ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× ×
    Ï Ú È Ø ÇÔØ ×
                    ×× ÖØ Ø ÓÒ ×Ù Ñ ØØ ØÓ
             Â ÅÁ      ÅÁÄÄÁ        ...
ÃÆÇÏÄ                             Å ÆÌ



Á Ø         Ø    × ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ø                 Ò         Öº   Ì       ×   É...
ÊÌÁ Á                Ì



Ì        ×   × ØÓ    ÖØ   Ý Ø          Ø Ø       ÔÖÓ       Ø ÛÓÖ      ÒØ ØÐ          ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ...
ÓÒØ ÒØ×
½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
    ½º½   Ì        Ù××     Ò Ï Ú              È     Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º...
½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÁÒ ÉÙ ÒØÙÑ Å                                Ò       ׸           Ô ÖØ          Ð       ×     × Ö           ...
½º½ Ì                 Ù×× Ò Ï Ú È                                      Ø

      Ù××   Ò Ï Ú         È        Ø Ó   Ø      ...
Í× Ò         Ø   × Ú ÐÙ      Ó       ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ           ÓÒ×Ø ÒØ Û              Ø ÆÓÖÑ Ð Þ                        Ù×× ...
Ì     ÔÖÓ   Ù Ø Ó    ØÛÓ ÙÒ           ÖØ   ÒØ   ×   ׸




                                                         ΔxΔp =...
¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó                                                                 Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ
Í× Ò       Ø   Ö    Ô Ö...
2              ∝               1/4                    p σ 2
                                                              ...
Ï     Ö        × Ø     ÆÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ                ÓÒ×Ø ÒØ               Ú Ò        ݸ




                              ...
Í× Ò        Ø    Ö Ð Ø ÓÒ¸




                                                          h
                               ...
Propagation of Gaussian Wave Packet with Time/Distance

                 ÙÖ    ¾      Ù××   Ò Ï Ú   È        Ø    ÜÔ Ò × Û...
¿                   Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È                                                                    Ø
Ï    ...
Ì        Û       Ø       Ó    Ø        × Û Ú           Ô         Ø       ×



                                            ...
−x2
                                                               ψ(x) = A e Ω2 −ιβ


ÆÓÖÑ Ð Þ Ò              Ø    × Û Ú ...
ÙÒ   ÖØ   ÒØÝ ´Ì Ñ       ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó    Ù××   Ò Ï Ú         ÙÒ Ø ÓÒ   × Ó   Ø   × Ñ       ÓÖÑ     × ´¾¾µµº


ÆÓÛ¸ Ï     Ò  ...
¿º½                Ñ Ø Ó                ÓÖ Ò Ò Ø                               ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö                                ...
Ø Ø       Ð Ò× Û        ××ÙÑ         ÓÙÖ × Ñ            ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸

                                                 ...
4F 2 λ2       σ2 πβ    πβ                   β2
                                               2σ 2 +    π 2 σ2
           ...
¿º¾ Î Ö                        Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ

ÁÒ        Ò Ö Ð¸ Û             Ò ÕÙ ÒØ                Ý Ø             ...
A Quantum Convex Lens of Focal Length ’F’




                                                    u                       ...
¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð                            Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ                              ÝÓÒ ¾
Ï         Ò Ù   ×     ÝÓ...
¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð                         Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾
Ï         Ò Ù   ×     Ø ¾   ¸ Ø    Ò      Ò Û            Ú  ...
¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð                        Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ²
Ï         Ò Ù   ×       ØÛ   Ò ¾    Ò     ¸ Ð Ø Ù×    ...
¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð                     Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ
Ï     Ò Ù    ×    Ø    ¸ Ø   Ò      Ò Û         Ú      ÖÓÑ ´       ...
ÓÒ ÐÙ× ÓÒ
 ÖÓÑ Ø                   Ø        ÓÖÝ Ó           Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ                     ÖØ       Ò ØÝ           Ù××    ...
Ò          Ö   ØÐÝ     ÔÔÐ        ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ               ÓÒ        Ú       Ð Ò׸ Ñ Ö ÐÝ      Ý   ÒØ Ö         Ò    Ò   Ø...
º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò ×

½º      × ÓÖÓÛ    Þ¸ ËØ Ô     Òº    ÉÙ ÒØÙÑ È Ý×                 × ¸ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ׸ ½



¾º ÈÓÛ Ðи...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Quantum Treatment of Lenses - Wave Packet Optics

430 views
406 views

Published on

This is my dissertation submitted to Department of Physics, Jamia Milia Islamia, New Delhi, for the partial fulfillment of MSc Physics. It gives a Quantum Mechanical treatment of convex lens.

