Parte 4 Máquinas De Turing

Parte 4-Máquinas de Turing v. 2.0 Dr. Ricardo Quintero Teoría de la Computación

Definiciones básicas

Existen lenguajes bastante sencillos que no son independientes de contexto.

Por ejemplo: {a n b n c n |n≥0} no puede ser reconocido por un ADPND , ya que aunque la pila puede recordar el número de a’s (apilando) para el número de b’s (desapilando), este valor n se pierde cuando se desean contar las c’s .

El problema es que en la pila los datos solamente pueden ser consultados en el top y no debajo del mismo.

El problema no es la memoria adicional, sino la forma en la que la estamos accesando (su organización).

Aunque podríamos considerar múltiples organizaciones de memoria, vamos a discutir la que introduce la Máquina de Turing, que es bastante sencilla pero poderosa.

La memoria en una Máquina de Turing tiene las siguientes características:

Es una colección de celdas que se extiende infinitamente en ambas direcciones, es una cinta infinita .

Cada celda es capaz de almacenar un único símbolo .

No existe una celda primera, ni una última y por lo tanto tiene capacidad de almacenamiento infinito.

Los contenidos de las celdas pueden ser accedidos en cualquier orden.

Existe una cabeza de lectura/escritura que puede moverse sobre la cinta y en cada movimiento leerá o escribirá un símbolo.

Máquina de Turing (TM)

Una máquina de Turing es una 7-tupla M=(Q,  ,  ,s, b ,F,  ) , donde:

Q es un conjunto finito de estados.

 es un alfabeto de entrada.

 es un alfabeto llamado alfabeto de la cinta .

s  Q es el estado inicial.

b  es el símbolo blanco (y no está en  ).

F  Q es el conjunto de estados finales o de aceptación.

 :Qx  QX  x{L,R} es una función parcial (esto es, su dominio no es todo Qx  ) que se llama función de transición.

Máquina de Turing

En esta definición el valor inicial de todas las celdas de la cinta es el símbolo b .

Generalmente se permite que   - { b } . b  . Esto es, el alfabeto de entrada es un subconjunto del alfabeto de la cinta, sin incluir el blanco .

 transforma pares (q,  ) formados por el estado actual y símbolos de la cinta en ternas (p,t,X) , donde p es el estado siguiente, t es el símbolo escrito en la cinta y X es un movimiento de lectura o escritura, que puede ser L o R según que el movimiento sea hacia la izquierda o la derecha.

Un movimiento en la Máquina de Turing

En un movimiento de la TM se considerará el símbolo actual sobre la cabeza de lectura/escritura y el estado actual de la misma y la dinámica será la siguiente:

Cambia de estado.

Escribe un símbolo sobre la cinta, reemplazando el que existía previamente.

Mueve la cabeza de lectura/escritura una celda a la izquierda o la derecha.

Ejemplo de movimiento en la Máquina de Turing

La transición  (q 1 ,a)=(q 5 ,b,R) provoca que la TM pase de una configuración:

a b b Cabeza r/w Estado interno q 1

A la configuración:

b b b Cabeza r/w Estado interno q 5

Sobre la cadena de entrada y su relación con la cinta

Como las transiciones dependen únicamente del estado actual y del contenido de la celda sobre la que se encuentra la cabeza de lectura/escritura entonces:

Cualquier cadena de entrada se debe presentar a la TM sobre la cinta.

La TM en JFlap

JFlap nos permite trabajar también con TM . En particular estamos considerando un modelo en el que solamente existe una cinta.

La opción será 1-Tape Turing Machine .

Ejemplo de TM en JFlap

Ej.- Considere la TM siguiente:

Q={q 1 ,q 2 }

 ={a,b}

 ={a,b, b }

F={q 2 }

s=q 1

 (q 1 ,a)=(q 1 ,a,R)

 (q 1 ,b)=(q 1 ,a,R)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,L)

Estudie el archivo Ej0411.TM para su correspondiente TM en JFlap . Introduzca la cadena de entrada abba .

