Apostila de mec solos ba ii

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Apostila de mec solos ba ii

  1. 1. 1 Universidade Federal da Bahia - Escola PolitécnicaDepartamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais (Setor de Geotecnia) MECÂNICA DOS SOLOS II Conceitos introdutórios Autores: Sandro Lemos Machado e Miriam de Fátima C. Machado
  2. 2. 2 MECÂNICA DOS SOLOS II Conceitos introdutórios SUMÁRIO1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS 05 1.1 Introdução 05 1.2 Conservação da energia 06 1.3 Lei de Darcy. 12 1.4 Validade da lei de Darcy 14 1.5 Coeficiente de permeabilidade dos solos 14 1.6 Métodos para determinação da permeabilidade dos solos 15 1.7 Fatores que influem no coeficiente de permeabilidade do solo 20 1.8 Extensão da lei de Darcy para o caso de fluxo tridimensional 21 1.9 Permeabilidade em extratos estratificados 21 1.10 Lei de fluxo generalizada (conservação da massa) 23 1.11 Capilaridade nos solos 272. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 30 2.1 Introdução 30 2.2 Compressibilidade dos solos 30 2.3 Ensaio de compressão confinada 31 2.4 Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada 33 2.5 Cálculo dos recalques totais em campo 39 2.6 Analogia mecânica do processo de adensamento proposta por Terzaghi 42 2.7 Teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi 46 2.8 Obtenção dos valores de Cv. 51 2.9 Deformações por fluência no solo 53 2.10 Aceleração dos recalques em campo 543. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO 56 3.1 Introdução 56 3.2 Equação para fluxo estacionário e bidimensional 56 3.3 Métodos para resolução da equação de Laplace 59 3.4 Redes de fluxo 60 3.5 Fluxo de água através de maciços de terra 68 3.6 Fluxo de água através de maciços de terra e fundações permeáveis 74 3.7 Fluxo de água através de maciços anisotrópicos 74 3.8 Fluxo de água em meios heterogêneos 774. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 80 4.1 Introdução 80 4.2 O conceito de tensão em um ponto 82 4.3 Círculo de Mohr 83 4.4 Resistência dos solos 86 4.5 Ensaios para a determinação da resistência ao cisalhamento dos solos 87 4.6 Características genéricas dos solos submetidos à ruptura 93 4.7 Trajetórias de tensões 105 4.8 Aplicação dos resultados de ensaios a casos práticos 108
  3. 3. 3 5. EMPUXOS DE TERRA 111 5.1 Introdução 111 5.2 Coeficientes de empuxo 111 5.3 Método de Rankine 115 5.4 Método de Coulomb 118 5.5 Aspectos gerais que influenciam na determinação do empuxo 123 5.6 Estruturas de arrimo 125 6. ESTABILIDADE DE TALUDES 145 6.1 Introdução 145 6.2 Métodos de análise de estabilidade 147 6.3 Considerações gerais 163  BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 165
  4. 4. 4 NOTA DOS AUTORES  Este trabalho foi desenvolvido apoiando-se na estruturação e ordenação de tópicos já existentes no Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais (DCTM), relativos à disciplina Mecânica dos Solos. Desta forma, a ordenação dos capítulos do trabalho e a sua lógica de apresentação devem muito ao material desenvolvido pelos professores deste Departamento, antes do ingresso do professor Sandro Lemos Machado à UFBA, o que se deu em 1997.  Vale ressaltar também que o capítulo de origem e formação dos solos, cujo conteúdo é apresentado no volume 1 deste trabalho, tem a sua fundamentação no material elaborado, com uma enorme base de conhecimento regional, pelos professores do DCTM e pelo aluno Maurício de Jesus Valadão, apresentado em um volume de notas de aulas , de grande valor didático e certamente referência bibliográfica obrigatória para os alunos que cursam a disciplina Mecânica dos Solos.
  5. 5. 51. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS. #" ¨¦¤£¢  ! © § ¥ ¡   ¡ Antes de iniciarmos uma exposição mais ou menos detalhada das bases teórica que sedispõe para tratar dos problemas de fluxo de água no solo, é conveniente esclarecer as razõespelas quais a resolução de tais problemas é de vital importância para o engenheiro geotécnico.Ao se mover no interior de um maciço de solo, a água exerce em suas partículas sólidas forçasque influenciam no estado de tensões do maciço. Os valores de pressão neutra e com isto osvalores de tensão efetiva em cada ponto do solo são alterados em decorrência de alterações noregime de fluxo. Na zona não saturada, mudanças nos valores de umidade do solo irão alterarde forma significativa os seus valores de resistência ao cisalhamento. De uma forma geral, sãoos seguintes os problemas onde mais se aplicam os conceitos de fluxo de água nos solos: $ Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através da zona de fluxo. $ Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático $ Problemas de colapso e expansão em solos não saturados $ Dimensionamento de sistemas de drenagem $ Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos $ Previsão de recalques diferidos no tempo $ Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo (estabilidade de taludes). $ Análise da possibilidades da água de infiltração produzir erosão, araste de material sólido no interior do maciço, “piping”, etc. Como se pode observar, o conhecimento das leis que regem os fenômenos de fluxo deágua em solos é aplicado nas mais diversas situações da engenharia. Um caso de particularimportância na engenharia geotécnica, o qual aplica diretamente os conceitos de fluxo de águaem solos, é o fenômeno de adensamento, característico de solos moles, de baixapermeabilidade. Por conta dos baixos valores de permeabilidade destes solos, os recalquestotais a serem apresentados por eles, em decorrência dos carregamentos impostos, nãoocorrem de imediato, se apresentando diferidos no tempo. A estimativa das taxas de recalquedo solo com tempo, bem como a previsão do tempo requerido para que o processo deadensamento seja virtualmente esgotado, são questões freqüentemente tratadas peloengenheiro geotécnico, o qual terá que utilizar de seus conhecimentos acerca do fenômeno defluxo de água em solos, para respondê-las. O capítulo 2 deste volume trata do temacompressibilidade/adensamento. A influência do fluxo de água na estabilidade das massas de solo se dá pelo fato deque quando há fluxo no solo, a pressão a qual água está sujeita é de natureza hidrodinâmica eeste fato produz várias repercussões importantes. Em primeiro lugar, dependendo da direçãodo fluxo, a pressão hidrodinâmica pode alterar o peso específico submerso do solo. Porexemplo, se a água flui em sentido descendente, o peso específico submerso do solo émajorado. Se o fluxo ocorre em uma direção ascendente, se exerce um esforço sobre aspartículas de solo o qual tende a diminuir o seu peso específico submerso. Em segundo lugare de acordo com o princípio das tensões efetivas de Terzaghi, conservando-se a tensão totalatuando em um ponto na massa de solo e modificando-se o valor da tensão neutra naqueleponto, a sua tensão efetiva será modificada. Como já vimos anteriormente, a tensão efetiva é aresponsável pelas respostas do solo, seja em termos de resistência ao cisalhamento, seja em
