Vektor dan ruang euclid

11,911 views
11,972 views

Published on

0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
11,911
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
388
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Vektor dan ruang euclid

  1. 1. RUANG VEKTOR DAN EUCLIDEANA. PENDAHULUAN Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan olehGiuseppe Peano pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripadaRuang Euclid, namun kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagaiperluasan gagasan geometri klasik seperti garis, bidang, dan analognya yangberdimensi lebih tinggi. Pada pembahasan ini, kita akan membahas Ruang Euclidlebih lanjut lagi. Ruang Euclid (Rn) yang akan dibahas dalam pertemuan iniadalah Ruang vektor. Ruang vektor pada ruang euclid adalah struktur matematika yang dibentukoleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikandengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil,tapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar denganbilangan kompleks, bilangan rasional. Operasi penjumlahan dan perkalian vektorharus memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma. Contoh ruangvektor adalah vektor Euclid yang sering digunakan untuk melambangkan besaranfisika seperti gaya. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang ataupada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor. Ruang hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor adalah fungsi yangmengasosiasikan bilangan riil u,v dengan masing – masing pasangan vektor u danv pada V sedemikian rupa sehingga aksioma – aksioma dipenuhi untuk semuavektor u, v, dan w di V dan juga untuk semua skalar k. Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkanmampu : 1) Mengetahui definisi dari ruang euclid (Rn) 2) Mengetahui definisi dan aksioma-aksioma dari ruang vektor dalam n- Euclid 3) Melakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada vektor 4) Membuktikan teorema thales dan pappus pada vektor 5) Menentukan titik tengah dan titik berat 6) Mencari hasil kali dalam dan kosinus pada vektor 1
  2. 2. 7) Mengetahui definisi matriks 8) Mengetahui bentuk bilangan kompleks 9) Membuktikan rumus trigonometri penjumlahan dan pengurangan sudut. 10) Menyelesaikan latihan soal yang berhubungan dengan ruang Euclid, vektor, rotasi, matriks dan bilangan kompleks.B. DEFINISI RUANG EUCLID Rn : Semua himpunan ordered n-tuples (a1,a2, ... , an) disebut ruang-n dandinotasikan dengan Rn.Ruang Euclid (Rn) :  Merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 pengoperasian penjumlahan dan perkalian dengan skalar, sehingga memiliki 8 aksioma yang berlaku.  Merupakan ruang hasil kali dalam (inner product) karena mempunyai operasi hasil kali dalam (perkalian titik untuk ruang Euclid).C. DEFINISI RUANG VEKTOR DALAM n-EUCLID Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ordered n-tuples adalah sekelompokn bilangan real (a1,a2, ... , an) yang disebut ruang vektor berdimensi n. Dan semuahimpunan ordered n-tuples (a1,a2, ... , an) disebut ruang-n dan dinotasikan denganRn. Untuk n = 1, 2, atau 3 suatu vektor dapat digambarkan, namun vektor tidakmungkin dapat digambarkan bila berada di ruang-n > 3 karena keterbatasan