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  • ` Introduction a Octave Rodolphe Charrier UFRST ´ Universite du Havre M1 Math-Info MATIS Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Apercu et environnement I ¸ GNU Octave est le logiciel libre offrant actuellement la ´ meilleure compatibilite avec le logiciel commercial de calcul ´ numerique Matlab. Version 3.2 sous linux Ubuntu (existe aussi sur Mac et Windows). Octave est : ´ ´ un langage interprete converti en P-code (pseudo code Matlab), ´ utilisable en ligne de commande ou par execution de ´ scripts stockes dans des ”M-files” (extension ”.m”), ´ ´ ´ dote de fonctionnalites de haut niveau - developpement ”rapide”. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Apercu et environnement II ¸ ´ Octave est un langage de programmation associe une riche ´ collection d’algorithmes numeriques : ` ´ algebre lineaire et matriciel ˆ polynomes et fonctions rationnelles interpolation et approximation ´ ´ optimisation lineaire, quadratique et non lineaire EDO / EDP ˆ Controle classique et robuste Traitement du signal Statistiques Graphisme 2D/3D ... Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Apercu et environnement III ¸ ´ Octave est fourni ici avec l’IDE QtOctave qui permet l’edition de ´ ´ ˆ scripts, leur execution et debuggage, les requetes en ligne de ´ ´ commande, l’aide en ligne, des menus de fonctions dediees, etc . . . Le lancement de QtOctave depuis le menu programme d’Ubuntu lance automatiquement Octave dans une console et ´ ´ ´ un editeur integre. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Apercu et environnement IV ¸ Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Obtenir de l’aide I Dans la console d’Octave : doc fonction ou help fonction lance une aide sur ´ ´ la fonction specifiee, la commande lookfor mot-cl´ recherche l’occurrence e ´ ` du mot-cle dans toutes les premieres lignes des textes d’aide l’option lookfor -all mot-cl´ cherche dans tout le e texte de l’aide. ` ` Une des manieres les plus completes d’obtenir de l’aide est d’ouvrir le menu Help/Octave Help de QtOctave. Une ˆ ´ ´ fenetre dediee s’ouvre alors. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Obtenir de l’aide II Dans cette aide, on trouve aussi des exemples de codes et des ´ demonstrations. Enfin une aide dynamique est aussi disponible dans le menu Help de QtOctave. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Obtenir de l’aide III ˆ ´ Elle ouvre une fenetre complementaire qui fournit des ´ ` informations interessantes a la saisie dans l’une quelconque ˆ des fenetres ouvertes. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Modes d’utilisation - console, editeur, batch processing I ˆ Octave s’utilise dans une fenetre console, au travers d’une boucle du type ´ ´ lecture-evaluation-resultat Taper les lignes de commandes suivantes successivement. Que constatez-vous? >>> s="Hello World!"; >>> disp(s); >>> s ` Les fleches ↑ et ↓ permettent une navigation dans l’historique des commandes. ` ´ La touche <TAB> lance un systeme de completion facilitant la saisie. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Modes d’utilisation - console, editeur, batch processing II Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Modes d’utilisation - console, editeur, batch processing III ´ Execution de fichiers de scripts / commandes ´ ´ ´ ` ´ A partir de l’editeur integre a QtOctave ou d’un editeur externe, on peut construire un fichier de commandes avec l’extension ”.m”. ´ ´ On pourra executer ce script par l’une des methodes suivantes : ˆ ´ depuis le menu Run/Run de la fenetre d’edition de QtOctave, par la commande Octave source("nomDuScript.m") dans le dossier du script, en tapant directement le nom du script (sans extension) depuis le dossier du script dans la console de commande. