Your SlideShare is downloading. ×
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Transformasi

2,144

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
2,144
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
114
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. GEOMETRI TRANSFORMASI Oleh: NURUL FAJRIAH MAYA SAFTARI FELI RAMURY Dosen Pengampuh : 1. Dr. Yusuf Hartono, M.Sc. 2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si.PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG 2012/2013
  • 2. Transformasi1. Pendahuluan Sejak zaman Euclid (300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dariperspektif sintesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalammatematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, denganefek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dankonsep aljabar ke feometri. Fermat (1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 –1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagaisuatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan olehNewton dan Leibniz diaplikasikan pada geometri. Pada abad 18 dan 19, sejumlahgeometri non Euclid dikembangkan mengakibatkan beberapa orang menjadi raguapakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satudengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, FelixKlein (1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untukmengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungandiantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah GeometriTransformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu-satu, dengan menggunakanhinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuksederhananya, himpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yangbersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai penerapan pada obyek-obyek geometri yangumum dikenal, misalnya garis, poligon, atau polihedra ataupun pada ruang dimanaobjek-objek itu ada. Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Kleinmemberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometri adalah suatu studitentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamanaelement-elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi inimenetapkan geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid.
  • 3. 2. Vector Transformations Pada bentuk vector penjumlahan dan perkalian scalar dengan u= (u1, u2)danv = (v1, v2) yang didefinisikan jumlah dari u dan v adalah u + v = (u1 + v1, u2 + v2)dan perkalian scalar aupada u dengan a adalah bilangan Real au = (au1, au2)/ Variabel fakan disebut sebagai transformasi linier jika semua vektor u dan vyang ada pada B dan semua skalar a, seperti :- f(u + v) = f(u) + f(v)- f(au) = af(u) Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akandinyatakan dalam bentuk A : B B yang disebut dengan operator linier pada B.Satu alasan mengapa transformasi tersebut dikatakan linier karenatransformasinya mempertahankan/ mengawetkan (preserve) kelurusan garis(straightness lines). L1 a +tb a +b L1 a tb b Diperpanjang sebesar t b 0 Gambar 1 Points on a LineDari gambar terlihat bahwa a dan b adalah vektor dengan a adalah titik pada garisdan b titik yang searah dengan garis. Berdasarkan kondisi linier didapatkan f(a +tb) = f(a) + t f(b)
  • 4. 3. Matrix Representation Dari semua transformasi dalam geometri, isometri adalah paling mendasar.Isometri artinya berukuran sama. Jika suatu isometri diterapkan ke suatu obyek,maka obyek tersebut berserta bayangannya mempunyai ukuran linear dan ukuransudut yang sama. Transformasi dikatakan mengawetkan sifat-sifat ini, dan sifat-sifat itu dikatakan invarian di bawah transformasi itu. Mengawetkan ukuran lineardan ukuran sudut menjamin bahwa keliling dan jumlah sudut dan luas jugadiawetkan. Akibatnya, objek dan bayangannya dalam isometri ini adalah identikatau kongruen. Isometri dalam geometri Euclid