  6. 6. 6termos de deformações, o que vem a ilustrar ainda mais a importância dos fenômenos defluxo de água nos solos. Conforme apresentado no capítulo 4 do volume 1 deste trabalho, a água no solo podese apresentar de diferentes formas, dentre as quais podemos citar a água adsorvida, a águacapilar e a água livre. A água adsorvida está ligada às superfícies das partículas do solo pormeio de forças elétricas, não se movendo no interior da massa porosa e portanto nãoparticipando dos problemas de fluxo. O fluxo de água capilar apresenta grande importânciaem algumas questões da mecânica do solo, tais como o umedecimento de um pavimento porfluxo ascendente. Contudo, na maioria dos problemas de fluxo em solos, os efeitos da parcelade fluxo devido à capilaridade são de pequena importância e podem ser desprezados,principalmente se considerarmos as complicações teóricas adicionais que surgiriam se estesfossem levados em conta. A água livre ou gravitacional é aquela que sob o efeito da gravidadeterrestre pode mover-se no interior do maciço terroso sem outro obstáculo senão aquelesimpostos por sua viscosidade e pela estrutura do solo. Em uma massa de solo a água gravitacional está separada da água capilar pelo nível dolençol freático. Nem sempre é fácil se definir ou localizar o nível do lençol freático. Naprática, ao se efetuar uma escavação, o espelho de água que se forma após decorrido temposuficiente para o equilíbrio do fluxo, define o lençol freático. Tal superfície de separação,porém, provavelmente não existe no solo adjacente, já que devido a natureza do solo emquestão deve haver solo totalmente saturado acima do espelho de água formado (ascensãocapilar). O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos é realizado apoiando-se em trêsconceitos básicos: conservação da energia (Bernoulli), permeabilidade dos solos (lei deDarcy) e conservação da massa. Estes conceitos serão apresentados de forma resumida nospróximos itens deste capítulo. Após a exposição dos mesmos será apresentada umaformulação ampla, aplicável a todos os casos de fluxo de água em solos. Esta formulação éentão simplificada, de modo a considerar somente os casos de fluxo de água em solossaturados, homogêneos e isotrópicos. Obedecendo-se estas restrições, são apresentadas asequações utilizadas para os casos de fluxo bidirecional estacionário e fluxo unidirecionaltransiente (teoria do adensamento de Terzaghi). 420)(¤$ ¨¦¤£ ¢  3 1 © % § # ! © § ¥ ¡ ¡ O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado aosalunos do curso de engenharia civil nas disciplinas de Física e Fenômenos dos Transportes.Para fins de Geotecnia, contudo, é mais prático se utilizar o conceito de densidade de energia,geralmente expressos em relação ao peso ou ao volume de fluido. A eq. 1.1 apresenta aproposta de Bernoulli para representar a energia total em um ponto do fluido, expressa emtermos da razão energia/peso. A energia total ou carga total é igual à soma de três parcelas:(carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + carga cinética). u v2 htotal = z + + γ w 2g (1.1) Onde, htotal é a energia total do fluido; z é a cota do ponto considerado com relação aum dado referencial padrão (DATUM); u é o valor da pressão neutra; v é a velocidade defluxo da partícula de água e g é o valor da aceleração da gravidade terrestre, geralmenteadmitido como sendo igual a 10 m/s2. Como se pode observar desta equação, este modo de expressar o teorema de Bernoulliconduz à representação da energia específica do fluido em termos de cotas equivalentes,possuindo a unidade de distância (m, cm, mm, etc.). Notar que a relação Joule/Newtonpossui unidade de comprimento. Como será visto no próximo item deste capítulo, a
  7. 7. 7representação da energia total de um fluido em termos de cotas equivalentes é preferívelquando do estudo de problemas envolvendo fluxo de água nos solos. Para a grande maioria dos problemas envolvendo fluxo de água em solos, a parcela daenergia total da água no solo referente à energia cinética, termo (v2/2g), pode ser desprezada.Isto faz com que a eq. 1.1 possa ser escrita de uma forma mais simplificada: u htotal = z + γw (1.2) A carga altimétrica (z) é a diferença de cota entre o ponto considerado e o nível dereferência. A carga piezométrica é a pressão neutra no ponto, expressa em altura de colunad`água. A fig. 1.1 apresenta a variação das parcelas de energia de posição (z) e de pressão dofluido (u/γw) em um reservatório de água em situação estática (sem a ocorrência de fluxo).Conforme se pode observar desta figura, as parcelas de energia de posição (ou gravitacional) ede pressão variam de tal forma a manter constante o valor do potencial total da água no solo. Z Nível do lençol freático u = γw.zw, onde zw é a Zw distância vertical do ponto considerado até o nível do lençol freático. DATUM (z = 0) h = u/γw +z h u z Figura 1.1 - Variação das energias de posição, pneumática e total ao longo de umreservatório de água em condições estáticas. Conforme será visto no item seguinte deste capítulo, para que haja fluxo de água entredois pontos no solo, é necessário que a energia total em cada ponto seja diferente. A águaentão fluirá sempre do ponto de maior energia para o ponto de menor energia total. Costuma-se definir a energia livre da água em um determinado ponto do solo como aenergia capaz de realizar trabalho (no caso, fluxo de água). Considerando-se a condiçãonecessária para que haja fluxo no solo exposta acima, a energia livre poderia ser representadapela diferença entre os valores de energia total nos dois pontos considerados da massa de solo.Desta forma, caso o nível de referência (DATUM) apresentado na fig. 1.1 fosse modificado, ovalor da energia total em cada ponto também o seria, porém, a diferença entre as energiastotais permaneceria constante, ou seja, a energia livre da água entre os dois pontospermaneceria inalterada, independente do sistema de referência. No item seguinte deste capítulo, o termo htotal da equação de Bernoulli serádenominado de potencial total da água no solo e será representado pelo símbolo h.
  8. 8. 8 ¤§¥¤£ ¢  © ¨ ¦   ¡ ¡ $# ( ¨ % © ! ¨ ) No esquema apresentado na fig. 1.2a, a água se eleva até uma certa cota (h1) nos doislados do reservatório. O potencial total é soma da cota atingida pela água e a cota do plano dereferência. Nesse caso, o potencial total é o mesmo nos dois lados do reservatório (pontos F1 eF2), portanto, não há fluxo. Somente ocorre fluxo quando há diferença de potenciais totaisentre dois pontos e ele seguirá do ponto de maior potencial para o de menor potencial.Considerando-se o caso b da fig. 1.2, tem-se no lado esquerdo (ponto F1) maior potencial totalque no ponto F2, no lado direito. Dessa forma, a água está fluindo da esquerda para direita, ouseja, de F1 para F2. Ocorrendo movimento de água através de um solo, ocorre umatransferência de energia da água para as partículas do solo, devido ao atrito viscoso que sedesenvolve. A energia transferida é medida pela perda de carga e a força correspondente aessa energia é chamada de força de percolação. A força de percolação atua nas partículastendendo a carregá-las, conseqüentemente, é uma força efetiva de arraste hidráulico que atuana direção do fluxo de água. h h1 h1 h2 L L F2 A A F1 F1 FP F2 (a) (b) Figura 1.2 – Forças de percolação. Na fig. 1.2b, pode-se observar que a amostra de solo está submetida à força F1=γw.h1.A,graças à carga h1 atuando do lado esquerdo do reservatório e que do lado direito, atua a forçaF2=γw.h2.A A força resultante, FP, dada pela diferença F1 – F2, que se dissipa uniformemente emtodo o volume de solo (A.L), é dada por: Fp = F1 − F2 = γ w .A.( h1 − h2 ) Sendo, i= -∆h/L, temos: Fp = γ w .V .i (1.3) fp = γ w .i (fp: Força de percolação por unidade de volume) A análise do equilíbrio de uma massa de solo sujeita à percolação da água admite doisprocedimentos distintos: • Peso total (saturado) do solo + forças de superfície devido às pressões da água intersticial; • Peso efetivo (submerso) do solo + forças de percolação. O primeiro procedimento envolve a consideração do equilíbrio da massa de solo comoum todo (sólido + água), ao passo que o segundo analisa as condições de equilíbrio apenas do
