 𝐹𝑟𝑍6 − 𝐹𝑟𝑍2 + 𝑅 𝑦𝐵 = 0
𝐹𝑟𝑍6 × 𝑏 − 𝐹𝑟𝑍2 × (𝑓 + 𝑒 + 𝑑 + 𝑐 + 𝑏) + 𝑅 𝑦𝐵 × (𝑔 + 𝑓 + 𝑒 + 𝑑 + 𝑐 + 𝑏) = 0

 {
𝑅 𝑦𝐴 + 2354,57 − 1363,17 + 𝑅 𝑦𝐵 = 0
2354,57 × 60 − 1363,17 × 640 + 𝑅 𝑦𝐵 × 720 = 0

 {
𝑅 𝑦𝐴 = −2006,89 𝑁
𝑅 𝑦𝐵 = 1015,49 𝑁
Plano XZ:
{
𝑅 𝑧𝐴 + 𝐹𝑡 𝑍6 − 𝐹𝑡 𝑍2 + 𝑅 𝑧𝐵 = 0
𝐹𝑡 𝑍6 × 𝑏 − 𝐹𝑡 𝑍2 × (𝑓 + 𝑒 + 𝑑 + 𝑐 + 𝑏) + 𝑅 𝑧𝐵 × (𝑔 + 𝑓 + 𝑒 + 𝑑 + 𝑐 + 𝑏) = 0

 {
𝑅 𝑧𝐴 + 5299,20 − 3067,96 + 𝑅 𝑧𝐵 = 0
5299,20 × 60 − 3067,96 × 640 + 𝑅 𝑧𝐵 × 720 = 0

 {
𝑅 𝑧𝐴 = −4516,71 𝑁
𝑅 𝑧𝐵 = 2285,47 𝑁

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2. Calculo dos Momentos Fletores
Visto que o momento Torsor já foi calculado anteriormente, restam calcular os momentos
fletores provocados pelas forças nas Engrenagens. Estes momentos fletores podem ser
obtidos pela multiplicação das forças pelas distâncias aos apoios. Contudo é necessário
calcular um momento fletor equivalente as duas componentes, XY e XZ, de cada
Engrenagem.
𝑀𝑓 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 × 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑏𝑟𝑎ç𝑜) Equação 5
𝑀𝑓𝑒𝑞 = √ 𝑀𝑓𝑋𝑌
2
+ 𝑀𝑓𝑋𝑍
2
Equação 6
Engrenagem Z2
(𝑀𝑓𝑋𝑌) 𝑍2 = 𝑅 𝑦𝐵 × 𝑔 = 1015,49 × 80 = 81 239,2 𝑁
(𝑀𝑓𝑋𝑍) 𝑍2 = 𝑅 𝑧𝐵 × 𝑔 = 2285,47 × 80 = 182 837,6 𝑁
(𝑀𝑓𝑒 𝑞) 𝑍2
= √(𝑀𝑓𝑋𝑌) 𝑍2
2
+ (𝑀𝑓𝑋𝑍) 𝑍2
2
= 200 073,8 𝑁
Engrenagem Z6
(𝑀𝑓𝑋𝑌) 𝑍6 = 𝑅 𝑦𝐵 × 𝑔 = 2006,89 × 60 = 120 413,4 𝑁
(𝑀𝑓𝑋𝑍) 𝑍6 = 𝑅 𝑧𝐵 × 𝑔 = 4516,71 × 60 = 271 002,6 𝑁
(𝑀𝑓𝑒 𝑞) 𝑍6
= √(𝑀𝑓𝑋𝑌) 𝑍6
2
+ (𝑀𝑓𝑋𝑍) 𝑍6
2
= 296 550,1 𝑁

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3. Cálculo das Tensões Nominais
Pelo facto de este veio se tratar de um tubo circular é possível simplificar o cálculo das
Tensões Normais (σ) e de Corte (τ).
Tensões Normais: 𝝈 =
𝟑𝟐×𝑴 𝒇
𝝅×𝒅 𝟑
Equação 7
Tensões de Corte: 𝝉 =
𝟏𝟔×𝑴 𝒕
𝝅×𝒅 𝟑
Equação 8
Engrenagem Z2
𝜎 𝑍2 =
32×200 073,8
𝜋×∗𝑑3
=
2037931,73
𝑑3
[MPa]
𝜏Z2 =
16×142 320,8
𝜋×𝑑3
=
724 833,88
𝑑3
[MPa]
Engrenagem Z6
𝜎 𝑍6 =
32×296 550,1
𝜋×𝑑3
=
3 020 631,66
𝑑3
[MPa]
𝜏Z6 = 𝜏Z2 =
16×142 320,8
𝜋×𝑑3
=
724 833,88
𝑑3
[MPa]
4. Cálculo das Tensões Normais e de Corte Máximas
Visto que o veio está submetido a cargas de flexão e de torção combinadas, sabemos que
o coeficiente de concentração de tensões é igual a 3.
𝐾𝑡𝑡 = 𝐾𝑡𝑓 = 3
Sabemos assim que para tensões Normais e que para tensões de Corte:
𝝈 𝒎á𝒙 = 𝑲 𝒕𝒇 ∗ 𝝈 Equação 9
𝝉 𝒎á𝒙 = 𝑲 𝒕𝒕 × 𝝉 Equação 10

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Engrenagem Z2
𝜎Z2 𝑚á𝑥
=
6 113 806,4
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
𝜏Z2 𝑚á𝑥
=
2 174 501,6
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
Engrenagem Z6
𝜎Z6 𝑚á𝑥
=
9 061 904,6
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
𝜏Z6 𝑚á𝑥
=
2 174 501,6
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
Concluímos assim o cálculo das tensões aplicadas sobre o VI.
5. Cálculo das Tensões Equivalentes
Visto que existem Tensões aplicadas não só normais mas também de corte, é necessário
calcular uma tensão equivalente a estas tensões. Para este cálculo é necessário recorrer ao
critério de Tresca ou ao critério de Von Mises. Visto à pertinaz utilização do Critério de
Von Mises ao longo da unidade curricular, este é o critério de escolha neste cálculo.
𝜎𝑒𝑞 𝑚á𝑥
= √𝜎 𝑚á𝑥
2 + 3 × 𝜏 𝑚á𝑥
2 (Critério de Von Mises)
𝜎𝑒𝑞2
=
7 180 807,8
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
𝜎𝑒𝑞6
=
9 813 434,0
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
Determinando as tensões equivalentes apenas nos resta efetuar mais um cálculo. Calculo
esse que se trata da aplicação do critério de dimensionamento.

