Homomorfisma
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Homomorfisma

on

  • 6,848 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,848
Views on SlideShare
6,559
Embed Views
289

Actions

Likes
1
Downloads
376
Comments
0

4 Embeds 289

http://irsadifarista.wordpress.com 285
https://twitter.com 2
http://webcache.googleusercontent.com 1
https://www.google.com 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Homomorfisma Document Transcript

  • 1. HOMOMORFISMA GRUPA. PENDAHULUAN Pada pertemuan sebelumnya telah diberikan pengertian grup, sub grup dan sifat-sifatnya. Pada pertemuan kali ini, akan dibahas mengenai pengertian pemetaan ataufungsi di antara dua grup, yang dinamakan dengan homomorfisma grup. Makalah inimembahas uraian tentang pemetaan dari suatu struktur grup ke struktur grup yang lain.Untuk mengikuti uraian materi dalam makalah ini, harus sudah dikuasai konseppemetaan, pemetaan injektif,surjektif dan bijektif. Selainitu juga harus dikuasai konsepgrup, grup simetri, grup siklik, sub grup, sub grup normal dan grup faktor. Pembahasan dalam makalah ini dimulai dari pemetaan / fungsi. Kemudiandilanjutkan dengan membahas homomorfisma yang meliputi definisi, teorema –teorema dan sifat–sifat homomorfisma. Setelah mempelajari makalah ini, mahasiswadiharapkan mampu :1. Memahami konsep homomorfisma dan menggunakannya dalam struktur yang ada : a. Mengidentifikasi apakah suatu pemetaan (fungsi) merupakan homomorfisma atau bukan. b. Membuktikan suatu fungsi merupakan homomorfisma atau tidak.2. Memahami sifat-sifat sederhana dari homomorfisma : a. Menjelaskan sifat-sifat dari homomorfisma. b. Membuktikan sifat-sifat dalam homomorfisma. c. Menentukan kernel suatu homomorfisma. d. Menunjukkan kernel homomorfisma adalah sub group normal. e. Membuktikan bahwa bayangan dari homomorfima adalah subgroup.
  • 2. B. PEMBAHASAN1. PEMETAAN / FUNGSI Deskripsi Singkat : Pembahasan yang pertama yakni mengenai definisi dan sifat – sifat fungsi serta contoh soal.1.1. Pengertian Fungsi Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunankepada anggota himpunan yang lain (Wikipedia, 2012). Selain itu, menurut Leibniz(Markaban, 2004:1) fungsi adalah suatu hubungan yang khas antara dua himpunan.1.2. Sifat – Sifat Fungsi Tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut : a. Injektif (Satu – satu) Misalkan fungsi f menyatakan A ke B, maka fungsi f disebut suatu fungsi satu – satu (injektif). Apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A → B yaitu fungsi injektif, apabila a ≠ a’. Sehingga f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen. Jikaf(a) = f(a’) maka a ≠ a’. b. Surjektif (Onto) Misalkan f yaitu suatu fungsi yang memetakan A ke B, maka daerah hasil f(A) dari fungsi f yaitu himpunan bagian dari B atau f(A) ⊂ B. apabila f(A) = B, sehingga setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang – kurangnya satu elemen di A maka dapat disimpulkan bahwa f yaitu suatu fungsi surjektif atau “ f memetakan A onto B “ . c. Bijektif (Korespondensi Satu – satu) Suatu pemetaan f : A →B sedemikian hingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dapat dikatakan “ f yaitu fungsi yang bijektif “ atau A dan B berada dalam korespondensi satu – satu.