Ejemplo de TM en JFlap

Ej.- TM en JFlap :

Descripciones Instantáneas de la TM

Existen dos formas comunes de representar la Descripción Instantánea (DI) de una TM .

La primera tiene la forma (q i ,w 1  w 2 ) donde:

q i es el estado actual.

w 1 es la cadena de la cinta que precede a la cabeza r/w.

 el el símbolo de la cinta sobre el que se encuentra la cabeza r/w.

w 2 es la cadena de la cinta que sucede a la cabeza r/w.

Para el ejemplo anterior, las DI serían:

(q 1 , b a bba)

(q 1 ,a b ba)

(q 1 ,aa b a)

(q 1 ,aaa a )

(q 1 ,aaaa b )

(q 2 ,aaa a )

La segunda está dada por la cadena:

a 1 a 2 ...a k-1 q i a k ...a n

Que representa a la configuración (q i ,wa k u)

Por tanto, las dos primeras DI anteriores serían: q 1 abba y aq 1 bba .

Paso de una DI a otra

En cualquiera de los dos casos el paso de una configuración a otra se denota por  .

Por tanto, para el ejemplo anterior se tendrían en los dos tipos de DI vistos:

(q 1 , b a bba)  (q 1 ,a b ba)  (q 1 ,aa b a)  (q 1 ,aaa a )  (q 1 ,aaaa b )  (q 2 ,aaa a )

O bien

q 1 abba  aq 1 bba  aaq 1 ba  aaaq 1 a  aaaaq 1 b  aaaq 2 a

Paso de una DI a otra

Las notaciones *  y +  tienen el signficado usual de “ cero o más ” o “ uno o más ” respectivamente.

Ejemplo de TM

Q={q 1 ,q 2 , q 3 }

 ={a,b}

 ={a,b, b }

F={q 3 }

s=q 1

 (q 1 ,a)=(q 1 ,a,L)

 (q 1 ,b)=(q 1 ,b,L)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,R)

 (q 2 ,a)=(q 3 ,a,L)

 (q 2 ,b)=(q 3 ,b,L)

 (q 2 , b )=(q 3 , b ,R)

Esta TM examina la cinta de izquierda hasta que encuentre la primer celda en blanco. Se parará y se colocará sobre el blanco

Ejemplo de TM

Ej.- Para aababb se tendría:

(q 1 ,aab a bb)  (q 1 ,aa b abb)  (q 1 ,a a babb)  (q 1 , a ababb)  (q 1 , b aababb)  (q 2 , a ababb)  (q 3 , b aababb)

o bien

aabq 1 abb  aaq 1 babb  aq 1 ababb  q 1 aababb  q 1 b aababb  q 2 aaababb  q 3 b aababb

Parada de la TM

Cuando  (q,a) está indefinido y la configuración de la TM es (q,w 1 aw 2 ) , es imposible pasar a otra configuración. Se dice que la TM está parada .

Puede ser que q  F , siendo F el conjunto de estados finales o no.

Es importante dar significado a la parada en un estado F .

Para simplificar se supondrá que no se define ninguna transición para cualquier estado final.

Computación

La secuencia de todos los movimientos que conducen a una TM a una configuración de parada (en un estado de aceptación F o no) se llama computación .

Ejemplo de TM

Q={q 1 ,q 2 }

 ={a,b}

 ={a,b, b }

F= 

s=q 1

 (q 1 ,a)=(q 2 ,a,R)

 (q 1 ,b)=(q 2 ,b,R)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,R)

 (q 2 ,a)=(q 1 ,a,L)

 (q 2 ,b)=(q 1 ,b,L)

 (q 2 , b )=(q 1 , b ,L)

Ejemplo de TM

Ej.- Si esta TM comienza con la cabeza r/w sobre la a de una cadena de la forma abw , se tiene la siguiente secuencia de movimientos:

q 1 abw  aq 2 bw  q 1 abw  aq 2 bw  ...