terdiri dari 3 kategori dankomposisinya: translasi, rotasi, dan refleksi. Dari semua isometri, translasi adalahyang paling mudah untuk dipahami. Dengan adanya operasi translasi setiap titikyang terdapat pada objek akan berpindah pada jarak yang sama dan dalam arahyang sama sesuai dengan vektor. Dibawah operasi rotasi, setiap titik dipindahkanmelalui suatu sudut putar relatif terhadap pusat perputaran. Refleksi memetakansetiap titik ke seberang garis refleksi sejauh suatu jarak yang sama terhadap jaraktitik itu ke garis refleksi. Misalkan fungsi f pada R2 dengan titik (x,y) diR2didefinisikan sebagai f : R2 R2, maka (x,y)  (ax + by, cx + dy) denganf((1,0)) = (a,c) dan f((0,1)) = (b,d), sehingga f(x,y) = x(1,0) + y(0,1) f(x,y) = f(x(1,0) + y(0,1)) f(x,y) = x f(1,0) + y f(0,1) f(x,y) = x(a,c) + y(b,d) f(x,y) = (ax + by, cx + dy)Transformasi linier (x,y)  (ax + by, cx + dy), jika diperlihatkan dengan matriks 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑀= dimana a, b, c, d  R, maka 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 . Dengan 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 1 𝑑 −𝑏det(M) = ad – bc dan 𝑀−1 = det ⁡ (𝑀) −𝑐 𝑎
  • 5. Jika ada 2 transformasi linier, yaitu (x,y)  (a2x + b2y, c2x + d2y) dan (x,y)  𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2(a1x + b1y, c1x + d1y), maka perkalian matriksnya = 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑐2 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑑2 𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑐2 𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑑23.1. Linear Transformations3.1.1. Translasi Pergeseran koordinat suatu titik dengan faktor t terhadap koordinat titiksemula. Untuk pergeseran positif, nilai t > 0, untuk pergeseran negatif, nilai t < 0.Pergesaran bisa dilakukan terhadap sumbu x saja atau y saja. Oleh karena itu adadua nilai t: t untuk sumbu x (tx) dan t untuk sumbu y (ty). Persamaan translasi: x’ = tx + x y’ = ty + y 𝑥′ 𝑡𝑥 𝑥Matriks translasi : ′ = 𝑡 + 𝑦 𝑦 𝑦3.1.2. Rotasi Rotasi terdiri dari 2 macam: rotasi melawan arah jarum jam (counter-clockwise) dan rotasi searah jarum jam (clockwise). Persamaan rotasi :1. Rotasi melawan arah jarum jamx = xcos  - ysin y = xsin + ycos  𝑥′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥Matriks rotasi : = 𝑦′ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦2. Rotasi searah jarum jamx = xcos  + ysin y = - xsin + ycos  𝑥′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥Matriks rotasi : = 𝑦′ −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦
  • 6. 3.1.3. Refleksi Secara geometri, oleh refleksi, sebuah obyek dan bayangannya akankongruen. Akan tetapi ada suatu orientasi yang terbalik. Persamaan refleksi padasumbu x: x’ = x y’ = -y 𝑥′ 1 0 𝑥 Matriks refleksi : ′ = 𝑦 𝑦 0 −14. Affine Transformations Transformasi affin adalah hubungan geometri yang mempertahankan bentukdasar dan integritas bangun geometri. Transformasi affin dapat berupa rotasi,translasi, dan dilatasi. Transformasi affine bersifat linier (perubahan yang kecilpada transformasi akan mengakibatkan perubahan yang kecil pada objek yangditransformasikan), tetapi akan membentuk fraktal nonlinier jika beberapatransformasi digabungkan dan diiterasi.Misalkan T subset R2, transformasi f : T  T dikatakan affine pada T, jika 𝑥 ′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑝 𝑥 ′ , 𝑦 ′ = 𝑇 𝑥, 𝑦 ⇔ 𝑦 ′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞Dimana ad – bc ≠ 0 𝑥Dengan titik P (x,y) dan vektor 𝑃 = 𝑦 . Dengan notasi matriks, transformasiaffine dituliskan sebagai T(P) = MP + V, dimana : 𝑥′ 𝑎 𝑏 𝑥 𝑝𝑇 𝑃 = 𝑦′ , 𝑀= 𝑐 𝑑 , 𝑃= 𝑦, 𝑉= 𝑞 dan det ( M ) ≠ 0 Transformasi affine tidak mempertahankan/mengawetkan kesebangunan.Hal ini dikarenakan faktor pengali pada ptidak sama dengan pengali pada q.Perhatikan peta dari beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.