  9. 9. 9esqueleto sólido do solo. Ambos são igualmente válidos e a aplicação de um ou outro dependedo problema a ser analisado, em termos de conveniência. É interessante ressaltar, no segundo procedimento, as condições particulares de fluxosascendentes e descendentes de água. Uma vez que as forças de percolação atuam na direçãodo fluxo, ocorre um acréscimo de pressões efetivas no caso de fluxo descendente e umaredução das pressões efetivas no caso de fluxo ascendente, os seja: γ =γ sub ± fp Fluxo descendente (+): γ` = γsub + γ w·i → 7 v 9 @8 A su b B A w C i dzC Fluxo ascendente (-): γ` = γsub - γ w·i→ 7 v 9 D8 A su b E A w C i dzC ¨¦£ ¤£ ¢  § © § ¥ ¡ ¡ 21 6520( $! 3 % 1 4 3 1 ) % § # Ruptura hidráulica é o processo de perda da resistência e da estabilidade de uma massade solo por efeito das forças de percolação. Um primeiro tipo de ruptura hidráulica é aqueleem que a perda de resistência do solo decorre da redução das pressões efetivas devido a umfluxo d`àgua ascendente. Nestas condições, a força de percolação gerada pode se igualar àsforças gravitacionais efetivas, desde que os gradientes hidráulicos sejam suficientementeelevados. Assim, a resultante das forças efetivas será nula. A fig. 1.3 mostra um esquemaexplicando como isso poderá ocorrer. Nesta figura, a areia está submetida a um fluxoascendente de água, ou seja, a água percola do ramo da esquerda para direita, em virtude dadiferença de carga h, que é dissipada pelo atrito viscoso desenvolvido entre a água e aspartículas sólidas, sendo portanto satisfeita a primeira condição para ocorrência do fenômeno(fluxo ascendente). h h1 Areia saturada L A Figura 1.3 – Permeâmetro com fluxo ascendente – Areia movediça. A segunda condição, conforme já exposto, consiste na verificação da condição detensão efetiva igual a zero (σ`=0) ou força de percolação igual ao peso submerso do solo(Fp=Wsub). Fazendo o equilíbrio no Ponto A temos (pressão igual à tensão total): Tensão total: σA = γw.h1 + γsat. L (1.4) Pressão neutra uA = γw. (h1 +L + h) (1.5) Igualando as equações 1.4 e 1.5 tem-se a eq. 1.6:
  10. 10. 10 hc γ sat − γ w ic = = L γw (1.6) onde: ic é chamado gradiente hidráulico critico (aproximadamente igual a 1,0 para amaioria dos solos). A condição i ≥ ic implica, portanto, em pressões efetivas nulas emquaisquer pontos do solo. No caso de solos arenosos (sem coesão), a resistência está diretamente vinculada àspressões efetivas atuantes (s = σ` tg φ`). Atingida a condição de fluxo para ic, resulta umaperda total da resistência ao cisalhamento da areia, que passa a se comportar como um líquidoem ebulição. Este fenômeno é denominado areia movediça. Nota-se, portanto, que a areiamovediça não constitui um tipo especial de solo, mas simplesmente, uma areia através da qualocorre um fluxo ascendente de água sob um gradiente hidráulico igual ou maior que ic. A ocorrência de areia movediça na natureza é rara, mas o homem pode criar estasituação nas suas obras, com maior freqüência. A fig. 1.4 apresenta duas situações em queeste fenômeno pode ocorrer. No caso (a) tem-se uma barragem construída sobre uma camadade areia fina sobreposta a uma camada de areia grossa. A água do reservatório de montantepercolará, preferencialmente, pela areia grossa e sairá a jusante através da areia fina comfluxo ascendente. No caso (b) tem-se uma escavação em areia saturada e rebaixamento donível de água para permitir a execução dos trabalhos. Figura 1.4 – Condições de areia movediça criada em obras. Modificado de Pinto,(2000). Um outro tipo de ruptura hidráulica é aquele que resulta do carreamento de partículasdo solo por forças de percolação elevadas, sendo o fenômeno designado, comumente, pelotermo em inglês “piping”(entubamento). Este fenômeno pode ocorrer, por exemplo, na saídalivre da água no talude de jusante de uma barragem de terra, onde as tensões axiais sendopequenas, resultam em valores baixos das forças de atrito interpartículas que, assim, tornam-se passíveis de serem arrastadas pelas forças de percolação. Iniciado o processo, com ocarreamento de partículas desta zona do maciço, desenvolve-se um mecanismo de erosãotubular regressiva, que pode levar ao colapso completo da estrutura.  £)0! $(021 0¦$)(£$ ¨¦¤ £ ¡¢ § 4 § 3 # ! § % # ! § © § ¥ ¡ Devido aos graves problemas que podem resultar da ocorrência de forças depercolação elevadas, torna-se imprescindível o controle destas forças em uma obra de terra.Este controle pode ser feito, basicamente, por dois procedimentos distintos, sendo usual a
  11. 11. 11adoção conjunta de ambos em um mesmo projeto, que são: redução da vazão de percolação eadoção de dispositivos de drenagem. A fig. 1.5 sintetiza as soluções clássicas para uma barragem de terra, que incorporamos seguintes dispositivos para a redução da vazão de percolação: construção de tapetesimpermeabilizante a montante (1); construção de revestimentos de proteção do talude demontante (2); zoneamento do maciço, com núcleo constituído de material de baixapermeabilidade (3); construção de trincheira de vedação (cut off) , escavada na fundação epreenchida com material de baixa permeabilidade (4); construção de cortina de injeção (5). Adicionalmente, em termos de dispositivos de drenagem, podem ser adotadas asseguintes soluções: execução de filtros verticais e inclinados (6); construção de tapetesfiltrantes (filtros horizontais), (7); zoneamento do maciço com material mais permeável nazona de jusante (8); execução de drenos verticais ou poços de alívio (9); construção deenrocamento de pé (10). Figura 1.5 - Elementos para controle de forças de percolação. Devido à percolação de água de um solo relativamente fino para um solo maisgranular (areias e pedregulhos), existe a possibilidade de carreamento das partículas finas parao solo granular, com crescente obstrução dos poros e consequente redução da drenagem. Talcondição ocorre, por exemplo, entre o material do maciço de uma barragem de terra e oenrocamento executado no pé do talude de jusante (ver fig. 1.5). Há portanto, necessidade deevitar estes danos mediante a colocação de filtros de proteção entre o solo fino passível deerosão e o enrocamento de pé, os quais devem satisfazer duas condições básicas: • Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente pequenos para impedir o carreamento das partículas do solo adjacente a ser protegido; • Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente grandes para garantir uma elevada permeabilidade e evitar o desenvolvimento de altas pressões hidrostáticas. A escolha do material de filtro, baseada nestes requisitos básicos, é feita a partir dacurva granulométrica do solo a ser protegido. Terzaghi propôs as seguintes relações: D 15 f   4 a 5 D 85 s D 15 4 a 5 D 15 ¡ f s (1.7)