Esta TM ha caído en un “ciclo inifinito”, nunca parará .

Esta es una situación fundamental en la teoría de las TM .

TM que nunca para

Una TM que nunca para es aquella que se describe de la siguiente manera:

(q,w 1  w 2 )*  

O bien

w 1 q  w 2 *  

Tarea

Resolver los siguientes ejercicios del libro de texto:

4.1.1, 4.1.3

TM como aceptadores de lenguajes

Así como un AF o un ADPND , un TM puede comportarse como un aceptador de un lenguaje.

Se coloca la cadena w en la cinta, se sitúa la cabeza de r/w sobre el símbolo del extremo izquierdo de la cadena w y ponemos en marcha la máquina a partir de su estado inicial.

Si después de una secuencia de movimientos la TM llega a un estado final y para, entonces w es aceptada.

Definición de TM como aceptador de lenguajes

Def.- Sea M=(Q,  ,  ,s=q 1 , b ,F,  ) una TM . Entonces el lenguaje aceptado por M es:

L(M)={w  *|q 1 w*  w 1 pw 2 para p  F y w i  *}

TM que acepta el lenguaje a*

Ej.- La siguiente TM acepta el lenguaje regular a* :

Q={q 1 ,q 2 }

 ={a,b}

 ={a,b, b }

F={q 2 }

s=q 1

 (q 1 ,a)=(q 1 ,a,R)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,R)

TM que acepta el lenguaje a* en JFlap

Ej.- La TM que acepta a* en JFlap :

Rechazando una cadena que no pertenece a un lenguaje

Para rechazar una cadena que no es aceptable, hay que evitar que se llegue a un estado final.

Otra alternativa para rechazar una cadena es que la TM entre en un “ciclo infinito”.

Ejemplo de Rechazo de una cadena mediante un “ciclo infinito”

Ej.- El archivo Ej0421-2.TM contiene una TM que rechaza las cadenas que no pertenecen a a* mediante “ciclos infinitos”.

Ejemplo de lenguaje no independiente del contexto que acepta una TM

Ej.- El archivo Ej0422.TM contiene una TM que acepta las cadenas que pertenecen al lenguaje {a n b n |n≥1} ¿Cuál es la “lógica” de la TM para reconocer este lenguaje?

Lenguajes recursivamente enumerables

Los lenguajes aceptados por una TM se les conoce como Lenguajes Recursivamente Enumerables (RE) .

El término “Enumerable” proviene de que una TM puede listar (enumerar) las cadenas del lenguaje.

Los RE es un conjunto de lenguajes bastante grande, que incluye los LIC .

Lenguajes recursivamente enumerables

Una TM que acepta un lenguaje no necesita parar para todas sus cadenas de entrada. La única condición es que se pare en un estado de aceptación para aquellas cadenas que pertenezcan al lenguaje.

De hecho existen TM que no se paran ante todas las cadenas de ciertos LRE .

El subconjunto de lenguajes recursivamente enumerables cuya totalidad de cadenas es aceptada por una TM que para se les llama recursivos .

La TM como un modelo abstracto de computadora

Puesto que la TM puede leer y escribir sobre su cinta pueden convertir la entrada en salida. Este es el propósito de las computadoras digitales, de tal manera que una TM es considerado como un modelo abstracto de computadora .

La entrada para la TM se forma por todos los símbolos de la cinta que no son blancos.

La salida está formada por cualquiera de los símbolos que queden en la cinta cuando la computación termina.

Ejemplo de TM como modelo abstracto de computadora

Ej.- El archivo Ej0422-2.TM es una TM que complementa las cadenas sobre el alfabeto S . Su definición es la siguiente:

Q={q 1 ,q 2 , q 3 }

 ={a,b}

 ={a,b, b }

F={q 3 }

s=q 1

 (q 1 ,a)=(q 1 ,b,R)

 (q 1 ,b)=(q 1 ,a,R)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,L)

 (q 2 ,a)=(q 2 ,a,L)

 (q 2 ,b)=(q 2 ,b,L)

 (q 2 , b )=(q 3 , b ,R)

La TM como una función de cadena

La TM puede ser considerada como la implementación de una función de cadena f(w)=u cuando se cumple q s w*  q f u , donde q s es el estado inicial y q f es un estado final.

