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  • 1. ALGEBRA LINEARE. Dato un insieme V≠∅ e potendo definire: 1) Addizione: sommando ad un elemento di V un altro di V si ottiene un altro elemento di V 2) Moltiplicazione: moltiplicando un elemento di V con uno scalare (un numero reale) si ottiene un altro elemento di V. (V, +, -): tale terna è detta SPAZIO VETTORIALE se sono soddisfatte alcune proprietà. Gli elementi di V prenderanno allora il nome di VETTORI. Le proprietà da soddisfare riguardo all’addizione sono: 1) Associativa: ∀x, y, z ∈ V (x+y)+z = x+(y+z) 2) Commutativa: ∀x, y ∈ V (x+y) = (y+x) 3) Esistenza dell’elemento neutro: ∃ 0v ∈ V : ∀x ∈ V x+0v = x 4) Esistenza dell’opposto: ∀x ∈ V ∃ y : x+y = 0v Le proprietà da soddisfare riguardo alla moltiplicazione sono: 1) Associativa: ∀a, b ∈ IR ∀x ∈ V a*(b*x) = (a*b)*x 2) Esistenza dell’elemento neutro: ∀x ∈ V ∃ 1 : x*1 = x 3) Distributiva: ∀a, b ∈ IR ∀x ∈ V (a+b)*x = a*x + b*x È importante notare che: 0*x = 0 a*0=0 La proprietà comune all’addizione e alla moltiplicazione è: 1) Distributiva: ∀a ∈ IR ∀x, y ∈ V a*(x+y) = a*x + a*y L’insieme IR può essere considerato come uno spazio vettoriale: dato a ∈ IR posso moltiplicare/sommare a con uno scalare, ottenendo un altro numero reale, e valgono tutte le proprietà sopra elencate. Ogni numero reale può essere visto come un vettore che appartiene allo spazio vettoriale dei numeri reali. P
  • 2. La coppia ordinata (x1, y1) individua il punto P, ma ogni punto è caratterizzato da due coordinate. Ogni punto del piano può essere visto come un vettore, caratterizzato da due coordinate. P1=(x1, y1) P2=(x2, y2) ADDIZIONE: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) MOLTIPLICAZIONE: a*(x, y) = (ax, ay) Perché sia uno spazio vettoriale dimostro che valgono le proprietà: ESISTE L’ELEMENTO NEUTRO: (x, y) + (0, 0) = (x, y) ESISTE L’OPPOSTO: (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) VALE LA COMMUTATIVA: (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1) …….. IR×IR è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono le coppie di scalari. Anche lo spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono triplette ordinate. Un generico punto P è dato da una tripletta di coordinate (x, y, z) SOMMA: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) MOLTIPLICAZIONE: a*(x, y, z) = (ax, ay, az) Le proprietà sono dimostrabili come per lo spazio bidimensionale. IR×IR×IR = IR3 è, quindi, uno spazio vettoriale. Saranno spazi vettoriali anche IR4. IR5, IR6, … con punti P composti da (x1, x2, x3, x4, x5, …xn), cioè insiemi composti da ennuple.
  • 3. a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n a31 a32 a33 a3n am1 am2 am3 amn Un elemento sarà caratterizzato da aij i = indice di riga j = indice di colonna Esempio 5 3 2 1 A= 7 -1 0 2 4 3 2 1 a23 = 0 a34 = 1 Una tabella di questo tipo è una MATRICE m×n. Le matrici si indicano con lettere maiuscole. L’insieme delle matrici m×n è uno spazio vettoriale, poiché ogni matrice può essere pensata come un vettore. ADDIZIONE: somma di matrici con uno stesso numero di righe e colonne. 1 -1 0 1 5 3 2 1 6 2 2 2 2 1 0 1 + 7 -1 0 2 = 9 0 0 3 3 -1 2 1 4 3 2 1 7 2 4 2 Date due matrici A e B, A+B darà luogo a una matrice C, il cui generico elemento sarà cij = aij + bij . MOLTIPLICAZIONE: moltiplicare uno scalare per una matrice qualsiasi 5 3 2 1 15 9 6 3 Per dimostrare 3* 7 -1 0 2 = 21 -3 0 6 che una matrice è 4 3 2 1 12 9 6 3 spazio vettoriale bisogna a questo punto dimostrare le proprietà.
  • 4. 1) ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO. a11 a12 a1n 0 0 0 + a21 a22 a2n 0 0 0 = a31 a32 a3n 0 0 0 amn am1 am2 amn 0 0 0 2) ESISTENZA DELL’OPPOSTO. amn - amn …….. E’ uno spazio vettoriale perché valgono tutte le proprietà. Si considerino ora tutti i polinomi di grado minore o uguale a 2, cioè del tipo: ax2+bx+c ADDIZIONE: (a1x2+b1x+c1) + (a2x2+b2x+c2) = (a1+a2)x2+(b1+b2)x+c1+c2 (è un altro polinomio di 2° grado) MOLTIPLICAZIONE: d*(ax2+bx+c) = (da)x2+(db)x+dc (è un altro polinomio di 2° grado) Le proprietà valgono tutte, quindi i polinomi di grado minore o uguale a 2 sono dei vettori dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Invece i polinomi di grado uguale a 2 non sono uno spazio vettoriale, perché potrebbe non esistere l’elemento neutro e perché si potrebbe ottenere in seguito ad addizione un polinomio di grado minore. Generalizzando il discorso, tutti i polinomi di grado minore o uguale a m costituiscono uno spazio vettoriale. • Sottospazio vettoriale. Dato S⊂V (S sottoinsieme proprio di V), S⊂V è un sottospazio vettoriale se e solo se S è spazio vettoriale. Dato S⊂V S è spazio vettoriale se e solo se sono verificate queste tre condizioni indispensabili:
  • 5. 1) S≠∅ 2) ∀x, y x+y ∈ S 3) ∀x ∈ S e ∀a ∈ IR a*x ∈ S Se l’insieme S non è vuoto e se è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione, allora è un sottospazio vettoriale. Basta dimostrare queste tre condizioni per dimostrare che S sia un sottospazio vettoriale. Si dimostra ora che una matrice triangolare alta (cioè quella matrice che sotto una diagonale presenta solo 0) è un sottospazio vettoriale dell’insieme delle matrici. Esempio a11 a12 a13 0 a22 a23 =B 0 0 a33 Dimostriamo che valgono le tre condizione di sottoinsieme. 1) B≠0 2) Sommando due matrici triangolari alte ottengo un’altra matrice triangolare alta. a11 a12 a13 b11 b12 b13 a11+b11 a12+b12 a13+b13 0 a22 a23 + 0 b22 b23 = 0 a22+b22 a23+b23 0 0 a33 0 0 b33 3) 0 0 a33+b33 ca11 ca12 ca13 *c 0 ca22 ca23 0 0 ca33 Moltiplicando una matrice triangolare alta per uno scalare si ottiene un’altra matrice triangolare alta. a11 a12 a13 = 0 a22 a23 0 0 a33 Si dicono sottospazi banali di V: V stesso e il sottoinsieme vettore nullo (0).
