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  • 1. Nella civiltà classica greca erano fondamentali i rapporti tra le parti, simmetria, armonia, per dar luogo alle teorie delle proporzioni, simmetrie, sezioni auree tutte basate sulla geometria e scienza. Questa fase del processo artistico non era altro che il lavoro preparatorio dello scheletro dell'opera d'arte. In seguito questo modo di concepire è rimasto, diremo sino ai tempi nostri; per non parlare del Rinascimento in cui è proprio la riscoperta e rinascita della geometria e della matematica a creare un vero e proprio modo di vedere il mondo anche dell'arte e non solo. Poi l'espressione artistica subisce una considerevole evoluzione a partire dalla seconda metà dell'Ottocento. Nuove geometrie attraggono gli artisti coinvolgendoli in sperimentazioni diverse nel primo Novecento, con i cubisti, futuristi e suprematisti. Infine arriviamo ai nostri tempi e l'arte si avvale di un altro potente mezzo, lo sviluppo della computer graphics. Di qui la diffusione della geometria dei frattali e la grafica computerizzata. Per non parlare dell'enorme repertorio di forme matematiche di cui si avvale l'arte contemporanea.
  • 2. • In matematica, proporzione è una relazione lineare che intercorre tra due quantità o tra due variabili. • Nell'arte le proporzioni del corpo sono le relazioni fra le singole parti del corpo tra di loro e con l'intero corpo e il loro studio è centrale per la raffigurazione della figura • In architettura la proporzione sono gli equilibrati rapporti tra gli elementi di un edificio, le relazione tra loro e con la totalità in ragione di una ben definita geometria. umana. Cos’è una proporzione? A:B = C:D O A = C B D
  • 3. • Le proporzioni fra le parti del corpo umano sono abbastanza costanti, ma possono variare da persona a persona caratterizzandone l’aspetto. • Nella ricerca delle misure perfette gli artisti di tutti i tempi hanno proposto canoni di bellezza corrispondenti all’ideale di uomo del loro periodo, ideale che è variato nelle diverse epoche e culture. • Nella rappresentazione espressiva del corpo umano e dei suoi sentimenti è fondamentale il gesto e il movimento che assume la figura nello spazio. • Oltre che per fini espressivi, lo studio della figura umana trova applicazione anche nel progettare l’ambiente in cui l’uomo svolge le proprie attività: dall’arredamento e design all’architettura.
  • 4. Canoni proporzionali della figura umana Canone egizio Policleto, Villard de Honnecourt “Modulor” di le Corbusier Canone Con la parola canone intendiamo un insieme di norme codificate, che permettono di dimensionare e proporzionare una forma, sia essa figurativa o architettonica. In altri il termine viene usato in arte per indicare un insieme di norme estetiche codificate come esemplari.
  • 5. I primi tentativi in questo senso risalgono agli antichi Egizi, che usavano come unità di misura i riquadri di una griglia quadrettata sovrapposta al corpo: l’altezza totale poteva variare da 18 a 23 quadretti, un piede doveva misurare tre quadretti e così via.
  • 6. Ma il sistema di sintesi della figura umana ritenuto più valido, tanto che viene usato ancora oggi, è quello descritto da Policleto, un artista greco del V secolo a.C., nel celebre trattato intitolato Canone. Secondo il canone di Policleto, l’unità di misura da cui bisogna partire è l’altezza della testa, pari a 1/8 dell’altezza totale del corpo. Per ricostruire lo schema strutturale della figura umana, quindi, basta prendere come riferimento la misura della testa e riportarla altre 7 volte su un asse verticale. Cominciando dall'alto, il primo segmento si ferma all'altezza del mento; il secondo, alle ascelle; il terzo ai fianchi; il quarto all'inguine; il quinto a metà della coscia, il sesto alle ginocchia; il settimo a metà della parte inferiore delle gambe; l'ottavo arriva fino a terra. Il piede è la sesta parte dell'altezza del corpo e così via
  • 7. Altri parametri del corpo dell'uomo ideale sono ad esempio: il viso, se misurato dal mento alla sommità della fronte, alla radice dei capelli, corrisponde a un decimo dell'altezza del corpo. La stessa proporzione si presenta nella mano aperta se viene misurata dalla sua articolazione fino alla punta del dito medio. L'altezza del viso si divide in tre parti uguali: dal mento alla base delle narici, dal naso fino al punto d'incontro con le sopracciglia e da queste alla radice dei capelli.
