Grup siklik
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Grup siklik

on

  • 2,005 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,005
Views on SlideShare
1,936
Embed Views
69

Actions

Likes
1
Downloads
78
Comments
0

1 Embed 69

http://irsadifarista.wordpress.com 69

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Grup siklik Grup siklik Document Transcript

  • DISUSUN OLEH : 1. Nurul Fajriah (06122502039) 2. Rahmawati Indah L.S (06122502010) Dosen Pengasuh : Dr. Darmawijoyo Dr. Nila Kesumawati, M.Si.PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2012-2013 1
  • GRUP SIKLIKA. PendahuluanPada pertemuan-pertemuan sebelumnya telah dibahas mengenai grup mulai daridefinisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau bukan,menjelaskan finite grup, definisi subgroup sampai terpenuhinya syarat-syaratsubgrup suatu grup, serta menentukan order dari grup dan order dari anggota grup.Maka pada sub bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiapunsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negatif) atau perkaliandari suatu unsur tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan grupsiklik. Dengan kata lain, Grup Siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnyamerupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan pembangunnya ataugeneratornya.Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga atau bisa juga beranggotakanunsur-unsur tak hingga. Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsurterhingga dinamakan Grup Siklik berhingga (finite group cyclic) dan Grup Siklikyang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik takhingga (infinite group cyclic).Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan mampu: a) Menjelaskan definisi dari grup siklik b) Menentukan generator dari grup siklik c) Mampu membuktikan apakah grup merupakan siklik atau tidak dengan menentukan generatornya d) Menerapkan teorema-teorema yang berhubungan dengan generator e) Menentukan order dari grup siklik f) Menentukan grup siklik dari suatu grup g) Menganalisa keterkaitan grup siklik dengan grup komutatif (grup abelian) 2
  • B. DefinisiDefinisi 1 :Grup Siklik (terhadap penjumlahan) Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. (Fadli, 2006 : 55)Contoh 1 :Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).Buktikan bahwa G tersebut adalah grup siklik.PenyelesaianDiketahui : G = {0, 1, 2, 3}Ditanya : Tentukan grup siklik dan subgrup siklik dari G!Jawab :G = {0, 1, 2, 3}< 𝑎 >= {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}<0> = {n (0) | n ∈ Z} = {…, (-1).0, 1.0, …} = {0}<1> = {n (1) | n ∈ Z} = {…, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, …} = {1, 2, 3, 0}<2> = {n (2) | n ∈ Z} = {…, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.2, 2.2, …} = {2, 0}<3> = {n (3) | n ∈ Z} = {…, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3,…} = {3, 2, 1, 0} 3
  • Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3}, dengan kata lain 1 dan 3 adalah generatordari G maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.Definisi 2 : Grup Siklik (terhadap perkalian) Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝐺 = {𝑎 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. (Gallian, 2008 : 72) Suatu grup G dan suatu unsur 𝑔 ∈ 𝐺, jika grup G dapat dinyatakan sebagai 𝐺 = {𝑔 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}, maka g dikatakan pembangun dari grup G dan grup G disebut Grup Siklik, biasanya dinotasikan G = <g> (Muchlisah, 2005 : 58)Contoh 2 :Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).Buktikan bahwa G adalah grup siklik.Penyelesaian :Diket : G = {-1, 1}Dit : Buktikan G adalah grup siklik.Jawab :G = {-1, 1}<a> = {𝑎 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}<-1> = {…, (-1)-2, (-1)-1, (-1)o, (-1)1, (-1)2, …} = {-1, 1}<1> = {…, 1-2,1-1, 11, 12, …} = {1}Karena G = <-1> = {-1, 1}, dengan kata lain -1 adalah generator dari G makaG = {-1, 1} merupakan grup siklik. 4