  • 6. Riguardo a IR2, sono sottospazi banali il vettore nullo (0,0) e IR2 stesso. Ma oltre a questi due sottospazi, IR2 ne ammette un altro. y=mx P Dati i due vettori P1(x1, y1) e P2(x2, y2). ADDIZIONE: (x1+x2, m(x1, x2)) MOLTIPLICAZIONE: a*(x, mx) = (ax, amx) La retta passante per l’origine degli assi è un sottospazio di IR2. Invece, una retta non passante per l’origine degli assi non è un sottospazio di IR2, perché non incontra il vettore nullo. • Combinazione lineare finita. Considerando n vettori x1, x2, x3, x4,…xn ∈ V e considerando n numeri reali, detti combinatori c1, c2, c3, c4, … cn ∈ IR si può affermare che: x = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn è una combinazione lineare finita. È finita, perché di n elementi. È una combinazione perché gli elementi sono combinati tra loro attraverso le operazioni di somma e moltiplicazione. È lineare, perché ogni vettore che compare, compare linearmente (non ci sono quadrati). La stessa scrittura può essere vista come: Σ ⁿ i =1 Ci xi
  • 7. Si ottiene attraverso una combinazione lineare finita un sottospazio vettoriale S di V, perché valgono le tre condizioni: 1) S≠∅ (contiene almeno il vettore nullo). 2) Σⁿi =1 ci xi + Σⁿi =1 di xi = Σⁿi =1 (ci+di) xi 3) (c1x1 + c2x2 + cnxn)*a = ac1x1 + ac2x2 + acnxn Questo particolare sottospazio prende il nome di sottospazio generato dai vettori x1, x2, x3, xn e si indica con la scrittura: <x1, x2, x3, xn> che è l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari finite di n vettori. x1, x2, xn sono i generatori del sottospazio generato S: infatti, le loro possibili combinazioni danno S. Ogni elemento di S è, quindi, esprimibile come una particolare combinazione finita. Esempio. S = <x1, x2, xn> x1 = (1, 0) ∈ IR2 x2 = (0, 1) ∈ IR2 Il punto V(x, y) può essere espresso come combinazione di x1 e x2. V = x*(1, 0) + y*(0, 1) (x e y saranno i combinatori) V = (x, 0) + (0, y) = (x, y) Esempio V(3, 7) V = 3*(1, 0) + 7*(0, 1) V = (3, 0) + (0, 7) = (3, 7) IR2 = <(1, 0), (0, 1)>, perché ogni punto del piano può essere espresso come combinazione di questi vettori. IR3 = <(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)>, perché ogni punto nelle tre dimensioni può essere espresso come combinazione di questi vettori. Si definisce a questo punto lo SPAZIO FINITAMENTE GENERATO come spazio creato da un numero finito di vettori generatori.
  • 8. • Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Dati dei vettori: x1, x2, x3, xn Dati dei numeri reali: c1, c2, c3, cn I vettori x1, x2, x3, xn sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare finita con combinatori non tutti nulli tale che c1x1, c2x2, c3x3, cnxn = 0 Quindi, se riesco a ottenere il 0 come combinazione lineare usando combinatori non tutti nulli, i vettori sono linearmente dipendenti. Viceversa: se l’unico modo per ottenere il vettore nullo è quello di porre tutti i combinatori uguali a 0, allora i vettori sono linearmente indipendenti. Esempio: 1 0 0 0 1 0 Sono linearmente 0 0 1 indipendenti 1 0 0 c1* 0 +c2* 1 +c3* 0 0 0 1 c1 0 0 c1 0 + c2 + =2 0 c 0 0 c3 c3 L’unico modo perché l’operazione sia uguale a 0 è che tutti i combinatori siano uguali a 0. Di conseguenza i vettori sono linearmente indipendenti. Esempio 1 2 2 4 3 6 2 1 c1* +c2* = c1 + 2c2 = 0 24 2c1 + 4c2 = 0 3 6 Se c1 = 1 => c2 = -1/2 3c1 + 6c2 = 0 c1 = -2c2 -4c2 + 4c2 = 0 -6c2 + 6c2 = 0
  • 9. 1-1 = 0 2-2 = 0 I vettori sono linearmente dipendenti perché la loro 3-3 = 0 combinazione è uguale a 0 per c≠0. • Base di uno spazio vettoriale finitamente generato. Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori x1, x2, xn tali che: 1) V è lo spazio generato da x1, x2, xn (cioè i vettori sono generatori di V). 2) x1, x2, xn sono linearmente indipendenti. È importante l’”Una” perché di basi ce ne sono infinite. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Questi vettori sono linearmente indipendenti e sono generatori, quindi sono una base di IR3. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Questi vettori sono linearmente indipendenti, 0 0 . sono generatori, quindi sono una base di IRn. . . . Questa base prende anche il nome di BASE . . . CANONICA. . . 0 0 0 •Proprietà delle basi. 1) {x1, x2, xn} = base di V ogni vettore x di V può essere espresso come unica ⇒ combinazione lineare di x1, x2, xn. Dimostrazione per assurdo: Ip: {x1, x2, xn} = base di V Th: ogni vettore x di V può essere espresso come unica combinazione