dariruang.Di R2, vektor dinyatakan dengan pasangan terurut dua bilangan real. Misal u =(u1, u2), u adalah vektor yang berpangkat di (0,0) dan berujung di (u1, u2) padabidang XY. Sedangkan u1 dan u2 disebut komponen. Di R3, vektor dinyatakan dengan pasangan terurut tiga bilangan real. Misalu = (u1, u2, u3), u adalah vektor yang berpangkat di (0, 0, 0) dan berujung di (u1,u2, u3) pada bidang XYZ. Sedangkan u1, u2 dan u3 disebut komponen. Sedangkandi Rn vektor dinyatakan dengan pasangan terurut tiga bilangan real. Misal u = (u1,u2,…, un). Dengan adanya definisi vektor yang diperluas, maka suatu matrik danfungsi dapat diklasifikasikan sebagai vektor. 2
  3. 3. Dua vektor u = ( u1, u2, ... , un) dan v = ( v1,v2,... , vn) dalam Rn dikatakan sama jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn (semua elemen yang seletak sama) Penjumlahan Vektor Jika diberikan u = (u1 ,u2 ) dan v = (v1 , v2), maka: u + v = (u1+v1,u2+v2) Sedangkan untuk u = (u1 ,u2, u3 ) dan v = (v1 , v2, v3), u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3 )Penjumlahan vektor juga dapat dilakukan secara geometri, perhatikan gambarberikut: Gambar 1. Aturan Jajargenjang penjumlahan vector.  Perkalian Skalar Vektor Jika diberikan u = (u1 ,u2 ) dan sembarang bilangan real a maka: au = a(u1 ,u2 ) = (au, au2) Sedangkan untuk u = (u1 ,u2, u3 ) dan sembarang bilangan real a, au = a(u1,u2,u3) = (au1,au2,au3). Gambar berikut menunjukkan perkalian vector secara geometri: Gambar 2. Perkalian scalar sebagai dilatasi bidang 3
  4. 4. Vektor nol di dalam Rn dinotasikan 0, bisa ditulis 0=(0,0, ..., 0).Jika u = ( u1, u2, ... , un) adalah sembarang vektor dalam Rn, maka negatif invers uadalah –u yang didefinisikan -u = ( -u1, -u2, ... , -un).D. AKSIOMA RUANG VEKTOR EUCLID Jika u = (u1, u2, ... , un), v = (v1,v2,... , vn), dan w = (w1,w2,... , wn) adalah vektorV dalam Rn dan k dan l adalah skalar, maka akan dikatakan ruang vektor jikamemenuhi 8 aksioma untuk vektor penjumlahan dan perkalian skalar, yaitu :1. uv vu ( sifat komutatif )    2. u vw  uv w ( sifat asosiatif )3. Ada vektor nol / identitas, dinotasikan dengan : 0 V sehingga berlaku u00u u4. Setiap u V mempunyai vektor negatif, dinotasikan dengan : u V sehingga   berlaku u u uu 05. k lu k l usifat assosiatif perkalian dengan skalar )6. k lu k u l u ( sifat distributif terhadap skalar )7. k u vk u lv ( sifat distributif terhadap skalar ) 8. 1 u u ( sifat perkalian dengan skalar 1)E. DEFINISI RUANG HASIL KALI DALAM (INNER PRODUCT) Jika u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 ,v2 ,…, vn) adalah vektors dalam Rn, maka hasilkali dalam euclid u.v didefinisikan : u  v  u1v1  u2v2  ...  un vnF. AKSIOMA RUANG HASIL KALI DALAM (INNER PRODUCT) Jika u = (u1, u2, ... , un), v = (v1,v2,... , vn), dan w = (w1,w2,... , wn) adalah vektorV dalam Rn dan k adalah skalar, maka dikatakan ruang hasil kali dalam jikamemenuhi 3 aksioma, yaitu :1. u.v=v.u (sifat komutatif terhadap perkalian) 4