  • Definisi 3 : Sub Grup Siklik (G, *) adalah suatu grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, maka generator a yang membangun suatu subgroup <a> dinamakan sub grup siklik dari (G, *) (Fadli, 2006 : 55)Jadi yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik yaitu suatu subgrup yangdibangkitkan oleh satu unsur.Contoh 3 :Buktikan bahwa Z8 adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!Penyelesaian :Diketahui : Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Ditanya : - apakah Z8 grup siklik? - tentukan subgrup siklik dari Z8Jawab :BuktiZ8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}<0> = {n (0) | n ∈ Z} = {…, (-1).0, 0.0, 1.0,…} = {0}<1> = {n (1) | n ∈ Z} = {…, (-8).1, (-7).1, (-6).1, (-5).1, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}<2> = {n (2) | n ∈ Z} = {…, (-4).2, (-3).2, (-2).2, (-1).2, 0.2, 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …} = {2, 4, 6, 0}<3> = {n (3) | n ∈ Z} = {…, (-8).3, (-7).3, (-6).3, (-5).3, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3,1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …} 5
  • = {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}<4> = {n (4) | n ∈ Z} = {…, (-2).4, (-1).4, 0.4, 1.4, 2.4, …} = {4, 0}<5> = {n (5) | n ∈ Z} = {…, (-8).5, (-7).5, (-6).5, (-5).5, (-4).5, (-3).5, (-2).5, (-1).5, 0.5,1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, …} = {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}<6> = {n (6) | n ∈ Z} = {…, (-4).6, (-3).6, (-2).6, (-1).6, 0.6, 1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …} = {6, 4, 2, 0}<7> = {n (7) | n ∈ Z} = {…, (-8).7, (-7).7, (-6).7, (-5).7, (-4).7, (-3).7, (-2).7, (-1).7, 0.7,1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, …} = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}Karena terdapat <a> = G yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8 adalah Grup Siklik.Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <2> = {2, 4, 6, 0} <4> = {4, 0} <6> = {6, 4, 2, 0}Contoh 4 :Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!Penyelesaian :Diketahui : U(10) = {1, 3, 7, 9}Ditanya : - apakah U(10) grup siklik? - tentukan subgrup siklik dari U(10)Jawab :BuktiU(10) = {1, 3, 7, 9} 6
  • <a> = {𝑎 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}<1> = {11, 12, 10…} = {1} ………………….<1> ≠ U(10)<3> = {31, 32, 33, 30, …} = {3, 9, 7,1} ………….<3> = U(10)<7> = {71, 72, 73, 70,…} = {7, 9, 3, 1} ………… <7> = U(10)<9> = {91, 92, 93, 90,…} = {9, 1,…} ………….. <9> ≠ U(10)Karena terdapat <a> = G yaitu 3 dan 7 maka U(10) adalah Grup Siklik.Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <1> = {1} dan <9> = {1, 9}C. Teorema dan Akibat Teorema 1 : ak = agcd(n,k) Let a be an element of order n in a group and let k be a positive integer. Then ak = agcd(n,k) and |ak| = n/gcd(n,k).  Akibat 1 : Generator dari finite group siklik G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya jika FPB (k,n) =1  Akibat 2 : Generator Zn Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan hanya jika gcd (n, k) = 1 (Gallian, 2008 : 76)Contoh 5 :Dari acuan teorema 1 akibat 1, tentukan semua generator dari grup siklik U(50)|U(50)| = 20 dan tiga adalah salah satu dari generatornya. 7