Published in: Education, Technology, Business
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
430
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Quantum Treatment of Lenses - Wave Packet Optics

  1. 1. ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× × Ï Ú È Ø ÇÔØ × ×× ÖØ Ø ÓÒ ×Ù Ñ ØØ ØÓ Â ÅÁ ÅÁÄÄÁ ÁËÄ ÅÁ ÆÛ Ð Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× × Ý ÒÙ Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× × Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ Æ Û Ð º ÂÙÒ ¸ ¾¼¼
  2. 2. ÃÆÇÏÄ Å ÆÌ Á Ø Ø × ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ø Ò Öº Ì × ÉÙÖ × ÓÖ × Ú ÐÙ Ð Ù Ò ¸ Ò ÓÙÖ¹ Ñ ÒØ Ò ÐÔº Á Ñ Ø Ò ÙÐ ØÓ ÖÙÒ ÛÐ ÓÖ ÐÔ Ò Ñ ÓÙØ Ò Ø × ÔÖÓ Øº Á ÛÓÙÐ Ð×Ó Ð ØÓ Ø Ò ÐÐ Ø Ø Ò Ò ÒÓÒ¹Ø Ò ×Ø Ó Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× ×¸ Ò ÑÝ Ö Ò × Ø Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ ÓÖ Ø Ö Ò ÓÓÔ Ö Ø ÓÒº ÒÙ Ë Ò
  3. 3. ÊÌÁ Á Ì Ì × × ØÓ ÖØ Ý Ø Ø Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÖ ÒØ ØÐ ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× × Ï Ú È Ø ÇÔØ × × ÓÛ× ÛÓÖ ÓÒ Ý ÒÙ Ë Ò ¸ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Û Ö Ó Ø Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× × Ø Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ Æ Û Ð ¸ ÙÒ Ö ÑÝ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ò Ù Ò º Á Ö Ý ÔÔÖÓÚ Ø ÓÖ ×Ù Ñ ×× ÓÒ ØÓ Ø ÙÒ Ú Ö× ØÝ ÓÖ Ø Û Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× ×º ÙÖØ Ö¸ ØÓ Ø ×Ø Ó ÑÝ ÒÓÛÐ ¸ Ø × Ö ÔÓÖØ × ÒÓØ Ò ×Ù Ñ ØØ ØÓ ÒÝ ÓØ Ö Ò×Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Û Ö Ó ÒÝ Ö ÓÖ ÔÐÓÑ º Öº Ì × ÉÙÖ × Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× × Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ Æ Û Ð º
  4. 4. ÓÒØ ÒØ× ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½º½ Ì Ù×× Ò Ï Ú È Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ ¾º½ ËÔÖ Ò Ó Ï Ú È Ø Û Ø Ì Ñ » ×Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È Ø ½¿ ¿º½ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ð × β Ò Ω º º º º º º º º º º º º ½ ¿º¾ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ÝÓÒ ¾ º º º º º º º º º º ¾½ ¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾ º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ² º º º º º º º ¾¿ ¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ¾ º½ ÙÖØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¿ ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
  5. 5. ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÁÒ ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò ×¸ Ô ÖØ Ð × × Ö Ý Û Ú Ô Øº Ì Û Ú Ô Ø ×ÙÖ¹ ÖÓÙÒ × Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×× Ð Ô ÖØ Ð ¸ Ò Ø ÒØ Ö Ó Ö Ú ØÝ Ó Ø Ô Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ð ×× Ð Ô ÖØ Ð ØÖ ØÓÖݺ ÓÖ Ò ØÓ ÓÖÒ³× ÔÓ×ØÙÐ Ø ¸ Ø Ô ÖØ Ð Ñ Ý ÓÙÒ ÒÝÛ Ö Û Ø Ò Ø Ö ÓÒ Û Ö Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓº Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð × Ò Ø ÖÑ Ò Ø Û Ø Ò Ø Ð Ñ Ø× Ó Ø Û Ú Ô Øº Ì ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × × Û Ø Ö Ô Ø Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø Ø Ø × Ú ÖÝ ÑÙ ÐÓ Ð Þ Ò ×Ô ¸ ×Ó Ø Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð × ÓÒ Ò ØÓ ×Ñ ÐÐ ÚÓÐÙÑ º ÁØ Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ò ÖÖÓÛ Ô Ø ÑÓÚ × Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ø Ú Ö ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÓÒ ÓÖÑ× ØÓ Ð ×× Ð Ð Û׺ Ì ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ò ÔÓ×× Ð ¸ Ø Ð ×Ø ÓÖ Ð Ñ Ø Ø Ñ º Ì Ø Ø Ø Ø Ô Ø Û ÐÐ ×ÔÖ Û Ø Ø Ñ × ÓÒ× Ö ÐÓÛº ÐÓ Ð Þ Û Ú Ô Ø Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ 2 /σ 2 ) ψ(x) = Ae(−x ´½µ 1/e 0 2a 2 /a2 ) ÙÖ ½ ÈÐÓØ Ó ψ(x) = Ae(−x
