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XOMPERO Roberta - A scuola con il tangram
 

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Una bellissima pubblicazione

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    XOMPERO Roberta - A scuola con il tangram XOMPERO Roberta - A scuola con il tangram Document Transcript

    • SOMMARIOPREFAZIONE DI GIOVANNI LARICCIA ....................................................................................... 51. LA MATEMATICA NELLE INDICAZIONI PER IL CURRICOLO ............................................. 10 1.1. L’insegnamento della matematica .......................................................................... 11 1.1.1. Il laboratorio matematico .......................................................................................... 11 1.1.2. La risoluzione dei problemi ........................................................................................ 12 1.1.3. Il gruppo di apprendimento ....................................................................................... 13 1.1.4. La riflessione sul percorso seguito ............................................................................. 14 1.1.5. La costruzione del pensiero matematico ................................................................... 16 1.2. Gli obiettivi di apprendimento ................................................................................ 172. PROBLEM SOLVING, METACOGNIZIONE, RAPPRESENTAZIONE DELLE CONOSCENZE ... 21 2.1. Il concetto di problema ........................................................................................... 21 2.1.1. Il valore formativo della risoluzione di problemi ....................................................... 23 La parola ai bambini ............................................................................................................. 23 I documenti ministeriali ....................................................................................................... 24 Problemi a scuola ................................................................................................................. 25 2.1.2. Problemi: elementi costitutivi .................................................................................... 26 La formulazione del problema ............................................................................................. 27 Il contesto ............................................................................................................................ 27 Le soluzioni di un problema ................................................................................................. 28 I metodi di approccio ........................................................................................................... 28 2.2. Metacognizione e matematica ................................................................................ 29 2.2.1. Atteggiamento metacognitivo e apprendimento matematico: il ruolo di credenze e convinzioni................................................................................................................... 29 1.2.2. Processi di controllo metacognitivo ........................................................................... 31 Il ruolo del linguaggio ........................................................................................................... 32 2.3. Problem solving e metacognizione.......................................................................... 33 2.3.1. Problem solving.......................................................................................................... 34 2.3.2. Problem solving a scuola ............................................................................................ 34 2.3.3. Decisioni tattiche ....................................................................................................... 35 Le abilità di comprensione ................................................................................................... 37 Le abilità di rappresentazione .............................................................................................. 38 Le abilità di categorizzazione ............................................................................................... 38 Le abilità di pianificazione .................................................................................................... 39 Lo sviluppo del piano e le abilità di monitoraggio ............................................................... 39 La valutazione finale ............................................................................................................ 40 2.3.4. Decisioni strategiche .................................................................................................. 41 Problematizzazione .............................................................................................................. 42 Comprensione e definizione del problema-compito ........................................................... 42 Collegamento con compiti simili .......................................................................................... 43 Attivazione delle conoscenze precedenti coinvolte in quel tipo di compito ....................... 43 Integrazione delle varie informazioni provenienti da fonti diverse ..................................... 43 Raccolta e valutazione dei feedback .................................................................................... 44 Definizione del livello di performance atteso. Valutazione della distanza della soluzione. Valutazione dei risultati finali. ..................................................................................... 44 2.3.5. Conclusioni ................................................................................................................. 45 2.4. Conoscenza e rappresentazioni............................................................................... 47 2.4.1. La conoscenza ............................................................................................................ 47 Pagina 1 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram 2.4.2. Le rappresentazioni.................................................................................................... 49 2.4.3. Proprietà delle rappresentazioni ............................................................................... 49 2.4.4. Le mappe.................................................................................................................... 49 Le mappe ............................................................................................................................. 50 2.5. Le mappe concettuali .............................................................................................. 