  • 7. 5. The Group of Isometries of The Plane Isometri didefinisikan f: R2 → R2 yang mempertahankan jarak dengan 𝑓 𝑃1 𝑓 𝑃2 = 𝑃1 𝑃2 , untuk titik-titik P1, P2 ϵ R2 dimana 𝑃1 𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 , jarak antara titik P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2,y2). Dengan menggunakandefinisi ini, ketikafdan g adalahisometri,gabunganatau hasil darifg. Yakni, 𝑓 𝑔 𝑃1 𝑓 𝑔 𝑃2 = 𝑔 𝑃1 𝑔 𝑃2 , karenaf adalahsuatuisometri = 𝑃1 𝑃2 , karenagadalahsuatuisometri. - Yang belumdiketahui adalahsetiapfisometrimemilikiinversf1 yangjugamerupakanisometri. Untuk membuktikannya, kita 2menggunakanhasildariBagian3.7bahwa setiapisometridariR adalahproduk darisatu, dua, atau tigarefleksi. Pertamamisalkanf=r1r2r3, di manar1, r2, r3danmerupakanrefleksi. kemudian,karenarefleksi dioperasikan dengandirinyamerupakanfungsi identitas, didapatf=r1r2r3 r3r2r1 =r1r2r2r1karenar3r3adalahfungsi identitias =r1r1karenar2r2adalahfungsi identitas =fungsi identitas,
  • 8. -1 - Oleh karena itu, r3r2r1=f . Perhitunganinijuga menunjukkan bahwaf1 adalah isometri, karena merupakanproduk darirefleksi. Caramembuktikannyaserupa(tetapi pendek) ketika fadalah produk darisatuatauduarefleksi. Bukti diatasmenunjukkankarakteristik isometridarigruptransformasi.SebuahtransformasipadahimpunanSadalah fungsidari S keS,danhimpunan transformasiGmembentukgrupjika memilikidua sifat: •JikafdanganggotaG, makabegitu jugafg. •JikafanggotaG, kemudian adainversnya, f -1 Selain itu,Gmemilikifungsiidentitasf f -1, yangdapat ditulissebagai1.6. Spherical GeometrySpherical Geometry adalah suatu geometri dua dimensi dari permukaan bola(sphere). Sphere adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yangmerupakan jarak tetap dari suatu titik tertentu (disebut pusat). Beberapa contohyang jelas dari bola termasuk bola basket, bola, bola tenis, dan (hampir) bumi.Jarak dari pusat ke setiap titik pada bola disebut jari-jari. Jarak melintasi bolamelalui pusat disebut diameter. O 1 Q θ P Gambar 2Great-Circle Distance Great Circle Distance adalah lingkaran yang dibentuk oleh perpotonganbola dan pesawat melewati pusat. Sebuah lingkaran besar adalah lingkaranterbesar yang dapat ditarik pada suatu lingkungan tertentu, dan jalur terpendeksepanjang bola antara dua titik adalah lingkaran besar.
  • 9. Menurut definisi, suatu isometri f dari R3 adalah mempertahankan jarak.Oleh karena itu, jika f pada O tetap, ia akan mengirimkan setiap titik pada jarak 1dari O ke titik lain di jarak 1 dari O. Pembatasan f untuk S2 karena itu merupakanisometri dari S2, karena f mempertahankan jarak di S2 seperti halnya di tempatlain. Pernyataan ini benar karena seorang menggunakan jarak garis lurus antaratitik S2 atau Great Circle Distance sepanjang permukaan melengkung S2 (Gambar1). Isometries pada S2 adalah refleksi dalam The Great-Circle. Dua bidang P1dan P2 bertemu di L line melalui O, dan produk dari refleksi di P1 dan P2 adalahrotasi L (melalui dua kali sudut antara P1 dan P2). Situasi ini sangat sejalandengan yang diR2, dimana produk dari refleksi melalui O adalah rotasi (melalui dua kali sudutantara garis). Akhirnya, ada produk dari refleksi di tiga bidang yang berbeda dari produksuatu refleksi dalam satu atau dua bidang. Salah satu bentuk isometri adalah petaantipodal mengirimkan setiap titik (x, y, z) ke titik antipodalnya (-x,-y,-z). Peta iniadalah produk dari : • refleksi pada bidang (y, z), yang mengirimkan (x, y, z) ke (-x, y, z), • refleksi pada bidang (z, x), yang mengirimkan (x, y, z) ke (x, -y, z), • refleksi pada bidang (x, y), yang mengirimkan (x, y, z) ke (x, y, -z). Seperti dalam R2, ada "tiga refleksi teorema" bahwa setiap isometri dari S2adalah produk dari satu, dua, atau tiga refleksi. Tiga teorema refleksi inimenunjukkan bahwa semua isometries dari S2 adalah pembatasan isometries dariR3, karena ini adalah benar refleksi di lingkaran besar.