  6. 6. ½º½ Ì Ù×× Ò Ï Ú È Ø Ù×× Ò Ï Ú È Ø Ó Ø Ø Ò ×× 2σ Ò ÒØ Ö ÓÙØ Ü ¼ × Ú Ò Ý 2 /σ 2 ) ψ(x) = Ae(−x ÆÓÖÑ Ð Þ Ò Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×¸ ∝ ψ ψdx = 1 ´¾µ −∝ ∝ −∝ |ψ|2 dx = 1 ∝ 2 /σ 2 ) 2 /σ 2 ) −∝ Ae(−x A e(−x dx = 1 ÓÖ¸ ∝ 2 /σ 2 A2 dx e−2x =1 ´¿µ −∝ Ï Ò ×ÓÐÚ Ø ÓÚ ÒØ Ö Ð Ý Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÑÑ ÁÒØ Ö Ð¸ Ú Ò Ý¸ ∝ 2 dxe(ax ) = π/a ´ µ −∝ Ì Ù× Û Ú ¸ 1 2 A2 = ± σ π ÓÖ¸ 21/4 A= √ ´ µ σ π
  7. 7. Í× Ò Ø × Ú ÐÙ Ó ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Û Ø ÆÓÖÑ Ð Þ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø × 21/4 −x2 /σ2 ψ(x, 0) = √ e ´ µ σ π Ë Ò Ø × Ù×× Ò ÒØ Ö Ø Ü ¼¸ Û Ú x = dx x |ψ(x)|2 = 0 ˆ Ï Ò Ð ÙÐ Ø ¸ σ2 x2 = ˆ dx x2 |ψ(x)|2 = 8 Ì Ö ÓÖ ¸ Ø ÔÓ× Ø ÓÒ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × ÓÙÒ ÓÙØ ØÓ σ Δx = (ˆ − x 2 )2 x ˆ 1/2 = √ ´ µ 2 2 Ì ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ÓÖ ´ µ × Ú Ò Ý Ø× ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ¸ 1/4 ˜ 1 ιpx/¯ h σ2 −p2 σ 2 ψ(p) = dx ψ(x) e = e 4¯ 2 h ´ µ 2π¯h 2π¯ 2 h Ì Ô Ý× Ð × Ò Ò Ó Ø × ÑÓÑ ÒØÙÑ Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ˜ ψ(p) × Ø Ø Ø ×ÓÐÙØ ×ÕÙ Ö Ó Ø × ÕÙ ÒØ ØÝ × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ ÐØÝ Ø Ø Ø Ô ÖØ Ð × Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ôº ˜ ψ(p) × Ù×× Ò ÒØ Ö Ø Ô ¼º ÁØ³× ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø p = ˆ ˜ dp p |ψ(p)|2 = 0 p2 = ˆ ˜ dp p2 |ψ(p)|2 = 2¯ 2 h σ2 Ì Ù× Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × Ú Ò Ý¸ √ 2 2 1/2 2¯h Δp = (ˆ − p ) p ˆ = ´ µ σ
  8. 8. Ì ÔÖÓ Ù Ø Ó ØÛÓ ÙÒ ÖØ ÒØ × ×¸ ΔxΔp = h/2 ¯ ´½¼µ Û × Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ ÐÐÓÛ Ý Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÔÖ Ò ÔÐ º Ì Ö ÓÖ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Û Ø Ø ÓÖÑ Ó ´ µ × Ñ Ò ÑÙѹÙÒ ÖØ ÒØÝ ×Ø Ø º ÆÓÛ Ð Ø Ù× Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒº
  9. 9. ¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ Í× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò¸ ˆ H = p2 /2m ˆ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø À × Ò Ö Ô ØÙÖ × ˆ 2 ψ(x, t) = e(−ι/¯ )Ht ψ(x, 0) = e(−ι/¯ )(ˆ /2m)t ψ(x, 0) h h p ´½½µ Ì ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò¹×Ø Ø × ÓÖ Ø Ö Ô ÖØ Ð × Ú Ò Ý¸ 1 |p = √ e(−ι/¯ )px = φp (x)(× Ý) h ´½¾µ 2π¯ h ÁØ Ò × ÐÝ Ø Ø |p × Ò Ò ×Ø Ø Ó ˆ pÛØ Ò Ú ÐÙ Ô h∂ 1h h p = −ι¯ ∂x √2π¯ e(ι/¯ )px = p|p ˆ Ê ÔÖ × ÒØ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø × × |p ¸ |ψ = p Cp |p Ï Ò Ð ÙÐ Ø Ø Ó ÒØ× Cp ׸ ∝ pσ 2 2 σ Cp = p|ψ = −∝ φ∗ (x)ψ(x, 0)dx = ( π )1/4 p 2¯ h e−( 2¯ ) h Ì Ù× Ù× Ò Ø × Û Ò Ö ÛÖ Ø Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×¸ 1/4 ∝ ∝ 2 σ −( pσ )2 1 ψ(x, 0) = Cp φp dp = e 2¯ √ h e(−ι/¯ )px dp h ´½¿µ −∝ −∝ π 2¯ h 2π¯ h ÆÓÛ Û Ò ÛÖ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ´ µ ׸