51 2.5.1. Fondamenti psicologici delle mappe concettuali....................................................... 51 2.5.2. L’apprendimento significativo ................................................................................... 54 2.5.3. Nascita e sviluppo delle mappe concettuali .............................................................. 55 2.5.4. Le mappe concettuali e la loro funzione .................................................................... 56 2.5.5. Le mappe concettuali. Elementi fondamentali .......................................................... 57 Le parole-concetto ............................................................................................................... 58 I collegamenti....................................................................................................................... 58 Le parole-legame ................................................................................................................. 60 2.5.6. Metodi di realizzazione .............................................................................................. 60 Foglio di carta molto grande e oggetti concreti ................................................................... 60 Lavagna e gesso ................................................................................................................... 61 Post-it ................................................................................................................................... 61 Pc e software idonei............................................................................................................. 61 Concept Map Tools© ........................................................................................................... 623. LA GEOMETRIA A SCUOLA .............................................................................................. 64 3.1. Imparare la geometria ............................................................................................. 64 3.1.1. Conoscere per immagini mentali ............................................................................... 64 3.1.2. Insegnare Geometria ................................................................................................. 66 Uno sguardo alla tradizione ................................................................................................. 66 I Livelli di pensiero geometrico ............................................................................................ 67 3.1.3. Difficoltà nell’apprendimento della geometria .......................................................... 70 Il contratto didattico ............................................................................................................ 70 Eccesso di rappresentazioni semiotiche .............................................................................. 72 Immagini e modelli formatisi troppo presto ........................................................................ 72 Conflitti e misconcezioni ...................................................................................................... 73 Stili cognitivi ................................................................................................................... 74 Ostacoli ........................................................................................................................... 74 Mancanza di situazioni adidattiche ..................................................................................... 75 3.1.4. Una proposta ............................................................................................................. 764. IL TANGRAM ................................................................................................................... 77 4.1. Un oggetto misterioso ............................................................................................. 77 4.1.1. Proviamo ad immaginare un puzzle ........................................................................... 77 4.1.2. Un puzzle un po’ speciale ........................................................................................... 77 4.2. Fra storia e leggenda ............................................................................................... 79 4.2.1. Narra la leggenda ....................................................................................................... 79 4.2.2. La storia del tangram ................................................................................................. 80 4.3. Le regole del gioco................................................................................................... 83 4.4. Un gioco a scuola..................................................................................................... 835. LA GEOMETRIA CON IL TANGRAM ................................................................................. 85 5.1. Un percorso in 5 mosse ........................................................................................... 85 5.1.1. Prima mossa: Inquiry.................................................................................................. 86 Per incominciare .................................................................................................................. 86 Cominciano il gioco e l’apprendimento ............................................................................... 88 5.1.2. Seconda mossa: Direct orientation ............................................................................ 88 5.1.3. Terza mossa: Explicitation .......................................................................................... 89 5.1.4. Quarta mossa: Free orientation ................................................................................. 91 Pagina 2 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram 5.1.5. Quinta mossa: Integration ......................................................................................... 92 5.2. Problemi con il tangram .......................................................................................... 92 5.3. Il nostro progetto .................................................................................................... 94 5.3.1. Metodo e scopo del lavoro ........................................................................................ 94 5.3.2. Il gruppo di osservazione ........................................................................................... 95 5.3.3. Fase progettuale: avvio dell’attività ........................................................................... 96 5.4. Problemi di tangram sull’area ................................................................................. 97 5.4.1. Equiestensione ........................................................................................................... 