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Modes d’utilisation - console, editeur, batch processing IV Mode batch On peut lancer Octave en mode batch : ´ pour disposer d’un environnement simplifie (sans ˆ fenetrage), pour lancer en externe des fichiers de scripts Commande de base : octave --silent monScript.m >Resultats.txt lance le script sur Octave (sans afficher les messages ` ´ d’ouverture Octave), quitte automatiquement apres execution ´ ` ´ ´ et recupere eventuellement le resultat dans le fichier Resultats.txt. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Modes d’utilisation - console, editeur, batch processing V ´ ´ On peut egalement rendre executable un script en rajoutant en ˆ ` en-tete la ligne suivante donnant le chemin d’acces absolu au binaire Octave : #!usr/bin/octave --silent ´ puis l’executer dans un terminal de commande avec la ´ sequence suivante : $ chmod u+x script.m $./script.m > Resultats.txt Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations I Tout est matrice dans Octave! ´ ´ Malgre cette remarque, nous allons commencer par decrire des ´ types de donnees simples (des matrices 1x1) avant de passer ´ ´ aux aspects plus generaux de traitement de matrices. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations II ´ Reels ´ ´ ´ Les reels sont codes sur 64 bits (double precision) avec 16 chiffres significatifs au maximum dans l’intervalle : [10−308 , 10+308 ] ` la fonction de conversion single() permet de ramener a ´ une simple precision, ´ ´ ! ! : certains operateurs arithmetiques rendent des ´ ´ entiers lorsqu’ils sont en presence d’entiers et de reels. ⇒Utiliser la fonction double( )pour convertir les entiers ´ en reels. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations III Entiers Les entiers sont obtenus via des fonctions de conversion vers un encodage en 8, 16, 32 ou 64 bits : ´ int8, int16, int32, int64 pour les entiers signes uint8, uint16, int32, uint64 pour les entiers non ´ signes. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations IV Nombres complexes ´ i, imaginaire pur dont le carre vaut -1, ´ ´ ´ partie reelle (reel) + i partie imaginaire (reel), ´ des fonctions specifiques manipulent les nombres complexes : >>> z1=5+6i z1 = 5 + 6i >>> real(z1) ans = 5 >>> imag(z1) ans = 6 >>> conj(z1) ans = 5 - 6i Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations V Noms de variables Un nom de variable sous Octave commence par une lettre puis par au choix : des lettres de l’alphabet en minuscules ou majuscules, ´ avec differenciation de ces deux types (”case sensitive”) ` des nombres de 0 a 9 ` un caractere ` ´ ` ` Le nombre de caracteres utilisables est limite a 63 caracteres sur Matlab/Octave. ´´ ´ ´ Les variables une fois creees resident en memoire dans le ”Workspace” d’Octave. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations VI ´ Manipulation de variables numeriques ´ ´ ´ L’operateur d’affectation est represente par un seul signe = ´ ´ ´ (== designe l’operateur booleen de comparaison). >>> x=1 x= 1 >>> x=x*2 x= 2 Tester l’usage du point-virgule ;. ´ ´ Exemples d’operateurs arithmetiques : ´ ´ ´ ´ xˆ2 ou x ∗ ∗2 designe l’elevation au carre x/y = xy −1 xy = x −1 y Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations VII Commentaires et lignes de continuation ` Un commentaire commence par le caractere %, ´ Un bloc entier est encadre par %{ et %} , ´ Une ligne se terminant par ... sera prolongee par la ligne suivante. Exemples : >>> % >>> x >>> + >>> + x= 6 c’est un commentaire = 1 ... 2 ... 3 Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations VIII ´ ´ ´ Fonctions mathematiques elementaires Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations IX La plupart de ces fonctions prennent un argument et en ´ ` retourne un autre. Elles sont ”vectorisees”, c’est-a-dire qu’elles manipulent des matrices. Exemple : Tester les commandes ci-dessous >>> >>> >>> >>> >>> x = cos(2) y = sin (2) xˆ2 + yˆ2 ans*2 z=sin([x y]) ´ La variable ans stocke l’evaluation de l’expression courante et ´ est reutilisable. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations X ´ ´ ´ Variables mathematiques predefinies ´ Dans Matlab/Octave, plusieurs variables mathematiques sont ´ efinies : ´ pred Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations XI ´ Booleens ´ Les booleens sont des variables qui peuvent prendre deux valeurs, false ou 0, et true ou 1 (ou dans certains cas de ´ conditions logiques toute valeur differente de 0) . ´ ´ 0perateurs booleens : Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations XII fonctions logiques : Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations XIII ` Chaˆnes de caracteres ı ´ ´ Elles sont delimitees sous Matlab/Octave par des apostrophes : >>> x = ’coucou’ x = coucou ` Une chaˆne de caracteres est un vecteur ligne ce qui explique ı ´ que la concatenation se fasse par la mise entre crochets [ ] : >>> [’bonjour ’ ’tout le monde’] ans = bonjour tout le monde Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Elements de base - types de donnees, variables, ´ operations XIV ´ La fonction de concatenation strcat(chaine1,chaine2,...) supprime les espaces blancs. Cf. doc Octave pour les fonctions de manipulation. ´ ´ ` Une specificite d’Octave par rapport a Matlab est d’accepter ´ ´ ´ ´ egalement les chaˆnes declarees entre guillemets integrant des ı ` ´ caracteres speciaux : t pour la tabulation ` n pour le passage a la ligne. ´ Ainsi executer la commande : >>> disp("Ce texte n s’affiche sur 2 lignes avec une ttabulation") Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Matrices et vecteurs I Construction d’une matrice : ´ ´ delimitee par des crochets ouvrant [ et fermant ], ´ ´ ˆ ´ ´ elements d’une meme ligne sont separes par des blancs ou des virgules, ´ points virgules ; pour separer les lignes. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Matrices et vecteurs II Exemples ´ Executer les commandes successives suivantes dans la console Octave : >>> A = [ 1 1 1; 2 4 8; 3 9 27] %renvoie la taille de la matrice : >>>size(A) >>> y = [1 + i, - 3 * i, -1] %vecteur transpos´ de y : e >>>y’ % matrice transpos´e de A : e >>> A’ %renvoie d’un ´l´ment de A : e e >>> A(2,2) %renvoie la deuxi`me ligne de A : e >>> A(2,:) % renvoie les deuxi`me et troisi`me lignes de A : e e >>>A(2:3,:) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Matrices et vecteurs III ´ ´ Generation automatique % G´n´ration d’un vecteur ligne g´n´r´ par s´rie lin´aire. e e e e e e e % L’incr´ment est en position milieu pour chaque vecteur ligne e % t peut ˆtre un nombre d´cimal e e >>>x=1:1:3 >>>u=1:0.5:3 % g´n´ration d’une matrice ` l’aide de 3 vecteurs lignes : e e a >>>B=[1:1:3 ; 1:3:9 ; 9:-1:7] %vecteur ligne g´n´r´ par la fonction linspace : e e e >>>v=linspace(-1,3,5) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Matrices et vecteurs IV ´ Construction de matrices specifiques Tester les fonctions de construction de matrices suivantes et ´ ´ retrouver leur specificite : ´ ´ (On reprendra la matrice A et les variables precedentes) >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> I = eye(4,4) Y = diag(y) a = diag(A) J = zeros(3,4) K = ones(3,4) B=triu(A) C= tril(A) R = rand (3,4) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Visualiser un graphe simple I On va construire le graphe de la fonction y = e−x sin(4x) pour x ∈ [0, 2π] ´ On commence alors par creer un maillage de l’intervalle [0, 2π] avec la fonction linspace : -->x=linspace(0,2*pi,101); x est alors un vecteur de 101 valeurs pour donner 100 intervalles. On calcule ensuite les valeurs de la fonction pour chaque composante du vecteur x : >>>y=exp(-x).*sin(4*x); Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Visualiser un graphe simple II ´ ´ ´ La notation pointee de l’operateur arithmetique permet de ´ ´ ´ ´ ´ traiter l’operation element par element sur les matrices. ´ Le trace du graphique se fait alors par l’instruction plot : >>>plot(x,y) >>>title(’y=exp(-x)*sin(4x)’) % le titre du trac´ e L’instruction permet de tracer une courbe passant par les points ´ ´ dont les coordonnees sont donnees dans les vecteurs x pour ´ ´ les abscisses, et y pour les ordonnees. Les points sont relies par des segments de droites. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Visualiser un graphe simple III Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ´ Ecrire et executer un script I ´ L’ecriture de scripts Octave/Matlab (”M-files”) peut se faire dans ´ ˆ ´ ´ l’editeur de QtOctave et peut etre execute depuis cet ´ environnement dans le menu Run de l’editeur. Voici un petit exemple que l’on nommera ”script1.m” : % mon premier script Octave a = input(’ Rentrer la valeur de a : ’); b = input(’ Rentrer la valeur de b : ’); n = input(’ Nb d’intervalles n : ’); % calcul des abscisses x = linspace(a,b,n+1); % calcul des ordonn´es e y = exp(-x).*sin(4*x); % repr´sentation graphique e plot(x,y); xlabel(’x’); % label sur les abscisses ylabel(’y’); % label sur les ordonn´es e title(’y=exp(-x)*sin(4x)’); Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers I ´ Principales fonctions (tire de http://enacit1.epfl.ch/ cours_matlab/mfiles.html#entrees_sorties) : Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers II Saisie clavier Une saisie au clavier utilise la commande input. Tester les saisies ci-dessous >>> n=input(’entrer la dimension n’) >>> A=input(’entrer une matrice’) >>> nomfichier=input(’Donner le nom du fichier’,’s’) ´ Analyse automatique du type entre. ` Lorsque c’est une chaˆne de caracteres, on rajoute ’s’ en ı ` parametre. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers III Affichage sur la sortie standard La commande disp n’affiche qu’une seule variable/chaˆne de ı ` ` caractere a la fois. >>> A=[1, 2; 3, 4] >>> disp(A) ´ ´ L’instruction ”fprintf” qui est en fait celle qui est heritee du langage C (ici en absence d’identifiant de fichier, c’est la sortie ´ standard qui est utilisee). Ex : >>> a=64; b=sin(a); >>> fprintf(’le sinus de %2.f n est %f ’,a,b) le sinus de 64 est 0.920026 Noter le format des nombres. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers IV ´ Manipulation de donnees matricielles dans des fichiers ´ dlmread met les donnees lues dans une matrice (avec ´ ´ eventuellement un delimiteur). ´ ´ Ecrire quelques donnees en lignes et colonne dans un ´ fichier donnees.txt puis executer le script suivant : >>> M=dlmread(’donnees.txt’); >>> disp(M); >>> M2=dlmread(’donnees.txt’," ",[0,0,4,4]) ` La derniere instruction renvoie la sous-matrice des valeurs ´ ´ ´ ´ comprises entre l’element (0,0) et l’element (4,4), le ´ separateur un espace blanc. ´ ´ dlmwrite ecrit les donnees d’une matrice dans un fichier : >>> dlmwrite(’donnees.txt’, M, "-append"); ´ Le dernier argument (”-append”) signale une ecriture en fin de fichier. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers V ´ Lecture formatee dans un fichier Soit le fichier texte ’data.txt’ suivant : 101 Martin Cahier 2 3.50 102 Charrier Crayon 5 2.95 ´ Procedure de lecture sur un fichier : boucle qui termine avec le signal de fin de fichier rendu par la fonction feof. % fopen : le mode d’ouverture est indiqu´ par le second argument e % ’r’ lecture; ’w’ ´criture; ’a’ ajout en fin) e data_id = fopen(’data.txt’, ’r’) ; no = 1 ; while not(feof(data_id)) % lecture des ´l´ments 1 ` 1 (dernier argument de fscanf) e e a No_client(no) = fscanf(data_id,’%u’,1) ; Nom{no,1} = fscanf(data_id,’%s’,1) ; Article{no,1} = fscanf(data_id,’%s’,1) ; Nb_articles(no) = fscanf(data_id,’%u’,1) ; Prix_unit(no) = fscanf(data_id,’%f’,1) ; no = no + 1 ; end status = fclose(data_id) ; Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers VI ` ´ Rem : les chaˆnes de caracteres sont stockees dans des ı tableaux cellulaires (cf. doc). Principaux types de format : ´ %u et %d designent respectivement un entier positif ´ (naturel) et un entier relatif (positif ou negatif) ´ %f designe