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Figura 2 – Dados relativos ao coeficiente de Segurança
6. Critério de Dimensionamento
O critério de dimensionamento trata-se da comparação entre a tensão aplicada sobre o
corpo em estudo com uma tensão admissível. A tensão aplicada foi anteriormente
calculada sendo que o nome a si atribuído foi de tensão equivalente. A tensão admissível
depende de dois fatores, da tensão cedência ou rotura e por um coeficiente de segurança
do material. Face a este caso será utilizada a tensão de cedência do material contudo é
primeiro necessário escolher um material e para isso será utilizado um catálogo online
fornecido pela empresa Böhler da Universal Afir – Aços especiais e ferramentas, S.A.,
(3).
O aço escolhido para esta aplicação é da Marca BOZD, nº1.1191. Possui uma tensão de
rotura, σr, superior ou igual a 578 N/mm2
e uma tensão de cedência, σc, superior ou igual
a 323 N/mm2
.
𝜎𝑐 ≥ 323 [𝑀𝑃𝑎]
Com a tensão de cedência determinada a partir da escolha do material através do catálogo
acima indicado é necessário indicar um coeficiente de segurança dependente das
seguintes condições.

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Como na figura acima mostrada, (Figura 2), podemos deduzir pelos dados reunidos que
conhecemos bem o material em questão, sendo que as suas propriedades, composição e
tratamentos térmicos estão definidos, também sabemos pelos cálculos efetuados
anteriormente que as tensões e as cargas são conhecidas e por fim sabemos que as
condições ambientais são favoráveis a este material e não variam tendo em conta o seu
tipo de funcionamento. A partir disto podemos deduzir que o nosso coeficiente de
segurança “n” se encontra entre 1,5 e 2. Nesta situação utilizaremos o valor de 1,5.
𝑛 = 1,5
Por fim sabemos que o nosso critério de dimensionamento é:
𝜎 𝑎𝑝𝑙 ≤ 𝜎 𝑎𝑑𝑚 
 𝜎𝑒𝑞 ≤
𝜎 𝑐
𝑛
Engrenagem Z2
7 180 807,8
𝑑3 ≤
323
1,5

 𝑑2 ≥ 32,19 𝑚𝑚
Engrenagem Z6
9 813 434,0
𝑑3
≤
323
1,5

 𝑑6 ≥ 35,72 𝑚𝑚

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Foi desta maneira possível determinar os diâmetros para o veio consoante todas as
Engrenagens, localizando-se os valores na tabela abaixo, (Tabela 5 – Dados da Analise
Estática):
Mudança Engrenagem Momento Equivalente
Tensões Máximas:
[
𝜎/𝜏
𝑑3 𝑀𝑃𝑎]
Tensão Equivalente:
[
𝜎/𝜏
𝑑3 𝑀𝑃𝑎]
Diâmetro:
[d ≥ x mm]
1ª
Z2
Fletor 200 073,8 N.mm Normais 6 113 806,4 MPa
7 180 807,8 MPa 32,19 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Z6
Fletor 296 550,1 N.mm Normais 9 061 904,6 MPa
9 813 434,0 MPa 35,72 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
2ª
Z2
Fletor 118 792,2 N.mm Normais 3 630 022,7 MPa
5 230 911,7 MPa 28,96 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Z5
Fletor 667 560,6 N.mm Normais 2 0399 149,5 MPa
20 743 931,0 MPa 45,84 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
3ª
Z2
Fletor 19 066,6 N.mm Normais 582 632,0 MPa
3 811 145,8 MPa 26,06 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Z3
Fletor 451 682,2 N.mm Normais 13 802 390,4 MPa
14 307 038,5 MPa 40,50 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
4ª
Z2
Fletor 142 086,3 N.mm Normais 4 341 838,8 MPa
5 747 776,6 MPa 28,89 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Z4
Fletor 1 186 454,9 N.mm Normais 36 255 390,1 MPa
36 450 496,3 MPa 55,32 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Marcha
Atrás
Z2
Fletor 322 725,3 N.mm Normais 9 861 759,2 MPa
10 556 498,8 MPa 36,60 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Z7
Fletor 608 735,1 N.mm Normais 18 601 575,4 MPa
18 979 040,5 MPa 44,50 mm
Torsor 142 320,8 N.mm Corte 2 174 501,6 MPa
Tabela 5 – Dados da Analise Estática
Com a análise Estática efetuada é possível conclui que o veio deve variar, entre as secções
as quais contêm as engrenagens Z7 e Z2, de diâmetro entre os valores de 56 mm e 37
mm. Estas transições podem ser feitas suavemente com raio de 0 (zero), visto que não
existem concentrações de tensões ou alterações da configuração consideradas no mesmo.
Fica assim concluída a análise Estática ao Veio Intermedio da Caixa de Velocidades.