  • 8. Villard d'Honnecourt. Studi di rapporti proporzionali tra figure umane, animali, architetture, e figure geometriche. Il sistema gotico (che rappresenta un passo avanti nell'abbandono di quello antico) serve quasi esclusivamente a determinare i contorni e le direzioni del movimento. Così la figura virile in piedi risulta da una costruzione che non ha alcun rapporto con la struttura organica del corpo: la figura (tolta la testa e le braccia) è inserita in un pentagono allungato in senso verticale, il cui vertice superiore è mozzo e il cui lato orizzontale AB è all'incirca un terzo dei lati lunghi AH e BG. Così i punti A e B coincidono con le attaccature delle spalle; i punti G e H con i talloni; J, punto medio della linea AB, determina la posizione della fossetta della gola; e i punti che corrispondono ai terzi dei lati lunghi (C, D, E e F) determinano rispettivamente la posizione dei fianchi e delle ginocchia.
  • 9. Anche le teste delle figure umane (come quelle degli animali) sono costruite non solo sulla base di forme così "naturali" come possono esserlo dei cerchi, ma anche sulla base di un triangolo o addirittura del pentagono già ricordato che, di per sé, è del tutto estraneo alla natura . Le figure di animali (se mai si tenta un qualche genere di articolazione) sono costruite, in modo del tutto inorganico, sulla base di triangoli, quadrati e archi di cerchio.
  • 10. L'uomo vitruviano rivisitatoIl corpo umano ha inoltre un centro che corrisponde all'ombelico. Se infatti "si collocasse supino un uomo colle mani e i piedi aperti e si mettesse il centro del compasso nell'ombelico, descrivendosi una circonferenza si toccherebbero tangenzialmente le dita delle mani e dei piedi. Ma non basta: oltre lo schema del circolo, nel corpo si troverà anche la figura del quadrato. Infatti se si misura dal piano di posa dei piedi al vertice del capo, poi si trasporterà questa misura alle mani distese, si troverà una lunghezza uguale all'altezza, come accade nel quadrato tirato a squadra" Questo brano, in cui Vitruvio riconduce l'uomo ideale (microcosmo) alle figure geometriche della circonferenza e del quadrato - simbolo dell'universo e della terra (macrocosmo) - ha affascinato schiere di architetti che, a partire dal rinascimento, si sono cimentati nella traduzione grafica di tale insegnamento. Fra questi, va ricordato il famoso disegno di Leonardo da Vinci, conservato presso le Gallerie dell'Accademia di Venezia;
  • 11. La quadratura del cerchio "microcosmico" per Leonardo L’uomo non esce dal cerchio; chi esce sono solo gli angoli del quadrato della materia. L’uomo con le gambe chiuse e le braccia aperte sul quadrato forma una croce, il cammino di croce dell’uomo nato dalla materia. L’uomo che tocca con le mani e le gambe aperte, il cerchio dello spirito, è l’uomo che cammina e opera per lo spirito. Quest’uomo forma una stella a cinque punte, dove il quinto punto in alto contiene la testa. Troviamo così il numero cinque al quale Leonardo attribuiva evidentemente molta importanza.
