Quantum Treatment of Lenses - Wave Packet Optics

ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× × Ï Ú È Ø ÇÔØ × ×× ÖØ Ø ÓÒ ×Ù Ñ ØØ ØÓ Â ÅÁ ÅÁÄÄÁ ÁËÄ ÅÁ ÆÛ Ð Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× × Ý ÒÙ Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× × Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ Æ Û Ð º ÂÙÒ ¸ ¾¼¼

ÃÆÇÏÄ Å ÆÌ Á Ø Ø × ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ø Ò Öº Ì × ÉÙÖ × ÓÖ × Ú ÐÙ Ð Ù Ò ¸ Ò ÓÙÖ¹ Ñ ÒØ Ò ÐÔº Á Ñ Ø Ò ÙÐ ØÓ ÖÙÒ ÛÐ ÓÖ ÐÔ Ò Ñ ÓÙØ Ò Ø × ÔÖÓ Øº Á ÛÓÙÐ Ð×Ó Ð ØÓ Ø Ò ÐÐ Ø Ø Ò Ò ÒÓÒ¹Ø Ò ×Ø Ó Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× ×¸ Ò ÑÝ Ö Ò × Ø Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ ÓÖ Ø Ö Ò ÓÓÔ Ö Ø ÓÒº ÒÙ Ë Ò

ÊÌÁ Á Ì Ì × × ØÓ ÖØ Ý Ø Ø Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÖ ÒØ ØÐ ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× × Ï Ú È Ø ÇÔØ × × ÓÛ× ÛÓÖ ÓÒ Ý ÒÙ Ë Ò ¸ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Û Ö Ó Ø Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× × Ø Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ Æ Û Ð ¸ ÙÒ Ö ÑÝ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ò Ù Ò º Á Ö Ý ÔÔÖÓÚ Ø ÓÖ ×Ù Ñ ×× ÓÒ ØÓ Ø ÙÒ Ú Ö× ØÝ ÓÖ Ø Û Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× ×º ÙÖØ Ö¸ ØÓ Ø ×Ø Ó ÑÝ ÒÓÛÐ ¸ Ø × Ö ÔÓÖØ × ÒÓØ Ò ×Ù Ñ ØØ ØÓ ÒÝ ÓØ Ö Ò×Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Û Ö Ó ÒÝ Ö ÓÖ ÔÐÓÑ º Öº Ì × ÉÙÖ × Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× × Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ Æ Û Ð º

ÓÒØ ÒØ× ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½º½ Ì Ù×× Ò Ï Ú È Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ ¾º½ ËÔÖ Ò Ó Ï Ú È Ø Û Ø Ì Ñ » ×Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È Ø ½¿ ¿º½ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ð × β Ò Ω º º º º º º º º º º º º ½ ¿º¾ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ÝÓÒ ¾ º º º º º º º º º º ¾½ ¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾ º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ² º º º º º º º ¾¿ ¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ¾ º½ ÙÖØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¿ ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÁÒ ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò ×¸ Ô ÖØ Ð × × Ö Ý Û Ú Ô Øº Ì Û Ú Ô Ø ×ÙÖ¹ ÖÓÙÒ × Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×× Ð Ô ÖØ Ð ¸ Ò Ø ÒØ Ö Ó Ö Ú ØÝ Ó Ø Ô Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ð ×× Ð Ô ÖØ Ð ØÖ ØÓÖÝº ÓÖ Ò ØÓ ÓÖÒ³× ÔÓ×ØÙÐ Ø ¸ Ø Ô ÖØ Ð Ñ Ý ÓÙÒ ÒÝÛ Ö Û Ø Ò Ø Ö ÓÒ Û Ö Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓº Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð × Ò Ø ÖÑ Ò Ø Û Ø Ò Ø Ð Ñ Ø× Ó Ø Û Ú Ô Øº Ì ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × × Û Ø Ö Ô Ø Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø Ø Ø × Ú ÖÝ ÑÙ ÐÓ Ð Þ Ò ×Ô ¸ ×Ó Ø Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð × ÓÒ Ò ØÓ ×Ñ ÐÐ ÚÓÐÙÑ º ÁØ Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ò ÖÖÓÛ Ô Ø ÑÓÚ × Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ø Ú Ö ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÓÒ ÓÖÑ× ØÓ Ð ×× Ð Ð Û×º Ì ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ò ÔÓ×× Ð ¸ Ø Ð ×Ø ÓÖ Ð Ñ Ø Ø Ñ º Ì Ø Ø Ø Ø Ô Ø Û ÐÐ ×ÔÖ Û Ø Ø Ñ × ÓÒ× Ö ÐÓÛº ÐÓ Ð Þ Û Ú Ô Ø Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ 2 /σ 2 ) ψ(x) = Ae(−x ´½µ 1/e 0 2a 2 /a2 ) ÙÖ ½ ÈÐÓØ Ó ψ(x) = Ae(−x