20. Página | 19
4. ANÁLISE À FADIGA
Tal como a análise Estática, a análise à Fadiga divide-se por várias Etapas de Cálculos,
(4). Contudo estes dois tipos de análise são muito diferentes um do outro. Nesta segunda
analise iremos dimensionar diferentes diâmetros para o VI, diâmetros estes que permitem
com que o VI seja solicitado sem que se dê a rotura do mesmo.
Visto que na análise estática anteriormente efetuada já obtivemos valores para os
momentos fletores, momentos torsores e Tensões Nominais no veio não será mais
necessário calcula-los. Alguns desses valores são visíveis na Tabela final da análise
Estática, (Erro! A origem da referência não foi encontrada.).
1. Calculo das Tensões Máximas
Iniciando assim o cálculo das tensões máximas. Sabemos que desta vez os fatores de
concentração de tensões vária. Estes são nos fornecidos numa tabela, essa tabela encontra-
se abaixo, (Tabela 6):
Tabela 6 – Fatores de Concentração de Tensões
Sabendo que o valor da dureza do aço é de 207 HB (≥200 HB), o qual é verificado na
ficha técnica do aço (em anexo), e optando por um escatel por fresa de topo, obtemos que
o nosso aço possuirá os seguintes fatores de contração de tensões:
Kff = 2,0 (Fator de Concentração de Tensões à Flexão)
Kft = 1,6 (Fator de Concentração de Tensões à Torção)

21. Página | 20
Como previamente mostrado sabemos que os valores para o calculo das tensões máximas
são, para tensões Normais, 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝐾𝑡𝑓 ∗ 𝜎 e que para tensões de Corte, 𝜏 𝑚á𝑥 = 𝐾𝑡𝑡 × 𝜏 .
Engrenagem Z2
𝜎Z2 𝑚á𝑥
=
4 075 870,9
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
𝜏Z2 𝑚á𝑥
=
1 159 734,2
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
Engrenagem Z6
𝜎Z6 𝑚á𝑥
=
6 041 269,7
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
𝜏Z6 𝑚á𝑥
=
1 159 734,2
𝑑3 [𝑀𝑃𝑎]
2. Calculo das Tensões Aplicadas Equivalentes e Tensões Médias
O dimensionamento à fadiga é diferente do dimensionamento à estática, isto porque, nesta
situação são aplicadas solicitações dinâmicas ou seja que variam a sua amplitude
consoante o tempo. Mais especificamente o momento fletor, este trata-se de uma
solicitação de amplitude constante sendo que o momento torsor é estático pois não existe
variação de potencia nem/ou velocidade do veio.
A Partir disto sabemos:
𝝈 𝒂 𝒆𝒒
= √𝝈 𝒎á𝒙
𝟐 ⟺ 𝝈 𝒂 𝒆𝒒
= 𝝈 𝒎á𝒙 Equação 11
𝝈 𝒎 𝒆𝒒
= √𝟑 ∗ 𝝉 𝒎á𝒙
𝟐 ⇔ 𝝈 𝒎 𝒆𝒒
= √𝟑 ∗ 𝝉 𝒎á𝒙 Equação 12

22. Página | 21
Figura 3 – Ciclos de Amplitude Constante
Desta pequena introdução podemos concluir que a tensão aplicada equivalente provem
da solicitação do momento fletor e que através do momento torsor é possível obter o valor
da tensão média. Logo os valores para essas tensões serão:
(𝜎 𝑎 𝑍2
) 𝑒𝑞 =
4 075 870,9
𝑑3 [𝑀𝑃𝑎]
(𝜎 𝑎 𝑍6
) 𝑒𝑞 =
6 041 269,7
𝑑3 [𝑀𝑃𝑎]
𝜎 𝑚𝑒𝑑 𝑍2
=
2 008 718,6
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
𝜎 𝑚𝑒𝑑 𝑍6
=
2 008 718,6
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
3. Cálculo da Tensão Admissível à Fadiga
Visto que já calculamos a Tensão Aplicada ao veio apenas nos resta calcular a Tensão
Admissível à Fadiga. Para efetuar-mos este cálculo utilizamos a equação fornecida pelo
docente durante as aulas.
𝝈 𝒇 𝒂𝒅𝒎
= 𝑲 𝒔 ∗ 𝑲 𝒕
∗
∗ 𝑲 𝒇𝒃 ∗ 𝑲 𝑻 ∗
𝝈 𝒇
𝑲 𝒇∗𝒏
Equação 13
Para a utilização desta equação é necessário determinar cada um dos seus parâmetros.

23. Página | 22
Coeficiente de acabamento superficial, ks
Para materiais não ferrosos, este parâmetro considera-se igual a 1 (um). Contudo isto não
se verifica. Tendo em conta que sabemos através da ficha técnica do material que este
tem uma Tensão de Rotura, σr, de 578 MPa. Sabemos que o Aço também sofreu um
forjamento logo podemos assumir através de analise gráfica que o seu ks é
aproximadamente 0,46.
Coeficiente de tamanho, kt
*
Este coeficiente depende do diâmetro do veio em causa. Visto que é essa a incógnita em
causa nesta analise à Fadiga, admitiremos para este parâmetro um diâmetro de 46 pois
através da análise estática verificamos que o veio não teria um diâmetro superior a 56
mm. Daqui retiramos que: 𝑘 𝑡
∗
= 1,24 ∗ d−0,107
𝑘 𝑡
∗
= 1,24 ∗ 46−0,107
𝑘 𝑡
∗
= 0,82.
Coeficiente de fiabilidade, kfb
O valor deste parâmetro depende do valor para a fiabilidade. No caso deste veio a
fiabilidade é de 98%. Logo é necessário efetuar uma interpolação Linear.
𝑥−0,868
0,814−0,868
=
98−95
99−95
𝑥 = 0,828
Com isto sabemos que o valor de kfb é de 0,828.
Coeficiente de Temperatura, kt
Relativamente à temperatura não nos é dada qualquer informação acerca da mesma. Desta
maneira o valor de kt é assumido como 1, ou seja, T≤100o
C.
Coeficiente de resistência à Fadiga, kf
Visto ter sido já utilizado no cálculo das tensões máximas não é necessário voltar a
calcular este parâmetro nesta fase.