les flottants ´ ` %s designe les chaˆnes de caracteres ı Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ Entrees-sorties-fichiers VII ´ ´ Ecriture formatee dans un fichier ´ ´ ´ ´ On ecrit dans un fichier precedemment ouvert en ecriture via fprintf. ´ Tester le script suivant (si vous ne precisez aucun file id, on ´ ecrit sur la sortie standard) : >>> a=0:0.1:1; >>> b=sin(a); >>> fprintf(file_id, ’%1.2f %1.4f n’,[a;b]); ´ ´ Les formats peuvent integrer des specifications d’affichage (ici ` nombre avant et apres la virgule pour les flottants) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab I If - instructions conditionnelles ´ Ecrire et executer le script suivant et modifier les valeurs de n pour tester : n=2; if (n==1) disp(’un’); elseif (n==2) disp(’deux’); else disp(’autre’); endif On peut enchaˆner plusieurs tests avec elseif. ı ´ ´ La condition logique de selection ne necessite pas de ` ´ parentheses. Il peut s’agir d’une matrice sur laquelle on verifie ´ ´ ´ que tous les elements ne sont pas faux (differents de 0). Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab II Switch - alternatives switch n case{1} disp(’un’); case{2} disp(’deux’); otherwise disp(’autre’); endswitch ´ ´ Seule l’instruction qui suit directement le case est executee si la comparaison est vraie. ´ otherwise est facultatif et sera effectue si tous les tests ´ ´ ´ ´ precedents ont echoues. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab III Boucle for ´ ´ ´ ´ On utilise un index qui decrit un ensemble de valeurs, genere ´ souvent avec l’operateur deux-points ”:” . ´ ˆ ´ ´ L’iterateur de la boucle for peut etre plus generalement une ´ matrice, pour laquelle chaque iteration renvoie un vecteur colonne. Tester le script ci-dessous : for i=1:2:5 disp(i) endfor % sur une matrice for n=[1 5 2;4 4 4] n endfor Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab IV Remarque Quand cela est possible, on remplacera la boucle for par une ´ ` ´ operation matricielle, c’est a dire ”vectorisee” pour un gain en performance. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab V Boucle While ´ ` ´ Une boucle ”while” repete une sequence d’instructions de ` ´ ` ´ maniere conditionnee a la verification d’une expression ´ booleenne. Tester le script ci-dessous qui calcule la somme des 10 premiers entiers : s=0; i=1; while (i<=10) s=s+i i=i+1 endwhile Tester cette autre facon de faire : ¸ >>>sum(1:10) ´ Comparez en augmentant le nombre utilise. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab VI Break-Continue ´ break permet de sortir definitivement d’une boucle. ´ continue permet de sortir de l’iteration courante d’une boucle. ´ Comparer l’execution des deux scripts qui suivent. Break : s=0; i=1; while (true) if (i>10) break endif s=s+i i=i+1 endwhile Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • La programmation en Scilab VII Continue : s=0; i=0; while (i<=10) if (modulo(i,2)==0) i=i+1 continue endif s=s+i i=i+1 endwhile Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Les fonctions I ´ ´ La demarche essentielle qui permet d’elaborer des ´ sur la decomposition ´ programmes en Scilab, est basee fonctionnelle. ´ ´ De nombreuses fonctions predefinies sont disponibles dans Octave. ˆ Un meme script peut comporter plusieurs fonctions qui peuvent s’appeler uniquement au sein du script. Remarque ` ´ Pour appeler une fonction a l’exterieur du script ou elle est ` ´ ˆ ´ ´ ` definie, celle-ci devra etre declaree en premiere ligne du script ´ ˆ et porter imperativement le meme nom que le fichier du script. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Les fonctions II ´ Declaration - appel d’une fonction ´ Syntaxe de declaration d’une fonction : function [arg_sortie, ...]=ma_fonction(arg_entree, ...) ´ ` Les arguments sont passes par valeur a la fonction et non par ´ ´ reference. ´ L’appel ulterieur de la fonction se fait par la syntaxe suivante : % si un seul argument de sortie var_out=ma_fonction(var_in1, var_in2,...); % si plusieurs arguments de sortie [var_out1, var_out2...]