  12. 12. 12sendo, f, o índice relativo ao material de filtro e, s, o índice relativo ao solo a ser protegido eainda, D(%), o diâmetro correspondente à porcentagem que passa, ou seja, semelhante asdefinições de D10 e D60. Na fig. 1.6 tem-se um exemplo de como escolher a curva granulométrica de um filtro,para proteger um solo com curva granulométrica conhecida. Estabelecidos os limites paraD(15)f (pontos A e B), traçam-se, por estes pontos, curvas granulométricas de coeficiente deuniformidade aproximadamente iguais ao solo a ser protegido, definindo-se, portanto, umafaixa de granulometrias possível de atender às condições exigidas para o filtro de proteção. Figura 1.6 - Escolha da faixa de variação granulométrica para filtros de proteção.Modificado de Bueno Vilar, (1985).! ¨¦¤£ ¢  § © § ¥ ¡ ¡ Conforme estudado na disciplina Fenômenos de Transporte, os problemas de fluxopodem ser divididos em duas grandes categorias: fluxo (ou escoamento) laminar e fluxoturbulento. No regime de fluxo laminar as partículas do fluido se movimentam em trajetóriasparalelas, uma não interferindo no movimento das outras. No regime de fluxo turbulento, astrajetórias de fluxo são irregulares, cruzando-se umas com as outras de forma inteiramentealeatória. Osborne Reynolds, em seu experimento clássico estudando fluxo em condutosfechados, estabeleceu um limite inferior de velocidade no qual o fluxo muda as suascaracterísticas de laminar para turbulento. Este limite é denominado de velocidade crítica, eos fenômenos de fluxo que ocorrem com valores de velocidade abaixo da velocidade críticasão considerados como pertencentes a categoria de fluxo laminar, caso contrário, são tratadoscomo problemas de fluxo turbulento. No caso de fluxo laminar de água no solo, a resistênciaao fluxo é devida principalmente à viscosidade da água e as condições de contorno doproblema possuem menor importância. A velocidade critica de escoamento, vc, é governadapor um número admensional, denominado de número de Reynolds (R). A eq. 1.8 apresenta aexpressão utilizada para o cálculo do número de Reynolds. Verifica-se experimentalmenteque a velocidade crítica para escoamento em tubos corresponde a um número de Reynolds deaproximadamente 2000. v ⋅D R= ν (1.8)
  13. 13. 13 Onde: v é a velocidade de fluxo do fluido, D é o diâmetro do tubo e ν é a viscosidadecinemática do fluido (expressa nas unidades L2/T). É difícil se estudar as condições de fluxo para cada poro, de maneira individual dentrodo solo. Somente as condições médias existentes em cada seção transversal de solo podem serestudadas. Pode-se dizer, contudo, que para os tamanhos de poros geralmente encontrados nossolos, o fluxo através dos mesmos é invariavelmente laminar. Somente para o caso de solosmais grossos, como no caso dos pedregulhos, escoamento turbulento pode ocorrer, aindaassim requerendo para isto altos valores de gradientes hidráulicos. O engenheiro Francês H. Darcy realizou um experimento, o qual era constituído de umarranjo similar àquele apresentado na fig. 1.7, para estudar as propriedades de fluxo de águaatravés de uma camada de filtro de areia. Este experimento, realizado em 1856, se tornouclássico para as áreas de hidráulica e geotecnia e deu origem a uma lei que correlaciona a taxade perda de energia da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua velocidade deescoamento (lei de Darcy). z h h1 ∆h h1 L i = -dh/dz h2 h2 Figura 1.7 - Esquema ilustrativo do experimento realizado por Darcy. No experimento apresentado na fig. 1.7, os níveis de água h1 e h2 são mantidosconstantes e o fluxo de água ocorre no sentido descendente através do corpo de prova.Medindo o valor da taxa de fluxo que passa através da amostra (vazão de água), representadapelo símbolo q, para vários valores de comprimento da amostra (L) e de diferença depotencial total (∆h), Darcy descobriu que a vazão “q” era proporcional a razão ∆h/L (ougradiente hidráulico da água através da amostra, i). Isto é ilustrado na eq. 1.9 apresentadaadiante. ∆h q = −k ⋅ ⋅ A = k ⋅i⋅ A L (1.9) Na eq. 1.9, k é uma constante de proporcionalidade denominada de coeficiente depermeabilidade do solo. Quanto maior o valor de k, maior vai ser a facilidade encontrada pelaágua para fluir através dos vazios do solo. O coeficiente de permeabilidade, k, tem dimensãode velocidade (L/T), e pode ser definido como a velocidade de percolação da água no solopara um gradiente hidráulico unitário. A é o valor da seção transversal da amostra de soloperpendicular à direção do fluxo. No lado direito da fig. 1.7 está representada a variação do potencial total da água emfunção da cota (z) da água no experimento. Conforme apresentado nesta figura, o valor do
  14. 14. 14potencial total da água é constante (e igual a h1) até que a água comece a fluir dentro daamostra de solo, passando a h2 na outra extremidade da amostra (extremidade inferior).Considerando-se a amostra de solo como homogênea, pode-se admitir uma variação linear dopotencial total da água dentro da amostra (valores de gradientes hidráulicos (i) constantes).Em outras palavras, as perdas de carga eventualmente ocorrendo no exterior da massa de solosão desprezadas. A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo de prova (A) indica a velocidadecom que a água percola no solo. O valor da velocidade de fluxo da água no solo (v), é dadopela eq. 1.10, apresentada a seguir. ∆h v = −k ⋅ = k⋅i L (1.10) Esta velocidade é chamada de velocidade de descarga (v). A velocidade de descarga édiferente da velocidade real da água nos vazios do solo. Isto ocorre porque a área efetiva quea água tem para percolar na seção de solo não é dada pela área transversal total da amostra(A), mas sim pela sua área transversal de vazios. Aplicando-se as noções desenvolvidas emíndices físicos pode-se admitir que a relação entre a área transversal de vazios e a áreatransversal total seja dada pela porosidade do solo (n). Deste modo, a velocidade depercolação real da água no solo é dada pela eq. 1.11. Como os valores possíveis para aporosidade do solo estão compreendidos entre 0 e 1, percebe-se que a velocidade depercolação real da água no solo é maior do que a velocidade de descarga. Apesar disto, devidoa sua aplicação prática mais imediata, a velocidade de descarga é a velocidade empregada naresolução de problemas envolvendo fluxo de água em solos. v v real = n (1.11) ($!¦¦¦ ¦¨¦¤£ ¢  % # § § § © § ¥ ¡ ¡ A lei de Darcy para o escoamento da água no solo é válida somente para os casos defluxo laminar. Pesquisas efetuadas posteriormente a postulação da lei de Darcy demostraramque o valor limite do número de Reynolds para o qual regime de fluxo muda de laminar paraturbulento no solo se situa entre 1 e 2. Esta enorme diferença entre o número de Reynoldscrítico para escoamentos em condutos forçados e no solo deve-se ao fato de que no solo oscanalículos ligando os diversos poros em seu interior são irregulares, tortuosos e mesmoeventualmente não contínuos. I2 ¤QI¦¦ © G¤ED!A@8 4% (6431) ¢ H © 2 P H 2 § F § C # B 9 7 5 2 0 ¡ ¡ Poucas propriedades em engenharia (senão nenhuma) podem variar em tão largasfaixas para um “mesmo material” quanto o coeficiente de permeabilidade dos solos. A fig. 1.8ilustra valores de permeabilidade típicos para diversos tipos de solo. Conforme se podeobservar da fig. 1.8, a depender do tipo de solo podemos encontrar valores de coeficientes depermeabilidade da ordem de 10 cm/s (solos grossos, pedregulhos) até valores tão pequenosquanto 1 x 10-10 cm/s. É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices devazios geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores decoeficiente de permeabilidade bastante inferiores a estes.