  • 3. 1.3. ContohSoal 1) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini: 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 7 8 9 A B f Gambar 1.1 Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.1 di atas dan jika f(x) = x2 maka termasuk fung siapakah ? Jelaskan ! Jawab Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 2𝑥 adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang berlainan adalah berlainan pula. Fungsi 𝑓 pada 𝑅 yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 bukan suatu fungsi satu- satu sebab 𝑓 −2 = 𝑓 2 . 2) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini: a x b y c z d A B Gambar 1.2
  • 4. Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.2 di atas dan jika𝑓 𝑥 = 𝑥 2 maka termasuk fungsi apakah ? Jelaskan ! Jawab Misal 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 dan 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} dan fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil 𝑓 adalah sama dengan kodomain dari 𝑓 (himpunan B). Fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 yang didefinisikan dengan rumus 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 bukan fungsi yang onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut. 3) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini: a p b q c r Gambar 1.3 Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.3 di atas dan jika𝑓 𝑥 = 𝑥 2 maka termasuk fungsi apakah ? Jelaskan ! Jawab Relasi dari himpunan 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ke himpunan 𝐵 = {𝑝, 𝑞, 𝑟} yang didefinisikan sebagai diagram diatas adalah fungsi bijektif. Fungsi 𝑓 yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negara- negara didunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.2. HOMOMORFISMA GRUP Deskripsi Singkat : Pembahasan yang kedua pada makalah ini yaitu mengenai definisi, teorema –teorema dan sifat – sifat homomorfisma.
  • 5. Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.2.1. Definisi Homomorfisma Homomorfisma ϕ dari G ke 𝐺 adalah pemetaan dari ϕ : G → 𝐺 yangmempertahankan operasi pada grup sehingga berlaku ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) untuk setiap a,b𝜖 𝐺.2.1.1. Contoh Soal Diketahui Ζ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat.Maka, ϕ : Ζ → Ζ dengan ϕ (a) = −a, untuk setiap a ∈ Ζ merupakan homomorfismagrup.2.1.2. Contoh Soal Diketahui (Z,+) dan (R+, .) keduanya merupakan grup. Didefinisikan ϕ : Z R+dengan ϕ(n) = 2n untuk setiap n ∈ Z. Jelas ϕ merupakan fungsi dan ϕ(m+n) = 2m+n =2m.2n = ϕ(m) ϕ(n). Jadi ϕ merupakan homomorfisma grup.2.2. Jenis-jenis Homomorfisma Grup Misalkan 𝜙 : G  𝐺 homomorfisma grup(i) 𝜙 dinamakan monomorfisma apabila 𝜙 injektif.