  5. 5. 2. (u+v) .w = (u . w) +( v . w) (sifat distributif terhadap perkalian)3. (ku) . v = u . (kv) = k (u.v)Latihan Soal1. Pada aksioma ke-2, dikatakan bahwa uv vu ( sifat komutatif ). Buktikan bahwa aksioma tersebut adalah aksioma ruang vektor euclid R2!Bukti : u+v = (u1,u2)+(v1,v2) = (u1+v1,u2+v2) by definition of vector addition = (v1+u1,v2+u2) by commutative law for numbers = (v1,v2)+(u1,u2) by definition of vector addition = v+u.2. Ada sebuah vektor O={0}. Tunjukkan apakah vektor tersebut merupakan ruang vektor!Bukti: a) o + o = o ∈ O. b) o + o = o + o = o c) (o + o) + o = o + (o + o) = o d) ada o ∈ O, yang bersifat o + o = o + o = o e) jika o ∈ O, maka selalu ada –o=o∈ O, sehingga o + (-o) = -o + o = o f) ko=o ∈ O g) (kl)o = k(lo)= o h) (k+l)o=ko + lo = o i) k(o + o) = ko + ko = o + o = o j) 1.o = o Maka untuk vektor O = {o} dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang biasa, maka merupakan suatu ruang vektor karena 10 aksioma ruang vektor.3. Pada aksioma ke-1, dikatakan bahwa uv vu ( sifat komutatif ). Buktikan bahwa aksioma tersebut adalah aksioma ruang hasil kali dalam vektor R2!Bukti : u+v = (u1,u2)+(v1,v2) = (u1+v1,u2+v2) by definition of vector addition 5
  6. 6. = (v1+u1,v2+u2) by commutative law for numbers = (v1,v2)+(u1,u2) by definition of vector addition = v+u.4. Misal u = (u1, u2), v = (v1,v2) adalah vektor-vektor pada R2. Tunjukkan bahwa (u,v) = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 adalah ruang hasil kali dalam!Jawab : a) (u.v) = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 = 3 v1 u1 + 2 v2 u2 = (v.u) b) Jika w = (w1,w2), maka (u + v.w) = 3(u1 + v1)w1 + 2 (u2 + v2) w2 = 3u1 w1 + 3 v1 w1 + 2 u2 w2 + 2 v2 w2 = (3u1 w1 + 2 u2 w2) + (3 v1 w1 + 2 v2 w2) = (u.w) + <v.w) c) (ku.v) = 3 (ku1)v1 + 2 (ku2)v2 = k (3 v1 u1 + 2 v2 u2)Jadi, untuk (u,v) = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 terbukti ruang hasil kali dalam pada R2G. ARAH DAN KEBEBASAN LINEAR Vektor memberikan konsep arah dalam R2 dengan mewakili garis melalui 0.Jika u adalah vektor tidak nol, maka perkalian au dari u membuat garis melalui 0dan u, sehingga disebut “arah u dari 0”. Vektor bukan nol u dan v, memiliki arah yang berbeda dari 0 jika masing-masing tidak mempunyai kelipatan dari yang lain. Oleh karena itu, vektor u dan vadalah kebebasan linear, karena tidak memiliki bilangan real a dan b dengan au + bv = 0 Jika salah satu dari a atau b tidak nol dalam persamaan ini, maka dapatmenyimpulkan bahwa salah satu dari u atau v sebagai kelipatan dari yang lain. Konsep arah memiliki generalisasi yang jelas: w memiliki arah u dari v(atau relatif terhadap v) jika w – v merupakan kelipatan dari u, kita jugamengatakan bahwa “w – v memiliki arah u”. w – v merupakan segmen garis dariv ke w dan dari s ke t ditulis t – s. w – v dan t – s sejajar jika memiliki arah yangsama yaitu, jika w – v = a (t – s) untuk beberapa bilangan real a ≠ 0 6
  7. 7. Gambar di bawah ini menunjukkan contoh segmen garis sejajar dari v ke w dandari s ke t yang keduanya memiliki arah u. w = au + v atau w – v = au au + v u 0 v U t = bu + s atau t – s = bu bu + s 0 s Gambar 3. Garis sejajar berarah uBerdasarkan gambar di atas didapat, w – v = au dan t – s = bu 𝑎sehingga w – v = 𝑏 (t – s) atau w – v = k (t – s)Vector Thales theorem. If s and v are on one line through 0, t and w are onanother, and w - v is parallel to t - s, then v = as and w = at for some number a.Bukti: v = bs s t w = ct Gambar 4. menunjukkan situasi yang dijelaskan dalam teorema thales. 7