  15. 15. 15 Valores típicos: cm/s 102 10 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 Pedregulho Areia Areia fina, silte e mistura de Argila argila com ambos Figura 1.8 - Faixas de variação de valores do coeficiente de permeabilidade paradiferentes tipos de solo. Os solos, quando não saturados, apresentam coeficientes de permeabilidade menoresdo que quando saturados. Considerando-se dados experimentais, pode-se atribuir a solos comgrau de saturação de 90% coeficientes de permeabilidade da ordem de 70% do correspondenteao estado saturado. Esta diferença não pode ser atribuída exclusivamente ao menor índice devazios disponível, pois as bolhas de ar existentes são um obstáculo ao fluxo. Neste caso, asituação da água na interface água/ar das bolhas é parcialmente responsável pela diferença. QPI4G¤8 FE D¤BA@¤!87¤43 2$)($#!¨¦¤£ ¢  E H 1 1 C 0 9 6 5 1 0 © % © § ¥ ¡ ¡ A avaliação da permeabilidade de um solo pode ser feita diretamente, através deensaios de campo e laboratório ou indiretamente, utilizando-se de correlações empíricas. A determinação do coeficiente de permeabilidade em laboratório é conceitualmentemuito simples, mas os ensaios são de difícil realização. Os ensaios de campo não são tão bemcontrolados como os de laboratório, porém resultam do comportamento dos maciços de solo,isto é, na maneira como se encontram na natureza, enquanto que a validade dos resultados delaboratório são função da qualidade e da representatividade das amostras utilizadas nosensaios. B7c bSD`QY7¤ 8WQVUSR¤£ ¢  1 a 0 X 5 E T ¡   ¡ ¡ Os solos granulares podem ter o seu coeficiente de permeabilidade estimadoutilizando-se os resultados de ensaios para a determinação de sua granulometria. Para estessolos, uma boa indicação do coeficiente de permeabilidade é dada pela equação de Hazen, aqual correlaciona o coeficiente de permeabilidade do solo com o diâmetro efetivo (d10) de suacurva granulométrica. Esta equação, proposta por Hazen (1911), deve ser usada somente paraos casos de areia e pedregulho, com pouca ou nenhuma quantidade de finos. k = C ⋅ d 10 2 (1.12) Para k expresso em cm/s e o diâmetro efetivo expresso em cm, temos 90 C 120sendo o valor de C = 100 muito usado. Outra equação também utilizada na estimativa devalores de coeficientes de permeabilidade é a fórmula de Sing: e = α + β log(k ) (1.13) Onde α = 10β e β = 0,01⋅IP + δ. δ é uma constante do solo, geralmente adotadacomo igual a 0,05. Na eq. 1.13 k é expresso em cm/s. A proporcionalidade entre k e d102, adotada na fórmula de Hazen, tem respaldo emdedução de fluxo de água através de tubos capilares. Recomenda-se que o coeficiente deuniformidade do solo (Cu) seja menor que 5, para a utilização desta relação. Deve se notar quena equação proposta por Hazen o diâmetro equivalente dos vazios das areias, e, portanto, a
  16. 16. 16sua permeabilidade, é determinada pela sua fração mais fina, pouco interferindo a sua fraçãogranulométrica mais grossa. Duas outras equações que se aplicam à avaliação da permeabilidade em meios porosossão as de Taylor (eq. 1.14) e a de Kozeny-Carman (eq. 1.15): e3 ¢ k   C D2 ¡ w (1.14) £ 1 e ¤ e3 ¦ w 1 (1.15) k ¥ § 1 ¨ e ko S2 © Sendo: e = índice de vazios do solo, γw = peso específico do fluido, µ= viscosidade dofluido, ko = fator que depende da forma dos poros e da tortuosidade da trajetória da linha defluxo, S= superfície específica, D = diâmetro de uma esfera equivalente ao tamanho dos grãosdo solo, C = fator de forma. F7E8CBA112 87641($ 2 5 @ D # ) 5 @ 0 @ 0 9 # ) 5 3 2 0 ) % # ! Conforme será apresentado no capítulo 2, através do ensaio de adensamento efazendo-se uso da teoria da consolidação unidirecional de Terzaghi, pode-se estimar ocoeficiente de permeabilidade dos solos através da eq. 1.16. Nesta equação, av é o coeficientede compressibilidade do solo (expresso em termos de m2/kN), Cv é o seu coeficiente deadensamento (expresso em termos de m2/s), γw é o peso específico da água, (expresso emtermos de kN/m3) e eo é o índice de vazios inicial da amostra. Neste caso, k é expresso emm/s. av ⋅ Cv ⋅ γ w k= 1 + eo (1.16) Uma outra forma de se obter o coeficiente de permeabilidade do solo durante o ensaiode adensamento é realizando-se um ensaio de permeabilidade a carga variável, através dacélula edométrica, entre dois estágios de carregamento. Isto é feito principalmente quando sedeseja agilizar a obtenção de resultados e estudar a variação do coeficiente de permeabilidadedo solo com o seu índice de vazios. G SF(ERE$BPIB1($ ) 2 ! @ D Q @ D ! @ H @ 0 ) % # ! São os ensaios de laboratório mais utilizados. A seguir são apresentados, de modosucinto, os métodos empregados na realização de cada tipo de ensaio. f7e$SCRbdFbaBY$(XREWVPUTG @ 5 # ) 5 2 ` # c ! # ` @ 0 2 ! @ D Q @ D ! @ H O esquema montado para a realização deste ensaio se assemelha em muito com aqueleelaborado por Darcy para a realização de sua experiência histórica (fig. 1.7) sendoreapresentado na fig. 1.9. Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis d’água sãomantidos constantes e com diferença de altura (∆H), como demonstra a fig. 1.9. Medindo-se avazão q e conhecendo-se as dimensões do corpo de prova (comprimento L e a área da seçãotransversal A), calcula-se o valor da permeabilidade, k, através da eq. 1.17. q k i a g h h q vol t i p vol k i a t g h h h i r sq H L t
  17. 17. 17 Deste modo temos: vol L ¡ k   ¢ £¡ ¡ (1.17) em que: A H t vol: quantidade de água medida na proveta L: comprimento da amostra medido no sentido do fluxo A: área da seção transversal da amostra ∆H: diferença de nível entre o reservatório superior e inferior t: tempo medido entre o início e o fim do ensaio O permeâmetro de carga constante é sempre utilizado toda vez que temos que medir apermeabilidade em solos granulares (solos com razoável quantidade de areia e/oupedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados. ∆H ∆L Figura 1.9 - Esquema utilizado no ensaio de permeabilidade a carga constante. ¨$CA $)98¨65431)($!¨ © ¨§ ¦¥¤D B @ 2 7 2 2 0 %# ¥ ¥ ¥ O permeâmetro de carga variável é usado quando ensaiamos solos com baixos valoresde permeabilidade. Seu uso é requerido porque senão teríamos que dispor de um tempo muitolongo para percolar a quantidade de água necessária para a determinação de k com o uso dopermeâmetro de carga constante. Além disto, devido às baixas velocidades de fluxo, aevaporação da água para a atmosfera passa a ter grande importância e cuidados especiaisdevem ser tomados durante a realização dos ensaios. A fig. 1.10 apresentada a seguir ilustra oesquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a carga variável. No ensaio de permeabilidade a carga variável medem-se os valores de h obtidos paradiversos valores de tempo decorrido desde o início do ensaio (notar que a diferença depotencial entre os dois lados da amostra, aqui representada por h(t), não é mais umaconstante). São também anotados os valores de temperatura quando da efetuação de cadamedida. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo-se uso da lei deDarcy e levando-se em conta que a vazão de água através do corpo de prova pode serrepresentada pela eq. 1.18 (conservação da massa), apresentada adiante.
  18. 18. 18 Carga variável (solos finos) a h = f(t) L A Figura 1.10 - Esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade acarga variável. dh q = −a dt (1.18) A lei de Darcy pode ser expressa em termos de vazão pela eq. 1.19, apresentada aseguir. h q=k⋅ ⋅A L (1.19) Igualando-se as expressões 1.18 e 1.19 chega-se a eq. 1.20, apresentada abaixo. h1 t1 ¢ dh kA ¢ (1.20) onde, integrando-se obtém-se:   a ¡ ¡ dt ho h L to ho k.A explicitando-se o valor de k, obtém-se: a. ln t h1 £ L ¤ a.L ho ou a.L ho (1.21) k ln k 2,3. log h1 h1 ¥ ¥ A. t ¦ § A. t ¦ §
  19. 19. 19 Sendo; a: área interna do tubo de carga A: seção transversal da amostra L: altura do corpo de prova ho: distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior h1: distância, para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior ∆t: intervalo de tempo para o nível d`água passar de ho para h1 ¤#¤ ¦¨¦¥ ¤£ ¢  % $ ! © § ¡ ¡ ¡ Geralmente utilizados em furos de sondagens, podem ser realizados pela introdução deágua no furo de sondagem, medindo-se a quantidade de água que infiltra no maciço com odecorrer do tempo de ensaio ou retirando-se água de dentro do furo e medindo-se a vazãobombeada. O primeiro procedimento constitui o ensaio de infiltração e o segundo é conhecidopor ensaio de bombeamento. A fig. 1.11 apresenta o esquema utilizado no ensaio debombeamento. Neste ensaio, uma vazão constante de retirada de água (q) é imposta ao poçofiltrante esperando-se o equilíbrio do nível de água no fundo do poço. Poços testemunhas sãoabertos a certas distâncias (x1 e x2) do poço filtrante, anotando-se as profundidades do lençolfreático nestes poços. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo-seuso da eq. 1.22, apresentada adiante. Figura 1.11 - Esquema utilizado no ensaio de bombeamento.  x2  q ⋅ ln   k=  x1  ( π ⋅ y 2 − y1 2 2 ) (1.22) O ensaio de tubo aberto (infiltração) é utilizado para solos mais finos e a determinaçãodo coeficiente de permeabilidade é feita enchendo-se um furo revestido (escavado até umaprofundidade determinada, abaixo do lençol freático) com uma determinada quantidade deágua e deixando-se a água percolar pelo solo, fig. 1.12. Durante o processo de infiltração sãorealizadas leituras do nível de água no revestimento do furo e do tempo decorrido desde oinício do ensaio. O coeficiente de permeabilidade para o caso do ensaio de infiltração écalculado com o uso da eq. 1.23, apresentada adiante.