24. Página | 23
Coeficiente de segurança, n
Tal como na estática, o coeficiente de segurança tem o mesmo valor, n=1,5
Tensão limite de fadiga, σf
Dado que a Tensão Média, σm, é diferente de zero. Temos que, 𝜎𝑓 = 𝜎𝑓0[1 − (
𝜎 𝑚
𝜎 𝑟
)]
segundo o critério de Goodman. Logo sabemos que, 𝜎𝑓0 = 0,5 × 𝜎𝑟 dado que 𝜎𝑟 <
1400𝑀𝑃𝑎. Portanto
𝜎𝑓0 = 0,5 × 578 = 289 𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝑚
𝜎 𝑟
=
2 008 718,6
𝑑3
578


𝜎 𝑚
𝜎 𝑟
=
2 008 718,6
463
578
 (admitimos assim um diâmetro de 46 como no calculo do parâmetro kt
*
)

𝜎 𝑚
𝜎 𝑟
= 0,0357
𝜎𝑓 = 289 × [1 − (0,0357)]  𝜎𝑓 = 278.68 𝑀𝑃𝑎
Finalmente é possível calcular o valor de σfadm.
𝜎𝑓 𝑎𝑑𝑚
= 0,46 ∗ 0,82 ∗ 0,828 ∗ 1 ∗
278.68
1,5
 𝜎𝑓 𝑎𝑑𝑚
= 58,03 𝑀𝑃𝑎
Na seguinte tabela, (Tabela 7), seguinte apresentam-se os dados obtidos no cálculo da
tensão admissível à fadiga.
ks kt
*
kfb kt n σf σfadm
0,46 0,82 0,828 1,00 1,50 278,68 MPa 58,03 MPa
Tabela 7 – Dados calculados em σfadm

25. Página | 24
4. Critério de Dimensionamento
Apos todos os procedimentos conseguimos assim avançar para a aplicação do critério de
dimensionamento. Nesta situação o pretendido é que tenhamos um Numero de Ciclos, Nr,
infinito. Para esta situação sabemos com base nas aulas que o critério de
dimensionamento é:
𝝈 𝒂 𝒆𝒒
≤ 𝝈 𝒇 𝒂𝒅𝒎
Equação 14
Assim sendo podemos retirar o diâmetro do veio nas secções desejadas.
Engrenagem Z2
(𝜎 𝑎 𝑍2
) 𝑒𝑞 =
4 075 870,9
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
4 075 870,9
𝑑3
≤ 58,03  𝑑 ≥ 41,26 𝑚𝑚
Engrenagem Z6
(𝜎 𝑎 𝑍6
) 𝑒𝑞 =
6 041 269,7
𝑑3
[𝑀𝑃𝑎]
6 041 269,7
𝑑3 ≤ 58,03  𝑑 ≥ 47,04 𝑚𝑚
Está neste caso concluída a analise à fadiga do veio. Através desta análise é possível
verificar o comportamento do veio quando sujeito as solicitações mostradas.
Através do mesmo processo mostrado nos cálculos acima é possível retirar valores para
os diâmetros nas secções criticas sendo que todos esses valores estão apresentados na
tabela a seguir mostrada, (Tabela 8):

26. Página | 25
Mudança Engrenagem
Tensão Média:
[
𝝈
𝒅 𝟑]
Tensão Aplicada:
[
𝝈
𝒅 𝟑]
Tensão Admissível à
Fadiga
Diâmetro
1ª
Z2
2008718,6 MPa
4075870,9 MPa
58,03 MPa
41,26 mm
Z6 6041269,7 MPa 47,04 mm
2ª
Z2 2420015,2 MPa 34,68 mm
Z5 13599433,0 MPa 61,65 mm
3ª
Z2 388421,3 MPa 18,85 mm
Z3 9201593,6 MPa 54,13 mm
4ª
Z2 2894559,2 MPa 36,81 mm
Z4 24170260,1 MPa 74,68 mm
Marcha
Atrás
Z2 6574506,1 MPa 48,39 mm
Z7 12401050,3 MPa 59,79 mm
Tabela 8 – Dados referentes à análise à Fadiga
Através desta análise podemos concluir que o veio intermedio deve possuir um
diâmetro inicial do veio seria d cerca 49 mm e aumentaria até cerca de 60 mm sendo
que na secção da engrenagem Z4 existiria uma variação para um diâmetro de 75 mm
por forma a resistir às tensões provocadas pelos momentos.

27. Página | 26
5. ANÁLISE DINÂMICA
Esta análise é constituída pela divisão em 3 blocos. Sabemos ainda que estes blocos são
ciclos de amplitude de tensão variável. Apesar de na analise anterior ter-mos utilizado
valores calculados na analise Estática, nesta não se passa o mesmo visto haver uma
variação da potencia transmitida em cada bloco. Assim iniciaremos a análise Dinâmica
com os cálculos dos dados iniciais.
1. Calculo das Potências
 1º Bloco: Pot1 = 0,75 Pot ⇔ Pot1 = 47 538,369 [W]
 2º Bloco: Pot2 = 0,40 Pot ⇔ Pot2 = 25 353,797 [W]
 3º Bloco: Pot3 = 0,50 Pot ⇔ Pot3 = 31 692,246 [W]
2. Calculo dos Momentos Torsores
Através das equações acima desenvolvidas, (Erro! A origem da referência não foi
encontrada.) e (Erro! A origem da referência não foi encontrada.), é possível calcular
para ambos os veios os momentos torsores em cada um dos blocos.
Para o Veio Principal
 1º Bloco: 𝑀𝑡 =
44130
523,59
= 84283,5 𝑁. 𝑚𝑚
 2º Bloco: 𝑀𝑡 =
23536
523,59
= 44951,2 𝑁. 𝑚𝑚
 3º Bloco: 𝑀𝑡 =
29420
523,59
= 56189,0 𝑁. 𝑚𝑚
Para o Veio Intermédio
𝑀𝑡 = 𝐹𝑡 × 𝑟  𝐹𝑡 =
𝑀𝑡
𝑟
a) Cálculo da Força Tangencial na engrenagem Z1
 1º Bloco: 𝐹𝑡 𝑍1
=
84283,5
36,63
= 2301,37 𝑁
 2º Bloco: 𝐹𝑡 𝑍1
=
44951,2
36,63
= 1227,40 𝑁
 3º Bloco: 𝐹𝑡 𝑍1
=
56189,0
36,63
= 1534,24 𝑁