  • Demikianlah, dalam melihat teorema 1, daftar pelengkap dari generator-generatoruntuk U(50) adalah 31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47 33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 23 37 mod 50 = 37 317 mod 50 = 13 39 mod 50 = 33 319 mod 50 = 17 320 mod 50 = 1 Teorema 2 : Teorema Dasar Grup Siklik Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup siklik itu pula. Lebih-lebih jika 𝒂 = 𝒏, lalu order pada subgrup 𝒂 adalah sebuah pembagi n dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup 𝒂 memiliki tepat satu subgrup berorder k, yaitu 𝒂 𝒏 𝒌 . (Gallian, 2008 : 77)Bukti :Jika G = 𝑎 , a adalah generator G.Andaikan bahwa H adalah sebuah subgrup G. Maka kita tunjukkan bahwa Hadalah siklik. Jika elemen dari G terdiri dari identitas diri sendiri, maka denganjelas H adalah siklik. Jadi kita boleh mengasumsikan bahwa 𝐻 ≠ 𝑒 .Jika H mengandung sebuah unsur dengan bentuk 𝑎 𝑡 , dimana t adalah positif.Diketahui, 𝐺 = 𝑎 , setiap unsur H mempunyai bentuk 𝑎 𝑡 .Sehingga 𝑎 𝑡 ∈ 𝐻 dengan 𝑡 < 0Dan lalu 𝑎−𝑡 ∈ 𝐻 , nilai –t adalah positif.Maka, pernyataan kita diterima.Sekarang jika m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 𝑎 𝑚 𝜖𝐻. 𝑚 𝑚Secara tertutup, 𝑎 ≤ 𝐻. Selanjutnya kita menyatakan bahwa 𝐻 = 𝑎 .Untuk membuktikan pernyataan ini dengan memisalkan b sebuah anggota H, dan 𝑚menunjukkan bahwa b ada pada 𝑎 . 8
  • Selama 𝑏 ∈ 𝐺 = 𝑎 , kita punya 𝑏 = 𝑎 𝑘 untuk beberapa k.Menggunakan algoritma dalam pembagian untuk k dan m, untuk mendapatkanbilangan bulat q dan r sedemikian sehingga :𝑘 = 𝑚𝑞 + 𝑟 dimana 0 ≤ 𝑟 < 𝑚.Maka,𝑎𝑘 = 𝑎 𝑚𝑞 +𝑟 = 𝑎 𝑚𝑞 ∙ 𝑎 𝑟,Jadi𝑎 𝑟 = 𝑎−𝑚𝑞 ∙ 𝑎 𝑘Selama𝑎 𝑘 = 𝑏 ∈ 𝐻, dan𝑎−𝑚𝑞 = 𝑎 𝑚 −𝑞 juga pada H, 𝑎 𝑟 ∈ 𝐻. 𝑚Tapi m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 𝑎 ∈ 𝐻, dan0 ≤ 𝑟 < 𝑚, maka r harus nol.𝑎−𝑚𝑞 ∙ 𝑎 𝑘 = 𝑒, maka dari itu𝑏 = 𝑎𝑘 = 𝑎 𝑚𝑞 = 𝑎 𝑚 𝑞 ∈ 𝑎 𝑚 .Sehingga, 𝑚 𝐻 = 𝑎 adalah sebuah pembagi n 𝑘 𝑘 𝑡Pada akhirnya, jika k pembagi n. Jelas bahwa 𝑎𝑛 𝑘 = 𝑎 𝑛 = 𝑒 dan 𝑎𝑛 ≠𝑒 untuk t positif < 𝑘, jadi 𝑎 𝑛 𝑘 memiliki order k.Selanjutnya kita menunjukkan bahwa 𝑎𝑛 𝑘 adalah hanya subgrup dari order k.Untuk mengakhiri ini, jika H menjadi subgrup dari order k. Sebelumnya kita 𝑚sudah menunjukkan bahwa 𝐻 = 𝑎 , dimana m bilangan bulat positif terkecilsedemikian hingga 𝑎 𝑚 pada H. Sekarang dituliskan𝑛 = 𝑚𝑞 + 𝑟, dimana 0 ≤ 𝑟 < 𝑚, kita punya𝑒 = 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚𝑞 +𝑟 = 𝑎 𝑚𝑞 ∙ 𝑎 𝑟 , maka𝑎 𝑟 = 𝑎−𝑚𝑞 = 𝑎 𝑚 −𝑞 ∈ 𝐻. 9
  • Dengan, 𝑟 = 0 dan 𝑛 = 𝑚𝑞. Jadi, 𝑚𝑘= 𝐻 = 𝑎 = 𝑛 𝑚. Ini mengikuti 𝑚 𝑚 = 𝑛 𝑘 dan 𝐻 = 𝑎 = 𝑎𝑛 𝑘 .Contoh 6 :Jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah 𝑎30 𝑘 . Jadi daftar subgrupdari 𝑎 dan daftar subgrup dari Z30 adalah : Daftar Subgrup <a> Order 𝑎 = 𝑒, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎29 Order 30 𝑎2 = 𝑒, 𝑎2 , 𝑎4 , … , 𝑎28 Order 15 𝑎3 = 𝑒, 𝑎3 , 𝑎6 , … , 𝑎27 Order 10 𝑎5 = 𝑒, 𝑎5 , 𝑎10 , 𝑎15 , 𝑎20 , 𝑎25 Order 6 𝑎6 = 𝑒, 𝑎6 , 𝑎12 , 𝑎18 , 𝑎24 Order 5 𝑎10 = 𝑒, 𝑎10 , 𝑎20 Order 3 𝑎15 = 𝑒, 𝑎15 Order 2 𝑎30 = 𝑒 Order 1Pada umumnya, jika 𝑎 memiliki order n dan k pembagi n, lalu 𝑎𝑛 𝑘 adalahsubgrup tunggal pada order k.  Akibat : Subgrup Zn Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan 𝑛 𝑘 adalah subgrup tunggal 𝑍 𝑛 pada order k, lebih dari itu, hanya ada subgrup dalam 𝑍 𝑛 . (Gallian, 2008 : 77) 10
