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Calculo de área y perímetro
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Calculo de área y perímetro

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  • 1. Universidad Central de ChileFacultad de Ciencias de la EducaciónPostítulo en Educación MatemáticaTaller de análisis y producción de recursos para la Educación MatemáticaProfesor Ricardo Rivero Z. Lección Cálculo de Área y Perímetro. Alumna: Isabel González-Farret Aranda Fecha: 15 de enero del 2013
  • 2. Queridos amigos: Están invitados a iniciar una nueva unidad, la cual se llama “Cálculo de área y perímetro” Aquí aprenderán a calcular el valor del área y perímetro de distintos polígonos. Ósea figuras geométrica de lados rectos.Para aprender lo anterior necesitarás saber lo siguiente:  Descripción de triángulos y cuadriláteros  Clasificación de polígonos según sus lados.  Clasificación de polígonos según sus ángulos.  Clasificación de ángulos.  Concepto de área como cantidad de cuadrados de lados unidad.  Suma y multiplicación con números enteros y decimales.  El uso de las unidades de medida como el milímetro, el centímetro, el metro y el kilometro como unidades de longitud.  Las equivalencias dentro de las unidades de medida de longitud.
  • 3. DIAGNÓSTICO: “MIDIENDO NUESTRO ENTORNO”Queridos alumnos:Los invito a realizar el siguiente diagnóstico recuerden que deben esforzarse en contestar bien, ysí, aun a pesar de haber esforzado en responder, no lo lograron. Lo importante es siempre haberdado lo mejor de ti. Y juntos lograremos superarnos.Javier hizo un dibujo de la forma de su dormitorio. Obsérvala y luego responde. 3 metros 3 metros
  • 4. Criterio a diagnosticar: Descripción de polígonos según la cantidad y medida de sus lados.Problema 1:¿Cómo es la forma del dormitorio de Javier? ¿Cómo supiste la forma de la habitación de Javier? Respuesta Nivel Completamente Logrado: El dormitorio de Javier tiene forma cuadrada porque: tiene cuatro lados que tienen la misma medida. Los lados opuestos entre sí son paralelos. Tiene cuatro ángulos de 90º. Respuestas Nivel Medianamente Logrado: A. El dormitorio de Javier tiene forma cuadrada porque: tiene cuatro lados B. El dormitorio de Javier tiene forma cuadrada porque todos sus lados miden lo mismo. Respuestas Nivel Por Lograr: A. Creo que la habitación de Javier es cuadrada. B. La habitación de Javier es cuadrada porque se parece a la figura cuadrada del poster de la Biblioteca. C. Se lo copie al compañero. D. No sé qué forma tiene el dormitorio de Javier. E. Responde erróneamente.
  • 5. Criterio a diagnosticar: Comparar cuadrados yrectángulosProblema 2Carmen también hizo un dibujo de su pieza.Obsérvala y luego responde. ¿En qué se parece laforma de la pieza de Carmen a la de Javier? ¿Y enqué se diferencia? Respuesta Nivel Completamente Logrado: El dormitorio de Javier tiene forma cuadrada y el de Carmen es rectangular. Y ambos dormitorios tienen cuatro paredes de y/o cuatro esquinas Respuestas Nivel Medianamente Logrado: a. El dormitorio de Javier tiene cuatro lados igual que el dormitorio de Carmen. b. El dormitorio de Javier es más grande que el de Carmen. c. El dormitorio de Javier tiene forma cuadrada y el dormitorio de Carmen es rectangular Respuestas Nivel Por Lograr: a. Responde erróneamente. b. No responde.
  • 6. Criterio a diagnosticar: Aplicar el cálculo de perímetro en la resolución de problemasProblema 3Javier quiere poner un guardapolvo que bordee toda su habitación. Si cada metro de guardapolvocuesta $1 000, ¿Cuánto dinero va a gastar en el guardapolvo, si no descuenta el hueco de lapuerta? ¿Cómo lo sabes? Respuesta Nivel Completamente Logrado: Javier necesita 12 metros de de guardapolvo y gastará $12 000. a. Para saberlo multiplique la medida de una de las paredes por la cantidad de paredes que tiene la habitación. b. Para saberlo sume las medidas de todas las paredes de la habitación. c. Respuestas Nivel Medianamente Logrado: Javier necesita (X de 12) metros de de guardapolvo y gastará $X de $12 000 a. Para saberlo multiplique la medida de una de las paredes por la cantidad de paredes que tiene la habitación. b. Para saberlo sume las medidas de todas las paredes de la habitación. Respuestas Nivel Por Lograr: c. Responde erróneamente. d. No responde.
  • 7. Criterio a diagnosticar: Aplicar el cálculo de área en la resolución de problemasProblema 4Carmen quiere alfombrar toda su habitación. Cada cuadrado de un metro por lado de alfombracuesta $1 000 ¿Cuántos dinero va a gastar en las alfombra? ¿Cómo lo sabes? Respuesta Nivel Completamente Logrado: Carmen necesita 6 alfombras cuadradas de un metro de lado cada una y gastará $6 000. c. Para saberlo multiplique la medida de una de las paredes por la cantidad de paredes que tiene la habitación. d. Para saberlo grafiqué la habitación y en ella grafique las alfombras cuadradas de un metro de lado cada una. Respuestas Nivel Medianamente Logrado: Carmen necesita X 6 alfombras cuadradas de un metro de lado cada una y gastará X $6 000. a. Para saberlo multiplique la medida de una de las paredes por la cantidad de paredes que tiene la habitación. b. Para saberlo grafiqué la habitación y en ella grafique las alfombras cuadradas de un metro de lado cada una. Respuestas Nivel Por Lograr: a. Responde erróneamente. b. No responde.