  • 12. Modulor Le Corbusier Le Corbusier sviluppò il Modulor all'interno della lunga tradizione di Vitruvio, l'uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, i lavori di Leon Battista Alberti, e altri tentativi di trovare proporzioni geometriche e matematiche relative al corpo umano e usare queste conoscenze per migliorare sia l'estetica che la funzionalità dell'architettura. Il sistema è basato sulle misure umane, la doppia unità, la sequenza di Fibonacci e la sezione aurea. Le Corbusier lo descriveva come "una gamma di misure armoniose per soddisfare la dimensione umana, applicabile universalmente all'architettura e alle cose meccaniche". Il modulor è anche utile per la rappresentazione della figura umana. Le Corbusier pubblicò Le Modulor nel 1948, seguito da Modulor 2 nel 1955. Le Corbusier usò la scala del Modulor nella progettazione di molti edifici, inclusi Notre Dame du Haute
  • 13. La rappresentazione grafica del Modulor è avvincente e, a una prima occhiata, convincente. Una figura umana stilizzata con un braccio steso sopra il capo si trova vicino a due misurazioni verticali, la serie rossa basata sull'altezza del plesso solare(108 cm nella versione originale, 1.13 m nella versione rivista) poi divisa in segmenti secondo il Phi(simbolo della sezione aurea), e la serie blu basata sull'intera altezza della figura, doppia rispetto all'altezza del plesso solare (216 cm nella versione originale, 2.26 m nella rivista), e divisa in segmenti allo stesso modo. Una spirale, sviluppata graficamente tra la serie rossa e la blu, sembra mimare il volume della figura umana.
  • 14. Il Doriforo è una statua che, come il nome ci indica, ritrae un atleta con un giavellotto in mano. In questa copia romana, (non ci è pervenuto l'originale) conservata al Museo Archeologico di Napoli, manca la lancia che era retta dalla mano sinistra e si appoggiava sulla spalla. Ad un modellato, quindi, essenziale, si unisce però una attenta ricerca di proporzioni. Il corpo è attentamente studiato, non tanto nelle specificità anatomiche, ma soprattutto nelle sue misure. Ciò a cui tende Policleto è un corpo perfetto nel suo insieme, ogni singola parte sta al tutto come avviene in un reale corpo umano idealmente perfetto. La sua ricerca di perfezione è proprio nel mettere a confronto il reale e l'ideale. BELLEZZA IDEALE
  • 15. I rapporti alla base del suo canone sono rilevati da reali misure effettuate sui corpi umani, in particolare dei giovani atleti olimpici; l'ideale è l’effetto a cui tende eliminando ogni difetto che, seppur minimo, è sempre presente in ogni singolo individuo. La statua diviene così un ideale di perfezione umana, superiore alla realtà stessa. Questa statua evidenzia anche, in maniera mirabile, la nuova postura che Policleto inventa per le statue utilizzando il chiasmo. Il termine «chiasmo» deriva dalla lettera greca X (in greco è pronunciata "chi") ed indica una disposizione in cui le parti creano un incrocio. Nel caso delle statue di Policleto la disposizione incrociata è tra gli arti inferiori e gli arti superiori.
  • 16. Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura alla musica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,618...(numero d'oro) •La piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto base/altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6.
  • 17. Nei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen, stanno tra loro nel rapporto di 1,6. - La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.
  • 18. COSTRUZIONE DEL SEGMENTO AUREO Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M. Dall'estremità B tracciare la perpendicolare al segmento fino al ottenere CB= MB. Dal punto C, tracciare con il compasso un semicerchio fino ad incontrare in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio AD, si ottiene il punto E che divide il segmento in due parte con proporzione aurea (AE/EB= 1,618).
  • 19. RETTANGOLO AUREO • Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: • AE:EB=AB:AE
  • 20. Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea:dalle schede telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette: sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618. In natura il rapporto aureo è riscontrabile in molte dimensioni del corpo umano. Se moltiplichiamo per 1,618 la distanza che in una persona adulta e proporzionata, va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la distanza dal gomito alla mano (con le dita tese), moltiplicata per 1,618, dà la lunghezza totale del braccio. La distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata per il numero d'oro, dà la lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare sono aurei, così il volto umano è tutto scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.
  • 21. Il Doriforo e la sezione aurea Qui accanto la foto del Doriforo con sezione aurea, dimostra che Policleto ha utilizzato un rapporto aureo per realizzare il "Canone
  • 22. La sezione aurea, in quanto legge strutturale del corpo umano, ha conosciuto in Leonardo da Vinci (1452-1519) un geniale assertore Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo scoprì che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio. Nella Gioconda, il rapporto aureo è stato individuato: • nella disposizione del quadro • nelle dimensioni del viso • nell’area che va dal collo a sopra le mani • in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.