  20. 20. 20  r1   ∆h  k =  ⋅   4h   ∆t  (1.23) Os ensaios de campo para a determinação do coeficiente de permeabilidade do solo, serealizados com perícia, tendem a fornecer valores de coeficiente de permeabilidade maisrealísticos, já que são realizados aproximadamente na mesma escala do problema deengenharia e levam em conta os eventuais “defeitos” do maciço de solo (fraturas, anisotropiado material, não homogeneidade, etc.). Os ensaios de laboratório, embora realizados commaior controle das condições de contorno do problema, utilizam em geral amostras de solo depequenas dimensões, que deixam a desejar quanto a representatividade do maciço. Maioresdetalhes sobre a realização de ensaios de permeabilidade em campo são obtidos em De Lima(1983) e ABGE (1981). Figura 1.12 - Esquema ilustrativo do ensaio de infiltração. PA$D¨A@ H) GDE0DCA( 39 836532 0($!¨¦¤£ ¢  ) I @ @ § 7 7 F § 1 B @ © % 7 7 4 % 1 ) % # © § ¥ ¡ ¡ Além de ser uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de valores, ocoeficiente de permeabilidade de um solo é uma função de diversos fatores, dentre os quaispodemos citar a estrutura, o grau de saturação, o índice de vazios, etc. Quanto mais poroso é o solo maior será a sua permeabilidade. Essa correlação podeser visualizada através das equações 1.14 e 1.15. Deve-se salientar, contudo, que apermeabilidade depende não só da quantidade de vazios do solo mas também da disposiçãorelativa dos grãos. Amostras de um mesmo solo, com mesmo índice de vazios, tenderão a apresentarpermeabilidades diferentes em função da estrutura. A amostra no estado disperso terá umapermeabilidade menor que a amostra de estrutura floculada. Este fator é marcante no caso desolos compactados que, geralmente, quando compactados no ramo seco, apresentam umadisposição de partículas (estrutura floculada) que permite maior passagem de água do quequando compactados mais úmido (estrutura dispersa), ainda que com o mesmo índice de
  21. 21. 21vazios. Solos sedimentares, os quais por sua gênese possuem uma estrutura estratificada,geralmente apresentam fortes diferenças entre os valores de permeabilidade obtidos fazendo-se percolar água nas direções vertical e horizontal, em uma mesma amostra (anisotropiasurgida em decorrência da estrutura particular destes solos). Quanto maior o grau de saturaçãode um solo maior será sua permeabilidade, pois a presença de ar nos vazios do solo constituium obstáculo ao fluxo de água. Além disto, quanto menor o Sr, menor a seção transversal deágua disponível para a ocorrência do fluxo. Além dos fatores relacionados acima, a permeabilidade também sofre influência dascaracterísticas do fluido que percola pelos vazios do solo. A permeabilidade depende do pesoespecífico e da viscosidade do fluido (geralmente água). Essas duas propriedades variam coma temperatura, entretanto, a variação da viscosidade é muito mais significativa do que o pesoespecífico (quanto maior a temperatura, menor a viscosidade e menor o peso específico daágua). É prática comum se determinar a permeabilidade a uma dada temperatura de ensaio e,em seguida, corrigir o resultado para uma temperatura padrão de 20oC, através da fórmula: ¡ T k 20   kT ¡ (1.24) 20 onde: kT e µT são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura deensaio e k20 e µ20, são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura padrão(20oC).£ W(! VU ¦# QTS(QP HF(EDBBA61$88643010($ ¨¦¥ ¤¢ I % ) ) ) 5 R ! © I G # ! % C ! % 5 % @ 9 7 5 % 2 # ) % # ! © § £ £ A lei de Darcy pode ser estendida para o caso de fluxo tridimensional através da eq.1.25 apresentada adiante. Para o caso de solo isotrópico (kx=ky=kz), a eq. 1.25 pode sersimplificada, resultando na eq. 1.26. c c c X kx h d ky h d ky h d (1.25) V ` aY c b i e c b j e c b k x b y b z b q q q h h h f V h ig k p q i s Wp r q rjTp s q k r tp (1.26) x y z „7 ƒ‚ QEQW6BWQ0¦€0# yI ¦0Ew80116u ¤¢ ! # % ) ) % 5 § ! 5 5 R U # % ) ) x % U 5 v £ £ Os depósitos de solos naturais podem exibir estratificação ou serem constituídos porcamadas com diferentes coeficientes de permeabilidade na direção vertical e horizontal. Apermeabilidade média do maciço dependerá da direção do fluxo em relação à orientação dascamadas. Dois casos podem ser facilmente considerados: fluxo na direção paralela àestratificação e fluxo perpendicular à estratificação. Fluxo paralelo aos planos das camadas do solo: A fig. 1.13 mostra um esquema de fluxo paralelo à direção das camadas do solo. Osolo é constituído por camadas de material com coeficiente de permeabilidade diferentes (k1,k2, kn). Na direção horizontal todas as camadas estão sujeitas ao mesmo gradiente hidráulico(i). Como V=ki, e k é diferente para as camadas, então a velocidade de fluxo será diferentepara cada camada (V1= k1.i, V2=k2.i, Vn =kn.i). Considerando um comprimento unitário na direção perpendicular ao plano do papel,temos que área de fluxo de cada camada será h1, h2,....hn, respectivamente, e esta valerá h paratodas as camadas.
  22. 22. 22 q1 q2 h1 k1, i1 q3 h2 k2, i2 h h3 k3, i3 Figura 1.13 – Fluxo paralelo aos planos das camadas. A vazão total que passa pelo solo é soma da vazões em cada camada. Assumindo kxcomo a permeabilidade média do solo, paralela à estratificação e aplicando a eq. 1.27podemos determinar a permeabilidade média do maciço (eq. 1.28). q Y q1 q 2     q3 £¢    ¡ qn (1.27) mas, k x ih ¤ k 1 ih 1 k 2 ih 2 ¥ ¨§¥ ¥ ¦ k n ih n n k i hi kx © i 1 (1.28) n hi i 1 Fluxo perpendicular aos planos das camadas do solo: Um esquema de fluxo perpendicular à estratificação do maciço é apresentado na fig. 1.14.Na direção vertical, sendo contínuo o escoamento, a vazão que passa através de cada camadaé a mesma e a perda de carga é diferente em cada uma delas (∆h1, ∆h2, ∆hn). Desde que avazão é constante em todas as camadas e a área da seção transversal ao fluxo é a mesma, avelocidade de fluxo também será a mesma em todas as camadas. Considerando-se ainda queh1, h2, hn, são a espessura de cada camada de solo e k1, k2, kn, os coeficientes depermeabilidade de cada camada, podemos escrever a equação da permeabilidade média nadireção vertical (kz), eq. 1.29: q Y q1 Y q2 Y q3 Y ¡ Y qn VzA Y V 1 A1 Y V 2 A2 Y ¡ Y V n An ou Vz V1 V2 £ Vn h h1 h2 hn Vz kz hi k1 h1 k2 h2 ¨ kn hn Se a perda de carga total ∆h é dado pelo somatório das perdas de cargas através decada uma das camadas e o coeficiente de permeabilidade do conjunto é kz, ter-se-á:
  23. 23. 23   h   h1   h2   h3   hn ou Y ¡ ¡ ¤£¡ ¡ ¢ ¥ Vz hi V 1 h1 V 2 h2 V n hn kz ¦ k1 k2 § ©§ § ¨ kn n hi kz i 1 (1.29) n hi i 1 ki q h1 k1, i1 h2 k2, i2 h h3 k3, i3 Figura 1.14 – Fluxo perpendicular aos planos das camadas.G3F E$%DC%A@87531 %)%%#!CC 0 B9 6 42 0( $ A seguir é apresentado um tratamento matemático sumário o qual permite chegar deuma forma direta às equações básicas que se utilizam hoje para tratar dos problemasenvolvendo fluxo de água em solos. Considere-se uma região de fluxo (ou seja, uma região desolo por onde há fluxo de água) a qual forma um elemento paralelepipédico infinitesimal dedimensões dx, dy e dz (fig. 1.15). Figura 1.15 – Movimento de água na direção y através da região de soloconsiderada.