(ii) 𝜙 dinamakan epimorfisma apabila 𝜙 surjektif.(iii) 𝜙 dinamakan isomorfisma apabila 𝜙 bijektif.(iv) 𝜙 dinamakan endomorfisma apabila G = G(v) 𝜙 dinamakan automorfisma apabila G = G dan 𝜙 bijektifContoh 2.2.1:Diketahui (Z, +) dan (R+, . ) keduanya merupakan grup. Didefinisikan ϕ : Z  R+dengan ϕ n = 2n untuk setiap n ∈ Ζ. Jelas ϕ merupakan fungsi dan ϕ (m + n) = 2m+n= 2m .2n = ϕ m ϕ n . Jadi, ϕ merupakan homomorfisma grup yang dinamakanmonomorfisma.
  • 6. Contoh 2.2.2:Misalkan G = R – {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadapperkalian, 𝐺 = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Telah ditunjukkan suatuhomomorfisma f dari G ke 𝐺 yang didefinisikan, ∀x ∈ G = R – {0} berlaku : 1 jika x bilangan real positif f x = −1 jika x bilangan real negatifmisalkan x,y ∈ G, x ≠ 0 dan y ≠ 0, karena R – {0} bilangan real tanpa nol, maka1. x > 0, y > 0 3. x < 0, y > 0 f(x) = 1, f(y) = 1 f(x) = -1, f(y) = 1 f(xy) = f(x). F(y) f(xy) = f(x). F(y) = (1). (1) = (-1). (1) =1 = -12. x > 0, y < 0 4. x < 0, y < 0 f(x) = 1, f(y) = -1 f(x) = -1, f(y) = -1 f(xy) = f(x). F(y) f(xy) = f(x). F(y) = (1). (-1) = (-1). (-1) = -1 =1Selanjutnya, karena bayangan f atau f(G) = {1, -1} = 𝐺 maka f suatu fungsi surjektif(pada/onto) maka homomorfisma f adalah epimorfisma.Contoh 2.2.3:Homomorfisma h dari Z ke 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk ∀a ∈ Ζ . Maka hmerupakan isomorfisma, sebab :i. h injektif : ∀a,b ∈ Ζ, jika h(a) = h(b) maka 2a = 2b atau a = bii. h surjektif : ∀x ∈ 2Ζ, maka x = 2n = h(n), untuk suatu n ∈ Ζ
  • 7. Contoh 2.2.4:Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan ϕ : Z  Z sebagai berikut:ϕ (x) = 2x. Maka ϕ (x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = ϕ(x) + ϕ(y), untuk setiap x,y  Z.Bentuk ϕ merupakan suatu endomorfisma.Contoh 2.2.5:Apakah pemetaan (G, . ), T : x  – x adalah automorfisma dari Grup yang diberikanJawab:Pengawetan:𝑇 𝑥𝑦 = − 𝑥𝑦 = −(𝑥. − −𝑦 ) = −𝑥. −𝑦 = 𝑇(𝑥). 𝑇(𝑦)Ambil x, y  G dan misalkan 𝑥𝑇 = 𝑦𝑇 −𝑥 = −𝑦 𝑥 = 𝑦  T ( 1-1)Ambil y  G maka pilih 𝑥 = −𝑦 𝑥𝑇 = −𝑥 = − (−𝑦) = 𝑦  T onto Jadi, bahwa 𝑇: 𝑥 → −𝑥 adalah automorfisma2.3. Definisi Kernel Homomorfisma Grup Misalkan 𝜙: G  𝐺 adalah homomorfisma dengan identitas e. Kernel dari 𝜙adalah { x ∈ G | 𝜙(x) = e}. Kernel dari 𝜙 dinotasikan dengan Ker 𝜙.2.4. Sifat– sifat Homomorfisma Grup Sebelum mengkaji sifat-sifat homomorfisma grup perlu melihat kembalibeberapa pengertian berikut :