  • 8. ¿Qué me dice el diagnóstico?Del diagnóstico se obtiene la siguiente información del curso:  Los alumnos en su totalidad son capaces de describir una figura geométrica plana dada.  Los alumnos en su mayoría son capaces de reconocer las principales partes de una figura geométrica palana como: Lados, vértices, ángulos, altura y base.  En su mayoría los alumnos son capaces de nombrar semejanzas y diferencias entre dos figuras planas  Algunos alumnos son capaces de utilizar un procedimiento algebraico que les permita obtener el perímetro de un polígono regular.  La minoría de los alumnos logra por medio de la representación pictórica calcular el área de un cuadrilátero.  La totalidad los alumnos no son capaces de resolver en forma algebraica el área de un cuadrilátero.
  • 9. Tras el resultado reflejado en el diagnóstico tomaré el caso específico de la alumna Luna Luzardoreflejando su situación en el siguiente contrato didáctico: Hagamos un compromisoEste compromiso fue redactado conjuntamente por la alumna Luna Luzardo y la profesora IsabelGonzález-FarretCurso: Quinto Básico Curso: 2012Como alumna:¿Para qué asumo este compromiso? ¿Cuál es mi objetivo?El objetivo de hacer este compromiso es para que yo Luna Luzardo, alumna de Quinto básico,pueda aprender a calcular área y perímetro de polígonos, es decir, figuras geométrica. Para lograrlo anterior es importante que yo sepa que mi debilidad es “no saber calcular el área de un polígonoregular”, por lo tanto, es importante que me comprometa a tomar con responsabilidad todas lasclases para así comprender que el área de un polígono es la medida de la superficie que dichafigura ocupa en el plano.Mi responsabilidad como alumna es estar atenta clase a clase y tener la disposición de participarpara así aprender lo que aún me confundo o no sé. Realizar las tareas enviadas por mi profesorapara reforzar en casa cuando ella considere necesario. Me comprometo a revisar lo aprendido enla clase anterior antes de cada nueva clase. Y repasar con responsabilidad antes de lasevaluaciones individuales.Como profesora:¿Para qué asumo compromiso? ¿Cuál es mi objetivo?El objetivo de este compromiso es para que yo, Isabel González-Farret, la profesora deMatemáticas, pueda hacer ver a Luna que mi intención es ayudarle a comprender como graficar yobtener algebraicamente el perímetro y el área de los polígonos regulare, para que así ella puedaavanzar hacia el aprendizaje de la medición de figuras geométricas.Ambas, Profesora Isabel González-Farret y alumna Luna Luzardo nos comprometemos a cumplircon lo establecido en este presente documento con fecha 15 de marzo año 2012 Profesora Isabel González-Farret Alumna Luna Luzardo
  • 10. CREANDO UNA LUDOTECA Tema: Cálculo de área y perímetro de polígonos. (Figuras geométricas planas)La profesora relata la siguiente experiencia:Queridos alumnos en el colegio Los Cántaros de Greda hay un taller de diseño formado poralumnos y alumnas. Se les ha encargado la misión de implementar la ludoteca del colegio. Paraello, deben ambientar una sala que se les asignó para este fin, además de recolectar, comprar ycrear los juegos que allí tendrán. Junto con la ludoteca deben crear un patio de juego y un jardín.Como trabajo final del taller deben presentar un plano de su proyecto y un presupuesto de losgastos que implica comprar juegos y adecuar la sala como una ludoteca. Para lograr realizar esteproyecto, los alumnos y alumnas se organizaron en delegaciones. PROBLEMA 1El grupo encargado del patio de juegos empieza a tomar medidas del patio para decidir cómoserán distribuidos los juegos que usarán en él. Han decidido por la forma que tiene el patiodividirlo, en dos sectores: una zona con suelo de pastelones grises, en la que pondrán juegos, yuna zona triangular con pasto, en la que pondrán un jardín.Con una hincha que diga “Ludoteca” se identificará todo el contorno del sector a utilizar. Para ellodeben saber cuánta huincha necesitarán.Cuando midieron el terreno embaldosado supieron que es un cuadrado de 1280 centímetros porlado. Y que el resto del patio es un triangulo rectángulo con un lado A de 1280 centímetros, lado Bde 960 centímetros y lado C de 1600 centímetros.¿Los puedes ayudar a averiguar cuántos metros de huincha necesitan para cercar ambos patiosjuntos? Perímetro de un polígono: es la medida de su contorno. Corresponde a la suma de las medidas de sus lados. Algunas de las unidades de medición más usadas para expresar el perímetro de una figura plana son: kilómetro (Km), metro (m), centímetro (cm), milímetro (mm).
  • 11. 1º Paso: Leer el problema.2º Paso: Registrar la información dada en el problema: a. Una parte del terreno está compuesto por un cuadrado de 1280 centímetros. b. 1m = 100 cm c. Una parte del terreno tiene forma triangular con sus tres lados de distinta medida. d. Las medidas del terreno triangular son: La 1280 centímetros, Lb 960 centímetros y Lc 1600 centímetros.3º Paso: Analizar la pregunta. ¿Cuántos metros de huincha necesitan para cercar ambos patios juntos? Para resolver esta pregunta usa la palabra cercar, que significa rodear el terreno. Poner una huincha para identificar sus límites. Como las rejas y/o panderetas de las casas. Para ello no se comprarán las huinchas por trozos sino que se utilizará una sola huincha que alcance para rodear todo el patio a la vez. Por lo tanto debemos saber cuánto miden todos los lados “juntos”. Como nos pide la pregunta Pero además la información está dada en una unidad de medida distinta a la que nos solicita la pregunta. Por lo tanto debemos hacer una transformación de medidas antes de empezar.