  10. 10. 2 ∝ 1/4 p σ 2 2 σ √1 ψ(x, t) = e(−ι/¯ )(ˆ /2m)t h p −∝ π 2¯ h e−( 2¯ ) h 2π¯ h e(−ι/¯ )p x dp h ÓÖ¸ ∝ 1/4 p σ 2 2 /2m)t 2 σ √1 ψ(x, t) = −∝ π 2¯ h e−( 2¯ ) e(−ι/¯ )(p h h 2π¯ h e(−ι/¯ )p x dp h Ø × Ò Ö Ù ØÓ Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÑÑ ÒØ Ö Ð ÓÖѸ ⎡ ⎤2 1/4 1 2 σ ιx ∝ dy ψ(x, t) = √ exp ⎣ ⎦ exp(−y 2 ) ´½ µ 2π¯ π h 2¯ h 2¯ h ιt + σ2 −∝ ιt + σ2 2m¯ h 4¯ 2 h 2m¯ h 4¯ 2 h ιt σ2 ιx Ï Ö ¸ y= 2m¯ h + 4¯ 2 h p − 2 º ιt 2m¯h + σ2 4¯ h ËÓÐÚ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ý Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÑÑ ÒØ Ö Ð¸ Û Ø ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ 1/4 2 σ ⎢ x ⎠ ⎥ ψ(x, t) = 2ι¯ 2t h exp ⎣− ⎝ ⎦ ´½ µ π m +σ 2 ¯ h 2ιt + σ 2 m¯h ¯2 h Ì × ÕÙ Ø ÓÒ ´½ µ Ú × Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú Ô Ø Ò Ý ´ µ Ò Ø À × Ò Ö Ô ØÙÖ Ù× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Òº ¾º½ ËÔÖ Ò Ó ÏÚ È ØÛØ ÌÑ » ×Ø Ò Ì Ø Ò ×× Ó Ø Û Ú Ô Ø Ø ×ÓÑ Ð Ø Ö Ø Ñ ³Ø³ Ò Ø ÖÑ Ò Ý ´½ µº Ï ÛÖ Ø Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ´½ µ Ò × ÑÔÐ Ö ÓÖÑ ×¸ ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ ⎢ x ⎠ ⎥ ψ(x, t) = A exp ⎣− ⎝ 2 ⎦ ´½ µ 2ιt σ ¯ h m¯h + ¯2 h ½¼
  11. 11. Ï Ö × Ø ÆÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ú Ò Ý¸ 1/4 2 σ A= π 2ι¯ 2t h +σ2 m ÆÓÛ¸ ⎡ ⎛ ⎞⎤ 2 2 2 x x 2x |ψ(x, t)|2 = A∗ A exp − 2ιt¯ h + 2 2ιt¯ h = |A|2 exp ⎣− ⎝ 4t2 ¯ 2 ⎠⎦ ´½ µ m +σ 2 σ − m σ2 + h m2 σ2 Ì Ø Ò ×× Ó Ø Û Ú Ô Ø ´½ µ × 4t2 ¯ 2 h σ2 + m2 σ2 º ÁØ Ò × ÐÝ × Ò Ø Ø Ø ÒÝ Ø Ñ Ø ¼ Ø × Ø Ò ×× × Ö Ø Ö Ø Ò σ 2 ´Ø Ø Ò ×× Ø Ø Ñ Ø ¼µ ÇÖ¸ Ì ÏÚ È Ø ÜÔ Ò × Û Ø Ø Ñ Ý ÖÓ Ð ÀÝÔÓØ × ×¸ Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Û Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Û ÐÐ Ú ÖÓ Ð Û Ú Ð Ò Ø Ú Ò Ý¸ h λ= p ÓÖ¸ h ht λ= mv = mx ÓÖ¸ ht xλ = m ½½
  12. 12. Í× Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ¸ h ¯t Lλ m = 2π Ï Ö Ä × ×Ø Ò ØÖ Ú Ð Ý Ø Û Ú Ô Ø Ó Û Ú Ð Ò Ø λ Ò Ø Ñ Øº Ï Ò Ö ÛÖ Ø ψ(x, t) ׸ −x2 ψ(x, t) = A exp σ2 + ιLλ π Ò¸ x2 x2 2x2 |ψ(x, t)|2 = A∗ A exp − ιLλ + 2 ιLλ = |A|2 exp − 2 2 ´½ µ π + σ2 σ − π (σ 2 + Lπλ 2 Ì Ù× Ø Û Ø Ó Ø × Û Ú Ô Ø Ò ÓÙÒ ÓÙØ ØÓ L2 λ2 σ2 + π2 º Ì × Ð×Ó × ÓÛ× Ø Ø Ì ÏÚ È Ø ÜÔ Ò × Û Ø ×Ø Ò Ì × ÜÔ Ò× ÓÒ × ÓÙØ Ü ¼¸ × × ÓÛÒ Ò Ø º¾ ÐÓÛº ½¾
  13. 13. Propagation of Gaussian Wave Packet with Time/Distance ÙÖ ¾ Ù×× Ò Ï Ú È Ø ÜÔ Ò × Û Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒº Ì Û Ú Ô Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ý ÙÒ Ø ÓÒ ´½ µ × ÆÇÌ Ù×× Ò Ò Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × ÒÓØ Ñ Ò ÑÙѺ Ì × × × ÓÛÒ Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒº ½¿
  14. 14. ¿ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È Ø Ï Ú × Ò Ø Ø Ø Ù×× Ò Ï Ú È Ø ÜÔ Ò × Û Ø Ø Ñ » ×Ø Ò º Ì Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ð Ò× ÓÒ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÙÐ × ×Ù Ø Ø Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÙÐ Ò ÖÖÓÛ Û Ø Ø Ñ º × × Ò ÖÓÑ Ø º¿ ÐÓÛ A Quantum Convex Lens Direction of Propagation of Gaussian Wave Packet ÙÖ ¿ ÈÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø Ù×× Ò Ï Ú Ô Ø Ø ÖÓÙ ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ä Ò× Ä Ø Ù× ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖѸ −x2 ψ(x, 0) = A exp ´½ µ Ω2 − ιβ Ì Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ ¸ −x2 ψ(x, t) = A exp ´¾¼µ Ω2 + ι( Lλ − β) π ÆÓÛ¸ ⎛ ⎞ 2 −2x |ψ(x, t)|2 = |A|2 exp ⎜ ⎝ 2⎠ ⎟ ´¾½µ 1 Lλ Ω2 + Ω2 π −β ½