  • Contoh 7 : Berdasarkan dari contoh 6 di atas bahwa daftar subgrup dari 𝑍30adalah : Daftar Subgrup Z30 Order 1 = 0, 1, 2, … , 29 Order 30 2 = 0, 2, 4, … , 28 Order 15 Daftar Subgrup Z30 Order 3 = 0, 3, 6, … , 27 Order 10 5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25 Order 6 6 = 0, 6, 12,18, 24 Order 5 10 = 0, 10, 20 Order 3 15 = 0, 15 Order 2 30 = 0 Order 1 Teorema 3 : Jumlah pada elemen setiap order dalam Grup Siklik. Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n, angka pada unsur dalam order d dalam sebuah grup siklik pada order n adalah 𝝋(𝒅).  Akibat : Jumlah unsur pada elemen order adalah finite grup Dalam grup finit, jumlah elemen order d habis dibagi oleh 𝝋(𝒅) (Gallian, 2008 : 80)Contoh 8Tentukan subgrup dari Z12 dan buat diagram latticeZ12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}PenyelesaianAmbil a = 2 dimana <2> = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. 21 = 2 24 = 8 22 = 4 25 = 10 23 = 6 26 = 0 11
  • Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2>sehingga tertutup terhadap operasi pada Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrupdari Z12.Dengan cara serupa ambil a = 3 dimana <3> = {0, 3, 6, 9} sehingga diperoleh: 31 = 3 35 = 3 32 = 6 36 = 6 33 = 9 37 = 9 34 = 0 38 = 0Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.Selanjutnya ambil a = 4 dimana <4> = {0, 4, 8}. 41 = 4 44 = 4 42 = 8 45 = 8 43 = 0 46 = 0Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan samadengan order dari <4> yaitu <4> = {0, 4, 8} sehingga tertutup terhadap operasi diZ12 akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z12.Ambil a = 6 dimana <6> = {0, 6} dengan cara yang sama diperoleh:61 = 6 63 = 662 = 0 64 = 0Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6>sehingga <6> tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6> merupakan subgrupdari Z12.Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrupdari Z12. <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z12 dan<0> merupakan subgrup trivial dari Z12.Diagram lattice dari Z12 adalah sebagai berikut: 12
  •  Teorema 4 : Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian. (Muchlisah, 2005 : 59)Bukti :Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G,sehingga G ={an | n ∈ Z}.Misalkan G = {ak | k ∈ Z }Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y ∈ G.Ambil sebarang x, y dalam G.Karena x, y dalam G makax = am dan y = anuntuk suatu m dan n dalam Z, sehinggaam an = am+ndanyx = an am = an+m = am+n = am an = xy.Terbukti G grup abelian.Contoh 9Dari Contoh 1, tunjukkan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup Komutatif.Penyelesaian :Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik dari Grup.G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).Misalkan x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈ Z.Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3x + y = na + ma = (n + m)a = 1.3 + 2.3 = (1 + 2).3 13
  • = 3.3 = 1y + x = ma + na = (m + n)a = 2.3 + 1.3 = (2 + 1).3 = 3.3 = 1Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif. 14
  • GLOSARIUMGrup Siklik : Grup Siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan pembangunnya atau generatornyaSubgrup Siklik : Suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur dari suatu grup siklikGenerator : Pembangun suatu grup siklikGcd (n, k) : Greatest common divisor of the integers n dan k/ FPB (n,k)Subgrup Trivial : Subgrup yang anggotanya adalah identitasSubgrup sejati non trivial : Semua anggota subgrup yang lain selain identitasSubgrup Lattice : Grup yang anggota FPB nya bukan 1Diagram Lattice : Suatu diagram untuk menggambarkan subgrup-subgrup dari suatu grup 15