  • 10. lineare di x1, x2, xn Si suppone allora che ogni vettore possa essere espresso in due modi, anziché uno. 1) x = c1x1 + c2x2 + cnxn = ∑ni=1 cixi 2) x = d1x1 + d2x2 + dnxn = ∑ni=1 dixi 0 = ∑ni=1 cixi - ∑ni=1 dixi (d≠c) 0 = ∑ni=1 (ci-di)xi i vari xi sono linearmente indipendenti perché per avere 0 bisogna che i combinatori siano 0, cioè ci=di e in questo modo si contraddice l’ipotesi per cui ci≠ di. La combinazione può essere solo una e non più di una. È possibile dimostrare che vale anche l’opposto della prima proprietà, cioè 1a) Se ogni vettore x può essere espresso in modo unico come combinazione lineare ⇒ {x1, x2, xn} = base vettoriale di V I vettori sono generatori, ma bisogna dimostrare, perché siano base, che siano linearmente indipendenti. Il vettore 0 può essere espresso in modo unico: 0 = ∑ni=1 ci xi Il ci deve essere per forza uguale a 0 perché è l’unico modo per poter avere 0. I vettori sono quindi linearmente indipendenti. Esempio 1 0 0 3 + 5* + 7* = 0 1 0 5 In 0 0 1 7 IR 3 x = (3, 5, 7) = 3* 3, 5, 7 sono i combinatori o componenti del vettore rispetto alla base
  • 11. Esempio In Matrici 2x2 a b a11 a12 = c d a21 a22 Creare una base significa cercare un insieme di matrici tali che siano 1) Indipendenti tra loro. 2) Generatrici di tutte le matrici 2x2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 - Sono linearmente indipendenti perché 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 c1 +c2 +c3 +c4 = 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 Per ottenere 0 è necessario porre ci=0 - Sono generatrici perché 1 0 0 1 0 0 0 0 a11 a12 a11 +a12 +a21 +a22 = 0 0 0 0 1 0 0 1 a21 a22 Ogni matrice 2x2 è ottenuta come combinazione lineare delle 4 matrici iniziali. 2) Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette (almeno) una base. C’è sempre un numero finito di vettori che genera uno spazio vettoriale. 3) Ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato ha lo stesso numero di vettori. Esempio. In IR3 1 0 0 0 1 0 è base. 0 0 1 anche è base perché 0 2 0 2 2 0
  • 12. 2 0 0 x x/2* 0 +y/2* 2 +z/3* 0 = y Le basi 0 0 2 z sono infinite, ma hanno tutte lo stesso numero di vettori. 4) Se n sono i vettori (linearmente indipendenti) della base, n+1 vettori sono linearmente dipendenti. Esempio In IR3 una base contiene 3 vettori. Se in IR3 considero un insieme di 4 vettori, essi sono linearmente dipendenti. Il numero massimo di vettori indipendenti è, quindi, 3 (in IR2 è 2, in IRn è n). Il numero massimo dei vettori linearmente indipendenti prende anche il nome di DIMENSIONE DELLO SPAZIO (IR2=2, IR3=3, IRn=n, M(2x2)=4). Anche un sottospazio vettoriale, in quanto spazio vettoriale, ha almeno una base. Esempio. In IR2, ogni retta passante per l’origine è un sottospazio vettoriale. Y=2x è sottospazio vettoriale. P(x, 2x) = questo insieme di punti è un sottospazio. Per capire la dimensione di ogni base basta trovarne una. P1(1, 2) è una base del sottospazio perché: 1) è generatore. Infatti, x*(1, 2) = tutti i punti della retta y=2x 2) è linearmente indipendente. Infatti, 1 0 c* = ⇔ c=0 2 0
  • 13. La dimensione è 1 perché basta un vettore per generare il sottospazio. Esempio. In M(2x2), ogni matrice triangolare alta 2x2 è spazio vettoriale. Si cerca una base per capire la dimensione del sottospazio. 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 a11 a12 a11* +a12* 0+a22*= 1 0 0 0 a220 1 1 0 0 0 È una base vettoriale canonica e la dimensione dello spazio è 3 Se si conosce la dimensione dello spazio (n), per trovare una base basta trovare n vettori linearmente indipendenti. S è sottospazio di V ⇒ dim S ≤ dim V S = V ⇒ dim S = dim V Esempio. 0 1 0 v1= 1 v2= 2 v3= 0 Dimostrare che è una base di IR3 1 0 1 1)Sono linearmente indipendenti. 0 1 0 0 c1* 1 +c2* 2 +c3 0 0 = 1 0 1 0 Questa uguaglianza si può ottenere solo con ci=0, perché c2=0 c1+2c2=0 ⇒ c1=0 c1+c3=0 ⇒ 0+c3=0
