Upcoming SlideShare
×

# Tablica integrala

9,339 views
8,755 views

Published on

Integral_formulas

Published in: Education
1 Like
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

Views
Total views
9,339
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
19
Actions
Shares
0
175
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Tablica integrala

1. 1. Tablice integrala i diferencijalnih jednadžbi
2. 2. Tablica integrala 1. Potencije x n +1 1 ∫ x dx = n n +1 +c ∫ x dx = ln x + c 2. Trigonometrijske funkcije 1 ∫ sin xdx = − cos x + c ∫ sin axdx = − a cos ax + c ∫ cos xdx = sin x + c 1 ∫ cos axdx = a sin ax + c ∫ tgxdx = − ln cos x + c x 1 ∫ sin xdx = − sin 2 x + c 2 ∫ ctgxdx = ln sin x + c 2 4 x 1 1 ∫ cos xdx = 2 + 4 sin 2 x + c 2 ∫ sin 2 x dx = −ctgx + c 1 ∫ cos 1 2 dx = tgx + c ∫ sin x cos xdx = − 4 cos 2 x + c x sin n −1 ax ⋅ cos ax n − 1 ∫ sin axdx = − + n ∫ sin n −2 dx n na cos n −1 ax ⋅ sin ax n − 1 ∫ ∫ cos dx n−2 cos n axdx = + na n 1 1 ∫ sin axdx = 2 x − 4a sin 2ax + c 2 1 1 ∫ cos axdx = 2 x + 4a sin 2ax + c 2 1 1 cos ax n−2 dx ∫ sin n ax dx = − ⋅ n −1 + a ( n − 1) sin ax n − 1 ∫ sin n−2 ax 1 1 sin ax n−2 dx ∫ cos n ax dx = ⋅ n −1 + a( n − 1) cos ax n − 1 ∫ cos n−2 ax
3. 3. ∫ sin m x cos n xdx m, n Є N 1. m-neparan = supstitucija cosx = t 2. n-neparan = supstitucija sinx = t 1 − cos 2 x sin 2 x = 2 3. m,n-parni = supstitucija 1 + cos 2 x cos 2 x = 2 1 1 ∫ sin n x dx supstitucija sin x = t t n −1 svodi se na integral ∫ t2 +1 1 1 ∫ cos n x dx supstitucija cos x = t 1 ∫ cos αx cos βxdx = ∫ 2 [ cos(α − β ) + cos(α + β ) ]dx 1 ∫ sin αx sin βxdx = ∫ 2 [ cos(α − β ) − cos(α + β ) ]dx 1 ∫ cos αx sin βxdx = ∫ 2 [sin (α − β ) + sin (α + β ) ]dx Euler-ova formula e xi − e − xi e xi + e − xi e = cos x + i ⋅ sin x xi ; sin x = ; cos x = 2i 2
4. 4. 3. Racionalne funkcije 1  a  1 ∫ ax 2 + b dx = a ⋅b arctg    b ⋅ x + c   1 1 a+x ∫ a 2 − x 2 dx = 2a ln a − x + c 1 1 x−a ∫x −a 2 2 dx = ln 2a x + a +c 1 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + c 2a ⋅ b1 − b1 a1 x + b1 a1 2ax + b a1 a1 ∫ ax 2 + bx + c dx = 2a ∫ ax 2 + bx + c dx + 2a ∫ ax 2 + bx + c dx x 1 b 2 − 4ac b 2 − 4ac − ( 2ax − b ) ∫ ax 2 + bx + c dx = 2a ln ax 2 + bx + c + 2a ( b 2 − 4ac ) ⋅ ln b 2 − 4ac + ( 2ax + b ) +c 4. Iracionalne funkcije 1 1  b  ∫ a 2 − bx 2 dx = b arcsin   a ⋅ x + c   ∫ 1 x ±a2 2 ( dx = ln x + x 2 ± a 2 + c ) 1 ∫ (x −α) n dx supstitucija ( x −α) = 1 ⋅ ax + bx + c 2 t Ostrogradski: Pn ( x ) 1 ∫ dx = Qn −1 ( x ) ⋅ ax 2 + bx + c + λ ∫ dx ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
5. 5. a>0 , 1 a ( ) ln 2 − a ⋅ ax 2 + bx + c + 2ax + b + c 1 ∫ ax 2 + bx + c dx = 1  2ax + b  a<0 , − arcsin  2 +c  −a  b − 4ac  5. Binomni integral ∫ x ⋅ ( a + bx ) m n p dx m, n, p Є Q 1. p - cijeli broj m +1 2. - cijeli broj , supstitucija ( a + bx n ) = t s n m +1 3. + p - cijeli broj , supstitucija ( ax − n + b ) = t s n s- nazivnik razlomka « p » 6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije ∫ e dx = e +c ∫ ln xdx = x ⋅ ln x − x + c x x 1 ax +b ∫ ln xdx = ( x ⋅ ln x ) − n ⋅ I n n ∫ e dx = ax + b e +c n −1 a ax ∫ a dx = +c x ln a 7. Hiperbolne funkcije