  15. 15. Ì Û Ø Ó Ø × Û Ú Ô Ø × 2 1 Lλ Ω2 + Ω2 π −β º ÁØ Ò Ð ÖÐÝ × Ò ÖÓÑ Ø × Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ ´½ µ Ò ÖÖÓÛ× × Ä Ò Ö × ×º ÁØ ØØ Ò× Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Û Ò Ø × ÓÒ Ø ÖѸ 2 1 Lλ ´ Ω2 π −β µ ÓÑ × Þ ÖÓº Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Ø Û Ú Ô Ø × Ù×× Ò¸ Ò Ø ÜÔ Ò × ÙÖØ Ö Û Ø Ø Ñ » ×Ø Ò º Ì Ù× Û Ò ÓÒ× Ö Ø Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Ø ÖÓÙ ´ ÓÒ¹ Ú ÜµÐ Ò× × ×Ù ¸ −x2 2 /σ 2 Lens e−x −→ e Ω2 −ιβ ´¾¾µ Ï Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ø Ó ÓØ Ø Û Ú Ô Ø× × Ø × Ñ ¸ º º σ 2 = Ω2 + β 2 /Ω2 Ï Ò ÓÒ× Ö ÓÒ Ú Ð Ò× ØÓÓ¸ Ï Ù×Ø Ò ØÓ Ö Ú Ö× Ø × Ò Ó β ØÓ Ø Ø Ø ÓÖÝ ÓÖ ÓÒ Ú Ð Ò׸ × Û Ú Ô Ø Ø Ö ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ ÓÒ Ú Ð Ò× × ÓÙÐ ÜÔ Ò ÑÓÖ Ö Ô ÐÝ × ÓÑÔ Ö ØÓ ÒÓÖÑ Ð Ù×× Ò Û Ú Ô Øº ÁØ Ò × Ò Ø Ø Ø × Ò Ú Ú ÖÝ × ÐÝ Û ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ −x2 e Ω2 +ιβ º Ê Ø ÒÓÛ Û ÓÒ× Ö ÓÒÐÝ ÓÒÚ Ü Ð Ò׸ Ò Ò Ò Ö Ð × Ø Ö ×ÙÐØ× Ð Ø Ö ×Ó Ø Ø Ø Ý Ò ÔÔÐ Ð ØÓ ÓÒ Ú Ð Ò× × Û Ðк ÁØ Ò × Ò Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø¸ ½
  16. 16. −x2 ψ(x) = A e Ω2 −ιβ ÆÓÖÑ Ð Þ Ò Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ¸ ⎛ ⎞1/2 2 −x2 ψ(x) = ⎝ β2 ⎠ e Ω2 −ιβ ´¾¿µ π Ω2 + Ω2 ÓÖ Ø × ÒÓÖÑ Ð × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ò ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ù× Û Ò Ò Ð ÙÐ Ø x = dx x |ψ(x)|2 = 0 ˆ Ò ¸ x2 = ˆ dx x2 |ψ(x)|2 = √ 1 23/2 π(Ω2 +β 2 /Ω2 ) Ø × ÑÔÐݸ 1 Δx = (ˆ − x 2 )2 x ˆ 1/2 = ´¾ µ 23/4 [π (Ω2 + β 2 /Ω2 )]1/4 Ì ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ÓÖ ´ µ × Ú Ò Ý Ø× ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ¸ 1/2 ˜ 1 Ω2 p2 (Ω2 −ιβ) ψ(p) = dx ψ(x) eιpx/¯ = h e− 4¯ 2 h ´¾ µ 2π¯h π¯ (Ω2 + ιβ) h Ì Ù× Û Ú ¸ p = ˆ ˜ dp p |ψ(p)|2 = 0 Ò ¸ 1/2 ∝ Ωp 2 1/2 ˜ p2 = dp p2 |ψ(p)|2 = ˆ Ω2 p2 dpe− 2¯ = h Ω¯h π¯ (Ω4 +β 2 ) h −∝ π(Ω4 +β 2 ) Ì × ÑÔÐݸ 1/4 2 2 1/2 Ω¯ h Δp = (ˆ − p ) p ˆ = 4 + β 2) ´¾ µ π(Ω Ø Ö ÓÖ Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ó Ø Û Ú Ô Ø Ú Ò Ý ´¾¾µ ׸ 1/2 Ω 3/4 h2 ¯ ΔxΔp = ¯ > h/2 ´¾ µ 2 π(Ω4 + β 2) Ì Ù× Ø Û Ú Ô Ø× Ó ÓÖÑ ´¾¾µ Ö ÒÓØ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ Û Ú Ô Ø׺ ÁØ Ò Ð×Ó × Ò Ø Ø × Ø Ù×× Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÐÚ × Û Ø Ø Ñ Ø Ð×Ó ÐÓ× × Ø× Ñ Ò ÑÙÑ ½
  17. 17. ÙÒ ÖØ ÒØÝ ´Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ó Ø × Ñ ÓÖÑ × ´¾¾µµº ÆÓÛ¸ Ï Ò ØÓ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ω, β, σ Ò Ø Ó Ð Ð Ò Ø Ó Ø Ð Ò׺ ½
  18. 18. ¿º½ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ð ×β Ò Ω × Û ÒÓÛ ÖÓÑ Ê Ý ÇÔØ × Ø Ø Ø Ñ ÓÖÑ Ý ÓÒÚ Ü Ð Ò× Ó Ò Ó Ø ÔØ Ø ¾ × Ó × Ñ × Þ Ò × ÓÖÑ Ø ×Ø Ò Ó ¾ ÖÓÑ Ø Ð Ò× ÓÒ Ø ÓÔÔÓ× Ø × º ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ø ×Ø Ò ¾ Û Ý ÖÓÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò× Ó Ó Ð Ð Ò Ø º Á Û ××ÙÑ Ø Ø Ø × Û Ú Ô Ø × ØÖ Ú Ð Ò ØÓÛ Ö × Ø ÓÒÚ Ü Ð Ò׸ Û Ò Ø Ö × Ø ×Ø Ò Ó ¾ ÖÓÑ Ø Ð Ò× ÓÒ Ø ÓØ Ö × Ø Ö ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò×´× º¾µ Ø × ÓÙÐ Ú × Ñ Û Ø × Ó Ò Ø Ð Û Ú Ô Øº σ F 2F 2F σ Lens with focal length F ÙÖ ¾ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ω Ò β Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖÑ Ó ÓÙÖ Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ψ1 ¸ 1/4 2 2 /σ 2 ψ1 = e−x ´¾ µ πσ 2 ÆÓÛ¸ Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø ÓÖÑ Ó ψ2 Ý Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó ψ1 Ù× Ò Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ×Ø Ò ¾ º Ì Ù׸ Û Ø ⎛ ⎞1/4 2 −x2 ψ2 = ⎝ ⎠ exp ´¾ µ π σ2 + 4F 2 λ2 π 2 σ2 σ 2 + ι2F λ π ½
