• Like
  • Save
Estimasi parameter
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Estimasi parameter

on

  • 12,636 views

 

Statistics

Views

Total Views
12,636
Views on SlideShare
12,636
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
418
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Estimasi parameter Estimasi parameter Document Transcript

    • LAPORAN RESMI MODUL 4 ESTIMASI PARAMETER Oleh: FAUZIAH GITRI D. 1311100029 IRMAYA FATWA Y. 1311100068 Asisten Dosen: M. Hatta Rafsanjani 1308100004 Jurusan StatistikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2011 1
    • ABSTRAK Suatu penelitian yang menggunakan data populasi untuk mengetahuikarakteristik objek akan menghasilkan gambaran yang akurat mengenaikarakteristik objek tersebut. Namun, dalam suatu penelitian terkadang mengalamikesulitan untuk melibatkan semua anggota populasi objek tersebut, maka adakalanya penelitian hanya melibatkan sebagian anggota populasi sebagai datasampel. Salah satu permasalahan dalam inferensi statistik adalah estimasi.Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut tentang apa itu estimasi mean, estimasiproporsi, dan estimasi varians dan bagaimana aplikasinya pada data-data yangsudah tersedia. Dalam kasus ini, untuk estimasi mean satu populasi diperoleh daribangkitkan 150 data dari distribusi normal sedangkan untuk estimasi mean duapopulasi diperoleh dari dari dua distribusi normal N1(10;0.0625) danN2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175. EstimasiProporsi dan Estimasi Varians diperoleh dari survei berat badan yang dilakukan didua tempat yaitu di lingkungan jurusan statistika dan di daerah keputih gang III.Dari masing-masing estimasi parameter tersebut akan diperoleh batas-batas yangmenentukan kemungkinan letak nilai estimasi. Sehingga karakteristik suatuparameter dapat terdefinisi karakteristiknya. Setelah data diolah dan kemudiandisajikan dalam bentuk grafik, maka informasi yang akan disampaikan menjadilebih jelas dan mudah ditangkap. Diharapkan informasi tersebut dapat bermanfaatuntuk melanjutkan pada tahap berikutnya yaitu uji analisa dan pengambilankeputusan.Kata kunci : inferensia, estimasi mean, estimasi proporsi, estimasi varians 2
    • DAFTAR ISI HalamanHALAMAN JUDUL............................................................................................ iABSTRAK ........................................................................................................... iiDAFTAR ISI ........................................................................................................ iiiDAFTAR GAMBAR ........................................................................................... vDAFTAR TABEL ................................................................................................ viBAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ...................................................................................... 1 1.2 Permasalahan......................................................................................... 1 1.3 Tujuan ................................................................................................... 2 1.4 Manfaat ................................................................................................. 3BAB II TINJAUAN PUSTAKA.......................................................................... 4 2.1 Estimasi .................................................................................................... 4 2.2 Estimasi Parameter ................................................................................... 4 2.2.1 Estimasi Titik (Point Estimation)................................................. 4 2.2.2 Estimasi Interval (Interval Estimation) ........................................ 4 2.3 Estimasi Mean .......................................................................................... 5 2.3.1 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui ......................... 5 2.3.2 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui ................ 6 2.3.3 Dua Populasi Saat σ12 dan σ22 Diketahui..................................... 