28. Página | 27
b) Cálculo do Momento Torsor No VI
Como mencionado anteriormente, o Valor da Força Tangencial na engrenagem Z1 é igual
ao valor da Força Tangencial na engrenagem Z2 logo é possível calcular o Momento
Torsor no VI através da expressão utilizada anteriormente.
 1º Bloco: 𝑀𝑡 = 2301,37 × 46,39 = 106759,1 N. mm
 2º Bloco: 𝑀𝑡 = 1227,40 × 46,39 = 56938,2 N. mm
 3º Bloco: 𝑀𝑡 = 1534,24 × 46,39 = 71172,7 N. mm
3. Calculo das Forças e das Suas Componentes
Engrenagens Z1 e Z2
 1º Bloco
FrZ1 = FrZ2 = 2301,37 × (
tan 20°
cos 35°
) = 1022,56 N
FaZ1 = FaZ2 = 2301,37 × tan 35° = 1611,43 N
FZ1 = FZ2 =
2301,37
cos20°×cos 35°
= 7718,90 N
 2º Bloco
FrZ1 = FrZ2 = 1227,40 × (
tan 20°
cos 35°
) = 545,36 N
FaZ1 = FaZ2 = 1227,40 × tan 35° = 859,43 N
FZ1 = FZ2 =
1227,40
cos20°×cos 35°
= 4116,75 N
 3º Bloco
FrZ1 = FrZ2 = 1534,24 × (
tan 20°
cos 35°
) = 681,70 N
FaZ1 = FaZ2 = 1534,24 × tan 35° = 1074,29 N
FZ1 = FZ2 =
1534,24
cos20°×cos 35°
= 5145,93 N

29. Página | 28
Engrenagem Z6
 1º Bloco
𝐹𝑡 𝑍6
=
106 759,1
26,86
= 3975,09 N
FrZ6 = 3975,09 × (
tan 20°
cos 35°
) = 1766,23 N
FaZ6 = 3975,09 × tan 35° = 2783,39 N
FZ6 =
3975,09
cos 20°×cos35°
= 13332,65 N
 2º Bloco
𝐹𝑡 𝑍6
=
56 938,2
26,86
= 2120,05 N
FrZ6 = 2120,05 × (
tan 20°
cos 35°
) = 941,99 N
FaZ6 = 2120,05 × tan 35° = 1484,47 N
FZ6 =
2120,05
cos 20°×cos35°
= 7110,75 N
 3º Bloco
𝐹𝑡 𝑍6
=
71 172,7
26,86
= 2650,06 N
FrZ6 = 2650,06 × (
tan 20°
cos 35°
) = 1177,49 N
FaZ6 = 2650,06 × tan 35° = 1855,59 N
FZ6 =
2650,06
cos 20°×cos35°
= 8888,43 N

30. Página | 29
Para as Restantes Engrenagens foram feitas tabelas. Detemos três tabelas ao todo, cada
um correspondente a uma potência de veio diferente, ou seja a um bloco diferente. Para
o 1º Bloco temos a primeira tabela, (Tabela 9), para o 2º Bloco a segunda tabela, (Tabela
10), e por fim para o 3º e ultimo Bloco temos a terceira tabela, (Tabela 11).
Engrenagem Tangencial: Radial: Axial: Total
F1 2301,37 N 1022,56 N 1611,43 N 7718,90 N
F2 2301,37 N 1022,56 N 1611,43 N 7718,90 N
F3 2572,12 N 1142,86 N 1801,01 N 8627,01 N
F4 1987,54 N 883,12 N 1391,69 N 6666,32 N
F5 3363,54 N 1494,51 N 2355,17 N 11281,47 N
F6 3975,09 N 1766,23 N 2783,39 N 13332,65 N
F7 6672,44 N 2428,57 N
Tabela 9 – Forças nas Engrenagens e suas Componentes para 1ºBloco
Engrenagem Tangencial: Radial: Axial: Total
F1 1227,40 N 545,36 N 859,43 N 4116,75 N
F2 1227,40 N 545,36 N 859,43 N 4116,75 N
F3 1371,80 N 609,52 N 960,54 N 4601,07 N
F4 1060,02 N 471,00 N 742,24 N 3555,37 N
F5 1793,89 N 797,07 N 1256,09 N 6016,78 N
F6 2120,05 N 941,99 N 1484,47 N 7110,75 N
F7 3558,64 N 1295,24 N
Tabela 10 – Forças nas Engrenagens e suas Componentes para 2ºBloco
Engrenagem Tangencial: Radial: Axial: Total
F1 1534,24 N 681,70 N 1074,29 N 5145,93 N
F2 1534,24 N 681,70 N 1074,29 N 5145,93 N
F3 1714,74 N 761,90 N 1200,68 N 5751,34 N
F4 1325,03 N 588,74 N 927,80 N 4444,22 N
F5 2242,36 N 996,34 N 1570,12 N 7520,98 N
F6 2650,06 N 1177,49 N 1855,59 N 8888,43 N
F7 4448,30 N 1619,05 N
Tabela 11 – Forças nas Engrenagens e suas Componentes para 3ºBloco

31. Página | 30
4. Calculo das Reações nos Apoios
Visto que anteriormente já foi mostrado o método para efetuar o calculo das reações nos
apoios e sabemos que o veio não varia, apenas serão apresentados nas tabelas seguintes
os valores para as reações em todas as mudanças, (Tabela 12) e (Tabela 13).
Mudança Bloco Reação Apoio
1ª
1º
Eixo Y
A -1505,43 N
B 761,75 N
Eixo Z
A -3388,12 N
B 1714,40 N
2º
Eixo Y
A -802,90 N
B 406,27 N
Eixo Z
A -1807,00 N
B 914,35 N
3º
Eixo Y
A -1003,62 N
B 507,84 N
Eixo Z
A -2258,75 N
B 1142,93 N
2ª
1º
Eixo Y
A -1232,10 N
B 602,94 N
Eixo Z
A -2772,96 N
B 1356,98 N
2º
Eixo Y
A -1232,10 N
B 602,94 N
Eixo Z
A -2772,96 N
B 1356,98 N
3º
Eixo Y
A -1232,10 N
B 602,94 N
Eixo Z
A -2772,96 N
B 1356,98 N
Tabela 12 – Valores das Reações nos apoios para Mudanças 1 e 2