  • 10. 7. The Rotation Group of The Sphere Gambar 3Reflection “lines” on the sphereUntuk menunjukkan bahwa hasil sejumlah refleksi adalah rotasi sama halnyauntuk menunjukkan bahwa produk dari dua rotasi S2 adalah rotasi.Misalkan dua rotasi S2• rotasi melalui sudut θtentang titik P (yaitu, rotasi dengan sumbumelalui P danantipodalnya titik-P),• rotasi melalui sudut φ tentang titik Q. Ditetapkan bahwa rotasi melalui θ tentang P adalah produk darirefleksi di"line" (great circle) melalui P. Selain itu, mereka dapat berupa "line" L dan Mmelalui P asalkan sudut antara L dan Madalah φ / 2. Secara khusus, kita dapatmengambil garis M menuju melalui P dan Q. Demikian pula, rotasi melalui φ tentang Q adalah produk dari refleksi dalamsetiapgaris melalui pertemuan Q di sudut φ / 2, sehingga kita bisa mengambil"line" pertamaakan M. Refleksi kedua "line" melalui Q lalu "line" N padaangle φ/ 2 (Gambar 3).
  • 11. 8.Representing Space Rotations by QuaternionsCarayang paling praktis untuk menggambarkanrotasidariR3atauS2yaitu dengan bantuandariquaternion, yangdiperkenalkan dibagian 6.6.Sebuahquaternionadalah matriks 2×2 memiliki bentuk 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑐 + 𝑖𝑑𝒒= , dimanaa, b, c, d∈Rdan i2=-1. −𝑐 + 𝑖𝑑 𝑎 − 𝑖𝑏Atau dapat ditulis q = a1+bi+ cj+ dk, dimana 1 0 𝑖 0 0 1 0 𝑖𝟏= ,𝒊= ,𝒋= , 𝒌= 0 1 0 −𝑖 −1 0 𝑖 0i, j, kdioperasikan denganperkalian matriks, misalnyaij =k= -jidan i2=-1.Karenaqsesuai denganquadruple(a, b, c, d)daribilangan real, kitadapat melihatqmerupakan titikdiR4.Jikap adalah titiksembarangdiR4, kemudian pemetaan p →pq, dimana pmengalikansemua panjang p diR4dengan 𝒒 , jarakdariqdari titik asal. Haliniterjadikarena det 𝒒 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑2 = 𝒒 2Kemudian dengan mengikuti operasi perkaliandarideterminan maka 2 2 𝒑𝒒 = det 𝒑𝒒 = det 𝒑 det 𝒒 = 𝒑 𝒒 2 sehingga 𝒑𝒒 = 𝒑 𝒒 .Jika titik-titik p1, p2∈R4, 𝒑1 𝒒 − 𝒑 𝟐 𝒒 = 𝒑1 − 𝒑2 𝒒 = 𝒑1 − 𝒑2 𝒒Oleh karena itu, semuajarak 𝒑1 − 𝒑2 tersebutdikalikan dengan nilai konstan 𝒒 .Secara khusus, jika 𝒒 =1, makapetap→pqadalahsuatuisometridiR4.Pemetaanp→qp(yang belum tentusama dengan pemetaan p→pq,karenaperkalianquaterniontidakkomutatif) adalahjugamerupakanisometrisaat 𝒒 =1. Pemetaan tersebutberguna untukmempelajarirotasiR4namunjuga dapat dipakai untukmempelajarirotasiR3.