6 2.3.4 Dua Populasi Saat σ12 = σ22 .................................................................................... 7 2.3.5 Dua Populasi Saat  12   2 ..................................................... 7 2 2.4 Estimasi Proporsi .................................................................................. 8 2.4.1 Estimasi Proporsi Satu Populasi ................................................ 8 2.4.2 Estimasi Proporsi Dua Populasi .................................................. 9 2.5 Estimasi Varians...................................................................................... 9 2.5.1 Estimasi Varians Satu Populasi................................................... 9 2.5.2 Estimasi Varians Dua Populasi ................................................... 10 3
    • BAB III METODOLOGI PENULISAN .............................................................. 11 3.1 Sumber Data ............................................................................................. 11 3.2 Variabel Penelitian ................................................................................... 11 3.3 Langkah Analisis ...................................................................................... 12 3.4 Diagram Alir ............................................................................................ 13BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ..................................................... 14 4.1 Estimasi Mean Satu Populasi ................................................................ 14 4.2 Estimasi Mean Dua Populasi ................................................................ 15 4.3 Estimasi Proporsi Satu Populasi ............................................................ 16 4.4 Estimasi Proporsi Dua Populasi ............................................................ 18 4.5 Estimasi Varians Satu Populasi ............................................................. 20 4.6 Estimasi Varians Dua Populasi ............................................................. 21BAB V KESIMPULAN DAN SARAN............................................................. 22 5.1 Kesimpulan ......................................................................................... 22 5.2 Saran .................................................................................................... 23DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 24LAMPIRAN 4
    • DAFTAR GAMBARGambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Distribusi Peluang ................................ 13Gambar 4.1 Nilai Estimasi Harga Mean n=15; Selang Kepercayaan 92% dan 95% ................. 15Gambar 4.2 Nilai Estimasi Harga Mean n=35; Selang Kepercayaan 92% dan 95% ................. 15Gambar 4.3 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95% ................. 16Gambar 4.4 Estimasi Harga Mean Dua Populasi dengan Selang Kepercayaan 92% dan 95% .. 17Gambar 4.5 Estimasi Harga Mean Dua Populasi N=150 n=30; N=175 n=40............................. 17Gambar 4.6 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95% ................. 18 5
    • DAFTAR TABELTabel 4.1 Output Minitab Estimasi Mean Satu Populasi Selang Kepercayaan 92 % .....14Tabel 4.2 Output Minitab Estimasi Mean Satu Populasi Selang Kepercayaan 95% ......14Tabel 4.3 Output Minitab Mean dan Variansi dari Dua Populasi ...................................16Tabel 4.4 Nilai dan Selang Interval Proporsi untuk x=15 dan n=30 untuk α=95% ........18Tabel 4.5 Nilai Interval untuk Proporsi Dua Populasi untuk α=95% ............................19Tabel 4.6 Nilai Interval untuk Varians Satu Populasi n=30 ; s 2 =25 untuk α=95% ......20Tabel 4.7 Nilai Interval Varians Dua Populasi untuk α=98% s12 =25 s12 s 2 2 =35 .....21 6
    • BAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Statistika inferensia merupakan teknik pengambilan keputusan tentangsuatu parameter berdasarkan contoh yang diambil dari populasi tersebut yangmeliputi dua hal penting, salah satunya adalah pendugaan (estimation) parameter.Pengetahuan tentang pendugaan yang diperoleh sangatlah penting dipelajari.Hasil estimasi yang diperoleh haruslah dapat dipertanggungjawabkan. Biasanyadinyatakan dengan tingkat kepercayaan dari hasil dugannya sebagai suatu ukuranseberapa jauh kita menaruh kepercayaan pada ketetapan statistik yang mendugaparameter populasi nya. Oleh karena itu prosedur pendugaan parameter populasiharus dibuat dari informasi-informasi yang diperoleh dari penarikan data yangdidasarkan atas penarikan contohnya, meskipun tidak dapat dipungkiri satuparameter tertentu kadang-kadang menggunakan beberapa estimasi yangberlainan. Pada umumnya parameter populasi tidak diketahui karena ukurannya tidakterhingga ataupun kalau berhingga jumlahnya terlalu besar untuk di telitiseluruhnya. Oleh karena itu untuk mengetahui karakteristik parameter populasidigunakan teknik penarikan contoh populasinya. Hasil penarikan ini akandiperoleh satu atau lebih nilai statistik penarikan contohnya. Pembuatan laporanini ditujukan untuk mengasah kompetensi mahasiswa dalam hal estimasi, mulaidari estimasi mean, estimasi varians, estimasi proporsi hingga menyajikan datadalam bentuk grafik. Diharapkan pembuatan laporan ini dapat membantumahasiswa statistika dalam memahami aplikasi statistika inferensial khususnyatentang estimasi pada data-data yang sudah tersedia.1.2 Permasalahan Dalam praktikum ini, permasalahan yang muncul sebagai acuan untukanalisis adalah sebagai berikut, 7
    • 1. Bagaimana hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N sebesar 150 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % ?2. Bagaimana hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % ?3. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi?4. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi?5. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi?6. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi?1.3 Tujuan Perumusan masalah di atas menghasilkan tujuan yang akan dicapai dalamkegiatan praktikum ini, yaitu sebagai berikut,1. Untuk mengetahui hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N sebesar 150 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 %.2. Untuk mengetahui hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan bentuk fisis grafiknya 8
    • serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95%3. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi.4. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi.5. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi.6. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi.1.4 Manfaat Dari kegiatan praktikum ini, manfaat yang dapat diambil adalah sebagaiberikut,1. Mampu memahami pengertian estimasi parameter, estimasi titik, dan estimasi interval.2. Mampu memahami jenis-jenis dari estimasi parameter serta pengertiannya.3. Mampu mengaplikasikan jenis-jenis estimasi pada data yang tersedia.4. Mampu menyajikan suatu data menjadi sebuah informasi yang lebih jelas dan menarik.5. Mampu memahami perbandingan nilai parameter hasil bangkitan data dengan teoritisnya.6. Mampu mengetahui perbandingan bentuk fisis grafik hasil bangkitan data dengan teoritisnya. 9
    • BAB II TINJAUAN PUSTAKA2.1 Estimasi Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimatoruntuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter. Data yang digunakanuntuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagaiestimator (Harinaldi,2005).2.2 Estimasi Parameter Estimasi parameter adalah estimasi yang digunakan untuk menduga suatupopulasi dari sampel. Estimasi digolongkan menjadi dua yaitu estimasi titik (pointestimation) dan estimasi interval (interval estimation).2.2.1 Estimasi Titik (Point Estimation) Sebuah nilai tunggal yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameterdisebut titik estimator, sedangkan proses untuk mengestimasi titik tersebut disebutestimasi titik (Harinaldi,2005).2.2.2 Estimasi Interval (interval estimation) Sebuah estimasi interval dari sebuah parameter  adalah suatu sebarannilai-nilai yang digunakan untuk mengestimasi  . Proses mengestimasi dengansuatu sebaran nilai-nilai ini disebut estimasi interval (Harinaldi,2005). Konsep yang mendasari estimasi interval ini adalah sampel-sampel yangdiambil dari suatu populasi yang akan berdistribusi disekitar µ, dengan deviasistandar sifat dari distribusi sampelnya atau disebut standart eror (Subaris, 2005). Misalnya ˆ merupakan estimator untuk parameter  , sedangkan A dan Badalah nilai-nilai estimator tersebut berdasarkan suatu sampel tertentu, makakoefisien kepercayaannya dinyatakan dengan: P(A <  < B) = 1 – α untuk 0 < α < 1 (2.1)Dimana:interval A <  < B = interval kepercayaan (confidence level) (1-)100%.A dan B = batas-batas kepercayaan. 10