  • 8. 2.4.1. Definisi Diketahui himpunan A, B, X, Y dengan A ⊂ X dan B ⊂ Y. Misalkan 𝜙: X  Ypemetaan. Maka:1. Bayangan (image) dari A oleh 𝜙 didefinisikan 𝜙(A) = { 𝜙(a) | a ∈ A}2. Prapeta (invers image) dari B oleh 𝜙 didefinisikan 𝜙-1(B) = ( x ∈ 𝑋 | 𝜙(𝑥) ∈ B)3. 𝜙(X) = { 𝜙(x) | x ∈ X} dinamakan range (bayangan) dari X oleh 𝜙 dan disimbolkan dengan im(𝜙) Menggunakan istilah sebagaimana dinyatakan dalam definisi 2.4.1 dapatdibuktikan teorema berikut:Teorema 1. Misalkan 𝜙 merupakan homomorfisma dari grup G ke grup 𝐺 dan misalkang merupakan elemen dari G. Maka :1. Jika e elemen identitas di G maka 𝜙 𝑒 = 𝑒 dengan 𝑒 identitas di 𝐺2. 𝜙 (gn) = (𝜙 (g))n untuk semua n ∈ Z.3. Jika |g| finite, maka |𝜙 (g)| membagi |g|.4. Ker 𝜙 adalah subgroup G.5. 𝜙 (a) =∅ (b) jika dan hanya jika a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙.6. Jika 𝜙 (g) = 𝑔, maka 𝜙-1 (𝑔) = 𝑥 ∈ 𝐺 | 𝜙 𝑥 = 𝑔 = 𝑔 Ker 𝜙.Bukti :1. Ambil sembarang a ∈ G. Diperoleh 𝜙(a) = 𝜙(ae) ↔ 𝜙(a) = 𝜙(a) 𝜙(e) ↔ 𝜙(a)-1 𝜙(a) = (𝜙(a)-1 𝜙(a)) 𝜙(e) ↔ 𝜙(a-1a) = (𝜙(a-1a)) 𝜙(e) ↔ 𝜙(e) = 𝜙(e) 𝜙(e) ↔ 𝑒 = 𝑒 𝜙(e) ↔ 𝑒 = 𝜙(e) Jadi, 𝑒 identitas di 𝐺
  • 9. −12. Akan dibuktikan 𝜙 𝑔−1 = 𝜙 𝑔 Bukti : 𝑔𝜖𝐺, 𝑔𝑔−1 = 𝑒 Sehingga 𝜙 𝑔𝑔−1 = 𝜙 𝑒 = 𝑒 𝜙 𝑔). 𝜙(𝑔−1 = 𝑒 𝑏. 𝑎 = 𝑒 𝑏 −1 . 𝑏. 𝑎 = 𝑏 −1 . 𝑒 𝑒. 𝑎 = 𝑏 −1 . 𝑒 𝑎 = 𝑏 −1 𝜙 𝑔−1 = (𝜙 𝑔 )−1 Dengan menginduksi, berlaku untuk semua bilangan asli, maka didapat : 𝜙 𝑔−𝑛 = (𝜙 𝑔 )−𝑛3. Untuk membuktikan sifat ketiga. Digunakan sifat 1 dan sifat 2 diatas dengan gn = e (|g| = n) menunjukkan bahwa e = ϕ (e) = ϕ (gn) = (ϕ (g))n. Sehingga berdasarkan teorema 4.1 pada buku Galian deketahui bahwa ak = e menunjukkan bahwa |a| membagi k. Karenanya didapatkan | ϕ (g)| membagi |g| atau | ϕ (g)| membagi n4. Ker 𝜙 tak kosong Misalkan : a,b ∈ Ker𝜙 maka 𝜙(ab) = 𝜙(a) 𝜙(b) = 𝑒. 𝑒 = 𝑒. Sehingga, a,b ∈ Ker𝜙 Misalkan a ∈ Ker𝜙 . Perhatikan 𝜙(a-1) = 𝜙(a)-1 = 𝑒 −1 = 𝑒. Sehingga, a-1 ∈ Ker𝜙 Jadi, Ker𝜙 adalah subgrup dari G5. 1. Akan dibuktikan 𝜙(a) = 𝜙(b) => a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙 Misalkan : 𝜙(a) = 𝜙(b) Maka : e = (𝜙(a))-1 𝜙(a) e = (𝜙(b))-1 𝜙(a) = 𝜙(b-1)𝜙(a) = 𝜙(b-1a)
  • 10. Oleh karena itu : b-1a ∈ Ker 𝜙 (dilihat dari lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7 menjelaskan bahwa jika aH = bH maka a-1b ∈ H) Sehingga : a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙 2. a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙 => 𝜙(a) = 𝜙(b) Misalkan : a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙 Dengan menggunakan lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7 menjelaskan bahwa jika aH = bH maka a-1b ∈ H, didapat : a-1b ∈ Ker 𝜙 a (a-1b) = b (a-1b) (a a-1) b = b a-1b e b = b a-1b e b b-1 = b a-1 b b-1 e = b a-1 e = a-1 b 𝜙(e) = 𝜙(a-1 b) e = 𝜙(a-1) 𝜙(b) e = (𝜙(a))-1 𝜙(b) karena 𝑒 = (𝜙(a))-1 𝜙(a), maka : 𝜙(a) = 𝜙(b)6. Harus ditunjukkan bahwa 𝜙-1(𝑔) ⊆ g Ker 𝜙 dan g Ker 𝜙 ⊆ 𝜙-1(𝑔) 1. Untuk membuktikan 𝜙-1(𝑔) ⊆ g Ker 𝜙 misalkan 𝑥 ∈ 𝜙-1(𝑔), sehingga 𝜙(x) = 𝑔, maka 𝜙(g) = 𝜙(𝑥). Dari teorema 5 diatas kita dapatkan g Ker 𝜙 = x Ker 𝜙 oleh karena itu 𝑥 ∈ g Ker 𝜙 maka 𝜙-1(𝑔) ⊆ g Ker 𝜙 2. Untuk membuktikan bahwa g Ker 𝜙 ⊆ 𝜙-1(𝑔). Misalkan k ∈ Ker 𝜙, maka 𝜙(gk) = 𝜙(g) 𝜙(k) = 𝑔 e = 𝑔 Dari definisi diketahui gk ∈ 𝜙-1(𝑔)