  • 14. 2) Sono generatori, perché 0 1 0 a x1* 1 +x2* 2 +x3 0 b = 1 0 1 c x2=a x1+2x2=b • Funzioni lineari. x1+x3=c Si dice funzione lineare quella funzione che ha come dominio e codominio x2=a due insiemi uguali a spazi vettoriali. x1=b-2a x3=c-b+2a Come funzione, valgono tutte le proprietà delle funzioni non lineari. In generale si può dire che una funzione f:V→W è lineare se: 1) ∀x, y ∈ V f(x)+f(y)=f(x+y) 2) ∀x ∈ V ∀a ∈ IR f(a*x) = a*f(x) 1) V W 2) V W x f(x) x f(x) y f(y) a*x f(a*x) x+y f(x+y) Esempio. f:IR→IR f(x)=ax (retta passante per l’origine) è una funzione lineare perché: 1) f(x1) + f(x2) = f(x1+x2) ax1 + ax2 = a(x1+x2) = f(x1+x2) 2) f(b*x) = b*f(x) a*(bx) = b*(ax) Esempio. f: IR→IR f(x) = ax+q (retta con intercetta q)
  • 15. non è una funzione lineare perché 1) f(x1) + f(x2) = f(x1+x2) f(x1) + f(x2) = a(x1+q) + a(x2+q) = a(x1+x2) + 2q f(x1+x2) = a(x1+x2) + q f(x1+x2) ≠ f(x1) + f(x2) La funzione è lineare solo nel caso in cui q=0 Esempio. f: IR3→IR2 f(x, y, z) = (x-y, z) La funzione è lineare perché 1) f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = f(x1+x2, y1+y2, z1+z2) f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = (x1-y1, z1) + (x2-y2, z2) = x1-y1+x2-y2, z1+z2 = = x1+x2-y1-y2, z1+z2 = ((x1+x2) – (y1+y2), z1+z2) f(x1+x2, y1+y2, z1+z2) = ((x1+x2) – (y1+y2), z1+z2) 2) f(a*x) = a*f(x) f(ax) = (ax-ay, az) = (a(x-y), az) = a(x-y, z) = a*(f(x)) Esempio. f: M(2x2)→IR a11 a12 f = a11+a22 a21 a22 1) a11+a22 + b11+b22 = a11+b11+a22+b22 = a11+a22+b11+b22 2) Dispensa. • Proprietà delle funzioni lineari. 1) f(c1x1 + c2x2 + cnxn) = c1*f(x1) + c2*f(x2) + cn*f(xn) V
  • 16. 2) f: V→W W f 0w 0v f(0v) = 0w f(0v) = f(0*0) = 0*f(0v) = 0w 3) f(-x) = f(-1*x) = -1*f(x) = -f(x) 4) f lineare f: V→W V W F(V) Se f(V)⊆W ⇒ f(V) è uno spazio vettoriale Dimostrazione che f(V) è sempre sottospazio vettoriale di W nelle funzioni lineari. 1) f(V)≠∅, perché contiene almeno 0 (0v→0w) 2) con z e w ∈ f(V)⊆W z+w∈f(V) (per la 2° proprietà) x∈V; x→f(x)=z (∃ x∈V:f(x)=z) y∈V; y→f(y)=w (∃ y∈V:f(y)=w) f(x)=z f(y)=w f(x)+f(y)=z+w f(x)+f(y) = f(x+y) = z+w (appartiene a W ed è immagine di x+y) 3) z∈f(V) a*z ∈ f(V) ⇒ ∃ x ∈ V : f(x)=z f(a*x) = a*f(x) = a*z a*z = f(a*x)
  • 17. x f(x)=z ax f(ax) f è sottospazio vettoriale di W e in questo caso f(V)=Im f. • Nucleo (o Kerf) di una funzione lineare. Dicesi nucleo o Kerf l’insieme di tutti i vettori di V che hanno come immagine il vettore nullo di W. Kerf = {x∈V : f(x)=0w} Se f non è iniettiva oltre al vettore 0v possono esserci altri vettori la cui immagine è 0w e il Kerf è l’insieme i questi più 0v. Il Kerf è sottospazio vettoriale di V: 1) Kerf ≠ ∅ (perché c’è almento 0v con immagine 0w). 2) x∈Kerf → f(x) = 0w y∈Kerf → f(y) = 0w x+y∈Kerf → f(x)+f(y) = f(x+y) = 0w 3) x∈Kerf → f(x) = 0w a*x∈Kerf f(a*x) = a*(f(x)) = a*0w = 0w Kerf è un sottospazio vettoriale. Di conseguenza se contiene x≠0v, contiene infiniti vettori, perché, come spazio vettoriale, conterrà anche ax, bx, cx,… L’alternativa è che contenga un unico vettore, cioè 0v (o solamente 0v oppure infiniti vettori). • Proprietà del Kerf.
  • 18. 1) f: V→W lineare f iniettiva ⇔ Kerf = {=0v} Dimostrazione che se f iniettiva ⇒ Kerf = {0v} Si suppone per assurdo che ∃ x≠0v : f(x) = 0w La funzione non può essere iniettiva perché f(0v)=0w e f(x)=0w Dimostrazione che se Kerf={0} ⇒ f iniettiva. Si suppone per assurdo che f non sia iniettiva e quindi ∃f(x1)=f(x2) con x1≠ x2. f(x1)-f(x2)=0w f(x1-x2)=0w , ma x1-x2≠ 0v, quindi è impossibile. 2)Teorema delle dimensioni. V W Imf Kerf dim Kerf + dim Imf = n = dim V Se il Kerf contiene solo il vettore nullo (cioè ha un solo elemento), come qualsiasi altro sottospazio, allora si dice che ha dimensione 0. In base alla regola sopra esposta è possibile sapere quando una funzione lineare è suriettiva in base alla dimensione. Esempio. Sapendo che dim V = 3, dim W = 3, dim Kerf = 0 0 + dim Imf = 3 La funzione è suriettiva perché dim V = dim Imf. Esempio. Sapendo che dim Kerf = 1, dim V = 3 1 + dimf = 3 dimf = 2 La funzione non è suriettiva.