    • (1-α) = Harga probabilitas atau disebut juga sebagai koefisien konfidensi Jadi P(A <  < B) = 1 – α diartikan bahwa kita merasa 100(1 – α)%percaya (yakin) bahwa  terletak di antara A dan B. (Walpole, 1995)2.3 Estimasi Mean Dalam melakukan estimasi terhadap mean populasi dengan menggunakan datayang diperoleh dari sampel terdapat beberapa hal yang terlebih dahulu harusdiperhatikan yaitu : 1. Ukuran sampel (apakah besar n>30 atau kecil n<30) 2. Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau tidak) 3. Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak) 4. Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar estimasi2.3.1 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui Jika X adalah rataan sampel random berukuran n yang diambil dari populasinormal (atau populasi tidak normal dengan ukuran sampel n  30) dengan  2diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:   X  z1    X  z1 (2.1)  n  n 2 2Dimana :X = Harga Statistik Z = deviasi standard 2 n = Parameter Dengan eror standard dari mean sebagai berikut  Jika anggota populasinya tak terhingga (2.2)  Jika anggota populasinya terhingga sejumlah N: (2.3) 11
    • Kesalahan estimasi adalah perbedaan antar harga yang diestimasikandengan harga estimasinya ditentukan oleh  E  Z 2 n (2.4)2.3.2 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui Jika X dan s2 adalah rataan dan variansi dari sampel random berukuran kecil(n < 30) yang diambil dari populasi normal dengan  tak diketahui, maka 2interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh: s s X  t1    X  t1 (2.5)  ; n 1 n  ; n 1 n 2 2Dimana :t v = nilai kritis tyang tergantung pada tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan 2α = 1-tingkat kepercayaan ( sering disebut chance of eror)V = derajat kebebasan (df) = n-12.3.3 Dua Populasi Saat σ12 dan σ22 Diketahui Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata μ1 dan μ2, varians σ12 x1 dan σ22, maka estimasi dari selisih μ1 dan μ2 adalah x2 . Jika X 1 dan X 2 adalah rataan sampel random yang independenberukuran n1 dan n2, yang diambil dari populasi-populasi normal (atau populasitidak normal dengan ukuran sampel n1  30 dan n2  30) dengan  1 dan  2 2 2diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ1 dan µ2 ditentukan oleh  12 2 2  12 2 2 ( X 1  X 2 )  z1   1   2  ( X 1  X 2 )  z 1  (2.6)  n1 n2  n1 n2 2 2Dimana :( X 1  X 2 ) = nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n2 z1 = nilai peubah normal baku z yang luas daerah sebelah kanannya α/2  2 12
    • Dengan Z  x1  x2    1  2    12    22  (2.7)     n1   n2  Z = Peubah acak normal baku( X 1  X 2 ) = nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n22.3.4 Dua Populasi Saat σ12 = σ22 , Tapi σ12 dan σ22 Tidak Diketahui Jika X 1 dan X 2 adalah rataan sampel random yang independen, yangberukuran n1 dan n2 (dengan masing-masing sampel n1 < 30 dan n2 < 30) yangdiambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi sama namun tidakdiketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh: 1 1 1 1 (X 1  X 2 )  t1 sp   1   2  ( X 1  X 2 )  t 1 sp   ; n1  n 2  2 n1 n2  ; n1  n 2  2 n1 n2 (2.8) 2 2Keterangan:( X 1  X 2 ) = nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n2 = Tingkat keyakinanSp = nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasiDengan (n1 1) s12  (n2 1) s2 2 s2  n1  n2  2 pDimana:Sp = nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasiS12 dan S22 = variansi sampel kecil bebas berukuran n1 dan n22.3.5 Dua Populasi Saat  1 dan  2 Tidak Diketahui, Tetapi  1   2 2 2 2 2 Jika X 1 dan X 2 adalah rataan-rataan sampel random yang independen,yang berukuran n1 dan n2 (dengan masing-masing n1 < 30 dan n2 < 30), dengan 2 2variansi-variansi s1 dan s1 , yang diambil dari populasi-populasi normal denganvariansi-variansi yang tidak diketahui dan tidak sama, maka interval konfidensi100(1 – α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh: 13