½º½ Ì Ù×× Ò Ï Ú È Ø Ù×× Ò Ï Ú È Ø Ó Ø Ø Ò ×× 2σ Ò ÒØ Ö ÓÙØ Ü ¼ × Ú Ò Ý 2 /σ 2 ) ψ(x) = Ae(−x ÆÓÖÑ Ð Þ Ò Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×¸ ∝ ψ ψdx = 1 ´¾µ −∝ ∝ −∝ |ψ|2 dx = 1 ∝ 2 /σ 2 ) 2 /σ 2 ) −∝ Ae(−x A e(−x dx = 1 ÓÖ¸ ∝ 2 /σ 2 A2 dx e−2x =1 ´¿µ −∝ Ï Ò ×ÓÐÚ Ø ÓÚ ÒØ Ö Ð Ý Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÑÑ ÁÒØ Ö Ð¸ Ú Ò Ý¸ ∝ 2 dxe(ax ) = π/a ´ µ −∝ Ì Ù× Û Ú ¸ 1 2 A2 = ± σ π ÓÖ¸ 21/4 A= √ ´ µ σ π

Í× Ò Ø × Ú ÐÙ Ó ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Û Ø ÆÓÖÑ Ð Þ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø × 21/4 −x2 /σ2 ψ(x, 0) = √ e ´ µ σ π Ë Ò Ø × Ù×× Ò ÒØ Ö Ø Ü ¼¸ Û Ú x = dx x |ψ(x)|2 = 0 ˆ Ï Ò Ð ÙÐ Ø ¸ σ2 x2 = ˆ dx x2 |ψ(x)|2 = 8 Ì Ö ÓÖ ¸ Ø ÔÓ× Ø ÓÒ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × ÓÙÒ ÓÙØ ØÓ σ Δx = (ˆ − x 2 )2 x ˆ 1/2 = √ ´ µ 2 2 Ì ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ÓÖ ´ µ × Ú Ò Ý Ø× ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ¸ 1/4 ˜ 1 ιpx/¯ h σ2 −p2 σ 2 ψ(p) = dx ψ(x) e = e 4¯ 2 h ´ µ 2π¯h 2π¯ 2 h Ì Ô Ý× Ð × Ò Ò Ó Ø × ÑÓÑ ÒØÙÑ Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ˜ ψ(p) × Ø Ø Ø ×ÓÐÙØ ×ÕÙ Ö Ó Ø × ÕÙ ÒØ ØÝ × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ ÐØÝ Ø Ø Ø Ô ÖØ Ð × Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ôº ˜ ψ(p) × Ù×× Ò ÒØ Ö Ø Ô ¼º ÁØ³× ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø p = ˆ ˜ dp p |ψ(p)|2 = 0 p2 = ˆ ˜ dp p2 |ψ(p)|2 = 2¯ 2 h σ2 Ì Ù× Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × Ú Ò Ý¸ √ 2 2 1/2 2¯h Δp = (ˆ − p ) p ˆ = ´ µ σ

Ì ÔÖÓ Ù Ø Ó ØÛÓ ÙÒ ÖØ ÒØ × ×¸ ΔxΔp = h/2 ¯ ´½¼µ Û × Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ ÐÐÓÛ Ý Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÔÖ Ò ÔÐ º Ì Ö ÓÖ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Û Ø Ø ÓÖÑ Ó ´ µ × Ñ Ò ÑÙÑ¹ÙÒ ÖØ ÒØÝ ×Ø Ø º ÆÓÛ Ð Ø Ù× Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒº

¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ Í× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò¸ ˆ H = p2 /2m ˆ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø À × Ò Ö Ô ØÙÖ × ˆ 2 ψ(x, t) = e(−ι/¯ )Ht ψ(x, 0) = e(−ι/¯ )(ˆ /2m)t ψ(x, 0) h h p ´½½µ Ì ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò¹×Ø Ø × ÓÖ Ø Ö Ô ÖØ Ð × Ú Ò Ý¸ 1 |p = √ e(−ι/¯ )px = φp (x)(× Ý) h ´½¾µ 2π¯ h ÁØ Ò × ÐÝ Ø Ø |p × Ò Ò ×Ø Ø Ó ˆ pÛØ Ò Ú ÐÙ Ô h∂ 1h h p = −ι¯ ∂x √2π¯ e(ι/¯ )px = p|p ˆ Ê ÔÖ × ÒØ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø × × |p ¸ |ψ = p Cp |p Ï Ò Ð ÙÐ Ø Ø Ó ÒØ× Cp ×¸ ∝ pσ 2 2 σ Cp = p|ψ = −∝ φ∗ (x)ψ(x, 0)dx = ( π )1/4 p 2¯ h e−( 2¯ ) h Ì Ù× Ù× Ò Ø × Û Ò Ö ÛÖ Ø Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×¸ 1/4 ∝ ∝ 2 σ −( pσ )2 1 ψ(x, 0) = Cp φp dp = e 2¯ √ h e(−ι/¯ )px dp h ´½¿µ −∝ −∝ π 2¯ h 2π¯ h ÆÓÛ Û Ò ÛÖ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ´ µ ×¸