32. Página | 31
3ª
1º
Eixo Y
A -398,71 N
B 238,33 N
Eixo Z
A -897,33 N
B 536,39 N
2º
Eixo Y
A -398,71 N
B 238,33 N
Eixo Z
A -897,33 N
B 536,39 N
3º
Eixo Y
A -398,71 N
B 238,33 N
Eixo Z
A -897,33 N
B 536,39 N
4ª
1º
Eixo Y
A -535,29 N
B 721,17 N
Eixo Z
A -1204,72 N
B 1623,07 N
2º
Eixo Y
A -535,29 N
B 721,17 N
Eixo Z
A -1204,72 N
B 1623,07 N
3º
Eixo Y
A -535,29 N
B 721,17 N
Eixo Z
A -1204,72 N
B 1623,07 N
Marcha-
Atrás
1º
Eixo Y
A -3445,80 N
B 1571,43 N
Eixo Z
A -9542,50 N
B 3715,41 N
2º
Eixo Y
A -3445,80 N
B 1571,43 N
Eixo Z
A -9542,50 N
B 3715,41 N
3º
Eixo Y
A -3445,80 N
B 1571,43 N
Eixo Z
A -9542,50 N
B 3715,41 N
Tabela 13 – Valores das Reações nos apoios para Mudanças 3, 4 e Marcha-Atrás
Mudança Bloco Reação Apoio

33. Página | 32
5. Calculo dos Momentos Fletores e Torsores
Através das equações anteriores, (𝑀𝑓 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 × 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑏𝑟𝑎ç𝑜)
Equação 5) e (𝑀𝑓𝑒 𝑞 = √ 𝑀𝑓𝑋 𝑌
2
+ 𝑀𝑓𝑋 𝑍
2
Equação 6), é
possível determinar tantos os momentos fletores, como os momentos torsores. Logo
apenas serão apresentados os resultados dos momentos Fletores e Torsores, equivalentes,
para cada uma das mudanças e respetivos blocos nas tabelas abaixo mostradas, (Tabela
14) e (Tabela 15).
Mudança Bloco Engrenagem Momento Fletor Equivalente Momento Torsor Equivalente
1ª
1º
Z2 222451,1596 N.mm
106759,1 N.mm
Z4 150081,3998 N.mm
2º
Z2 118640,6184 N.mm
56938,2 N.mm
Z4 80043,41324 N.mm
3º
Z2 148300,7731 N.mm
71172,7 N.mm
Z4 100054,2666 N.mm
2ª
1º
Z2 667560,606 N.mm
106759,1 N.mm
Z5 118792,2162 N.mm
2º
Z2 667560,606 N.mm
56938,2 N.mm
Z5 118792,2162 N.mm
3º
Z2 667560,606 N.mm
71172,7 N.mm
Z5 118792,2162 N.mm

34. Página | 33
Tabela 14 – Momentos Fletores Equivalentes e Momentos Torsores Equivalentes para a 1ª e 2ª Mudança.

35. Página | 34
3ª
1º
Z2 451682,1683 N.mm
106759,1 N.mm
Z3 46956,51397 N.mm
2º
Z2 451682,1683 N.mm
56938,2 N.mm
Z3 46956,51397 N.mm
3º
Z2 451682,1683 N.mm
71172,7 N.mm
Z3 46956,51397 N.mm
4ª
1º
Z2 395484,9555 N.mm
106759,1 N.mm
Z4 142086,342 N.mm
2º
Z2 395484,9555 N.mm
56938,2 N.mm
Z4 142086,342 N.mm
3º
Z2 395484,9555 N.mm
71172,7 N.mm
Z4 142086,342 N.mm
Marcha-
Atrás
1º
Z2 608735,1319 N.mm
106759,1 N.mm
Z7 322725,3153 N.mm
2º
Z2 608735,1319 N.mm
56938,2 N.mm
Z7 322725,3153 N.mm
3º
Z2 608735,1319 N.mm
71172,7 N.mm
Z7 322725,3153 N.mm
Tabela 15 – Momentos Fletores Equivalentes e Momentos Torsores Equivalentes para a 3ª, 4ª e Marcha-Atrás.

36. Página | 35
6. Calculo das Tensões Normais e de Corte Máximas
Sendo que já foram calculados os momentos fletores e torsores equivalentes, procedeu-
se ao cálculo das tensões nominais. Após se obter as tensões nominais efetuou-se
imediatamente o calculo das Tensões máximas. Visto já ter sido mostrado anteriormente
como calcular ambos os momentos fletores e torsores nominais, (Tensões Normais: 𝝈 =
𝟑𝟐×𝑴 𝒇
𝝅×𝒅 𝟑 Equação 7) e Tensões de Corte: 𝝉 =
𝟏𝟔×𝑴 𝒕
𝝅×𝒅 𝟑 Equação 8), não é
necessário repetir o método o utilizado, da mesma maneira foram utilizadas duas
equações anteriormente analisadas para calcular as tensões máximas normais e de corte,
(𝝈 𝒎á𝒙 = 𝑲 𝒕𝒇 ∗ 𝝈 Equação 9) e (𝝉 𝒎á𝒙 = 𝑲 𝒕𝒕 × 𝝉 Equação 10).
Com este calculo concluído, foram utilizados os resultados para chegar aos valores das
tensões alternadas e médias também através de duas equações previamente mostrada,
(𝝈 𝒂 𝒆𝒒
= √𝝈 𝒎á𝒙
𝟐 ⟺ 𝝈 𝒂 𝒆𝒒
= 𝝈 𝒎á𝒙 Equação 11) e (𝝈 𝒎 𝒆𝒒
= √𝟑 ∗ 𝝉 𝒎á𝒙
𝟐 ⇔
𝝈 𝒎 𝒆𝒒
= √𝟑 ∗ 𝝉 𝒎á𝒙 Equação 12).
Os resultados estão apresentados nas tabelas abaixo, (Tabela 16), () e ().
Mudança Bloco Engrenagem
Tensão Alternada Equivalente:
[
𝝈
𝒅 𝟑]
Tensão Média Equivalente:
[
𝝈
𝒅 𝟑]
1ª
1º
Z2 4531737,81 MPa
295859,51 MPa
Z4 3057433,17 MPa
2º
Z2 2416926,83 MPa
157791,74 MPa
Z4 1630631,02 MPa
3º
Z2 3021158,54 MPa
197239,67 MPa
Z4 2038288,78 MPa