  • 12. 4º Paso: Representar el patio para poder visualizarlo mejor.Hay un lado de la zona cuadrada que es común a la zona triangular por lo tanto no necesitan sercercadas. El lado La del triangulo con cualquier lado del cuadrado, ya que recordamos que loscuadrados tienen todos sus lados iguales. Representación del patio:5º Paso: Asignar los valores a cada lado del patio. 960 centímetros 1600 centímetros 1280 centímetros 1280 centímetros 1280 centímetros
  • 13. 6º Paso: Transformar los valores dados en centímetros a metro. Lado del cuadrado Lado b del triángulo Lado c del triángulo7º Paso: Calcular el la medida de la unión de todos los lados del contorno del patio. Los tres lados externos del cuadrado+ los dos lados externos del triangulo.8º Paso: Escribir la respuesta del problema. Para ello volvemos a recordar la pregunta : ¿Cuántos metros de huincha necesitan para cercar ambos patios juntos? Podemos responder que para cercar ambos patios juntos se necesitarán 64 metros de huincha que diga “Ludoteca”.
  • 14. PROBLEMA 2:El grupo encargado de decorar la ludoteca ha decidido pintar la pared que se encuentra frente a lapuerta, de dos tonos de verde, usando como línea de división un eje de simetría horizontal, y lapared que enfrenta a la ventana, en los mismos tonos, pero con un eje de simetría vertical. Losotros las paredes serán de un tono de verde distinto para cada una. Sabiendo que las dimensionesde la sala son: largo: 8,5m; ancho: 6,5m; alto: 2,8m. La ventana mide 4,5m de ancho y 2m de alto yestá en uno de las paredes de menor superficie. Las dimensiones de la puerta son: 1,2m de alto yestá ubicada en uno de las paredes de mayor superficie.¿Cuántos litros de pintura de cada tono de verde se necesitarán para pintar la sala completa si 2cada litro de pintura rinde para pintar 1m ? Área de un polígono: Es la medida de superficie. Por ejemplo, para establecer el área de de un cuadrado o un rectángulo se debe realizar la siguiente operación: a área = aa a área= ab a b Algunas de las unidades de medición más usadas para expresar el área de una figura plana 2 2 2 2 son: km , m , cm , mm .1º Paso: Leer el problema.2º Paso: Registrar la información dada en el problema: a) Sabiendo que las dimensiones de la sala son: largo: 8,5m; ancho: 6,5m; alto: 2,8m. b) La ventana mide 4,5m de ancho y 2m de alto y está en uno de las paredes de menor superficie. c) Las dimensiones de la puerta son: 1,2m de alto y está ubicada en uno de las paredes de mayor superficie.
  • 15. d) Sabemos de las paredes que: a. Pared 1: frente a la puerta, de dos tonos de verde, usando como línea de división un eje de simetría horizontal. b. Pared 2: enfrenta a la ventana, en los mismos tonos de verde, pero con un eje de simetría vertical. c. Pared 3 y 4: serán pintadas cada una de un solo tono de verde.e) Las paredes pintadas con el tono A son: a. Pared 3. b. La mitad de la pared 1.f) Las paredes pintadas con el tono B son: a. Pared 4. b. La mitad de la pared 2.
  • 16. 3º Paso: Analizar la pregunta. ¿Cuántos litros de pintura de cada tono de verde se necesitarán para pintar la sala completa si cada litro de pintura rinde para pintar 1m2? Para resolver está pregunta necesitamos saber cuántos m 2 tiene la superficie que vamos a pintar. Recordemos que la superficie que ocupan la puerta y la ventana no se pinta. Por lo tanto debemos descontarlo del total de las paredes que ocupan cada una de ellas. Otro factor a considerar es que los alumnos decidieron utilizar dos tonos distintos de verde. Cuando el total de un objeto es repartido en dos o más parte la operatoria que se realice debe ser una división o una sustracción. Pero como ambas paredes fueron divididas por su eje de simetría, Podemos concluir que ambas partes son iguales entre sí, por lo tanto realizaremos una operatoria que nos permita obtener dos partes iguales del total. La división, de las superficies de las paredes pintadas de dos tonos.
