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Trigonometria
 

Trigonometria

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    Trigonometria Trigonometria Presentation Transcript

    • Teorema Fundamental da Trigonometria
    • Demonstração ...
      sen 1
      sen θ
      1 cos
      0
      -1
      cos θ
      -1
      ·
      θ

    • Continuação...
      sen 1
      1
      sen θ

      0
      1 cos
      -1
      cos θ
      -1
    • Continuação...
      1
      sen θ

      cos θ
      Utilizando o teorema de Pitágorash2 = c2 + c2, temos :
    • Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

      Cateto Adjacente
      Cateto Oposto
      Hipotenusa
    • Continuação ...
      Relação no Triângulo Retângulo
      Ente Trigonométrico
      Seno de θ
      Cosseno de θ
      Tangente de θ
      Cossecante de θ
      Secante de θ
      Cotangente de θ
    • Na Circunferência Trigonométrica
      tg θ
      sen θ
      cos θ
      sen
      tg
      ·

      cos
      0
    • Continuação ...
      cotg
      cotg θ
      cossec θ
      secante θ
      ·

      0
    • sen
      tg
      90°
      120°
      135°
      150°
      0°/360°
      180°
      0
      cos
      210°
      330°
      225°
      315°
      300°
      240°
      270°
      Arcos Notáveis
      60°
      45°
      30°
    • Tabela de Entes Trigonométricos ...
    • Vamos pensar . . .
    • Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?
      Observem a figura ao lado
      1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale:
      a) b/c
      b) a/c
      c) c/b
      d) c/a
      e) a/b
    • 2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o cos a vale:
      a) b/c
      b) a/c
      c) c/b
      d) c/a
      e) a/b
    • 3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale:
      a) b/a
      b) b/c
      c) c/b
      d) a/b
      e) a/c
    • 4) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a cotg a vale:
      a) b/a
      b) b/c
      c) c/b
      d) a/b
      e) a/c
    • 5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale:
      a) 1/a
      b) 1/c
      c) 1/b
      d) 0
      e) 1
    • 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que
      sen2a + cos2avale:
      a) b2 / a2
      b) 9c2 / b2
      c) 0
      d) 1
      e) (c2 + b2) / 9a2
      Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:
      sen2q + cos2q = 1
      portanto,
    • 7) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale:
      a) tg2a
      b) cotg2a
      c) - 1
      d) 0
      e) 1
    • 8) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale:
      a) tg2a
      b) cotg2a
      c) - 1
      d) 0
      e) 1
    • 9) Se sen a = b/c, então, calculando o valor de
      chegaremos a:
      a) a/c
      b) b/c
      c) a/b
      d) b/a
      e) 1
    • Voltando
      a parte teórica
    • Lei dos Senos
      C
      a
      b
      (
      )
      B
      A
      c
      Seja um triângulo ABC qualquer
      temos :
    • C
      a
      b
      c
      (
      )
      B
      A
      Lei dos Cossenos
      Seja um triângulo ABC qualquer
      temos :
    • Continuação ...
      Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
      Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
      Temos, portanto ...
      Teorema de Pitágoras
    • Gráficos das funções trigonométricas
      y
      1


      270°
      630°
      -90°
      -180°






      x

      540°
      720°
      360°
      180°
      90°
      450°



      -1
      senx
    • Continuação ...
      y
      1



      180°
      540°
      -180°





      x

      720°
      630°
      -90°
      450°
      90°
      270°
      360°



      -1
      cosx
    • Continuação ...
      y
      450°
      630°
      -90°









      270°
      90°
      x

      180°
      360°
      540°
      tg x
    • Continuação ...
      y
      cossecx
      1
      270°
      630°
      -90°
      -180°

      x

      540°
      720°
      360°
      180°
      90°
      450°
      -1










    • Continuação ...
      y
      secx
      1



      180°
      540°
      -180°
      x






      720°
      630°
      -90°
      450°
      90°
      270°
      360°



      -1
    • Continuação ...
      y
      cotg x
      450°
      630°
      270°
      90°









      x
      360°
      540°
      180°

      720°
    • TRIGONOMETRIA APLICADA
      • Modelo matemático que indica ao número de horas do dia,
      com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,
      “t” dias após 1º de janeiro.
      Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34
    • Trigonometria
      Algumas Aplicações
    • Parte Prática
      O exemplo clássico da Sombra
      Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.
      São eles: uma distância
      um ângulo
      Observe a seguir . . .
    • Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que:
      temos que:
      portanto:
    • Exemplo 1
      A inclinação de uma rampa
    • Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?
    • Como poderíamos resolver essa situação?
      Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.
      Observemos:
      Comprimento total da rampa
      6 metros
      16,4 metros
      2 metros
      q
      solo
    • Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
      Temos em relação ao ângulo q:
      hip = 16,4 metros
      c.o. = 2 metros
      16,4 metros
      hip
      c.o.
      q
      2 metros
      c.a.
    • Como:
      hip = 16,4 metros
      c.o. = 2 metros
      16,4 metros
      hip
      c.o.
      q
      2 metros
      c.a.
      Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.
    • Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
      sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.
      Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.
      Encontramos assim, a inclinação da rampa!
    • Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que q é válido para ambos
      16,4 metros
      hip
      c.o.
      6 metros
      q
      2 metros
      c.a.
      q = 7°
      Como:
      Chegamos a conclusão que o
      comprimento total da rampa é 49,2 metros
    • Exemplo 2
      Mecânica Geral
      ou Trigonometria?
    • Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.Observemos os exemplos a seguir:Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
    • Desafio !
    • Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)
      Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )
    • Solução:
      Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.
    • Igualando o h das equações ( I ) e (II)
      Como
    • Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
      v = 0,2 m/s
      17 metros para subir a árvore
      17 metros para descer da árvore
      30 metros
      De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
    • Obrigado pela participação de todos!!!
      Prof. Luciano
      Ribeiro