37. Página | 36
Tabela 16 – Tensões Alternadas e Médias Equivalentes para a 1ª Mudança.
2ª
1º
Z2 13599432,99 MPa
295859,51 MPa
Z5 2420015,16 MPa
2º
Z2 13599432,99 MPa
157791,74 MPa
Z5 2420015,16 MPa
3º
Z2 13599432,99 MPa
197239,67 MPa
Z5 2420015,16 MPa
3ª
1º
Z2 9201593,57 MPa
295859,51 MPa
Z3 956590,25 MPa
2º
Z2 9201593,57 MPa
157791,74 MPa
Z3 956590,25 MPa
3º
Z2 9201593,57 MPa
197239,67 MPa
Z3 956590,25 MPa
4ª
1º
Z2 8056753,35 MPa
295859,51 MPa
Z4 2894559,19 MPa
2º
Z2 8056753,35 MPa
157791,74 MPa
Z4 2894559,19 MPa
3º
Z2 8056753,35 MPa
197239,67 MPa
Z4 2894559,19 MPa

38. Página | 37
Tabela 17 – Tensões Alternadas e Médias Equivalentes para a 2ª, 3ª e 4ª Mudança.
Marcha-
Atrás
1º
Z2 12401050,28 MPa
295859,51 MPa
Z7 6574506,14 MPa
2º
Z2 12401050,28 MPa
157791,74 MPa
Z7 6574506,14 MPa
3º
Z2 12401050,28 MPa
197239,67 MPa
Z7 6574506,14 MPa
Tabela 18 – Tensões Alternadas e Médias Equivalentes para a Marcha-Atrás.
7. Cálculo da Tensão Admissível à Fadiga, σfadm
Visto já serem conhecidos os valores para as tensões Alternadas, e Tensões Médias, é
possível calcular o valor da Tensão Admissível à Fadiga. Este cálculo é efetuado através
da 𝝈 𝒇 𝒂𝒅𝒎
= 𝑲 𝒔 ∗ 𝑲 𝒕
∗
∗ 𝑲 𝒇𝒃 ∗ 𝑲 𝑻 ∗
𝝈 𝒇
𝑲 𝒇∗𝒏
Equação 13. Tal como anteriormente
foi necessário arbitrar um valor para o diâmetro, visto não haver contradições utilizou-se
o mesmo valor, 46 mm. Logo todos os valores permanecem constantes e foi possível obter
para a Tensão Admissível à Fadiga em cada bloco, os valores estarão apresentados na
tabela seguinte, (Tabela 19).
Bloco Tensão Admissível à Fadiga
1º 59,86 MPa
2º 60,01 MPa
3º 59,96 MPa
Tabela 19 – Tensão Admissível à Fadiga para cada bloco.

39. Página | 38
Para esta tensão não existe a necessidade de repetir os cálculos para as outras mudanças
visto que não existe variação dos valores para cada bloco a tensão permanece constante
para cada bloco.
8. Cálculo do número de Ciclos de Rotura
Distintamente ao método utilizado nas anteriores análises, nesta é necessário calcular o
número de ciclos de rotura visto que nesta análise o número de ciclos não é infinito ou
seja, existe um número de ciclos para o qual o material tem um valor de tensão máximo
sem entrar em rotura. Para esta situação em especifico, cada um dos blocos existe um
numero de ciclos de rotura pelo que será aplicada a Lei de Miner por forma a efetuar o
dimensionamento do veio. Antes de aplicar esta lei, é necessário descobrir alguns
parâmetros. A Lei de Miner traduz-se segundo a seguinte equação.
∑
𝒏𝒊
𝑵𝒓𝒊
𝒏
𝒊=𝟎 ≥ 𝟏 Equação 15
Desenvolvendo a equação acima mostrada, é possível obter segundo esta aplicação o
seguinte:
𝑛1
𝑁𝑟1
+
𝑛2
𝑁𝑟2
+
𝑛3
𝑁𝑟3
≥ 1
Desta dedução acima mostrada, sabemos também que para um aço com numero de ciclos
de vida infito:
n1: 20% do tempo de aplicação de carga total, 0,2 × 107
n2: 5% do tempo de aplicação de carga total, 0,05 × 107
n3: 75% do tempo de aplicação de carga total, 0,75 × 107

40. Página | 39
Calculo dos valores de b e m
Por forma a construir verificar os valores de Nr, número de ciclos de rotura, é necessário
saber a sua curva de vida, logo é necessário saber pelo menos dois pontos pertencentes a
essa curva. Sabemos então que:
 Nr=103
, temos 0,9σr
 Nr=107
, temos σfadm
A partir daqui é possível deduzir o seguinte sistema:
{
log(0,9 × 𝜎𝑟) = 𝑏 − 𝑚 × log 103
log(𝜎𝑓𝑎𝑑𝑚) = 𝑏 − 𝑚 × log 107
Bloco b m
1º 3,42045 0,23476
2º 3,41963 0,23449
3º 3,41990 0,23458
Tabela 20 – Valores para incógnitas da curva S-N
Tendo sido determinados os valores para as incógnitas da Curva S-N do nosso material,
apresentadas para todos os blocos na tabela acima, (Tabela 20), podemos admitir que a
sua curva segue a função:
1º Bloco: log(𝜎) = 3,42045 − 0,23476 × log 𝑁𝑟
2º Bloco: log(𝜎) = 3,41963 − 0,23449 × log 𝑁𝑟
3º Bloco: log(𝜎) = 3,41990 − 0,23458 × log 𝑁𝑟
Podemos para além disto concluir que estas funções se repetem em todas as mudanças
visto as suas vareáveis, não mudarem.