  • 17. 4º Paso: Hacer un plano esquemático de la sala para poder visualizarla mejor: Graficamos lapuerta y la ventana. Y el diseño que se utilizará para pintar cada pared, como sus medidas. Pared 1 de dos tonos de verde, usando como línea de división un eje de simetría horizontal. 8,5m Pared 2: en dos 4,5m tonos de verde, con un eje de simetría 2m 2,8m vertical 2,2m 6,5m 1,2 m5º Paso: Calcular la superficie de cada pared: Recordamos que las paredes paralelas entre sí, sonde iguales medidas ya que estamos hablando de una sala rectangular. Por lo tanto las paredes 1 y3 son congruentes entre sí, tienen las mismas medidas, y las paredes 2 y 4 son congruentes entresí, tienen las mismas medidas. Pared 1 y 3: Ancho: 8,5m  Alto: 2,8m Las paredes 1 y 3 tienen una superficie total de 23,8m2 cada una. Pared 2 y 4: Ancho: 6,5m  Alto: 2,8m Las paredes 2 y 4 tienen una superficie total de 18,2m2 cada una
  • 18. 6º Paso: Calcular la superficie de la ventana y la puerta. Ventana Ancho: 4,5m  Alto: 2m La ventana tiene una superficie de 9m2. Puerta Ancho: 1,2m  Alto: 2,2m La puerta tiene una superficie total de 2,64m2.7º Paso: Restar la superficie de la puerta a la superficie de la pared 3. Pared 3: 23,8m2 Puerta: 2,64m2 23,8 m2 – 2,64 m2 21,16m2 La superficie a pintar de la pared 3 es de 21,16m2
  • 19. 8º Paso: Restar la superficie de ventana a la superficie de la pared 4. Pared 4: 18,2m2 Ventana: 9m2 18,2 m2 – 9 m2 9,2 m2 La superficie a pintar de la pared 4 es de 9,2m29º Paso: Calcular la pared y la porción de pared que será pintada con el tono A de verde. Tono A de verde: Pared 3. La mitad de la pared 1. Las superficies pintadas con el tono verde A es de 33,06m210º Paso: Calcular la pared y la porción de pared que será pintada con el tono B de verde Tono B de verde: Pared 2. La mitad de la pared 4. Las superficies pintadas con el tono verde B es de 22,8m2
  • 20. 11º Paso: Escribir la respuesta del problema. Para ello volvemos a recordar la pregunta: ¿Cuántos litros de pintura de cada tono de verde se necesitarán para pintar la sala completa si cada litro de pintura rinde para pintar 1m2? Sabemos que: Debemos pintar con el tono A de verde: 33,06m2 Debemos pintar con el tono B de verde: 22,8m2 Y recordamos que nos dicen que 1Lt de pintura rinde 1m2. Por lo tanto necesitarán 33,08Lt de pintura verde del tono A y 22,8Lt de la pintura verde del tono B. En total necesitarán 55,86Lt de pintura para pintar todo la sala.
  • 21. PROBLEMA 3El grupo del taller de diseño del colegio Los Cántaros de Greda que esta encargado de ladecoración ya tiene tres opciones de presupuesto para la cortina que cubrirá la ventana de laLudoteca: 2Opción 1: Cortina de soles que cubre justo el tamaño de la ventana y vale $5.700 el m .Opción 2: Cortina de género liso desde el techo hasta el suelo y ancho igual al doble del ancho del 2ventanal. El m de este género vale $2.350.Opción 3: Cortina de género estampado con figuras geométricas que sobresalga del alto delventanal 0,2 m y tenga un ancho igual al triple del ancho de la ventana. Esta cortina tiene un precio 2de $2.100 el m .¿Cuál de estas tres cortinas es la opción más económica?1º Paso: Leer el problema.2º Paso: Registrar la información dada en el problema. 1. Sabemos por Problema 2 las medidas de la ventana: a. Ancho de la ventana: 4,5m. b. Alto de la ventana: 2m. 2. Sabemos por el Problema 2 las medidas del alto de la sala: 2,8m. 3. Sabemos el costo por m2 de cada una de las cortinas: a. Opción 1: $5.700 el m2 b. Opción 2: $2.350 el m2. c. Opción 3: $2.100 el m2.
  • 22. 4. Sabemos las medidas de cada cortina: a. Opción 1: Justo el tamaño de la ventana: (4,5m ancho y 2m alto) b. Opción 2: Desde el techo hasta el suelo y ancho igual al doble del ancho del ventanal (2,8m de alto y el doble de 4,5m de ancho) c. Opción 3: Sobresale del alto del ventanal 0,2 m y tiene un ancho igual al triple del ancho de la ventana. (2m+0,2m de alto y tres veces 4,5m de ancho)3º Paso: Analizar la pregunta. ¿Cuál de estas tres cortinas es la opción más económica? En este problema tenemos la frase “Cuál de estas tres” por lo tanto debemos comparar tres opciones de cortina distintas. Para poder saber cuál es la más económica de las tres. Debemos averiguar cuánto cuestan en total cada una de las tres cortinas completas. Después tendremos que ordenar los resultados de menor a mayor costo. Para saber cuál es la más económica.
  • 23. 4º Paso: Representar las tres cortinas para poder visualizarlas mejor. Opción 1: Cortina de soles que cubre justo el tamaño de la ventana (4,5m ancho y 2m alto) y vale $5.700 el m2. 4,5m de ancho 2m de alto Opción 2: Cortina de género liso desde el techo hasta el suelo y ancho igual al doble del ancho del ventanal. (2,8m de alto y el doble de 4,5m de ancho) El m2 de este género vale $2.350. (4,5m2) de ancho 2,8m de alto
  • 24. Opción 3: sobresale del alto del ventanal 0,2 m y tiene un ancho igual al triple del ancho de la ventana (2m+0,2m de alto y tres veces 4,5m de ancho). Esta cortina tiene un precio de $2.100 el m2. (4,5m3) de ancho (2m+o,2m) de alto5º Paso: Calcular la superficie de cada una de las tres cortinas: Opción 1: 4,5m ancho y 2m alto: 4,5m  2m= 9m2. La cortina de la opción 1 tiene una superficie de 9m2.
