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Numeros complejos
 

Numeros complejos

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Operaciones con números complejos

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    Numeros complejos Numeros complejos Presentation Transcript

    • Números Complejos Circuitos Eléctricos II
    • DefiniciónLa unidad imaginaria j se define como la solución positivade la ecuación j2 + 1 = 0.Es decir, j = −1De la definición se tiene que, j2 = –1 j3 = j j2 = –j j4 = j2 j2= (–1) (–1) = 1 etcétera
    • Un número imaginario puro es el producto de un número real yla unidad imaginaria.Por ejemplo: j5, – j3.5, j7 x 10–5.Un número complejo es la suma de un número imaginariopuro y un número real.En general será de la forma A = a + jb.Utilizaremos el tipo negrita para los números complejos, alescribirlos a mano se usará una barra sobre la letra. En el número A = a + jb, a es la parte real de A y b es la parte imaginaria de A. Estas se designan por a = Re[A] y b = Im[A].
    • Un número real es un número complejo cuya parteimaginaria es cero.Los número complejos sepueden representar en el planoutilizando el eje horizontal parala parte real y el vertical para laparte imaginaria.A esta representación se lellama diagrama de Argand.En la figura se representan losnúmeros complejos A = 3 – j2 yB = –4 + j3.
    • Definición de igualdadDos número complejos son iguales si y solo si las partes realesson iguales y las partes imaginarias son iguales. Es decir, Si A = a + jb y B= c + jd A=B implica a=cyb=d
    • Operaciones con complejosSuma: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)Resta: (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b –d)Multiplicación: (a + jb)(c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)
    • El conjugado de un número complejo A = a + jb se definecomo A* = a – jb.Con esta definición podemos calcular el cociente de doscomplejos A = a + jb y B= c + jd como A/B = (AB*)/(BB*)División: (a + jb)/(c + jd) = ((ac + bd) + j(bc – ad))/(c2 + d2)
    • Tarea #1Sean A = –4 + j5, B = 3 – j2, C = –6 – j5; determinea) C – Bb) –3B* +5Cc) j5C2(A + B)*d) B Re[A] + A Re[B]e) (A + B)/(C – B)
    • Identidad de EulerLas funciones sen θ, cos θ y ez , se pueden desarrollar enseries de potencias como: θ3 θ5 θ7 sen θ = θ − + − + ... 3! 5! 7! θ2 θ4 θ6 cos θ = 1 − + − + ... 2! 4! 6! z z2 z3 z4 z5 e = 1+ + z + + + ... 1! 2! 3! 4! 5!haciendo z = jθ, se obtiene jθ θ θ2 θ3 θ 4 e = 1+ j − −j + ... 1! 2! 3! 4!
    • comparando con las series para seno y coseno se concluyeque e jθ = cos θ + jsen θ es fácil mostrar que cos θ = ½(e jθ + e– jθ ) sen θ = −j ½(e jθ – e– jθ )
    • Forma exponencialMultiplicamos e jθ = cos θ + jsen θ por C Ce jθ = Ccos θ + jCsen θLa segunda parte de la igualdad representa un númerocomplejo A = a + jb.Es fácil ver que a2 + b2 = C2 o C = + a2 + b2También b/a = tan θ o θ = tan–1b/aTambién A = Ce jθ
    • Tarea #2Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizandoun ángulo en el intervalo de –180° a 180°a) –18.5 – j26b) 17.9 – j12.2c) –21.6 + j31.2Exprese cada uno de los números complejos en forma rectangulara) 61.2e–j111.1°b) –36.2ej108°c) 5e–j2.5 ojo el ángulo está en radianes
    • La forma polarLa forma compleja A = Ce jθ se puede abreviar como A= C∠θ.Por ejemplo el número A = –2 + j5 puede escribirse como5.39∠111.8º.La multiplicación y división de complejos es más simpleutilizando la forma polar. Sea A = Ce jθ = C∠θ y B = De jφ = D∠φ, entonces (A)(B) = (C∠θ)(D∠φ) = CD ∠θ+φ (A)/(B) = (C∠θ)/(D∠φ) = C/D ∠θ−φ
    • Relación entre las 3 formasLa siguiente fórmula resume las tres formas de complejos jθ j tan −1 ( b / a ) A = a + jb = Re[ A] + j Im[A] = Ce = a + b e 2 2 = a 2 + b 2 ∠ tan −1 (b / a )
    • Tarea #3Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones denúmeros complejos en forma polar, utilizando seis cifrassignificativas, solo por disfrutar del cálculo:a) (3.44∠25°*8.04∠–46°)/4.5∠56°b) [2 – (1∠–41°)]/(0.3∠41°)c) 50/(2.87∠83.6°+5.16∠63.2°)d) 4∠18° – 6∠–75° + 5∠28°
    • Comandos de Matlab para complejoscomplex(a,b) – regresa el complejo a+jbimag(c) – regresa Im[c]conj(c) – regresa c*angle(c) – regresa el angulo de faseabs(c) – regresa la magnitud de creal(c) – regresa Re[c]isreal(c) – regresa 1 si la parteimaginaria de c es 0
    • EjemplosTarea #1A = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j;% a) C - BC - B% b) -3B* +5C Resultados-3*conj(B) + 5 * C -9.0000 - 3.0000i% c) j5C2(A + B)* -39.0000 -31.0000ij^5*C^2*conj(A + B) -3.8700e+002 +2.5700e+002i% d) B Re[A] + A Re[B] 24.0000 + 7.0000iB*real(A) + A*real(B)% e) (A + B)/(C - B) -0.8000 - 0.0667i(A + B)/(C - B)
    • Ejemplos 31.9100A = -18.5 - 26j -125.4333abs(A) 21.6622angle(A)*180/pi -34.2769A = 17.9 - 12.2j 37.9473 124.6952abs(A) -22.0318 -57.0968iangle(A)*180/pi 11.1864 -34.4282iA = -21.6 + 31.2j -4.0057 + 2.9924iabs(A)angle(A)*180/picomplex(61.2*cos(-111.1*pi/180),61.2*sin(-111.1*pi/180))complex(-36.2*cos(108*pi/180),-36.2*sin(108*pi/180))complex(5*cos(2.5),5*sin(2.5))
    • Tarea #41. Resuelva los siguientes problemas en Matlaba) Z + 2j = 3/Zb) Z = 2*ln(2 – 3j)c) sen Z = 3d) tan Z = 2j2. Escriba una función en Matlab que acepte un complejo y lodespliegue en forma polar.3. Utilice la función que definió para mostrar los resultados delproblema 1 en forma polar.