  • 23. SPIRALE AUREA • Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.
  • 24. LA SEQUENZA DI FIBONACCI Partendo da uno studio molto prosaico, riguardante la riproduzione dei conigli, Fibonacci arrivò a formulare la seguente serie di numeri, che, come vedremo, gode di stranissime proprietà: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ecc. dove ogni numero è dato dalla somma dei due precedenti ( Es: 8 è la somma di 5 3; 21 quella di 13 8 e via dicendo … ) Ma l’ eccezionalità della serie sta nel fatto che ogni numero, diviso per quello che lo precede, dà un decimale che si avvicina in modo sempre più preciso a quell’ 1,618 già chiamato dai Greci col termine di “Phi”, ed assunto a rappresentazione matematica della Bellezza e della Proporzione Divina … quello stesso “Rapporto Aureo” che abbiamo visto fin qui applicato appunto alle forme compositive …
  • 25. • Questo vocabolo indica il tipo di ordine che si riscontra nella disposizione delle varie parti che costituiscono un organismo. • Possiamo classificare la simmetria secondo la diversa collocazione di queste parti rispetto ad un termine di riferimento che puo' essere un punto, una retta o un piano.
  • 26. In natura si parla di forme a simmetria raggiata quando le varie parti del corpo sono disposte intorno ad un asse centrale come i raggi di una ruota, intorno al mozzo. Se consideriamo una stella marina possiamo individuare un punto centrale da cui si dipartono cinque raggi di simmetria, corrispondenti ai bracci della stella, che ruotando di un determinato angolo ricostruiscono la stella stessa .
  • 27. • Se i raggi sono in numero pari si parla di simmetria centrale ; questa tuttavia è maggiormente presente nel regno vegetale. • Esempi di simmetria raggiata si hanno nei Celenterati e negli Echinodermi.
  • 28. In questa immagine si puo' facilmente individuare un piano o una linea che divide la figura in due meta' uguali per forma e dimensione, ma non sovrapponibili: infatti tutto cio' che sta alla destra di questo asse o piano viene come rispecchiato in un elemento uguale che si trova a sinistra. Si tratta di una simmetria bilaterale secondo la quale e' costruita la massima parte degli organismi viventi che si muovono attivamente, anzi la direzione del movimento viene a coincidere in genere col piano di simmetria che passa per l'asse principale del corpo ed è detto piano mediano o sagittale.
  • 29. Nella geometria piana la simmetria assiale, detta anche ribaltamento, e' una particolare rotazione di 180° intorno ad una retta detta asse di simmetria. Due punti A e B si definiscono simmetrici rispetto alla retta r quando tale retta e' asse del segmento che li unisce, cioe' quando una retta r e' perpendicolare al segmento AB nel suo punto medio. Una figura e' simmetrica rispetto ad un asse quando ogni suo punto ammette un simmetrico nella figura rispetto a quell' asse.
  • 30. Il quadrato ha 4 assi di simmetria. Il pentagono ed il triangolo isoscele hanno solo un asse di simmetria. L'esagono ha 3 assi di simmetria. Il cerchio ha infiniti assi di simmetria: i diametri.
  • 31. Nella geometria piana la simmetria centrale e' una particolare rotazione attorno ad un punto, detto centro di simmetria, in cui l' ampiezza di rotazione e' un angolo di 180°. Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto O ( centro di simmetria ) quando questo e' punto medio del segmento che li unisce. Una figura e' simmetrica rispetto ad un centro se ogni suo punto ammette un simmetrico nella figura
  • 32. La parola simmetria proviene dal termine greco "simmetros" che vuol dire ben ordinato, ben proporzionato) fu successivamente sviluppato durante il Rinascimento italiano nella pittura e nell’architettura da Piero della Francesca (1416-1492) e altri.
  • 33. Biagio d´Antonio Annunciazione Roma, Accademia Nazionale di San Luca Il Battesimo di Cristo Piero della Francesca
  • 34. David Donatello
  • 35. Futuristi Suprematisti
  • 36. Grafica Frattali

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