  • 25. Opción 2: (4,5m  2) de ancho y 2,8m de alto: (4,5m  2)  2,8m = 9m  2,8m = 25,2m2.La cortina de la opción 2 tiene una superficie de 25,2m2.Opción 3: (4,5m  3) de ancho y (2m+0,2m) de alto: (4,5m  2)  (2m+0,2m) = 13,5m  2,2m = 29,7m2.La cortina de la opción 3 tiene una superficie de 29,7m2.
  • 26. 26º Paso: Ya que sabemos las cantidades de m que tiene cada cortina. Ahora tenemos quecalcular el valor total de cada una de las tres cortinas por separado ya que el problema solo 2entrega el valor por 1m cada una de los distintas cortinas, y no el valor total de las cortinas. Opción 1: Sabemos que: Superficie de la cortina entera: 9m2. El precio de 1m2 de cortina: $5.700 Necesitamos saber el valor de 9m2 de cortina: $5.700  9m2 = $51300 El costo total de la cortina de la opción 1 es de $51.300. Opción 2: Sabemos que: Superficie de la cortina entera: 25,2m2. El precio de 1m2 de cortina: $2.350 Necesitamos saber el valor de 25,2m2 de cortina: $2.350  25,2m2 = $59.220 El costo total de la cortina de la opción 2 es de $59.220
  • 27. Opción 3: Sabemos que: Superficie de la cortina entera: 29,7m2. El precio de 1m2 de cortina: $2.100 Necesitamos saber el valor de 29,7m2 de cortina: $2.100  29,7m2 = $62.370 El costo total de la cortina de la opción 3 es de $62.3707º Paso: Debemos ordenar las cortinas de más económica a menos económica La cortina más La cortina con La cortina menos económica precio intermedio económica cortina de la opción cortina de la opción cortina de la opción 1 $51.300 2 $59.220 3 $62.3708º Paso: Escribir la respuesta del problema Para ello volvemos a recordar la pregunta: ¿Cuál de estas tres cortinas es la opción más económica? Y podemos responder que la cortina más económica es la de la opción 1. Que tiene un costo total de $51.300.
  • 28. TIEMPO DE DISCUTIR CON TUS COMPAÑEROS…A continuación se les presentarán una serie de problemas los cuales deben resolver en grupos de4 integrantes. Luego deben escoger a un representante por grupo para intercambiar susrespuestas y conocimientos. Recuerden la importancia del respeto por el otro, esto se refleja simantienes un tono de voz adecuado a una sala de clases que está trabajando. Es importante quetodos participen y si hubiese algún integrante del grupo rezagado en conocimientos sería muybueno que puedan explicarle cada paso de lo que se está haciendo para que deje de ser unalumno rezagado. Eso se llama compañerismo. PROBLEMA 1:El municipio de la comuna donde vive Patricia quiere inaugurar un centro recreacional con juegos ydos piscinas: una con forma cuadrada de 6m por lado y la otra con forma rectangular dedimensiones 9m y 4m.Por seguridad se quiere colocar rejas alrededor de las piscinas. Observa el esquema: 6 metros 9 metros 6 metros 4 metros1.a) ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina cuadrada? El perímetro de un cuadrado, cuyos lados miden a, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: a P = a + a + a + a, es decir, P = 4  a
  • 29. 1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:
  • 30. 5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 31. 1.b) ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina rectangular? El perímetro de un rectángulo, cuyos lados miden a y b, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: a P = a + a + b + b, es decir, P = 2  a + 2  b b1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 32. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 33. PROBLEMA 2Don Tomás tiene una hurta de forma triangular donde tiene plantados diferentes tipos de verduraspara el consumo familiar. Para protegerla quiere cercarla con una malla. 8 metros 10 metros 6 metros2.a) ¿Cuántos metros de malla para cercar su huerta? El perímetro de un triángulo escaleno, cuyos lados miden a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P=a+b+c1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema
  • 34. 3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:
  • 35. 6° Paso: Responder:2.b) Si todos los lados de la huerta de Don Tomás midieran 3m. ¿Cuantos metros de mallanecesitaría para cercar la huerta? 3 metros 3 metros 3 metros El perímetro de un triángulo equilátero, de lado a, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + a, es decir, P = 3  a1º Paso: Leer el problema
  • 36. 2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:
  • 37. 5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:2.c) ¿Cuántos metros de malla necesitaría Don Tomás si su huerta tuviera lados que miden 7m,7m y 9m? 7 metros 7 metros 9 metros El perímetro de un triángulo isósceles, de lados a y base b, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + b, es decir, P = 2  a + b
  • 38. 1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:
  • 39. 5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 40. PROBLEMA 3Don Humberto trabaja colocando cerámicas. Para calcular cuantas cerámicas necesita, antes dehacer cada trabajo, el hace un dibujo y cuenta las cerámicas. Ahora debe colocar cerámicas enuna cocina en cuatro sectores diferentes. Observa los dibujos:A) B) C) D)3.a) ¿Cuántas cerámicas necesita para cubrir cada superficie? Si cada cerámica es cuadrada y 2mide 10cm Recuerda: 1m = 100cm1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema
  • 41. 3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:
  • 42. 6° Paso: Responder:3.b) ¿Cuánto mide cada una de las superficies en las que debe colocar cerámica? El área de un cuadrado de lado a es igual al producto de la medida de su lado por sí mismo. Á=aa1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema
  • 43. 3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:
  • 44. 6° Paso: Responder:
  • 45. PROBLEMA 4 2El área de un rectángulo es 24 cm , ¿cuáles son las medidas de su largo y ancho? Nombra lamayor cantidad de posibles soluciones. El área de un rectángulo de lados a y b es igual al producto de la medida de su largo por su ancho. Á=ab1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 46. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 47. PROBLEMA 5¿Cuánto mide el largo de un sobre que mide 5 cm de ancho y tiene un área de 35 cm2? 35cm2= 5 cm1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 48. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 49. ¡TAREA PARA LA CASA!Lee la siguiente noticia y responde los problemas que se plantean. Recuerda que puedespedir ayuda a las personas con las que vivas, pero solo ayuda.---------------------------------------------------- DEPORTE ---------------------------------------------------- El fútbol, deporte más popular en nuestro paísEn Chile, el fútbol es sin duda el deporte más de Arica y El Teniente de Rancagua, queimportante y el que goza de mayor fueron las sedes donde se jugaron lospopularidad. Cada fin de semana, miles y partidos del único mundial que hamiles de personas asisten a estadios a lo largo organizado nuestro país en su historia, el dede todo Chile para ver en acción a sus 1962.equipos y jugadores favoritos. En nuestro A nivel internacional existen reglas ypaís existen dos divisiones profesionales: la medidas oficiales preestablecidas. UnaPrimera A (que cuenta con 20 equipos) y la cancha de fútbol debe ser un rectángulo quePrimera B (que tiene 12). mida: un mínimo de 100 metros y un máximoEntre los estadios más importantes de Chile de 110 metros de largo y un mínimo de 64están el Estadio Nacional de Santiago, el metros y un máximo de 75 metros de ancho.Sausalito de Viña del Mar, el Carlos DittbornFuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/proyectos/algolritmo_pri2006/01activ_e5_a2.htmCalcula el área máxima y mínima de una cancha defútbol.Piensa y responde:a) ¿Cuántos metros cuadrados hay de diferencia entreel área máxima y mínima de una cancha de fútbol?b) ¿Cuál es el largo y ancho del “área grande o penal”de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede en esta área?c) ¿Cuál es el largo y ancho del “área chica o de meta”de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede en esta área?d) ¿Cuál es la superficie del “área grande o penal”?,¿y la del “área chica o de meta”?e) ¿Cuál es la diferencia entre el área grande y lachica?f) ¿Cuánto mide el área de la cancha que no es ni áreagrande ni área chica?
  • 50. BANCO DE FORMULAS: El perímetro de una figura es la medida total de su frontera o contorno, expresada en la misma unidad de longitud. Lo simbolizamos con la letra P. Para expresar el perímetro de figuras pequeñas utilizamos generalmente el milímetro o el centímetro; cuando son figuras más grandes (como el ancho de una pared) utilizamos el metro y cuando son más grandes aún (como la distancia entre dos ciudades) utilizamos el kilometro. Pero recuerda que no son las únicas. El perímetro de un triángulo escaleno de lados a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P=a+b+c El perímetro de un triángulo isósceles de lados a y base b se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + b, es decir, P = 2 • a + b El perímetro de un triángulo equilátero de lado a se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + a, es decir, P = 3 • a El perímetro de un cuadrado, cuyos lados miden a, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + a + a, es decir, P = 4 • a
  • 51.  El perímetro de un rectángulo, cuyos lados miden a y b, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + b + b, es decir, P = 2 • a + 2 • b El área es la medida de la superficie de una figura. Lo simbolizamos con la letra Á Para expresar el área de superficies pequeñas utilizamos generalmente el milímetro cuadrado o el centímetro cuadrado; cuando son superficies más grandes (como la de una pared) utilizamos el metro cuadrado y cuando son más grandes aún (como la de una ciudad) utilizamos el kilómetro cuadrado. Pero recuerda que no son las únicas que existen. El área de un cuadrado de lado a es igual al producto de la medida de su lado por sí mismo. Á=a•a El área de un rectángulo de lados a y b es igual al producto de la medida de su largo por su ancho. Á=a•b Puedes calcular el área de triángulos a partir del área de cuadrados o rectángulos.