  19. 19. Ø Ø Ð Ò× Û ××ÙÑ ÓÙÖ × Ñ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ⎛ ⎞1/4 ⎝ 2 ⎠ −x2 ψ2 = exp ´¿¼µ π Ω2 + β2 Ω2 − ιβ Ω2 ÆÓÛ Ò Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø ÓÖÑ Ó ψ3 Ý Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó ψ2 Ù× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ×Ø Ò ¾ º Ì Ù× Ò Û Ú ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x ψ3 = ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ 2F λ ⎠ ´¿½µ π Ω2 + 1 β− 2F λ Ω2 −ι β− π Ω2 π ÆÓÛ Û Ú ¾ ÓÒ Ø ÓÒ× ØÓ × Ø × º 2 width of ψ2 = width of ψ2 ´¿¾µ Ò width of ψ1 = width of ψ3 ´¿¿µ ÖÓÑ Ø × ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ× Û Ò Ö Ú ÜÔÖ ×× ÓÒ× ÓÖ Ω&β Ò Ø ÖÑ× Ó F &σ º ÖÓÑ Ø × ÓÒ Ø ÓÒ× Û Ø¸ 4F 2 λ2 β2 σ2 + = Ω2 + 2 ´¿ µ π2σ2 Ω β 2 4F 2 λ2 4F λβ σ 2 = Ω2 + + 2 2 − ´¿ µ Ω2 π Ω πΩ2 ÓÖ¸ β2 4F λ2 4F λβ Ω2 + Ω2 = σ2 − π 2 Ω2 + πΩ2 ÆÓÛ¸ Ù× Ò Ø × Ò ´¾ µ Û Ø¸ 4F 2 λ2 1 4F 2 λ2 4F λβ π 2 σ2 = − Ω2 π2 − π ÇÖ¸ πβ Ω2 = σ 2 −1 ´¿ µ Fλ Ù× Ò Ø × Ò Ò ´¾ µ Û Ø¸ ½
  20. 20. 4F 2 λ2 σ2 πβ πβ β2 2σ 2 + π 2 σ2 − Fλ Fλ −1 = σ2 ËÓÐÚ Ò Ø × ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò β¸ Û Ø ØÛÓ ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÖ β 2F λ β+ = ´¿ µ π ⎛ ⎞ 2F λ ⎝ 1 ⎠ β− = 1− F 2 λ2 ´¿ µ π 2 1 + σ4 π 2 Í× Ò Ø × Ú ÐÙ × Ó β Ò ´¿¼µ¸ Ω2 = σ 2 + ´¿ µ 1 Ω2 = σ 2 1 − − F 2 λ2 ´ ¼µ 1+ σ4 π 2 ÆÓÛ¸ Û Ò Ò Ð Ø Ø β− Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ω2 ¸ − × ψ3 ÑÙ×Ø ÜÔ Ò Ø ÖÛ Ö ¸ º º Ø× Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ ÑÙ×Ø Þ ÖÓ ÓÖ Þ ÖÓº Ì Ù× Û Ö Ð Ø Û Ø ÓÒÐÝ ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ 2F λ β= & Ω = σ2 ´ ½µ π ¾¼
  21. 21. ¿º¾ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ò Ö Ð¸ Û Ò ÕÙ ÒØ Ý Ø Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ä Ò× Ý ÙÒ Ø ÖÝ ØÖ Ò× ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ⎛ ⎞1/4 ˆ 2 −x2 UF ⎝ ⎠ exp = π σ2 + λ2 L2 π 2 σ2 σ 2 + ιλL π ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x2 ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ FL ⎠ ´ ¾µ π Ω2 + λ2 FL Ω2 − π L−F π 2 Ω2 L−F Û Ö L × Ø ×Ø Ò Ø Û Ú ¹Ô ظ Ó Ò Ò Ø Ð Û Ø σ¸ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò׸ Ò Ω × ×Ù Ø Ø Ø × Ø × × 2 λ2 L2 λ2 FL σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¿µ π2σ2 π Ω L−F ÆÓÛ Ð Ø Ù× ÓÒ× Ö Ù× Ò Û Ú Ô Ø ψ1 Ó Ò Ø ÐÛ Ø σ ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ ×Ø Ò u ÖÓÑ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò׺ 1/4 2 −x2 ψ1 = exp ´ µ πσ 2 σ2 ÇÒ Ö Ò Ø ÓÒÚ Ü Ä Ò× Ø ÓÖÑ Ó Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ×¸ ⎛ ⎞1/4 2 −x2 ψ2 = ⎝ ⎠ exp ´ µ π σ2 + λ2 u2 π 2 Ω2 Ω2 + ιλu π Í× Ò Ø ÍÒ Ø ÖÝ ÌÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ˆ UF Ó Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò׸ × Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ ´ ½µ ÓÒ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ⎛ ⎞1/4 ˆ ˆ 2 −x2 ψ2 = UF ψ2 = UF ⎝ ⎠ exp ´ µ π σ2 + λ2 u2 π 2 Ω2 Ω2 + ιλu π ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x = ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ Fu ⎠ ´ µ π Ω2 + λ2 Fu Ω2 − π u−F π 2 Ω2 u−F Ì Ω Ò Ø ÓÚ ÜÔÖ ×× ÓÒ Û ÐÐ ×Ù Ø Ø Ø Û ÐÐ × Ø × Ý 2 λ2 u 2 λ2 Fu σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ µ π2 σ2 π Ω u−F ¾½