  • DAFTAR PUSTAKAFadli. 2006. Struktur Aljabar, Grup Siklik (online). (http://www.fadlibae.files.wordpress.com/ …/grup-siklik.pdf. diakses tanggal 26 September 2012).Gallian J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. Belmont: BrooksMuchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan UNS Press. 16
  • LATIHAN SOAL1. Carilah generator dari Z6, Z8, dan Z20.2. Diketahui bahwa <a>, <b>, dan <c> adalah grup siklik yang masing-masing berorder 6, 8, dan 20. Carilah semua generator dari <a>, <b>, dan <c>.3. Daftar anggota dari subgrup <20> dan <10> di Z30. Diketahui a adalah sebuah anggota grup yang berorder 30. Daftar anggota dari subgrup <a20> dan <a10>.4. Daftar anggota dari subgrup <3> dan <5> di Z18. Diketahui a adalah sebuah anggota grup yang berorder 18. Daftar anggota dari subgrup <a3> dan <a15>.5. Daftarkan anggota subgrup siklik dari U(30)!6. Tentukan lattice subgrup untuk Z8!7. Tentukan lattice subgrup untuk U(12)!8. Tentukan lattice subgrup untuk U(14)!9. Pada Z24 carilah generator untuk <21> ∩ <10>. Diketahui bahwa |a| = 24. Carilah generator untuk <a21> ∩ <a10>. Secara umum generator untuk <am> ∩ <an> adalah? 17
  • KUNCI JAWABAN1) Mencari generator dari Z6, Z8, dan Z20 Jawaban :Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} di bawah penjumlahan𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}<0> = {n (0) | n ∈ Z} = {1.0} = {0}<1> = {n (1) | n ∈ Z} = {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, …} = {1, 2, 3, 4, 5, 0}<2> = {n (2) | n ∈ Z} = {1.2, 2.2, 3.2, …} = {2, 4, 0}<3> = {n (3) | n ∈ Z} = {1.3, 2.3, …} = {3, 0}<4> = {n (4) | n ∈ Z} = {1.4, 2.4, 3.4, …} = {4, 2, 0}<5> = {n (5) | n ∈ Z} = {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5…} = {5, 4, 3, 2, 1, 0}Karena Z6 = <1> = <5> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka generator dari dari Z6 yaitu <1>dan <5> 18
  • Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di bawah penjumlahan𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}<0> = {n (0) | n ∈ Z} = {1.0} = {0}<1> = {n (1) | n ∈ Z} = {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}<2> = {n (2) | n ∈ Z} = {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …} = {2, 4, 6, 0 }<3> = {n (3) | n ∈ Z} = {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …} = {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}<4> = {n (4) | n ∈ Z} = {1.4, 2.4, …} = {4, 0}<5> = {n (5) | n ∈ Z} = {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5…} = {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}<6> = {n (6) | n ∈ Z} = {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …} = {6, 4, 2, 0}<7> = {n (7) | n ∈ Z} = {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7…} = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}Karena Z8 = <1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka generator daridari Z8 yaitu <1>, <3>, <5>, dan <7>.Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19} di bawah penjumlahan𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}<0> = {n (0) | n ∈ Z} 19