    • s12 s2 2 s12 s2 2 ( X 1  X 2 )  t1   1   2  ( X 1  X 2 )  t 1  (2.9)  ;v n1 n2  ;v n1 n2 2 2Dimana: = Tingkat keyakinantα/2 = Nilai distribusi-t dengan derajat kebebasan vDengan s12 s2 2 2 (  ) n1 n2 v (2.10)  s 2  2   s 2 2    /(n1  1)   2  /(n2  1)   1    n1     n2     Dimana :v = derajat kebebasan = jumlah data = simpangan baku sampel2.4 Estimasi Proporsi Estimator untuk P adalah . Dengan = (2.11)Dimana :n = banyaknya seluruh elemenx = banyaknya elemen dengan karakteristik tertentu2.4.1 Estimasi Proporsi Satu Populasi ˆ Jika p adalah proporsi sukses pada sampel random yang berukuran besar(n  30), maka interval konfidensi 100(1 – α)% hampiran untuk parameterbinomial p ditentukan oleh: p(1  p) ˆ ˆ p(1  p) ˆ ˆ p  z1 ˆ  p  p  z1 ˆ (2.12)  n  n 2 2Dimana: = proporsi yang berhasil1- = proporsi yang gagaln = jumlah data 14
    • p(1  p ) σ = (2.13) nDimana :σ = simpangan baku populasin = jumlah dataKesalahan Estimasinya x x (1  ) E  Z n n (2.14) 2 n2.4.2 Estimasi Proporsi Dua Populasi ˆ ˆ Jika p1 dan p2 adalah proporsi sukses berturut-turut pada dua sampelrandom berukuran n1  30 dan n2  30, maka interval konfidensi 100(1 – α)%hampiran untuk beda parameter binomial p1 – p2 ditentukan oleh: p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ p (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( p1  p2 )  z 1 ˆ ˆ   p1  p2  ( p1  p2 )  z 1 1 ˆ ˆ  (2.15)  n1 n2  n1 n2 2 2Dimana : = nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α/2. = proporsi yang berhasil1- = proporsi yang gagaln = jumlah data2.5 Estimasi Varians S2 adalah variansi sampel acak dengan ukuran n dari populasi normal yang memiliki selang kepercayaan (1-α)100% untuk variansi σ2.2.5.1 Estimasi Varians Satu Populasi Estimasi selang untuk σ2 diturunkan dengan menggunakan statistik χ2 ( chi-square) dengan derajat bebas db = n-1. Jika s2 adalah suatu variansi suatu sampelrandom dengan ukuran n yang diambil dari populasi normal, maka intervalkonfidensi 100(1 – α)% untuk  2 ditentukan oleh: 15
    • (n  1)s 2 (n  1)s 2  2  (2.16)  2 12 ; n 1 ; n 1 2 2Dimana : dan = nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar α/2 dan 1-α/2.2.5.2 Estimasi Varians Dua Populasi Jika dan adalah variansi-variansi dari sampel-sampel random independendengan ukuran n1 dan n2 yang berasal dari populasi normal dengan varians danmaka interval konfidensi 100(1 – α)% ditentukan oleh 2 s1 1  12 s1 2   2 F (2.17) 2 s2 F  12 s2 2 ;n 2 1, n1 1 ; n1 1, n2 1 2Dimana : = nilai f dengan derajat kebebasan dan sehingga luas di sebelah kanannya α/2 = nilai f yang sama dengan derajat kebebasan dan .S = simpangan baku sampelσ = simpangan baku populasin = jumlah data 16
    • BAB III METODOLOGI PENULISAN3.1 Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari data sekunderr dandata primer. Data sekunder diperoleh dari perhitungan hasil bangkitan data(program minitab) dan perhitungan secara teoritis . Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada: Hari / Tanggal : Rabu/ 23 November 2011 Tempat : ITS Jam : 13.00- selesai. Sedangkan data primer diperoleh dari survei berat badan . Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada: Hari / Tanggal : Rabu/ 24 November 2011 Tempat : Keputih gang III dan di jurusan Statistika Jam : 07.00- selesai.3.2 Variabel Penelitian Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah1. Variabel estimasi mean satu populasi dengan N sebesar 150, n1=15 dan n2=35 dengan tingkat kepercayaan 92% dan 95 %.2. Variabel estimasi mean dua populasi yang dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 yang diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95%3. Variabel estimasi prorporsi satu populasi dengan x=15 n=30 dan α=95%4. Variabel estimasi prorporsi dua populasi dengan x1=30, n1=50, x2=60, n2=75 dan α=95%5. Variabel estimasi varians satu populasi dengan n=30, S2=25 dan α=45% 17
    • 6. Variabel estimasi varians dua populasi n1=31, n2=61, S12=25 dan S22=30 dengan α=98%3.3 Langkah Analisis Langkah analisis yang dilakukan dalam pengamatan antara lain sebagai berikut: - Merumuskan Masalah - Melakukan Percobaan - Melakukan penghitungan data melalui program minitab - Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis) - Membandingkan hasil percobaan dengan teori estimasi parameter - Membuat grafik dan boxplot serta mengintepretasikan - Memberikan kesimpulan dan saran 18