  • 19. Esempio. f: IR3→IR2 f(x1, x2, x3) = (ax1 + 2ax2, x3) con a∈IR (a(x1+2x2), x3) Calcolo il Kerf per conoscere la sua dimensione. Con a=0 f(x1, x2, x3) = (0, x3). In questo caso il Kerf sarà dato da tutti quei vettori che avranno come 3° componente lo 0, cioè x3=0. Esempio. f(3, 5, 0) = (0, 0) = 0 Il Kerf sarà cioè dato da tutti quei vettori del tipo: {x1, x2, 0} = Kerf Trovando la base canonica, il vettore diventa: x1(1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) = (x1, x2, 0) La dim Kerf = 2, perché servono due vettori per una base. dim Kerf + dim Imf = 3 2+1=3 Con a≠0 a(x1+2x2) = 0 x3 = 0 (x1+2x2) = 0 x3 = 0 Kerf = {-2x2, x2, 0} che può essere anche espresso come: x2(-2, 1, 0). La dim Kerf = 1. x1 = -2x2 x3 = 0 dim Kerf + dim Imf = 3 1+2=3 • Moltiplicazione tra una matrice e un vettore. a11 a12 a1n a11x1 + a12x2 + a1nxn a21 a22 a2n a21x1 + a22x2 + a2nxn x1 a31 a32 a3n = a31x1 + a32x2 + a3nxn x2 am1 am2 amn * am1x1 + am2x2 + amnxn x3 xn
  • 20. Σnj=1 a1jxj Σnj=1 a2jxj Σnj=1 a3jxj Σnj=1 amjxj = Si ottiene un vettore di n componenti; il prodotto fra una matrice e un vettore può essere effettuato se e solo se il vettore ha lo stesso numero di componenti degli elementi che compongono ogni riga della matrice. La matrice può essere pensata come una funzione che prende un vettore, lo trasforma moltiplicandolo e lo rende ancora un vettore. A=f : IRn→IRm Valgono, infatti, le stesse proprietà delle funzioni anche per le matrici: A(x+j) = A * x + A * j A(c*x) = c*A*x • Teorema delle rappresentazioni. f: IRn→IRm 1) ∃ Am*n : f(x) = Ax 2) La matrice A ha come colonne i trasformati mediante f della base canonica f(ej) = aj (dove aj è la jesima colonna di A). f(e1) = a1 f(e2) = a2 f(en) = an f(e1) = a1 = Ae1 Ax = f(x) X x = x1e1 + x2 e2 + xnen Ax = A(x1e1+x2e2+xnen) = x1Ae1+x2Ae2+xnAen = x1a1+x2a2+xnan =
  • 21. = x1f(e1)+x2f(e2)+xnf(en) = f(x1e1)+f(x2e2)+f(xnen) = f(x1e1+x2e2+xnen) = f(x) C’è una corrispondenza biunivoca tra le funzioni e le matrici di rappresentazione. L’utilità di porre f(x)=A(x) è enorme: ci permette di dire tutto su una funzione in maniera molto semplice. Esempio. f(x1, x2, x3) = (x1+2x2, x3-2x1) f: IR3→IR2 La matrice di rappresentazione avrà n=3 e m=2, cioè sarà A(2x3). f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, -2) (è la prima colonna della matrice) f(e2) = f(0, 1, 0) = (2, 0) (è la seconda colonna della matrice) f(e3) = f(0, 0, 1) = (0, 1) (è la terza colonna della matrice) A= 1 2 0 -2 0 1 Moltiplicando la matrice per il generico vettore si avrà la funzione: x1 1 2 0 * x2 = (x1+2x2, -2x1+x3) -2 0 1 x3 • Trasmissione della linearità nella composizione di funzioni lineari. 1) Addizione fra funzioni lineari. f: IRn→IRm C.E.: dominio e codominio di f e g coincidono g: IRn→IRm f, g lineari (f+g)(x) è lineare, perché 1) (f+g)(x+y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (f+g)(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = (f+g)(x)+(f+g)(y)
  • 22. 2) ∀c∈IR ∀x∈IRn (f+g)(cx) = c(f+g)(x) f: IRn→IRm A(mxn) g: IRn→IRm B(mxn) (f+g): IRn→IRm C=A+B La somma di funzioni lineari è una funzione lineare e la sua matrice di rappresentazione è la somma delle matrici di rappresentazione delle singole funzioni. 2) Moltiplicazione fra funzioni lineari. f: IRn→IRm lineare c ∈ IR c * f(x) è lineare f(x) = A(mxn) c*f(x) = c*A(mxn) 3) Composizione di funzioni lineari. La funzione composta di due funzioni lineari è lineare. f: IRp→IRm g: IRn→IRp C.E.: codominio di g coincide con il dominio di f. f∘ g è lineare perché f∘g = f(g(x)): IRn→IRm IRn IRp IRm g f
  • 23. 1) (f∘g)(x+y) = (f∘g)(x)+(f∘g)(y) (f∘g)(x+y) = f(g(x+y)) = f(g(x)+g(y)) = f(g(x)) + f(g(y)) 2) (f∘g)(cx) = c(f∘g)(x) f(g(cx)) = f(c*g(x)) = c*f(g(x)) g: IRn→IRp = B(pxn) f: IRp→IRn = A(mxp) fog: IRn→IRm = C=A*B (il numero di righe di B = numero di colonne di A) La composizione di funzioni è uguale al prodotto di matrici. • Prodotto di matrici. 2 3 1 1 3 4 13 A2x3 B3x2 0 1 2 * 0 2 = 4 4 C2x2 2 1 C= c11 c12 c21 c22 c11 = 1° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice. c12 = 1° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice. c21 = 2° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice. c22 = 2° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice. 2+0+2 6+6+1 C= 0+0+4 0+2+2
  • 24. cij = Σ pk=1 aik * bkj => ai1*b1j + ai2 * b2j + ai3 * b3j C.E.: numero di righe di A = numero di colonne di B. Analogamente con le funzioni: A*B≠ B*A f∘g ≠ g∘ f Ma ci sono alcune eccezioni: f∘f-1 = f-1∘ f f∘Id = Id∘ f per cui A*A-1 = A-1*A In * A = A * In • A*B = matrice nulla. Non è sempre vero che, per ottenere la matrice nulla, sia necessario che A o B sia la matrice nulla in un prodotto A*B. Esempio. 1 0 A= 0 0 0 0 1 1 B= In questo 0 0 0 0 esempio * = 1 1 0 0 si è 1 0 ottenuta 0 0 la matrice nulla senza che una delle due matrici fattori fosse nulla. • Matrice identità.