Por conveniencia y claridad, la cabeza de r/w empezará y terminará sobre el símbolo de las cadenas de entrada y salida que está situado más a la izquierda.

Funciones Turing computables

Def.- Una función de cadena f es Turing computable si existe una TM M=(Q,  ,  , q 1 , b ,F,  ) para la cual q 1 w*  q f u para algún q f  F, cuando f(w)=u .

La TM como computadora de funciones de enteros

La TM puede ser extender fácilmente para computar funciones de enteros . El siguiente ejemplo ilustra esto.

Ej.- Suponga un  ={a,b} y se representan los enteros como cadenas de a’s . Esto es, el entero positivo n se representa mediante a n . La función suma f(n,m)=n+m podría ser implementada mediante la transformación de la entrada a n ba m (es decir, se introducen a la TM los dos números enteros, m y n , separados por una b ) en la salida a n+m b .

(Cont...)

La TM como computadora de funciones de enteros

Ej.- (Cont...) La siguiente TM implementa la suma de enteros ( Ej0423.TM en JFlap ) :

Q={q 1 ,q 2 , q 3 , q 4 , q 5 }

 ={a,b}

 ={a,b, b }

F={q 5 }

s=q 1

 (q 1 ,a)=(q 1 ,a,R)

 (q 1 ,b)=(q 2 ,a,R)

 (q 2 ,a)=(q 2 ,a,R)

 (q 2 , b )=(q 3 , b ,L)

 (q 3 ,a)=(q 4 ,b,L)

 (q 4 ,a)=(q 4 ,a,L)

 (q 4 , b )=(q 5 , b ,R)

Construcción de TM

Es posible construir una TM más compleja a partir de TM sencillas.

Podemos combinar dos TM permitiendo que compartan la misma cinta y, que cuando una termine su ejecución, la otra empiece.

El contenido de la cinta al inicio de la ejecución de la segunda TM está formado por todo lo que dejó la primer TM , y la cabeza de r/w de la segunda se situará, al comienzo de la ejecución, sobre la celda de la cinta sobre la que terminó la primera.

Ejemplo 1 de TM

Ej.- Sea la TM M 1 dada por:

Q={q 1 ,q 2 , q 3 , q 4 }

 ={a}

 ={a, b }

F 1 ={q 4 }

s 1 =q 1

 (q 1 ,a)=(q 2 ,a,R)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,R)

 (q 2 ,a)=(q 2 ,a,R)

 (q 2 , b )=(q 3 , b ,L)

 (q 3 , b )=(q 4 , b ,L)

 (q 3 ,a)=(q 4 ,a,R)

Esta máquina busca el primer blanco que haya a la derecha de donde ha comenzado y para.

Ejemplo 2 de TM

Ej.- Sea la TM M 2 dada por:

Q={p 1 ,p 2 }

 ={a}

 ={a, b }

F 2 ={p 2 }

s 2 =p 1

 (p 1 ,a)=(p 2 ,a,R)

 (p 1 , b )=(p 2 ,a,R)

Esta máquina escribe una a y para. La a se escribe independiente del contenido actual de la celda.

Combinando Ejemplo 1 y Ejemplo 2 de TM

Al combinar M 1 y M 2 de tal forma que una computación de M 1 vaya seguida de una computación de M 2 , obtenemos un dispositivo que primero busca hacia la derecha el primer blanco y después escribe una a en la celda.

Representaremos la combinación de estas dos TM mediante M 1 M 2 para indicar que la computación de M 1 va seguida por la computación de M 2 .