97 Fase 1 ................................................................................................................................... 97 Fase 2 ................................................................................................................................... 98 5.4.2. Relazioni fra le superfici occupate dai pezzi del tangram .......................................... 98 Fase 1 ................................................................................................................................... 99 Fase 2 ................................................................................................................................... 996. LA FASE OPERATIVA ..................................................................................................... 101 6.1. Primo approccio al tangram .................................................................................. 101 6.2. Analisi dei pezzi del tangram ................................................................................ 103 6.2.1. Conflitto cognitivo sul triangolo isoscele ................................................................. 104 6.2.2. Lessico: parallelismo dei lati .................................................................................... 106 6.2.3. Immagini e modelli troppo presto formatisi. Uso di figure stereotipate ................. 106 6.2.4. Il ricorso all’esperienza concreta ............................................................................. 107 6.3. I problemi di tangram: superficie.......................................................................... 109 6.3.1. Superficie o area? Un problema di termini .............................................................. 109 6.3.2. Il lavoro comune ...................................................................................................... 110 6.3.3. Lavoro individuale 1 - E. ........................................................................................... 112 6.3.4. Lavoro individuale 1 - P. ........................................................................................... 115 6.4. I problemi di tangram: relazioni fra superfici........................................................ 118 6.4.1. Il lavoro comune ...................................................................................................... 119 6.4.2. Lavoro individuale 2 - E. ........................................................................................... 119 6.4.3. Lavoro individuale 2 - P. ........................................................................................... 123 6.5. Fase riflessiva......................................................................................................... 126 6.5.1. La verbalizzazione dei processi di pensiero ............................................................. 126 6.5.2. Il contesto adidattico ............................................................................................... 127 6.5.3. Il lavoro di gruppo e l’approccio ludico .................................................................... 128 6.5.4. L’utilizzo del tangram............................................................................................... 129 6.5.5. I protocolli di osservazione ...................................................................................... 129 6.6. Conclusioni ............................................................................................................ 1327. I PROTOCOLLI OSSERVATIVI ......................................................................................... 136 Primo approccio al tangram......................................................................................... 136 Analisi dei pezzi del tangram ....................................................................................... 139 I problemi di tangram .................................................................................................. 142 1. Problema di equiestensione .......................................................................................... 142 Fase 1 ................................................................................................................................. 143 Fase 2 ................................................................................................................................. 144 Protocollo di osservazione E. ....................................................................................... 145 Protocollo di osservazione P. ....................................................................................... 147 2. Problema di relazioni fra i pezzi del tangram........................................................... 149 Fase 1 ................................................................................................................................. 150 Fase 2............................................................................................................................ 151 Protocollo di osservazione E. ....................................................................................... 151 Protocollo di osservazione P. ....................................................................................... 153 Pagina 3 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram8. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 1569. DOCUMENTI MINISTERIALI .......................................................................................... 16510. SITOGRAFIA .................................................................................................................. 166ROBERTA XOMPERO ............................................................................................................ 167 Pagina 4 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramPREFAZIONE DI GIOVANNI LARICCIAQuesto lavoro, il sesto volume della collana di “Informatica della mente,didattica della matematica e metacognizione”, rappresenta ad un tempo siaun prodotto di altissima qualità, dovuto al lavoro rigoroso, approfondito e diampio respiro dell’autrice, la dottoressa Roberta Xompero1; sia un’ulterioreconferma della validità delle idee che sono alla base della nostra collana.Cerchiamo di riassumere alcune di queste idee, quelle fondamentali,accostandole ai risultati che emergono da questo lavoro.L’idea principale da cui ha origine la collana è che non si può insegnare lamatematica calandola dall’alto, in modo direttivo, ma se ne può e se ne devepromuovere l’apprendimento attraverso il gioco e l’attività di scoperta e disoluzione di problemi. Questo perché le ricerche più recenti sembranoprovare che tutti gli esseri umani nascono con un “pallino dellamatematica”2, ovvero con alcune capacità matematiche innate e con unanaturale predisposizione ad ampliarle attraverso