  • 25. In = matrice identità. Esempio. 1 0 0 I3 = 0 1 0 È 0 0 1 una matrice quadrata (n*n) tale che: A(nxn)* In = In * A(nxn) • Matrice invertibile. Una matrice A quadrata (n*n) è invertibile se esiste una matrice B quadrata tale che A*B = B*A = In B è detta mattrice inversa di A e si indica con A-1, per cui A*A-1 = A-1*A = In Perché esista A-1, A deve essere iniettiva e suriettiva. Una funzione, infatti, è invertibile se e solo se: f: IRn→IRn dim Kerf = 0 dim Imf = n dim Kerf + dim Imf = n n = n, quindi f è iniettiva e suriettiva Se f: IRn→ IRn è lineare e invertibile, la funzione inversa sarà anch’essa lineare. La matrice di f-1 è la matrice inversa, cioè quella matrice che, combinata con A, sia uguale a A*A-1 = In. f: IRn→IRn f(x) = A(x) è invertibile ⇔ A è invertibile • Determinante di una matrice. Data una matrice A(nxn) quadrata, è possibile definire il determinante, cioè un numero che la qualifica. Det. Mnxn IR
  • 26. Il determinante viene definito in maniera induttiva, servendosi cioè del determinante della matrice quadrata (n-1)*(n-1). - Determinante della matrice 1*1. A = (a) Det A = |A| = a Il determinante di una matrice 1*1 è il numero che la compone. - Determinante della matrice n*n. Data una matrice quadrata: a11 a12 a1j a1n A= a21 a22 a2j a2n Per poter definire il determinante ai1 ai2 aij ain è necessario prendere in esame la an1 an2 anj ann definizione di: 1) Minore complementare (Mij): determinante della matrice quadrata che si ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima. Si avrà così un calo unitario nella matrice che diventerà (n-1*n-1). 2) Complemento algebrico (Aij): il determinante della matrice quadrata che si ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima moltiplicato alla –1 ed elevato alla i+j. Aij=(-1)i+j Mij Se i+j è pari Mij = Aij Se i+j è dispari Aij = -Mij Esempio. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Mij=
  • 27. a11 a13 a1131 aa33 a 13 a31 a33 Considerando ora Aij = Mij = Σ nk=1 a1k A1k = det A = |A| a1k = ogni elemento della prima riga. A1k = complemento algebrico. Matrice 2*2 a11 a12 A= a21 a22 det A = |A| = a11 a12 = a11*a22 – a12*a21 a21 a22 È stato calcolato così il determinante in base alla prima riga. Matrice 3*3 a11 a12 a13 det B = a21 a22 a23 = a31 a32 a33 = a11 a22 a23 -a12 a21 a23 +a13 a21 a22 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11*a22*a33 – a11*a23*a32 .…(ci si riconduce al caso del determinante di matrice 2*2) Matrice 4*4 Per calcolare il determinante di una matrice 4*4 ci si riconduce al caso di una matrice 3*3 e, con un secondo passaggio al caso di una matrice 2*2. È importante rilevare che il determinante può essere sviluppato anche secondo una colonna e non solo secondo una riga, infatti è valida la scrittura:
  • 28. det A = |A| = Σ nk=1 aik*Aik = Σ nk=1 akj*Akj Esempio. 1 2 3 0 5 -1 = …. 0 4 1 In questo caso conviene calcolare il determinante in base alla 1° colonna, perché ci sono molti zeri e i calcoli sarebbero notevolmente semplificati. • Proprietà del determinante. 1) Il determinante di una matrice con una colonna o una riga composta da 0 è 0. 2) Il determinante non cambia se a una riga aggiungo un’altra riga moltiplicata per un numero. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 =0 In questo esempio = = 2-2 2-2 2-2 0 0 0 1 -1 3 1 -1 3 1è -1 3stata moltiplicata la prima riga per –2 ed è stata poi sommata algebricamente alla seconda riga; è stata ottenuta una riga di 0, per cui il determinante è 0. Dall’esempio si può anche dedurre che in due matrici il determinante è 0 anche se ci sono righe/colonne proporzionali. Esempio. 1 2 1 3 0 1 1 -1 0 1 3 3 2 1 3 5 Moltiplico la 1° riga per –2 e la sommo con l’ultima riga. 1 2 1 3 1 1 -1 0 1 1 -1 = 1* = 1 3 3 0 1 3 3 -3 1 -1 0 -3 1 -1
  • 29. Sommo la 3° colonna con la 1° colonna 0 1 -1 4 3 3 = -4 1 -1 Sommo la 2° riga alla 3° colonna 0 1 -1 1 -1 4 3 3 = -4* = -4 4 2 0 4 2 3) Il determinante della matrice identità è uguale a 1. 1 0 0 0 0 1 0 0 =1 0 0 1 0 0 0 0 1 |In| = 1 4) Moltiplicando i complementi algebrici di una riga per i complementi algebrici di un’altra riga e sommandoli si ottiene 0. Σik=1 aik*Ajk = 0 5) Moltiplicando i complementi algebrici di una colonna per i complementi algebrici di un’altra colonna e sommandoli si ottiene 0. Σnk=1 akj*Aki = 0 6) Teorema di Binet. Date A, B(nxn) (quadrate) |A*B| = |A|*|B| 7) Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0. Di conseguenza una funzione è invertibile se e solo se il determinante della sua matrice di rappresentazione è diverso da 0. Dimostrazione che A invertibile ⇒ |A|≠0 A*A-1 = A-1*A = In
  • 30. |A*A-1| = 1 ⇒ |A|≠0 et |A-1|≠0 (e sono l’uno il reciproco dell’altro). Dimostrazione che |A|≠0 ⇒ A invertibile Si inserisce B(nxn) : bij∈B = Aji/|A| |A|≠0 per ipotesi. A*B = In B*A = In B è l’inversa di A = A-1 A B a11 a12 a13 a1n A11/|A| A21/|A| An1/|A| a21 a22 a23 a2n * A12/|A| A22/|A| An2/|A| an1 an2 an3 ann A2n/|A| A2n/|A| Ann/|A| Si moltiplica la prima riga per la prima colonna. a11A11 + a12A12 + …a1nA1n = |A|/|A| = 1 |A| Si moltiplica la 1° riga per la 2° colonna. A11A21 + a12A22 + … a1nA2n =0 |A| Per il calcolo della matrice inversa si può seguire una scala di operazioni: bij = Aji/|A| 1) Calcolare il |A|.