2 ∝ 1/4 p σ 2 2 σ √1 ψ(x, t) = e(−ι/¯ )(ˆ /2m)t h p −∝ π 2¯ h e−( 2¯ ) h 2π¯ h e(−ι/¯ )p x dp h ÓÖ¸ ∝ 1/4 p σ 2 2 /2m)t 2 σ √1 ψ(x, t) = −∝ π 2¯ h e−( 2¯ ) e(−ι/¯ )(p h h 2π¯ h e(−ι/¯ )p x dp h Ø × Ò Ö Ù ØÓ Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÑÑ ÒØ Ö Ð ÓÖÑ¸ ⎡ ⎤2 1/4 1 2 σ ιx ∝ dy ψ(x, t) = √ exp ⎣ ⎦ exp(−y 2 ) ´½ µ 2π¯ π h 2¯ h 2¯ h ιt + σ2 −∝ ιt + σ2 2m¯ h 4¯ 2 h 2m¯ h 4¯ 2 h ιt σ2 ιx Ï Ö ¸ y= 2m¯ h + 4¯ 2 h p − 2 º ιt 2m¯h + σ2 4¯ h ËÓÐÚ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ý Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÑÑ ÒØ Ö Ð¸ Û Ø ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ 1/4 2 σ ⎢ x ⎠ ⎥ ψ(x, t) = 2ι¯ 2t h exp ⎣− ⎝ ⎦ ´½ µ π m +σ 2 ¯ h 2ιt + σ 2 m¯h ¯2 h Ì × ÕÙ Ø ÓÒ ´½ µ Ú × Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú Ô Ø Ò Ý ´ µ Ò Ø À × Ò Ö Ô ØÙÖ Ù× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Òº ¾º½ ËÔÖ Ò Ó ÏÚ È ØÛØ ÌÑ » ×Ø Ò Ì Ø Ò ×× Ó Ø Û Ú Ô Ø Ø ×ÓÑ Ð Ø Ö Ø Ñ ³Ø³ Ò Ø ÖÑ Ò Ý ´½ µº Ï ÛÖ Ø Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ´½ µ Ò × ÑÔÐ Ö ÓÖÑ ×¸ ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ ⎢ x ⎠ ⎥ ψ(x, t) = A exp ⎣− ⎝ 2 ⎦ ´½ µ 2ιt σ ¯ h m¯h + ¯2 h ½¼

Ï Ö × Ø ÆÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ú Ò Ý¸ 1/4 2 σ A= π 2ι¯ 2t h +σ2 m ÆÓÛ¸ ⎡ ⎛ ⎞⎤ 2 2 2 x x 2x |ψ(x, t)|2 = A∗ A exp − 2ιt¯ h + 2 2ιt¯ h = |A|2 exp ⎣− ⎝ 4t2 ¯ 2 ⎠⎦ ´½ µ m +σ 2 σ − m σ2 + h m2 σ2 Ì Ø Ò ×× Ó Ø Û Ú Ô Ø ´½ µ × 4t2 ¯ 2 h σ2 + m2 σ2 º ÁØ Ò × ÐÝ × Ò Ø Ø Ø ÒÝ Ø Ñ Ø ¼ Ø × Ø Ò ×× × Ö Ø Ö Ø Ò σ 2 ´Ø Ø Ò ×× Ø Ø Ñ Ø ¼µ ÇÖ¸ Ì ÏÚ È Ø ÜÔ Ò × Û Ø Ø Ñ Ý ÖÓ Ð ÀÝÔÓØ × ×¸ Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Û Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Û ÐÐ Ú ÖÓ Ð Û Ú Ð Ò Ø Ú Ò Ý¸ h λ= p ÓÖ¸ h ht λ= mv = mx ÓÖ¸ ht xλ = m ½½

Í× Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ¸ h ¯t Lλ m = 2π Ï Ö Ä × ×Ø Ò ØÖ Ú Ð Ý Ø Û Ú Ô Ø Ó Û Ú Ð Ò Ø λ Ò Ø Ñ Øº Ï Ò Ö ÛÖ Ø ψ(x, t) ×¸ −x2 ψ(x, t) = A exp σ2 + ιLλ π Ò¸ x2 x2 2x2 |ψ(x, t)|2 = A∗ A exp − ιLλ + 2 ιLλ = |A|2 exp − 2 2 ´½ µ π + σ2 σ − π (σ 2 + Lπλ 2 Ì Ù× Ø Û Ø Ó Ø × Û Ú Ô Ø Ò ÓÙÒ ÓÙØ ØÓ L2 λ2 σ2 + π2 º Ì × Ð×Ó × ÓÛ× Ø Ø Ì ÏÚ È Ø ÜÔ Ò × Û Ø ×Ø Ò Ì × ÜÔ Ò× ÓÒ × ÓÙØ Ü ¼¸ × × ÓÛÒ Ò Ø º¾ ÐÓÛº ½¾