  8. 8. Jika w – v sejajar dengan t –s, maka: w – v = a (t – s) untuk beberapa bilangan real a w – v = at – as ………………..(1)Karena v dan s sama-sama melalui 0, maka didapat v = bsKarena w dan t sama-sama melalui 0, maka didapat w = ctSehingga, w – v = ct – bs ………………..(2)dari (1) dan (2), diperoleh: ct – bs = at – as (c – a)t + (a – b)s = 0Karena s dan t dalam arah yang berbeda dari 0, maka merupakan kebebasanlinear. Jadi, c–a=a–b=0Dengan demikian, terbukti bahwa v = as dan w = atVector Pappus theorem. If r, s, t, u, v, w lie alternately on two lines through 0,with u – v parallel to s – r and t – s parallel to v – w , then u – t is parallel tow – r. Gambar 5. menunjukkan situasi yang dijelaskan dalam teorema. 8
  9. 9. Karena u – v sejajar dengan s – r, didapat u = as dan v = ar untuk beberapabilangan a. karena t – s sejajar dengan v – w, didapat s = bw dan t = bv untukbeberapak bilangan b.Dari kedua fakta di atas, dapat disimpulkan bahwa u = as = abw dan t = bv = barsehingga, u – t = abw – bar = ab(w – r) artinya u – t sejajar dengan w – rH. MIDPOINT DAN CENTROID (Titik Tengah dan Titik Berat) Definisi dari ruang vektor real tidak termasuk definisi jarak, tetapi kita dapatberbicara tentang titik tengah dari segmen gari u ke v. Gambar 6. Diagonal JajargenjangBerdasarkan gambar didapat titik tengah dari segmen garis u dan v, yaitu: 1 1Titik tengah segmen garis u dan v = u + 2 (v – u) = 2 (u + v)Concurrence of medians. The medians of any triangle pass through the same point, the centroid of the triangle. (Stillwell, 2005:73) Untuk membuktikan teorema ini, andaikan puncak-puncak dari segitiga 1adalah u, v dan w. Kemudian median (garis berat) dari u ke titik tengah 2(v + w),dan seterusnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6. 9
  10. 10. Gambar 7. Median (garis berat) dari segitiga Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa ketiga median (garis berat) 2 1tampaknya bertemu pada 3 dari u menuju 2(v + w), yaitu pada titik: 2 1 1 2 1 u+3 𝒗 + 𝒘 − 𝑢 = u + 3 (v + w) - 3 u = 3 (u + v + w) 2 Titik inilah yang dinamakan dengan centroid atau titik berat. Centroid ini, 1 2juga dapat ditunjukkan dengan melihat letaknya antara v dan 2 (u + w) yaitu 3 dari 1 2 1v ke (u + w), serta dari w ke (u + v). Dengan demikian dapat disimpulkan 2 3 2bahwa centroid merupakan titik bersama dari ketiga median seperti yang terliharpada gambar.I. PANJANG DAN JARAK VEKTOR DALAM R2 Panjang Vektor- Panjang |u| merupakan jarak u = (u1,u2) dari 0, dimana 2 2 |u| = 𝑢1 + 𝑢2 sehingga, 2 2 |u|2 = 𝑢1 + 𝑢2 = u . u Jarak Vektor- Jarak antara u = (u1 ,u2 ) dan v = (v1 , v2) dapat dinyatakan sebagai berikut: |v - u|2 = (v – u) . (v – u) = |u|2 + |v|2 – 2u.v atau |v - u|2 = 𝑢1 − 𝑣1 2 + 𝑢2 − 𝑣2 2 10
  11. 11. J. INNER PRODUCT DAN KOSINUSVektor u = (u1 ,u2 ) dan v = (v1 , v2) saling tegak lurus jika dan hanya jika u.v = 0u mempunyai kemiringan u2/u1 dan v mempunyai kemiringan v2/v1, karena u danv saling tegak lurus maka: 𝑢2 𝑣1 =- 𝑢1 𝑣2sehingga : u2v2 = - u1v1 u1v1 + u2v2 = 0 u.v = 0 Kosinus Perkalian dalam antara vector u dan v tidak hanya dipengaruhi pada panjangmasing-masing vector itu, yaitu |u| dan |v|, tapi dipengaruhi juga oleh sudut ()antara keduanya. Cara paling sederhana untuk mengekspresikan sudut tersebutadalah dengan bantuan kosinus. Gambar 8. Kosinus sebagai perbandingan panjangBerdasarkan gambar 1 terlihat bahwa v adalah hipotenusa,  adalah sudut antarasisi u dan hipotenusa, sehingga kosinus dapat didefinikan sebagai berikut. |𝒖| cos  = |𝒗|Inner product Formula. If  is the angle between vectors u dan v, then u· v = |u||v| cos  (Stillwell, 2005:78) 11