    • 3.4 Diagram Alir Diagram alir menggambarkan alur perjalanan pembuatan laporan ini,mulai dari proses perumusan masalah hingga pemberian kesimpulan dan saran.Diagram alir yang dipakai dalam laporan ini adalah Merumuskan Masalah Melakukan Percobaan Melakukan penghitungan data melalui program minitab Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis) Membandingkan hasil percobaan dengan teori estimasi parameter Membuat grafik serta mengintepretasikan Kesimpulan dan Saran Selesai Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Estimasi Parameter 19
    • BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN4.1 Estimasi Harga Mean untuk Satu Populasi Pada percobaan estimasi harga mean untuk satu populasi, dilakukanperhitungan dari bangkitan data distribusi normal dengan N=150 masing-masingberukuran n1= 15 dan n2=35 dengan pengambilan sampel sebanyak 50 kali daripopulasi. Tabel 4.1 Output Minitab Estimasi Harga Mean Satu Populasi Pada Selang Kepercayaan 92 % Output Minitab Hasil Teoritis Ukuran Batas Batas Batas bawah Batas atas Sampel (n)   bawah atas XZ XZ 2 n 2 n 15 143,459 152,401 143,6715 152,3923 35 145,003 150,857 144,9781 150,8312 Tabel diatas menunjukkan bahwa perbandingan hasil minitab dengan teoriestimasi harga mean pada selang kepercayaan 92% memiliki hasil yang hampirsama atau mendekati, ditunjukkan pula bahwa semakin besar ukuran sampel,semakin besar nilai taksirannya. Tabel 4.2 Output Minitab Estimasi Harga Mean Satu Populasi Pada Selang Kepercayaan 95% Output Minitab Hasil Teoritis Ukuran Batas Batas Batas bawah Batas atas Sampel (n)   bawah atas XZ XZ 2 n 2 n 15 142,925 152,935 143,1483 152,9156 35 144,653 151,207 144,627 151,1824 Tabel diatas menunjukkan bahwa perbandingan hasil minitab dengan teoriestimasi harga mean pada selang kepercayaan 95% memiliki hasil yang hampirsama atau mendekati, ditunjukkan pula bahwa semakin besar ukuran sampel,semakin besar nilai taksirannya. 20
    • 165 BA 92 % 160 155 BB 92 % 150 Populasi rata-rata 145 BA 95 % 140 135 BB 95 % 130 125 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 Gambar 4.1 Nilai Estimasi Harga Mean n=15; Selang Kepercayaan 92% dan 95% Grafik di atas menunjukkan bahwa rata-rata pada populasi n=15 adalah147,93. Batas atas tertinggi dari n=15 pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar158,538. Sedangkan batas bawah terendah dari n=15 pada selang kepercayaan92% yakni sebesar 139,199. Batas atas tertinggi dari n=15 pada selangkepercayaan 95% yakni sebesar 159,075. Sedangkan batas bawah terendah darin=15 pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 138,404. Grafik jugamenunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukanpada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%. 160 BA 92% 155 BB 92% 150 Populasi rata-rata 145 BA 95% 140 BB 95% 135 130 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 Gambar 4.2 Nilai Estimasi Harga Mean n=35; Selang Kepercayaan 92% dan 95% Grafik di atas menunjukkan bahwa rata-rata pada populasi n=35 adalah147,9047. Batas atas tertinggi dari n=35 pada selang kepercayaan 92% yaknisebesar 154,185. Sedangkan batas bawah terendah dari n=35 pada selangkepercayaan 92% yakni sebesar 141,690. Batas atas tertinggi dari n=35 padaselang kepercayaan 95% yakni sebesar 154,573. Sedangkan batas bawah terendahdari n=35 pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 141,284. Grafik juga 21
    • menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukanpada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%. 5 4 3 92% 2 1 95% 0 N=150;n=15 N=150;n=35 Gambar 4.3 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95% Gambar di atas menunjukkan bahwa nilai eror sering ditemui pada selangkepercayaan 92% dibanding selang kepercayaan 95%. Secara teori menyatakanpula bahwa semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin seringditemukan nilai eror.4.2 Estimasi Harga Mean untuk Dua Populasi Pada percobaan estimasi harga mean untuk dua populasi, dilakukanperhitungan dari bangkitan dua data distribusi normal, N1(10;0.0625) danN2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175. Pengambilansampel acak dari data populasi pada N1 dan N2 sebanyak 50 kali yang masing-masing berukuran n1 dan n2: • n1 = 15 dan n2 = 35 • n1= 30 dan n2 = 40 Tabel 4.3 Output Minitab Mean dan Variansi dari Dua Populasi No Populasi (N) Mean Variansi 1. N=150 10,006 0,00456 2. N=175 12,994 0,00430 Selisih Rata-Rata 2,988 Tabel diatas menunjukkan bahwa semakin besar populasi, semakin besarnilai mean. Sebaliknya, semakin besar populasi, semakin kecil nilai variansinya. 22
    • 3.1 BB 92% 3.05 BA 92% 3 2.95 Selisih Rata-Rata 2.9 Dua Populasi BB 95% 2.85 2.8 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 Gambar 4.4 Estimasi Harga Mean Dua Populasi dengan Selang Kepercayaan 92% dan 95% Grafik di atas menunjukkan bahwa selisih rata-rata pada dua populasi adalah2,9919. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar 3,081.Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar2,91. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 3,0827.Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar2,9093. Grafik juga menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebihbanyak ditemukan pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selangkepercayaan 95%. 3.1 BB 92% 3.05 BA 92% 3 Selisih Rata-Rata 2.95 Dua Populasi 2.9 BB 95% 2.85 1 4 7 1013161922252831343740434649Gambar 4.5 Estimasi Harga Mean Dua Populasi N=150 n=30; N=175 n=40; SelangKepercayaan 92% dan 95% Grafik di atas menunjukkan bahwa selisih rata-rata pada dua populasi adalah2,9913. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar 3,04.Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar2,93. Batas atas tertinggi terletak pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar3,0580. Sedangkan batas bawah terendah terletak pada selang kepercayaan 95%yakni sebesar 2,9202. Grafik juga menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui 23
    • batas) lebih banyak ditemukan pada selang kepercayaan 92% dibandingkan padaselang kepercayaan 95%. 10 8 6 92% 4 2 95% 0 N=150 n=15; N=175 n=35 N=150 n=30; N=175 n=40 Gambar 4.6 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95% Gambar di atas menunjukkan bahwa nilai eror sering ditemui pada selangkepercayaan 92% dibanding selang kepercayaan 95%. Secara teori menyatakanpula bahwa semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin seringditemukan nilai eror.4.3 Estimasi Harga Proporsi Satu Populasi Pada percobaan estimasi parameter harga proporsi satu populasi, dilakukanperhitungan data dengan x=15 n=30 dan α=95% maka dapat diketahui bahwa Tabel 4.4 Nilai dan Selang Interval Proporsi untuk x=15 dan n=30 untuk α=95% Hasil Teoritis Output minitab p(1  p) ˆ ˆ p(1  p) ˆ ˆ p  z1 ˆ  p  p  z1 ˆ  n  n 2 2 Batas Bawah 0,312970 0,3628 Batas Atas 0,687030 0,6372 Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah0,312970 dan batas atasnya adalah 0,687030 sedangkan batas bawah hasil darimanual (teoritis) adalah 0,3628 dan batas atasnya adalah 0,6372. Dari hasil diatasmenunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manualmemiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukansecara teori. ˆ p = 15/30 = 0,5; ˆ 1- p = 0,5; z 0, 025 1 96 , 24
    • p(1  p) ˆ ˆ (0,5)(0,5)   0,07 n 50 Sehingga, p(1  p) ˆ ˆ p(1  p) ˆ ˆ p  z1 ˆ  p  p  z1 ˆ  n  n 2 2 0,5  (1,96)(0,07)  p  0,5 (1,96)(0,07)  0,3628 p  0,6372 4.4 Estimasi Harga Proporsi Dua Populasi Pada percobaan estimasi parameter harga proporsi dua populasi, dilakukanperhitungan data dengan n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 dan α=95% maka dapatdiketahui bahwaTabel 4.5 Nilai Interval untuk Proporsi Dua Populasi n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 untuk α=95% Hasil Teoritis Output p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ minitab ( p1  p2 )  z 1 ˆ ˆ  n1  n2  p1  p2  ( p1  p2 )  z 1 ˆ ˆ  n1  n2 2 2 Batas -0.363200 -0,3568 Bawah Batas Atas -0.0368004 -0,0432 Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah -0,363200 dan batas atasnya adalah -0,0368004 sedangkan batas bawah hasil darimanual (teoritis) adalah -0,3568 dan batas atasnya adalah -0,0432. Dari hasildiatas menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupunmanual memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yangdilakukan secara teori. ˆ p1 = 30/50 = 0,6; ˆ p2 = 60/75= 0,8; p1  p2   0,2; ˆ ˆ z0,025 1,96 p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ (0,6)(0,4) (0,8)(0,2)     0,08 n1 n2 50 75 Sehingga, 25