Combinación o composición de TM

Def .- Sean M 1 y M 2 dos TM sobre el mismo alfabeto de entrada  y el mismo alfabeto de cinta  , donde:

M 1 =(Q 1 ,  ,  , s  , b , F 1 ,  1 )

M 2 =(Q 2 ,  ,  , s  , b , F 2 ,  2 )

Se supone que Q 1  Q 2 =  . La composición de las TM M 1 y M 2 es la TM=(Q,  ,  ,s, b ,F,  ) , que se denota M 1 M 2 , donde: (Cont ...)

Combinación o composición de TM

Q=Q 1  Q 2

s=s 1

F=F 2

   q,  ), si q  Q 1 y  1 (q,  )  (p,  ,x)  p  F 1  2 (q,  ), si q  Q 2 (s 2 ,  ,X), si q  Q 1 y  1 (q,  )=(p,  ,x)  p  F 1  (q,  )=

Transiciones combinando Ejemplo 1 y 2 de TM

Ej.- Combinando las TM M 1 y M 2 tendríamos:

 (q 1 ,a)=(q 2 ,a,R)

 (q 1 , b )=(q 2 , b ,R)

 (q 2 ,a)=(q 2 ,a,R)

 (q 2 , b )=(q 3 , b ,L)

 (q 3 , b )=(p 1 , b ,L)

 (q 3 ,a)=(p 1 ,a,R)

 (p 1 ,a)=(p 2 ,a,R)

 (p 1 , b )=(p 2 ,a,R)

Transiciones de M 1 que no cambian Transiciones de M 1 que cambian y conectan a M 2 Transiciones de M 2 que no cambian Con s=q 1 y F={p 2 }

La TM R b

A la TM del Ejemplo 1 le llamaremos R b : “Busca el primer blanco que haya a la derecha de la posición actual de la cabeza r/w”:

Obviamente la máquina R b R b R b : “Buscaría el tercer blanco que haya a la derecha de la posición actual de la cabeza de r/w”

Tabla para R b  (q,  )  ≠ b  = b q 1 (q 2 ,  ,R) (q 2 , b ,R) q 2 (q 2 ,  ,R) (q 3 , b ,L) q 3 (q 4 ,  ,R) (q 4 , b ,R)

La TM L b’

La TM L b’ será aquella que: “Busca el primer símbolo que no sea blanco que haya a la izquierda de la posición actual de la cabeza r/w”:

Tabla para L b’ Con F={q 4 } y s=q 1  (q,  )  = b  ≠ b q 1 (q 2 , b , L) (q 2 ,  , L) q 2 (q 2 , b , L) (q 3 ,  , R) q 3 (q 4 , b , L) (q 4 ,  , L)

Combinando R b y L b’

Combinando R b y L b’ se tiene R b L b’ , donde la cabeza de r/w se sitúa sobre el símbolo de la cinta que precede b que hay a la derecha de la posición actual.

La TM ‘a’

La TM a será aquella que: “Escriba en la salida un único símbolo a y que permanezca sobre dicha celda”.

Tabla para ‘a’ Con F={q 3 } y s=q 1  (q,  )  q 1 (q 2 , a, R) q 2 (q 3 ,  , L)

La TM R

La TM R será aquella que: “Mueve la cabeza de r/w a la derecha. No hace cambios en los símbolos de la cinta”.

Tabla para R, con dos estados finales diferentes Con F={p 2 y p 3 } y s=p 1  (p,  )  = b  ≠ b p 1 (p 2 , b , R) (p 3 ,  , R)

Combinando L b’ y R con bifurcación

Combinando L b’ y R se tiene L b’ R . Suponga que se desea que esta máquina sea seguida por otra que escriba una a si la celda es un blanco o una b si la celda contiene una a . Una bifurcación.

Esto se podría se representar mediante el siguiente diagrama.

Combinando L b’ y R con bifurcación L b’ R a b  =b  =a

TM que cambia ‘a’ en ‘b’ y visceversa R b a  =a  =b

TM con múltiples transiciones y movimientos simples de la cabeza de r/w R R a,b, b R R

TM con bifurcación R b  =a  a Busca hacia la derecha la primer celda que contenga un símbolo que no sea a y escribe una b en ese lugar.