  12. 12. Bukti:Karena v – u pada segitiga tegak lurus dengan u, maka 0 = u . (v – u) = u.v – u.u |𝒖|Oleh karena itu, u.v = u.u = |u|2 = |u||v||𝒗| = |u||v| cos Rumus ini memberikan cara mudah untuk menghitung sudut (atau setidaknyakosinus)antara dua garis. Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan cara mencari|u| dan |v|. Penjelasan tentang jarak sebelumnya juga memberikan “aturankosinus” trigonometri langsung dari perhitungan (u – v) . (u – v).Cosine rule.In any triangle, with sidea u, v, dan u – v, and angle  opposite to the side u−v, |u−v|2 = |u|2+|v|2−2|u||v| cos  (Stillwell, 2005:78)Gambar 2 berikut menunjukkan segitiga dengan sisi dan sudut yang relevan, tetapipembuktian merupakan akibat aljabar murni dari rumus hasil kali dalam. Gambar 9Secara Aljabar dapat ditunjukkan sebagai berikut: |u−v|2 = (u−v) · (u−v) = u·u − 2u· v + v · v = |u|2 + |v|2 − 2u · v = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos θUntuk kasus khusus di mana u dan v adalah sisisisi segitiga siku-siku dan u – vadalah sisi miring. Dalam hal ini u tegak lurus terhadap v, maka u . v = 0 danaturan kosinus menjadi: hipotenusa2 = |u - v|2 = |u|2 + |v|2 12
  13. 13. Persamaan di atas merupakan teorema Pythagoras. Hal ini menunjukkan bahwateorema Pythagoras dibangun kedalam definisi jarak dalam R2, sehingga menjadiperkalian dalam.K. PERTIDAKSAMAAN SEGITIGA Dalam geometri vektor, ketidaksamaan segitiga | u + v | ≤ | u | + | v | padalatihan 3.3.1 sampai 3.3.3 berasal dari fakta bahwa |u·v|≤|u||v|Pertidaksamaan ini dikenal sebagai pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.Berdasarkan rumus perkalian dalam u · v = | u | | v | cosθdan karena itu, | u · v | ≤ | u | | v | | cosθ | ≤|u||v| karena | cos θ | ≤ 1.Untuk mendapatkan pertidaksamaan segitiga, itu sudah cukup untuk menunjukkanbahwa | u + v |2 ≤ (| u | + | v |)2, yaitu sebagai berikut: | u + v |2 = (u + v) · (u + v) = |u| 2 +2 u · v + |v| 2 karena u·u = |u|2 dan v·v = |v| 2 ≤ |u|2 +2|u| |v| + |v|2 oleh Cauchy-Schwarz = (|u| + |v|)2Latihan Soal1. Apakah arti transformasi geometri R2 ketika setiap vector dikalikan dengan -1? Apakah rotasi? Pembahasan: Misalkan vektor u = (u1, u2), jika vektor u dikalikan dengan -1 akan didapat vektor –u = (-u1, -u2). Apabila vektor u dan hasil kalinya digambar akan terbentuk seperti gambar berikut: 13
  14. 14. u2 (u1, u2) -u1 u1 (-u1, -u2) - u2 Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa jika koordinat titik-titik dikalikan dengan -1, maka hasil perkalian itu merupakan rotasi.2. Tunjukkan bahwa bidang empat dengan sudut t, u, v dan w mempunyai center 1 ( t + u + v + w). 4 Pembahasan: 14