    • p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ p (1  p1 ) p2 (1  p2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( p1  p2 )  z 1 ˆ ˆ   p1  p2  ( p1  p2 )  z 1 1 ˆ ˆ   n1 n2  n1 n2 2 2  0,2  (1,96)(0,08)  p1  p2   0,2  (1,96)(0,08)   0,3568  p1  p2   0,04324.5 Estimasi Harga Varians Satu Populasi Pada percobaan estimasi parameter harga varians satu populasi, dilakukan 2perhitungan data dengan n=30 , α=95% dan s =25 maka didapatkan hasil bahwa Tabel 4.6 Nilai Interval untuk Varians Satu Populasi n=30 ; s 2 =25 untuk α=95% Hasil Teoritis Output minitab (n  1)s 2 (n  1)s 2  2   2  12 ;n1 ;n1 2 2 Batas Bawah 15,9 15,856 Batas Atas 45,2 45,179 Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah15,9 dan batas atasnya adalah 45,2 sedangkan batas bawah hasil dari manual(teoritis) adalah 15,856 dan batas atasnya adalah 45,179. Dari hasil diatasmenunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manualmemiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukansecara teori.  2 = 0,025;29 = 45,722 2 ;n 1 2  12 = 0,975;29 =16,047 2 ;n 1 2 Sehingga, (n  1)s 2 (n  1)s 2  2  2  12 ;n1 ;n1 2 2 29(25) 29(25)  2  45,722 16,047 26
    • 45,722 2 16,0474.6 Estimasi Harga Varians Dua Populasi Pada percobaan estimasi parameter harga varians dua populasi, dilakukan 2 2perhitungan data dengan n1=31 n2=61 dan α=98% s1 =25 s2 =35 makadidapatkan hasil bahwa Tabel 4.7 Nilai Interval Varians Dua Populasi n1=31 n2=61 dan α=98% s12 =25 s12 s 2 2 =35 Hasil Teoritis Output minitab s12 1  12 s12   2F 2 s2 F  12 s2  ;n 1,n 1 2 2 1 ;n1 1,n2 1 2 Batas Bawah 0,352 0,35 Batas Atas 1,577 1,57 Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah0,352 dan batas atasnya adalah 1,577 sedangkan batas bawah hasil dari manual(teoritis) adalah 0,35 dan batas atasnya adalah 1,57. Dari hasil diatasmenunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manualmemiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukansecara teori. F = F0,01; 30,60  2,03 ;n1 1, n2 1 2 F = F0,01; 60,30  2,21 ;n2 1, n1 1 2 Sehingga, 2 s1 1 12 s2   1 F 2 s2 F 1 2 2 s 2 2 ;n 2 1, n1 1 ;n1 1, n2 1 2 25 1 12 25   2,21 35 2,03 1 2 35  12 0,35  1,57  12 27
    • BAB V KESIMPULAN DAN SARAN5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil percobaan tentang estimasi parameter didapatkan hasilbahwa : 1. Hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N sebesar 150 serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % adalah semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering ditemukan nilai eror. 2. Hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % adalah semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering ditemukan nilai eror. 3. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi dengan x=15 n=30 dan α=95% memiliki hasil yang hampir sama. 4. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi dengan n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 dan α=95% memiliki hasil yang hampir sama. 5. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi dengan n=30 , α=95% 2 dan s =25 memiliki hasil yang hampir sama. 6. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi dengan n1=31 n2=61 dan 2 2 α=98% s1 =25 s2 =35 memiliki hasil yang hampir sama. 28
    • 5.2 Saran Kegiatan praktikum tentang estimasi parameter hendaknya dapat dilakukandengan lebih cermat. Melakukan penghitungan dengan berbagai macam jenisdistribusi melalui percobaan yang dilakukan secara manual dibutuhkan kesabaranuntuk mendapatkan data. 29
    • DAFTAR PUSTAKAWibisono Yusuf. 2009. Metode Statistik. Yogyakarta:Gadjah Mada University PressWalpole Ronald.1995. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia Pustka UtamaSubaris Heru.2005. Aplikasi Statistika.Yogyakarta :Media PressindoHarinaldi.2005. Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains,Jakarta:Erlangga 30