6. 6. ∫ shxdx = chx + c ∫ ch 1 2 dx = thx + c x ∫ chxdx = shx + c 1 ∫ sh dx = −cthx + c ∫ thxdx = ln chx + c 2 x ∫ cthxdx = ln sh + c 8. Površine, volumeni i rektifikacija b d Px = ∫ f ( x ) dx Py = ∫ f ( y ) dy a c b d Px = ∫ [ gornja − donja ] dx V y = π ∫ [ f ( y ) ] dy 2 a c b Px = 2π ∫ f ( x ) ⋅ 1 + [ f ′( x ) ] dx 2 b a s = ∫ x 2 + y 2 dx   u parametarskom obliku b a V x = π ∫ [ f ( x ) ] dx 2 a b s = ∫ 1 + ( y ′) dx 2 a Diferencijalne jednadžbe 1. Linearna diferencijalna jednadžba y′ + f ( x) ⋅ y = g ( x) opći oblik
7. 7. − f ( x ) dx  ∫ f ( x ) dx ⋅ g ( x ) dx + c  y=e ∫  ∫e    2. Bernoulli-eva diferencijalna jednadžba y′ + f ( x) ⋅ y = g ( x) ⋅ y n opći oblik 1 supstitucija z = y n −1 1 z′ + f ( x) ⋅ z = g ( x) svodi se na linearnu 1− n 3. Egzaktna diferencijalna jednadžba P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = 0 opći oblik δP δQ = uvijet δy δx δu δu du = dx + dy totalni diferencijal δx δy  δ  ∫ Pdx + ∫ Q − ∫ Pdx  dy = c  δy  konačno rješenje 4. Homogena diferencijalna jednadžba y ′ = f ( x, y ) opći oblik  y f ( x, y ) = ϕ   uvijet x supstitucija:
8. 8. y z= x y = x⋅z y′ = z + x ⋅ z′ svodi se na separaciju varijabli 5. Langrange-ova diferencijalna jednadžba y = x ⋅ ϕ ( y ′) + f ( y ′) opći oblik y′ = p d y = x ⋅ϕ ( p) + f ( p) dx dp y ′ = ϕ ( p ) + x ⋅ ϕ ′( p ) + f ′( p ) dx 6. Linearne dif. jed. sa konstantnim koeficijentima a n y ( n ) + a n −1 y ( n −1) +  + a 2 y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ) opći oblik y = yh + y p opće rješenje 6.1. Homogeni dio y h (karakteristična jednadžba ak 2 + bk + c = 0 ) 1. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti k1, 2 ∈ R , k1 ≠ k 2 , y h = C1 ⋅ e k1 x + C 2 ⋅ e k 2 x 2. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki k1, 2 ∈ R , k1 = k 2 , y h = C1 ⋅ e k1 x + C 2 ⋅ x ⋅ e k2 x 3. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe konjugovano-kompleksni k1, 2 = α ± β ⋅ i , y h = e α ⋅x ( C1 cos βx + C 2 sin β x )
9. 9. 6.2. Partikularni dio y p 1. f ( x ) = Pn ( x ) polinom n-tog stupnja od x 1.1. homogeni dio sadrži sve članove y p = A za polinom nultog stipnja y p = Ax + B za polinom 1. st. y p = Ax 2 + Bx + C za polinom 2. st.  1.2. homogeni dio ne sadrži poslednji član y p = Ax y p = Ax 2 + Bx y p = Ax 3 + Bx 2 + Cx 2. f ( x ) = a ⋅ e b⋅ x 2.1. ako b nije korijen karak. jed. b ≠ k1 ≠ k 2 y p = A ⋅ e b⋅ x 2.2. ako je b korijen karak. jed. b = k1 ∨ b = k 2 y p = A ⋅ x ⋅ e b⋅ x 2.3. ako je b dvostruki korijen karak. jed. b = k1 = k 2 y p = A ⋅ x 2 ⋅ e b⋅ x 3. f ( x ) = sin bx 3.1. ako b nije korijen k1, 2 = α ± β ⋅ i y p = A sin bx + B cos bx 3.2. ako je b jednostruki korijen y p = x ⋅ ( A sin bx + B cos bx ) 4. f ( x ) = a ⋅ Pn ( x ) ⋅ e b⋅ x 4.1. ako je m broj koji pokazuje višestrukost npr. b ≠ k1 ≠ k 2 , m=0 b = k1 ∨ b = k 2 , m=1 b = k1 = k 2 , m=2 y p = a ⋅ x m ⋅ Q ( x ) ⋅ e b⋅ x Q(x) je polinom istog stupnja kao i P(x)
10. 10. 5. f ( x ) = a ⋅ Pn ( x ) ⋅ sin bx m-višestrukost k1, 2 = α ± β ⋅ i y p = Q( x ) ⋅ x m [ M cos bx + N sin bx ] y p = x m [ ( Ax + B ) cos bx + ( Cx + D ) sin bx ] Q(x) je polinom istog stupnja kao i P(x)