  15. 15. Berdasarkan penjelaasn pada point D, didapat bahwa centroid pada bidang 1segitiga dengan sudut u, v dan w memiliki centroid (u + v + w). Kemudian dari 3centroid itu ditarik garik ke sudut t. Begitu juga dengan centroid yang lain. Sehingga, salah satunya akan terlihat bahwa ketiga garis tersebut bertemu3 1 dari t menuju 3 (u + v + w), yaitu titik:4 3 1 1 3 t+ u + v + w − t = t + (u + v + w) - t 4 3 4 4 1 = 4 (t + u + v + w). 1 Titik ini juga dapat ditunjukkan dengan melihat letaknya antara v dan (t + u 3 3 1 3 1 3 1 + w) yaitu 4 dari v ke 3 (t + u + w), 4 dari w ke 3 (t + u + v) dan dari u ke 3 (t 4 + v + v). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa center dari bidang empat 1 tersebut adalah 4 (t + u + v + w).3. Kedudukan w menjadi sama dari u dan v adalah (w – u) . (w – u) = (w – v) . (w – v) Tunjukkan bahwa persamaan ini akuivalen dengan: |u|2 – 2w.u = |v|2 – 2w.v Pembahasan: (w – u) . (w – u) = (w – v) . (w – v) (w1 - u1 , w2 - u2) . (w1 - u1 , w2 - u2) = (w1 - v1 , w2 - v2) . (w1 - v1 , w2 - v2) (w1 - u1) (w1 - u1) + (w2 - u2) (w2 - u2) = (w1 - v1) (w1 - v1) + (w2 - v2) (w2 - v2) w12 + u12 – 2w1.u1 + w22 + u22 – 2w2.u2 = w12 + v12 – 2w1.v1 + w22 + v22 – 2w2.v2 w12 + w22 + u12 + u22 – 2w1.u1 – 2w2.u2 = w12 + w22 + v12 + v22 – 2w1.v1 – 2w2.v2 |w|2 + |u|2 – 2w.u = |w|2 + |v|2 – 2w.v |u|2 – 2w.u = |v|2 – 2w.vJadi, terbukti bahwa (w – u) . (w – u) = (w – v) . (w – v)ekuivalen dengan |u|2 – 2w.u = |v|2 – 2w.v 15
  16. 16. 4. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan secara langsung, dengan memilih 0 pada sudut 90o pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lainnya yaitu u dan v. Tunjukkan bahwa |v - u|2 = |u|2 +|v|2 Pembahasan: |v - u|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos θ aturan kosinus = |u|2 + |v|2− 2|u||v| cos 90o = |u|2 + |v|2 – 0 = |u|2 + |v|2 Kondisi ini merupakan teorema Pythagoras, karena |v - u| merupakan sisi miring/hipotenusa. Sedangkan |u| dan |v| merupakan sisi lainnya yang saling tegak lurus karena 0 terletak pada sudut 90o.5. Tunjukkan bahwa (v+u) · (v−u) = |v|2 −|u|2. Pembahasan: (v+u) · (v−u) = (v1 + u1 , v2 + u2) (v1 - u1 , v2 - u2) = (v1 + u1) (v1 - u1) + (v2 + u2) (v2 - u2) = v12 – u12 + v22 – u22 = (v12 + v22) – (u12 + u22) = |v|2 - |u|2 Jadi, terbukti bahwa (v+u) · (v−u) = |v|2 −|u|2.K. DEFINISI ROTASI  Rotasi adalah adalah proses memutar bangun geometri terhadap titik tertentu yang dinamakan titik pusat rotasi dan ditentukan oleh arah rotasi dan besar sudut rotasi.  Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi.  Arah rotasi disepakati dengan aturan sebagai berikut :  Jika perputaran berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka rotasi ini bernilai positif (+).  Jika perputaran searah jarum jam, maka rotasi ini bernilai negatif (-). 16
  17. 17. a. Rotasi Matriks Kita definisikan rotasi di R2 (ruang dimensi dua) memilki fungsi rc,s dimanac dan s adalah dua bilangan real dimana c2 + s2 = 1. Dapat diartikan rc,s sebagaifungsi dari (x,y) ke (cx-sy, sx+cy), tapi dapat pula diartikan koefisien matriks darix dan y , dinamakan c −s , dimana c = cosθ dan s =sinθ s cJadi notasi matriks yang dapat ditulis (x,y) → (cx – sy, sx + cy) c −s x cx − sy y = sx + cy s cRotasi perkalian matriks ini juga dapat digunakan untuk membuktikan rumuscos(θ1 + θ2 ) dan sin (θ1 + θ2 ) , Yaitu sebagai berikut : cos θ1 − sin θ1  Untuk rotasi melalui θ1 didapatkan matriks sin θ1 cos θ1 cos θ2 − sin θ2  