  24. 24. 24 Na fig. 1.15 está representada a parcela de fluxo através do elemento de soloconsiderado, correspondente a componente da velocidade de fluxo da água na direção y, vy.Deve-se notar da análise da fig. 1.15 que a componente vy da velocidade da água não provocanenhum fluxo através das outras quatro faces do elemento de solo (vy está contida nos outrosdois planos ortogonais do paralelepípedo). Desta forma, a quantidade de fluxo que passa pelaface cujo centro tem coordenadas (x,y,z) pode ser dada pela eq. 1.30, apresentada adiante. Naeq. 1.30, vy é a componente do fluxo na direção y e o produto dx⋅dz corresponde ao valor daárea pela qual o fluxo está ocorrendo. Deve-se notar ainda que o símbolo qy tem unidade devazão, isto é, é expresso em termos de L3/T. qy (y ) = Vy (y ) ⋅ dz ⋅ dx (1.30) Para a outra face do elemento de solo a qual sofre a influência do fluxo de águaprovocado por vy, o centro da área de fluxo tem coordenadas (x,y+dy,z). A velocidade defluxo na direção y não é mais necessariamente vy, devendo ser melhor representada porvy+dvy. dvy representa a variação da velocidade de fluxo na direção y, devido a variaçãoespacial da coordenada do centro da face de fluxo, dy. A eq. 1.31 representa a quantidade defluxo passando pela outra face do elemento de solo q y ( y+ dy ) = V y (y +dy ) ⋅ dz ⋅ dx = ( y + dVy )⋅ dz ⋅ dx V (1.31) A taxa de armazenamento de água no solo devida a componente da velocidade defluxo na direção y será dada pela diferença entre as quantidades de fluxo que passam pelasduas faces aqui consideradas (diferença entre os termos dados pelas eqs. 1.31 e 1.30). A eq.1.32 representa a taxa de armazenamento da água no solo devido a componente de fluxo nadireção y. O sinal negativo na eq. 1.32 significa que para haver o acúmulo de água no solo acomponente da velocidade na direção y, na face de saída, deve ser menor do que na face deentrada. dq y ¡ dv y dx dz ¢ ¢ (1.32)   dvy pode ser calculado fazendo uso do conceito de diferencial total (eq. 1.33). Deve-senotar que os centros das faces consideradas possuem as mesmas coordenadas z e x, de modoque dz = dx = 0. Deste modo, o termo dvy pode ser representado pela eq. 1.34. Substituindo-sea eq. 1.34 na eq. 1.32 chega-se a eq. 1.35, apresentada adiante. ∂V y ∂Vy ∂Vy dV y = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z (1.33) 0 0 ∂Vy dVy = dy ∂y (1.34) ¥ ¤ V y (1.35) dq y £ ¥ ¦ dx dy dz ¦ ¦ y A taxa de armazenamento total da água no solo será dada pelas contribuições do fluxonas três direções: x, y e z (eq. 1.36). Seguindo-se o mesmo procedimento apresentado para ocaso da direção y, pode-se mostrar que a taxa de armazenamento total da água no solo é dadapela eq. 1.37, apresentada adiante (lei de conservação da massa).
  25. 25. 25 dqtotal = dqx + dqy + dqz (1.36) ¢ Vx ¢ Vy ¢ Vz dq total ¢ ¡   x ¢ £ y ¢ £ z ¤ ¤ ¤ dx dy dz (1.37) O termo dx⋅dy⋅dz representa o volume do elemento infinitesimal de solo considerado.Deste modo, podemos exprimir a taxa de armazenamento total da água no solo, em relação aopróprio volume do elemento infinitesimal, pela eq. 1.38. dq total ¥ Vx ¥ Vy ¥ Vz dv ¥ ¡   x ¥ £ y ¥ £ z (1.38) Por sua vez, o termo dqtotal/dv pode ser expresso como uma função dos índices físicosdo solo. A fig. 1.16 apresenta um diagrama de fases para o elemento de solo considerado, emtermos de índice de vazios. Conforme se pode observar do diagrama de fases apresentadonesta figura, a relação volume de água/volume total do elemento de solo é dada porSr⋅e/(1+e), onde e é o índice de vazios inicial da amostra e Sr o seu grau de saturação. Otermo dqtotal/dv corresponde a variação da relação Sr⋅e no tempo, dividida pelo volumeinfinitesimal de solo, podendo ser representado pela eq. 1.39. Igualando-se as Equações 1.38 e1.39 chega-se a eq. 1.40, a qual atende aos requerimentos impostos pelo princípio daconservação da massa de água no solo. ¦ Sr e § dq total ¦ © (1.39) t 1 e ¨ dv Vx Vy Vz Sr e (1.40) t 1 e   x y z Pesos Volumes 0 Ar e γw⋅Sr⋅e Água Sr⋅e 1+e γs Solo 1 Figura 1.16 – Diagrama de fases para o elemento de solo considerado. A eq. 1.25 apresentada anteriormente representa a lei de Darcy aplicada para um casode fluxo tridimensional. Da eq. 1.25 pode-se deduzir as igualdades apresentadas na eq. 1.41,mostrada adiante. h h h Vx ¡   kx ;V ¡   ky ;V z ¡   kz (1.41) y x y z Substituindo-se os termos apresentados na eq. 1.41 dentro da eq. 1.40 chega-se a eq.1.42, apresentada adiante, a qual representa a equação geral para o caso de fluxo de água emsolos.
  26. 26. 26         kx ¡ h   ky ¡ h   kz ¡ h   Sr e ¡   x   y   z (1.42) £         t 1 e x y z ¢ ¢ ¢ Para o caso de fluxo em solo não saturado, heterogêneo e anisotrópico, tanto osvalores dos coeficientes de permeabilidade em cada direção (kx, ky e kz) quanto os valores dopotencial total da água no solo serão dependentes das coordenadas do ponto considerado e dograu de saturação do solo, de modo que a resolução analítica da eq. 1.42 se torna bastanteárdua, senão impossível. Deve-se ressaltar, contudo, que com o desenvolvimento das técnicascomputacionais de representação do contínuo (como o método dos elementos finitos, porexemplo), a resolução de tais problemas se tornou possível, em tempo viável, para umaenorme variedade de condições de contorno. Para o caso de fluxo de água em solo saturado,homogêneo e isotrópico, a eq. 1.42 é reduzida a eq. 1.43 apresentada a seguir. ¤ 2 2 2 Sr e ¤ ¤ ¤ h h h (1.43) k ¥ § 2 2 2 ¤ t 1 e ¥ ¦ ¦ ¤ ¤ ¤ ¦ x y z A eq. 1.43 é utilizada na resolução de dois tipos de problemas fundamentais para amecânica dos solos envolvendo fluxo de água: Fluxo bidimensional estacionário (fluxoestacionário, do inglês “steady state flow”) e a teoria do adensamento unidirecional deTerzaghi (Fluxo transiente, do inglês “transient flow”). Diz-se que o movimento de água nosolo está em um regime estacionário quando todas as condições no domínio do problema nãomudam com o tempo. No caso da eq. 1.43 para fluxo estacionário, o índice de vazios do soloé uma constante, de modo que esta equação pode ser rescrita (considerando-se o fluxosomente em duas direções) como a eq. 1.44. ¤ 2 ¤ 2 ¤ 2 h h h (1.44) k 2 § 0 y2 z2 ¥ ¦ ¦ ¤ ¤ ¤ x A resolução analítica da eq. 1.44 nos fornece duas famílias de curvas ortogonais entresi (linhas de fluxo e linhas equipotenciais). Além de ser resolvida analiticamente, a eq. 1.44pode ser resolvida utilizando-se uma grande variedade de métodos, como o método dasdiferenças finitas, o métodos dos elementos finitos, através de modelos reduzidos ou atravésde analogias com as equações que governam os problemas de campo elétrico outermodinâmicos. Os métodos mais utilizados para a resolução da eq. 1.44 são apresentados nocapítulo 3 deste volume. A título ilustrativo, a fig. 1.17 apresenta a resolução de um problemade fluxo de água através da fundação de uma barragem de concreto contendo uma cortina deestacas pranchas em sua extremidade esquerda. Notar a ortogonalidade entre as linhas defluxo e as linhas equipotenciais encontradas na resolução do problema. Diz-se que o movimento de água no solo está em um regime transiente quando ascondições de contorno do problema mudam com o tempo. Neste caso, o valor do índice devazios do solo irá mudar com o desenvolvimento do processo de fluxo. Um dos casos maisimportantes de fluxo transiente em solos saturados é o caso da teoria do adensamentounidirecional de Terzaghi, estudada no capítulo seguinte. Para o caso de fluxo transienteunidirecional a eq. 1.43 se transforma na eq. 1.45 apresentada a seguir. 2 Sr e ¨ h ¨ © k (1.45) t 1 e z2 ¨ ¨  