  • = {1.0} = {0}<1> = {n (1) | n ∈ Z} = {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, 9.1, 10.1, 11.1, 12.1, 13.1, 14.1, 15.1, 16.1, 17.1, 18.1, 19.1, 20.1, …} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0}<2> = {n (2) | n ∈ Z} = {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2, 8.2, 9.2, 10.2, …} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 0}<3> = {n (3) | n ∈ Z} = {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, 9.3, 10.3, 11.3, 12.3, 13.3, 14.3, 15.3, 16.3, 17.3, 18.3, 19.3, 20.3, …} = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 0}<4> = {n (4) | n ∈ Z} = {1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4, …} = {4, 8, 12, 16, 0}<5> = {n (5) | n ∈ Z} = {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, …} = {5, 10, 15, 0}<6> = {n (6) | n ∈ Z} = {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, 5.6, 6.6, 7.6, 8.6, 9.6, 10.6, …} = {6, 12, 18, 4, 10, 16, 2, 8, 14, 0}<7> = {n (7) | n ∈ Z} = {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, 9.7, 10.7, 11.7, 12.7, 13.7, 14.7, 15.7, 16.7, 17.7, 18.7, 19.7, 20.7, …} = {7, 14, 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 0}<8> = {n (8) | n ∈ Z} = {1.8, 2.8, 3.8, 4.8, 5.8,…} = {8, 16, 4, 12, 0}<9> = {n (9) | n ∈ Z} 20
  • = {1.9, 2.9, 3.9, 4.9, 5.9, 6.9, 7.9, 8.9, 9.9, 10.9, 11.9, 12.9, 13.9, 14.9, 15.9, 16.9, 17.9, 18.9, 19.9, 20.9, …} = {9, 18, 7, 16, 5, 14, 3, 12, 1, 10, 19, 8, 17, 6, 15, 4, 13, 2, 11, 0}<10> = {n (10) | n ∈ Z} = {1.10, 2.10, …} = {10, 0}<11> = {n (11) | n ∈ Z} = {1.11, 2.11, 3.11, 4.11, 5.11, 6.11, 7.11, 8.11, 9.11, 10.11, 11.11, 12.11, 13.11, 14.11, 15.11, 16.11, 17.11, 18.11, 19.11, 20.11, …} = {11, 2, 13, 4, 15, 6, 17, 8, 19, 10, 1, 12, 3, 14, 5, 16, 7, 19, 9, 0}<12> = {n (12) | n ∈ Z} = {1.12, 2.12, 3.12, 4.12, 5.12,…} = {12, 4, 16, 8, 0}<13> = {n (13) | n ∈ Z} = {1.13, 2.13, 3.13, 4.13, 5.13, 6.13, 7.13, 8.13, 9.13, 10.13, 11.13, 12.13, 13.13, 14.13, 15.13, 16.13, 17.13, 18.13, 19.13, 20.13, …} = {13, 6, 19, 12, 5, 18, 11, 4, 17, 10, 3, 16, 9, 2, 15, 8, 1, 14, 7, 0}<14> = {n (14) | n ∈ Z} = {1.14, 2.14, 3.14, 4.14, 5.14, 6.14, 7.14, 8.14, 9.14, 10.14, …} = {14, 8, 2, 16, 10, 16, 18, 12, 6, 0}<15> = {n (15) | n ∈ Z} = {1.15, 2.15, 3.15, 4.15, …} = {15, 10, 5, 0}<16> = {n (16) | n ∈ Z} = {1.16, 2.16, 3.16, 4.16, 5.16, …} = {16, 12, 8, 4, 0}<17> = {n (17) | n ∈ Z} = {1.17, 2.17, 3.17, 4.17, 5.17, 6.17, 7.17, 8.17, 9.17, 10.17, 11.17, 12.17, 13.17, 14.17, 15.17, 16.17, 17.17, 18.17, 19.17, 20.17, …} = {17, 14, 11, 5, 2, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0}<18> = {n (18) | n ∈ Z} 21
  • = {1.18, 2.18, 3.18, 4.18, 5.18, 6.18, 7.18, 8.18, 9.18, 10.18, …} = {18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0}<19> = {n (17) | n ∈ Z} = {1.19, 2.19, 3.19, 4.19, 5.19, 6.19, 7.19, 8.19, 9.19, 10.19, 11.19, 12.19, 13.19, 14.19, 15.19, 16.19, 17.19, 18.19, 19.19, 20.19, …} = {19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}<20> = {n (20) | n ∈ Z} = {1.20, …} = {0}Karena Z20 = <1> = <3> = <7> = <9> = <11> = <13> = <17> = <19> = {0, 1, 2,3, …, 19} maka generator dari dari Z20 yaitu <1>, <3>, <7>, <9>, <11>, <13>,<17>, dan <19>.2) Mencari semua generator dari <a>, <b>, dan <c> Jawaban :  |<a>| = 6 = U7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}<a> = 𝑎 𝑛 𝑛 ∈ 𝑍<1> = {11, 12, …} = {1}<2> = {21, 22, 23, …} = {2, 4, 1}<3> = {31, 32, 33, 34, 35, 36, …} = {3, 2, 6, 4, 5, 1}<4> = {41, 42, 43, …} = {4, 2, 1}<5> = {51, 52, 53, 54, 55, 56,…} = {5, 4, 6, 2, 3, 1}<6> = {61, 62, …} = {6, 1} 22