  • 31. 2) Se |A|≠0 (altrimenti non è invertibile), si calcola la matrice dei complementi algebrici. A11 A12 A1n 3) Si fa la A21 A22 A2n trasposta della matrice dei complementi algebrici (si An1 An2 Ann scambiano le righe con le colonne). A11 A21 An1 A12 A22 An2 = At A1n A2n Ann 4) Si divide la trasposta per |A|. • Righe e colonne di una matrice. a11 a12 a1n = r1 a21 a22 a2n = r2 am1 am2 amn = rm || || || c1 c2 c3 ri e ci sono tutti vettori. ci e ri appartengono a sottospazi vettoriali diversi (ad esempio IR1 e IR4) f(x) = Ax a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2n x2 = am1 am2 amn xn xn = Ax a11 a12 a1n A)Considerando lo spazio generato = a21 x1 + a22 x2 + a2n dalle colonne: am1 am2 amn
  • 32. C = <c1, c2, cn> = Ax Lo spazio generato dalle colonne, dato da tutte le possibili combinazioni di cn, coincide con l’insieme immagine della funzione, che ha la matrice A come matrice di rappresentazione. B) Considerando lo spazio generato dalle righe: R = <r1, r2, rn> dim R = dim C Il numero massimo di colonne linearmente indipendenti è uguale al numero massimo di righe linearmente indipendenti, per cui dim R = dim C. Dato che l’insieme generato dalle colonne è l’immagine dei vettori, il numero massimo di colonne linearmente indipendenti sarà uguale alla dimensione dell’immagine: dim C = dim Ax = dim f(x) Avendo la dim A(x) posso calcolare anche la dim Ker A(x) e stabilire la suriettività, l’iniettività e, quindi, l’invertibilità della funzione. • Caratteristica o rango di una matrice. Data una matrice A(mxn) si dice rango di A e si indica con k(A) il numero massimo di righe (o di colonne) linearmente indipendenti. • Rango di matrici quadrate. Il rango di una matrice quadrata è direttamente legato al determinante di una matrice. Per una matrice quadrata, infatti, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1) k(A) = n 2) Le righe di A sono linearmente indipendenti 3) Le colonne di A sono linearmente indipendenti 4) Il determinante di A è diverso da 0
  • 33. Quindi, k(A) = n ⇔ n righe linearmente indipendenti k(A) = n ⇔ n colonne linearmente indipendenti Dimostrazione che k(A) = n ⇒ |A|≠0. K(A) = n ⇒ n colonne linearmente indipendenti ⇒ dim Imf = n ⇒ ⇒ f suriettiva ⇒ dim kerf = 0 (dim kerf + n = n) ⇒ f iniettiva ⇒ f è invertibile ⇒ |A|≠0 Dimostrazione che |A|≠0 ⇒ k(A) = n. |A|≠0 ⇒ f invertibile ⇒ f iniettiva ⇒ f suriettiva ⇒ dim Imf = n ⇒ ⇒ n colonne linearmente indipendenti ⇒ k(A) = n Questa ultima proposizione può essere molto utile se viene richiesto se dei vettori sono linearmente indipendenti. Esercizio. Dati (2, 5, 7), (4, 2, 1), (-1, -3, 4) in IR3 dire se i vettori sono linearmente indipendenti. 2 4 -1 A= 5 2 -3 7 1 4 |A|≠0 ⇒ i vettori sono linearmente indipendenti. • Rango di matrici rettangolari (m*n). Data una matrice rettangolare A(mxn), si definisce Minore di ordine k il determinante di una sottomatrice (k*k) di A, formata dagli elementi comuni a k righe e k colonne. Esempio.
  • 34. 3 -1 0 2 5 4 3 2 -1 1 3 2 3 4 0 15 0 B= 4 2 1 |B| = minore di ordine 3 3 4 0 (è una sottomatrice 3*3) Si può affermare che, data una matrice A(mxn), k(A) è r∈IN (un numero naturale) se esiste un minore di ordine r≠0 e se tutti i minori di ordine r+1 sono eguali a 0. Esempio. 1 1 -1 1 a) una sottomatrice 3*3: 1 1 -1 2 2 -2 3 2 2 -2 b) una sottomatrice 3*3: 1 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 2 -1 1 2 3 c) una sottomatrice 3*3: 2 0 -2 3 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 Sono tutte le sottomatrici d) una sottomatrice 3*3: 2 -2 3 possibili. Se un determinante è diverso 0, allora il rango è 3. 0 0 -1 Se tutti i determinanti sono uguali a 0 si prova con i determinanti delle matrici 2*2. Il determinante di a) è uguale a 0, perché ci sono due colonne uguali. Il determinante di b) è uguale a 0, perché ci sono due colonne uguali. Il determinante di c) è uguale a 0, perché basta sommare la 1° colonna alla 2°. Il determinante di d) è uguale a 0, perché basta sommare la 1° colonna alla 2°. Tutti i minori di ordine 3 sono uguali a 0, quindi il rango è minore di 3. Si prova con le matrici 2*2 Considerando -2 3 =C 0 -1 11 |C| = 2 ≠ 0. Per ogni n+1 il determinante è uguale a 0. RANGO = 2 Esempio. f: IR3→IR2