Propagation of Gaussian Wave Packet with Time/Distance ÙÖ ¾ Ù×× Ò Ï Ú È Ø ÜÔ Ò × Û Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒº Ì Û Ú Ô Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ý ÙÒ Ø ÓÒ ´½ µ × ÆÇÌ Ù×× Ò Ò Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × ÒÓØ Ñ Ò ÑÙÑº Ì × × × ÓÛÒ Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒº ½¿

¿ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È Ø Ï Ú × Ò Ø Ø Ø Ù×× Ò Ï Ú È Ø ÜÔ Ò × Û Ø Ø Ñ » ×Ø Ò º Ì Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ð Ò× ÓÒ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÙÐ × ×Ù Ø Ø Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÙÐ Ò ÖÖÓÛ Û Ø Ø Ñ º × × Ò ÖÓÑ Ø º¿ ÐÓÛ A Quantum Convex Lens Direction of Propagation of Gaussian Wave Packet ÙÖ ¿ ÈÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø Ù×× Ò Ï Ú Ô Ø Ø ÖÓÙ ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ä Ò× Ä Ø Ù× ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ¸ −x2 ψ(x, 0) = A exp ´½ µ Ω2 − ιβ Ì Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ ¸ −x2 ψ(x, t) = A exp ´¾¼µ Ω2 + ι( Lλ − β) π ÆÓÛ¸ ⎛ ⎞ 2 −2x |ψ(x, t)|2 = |A|2 exp ⎜ ⎝ 2⎠ ⎟ ´¾½µ 1 Lλ Ω2 + Ω2 π −β ½

Ì Û Ø Ó Ø × Û Ú Ô Ø × 2 1 Lλ Ω2 + Ω2 π −β º ÁØ Ò Ð ÖÐÝ × Ò ÖÓÑ Ø × Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ ´½ µ Ò ÖÖÓÛ× × Ä Ò Ö × ×º ÁØ ØØ Ò× Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Û Ò Ø × ÓÒ Ø ÖÑ¸ 2 1 Lλ ´ Ω2 π −β µ ÓÑ × Þ ÖÓº Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Ø Û Ú Ô Ø × Ù×× Ò¸ Ò Ø ÜÔ Ò × ÙÖØ Ö Û Ø Ø Ñ » ×Ø Ò º Ì Ù× Û Ò ÓÒ× Ö Ø Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Ø ÖÓÙ ´ ÓÒ¹ Ú ÜµÐ Ò× × ×Ù ¸ −x2 2 /σ 2 Lens e−x −→ e Ω2 −ιβ ´¾¾µ Ï Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ø Ó ÓØ Ø Û Ú Ô Ø× × Ø × Ñ ¸ º º σ 2 = Ω2 + β 2 /Ω2 Ï Ò ÓÒ× Ö ÓÒ Ú Ð Ò× ØÓÓ¸ Ï Ù×Ø Ò ØÓ Ö Ú Ö× Ø × Ò Ó β ØÓ Ø Ø Ø ÓÖÝ ÓÖ ÓÒ Ú Ð Ò×¸ × Û Ú Ô Ø Ø Ö ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ ÓÒ Ú Ð Ò× × ÓÙÐ ÜÔ Ò ÑÓÖ Ö Ô ÐÝ × ÓÑÔ Ö ØÓ ÒÓÖÑ Ð Ù×× Ò Û Ú Ô Øº ÁØ Ò × Ò Ø Ø Ø × Ò Ú Ú ÖÝ × ÐÝ Û ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ −x2 e Ω2 +ιβ º Ê Ø ÒÓÛ Û ÓÒ× Ö ÓÒÐÝ ÓÒÚ Ü Ð Ò×¸ Ò Ò Ò Ö Ð × Ø Ö ×ÙÐØ× Ð Ø Ö ×Ó Ø Ø Ø Ý Ò ÔÔÐ Ð ØÓ ÓÒ Ú Ð Ò× × Û ÐÐº ÁØ Ò × Ò Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø¸ ½