Untuk rotasi melalui θ2 didapatkan matriks sin θ2 cos θ2  Sehingga, rotasi yang melalui θ1 + θ2 didapatkan dari produk ke dua matrik ini.yaitu : cos( θ1 + θ2 ) − sin(θ1 + θ2 ) sin(θ1 + θ2 ) cos( θ1 + θ2 ) cos θ1 − sin θ1 cos θ2 − sin θ2 = sin θ1 cos θ1 sin θ2 cos θ2 cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 − cos θ1 sin θ2 − sin θ1 cos θ2 = sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2 cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 Berdasarkan perkalian matriks 17
  18. 18.  Akhirnya, menyamakan entri yang sesuai dalam matriks pertama dan terakhir, cos 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 , sin 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐 .Selain dengan mengalikan rotasi matriks diatas, untuk membuktikan rumuscos(θ1 + θ2 ) dan sin (θ1 + θ2 ) dengan menggunakan cara dibawah ini : Koordinat A : (r,0) Koordinat B : (r cos θ1, r sin θ1) Koordinat C : (r cos (θ1+ θ2) , r sin(θ1+θ2)) Koordinat D : (r cos – θ2 , r sin – θ2) : ( r cos θ2 , -r sin θ2) (AC)2 = (DB)2 (AC)2 = ( r cos (θ1+ θ2) – r )2 + (r sin(θ1+θ2) – 0)2 = r 2 cos2 (θ1+ θ2) – 2r2 cos (θ1+θ2) + r2 + r2 sin2(θ1+θ2) = r2 (cos2 (θ1+ θ2) + sin2(θ1+θ2)) - 2r2 cos (θ1+θ2) + r2 = r2 . 1 - 2r2 cos (θ1+θ2) + r2 = 2r2 - 2r2 cos (θ1+θ2) (DB)2 = (r cos θ2 - r cos θ1)2 + (-r sin θ2 - r sin θ1)2 = r2cos2θ2–2r2cosθ1cosθ2+r2cos2θ1+r2sin2θ2+2r2sinθ2sinθ1+r2 sin2θ1 = r2(cos2θ2 + sin2θ2)+r2(cos2θ1+sin2θ1)-2r2cosθ1cosθ2+2r2sinθ2sinθ1 = r2 . 1 + r2 . 1 - 2r2cosθ1cosθ2+2r2sinθ2sinθ1 = 2r2 - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ2sinθ1 18
  19. 19. Jadi, (AC)2 = (DB)2 2r2 - 2r2 cos (θ1+θ2) = 2r2 - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ1sinθ2 - 2r2 cos (θ1+θ2) = 2r2 – 2r2 - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ1sinθ2 - 2r2 cos (θ1+θ2) = - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ1sinθ2 cos (θ1+θ2) = cosθ1cosθ2 – sinθ1 sinθ2b. Bilangan Kompleks Salah satu keuntungan dari matriks ini adalah bisa digunakan untuk mengeneralisasi gagasan rotasi ke sejumlah dimensi. Tapi, untuk rotasi di R2, ada notasi yang lebih efisien dari pada penggunaan rotasi matriks. cos θ − sin θ sin θ cos θ Ini adalah bentuk umum dari bilangan kompleks, cosθ + i sin θ, dimana i = −1 Kita artikan titik (x,y) ∈ 𝑅 2 dengan bilangan kompleks z = x + iy, dan kita putar melalui sudut θ di O dengan mengalikannya dengan cos θ + i sin θ. Prosedur ini dapat dikerjakan karena 𝑖 2 = -1, dan karena itu, cos 𝜃 + i sin 𝜃 (x + iy) = x cosθ – y sinθ + i (xsinθ + ycosθ). Dengan demikian, perkalian dengan cosθ + i sinθ mengirimkan setiap titik (x, y) ke titik (x cosθ – ysinθ , x sinθ + ycosθ), yang merupakan hasil dari perputaran (x, y) di O melalui sudut θ. Mengalikan semua poin sekaligus dengan cosθ + i sinθ, dikarenan diputar di O melalui sudut θ.Ini berarti bahwa perkalian (cos𝜃1 + i sin𝜃1 ) (cos𝜃2 + i sin𝜃2 ) perputaran melaluisudut 𝜃1 + 𝜃2 - pertama yaitu diputar melalui 𝜃1 dan kemudian diputar melalui 𝜃2- ini berarti sama dengan perkalian cos (𝜃1 + 𝜃2 ) + i sin (𝜃1 + 𝜃2 ). Dari 19