  • 35. f(x1, x2, x3) = (x1+x2, x2-x3) E’ una funzione suriettiva? dim Imf = k(Ax) f(1, 0, 0) = (1, 0) f(0, 1, 0) = (1, 1) f(0, 0, 1) = (0, -1) 1 1 0 A= 0 1 -1 La matrice A(2x3) può avere al massimo un k(Ax) uguale a 2 1 1 B= 0 1 |B| = 1 k(A) = 2 dim Imf = 2 dim kerf +2 = 3 ⇒ 1+2 = 3 La funzione è suriettiva. • Sistemi di equazioni lineari. a11x1+ a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm b1, b2, … bm = vettore dei termini noti. Traducendo la scrittura in una matrice: Amxn*x = b x1 b1 a11 a12 a1n x2 = b2 a21 a22 a2n x3 b3 am1 am2 amn
  • 36. IRn IRm A b ha n componenti x b x ha n componenti Risolvere il sistema significa trovare tutti i vettori x che hanno come immagine b, detto anche antiimmagine di x. Il sistema poteva anche essere scritto in un terzo modo, cioè: b1 a11 a12 a1n * x1 + * x2 + * xn = b2 a21 a22 a2n b3 am1 am2 amn Risolvere il sistema significa, quindi, determinare quei combinatori che, moltiplicati per le colonne, danno origine a b. b è, di conseguenza, combinazione lineare finita delle colonne. Se non esiste nessun x, il sistema non ha soluzione e si dice incompatibile. Se esiste uno e un solo x, il sistema è detto determinato compatibile. Se esiste più di un x, esisteranno infiniti x e il sistema sarà detto indeterminato compatibile. • Teorema di Rouché-Capelli. Stabilisce in modo rapido la condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia compatibile. Data una matrice Amxn (con m≠n o m=n)
  • 37. A x = b compatibile ⇔ k(A) = k(A/b) a11 a12 a1n b1 A/b = A/b (data da A + la colonna dei termini noti) a21 a22 a2n b2 è detta anche matrice completa. am1 am2 amn bm A è detta anche matrice incompleta. Il teorema di Rouché-Capelli afferma che un sistema di disequazioni lineari è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa. - Dimostrazione che Ax = b compatibile ⇒ k(A) = k(A/b) a11 a12 a1n b1 a1 a2 a21 * x1 + a22 * x2 + a2n * xn = b2 an b am1 am2 amn b3 Considerando V = <a1, a2, an> (spazio generato dalle colonne = Imf) V1 = <a1, a2, an, b> Ax = b compatibile ⇒ b è esprimibile come combinazione lineare finita delle colonne di A ⇒ b∈V ⇒ V=V1 (in V1 b è solo ripetuto perché è già compreso in V) ⇒ dim V = dim V1 ⇒ k(A) = k(A/b) (N.B. dim V = massimo numero di colonne linearmente indipendenti = k(A)) - Dimostrazione che k(A) = k(A/b) ⇒ Ax = b compatibile. k(A) = k(A/b) ⇒ dim V = dim V1 ⇒ V=V1 ⇒ b∈V ⇒ Ax = b compatibile • Teorema di Kramer. Si riferisce a sistemi quadrati (il numero di incognite è uguale al numero di equazioni). Permette di risolvere suddetti sistemi, esprimibili con una matrice quadrata del tipo Anxn. Ax = b ha una solo soluzione ∀b∈IRn ⇔ |A|≠0
  • 38. - Dimostrazione che Ax = b ha una sola soluzione ⇒ |A|≠0 Dato che vale per ogni b, si può dimostrare con b = 0, per cui Ax=0 (è detto sistema omogeneo) Ax = 0 ⇒ Ker A = 0 ⇒ Kerf = {0} ⇒ f iniettiva ⇒ f suriettiva ⇒ f invertibile ⇒ |A|≠0 N.B. f: IRn→IRn Dim Kerf + dim Imf = n ⇒ dim Imf = n ⇒ n = n - Dimostrazione che |A|≠0 ⇒ Ax = b con una solo soluzione. |A|≠0 ⇒ ∃A-1 Ax = b ⇒ A-1*Ax = A-1*b ⇒ In x = A-1b ⇒ x = A-1b N.B.: non vale A-1*Ax = b*A-1, perché l’operazione al secondo membro non è definita. x1 A11/|A| A21/|A| An1/|A| b1 x2 = A12/|A| A22/|A| An2/|A| * b2 xj A1j/|A| A2j/|A| Anj/|A| bn xn A1n/|A| A2n/|A| Ann/|A| xj = riga jesima per b = A1j/|A| * b1 + A2j/|A| * b2 + … + Anj/|A| * bn = A1j b1 + A2j b2 + Anj bn = |A| Il numeratore della frazione è il determinante secondo la colonna jesima di una matrice del tipo a a12 b1 a1n in cui la colonna 11 =C a a22 b2 a2n jesima è uguale a (b1, 21 an1 an2 bn ann b2, bn). Da ciò si deduce che
  • 39. x = |C|/|A| Esempio. x+y+z=1 Sistema x–y+z=0 quadrato x + 2y = 1 La matrice di rappresentazione del sistema è: 1 1 1 A= Se |A|≠0 si può 1 -1 1 utilizzare il metodo di 1 2 0 Kramer. |A| = 2 ≠ 0 1 1 1 x= 0 -1 1 *½ = 0 1 2 0 è la colonna dei termini noti è la colonna 1 1 1 * ½ = 1/2 y= 1 0 1 1 1 0 dei termini noti 1 1 1 z= 1 -1 0 * ½ = 1/2 1 2 1 SOLUZIONE = (0, ½, ½) Per i sistemi non quadrati è possibile utilizzare ugualmente il metodo di Kramer, riconducendosi a sistemi quadrati. Esempio. 2x – 3y + z = 1 Se k(A) = k(A/b) il sistema ammette soluzioni. 5x + y – 2z = 7 2 -3 1 A= 5 1 -2
  • 40. k(A) ≤ 2 2 -3 k(A) ≠0 5 1 =2 2 -3 1 1 A/b = k(A/b) ≤ 2 5 1 -2 7 2 -3 k(A/ ≠0 5 1 b) = 2 k(A) = k(A/b) SOLUZIONI: 2x – 3y = 1 – z 5x + y = 7 + 2z Z può essere pensato come parametro, quindi, come termine noto e non come variabile. 2 -3 = 17 ≠ 0 5 1 1-z -3 x= * 1/17 = [(1-z) + 3(7+2z)]/17 = (5z+22)/17 7+2z 1 È la colonna dei termini noti sostituita. 2 1-z y= * 1/17 = [2(7+2z)-(1-z)5]/17 = (9z+9)/17 5 7+2 z SOLUZIONI : ((5z+22)/17, (9z+9)17, z) => infinite soluzioni

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