−x2 ψ(x) = A e Ω2 −ιβ ÆÓÖÑ Ð Þ Ò Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ¸ ⎛ ⎞1/2 2 −x2 ψ(x) = ⎝ β2 ⎠ e Ω2 −ιβ ´¾¿µ π Ω2 + Ω2 ÓÖ Ø × ÒÓÖÑ Ð × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ò ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ù× Û Ò Ò Ð ÙÐ Ø x = dx x |ψ(x)|2 = 0 ˆ Ò ¸ x2 = ˆ dx x2 |ψ(x)|2 = √ 1 23/2 π(Ω2 +β 2 /Ω2 ) Ø × ÑÔÐÝ¸ 1 Δx = (ˆ − x 2 )2 x ˆ 1/2 = ´¾ µ 23/4 [π (Ω2 + β 2 /Ω2 )]1/4 Ì ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ÓÖ ´ µ × Ú Ò Ý Ø× ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ¸ 1/2 ˜ 1 Ω2 p2 (Ω2 −ιβ) ψ(p) = dx ψ(x) eιpx/¯ = h e− 4¯ 2 h ´¾ µ 2π¯h π¯ (Ω2 + ιβ) h Ì Ù× Û Ú ¸ p = ˆ ˜ dp p |ψ(p)|2 = 0 Ò ¸ 1/2 ∝ Ωp 2 1/2 ˜ p2 = dp p2 |ψ(p)|2 = ˆ Ω2 p2 dpe− 2¯ = h Ω¯h π¯ (Ω4 +β 2 ) h −∝ π(Ω4 +β 2 ) Ì × ÑÔÐÝ¸ 1/4 2 2 1/2 Ω¯ h Δp = (ˆ − p ) p ˆ = 4 + β 2) ´¾ µ π(Ω Ø Ö ÓÖ Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ó Ø Û Ú Ô Ø Ú Ò Ý ´¾¾µ ×¸ 1/2 Ω 3/4 h2 ¯ ΔxΔp = ¯ > h/2 ´¾ µ 2 π(Ω4 + β 2) Ì Ù× Ø Û Ú Ô Ø× Ó ÓÖÑ ´¾¾µ Ö ÒÓØ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ Û Ú Ô Ø×º ÁØ Ò Ð×Ó × Ò Ø Ø × Ø Ù×× Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÐÚ × Û Ø Ø Ñ Ø Ð×Ó ÐÓ× × Ø× Ñ Ò ÑÙÑ ½

ÙÒ ÖØ ÒØÝ ´Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ó Ø × Ñ ÓÖÑ × ´¾¾µµº ÆÓÛ¸ Ï Ò ØÓ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ω, β, σ Ò Ø Ó Ð Ð Ò Ø Ó Ø Ð Ò×º ½

¿º½ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ð ×β Ò Ω × Û ÒÓÛ ÖÓÑ Ê Ý ÇÔØ × Ø Ø Ø Ñ ÓÖÑ Ý ÓÒÚ Ü Ð Ò× Ó Ò Ó Ø ÔØ Ø ¾ × Ó × Ñ × Þ Ò × ÓÖÑ Ø ×Ø Ò Ó ¾ ÖÓÑ Ø Ð Ò× ÓÒ Ø ÓÔÔÓ× Ø × º ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ø ×Ø Ò ¾ Û Ý ÖÓÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò× Ó Ó Ð Ð Ò Ø º Á Û ××ÙÑ Ø Ø Ø × Û Ú Ô Ø × ØÖ Ú Ð Ò ØÓÛ Ö × Ø ÓÒÚ Ü Ð Ò×¸ Û Ò Ø Ö × Ø ×Ø Ò Ó ¾ ÖÓÑ Ø Ð Ò× ÓÒ Ø ÓØ Ö × Ø Ö ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò×´× º¾µ Ø × ÓÙÐ Ú × Ñ Û Ø × Ó Ò Ø Ð Û Ú Ô Øº σ F 2F 2F σ Lens with focal length F ÙÖ ¾ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ω Ò β Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖÑ Ó ÓÙÖ Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ψ1 ¸ 1/4 2 2 /σ 2 ψ1 = e−x ´¾ µ πσ 2 ÆÓÛ¸ Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø ÓÖÑ Ó ψ2 Ý Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó ψ1 Ù× Ò Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ×Ø Ò ¾ º Ì Ù×¸ Û Ø ⎛ ⎞1/4 2 −x2 ψ2 = ⎝ ⎠ exp ´¾ µ π σ2 + 4F 2 λ2 π 2 σ2 σ 2 + ι2F λ π ½