  • 12. Rotations of (i, j, k) –spaceJika p adalah quaternion di ruang (i, j, k) p = xi + yj + zk, dimana x, y, z ϵ R,dan jikaqadalah quaternion nol,qpq-1juga terletakdalam ruang(i, j, k). Dengandemikian, jika 𝒒 =1, maka pemetaan p→qpq-1merupakanisometridiR3, karenaruang (i, j, k)hanyatiga bilangan real dari ruang (x, y, z).Selain itu, setiapquaternion dengan 𝒒 =1dapatditulis dalam bentuk 𝜃 𝜃 𝒒 = 𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑙𝒊 + 𝑚𝒋 + 𝑛𝒌 𝑠𝑖𝑛 2 , dimana l2+ m2 + n2danisometrip →qpq-1 adalah sebuah rotasi di ruang (i, j, k) dengan sudutθ,sumbumelalui 0danli+mj+nk.Fakta-fakta inidapat dilihatdengan perhitungan,tetapibukuinimemverifikasinyahanyauntuk kasuskhusus di manasumburotasiberada dalam arahi, dantitikpyangkhususuntukmempermudahmenentukansifatisometritersebut. 𝜃Denganmenggunakansudut 2 diqdanq-1.Contoh: 𝜃 𝜃Pemetaanp →qpq-1, dimana𝒒 = 𝑐𝑜𝑠 2 + 𝒊𝑠𝑖𝑛 2 .Pertamakitaperiksasetiaptitikxipadasumbui 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃𝒒𝑥𝒊𝒒−1 = 𝑐𝑜𝑠 + 𝒊𝑠𝑖𝑛 𝑥𝒊 𝑐𝑜𝑠 − 𝒊𝑠𝑖𝑛 2 2 2 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 2 + 𝒊𝑠𝑖𝑛 2 𝒙𝒊𝒄𝒐𝒔 2 + 𝑥1𝑠𝑖𝑛 2 , karena i2 = -1 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑥𝒊 𝑐𝑜𝑠 𝟐 + 𝑠𝑖𝑛 𝟐 + 𝑥1 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 2 2 2 2 2 = xiSelanjutnya akandiperiksajikajtitikdiputardengan sudutθdalam(j, k), ketitikjcosθ+ksinθ. 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃𝒒𝒋𝒒−1 = 𝑐𝑜𝑠 + 𝒊𝑠𝑖𝑛 𝒋 𝑐𝑜𝑠 − 𝒊𝑠𝑖𝑛 2 2 2 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 2 + 𝒊𝑠𝑖𝑛 2 𝒋𝒄𝒐𝒔 2 + 𝒌𝑠𝑖𝑛 2 , karena ji = -k
  • 13. 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝒋 𝑐𝑜𝑠 𝟐 2 − 𝑠𝑖𝑛 𝟐 2 + 𝒌 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑐𝑜𝑠 2 , karena ik = j, ij = k 𝜃 𝜃 = 𝒋𝒄𝒐𝒔 2 + 𝒌𝑠𝑖𝑛 2Samahalnyadenganmemeriksaqkq-1=-ksinθ+ j cosθ. Oleh karena itu, -1isometrip→qpq adalahrotasidaribidang(j, k) dengansudutθ.Dengan demikian, isometrip→qpq-1padaruang(i, j, k) melaluisumbu tetapidanberputardi didang(j, k)melaluisudutθmerupakanrotasimelaluisudutθsepanjangsumbui.
  • 14. Daftar PustakaStillwell, John. 2004. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.

×