  22. 22. A Quantum Convex Lens of Focal Length ’F’ u v ^ U ψ ψ F ψ’ ψ 1 2 2 3 ÙÖ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò× ÆÓÛ Ø Ö ØÖ Ú Ð Ò ×Ø Ò v Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ú Ø ÓÖÑ ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x2 ψ3 = ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ fu ⎠ ´ µ π Ω2 + λ2 v− fu Ω2 − π v− u−f π 2 Ω2 u−f ÓÖ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ù×× Ò Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ò Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ó Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð × ÓÙÐ ÓÑ Þ ÖÓ¸ º º fu v− u−f =0 ÓÖ¸ fu v= ´ ¼µ u−f Ì × × Ò Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ê Ý ÇÔØ ×¸ 1 1 1 = − ´ ½µ f v u Ä Ø Ù× ÐÓÓ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ω Ú Ò Ý ´ µ¸ Ø Ö ÒØ Ú ÐÙ × Ó Ù i.e. Û Ò Ø Ò Ø Ð Ù×× Ò Û Ú Ô Ø´Ç Øµ × Ø Ö ÒØ ÔÓ× Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò׺ ¾¾
  23. 23. ¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ÝÓÒ ¾ Ï Ò Ù × ÝÓÒ ¾ ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø × Ø ¿ ¸ Û Ú ÖÓÑ ´ µ 2 9λ2 F 2 λ2 3F σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ π2σ2 π Ω 2 ÓÖ¸ σ2 Ω2 = ´ ¿µ 4 ⇒ Ω = σ/2 ´ µ ´ Ö Û Ò Ð ØØ −σ 2 /2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ Ω ⇒ magnif ication = m = = 1/2 ´ µ σ Ì Ù×× Ò Û ÐÐ ÓÒØÖ Ø ØÓ ´ ÓÖ Ø Ñ Û ÐÐ ÓÖÑ Ø µ¸ 3F 2 v= = 3F/2 ´ µ 2F Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¿ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¿ »¾ × Ñ Ò × Û Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ½»¾ ¾¿
  24. 24. ¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾ Ï Ò Ù × Ø ¾ ¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸ 4λ2 F 2 λ2 σ2 + = Ω2 + 2 2 (2F )2 ´ µ π2σ2 π Ω ÓÖ¸ Ω2 = σ 2 ´ µ ⇒Ω=σ ´ µ ´ Ö Û Ò Ð ØØ −σ 2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ Ω ⇒ magnif ication = m = =1 ´ ¼µ σ 2F 2 v= = 2F ´ ½µ F Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¾ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¾ × Ó × Ñ × Þ × Ó Ø ¾
  25. 25. ¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ² Ï Ò Ù × ØÛ Ò ¾ Ò ¸ Ð Ø Ù× ××ÙÑ Ù ¿ »¾¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸ 2 9λ2 F 2 λ2 3F σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ 4π 2 σ 2 π Ω 2 ÓÖ¸ Ω2 = 4σ 2 ´ ¿µ ⇒ Ω = 2σ ´ µ ´ Ö Û Ò Ð ØØ −2σ 2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ Ω ⇒ magnif ication = m = =2 ´ µ σ 3F 2 /2 v= = 3F ´ µ F/2 Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¿ »¾ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¿ × Ñ Ò Û Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ¾º ¾
  26. 26. ¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ Ï Ò Ù × Ø ¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸ 2 λ2 F 2 λ2 F σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ µ π2σ2 π Ω 0 ÓÖ¸ λ2 F 2 Ω2 + ∝= σ 2 + ´ µ π2σ2 À Ö Û ÓÒØ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ω Ø Û Ø Ó Ø Û Ú Ô Ø × ÓÖ Ò ØÓ Ø Ê Ý ÇÔØ × Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ò Ø × × × ÓÙÐ ∝¸ Û × ×Ø ÐÐ Ú ÖÝ ÑÙ Ò ÓÖ Ò Û Ø ´ µº ¾