Ø Ø Ð Ò× Û ××ÙÑ ÓÙÖ × Ñ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ⎛ ⎞1/4 ⎝ 2 ⎠ −x2 ψ2 = exp ´¿¼µ π Ω2 + β2 Ω2 − ιβ Ω2 ÆÓÛ Ò Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø ÓÖÑ Ó ψ3 Ý Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó ψ2 Ù× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ×Ø Ò ¾ º Ì Ù× Ò Û Ú ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x ψ3 = ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ 2F λ ⎠ ´¿½µ π Ω2 + 1 β− 2F λ Ω2 −ι β− π Ω2 π ÆÓÛ Û Ú ¾ ÓÒ Ø ÓÒ× ØÓ × Ø × º 2 width of ψ2 = width of ψ2 ´¿¾µ Ò width of ψ1 = width of ψ3 ´¿¿µ ÖÓÑ Ø × ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ× Û Ò Ö Ú ÜÔÖ ×× ÓÒ× ÓÖ Ω&β Ò Ø ÖÑ× Ó F &σ º ÖÓÑ Ø × ÓÒ Ø ÓÒ× Û Ø¸ 4F 2 λ2 β2 σ2 + = Ω2 + 2 ´¿ µ π2σ2 Ω β 2 4F 2 λ2 4F λβ σ 2 = Ω2 + + 2 2 − ´¿ µ Ω2 π Ω πΩ2 ÓÖ¸ β2 4F λ2 4F λβ Ω2 + Ω2 = σ2 − π 2 Ω2 + πΩ2 ÆÓÛ¸ Ù× Ò Ø × Ò ´¾ µ Û Ø¸ 4F 2 λ2 1 4F 2 λ2 4F λβ π 2 σ2 = − Ω2 π2 − π ÇÖ¸ πβ Ω2 = σ 2 −1 ´¿ µ Fλ Ù× Ò Ø × Ò Ò ´¾ µ Û Ø¸ ½

4F 2 λ2 σ2 πβ πβ β2 2σ 2 + π 2 σ2 − Fλ Fλ −1 = σ2 ËÓÐÚ Ò Ø × ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò β¸ Û Ø ØÛÓ ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÖ β 2F λ β+ = ´¿ µ π ⎛ ⎞ 2F λ ⎝ 1 ⎠ β− = 1− F 2 λ2 ´¿ µ π 2 1 + σ4 π 2 Í× Ò Ø × Ú ÐÙ × Ó β Ò ´¿¼µ¸ Ω2 = σ 2 + ´¿ µ 1 Ω2 = σ 2 1 − − F 2 λ2 ´ ¼µ 1+ σ4 π 2 ÆÓÛ¸ Û Ò Ò Ð Ø Ø β− Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ω2 ¸ − × ψ3 ÑÙ×Ø ÜÔ Ò Ø ÖÛ Ö ¸ º º Ø× Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ ÑÙ×Ø Þ ÖÓ ÓÖ Þ ÖÓº Ì Ù× Û Ö Ð Ø Û Ø ÓÒÐÝ ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ 2F λ β= & Ω = σ2 ´ ½µ π ¾¼

¿º¾ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ò Ö Ð¸ Û Ò ÕÙ ÒØ Ý Ø Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ä Ò× Ý ÙÒ Ø ÖÝ ØÖ Ò× ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ⎛ ⎞1/4 ˆ 2 −x2 UF ⎝ ⎠ exp = π σ2 + λ2 L2 π 2 σ2 σ 2 + ιλL π ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x2 ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ FL ⎠ ´ ¾µ π Ω2 + λ2 FL Ω2 − π L−F π 2 Ω2 L−F Û Ö L × Ø ×Ø Ò Ø Û Ú ¹Ô Ø¸ Ó Ò Ò Ø Ð Û Ø σ¸ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò×¸ Ò Ω × ×Ù Ø Ø Ø × Ø × × 2 λ2 L2 λ2 FL σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¿µ π2σ2 π Ω L−F ÆÓÛ Ð Ø Ù× ÓÒ× Ö Ù× Ò Û Ú Ô Ø ψ1 Ó Ò Ø ÐÛ Ø σ ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ ×Ø Ò u ÖÓÑ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò×º 1/4 2 −x2 ψ1 = exp ´ µ πσ 2 σ2 ÇÒ Ö Ò Ø ÓÒÚ Ü Ä Ò× Ø ÓÖÑ Ó Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ×¸ ⎛ ⎞1/4 2 −x2 ψ2 = ⎝ ⎠ exp ´ µ π σ2 + λ2 u2 π 2 Ω2 Ω2 + ιλu π Í× Ò Ø ÍÒ Ø ÖÝ ÌÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ˆ UF Ó Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò×¸ × Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ ´ ½µ ÓÒ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ⎛ ⎞1/4 ˆ ˆ 2 −x2 ψ2 = UF ψ2 = UF ⎝ ⎠ exp ´ µ π σ2 + λ2 u2 π 2 Ω2 Ω2 + ιλu π ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x = ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ Fu ⎠ ´ µ π Ω2 + λ2 Fu Ω2 − π u−F π 2 Ω2 u−F Ì Ω Ò Ø ÓÚ ÜÔÖ ×× ÓÒ Û ÐÐ ×Ù Ø Ø Ø Û ÐÐ × Ø × Ý 2 λ2 u 2 λ2 Fu σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ µ π2 σ2 π Ω u−F ¾½