  • 52. APLIQUEMOS LO APRENDIDO EJERCICIO 1El perímetro de un triángulo equilátero es igual al perímetro de un cuadrado. Si este es igual a 36cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo equilátero y del cuadrado? Lados del cuadrado P=4a 36cm = 4  a =a a = 9cm Cada lado del cuadrado mide 9 cm. Lados del triángulo P=3a 36cm = 3  a =a a = 12cm Cada lado del triángulo mide 12cm.1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 53. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 54. EJERCICIO 2Calcula el perímetro de una mesa cuadrada cuyos lados miden 1,4 m. P= a + a + a + a, es decir, P = 4  a Perímetro de la mesa = 1,4m + 1,4m + 1,4m + 1,4m = 41,4m = 5,6m El perímetro de la mesa es de 5,6m.1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 55. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 56. EJERCICIO 3Se quiere cercar un terreno de forma rectangular de 50 m de ancho y 75 m de largo. Si se debedejar un portón de 4 m de ancho, ¿cuántos metros de malla se necesitan para cercar todo elterreno? P = (2  a + 2  b) – 4m P = (2  50m + 2  75m) – 4m P = 100m + 150m – 4m P= 246m Para cercar todo el terreno se necesitan 246m de malla.1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 57. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 58. EJERCICIO 4Una sala de juegos mide 8 m de largo y 8 m de ancho. Se coloca una alfombra que cubre todo elpiso, ¿cuál es el área de la alfombra? Á= a  a Área de la sala = 8m  8m = 64m2 El área de la alfombra es de 64m21º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 59. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 60. EJERCICIO 5Si un terreno de forma rectangular mide 7 km de largo y 3 km de ancho, ¿cuánto mide la superficiedel terreno? Á= ab Á = 7 km  3 km Á = 21km2 La superficie del terreno mide 21km21º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 61. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 62. EJERCICIO 6Mi abuelita está bordando una alfombra de 7 metros de ancho y 4 de largo para mi comedor. Sihasta hoy tiene bordado 4 metros de ancho y 4 metros de largo. ¿Cuántos metros cuadrados faltanpara completar la alfombra? Á= ab Á = (7m  4m) – (4m  4m) Á = 28m2 – 16m2 Á = 12m2 A mi abuelita le faltan bordar 12m2 de alfombra.1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 63. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 64. TRABAJO SOLIT@Resuelve los problemas que se plantean a continuación. Es importante que durante este momentotrabajes solito y concentrado, para así comprobar que has aprendido. PROBLEMA 1:Doña Sofía quiere empapelar las paredes de su pieza. Cada una de ellas mide 5 metros de largo y4 metros de alto. La puerta de su pieza mide 1 metro de ancho y 2 metros de alto. ¿Cuántosmetros cuadrados de papel necesitará doña Sofía? Á=ab Área de la puerta = 1m  2m Área de la pared = 5m  4m Área para ser empapelada = [(5m  4m)  4] – (1m  2m) Doña Sofía necesita _____m2 de papel para empapelar la pieza.1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema
  • 65. 3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:
  • 66. 5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 67. PROBLEMA 2:¿Cuántos metros recorre una persona que da 5 vueltas a una cancha rectangular de 9,3 metros delargo y 5,7 metros de ancho? P del rectángulo = 2a + 2b P de la cancha = (9,3m  2) + (5,7m  2) Recorre una persona que da 5 vueltas a la cancha = [(9,3m  2) + (5,7m  2)]  5m 5 vueltas a la cancha son _____m21º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.
  • 68. 4º Paso: Representar:5° Paso: Resolver:
  • 69. 6° Paso: Responder:Problema 3:Darío construyo un establo que tiene tres sitios para los animales. Cada sitio tiene 10 metros deancho y 12 metros de largo. Él puso madera para cerrar alrededor del establo, como se muestra enel dibujo. ¿Cuántos metros de listones de madera se necesitaron? P del rectángulo = 2  a + 2  b P = (12m  2) + (10m  4) Se necesitan ____m de listones de madera para cerrar alrededor del establo. Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 12m 10m 10m 10m
  • 70. 1º Paso: Leer el problema2º Paso: Registrar la información dada en el problema3º Paso: Analizar la pregunta.4º Paso: Representar:
  • 71. 5° Paso: Resolver:6° Paso: Responder:
  • 72. ¡PORQUE TU OPINIÓN NOS IMPORTA!Ahora que has terminado la guía. Es la hora de ponerse la mano en el corazón, y respondermarcando con una x según corresponda. Es importante que seas sincero, ya que esta actividad noafectará en tus notas, pero podremos saber que falta por aprender mejor. No lo Me faltó más Lo entendí y Puedo Si lo entendí, entendí. práctica. Aun me resultó explicarlo. Contenido pero aun me Necesito no puedo fácil hacerlo Soy genio en equivoco. ayuda. solo. solo. eso.Concepto deperímetro.Calcular elperímetro deun trianguloequilátero.Calcular elperímetro deun trianguloisósceles.Calcular elperímetro deun trianguloescaleno.Calcular elperímetro deun cuadrado.Calcular elperímetro deun rectángulo.Concepto deárea.Calcular elárea de uncuadrado.Calcular elárea de unrectángulo.Diferenciarcuando usarperímetro oárea.Nombre del alumno:_____________________________________________________Fecha:________________________________________________________________
  • 73. CONCLUSIONES DERIVADAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE LOS ALUMNOS 1. Concepto de perímetro. a. Solo el 4% de los estudiantes afirmaron “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 56 % de los estudiantes señalaron “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” c. El 40% restante de los estudiantes afirman que se encuentran en el nivel “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 2. Calcular el perímetro de un triangulo equilátero. a. El 25% de los alumnos que completaron la autoevaluación señaló que “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 50% del curso se considera en el nivel “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” c. El 25% restante del curso que realizó la autoevaluación manifiesta que “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 3. Calcular el perímetro de un triangulo isósceles. a. El 5% de los estudiantes marcaron la opción “Me faltó más práctica. Aun no puedo solo” b. El 25% de los estudiantes marcaron la opción “Si lo entendí, pero aun me equivoco” c. El 65% de los estudiantes marcaron la opción “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” d. El 