  27. 27. ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ Ò ØÝ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ò Ý × ÑÔÐ Ð ÙÐ ¹ 2 /σ 2 Ø ÓÒ× Û Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ó Ø ÓÖÑ e−x ÜÔ Ò Û Ò ÚÓÐÚ Ò Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø ÐÓ× × Ø× Ù×× Ò ÓÖÑ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØݺ Ì Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ð Ò× × ÓÙÐ × ×Ù Ø Ø Ò ÜÔ Ò Ò Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø × ÓÙÐ ×Ø ÖØ ÓÒØÖ Ø Ò º ÁØ Û × ÓÙÒ ÓÙØ Ø Ø Ø × Ø × ÓÙÐ ¸ −x2 Lens −x2 exp −→ exp ´ µ σ 2 + ιλL π Ω2 − ιβ Û Ö L × Ø ×Ø Ò Ø Û Ú ¹Ô ظ Ó Ò Ò Ø Ð Û Ø σ¸ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò׺ Ý Ù× Ò Ø ¾ Ñ Ø Ó Û Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÙ×Ø Ó Ø ÓÖѸ −x2 Lens −x2 exp −→ exp ´ ¼µ σ 2 + 2ιλF π σ 2 − 2ιλF π Ì × Ø Ó Ð Ò× × ×Ù ×× ÙÐÐÝ ÕÙ ÒØ Þ Ý Ø ÍÒ Ø ÖÝ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖѸ ⎛ ⎞1/4 ˆ 2 −x2 UF ⎝ ⎠ exp = π σ2 + λ2 L2 π 2 σ2 σ 2 + ιλL π ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x2 ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ FL ⎠ ´ ½µ π Ω2 + λ2 FL Ω2 − π L−F π 2 Ω2 L−F Ï Ö Ω × ×Ù Ø Ø 2 λ2 L2 λ2 FL σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ π2σ2 π Ω L−F Ï Ø ×ÓÑ × ÑÔÐ Ð ÙÐ Ø ÓÒ× Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø ÓÚ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ × Ò ÓÖ¹ Ò Û Ø Ø ÐÖ Ý ×Ø Ð × Ð Û× Ó Ö Ý ÓÔØ ×º Ì Ø ÓÖÝ Û × Ò ×Ù ×× ÙÐÐÝ Ú ÐÓÔ Ö ÓÖ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ð Ò× ¾
  28. 28. Ò Ö ØÐÝ ÔÔÐ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒ Ú Ð Ò׸ Ñ Ö ÐÝ Ý ÒØ Ö Ò Ò Ø × Ò Ó Ø Ó Ð Ð Ò Ø Ò Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ׺ º½ ÙÖØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒ Ï Ò ÙÖØ Ö Ò Ö Ð Þ Ø × Ø ÓÖÝ Ý Ò Ò ÓÙØ Ø Ø Ó ÈÐ ÒÓ¹ ÓÒÚ Ü¸ ÈÐ ÒÓ¹ ÓÒ Ú Ð Ò× ÓÒ Ù×× Ò Û Ú Ô Øº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø Ø Ó ×Ô Ö Ð Ñ ÖÖÓÖ× ÓÒ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ò ÓÙÒ ÓÙغ Ï Ò Ð×Ó ØÖÝ ØÓ Ú Ö Ý Ø × Ø ÓÖÝ Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ð Ò× ×º Ì Ö ×ÙÐØ× × ÓÙÐ × Ñ Ð Ö ØÓ ÐÖ Ý ×Ø Ð × Ö ×ÙÐØ× Ò Ø Ö Ý ÓÔØ ×º ¾
  29. 29. º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò × ½º × ÓÖÓÛ Þ¸ ËØ Ô Òº ÉÙ ÒØÙÑ È Ý× × ¸ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ׸ ½ ¾º ÈÓÛ Ðи ÂÓ Ò Äº Ò Ö × Ñ ÒÒ¸ ÖÒ º ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò × ¸ Æ ÖÓ× ÈÙ Ð × Ò ÀÓÙ× ¸ ½ ¿º ËÙ Ö Ñ ÒÝ Ñ¸ ƺ Ò Ä Ð¸ Ö º Ì ÜØ ÓÓ Ó ÇÔØ × ¸ Ë Ò ² ÓÑÔ ÒÝ ÄØ º¸ ½ º ÊÓ×Ù¸ À Ö Ø º Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò × Ö Ú Ô Ý× ×¸ ¼¼¼ ¼ ¾Ú¾¸ ¾¼¼¼ º ÇÜ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÝ Ó È Ý× × ¸ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö× ØÝ ÈÖ ×׸ ¾¼¼¼ º¿ ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö Ò × ½º Ê ÝÑÓÒ ¸ Ú º Ì Ò Ä Ò× ÓÖÑÙÐ Ò ÇÔØ Ð ÁÒ×ØÖÙÑ ÒØ× ØØÔ »»Ô Ý× ×ºÒÑغ Ù» Ö ÝÑÓÒ » Ð ×× ×»Ô ½¿Ü ÓÓ »¸ ¾¼¼ ¹¼ ¹¼ ¾º À Ò Ö×ÓÒ¸ ÌÓѺ Ì È Ý× × Ð ××ÖÓÓÑ Å Ø Ñ Ø × Ó Ð Ò× × ØØÔ »»ÛÛÛº Ð Ò ÖÓÓ º ½¾º кÙ×» ×× »Ô Ý×» Ä ×׸ ¾¼¼ ¾

×