  • 11. Teorema 2. Misalkan 𝜙 merupakan homomorfisma dari grup G ke grup 𝐺 dan Hmerupakan subgrup dari G. Maka :1. 𝜙(H) = [𝜙(h) | h ∈ H] adalah subgrup dari 𝐺2. Jika H cyclic, maka 𝜙(H) cyclic3. Jika H abelian, maka 𝜙(H) abelian4. Jika H normal di G, maka 𝜙(H) normal di 𝜙(G)5. Jika | Ker 𝜙 | = n, maka 𝜙 adalah n ke 1 pemetaan dari G onto 𝜙(G).6. Jika |H| = n, maka |𝜙(H)| membagi n7. Jika 𝐾 adalah subgrup dari 𝐺 , maka 𝜙-1(𝐾 ) = {k ∈ G | 𝜙(k) ∈ 𝐾 } adalah subgrup dari G8. Jika 𝐾 adalah subgrup normal dari 𝐺 , maka 𝜙-1(𝐾 ) = {k ∈ G | 𝜙(k) ∈ 𝐾 } adalah subgrup normal dari G9. Jika 𝜙 onto dan ker 𝜙 = [e], maka 𝜙 adalah isomorfisma dari G ke 𝐺Teorema 3 : jika 𝜙 : G 𝐺 hohomorfisma grup maka Ker 𝜙 merupakan subgrupnormal dari GBukti :Karena {𝑒}subgrup dari 𝐺 maka berdasarkan teorema, Ker(𝜙) = 𝜙-1({𝑒}) merupakansubgrup dari G.Untuk menunjukkan bahwa Ker(𝜙) normal di G, berdasarkan teorema cukupditunjukkan ghg-1 ∈ Ker(𝜙) untuk setiap g ∈ G dan h ∈ Ker(𝜙).Ambil sembarang g ∈ G dan h ∈ Ker(𝜙).Diperoleh 𝜙(ghg-1) = 𝜙(g) 𝜙(h) 𝜙(g-1) = 𝜙(g) 𝑒 [𝜙(g)]-1 = 𝜙(g) [𝜙(g)]-1 = 𝑒Jadi ghg-1 ∈ Ker(𝜙) sehingga terbukti bahwa Ker(𝜙) normal di G.Teorema 4 : setiap subgrup normal dari grup G adalah Kernel dari homomorfisma G.Khususnya, subgrup normal N adalah kernel pemetaan g  gN dari G ke G/N
  • 12. Bukti :Definisi 𝜙 : G  G/N dengan 𝜙(g) = gN. (Pemetaan ini disebut homomorfisma naturaldari G ke G/N). Maka 𝜙(xy) = (xy)N = xNyN = 𝜙(x) 𝜙(y). Selain itu g ∈ Ker(𝜙) jikadan hanya jika gN = 𝜙(g) = N. Benar jika dan hanya jika g ∈ N (lihat sifat 2 padalemma di bab 7 buku Galian)
  • 13. Contoh Soal :1. Misalkan (G, *) adalah grup, maka fungsi f : G  G sehingga f(x) = x untuk setiap x ∈ G adalah homomorfisma. Faktanya : f(x*y) = x*y = f(x)*f(y)2. Diberikan grup (M2 (R), + ) dan (R, +). Diberikan fungsi g: M2 (R)  R dengan a b a b definisi g = a + b − c − d, untuk ∈ M2 (R). Buktikan bahwa g c d c d merupakan homomorfisma grup. Jawab : a b e f Diambil sembarang A, B ∈ M2 (R), misalkan A = dan B = , maka c d g h diperoleh bahwa a b e f g A+B = g + c d g h a+e b+f =g c+g d+h = a+e+b+f− c+g − d+h =a+e+b+f−c−g−d−h = a + b − c − d + (e + f − g − h) a b e f =g +g c d g h =g A +g B Terbukti bahwa g merupakan homomorfisma grup3. Let G be a group of permutations. For each σ in G, define: + 1 if σ is an even permutation sgn(σ) = −1 if σ is an odd permutation Prove that sgn is homomorphism from G to the multiplicative group {+1,−1}. What is the kernel?