=ma_fonction(var_in1, var_in2,...); ´ ´ ´ Les variables declarees dans la fonction ont une portee locale ` ´ a la fonction. Pour les rendre visibles de l’exterieur de la ´ ´ ´ ´ ´ fonction, il faudra les declarer precedee du mot-cle global. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Les fonctions III Exemple ´ ´ ´ Fonction predefinie : decomposition LU d’une matrice ´ (executer les lignes d’instructions suivantes puis utiliser ”help” pour comprendre ce qu’elles font) >>>A=rand(3,3); >>>[L,U]=lu(A) >>>[L,U,P]=lu(A) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Les fonctions IV ´ Ecriture de fonctions 1 2 ´ ´ Declarer la fonction (nom arguments d’entree / sortie), utiliser des commentaires pour renseigner l’aide en ligne : ` ´ ` premiere ligne de commentaire immediatement apres la ´ ´ declaration, la ”H1-line” (utilisee par les commandes d’aide help ou lookfor) autres commentaires. . . 3 ´ declaration des variables globales ou statiques s’il y en a ´ ´ (les variables statiques sont immuables et declarees par le ´ mot-cle persistent), 4 ´ ecriture du code proprement dit de la fonction et ´ commentaires associes, 5 ` ` penser a affecter des valeurs a chaque argument de sortie, 6 ´ ´ fin de fonction signalee par le mot-cle endfunction. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Les fonctions V Exemple ´ ` Ecriture d’une fonction renvoyant un vecteur (a tester) : function [somme,produit]=fsomprod(a,b) %FSOMPROD somme et produit de 2 nombres, vecteurs ou matrices % Usage: [S,P]=FSOMPROD(V1,V2) % Retourne matrice S contenant la somme de V1 et V2, % et matrice P contenant le produit de V1 et V2 ´l´ment par ´l´ment % e e e e % if (nargin˜=2) % donne le nombre d’arguments d’entr´e e % message d’erreur si on a pas 2 arguments error(’cette fonction attend 2 arguments’); endif if (˜ isequal(size(a),size(b))) error(’les 2 arg. n’ont pas la mˆme dimension’); e endif somme=a+b; produit=a.*b; % produit ´l´ment par ´l´ment ! e e e e endfunction % sortie de la fonction Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Les fonctions VI ´ Fonctions recursives ´ Ecrire la fonction ci-dessous dans un fichier ”facto.m” et faire ´ ˆ des tests d’execution sous Octave en se placant dans le meme ¸ dossier que le script. function p=facto(n) if n<=1 p=1; else p=n*facto(n-1); endif endfunction Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Utiliser une fonction comme argument d’une autre fonction I Pointeurs sur des fonctions ˆ Une fonction est elle-meme une variable du type ”function”. @ suivi du nom de la fonction donne un pointeur sur la fonction. ´ Usage : comme entree d’une autre fonction ´ ´ ` ex : quad (integration) ou lsode (resolution de systeme dynamique) ´ L’exemple suivant montre l’integration d’un sin sur [0, π] : >>>f1 = @sin; >>>quad (f1, 0, pi) ans = 2 >>> feval(f1,pi/4) ans = 0.70711 >>> f1(pi/4) ans = 0.70711 Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Utiliser une fonction comme argument d’une autre fonction II Fonctions anonymes ´ ´ Syntaxe de generation d’une fonction anonyme : @(liste d’arguments) expression ´ ´ Executer ces quelques exemples tires de la doc Octave : >>> >>> >>> >>> >>> ´ f = @(x) x.ˆ2; % permet egalement de d´finir f e quad(f,0,10) quad (@(x) sin (x), 0, pi) % en fonction anonyme a = 1; b = 2; % les param`tres sont valu´s e e quad (@(x) betainc (x, a, b), 0, 0.4) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Utiliser une fonction comme argument d’une autre fonction III Construction dynamique de fonctions ´ ` Definition d’une fonction ”in-line” par une chaine de caracteres : >>> f = inline("xˆ2 + 2"); >>>f(2) ans = 6 ` ´ Conversion de chaˆne de caracteres en expression evaluable ı ´ ou en instructions executables : fonction eval fonction = input(’Quelle est la fonction y=fct(x) ` tracer ?’,’s’); a min_max = input(’Indiquez [xmin xmax] : ’); x = linspace(min_max(1),min_max(2),100); eval(fonction,’error(’’fonction incorrecte’’)’); plot(x,y); La fonction feval, comme fplot (cf. diapo suivante), prend ´ un pointeur de fonction en entree. Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • Graphisme I http: //enacit1.epfl.ch/cours_matlab/graphiques.html ` ´ Complements (a tester) fplot prend un pointeur de fonction ou une fonction ´ ”in-line” en entree : function [y]=sigmoid(x) y=1./(1 + exp(-20 .* (x - 0.25))); endfunction % fplot(@sigmoid, [0, 1], ’r’); ´ ´ ˆ ezplot trace une fonction parametree en 3D par le meme ` parametre : >>>ezplot3(’t*sin(t)’,’t*cos(t)’,’t’,[0,10*pi]); Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels I ´ ´ Matlab/Octave permet de resoudre numeriquement des ´ ´ equations differentielles par approximation. ´ ` Soit une equation avec une condition initiale (probleme de Cauchy) :   du(t) = f (t, u(t))  dt u(t0 ) = u0 ou u : R → Rn , u0 ∈ Rn et f : R × Rn → Rn . ` Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave (1)
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels II La fonction lsode est la fonction Octave qui va permettre de ´ ` ´ calculer une solution numerique, c’est a dire de l’integrer sur un ´ intervalle demarrant en t0 , en partant du vecteur colonne u0 . ´ Pour cela, il faut commencer par definir la fonction f du ` ´ ´ probleme de Cauchy decrit ci-dessus (1). On la definit comme une fonction Octave classique : function [f] = SecondMembreEDO(u,t) // on d´crit ici les composantes de f e endfunction Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels III Remarque ˆ ` ´ Meme si la fonction f est autonome (c’est a dire independante ˆ de t), il faudra quand meme mettre t comme second argument ´ ` de f (ou toute autre variable definissant le parametre ´ d’evolution). Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels IV Exemple ` ´ On considere l’equation de Van der Pol : y = c(1 − y 2 )y − y ` que l’on reformule classiquement comme un systeme de deux ´ ´ equations differentielles du premier ordre, en posant u1 (t) = y (t) u2 (t) = y (t) ` ´ Soit le systeme equivalent d dt u1 (t) u2 (t) = u2 (t) 2 c(1 − u1 (t))u2 (t) − u1 (t) Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels V ´ Ce que l’on decrit par la fonction Octave suivante, en fixant c = 0.4 : function [f] = vanDerPol(u,t) f(1)=u(2) f(2)=0.4*(1-u(1)ˆ2)*u(2) - u(1) endfunction ´ ´ ´ ´ Pour resoudre numeriquement l’equation, il faut donc definir ` une distribution uniforme de valeurs de t sur un intervalle, a partir de t0 , et une condition initiale pour les variables u. On appelle ensuite la fonction lsode ainsi : t = linspace(t0,T,m); [U] = lsode("vanDerPol",u0, t); ´ ` On recupere alors une matrice U telle que U(i, j) est la solution ´ approchee de ui (t(j)). Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels VI printf("R´solution d’une ´quation de Van der Pol.n"); e e % d´claration de la fonction en second membre e function [f] = vanderpol(u,t) f(1)=u(2); f(2)=0.4*(1-u(1)ˆ2)*u(2)-u(1); endfunction % trac´ des lignes de champ e clf; [x, y] = meshgrid (-5:0.5:5); h = quiver (x, y, y, 0.4*(1-x.ˆ2).*y-x,0.5); set (h, "maxheadsize", 0.1); hold on; % calcul de la solution avec la condition initiale : m=500; T=30; t=linspace(0,T,m); u0 = [-2.5; 2.5]; % marquage de la condition initiale plot(u0(1),u0(2),’b*’); Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels VII %affichage de la solution [u] =lsode("vanderpol",u0,t); plot(u(:,1),u(:,2),’r’); %titre, l´gendes, etc... e title(’Equation de Van Der Pol : plan de phase (y(t), dy(t)/dt)’); xlabel(’y(t)’); ylabel(’dy(t)/dt’); hold off; figure; plot(t,u); legend(’y(t)’,’dy(t)/dt’); Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave
  • ´ ` ´ Modelisation et systemes differentiels VIII ´ ´ Figure: Trace du champ de vecteur et de la solution de l’equation de Van der Pol Rodolphe Charrier ` Introduction a Octave