A Quantum Convex Lens of Focal Length ’F’ u v ^ U ψ ψ F ψ’ ψ 1 2 2 3 ÙÖ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò× ÆÓÛ Ø Ö ØÖ Ú Ð Ò ×Ø Ò v Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ú Ø ÓÖÑ ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x2 ψ3 = ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ fu ⎠ ´ µ π Ω2 + λ2 v− fu Ω2 − π v− u−f π 2 Ω2 u−f ÓÖ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ù×× Ò Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ò Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ó Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð × ÓÙÐ ÓÑ Þ ÖÓ¸ º º fu v− u−f =0 ÓÖ¸ fu v= ´ ¼µ u−f Ì × × Ò Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ê Ý ÇÔØ ×¸ 1 1 1 = − ´ ½µ f v u Ä Ø Ù× ÐÓÓ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ω Ú Ò Ý ´ µ¸ Ø Ö ÒØ Ú ÐÙ × Ó Ù i.e. Û Ò Ø Ò Ø Ð Ù×× Ò Û Ú Ô Ø´Ç Øµ × Ø Ö ÒØ ÔÓ× Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò×º ¾¾

¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ÝÓÒ ¾ Ï Ò Ù × ÝÓÒ ¾ ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø × Ø ¿ ¸ Û Ú ÖÓÑ ´ µ 2 9λ2 F 2 λ2 3F σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ π2σ2 π Ω 2 ÓÖ¸ σ2 Ω2 = ´ ¿µ 4 ⇒ Ω = σ/2 ´ µ ´ Ö Û Ò Ð ØØ −σ 2 /2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ Ω ⇒ magnif ication = m = = 1/2 ´ µ σ Ì Ù×× Ò Û ÐÐ ÓÒØÖ Ø ØÓ ´ ÓÖ Ø Ñ Û ÐÐ ÓÖÑ Ø µ¸ 3F 2 v= = 3F/2 ´ µ 2F Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¿ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¿ »¾ × Ñ Ò × Û Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ½»¾ ¾¿

¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾ Ï Ò Ù × Ø ¾ ¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸ 4λ2 F 2 λ2 σ2 + = Ω2 + 2 2 (2F )2 ´ µ π2σ2 π Ω ÓÖ¸ Ω2 = σ 2 ´ µ ⇒Ω=σ ´ µ ´ Ö Û Ò Ð ØØ −σ 2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ Ω ⇒ magnif ication = m = =1 ´ ¼µ σ 2F 2 v= = 2F ´ ½µ F Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¾ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¾ × Ó × Ñ × Þ × Ó Ø ¾

¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ² Ï Ò Ù × ØÛ Ò ¾ Ò ¸ Ð Ø Ù× ××ÙÑ Ù ¿ »¾¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸ 2 9λ2 F 2 λ2 3F σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ 4π 2 σ 2 π Ω 2 ÓÖ¸ Ω2 = 4σ 2 ´ ¿µ ⇒ Ω = 2σ ´ µ ´ Ö Û Ò Ð ØØ −2σ 2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ Ω ⇒ magnif ication = m = =2 ´ µ σ 3F 2 /2 v= = 3F ´ µ F/2 Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¿ »¾ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¿ × Ñ Ò Û Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ¾º ¾

¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ Ï Ò Ù × Ø ¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸ 2 λ2 F 2 λ2 F σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ µ π2σ2 π Ω 0 ÓÖ¸ λ2 F 2 Ω2 + ∝= σ 2 + ´ µ π2σ2 À Ö Û ÓÒØ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ω Ø Û Ø Ó Ø Û Ú Ô Ø × ÓÖ Ò ØÓ Ø Ê Ý ÇÔØ × Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ò Ø × × × ÓÙÐ ∝¸ Û × ×Ø ÐÐ Ú ÖÝ ÑÙ Ò ÓÖ Ò Û Ø ´ µº ¾

ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ Ò ØÝ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ò Ý × ÑÔÐ Ð ÙÐ ¹ 2 /σ 2 Ø ÓÒ× Û Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ó Ø ÓÖÑ e−x ÜÔ Ò Û Ò ÚÓÐÚ Ò Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø ÐÓ× × Ø× Ù×× Ò ÓÖÑ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝº Ì Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ð Ò× × ÓÙÐ × ×Ù Ø Ø Ò ÜÔ Ò Ò Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø × ÓÙÐ ×Ø ÖØ ÓÒØÖ Ø Ò º ÁØ Û × ÓÙÒ ÓÙØ Ø Ø Ø × Ø × ÓÙÐ ¸ −x2 Lens −x2 exp −→ exp ´ µ σ 2 + ιλL π Ω2 − ιβ Û Ö L × Ø ×Ø Ò Ø Û Ú ¹Ô Ø¸ Ó Ò Ò Ø Ð Û Ø σ¸ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò×º Ý Ù× Ò Ø ¾ Ñ Ø Ó Û Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÙ×Ø Ó Ø ÓÖÑ¸ −x2 Lens −x2 exp −→ exp ´ ¼µ σ 2 + 2ιλF π σ 2 − 2ιλF π Ì × Ø Ó Ð Ò× × ×Ù ×× ÙÐÐÝ ÕÙ ÒØ Þ Ý Ø ÍÒ Ø ÖÝ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ¸ ⎛ ⎞1/4 ˆ 2 −x2 UF ⎝ ⎠ exp = π σ2 + λ2 L2 π 2 σ2 σ 2 + ιλL π ⎛ ⎞1/4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −x2 ⎝ 2 ⎠ exp ⎝ ιλ FL ⎠ ´ ½µ π Ω2 + λ2 FL Ω2 − π L−F π 2 Ω2 L−F Ï Ö Ω × ×Ù Ø Ø 2 λ2 L2 λ2 FL σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ π2σ2 π Ω L−F Ï Ø ×ÓÑ × ÑÔÐ Ð ÙÐ Ø ÓÒ× Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø ÓÚ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ × Ò ÓÖ¹ Ò Û Ø Ø ÐÖ Ý ×Ø Ð × Ð Û× Ó Ö Ý ÓÔØ ×º Ì Ø ÓÖÝ Û × Ò ×Ù ×× ÙÐÐÝ Ú ÐÓÔ Ö ÓÖ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ð Ò× ¾

Ò Ö ØÐÝ ÔÔÐ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒ Ú Ð Ò×¸ Ñ Ö ÐÝ Ý ÒØ Ö Ò Ò Ø × Ò Ó Ø Ó Ð Ð Ò Ø Ò Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ×º º½ ÙÖØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒ Ï Ò ÙÖØ Ö Ò Ö Ð Þ Ø × Ø ÓÖÝ Ý Ò Ò ÓÙØ Ø Ø Ó ÈÐ ÒÓ¹ ÓÒÚ Ü¸ ÈÐ ÒÓ¹ ÓÒ Ú Ð Ò× ÓÒ Ù×× Ò Û Ú Ô Øº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø Ø Ó ×Ô Ö Ð Ñ ÖÖÓÖ× ÓÒ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ò ÓÙÒ ÓÙØº Ï Ò Ð×Ó ØÖÝ ØÓ Ú Ö Ý Ø × Ø ÓÖÝ Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ð Ò× ×º Ì Ö ×ÙÐØ× × ÓÙÐ × Ñ Ð Ö ØÓ ÐÖ Ý ×Ø Ð × Ö ×ÙÐØ× Ò Ø Ö Ý ÓÔØ ×º ¾

º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò × ½º × ÓÖÓÛ Þ¸ ËØ Ô Òº ÉÙ ÒØÙÑ È Ý× × ¸ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ×¸ ½ ¾º ÈÓÛ ÐÐ¸ ÂÓ Ò Äº Ò Ö × Ñ ÒÒ¸ ÖÒ º ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò × ¸ Æ ÖÓ× ÈÙ Ð × Ò ÀÓÙ× ¸ ½ ¿º ËÙ Ö Ñ ÒÝ Ñ¸ Æº Ò Ä Ð¸ Ö º Ì ÜØ ÓÓ Ó ÇÔØ × ¸ Ë Ò ² ÓÑÔ ÒÝ ÄØ º¸ ½ º ÊÓ×Ù¸ À Ö Ø º Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò × Ö Ú Ô Ý× ×¸ ¼¼¼ ¼ ¾Ú¾¸ ¾¼¼¼ º ÇÜ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÝ Ó È Ý× × ¸ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö× ØÝ ÈÖ ××¸ ¾¼¼¼ º¿ ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö Ò × ½º Ê ÝÑÓÒ ¸ Ú º Ì Ò Ä Ò× ÓÖÑÙÐ Ò ÇÔØ Ð ÁÒ×ØÖÙÑ ÒØ× ØØÔ »»Ô Ý× ×ºÒÑØº Ù» Ö ÝÑÓÒ » Ð ×× ×»Ô ½¿Ü ÓÓ »¸ ¾¼¼ ¹¼ ¹¼ ¾º À Ò Ö×ÓÒ¸ ÌÓÑº Ì È Ý× × Ð ××ÖÓÓÑ Å Ø Ñ Ø × Ó Ð Ò× × ØØÔ »»ÛÛÛº Ð Ò ÖÓÓ º ½¾º ÐºÙ×» ×× »Ô Ý×» Ä ××¸ ¾¼¼ ¾

Quantum Treatment of Lenses - Wave Packet Optics

0 comments

Notes on slide 1

Favorites, Groups & Events