41. Página | 40
Cálculo do Numero de Ciclos de Rotura, Nr
Visto já possuirmos todos o valores, é possível calcular o numero de ciclos de rotura para
o veio, sendo assim, através dos apontamentos de aula, sabemos que:
𝝈 𝒂 × 𝑵𝒓 𝒎
= 𝟏𝟎 𝒃
 Equação 16
 𝑁𝑟 = √
10 𝑏
𝜎 𝑎
𝑚
Utilizando a equação acima deduzida podemos calcular então o número de ciclos de
rotura para o bloco. Este número de ciclos é apresentado então, em função do diâmetro
nas tabelas abaixo, (Tabela 21), (Tabela 22) e (Tabela 23).
Mudança Bloco Engrenagem
Número de Ciclos:
[𝑵𝒓/ (
𝟏
𝒅 𝟑
)
𝟏
𝒎
]
1ª
1º
Z2 1,65E-14
Z6 8,80E-14
2º
Z2 2,30E-13
Z6 1,23E-12
3º
Z2 9,00E-14
Z6 4,82E-13
Tabela 21 – Valores do Numero de ciclos de rotura em função do diâmetro para a 1ª mudança

42. Página | 41
2ª
1º
Z2 1,53E-16
Z5 2,38E-13
2º
Z2 1,45E-16
Z5 2,28E-13
3º
Z2 1,48E-16
Z5 2,32E-13
3ª
1º
Z2 8,06E-16
Z3 1,24E-11
2º
Z2 7,68E-16
Z3 1,20E-11
3º
Z2 7,80E-16
Z3 1,21E-11
4ª
1º
Z2 1,42E-15
Z4 1,11E-13
2º
Z2 1,35E-15
Z4 1,06E-13
3º
Z2 1,37E-15
Z4 1,08E-13
Tabela 22 – Valores do Numero de ciclos de rotura em função do diâmetro para a 2ª,3ª e 4ª mudança

43. Página | 42
Marcha-
Atrás
1º
Z2 2,26E-16
Z7 3,37E-15
2º
Z2 2,15E-16
Z7 3,22E-15
3º
Z2 2,19E-16
Z7 3,27E-15
Tabela 23 – Valores do Numero de ciclos de rotura em função do diâmetro para a Marcha-Atrás
Como visível nas tabelas anteriores mostradas, o valor para o numero de ciclos deve ser
dividido pelo valor de; (
1
𝑑3
)
1
𝑚
.
9. Aplicação da Lei de Miner
Como visto anteriormente, agora será aplicada a Lei de Miner por forma a dimensionar o
veio. Para cada mudança serão utilizados os seus 3 blocos. Com isto será necessário
efetuar o seguinte cálculo, como por exemplo para a mudança prioritária para a
engrenagem Z2:
0,2×107
1,65E−14
(
1
𝑑3)
1
0,23476
.
+
0,05×107
2,30E−13
(
1
𝑑3)
1
0,23449
.
+
0,75×107
9,00E−14
(
1
𝑑3)
1
0,23458
.
≥ 1 
 𝑑 ≥ 38,84 𝑚𝑚
Determinamos desta maneira o diâmetro do veio para a secção da engrenagem Z2, da
mesma maneira determinaríamos o diâmetro para qualquer outra secção.

44. Página | 43
Portanto, na seguinte tabela, (Tabela 24), estão os valores para todas as mudanças e
respetivas engrenagens.
Mudança Engrenagem Diâmetro
1ª
Z2 38,84 mm
Z6 34,06 mm
2ª
Z2 60,97 mm
Z5 34,30 mm
3ª
Z2 53,55 mm
Z3 25,18 mm
4ª
Z2 51,24 mm
Z4 36,42 mm
Marcha - Atrás
Z2 59,14 mm
Z7 47,87 mm
Tabela 24 – Diâmetro do VI para dimensionamento Dinâmico
Com estes valores calculados, é possível concluir que o veio deverá inicialmente ter um
diâmetro de 61 mm que deverá decrescer até um valor de 48 mm gradualmente sem
grandes variações de secção por forma a diminuir as concentrações de tensões no mesmo.
Desta maneira fica concluída a análise dinâmica do veio, efetuada através de 3 blocos.

45. Página | 44
CONCLUSÃO
Concluído este conjunto de analises, é possível retirar do mesmo que os valores são
coerentes entre si. É possível verificar durante cada uma das análises a maneira na qual o
veio intermedio é afetado pelas solicitações existentes no conjunto.
Com a realização deste Projeto de dimensionamento foi possível aplicar os
conhecimentos lecionados na unidade curricular pelo que foi benéfico durante a sua
produção. Também devida a realização deste projeto foi possível verificar com diferente
sensibilidade a ação das forças sobre o veio.
Durante a realização deste projeto, em várias ocasiões foi necessário determinar
incógnitas, sendo uma destas o diâmetro final pretendido. Contudo, nas análises à fadiga
e dinâmica, ao calcular a tensão admissível à fadiga, mais em concreto o coeficiente de
tamanho, foi definido um diâmetro médio de 46mm e utilizado o critério 𝑘 𝑡
∗
= 1,24 ∗
d−0,107
. Podemos admitir nesta situação que para a análise à fadiga se possa considerar
um sub-dimensionaremto pelo que as conclusões a esta análise nos mostraram que o veio
necessitaria de um diâmetro medio superior a 51 mm.
Com isto fica assim concluído o Projeto de um Veio de Transmissão de “Caixa de
Velocidades de Automóvel”.

46. Página | 45
DESENHOS
Desenho 1 – Diagrama de Corpo Livre para a 2ª Mudança
Desenho 2 – Diagrama de Corpo Livre para a 3ª Mudança

47. Página | 46
Desenho 3 – Diagrama de Corpo Livre para a 4ª Mudança
Desenho 4 – Diagrama de Corpo Livre para a Marcha-Atrás

48. Página | 47
ANEXOS
Anexo A – Ficha Técnica do Material Utilizado

49. Página | 48
BIBLIOGRAFIA
1. Projeto de um Veio de Transmissão de "Caixa de Velocidades de Um Automóvel".
2013/2014.
2. Apontamentos Órgãos de Máquinas I - Projecto Estático. 2013/2014.
3. Universal Afir - Aços e Ferramentas Especiais, Böhler. [Online]
http://www.universalafir.pt/.
4. Apontamentos Órgãos de Máquinas I - Projecto à Fadiga. 2013/2014.