  • Karena U7 = <3> = <5> = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka generator dari dari U7 yaitu <3>dan <5>.  |<b>| = 8 = Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di bawah penjumlahan(Pencarian generator dapat dilihat pada penyelesaian nomor 1.)Karena Z8 = <1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka generator daridari Z8 yaitu <1>, <3>, <5>, dan <7>.  |<c>| = 20 = Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19}Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19} di bawah penjumlahan(Pencarian generator dapat dilihat pada penyelesaian nomor 1.)Karena Z20 = <1> = <3> = <7> = <9> = <11> = <13> = <17> = <19> = {0, 1, 2,3, …, 19} maka generator dari dari Z20 yaitu <1>, <3>, <7>, <9>, <11>, <13>,<17>, dan <19>.3) List elements of the subgroups <a10> dan <a20> in Z30 Jawaban : 𝐺 = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ 𝑍 𝐺 <10> = 1.10 = 10 = 2.10 = 20 = 3.10 = 0 <10> = {10, 20, 0} <20> = 1.20 = 20 = 2.20 = 10 = 3.20 = 0 <20> = {20, 10, 0} Maka , list elements of the subgroups <a10> dan <a20> <a10> = {a10, a20, a0} <a20> = {a20, a10, a0}4) List elements of the subgroups <a3> dan <a15> Jawaban : 23
  • 𝐺 = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ 𝑍 <3> = 1.3 = 3 = 2.3 = 6 = 3.3 = 9 = 4.3 = 12 = 5.3 = 15 = 6.3 = 0 <3> = {3, 6, 9, 12, 15, 0} <15> = 1.15 = 15 = 2.15 = 30 = 3.15 = 9 = 4.15 = 6 = 5.15 = 3 = 6.15 = 0 <15> = {15, 30, 9, 6, 3, 0} List elements of the subgroups <a3> dan <a15> <a3> = {a3, a6, a9, a12, a15, a0} <a15> = {a15, a30, a9, a6 a3 a0}5) List the cyclic subgroups of U(30)! Jawaban : U(30) = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} <1> = {1} <7> = <13> ={1, 7, 13, 19} <11> = { 1, 11} <17> = <23> = {1, 17, 19, 23} <19> = { 1, 19} <29> = { 1, 29} Ada 6 subgup siklik dari U(30)6) Menentukan Lattice Subgrup untuk Z8 Jawaban : 24
  • Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}Ambil a= 2 dimana <2> = {0, 2, 4, 6}. Berdasarkan teorema maka: 21 = 2 23 = 6 25 = 2 22 = 4 24 = 0Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akanberulang. Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <2> merupakansubgrup dari Z8.Selanjutnya ambil a=4, dimana <4> = {0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan: 41=4 43=4 45=4 42=0 44=0Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulangpada order dari <4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <4>merupakan subgrup dari Z8.Ternyata subgrup dari Z8 adalah <2> dan <4> dimana <2> = {0, 2, 4, 6} dan <4>= {0, 4}. <2> dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z8.Sehingga, diagram lattice-nya adalah:7) Menentukan lattice subgroup untuk U(12) Jawaban : U(12) = {1, 5, 7, 11} 25
  • <1> = {1} <5> = {1, 5} <7> = {1, 7} <11> = {1, 11} Sehingga, grup latticenya adalah : U(12) <5> <7> <11> <1>8) Menentukan lattice subgroup untuk U(14) Jawaban : U(14) = {1, 3, 5, 7, 11, 13} <1> = {1} <3> = {1, 3, 5, 7, 11, 13} <5> = {1, 3, 5, 7, 11, 13} <9> = {1, 9, 11} <11> = {1, 9, 11} <13> = {1, 13} Sehingga, grup latticenya adalah : U(14) = <3> = <5> <9> = <11> <13 > <1> 26
  • 9. Pada Z24 carilah generator untuk <21> ∩ <10>. Diketahui bahwa |a| = 24. Carilah generator untuk <a21> ∩ <a10>. Secara umum generator untuk <am> ∩ <an> adalahJawaban :Diketahui |a| = 24Tentukan <21> ∩ <10>?<21> = 1. 21 = 21 <10> = 1. 10 = 10 = 2. 21 = 18 = 2. 10 = 20 = 3. 21 = 15 = 3. 10 = 6 = 4. 21 = 12 = 4. 10 = 16 = 5. 21 = 9 = 5. 10 = 2 = 6. 21 = 6 = 6. 10 = 12 = 7. 21 = 3 = 7. 10 = 22 = 8. 21 = 0 = 8. 10 = 8 = 9. 10 = 18 = 10. 10 = 4 = 11. 10 = 14 = 12. 10 = 0<21> ∩ <10> = {0, 6, 12, 18} 27