Desplazando una cadena sobre la cinta una celda a la derecha

Supongamos que se requiere que la cadena a desplazar sea precedida y seguida por blancos.

Por tanto, se desea transformar:

b w b

En

b b w

Desplazando una cadena sobre la cinta una celda a la derecha L 2 b Ra b R b  =a  =b R  = b R b R

La misma máquina anterior: La TM S R L 2 b R   ≠ b R  = b R b R El símbolo  en b R  signifia que la máquina compuesta “recuerda” el símbolo que ha sido sobreescrito con el b . Esta máquina de desplazamiento hacia la derecha se denotará S R .

Reconociendo {ww I |w  } con estados de aceptación y no aceptación b R b L L b b  =  b  = b R b  b  b   = b Para en un estado de aceptación Para en un estado de no aceptación Se empieza con b u b y se espera descubrir que u=ww I . La cadena se acepta cuando todos los símbolos de u son eliminados

Reconociendo {ww I |w  } solamente con estados de aceptación b R b L L b b  =  b  = b R b  b  b   = b Para en un estado de aceptación Se empieza con b u b y se espera descubrir que u=ww I . La cadena se acepta cuando todos los símbolos de u son eliminados. Sólo se tienen estados de aceptación 

Tarea

Resolver del libro de texto: 4.3.2 , 4.3.3 , 4.3.5 , 4.3.6 , 4.3.8

Modificaciones a la TM

Es posible efectuar modificaciones al diseño original de la TM .

Muchas de estas modificaciones dan mayor flexibilidad a la TM original para resolver ciertos problemas en particular.

Todos estos diseños alternativos tienen la misma potencia computacional que la TM original.

TM sin movimiento de cabeza de r/w

Es posible que la función de transición original:

 :Qx  Qx  x{R,L}

se transforme a:

 :Qx  Qx  x{R,L,S}

Donde S significa “permanecer”, es decir, no mover la cabeza de r/w; para obtener una diseño de TM útil para ciertos problemas.

Equivalencia con la TM original

Una transición  (q,  )=(p,  ’,S) se puede simular con la TM original de la siguiente manera:

 (q,  )=(p’,  ’,R) y  (p’,  )=(p,  ,L) y/o

 (q,  )=(p’,  ’,L) y  (p’,  )=(p,  ,R)  .

Ejemplo de TM equivalentes con/sin estado de “permanecer”

M 1 se define con estado de “permanecer”:

Con F={q 3 } y s=q 1  (q,  )  ≠ b  = b q 1 (q 2 ,  , L) (q 2 ,  , L) q 2 (q 2 ,  , L) (q 3 ,  , S)

Ejemplo de TM equivalentes con/sin estado de “permanecer”

M 1 se define sin estado de “permanecer”. Es equivalente:

Con F={q 3 } y s=q 1  (q,  )  ≠ b  = b q 1 (q 2 ,  , L) (q 2 ,  , L) q 2 (q 2 ,  , L) (q 4 ,  , L) q 3 (q 3 ,  , R) (q 3 , b , R)

TM con múltiples pistas

Considere el siguiente tipo de cinta:

. . . . . . b b b a a b a a b

TM con múltiples pistas

Tiene cada celda dividida en tres subceldas. Cada celda de la cinta puede considerarse un n-tupla ordenada.

En el ejemplo anterior las n-tuplas son: ( b ,a,a) , (b,a,a) y (b,b, b ) .

Por tanto, los movimientos de la máquina dependen del estado y la n-tupla actual.

Equivalencia con la TM original

Si  es un alfabeto de cinta, una TM que tiene una cinta de k pistas, cada una con alguno de los símbolos de  , puede interpretarse como una TM cuyo alfabeto de cinta estuviera formado por todas las k-tuplas sobre  .

Por ejemplo, si la TM tiene 2 pistas, entonces el alfabeto de cinta es  x  .