  • 14. Jawab : Misalkan α, β ∈ G. Keduanya genap, keduanya ganjil, atau satu ganjil dan yang lainnya genap., Kasus 1: keduanya genap. Maka α, β adalah genap. sgn(α. β) = +1 = (+1)(+1) = sgn(α)sgn(β) Kasus 2: keduanya ganjil, maka α. β adalah genap. sgn(α. β) = +1 = (−1)(−1) = sgn(α)sgn(β) Kasus 3: satu ganjil, satu genap. Maka α. β adalah ganjil. Misalkan α adalah ganjil dan β adalah genap. sgn(α. β) = −1 = (−1)(+1) = sgn(α)sgn(β) ker(sgn) = {x ∈ G|sgn(x) = 1} = {x ∈ G|x is an even permutation}.4. Let G be a subgroup of some dihedral group. For each 𝑥 ∈ G, define: + 1 if x is a rotation 𝜙(σ) = −1 if x is a reflection Prove that 𝜙 is homomorphism from G to the multiplicative group {+1,−1}. What is the ker(𝜙)? Jawab : Misalkan α, β ∈ G. Keduanya rotasi, keduanya refleksi, atau satu refleksi dan yang lainnya rotasi Kasus 1: keduanya rotasi. Maka α. β adalah rotasi. 𝜙 (α. β) = +1
  • 15. = (+1)(+1) = 𝜙 (α) 𝜙 (β) Kasus 2: keduanya refleksi, maka α. β adalah rotasi. 𝜙 (α. β) = +1 = (−1)(−1) = 𝜙 (α) 𝜙 (β) Kasus 3: satu refleksi dan yang lainnya rotasi. Maka, α. β refleksi. Misalkan α adalah refleksi dan β adalah rotasi. 𝜙 (α. β) = −1 = (−1)(+1) = 𝜙 (α) 𝜙 (β) ker(𝜙) = {x ∈ G| 𝜙 (x) = 1} = {x ∈ G|x is an even permutation}.5. Suppose that 𝜙 is a homomorphism from Z30 to Z30 and that Ker(𝜙) = {0; 10; 20}. If 𝜙 (23) = 9, determine all elements that map to 9. Jawab : Kita butuh menemukan 𝜙-1(9). Dari teorema 1 poin 5. Jika 𝜙 (g) = 𝑔, maka 𝜙-1 (𝑔) = 𝑥 ∈ 𝐺| 𝜙 𝑥 = 𝑔 = 𝑔 Ker 𝜙. Di Z30 adalah operasi penjumlahan mod 30. Maka teorema 1 poin 5 menjadi : Jika 𝜙 (g) = 𝑔, maka 𝜙-1 (𝑔) = 𝑔 + Ker 𝜙, mod 30 Dari soal, kita ketahui bahwa 𝜙(23) = 9, maka : 𝜙-1 (9) = 23 + Ker 𝜙 = 23 + {0, 10, 20} mod 30 = {23, 3, 13} Jadi, elemen pemetaan ke 9 adalah 3, 13, dan 23
  • 16. GLOSARIUMHomomorfisma : suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.Monomorfisma : homomorfisma yang 1-1 (injektif)Epimorfisma : homomorfisma yang onto (surjektif)Isomorfisma : homomorfis yang 1-1 dan onto (bijektif)Endomorfisma : homomorfisma ke dalam diri sendiriAutomorfisma : isomorfisma pada diri sendiriKernel : elemen-elemen yang dipetakan ke 0’ atau pemetaannya mengahsilkan elemen identitas.
  • 17. DAFTAR PUSTAKAAljabar-Abstrak-I-Bab4. Online: http://zaki.math.web.id/diktat/Aljabar-Abstrak-I- Bab4.pdf. Diakses pada tanggal 4 oktober 2012Ekstra-Teorema Fundamental. Online: http://wijna.web.ugm.ac.id. Diakses pada tanggal 18 nopember 2012Gallian, J.A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. United State of America: Brooks/Cole Cengage learning.Homomorphisms And Isomorphisms. Online: http://cims.nyu.edu/~kiryl/teaching/ aa/les110703.pdf. Diakses pada tanggal 28 nopember 2012Pengantar Struktur Aljabar 1 (Isnarto, S). Online: http://www.angelputriafiles.wordpress.com/2011/01. diakses pada tanggal 18 nopember 2012Pertemuan-9-26tgm1a. Online: http://mazhend.edublogs.org/files/2011/04/Pertemuan- 9-26tgm1a.pdf. Diakses pada tanggal 9 oktober 2012RelasiFungsi. Online: http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/RelasiFungsi.pdf. Diakses pada 4 oktober 2012-12-04S_d015_056045_chapter 2. Online: http://www.repository.upi.edu/operator/upload. diakses pada tanggal 28 nopember 2012