  20. 20. menyamakan kedua persamaan ini memberikan bukti dari rumus untuk cos(𝜃1 + 𝜃2 ) dan sin (𝜃1 + 𝜃2 ) :cos 𝜃1 + 𝜃2 + i sin 𝜃1 + 𝜃2 = (cos 𝜃1 + i sin 𝜃1 ) (cos 𝜃2 + i sin 𝜃2 ) =cos 𝜃1 cos 𝜃2 − sin 𝜃1 sin 𝜃2 + i (cos 𝜃1 sin 𝜃2 + sin 𝜃1 cos 𝜃2 ) dimana 𝑖 2 = -1maka, menyamakan bagian nyata dan imajiner : Cos 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 Sin 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐c. Rotasi terhadap titik pusat O (0,0) Jika titik P (x,y) diputar sebesar θ radian berlawanan arah dengan arahputar jarum jam (ditulis R +θ ) terhadap titik pusat O (0,0) maka diperolehbayangan titik P’ (x’,y’) sehingga terdapat hubungan sebagai berikut : x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θBukti : Jika titik P (x,y) diputar sebesar θ radian (R +0 ) ketitik P (x’,y’). Maka POP’ merupakan sektor lingkaran. Dengan demikian OP= OP’= r Pada Δ AOP x = r cos α y = r sin α Pada Δ BOP x’ = r cos (α + θ) x’ = r cos α cos θ – r sin α sin θ x’ = x cos θ – y sin θ y’ = r sin (α + θ) y’ = r sin α cos θ + r cos α sin θ 20
  21. 21. y’ = y cos θ + x sin θ y’ = x sin θ + y cos θd. Rotasi terhadap titik pusat A (a,b) Jika titik P (x,y) diputar sebesar θ radian berlawanan arah dengan arahputar jarum jam (ditulis 𝑅+0 ) terhadap titik pusat A(a,b) maka diperoleh bayangantitik P’ (x’,y’). Dengan cara yang sama seperti pada pembuktian rotasi terhadaptitik O(0,0) diperoleh hubungan sebagai berikut :Perhatikan Gambar berikut : x’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ y’ – b = (x-a) sin θ + (y-b) cos θLatihan Soal 1. Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 900 berlawanan arah dengan jarum jam dengan pusat rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya! 2. Tentukan bayangan P (2,1) jika dirotasi 900 searah dengan jarum jam dan berpusat di O(0,0) 21
  22. 22. Pembahasan :1. P (x,y) A (a,b) P’ (x’, y’) x’ – a = (x-a) cos 900 – (y-b) sin 900 x’ = ((3-1) 0 – (-5-2) 1) + 1 x’ =0+7+1 x’ =8 y’ – b = (x – a) sin 900 + (y-b) cos 900 y’ = ((3-1) 1 + (-5-2) 0 ) + 2 y’ =2+0+2 y’ =4 maka bayangan dari P (3,-5) adalah P’(8,4)2. P (x,y) ( R -90) P’ (x’, y’) x’ = (x . –(cos 90 )) – (y. –(sin 900)) 0 x’ = (2. -0) – (1. -1 ) x’ = 0 + 1 x’ = 1 y’ = (x. –(sin 900)) + (y. –(cos 900)) y’ = (2. -1) + (1. 0) y’ = -2 + 0 y’ = -2 maka bayang dari P (2,1) yang diputar searah dengan jarum jam sebesar 900 adalah P’(1,-2). 22
  23. 23. DAFTAR PUSTAKAStilwell, Jhon. 2005. The Four Pillars Of Geometry. Departement of Mathematics University of San FransiscoAhmad Najullah. 2011. Pembahasan Transformasi Geometri Perputaran (Rotasi). Online. Tersedia Pada : http://ahmad.najiullah.com/2011/10/pelajaran- pembahasan-transformasi_15.html, diakses pada 29 November 2012Heri Purwanto, Gina Indriani, Erlina Dayanti. 2005. Aljabar Linier. PT ErcontaraRajawali. Jakarta2011. Transformasi Geometri : Jenis-jenis transformasi. Online. Tersedia Pada : http://my-diaryzone.blogspot.com/2011/06/transformasi-geometri-jenis- jenis.html#/left-click/view/swf-file/, diakses pada 29 November 2012http://personal.fmipa.itb.ac.id/.../09/5-Ruang-Hasil-Kali-Dalam-v2011.pdf (diakses tanggal 17 Oktober 2012)http://himatika.mipa.ugm.ac.id/down/kul/GREDN.pdf (diakses tanggal 17 Oktober 2012)http:// ml.scribd.com/doc/56290429/RUANG-VEKTOR (diakses tanggal 17Oktober 2012)http://ebookbrowse.com/bab-6-ruang-hasil-kali-dalam-ppt-d201745599 (diakses tanggal 17 Oktober 2012) 23

×