5% de los estudiantes marcaron la opción “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 4. Calcular el perímetro de un triangulo escaleno. a. El 10% de los estudiantes marcaron la opción “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 75% de los estudiantes marcaron la opción “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” c. El 15% de los estudiantes marcaron la opción “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 5. Calcular el perímetro de un cuadrado. a. El 15% de los alumnos que completaron la autoevaluación señaló que “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 55% del curso se considera en el nivel “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” c. El 30% restante del curso que realizó la autoevaluación manifiesta que “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 6. Calcular el perímetro de un rectángulo. a. El 5% de los alumnos que completaron la autoevaluación señaló que “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 65% del curso se considera en el nivel “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo”
  • 74. c. El 30% restante del curso que realizó la autoevaluación manifiesta que “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 7. Concepto de área. a. Solo el 4% de los estudiantes afirmaron “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 56 % de los estudiantes señalaron “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” c. El 40% restante de los estudiantes afirman que se encuentran en el nivel “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 8. Calcular el área de un cuadrado. a. El 5% de los estudiantes marcaron la opción “Me faltó más práctica. Aun no puedo solo” b. El 25% de los estudiantes marcaron la opción “Si lo entendí, pero aun me equivoco” c. El 65% de los estudiantes marcaron la opción “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” d. El 5% de los estudiantes marcaron la opción “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 9. Calcular el área de un rectángulo. a. El 5% de los estudiantes marcaron la opción “Me faltó más práctica. Aun no puedo solo” b. El 25% de los estudiantes marcaron la opción “Si lo entendí, pero aun me equivoco” c. El 65% de los estudiantes marcaron la opción “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” d. El 5% de los estudiantes marcaron la opción “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.” 10. Diferenciar cuando usar perímetro o área. a. Solo el 4% de los estudiantes afirmaron “Si lo entendí, pero aun me equivoco” b. El 56 % de los estudiantes señalaron “Lo entendí y me resultó fácil hacerlo solo” c. El 40% restante de los estudiantes afirman que se encuentran en el nivel “Puedo explicarlo. Soy genio en eso.”Conclusión:Se debe reforzar la clasificación de triángulos ya que en los triángulos isósceles o escalenos,aquellos que no tienen todos sus lados iguales, es donde se muestran la mayoría de lasinseguridades de los alumnos. Para la medición de perímetro.En cuanto a la medición de área la mayoría de los estudiantes señala comprender el concepto deaquello que se está haciendo. Aunque aproximadamente el 30% del curso señala inseguridades ala hora de realizar dichas actividades.No hubo estudiantes que señalaran no entender los contenidos.
  • 75. ¿Para qué estudiamos esto? Es importante que sepas calcular área y perímetro, para que puedas tener éxito en el siguiente cuadernillo, el de volumen de figuras geométricas. De las figuras geométricas que nos encontramos en nuestro diario vivir necesitamos saber varias cosas, según que necesitemos hacer con ellas.Ejemplo:En la casa de Ana harán una piscina. Su mamá desea cercarla con una reja. Si la piscina tendrá laforma y medidas que se muestran en la figura. 2m 3m 1. ¿Cuántos metros de reja necesita para hacer la cerca de la piscina? Como ya sabes nos preguntan cuantos metros de reja se necesitan para “rodear” la piscina. Esta pregunta la resolvemos calculando el perímetro. P = lado + lado + lado + lado P = 2m+3m+2m+3m P = (2m  2) + (3m  2) = 4m + 6m El perímetro de la piscina es de 10m, por lo tanto, la mama de Ana necesita 10m de reja.
  • 76. 2. Pero también la hermana de Ana quiere poner un cubre piscina para que cuando no la estén ocupando no caigan hojas de los arboles en ella. ¿Qué tamaño necesita tener el cubre piscina para tapar la piscina? Como ya sabes nos pregunta que superficie tiene la piscina. Esta pregunta la resolvemos calculando el área. A = lado a  lado b Á = 2m  3m = 6m2 El área de la piscina es de 6m2, por lo tanto, el cubre piscina debe ser de 6m2 para asegurarnos que la piscina de Ana esté totalmente cubierta. 3. El papá de Ana está preocupado en saber ¿cuántos litros de agua necesita para llenar la piscina si sabemos que tiene una profundidad de 1.5m?Paso 1: Leer el problema.Paso 2: ¿Qué se del problema? Ancho: 2m Largo: 3m Profundidad (altura): 1,5mPaso 3: ¿Qué me pregunta el problema? ¿Cuántos litros de agua necesita para llenar la piscina sisabemos que tiene una profundidad de 1.5m? Esta pregunta, es una pregunta de volumen. ¿Ves que aun no lo sabemos todo de las figuras geométricas? Y que aún nos falta mucho por aprender.
  • 77. Paso 4: Remplazar los datos en la formula La formula de Volumen es V = ancho  largoaltura, es decir, V= área de la base  por la altura El área de la base la calculamos en la pregunta 2. Ya que el ancho es el lado a y el largo el lado b de la piscina de Ana. El área de la base de la piscina es de 6m2 Por lo tanto debemos realizar el siguiente cálculo: V = 6m2  1,5mPaso 5: Resolver V = 6m2  1,5m = 9m2 En el volumen tenemos, en este caso, el producto de tres medidas de longitud. Por lo tanto nuestra medida es elevada a 3 o al cubo.Paso 6: Convertir sabemos cuantos metros cúbicos tiene la piscina, pero ¿Cuántos litros caben en 3 39m ? Si 1m tiene una capacidad de 1 000 litros. Multiplicamos 1 000Lt por los 9 m3 que tiene la piscina de Ana. 1 000Lt  9 = 9 000 Lt.Paso 7: Escribir la respuesta. Repasemos la pregunta ¿cuántos litros de agua necesita para llenarla piscina si sabemos que tiene una profundidad de 1.5m? El papá de Ana necesitará 9 000 Lt de agua para llenar su nueva piscina.
  • 78. Por lo tanto quedas cordialmente invitado a ayudar al papá de Ana a resolver sus dudas junto connuestro próximo cuadernillo de actividades: “El volumen de los cuerpos geométricos”