TM con múltiples pistas que suma dos números

La siguiente TM suma dos números binarios:

. . . . . . Suma 101 y 010 , deja el resultado en la tercer subcelda b 1 0 1 b b 0 1 0 b b b b b b

Función de transición de TM con múltiples pistas que suma dos números  q 1 ,  R), si  ( b , b , b )  q 2 ,  L), si  = ( b , b , b )  (q 1 ,  )=

Función de transición de TM con múltiples pistas que suma dos números

 (q 2 (0,0, b ))=(q 2 ,(0,0,0),L)

 (q 2 (0,1, b ))=(q 2 ,(0,1,1),L)

 (q 2 (1,0, b ))=(q 2 ,(1,0,1),L)

 (q 2 (1,1, b ))=(q 3 ,(1,1,0),L)

 (q 2 ( b , b , b ))=(q 4 ,( b , b ,0),S)

 (q 3 (0,0, b ))=(q 2 ,(0,0,1),L)

 (q 3 (0,1, b ))=(q 2 ,(0,1,0),L)

 (q 3 (1,0, b ))=(q 2 ,(1,0,0),L)

 (q 3 (1,1, b ))=(q 2 ,(1,1,1),L)

 (q 2 ( b , b , b ))=(q 4 ,( b , b ,1),S)

TM con múltiples pistas que suma dos números

La TM sumará los números binarios:

. . . . . . Suma 101 y 010 , deja el resultado en la tercer subcelda Operando 1 Operando 2 Resultado b b 1 0 1 b b b 0 1 0 b b 0 1 1 1 b

Otras modificaciones

Algunas otras modificaciones que se pueden tener incluyen:

TM con una cinta infinita en una sola dirección.

TM multicinta.

TM multidimensional.

Cualquier computación que se pueda realizar por medio de las nuevas máquinas cae dentro de las categorías de “computable por una TM ” y por tanto son mecánicamente computables.

TM Universal

Def.- Es una TM que, a partir de una descripción adecuada de una TM M y una cadena de entrada w , simula el comportamiento de M sobre la cadena w .

Descripción de la TM M

Su descripción será a partir del alfabeto finito {0,1} .

La TM M deberá de tener un único estado de aceptación, por lo que de no ser así deberá de ser transformada para que desde todos los estados de aceptación que tenga exista una transición a este estado.

Descripción de la TM M

Se supondrá que el conjunto de estados será Q={q 1 ,q 2 ,...,q n } donde q 1 será el estado inicial y q 2 el único estado final.

Se supondrá que el alfabeto de la pila será  ={  1 ,  2 ,...,  m } donde  1 será el blanco.

Partiendo de estas suposiciones M estará definida a partir de su función de transición  .

Función de transición de la TM M

Para codificar la función de transición  :

Se representará q 1 con un 1 , q 2 con 11 y así sucesivamente.

Igualmente se representará  1 con un 1 ,  i con i unos y así sucesivamente.

El movimiento de la cabeza se representará así: L con 1 y R con 11 .

Usaremos los 0’s como separadores.

Función de transición de la TM M

Una transición tal como:

 (q 3 ,  1 )=(q 4 ,  3 ,L)

Se presentaría mediante la cadena:

011101011110111010

Así, M tendrá una codificación representada por una cadena finita de 0’s y 1’s . Aún más, dada una codificación, es posible también su decodificación.

Implementación de la TM M u

La TM M u se puede implementar como una TM de tres cintas cuyo alfabeto de entrada contenga 0’s y 1’s .

La primer cinta contiene la codificación de M con su cabeza situada sobre el 0 inicial de la cadena de 0’s y 1’s .

La segunda cinta contiene la codificación del contenido de la cinta de M con su cabeza sobre el 1 que pertenece a la codificación del símbolo actual.

Implementación de la TM M u

La tercer cinta se usa para guardar el estado actual de M , conteniendo la versión codificada del estado inicial q 1 de M rodeado por blancos. La cabeza de r/w se sitúa sobre el primer 1 de la cadena codificada.

Funcionamiento de la M U