  27. 27. 27Figura 1.17 – Esquema ilustrativo de resolução de um problema de fluxo estacionáriobidimensional. Modificado de Holtz Kovacs, (1981). Como veremos no capítulo seguinte, as variações no potencial total da água no solo,para o caso do adensamento, serão provocadas por carregamentos externos aplicados nasuperfície do terreno, sob determinadas condições de contorno. Os carregamentos aplicadosao solo irão fazer surgir excessos de pressão neutra, os quais tenderão a se dissipar pelaexpulsão da água presente nos vazios do solo (diminuição do seu índice de vazios). %$ § ¦¨¦¢¤£¢ ! # ! § © § ¥ ¡     ¡%C)%%8A51 ! @86532 %)))¨¦£¢¤£¢  ( 2 B ( 7 9 7 4 ( 1 0 ( ¥ ¡   ¡     ¡ Neste item é feita uma revisão sumária de alguns conceitos envolvendo o fenômeno dacapilaridade em solos. O assunto capilaridade já deve ser do conhecimento dos alunos destecurso de mecânica dos solos, sendo normalmente estudado nas disciplinas de física aplicada.Para o estudo da ascensão da franja capilar nos solos, os seus vazios são associados a tuboscapilares interconectados, ainda que muito irregulares. Logo, a capilaridade se manifesta nossolos pela propriedade que possuem os líquidos de poderem subir, a partir do nível do lençolfreático, pelos canais tortuosos do solo, formados pelos seus vazios. No caso dos solos, o líquido o qual ascende além do nível freático é geralmente aágua, pura ou contendo alguma substância dissolvida. A explicação dos fenômenos capilares éfeita com base numa propriedade do solo associada com a superfície livre de qualquer líquido,denominada tensão superficial. A tensão superficial resulta da existência de forças de atraçãode curto alcance entre as moléculas, denominadas de forças de Van der Waals, ousimplesmente forças de coesão. A distância limite de atuação destas forças, isto é, a distânciamáxima que uma molécula consegue exercer atração sobre as outras, é conhecida pelo nomeraio da esfera de ação molecular ‘r’, que na água, não excede 5x10-6 cm. Deste modo, qualquer molécula cuja esfera de ação não esteja totalmente no interiordo líquido, não se equilibra, porque a calota inferior da sua esfera de ação está repleta demoléculas que a atrai, o que não acontece com a calota superior, que cai fora do líquido, e nãoestá cheia de moléculas como a inferior (vide fig. 1.18). Tais moléculas são atraídas para ointerior do líquido pela resultante destas forças de coesão não equilibradas. Evidentemente,esta resultante é nula quando a molécula se encontra a uma distância ‘r’ ou maior que r dasuperfície do líquido.
  28. 28. 28 Figura 1.18 - Forças intermoleculares, modificado de Libardi (1993). Além disto, pela ação destas forças, a superfície do líquido se contrai minimizando suaárea, e adquire uma energia potencial extra que se opõe a qualquer tentativa de distendê-la, ouseja, ocorrendo uma distensão, a tendência da superfície é sempre voltar a sua posiçãooriginal. Baseando-se nestas observações, a superfície ativa do líquido é também chamada demembrana contrátil. Quando a membrana contrátil de um líquido se apresenta curva, pelo fato da mesmapossuir moléculas tracionadas, uma força resultante surge, sendo responsável por fenômenostais como a ascensão capilar. A curvatura do menisco por sua vez é função da intensidade daforça com que as moléculas do líquido são atraídas por outras moléculas do mesmo líquido,pelo ar e pelas moléculas da superfície sólida eventualmente em contato com o líquido. Aformação de meniscos capilares é ilustrada na fig. 1.19, mostrada adiante. Conforme podemos observar nesta figura, F1 representa a força resultante de atraçãodas partículas sólidas (em sua parte superior e inferior) sobre as moléculas de água que seencontram no ponto P e F2 representa a resultante das forças de atração entre as própriasmoléculas do fluido. Desprezando-se a atração entre as moléculas de líquido e ar, caso F2 =2F1, o menisco não apresentará curvatura, ou θ será de 90º. Caso F2 2F1, o menisco serácôncavo, ou seja, θ será menor que 90º (como no caso dos meniscos formados pela água e amaioria das superfícies de contato). Caso F2 2F1, o menisco será convexo, ou seja, θ serámaior do que 90º (como nos casos dos meniscos formados pelo mercúrio e a maioria dassuperfícies de contato). F1 resultante sólido P θ F1 resultante sólido F2 resultante líquido Figura 1.19 - Formação de meniscos capilares. modificado de Libardi (1993). Imergindo-se a ponta de um tubo fino de vidro num recipiente com água, essa subiráno tubo capilar até uma determinada altura, a qual será maior quanto mais fino for o tubo.
  29. 29. 29Existirá sempre uma tensão superficial (Ts) no contato entre a água e o vidro, formando umângulo θ (cujo valor depende da relação entre as forças apresentadas na fig. 1.19), o qual étambém é conhecido como ângulo de molhamento ou de contato. Ts e θ assumirão valoresque dependerão do tipo de fluido e da superfície de contato em questão. No caso da água,considerada pura e o vidro quimicamente limpo, na temperatura ambiente, Ts éaproximadamente igual a 0,074 N/m e θ é igual a zero. )! ($¦¦ ¨¦¥ ¢¤£¢ # ! % # ! ! © § ¡ ¡     ¡ Sob efeito da capilaridade, o movimento da água é contrário a atração da gravidade.Essa ascensão da água nos solos é chamada de ascensão capilar e é bastante variável adepender do tipo de solo. No solos, a altura de ascensão depende do diâmetro dos vazios. Como estes são dedimensões muito variadas, a superfície superior de ascensão não fica bem caracterizada,sendo possível que bolhas de ar fiquem enclausuradas no interior do solo. Ainda assim, existeuma altura máxima de ascensão capilar que depende da ordem de grandeza do tamanhorepresentativo dos vazios do solo. Para solos arenosos, a altura de ascensão capilar é da ordemde centímetros, enquanto que em terrenos argilosos esta pode atingir dezenas de metros. Cálculo da altura de ascensão capilar – O cálculo da altura de ascensão capilar éfeito através da forma de Laplace, representada pela eq. 1.46 mostrada a seguir. Nestaequação, r1 e r2 são raios de curvatura ortogonais do menisco de água. 1 1  σ = Ts  +   r1 r2  (1.46) Caso o menisco de água seja esférico, temos r1=r2, o que, utilizando-se o esquemaapresentado na fig. 1.20, faz com que a equação de Laplace seja transformada na eq. 1.47,utilizada para calcular a altura de ascensão capilar da água. 2 ⋅ Ts ⋅ cos(θ ) h= γw ⋅r (1.47) Figura 1.20 – Cálculo da altura de ascensão capilar da água. O fenômeno da capilaridade é responsável pela falsa coesão das areias, quando estasse encontram parcialmente saturadas. Em areias puras, areias de praias por exemplo, não háaderência entre os seus grãos, seja no estado seco ou completamente saturado. Nota-se

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