l’esperienza e la riflessionesu di essa. Questo “assioma” a partire dagli anni sessanta3 è stato associatoad un antico detto cinese che recita “Se ascolto dimentico, se vedo ricordo,se faccio, capisco”.La seconda idea guida è presa direttamente dal matematico ed epistemologoSeymour Papert4, seguace di Jean Piaget e fondatore con Minsky del Mit AI1 Roberta Xompero insegna attualmente in una scuola primaria in provincia di Varese: nepotete trovare una breve biografia alla fine di questo libro.2 Si veda in proposito il bellissimo libro di Stanislas Dehaene [DEHAENE, 2000].3 Negli anni ’60 viene avviato in Gran Bretagna un progetto di rinnovamentodell’insegnamento della matematica nella scuola primaria intitolato “Se faccio, capisco”.4 Si veda il Memo del Laboratorio di Intelligenza Artificiale del Massachusetts Institute ofTechnology (MIT AI Lab Memo) riportato in bibliografia generale come [PAPERT, 1971] esintetizzato a pagina 185 e seguenti del volume di G. LARICCIA, Informatica della mente,appena pubblicato in questa collana. Pagina 5 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramLab. Papert sostiene che l’attività mentale soggiacente all’apprendimento perscoperta della matematica da parte dei bambini può essere vista comeomogenea all’attività mentale degli scienziati e, in particolare, deimatematici. I bambini che imparano la matematica, in altre parole, sicomportano come dei piccoli matematici, se appena concediamo loroqualche possibilità di esplorare determinati spazi di esperienza e diconoscenza. L’attività di scoperta svolta dai bambini secondo Papert (che inquesto riprende e porta avanti le idee di Piaget) procederebbe percongetture, conferme e smentite attraverso una serie di raffinamentisuccessivi, passando attraverso errori che possono essere interpretati come“teorie imperfette”.Partendo da questo “assioma”, ulteriormente raffinato dagli scienziati dellacognizione infantile, ha un senso chiedere ai bambini di esprimere ad altavoce quello che pensano durante l’esecuzione di un compito. Perchél’osservazione abbia un senso i bambini devono essere guidati da unintervistatore esperto. Attraverso questo dialogo è possibile osservare neibambini dei comportamenti per cui possiamo considerarli dei piccolimatematici. La trascrizione del dialogo tra bambini ed intervistatore devesuccessivamente essere effettuata in modo rigoroso e preciso. A questatrascrizione5 si possono quindi aggiungere delle immagini, per consentire allettore di visualizzare più facilmente i progressi fatti dai bambini nello spaziodel problema. Ancora più sofisticata, ma assai più problematica e costosapotrebbe essere una ripresa video, che richiederebbe tuttavia accorgimenti etecnologie più avanzate, normalmente non accessibili al singolo insegnante –ricercatore.5 A questa trascrizione, eseguita secondo un certo insieme di regole, si fa riferimento disolito con il termine di protocollo dell’osservazione. Pagina 6 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramDall’analisi dei protocolli, poi, è possibile ricavare delle vere e proprie teoriesul comportamento intelligente dei bambini, i quali scoprono la matematicainsita in un certo dominio di conoscenze, anche di tipo ludico, come èavvenuto nel nostro caso.Se, dopo avere letto i capitoli introduttivi, provate a leggere i protocolli deidialoghi tra l’autrice e le sue piccole “cavie”, riportati integralmente nelcapitolo 7 di questo libro, potrete avere l’impressione di assistere alleconversazioni come se foste proprio lì, davanti al gruppo di lavoro, con lapossibilità di osservare senza essere osservati.Questo materiale, preziosissimo, potrebbe anche dare luogo, in futuro, ariletture ed approfondimenti, per mettere in luce aspetti sin qui inesplorati.Terza considerazione. Scelto uno spazio ludico, come quello fornito dal giocodel tangram (che presenta un numero virtualmente infinito di possibilicompiti, di tipo sia creativo che problematico), si possono rappresentare lecompetenze richieste ed il comportamento dei bambini in un unico spaziocognitivo, nel cui ambito operano (si muovono) sia il bambino chel’intervistatore. Tale spazio può essere rappresentato mediante delle mappeconcettuali, semplici ma efficaci.A tale scopo, l’autrice ha utilizzato l’applicazione CmapTools, disponibilegratuitamente e largamente diffusa anche nelle scuole italiane, dimostrandocome essa sia strumento adeguato per la rappresentazione delle conoscenzedei bambini durante la risoluzione di problemi.Quarta ed ultima considerazione. L’analisi dei protocolli consente di vederel’attività mentale dei bambini in modo assai più ricco e dettagliato:l’insegnante può infatti rendersi conto di avere davanti a sé delle mentidotate di capacità insospettate e quindi può guidare il loro percorso discoperta in modo assai meno direttivo di quanto non faccia solitamentementre svolge il normale curricolo scolastico. Da quanto emerge dall’analisi Pagina 7 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramdei protocolli fatta dall’autrice, inoltre, le regole ed i principi matematici che ibambini sono in grado di ricavare dalla risoluzione dei problemi, rimangonopiù impressi nella loro mente se l’apprendimento viene guidato dallascoperta. E i bambini sono in una certa misura consapevoli di quello cheaccade nella loro mente, del fatto che stanno facendo i matematici, tantoche, sulla base di questa esperienza, sono disponibili a rivedere in sensopositivo il loro rapporto con la matematica. Attratti così dal fascino dellascoperta, una volta sperimentato il potere di attrazione legato alla soluzionedei problemi matematici, i bambini possono essere così indotti a rivedere ilproprio giudizio sulle attività ordinarie del curriculum scolastico, anch’essepotenzialmente ricche di significati e di sorprese, ma troppo spessoconsiderate come attività dotate di regole severe e stringenti.Riassumiamo il percorso sviluppato nel libro.Nel capitolo 1 viene fatta un’analisi approfondita del ruolo della matematicanelle Indicazioni per il Curricolo. Nel capitolo 2 viene presentato un rapidoexcursus sulle teorie riguardanti la rappresentazione delle conoscenze, ilpunto più alto raggiunto dalla scienza cognitiva per la didattica. Il capitolo 3parla di alcune recenti teorie, dovute a Van Hiele, sull’apprendimento el’insegnamento della geometria nella scuola.La seconda parte del lavoro, dal capitolo 4 in poi, rappresenta una fullimmersion nella varietà di situazioni didattiche che si offrono agli insegnantipartendo dal gioco del tangram e si conclude con l’analisi dei protocolli didue bambine che dialogano con l’autrice nella veste di intervistatrice.Non possiamo, certo, aspettarci che un insegnante in servizio possafrequentemente dedicare tante energie a questo tipo di analisi. La solapossibilità, però, che alcune persone, a conclusione di un corso di laurea perfuturi maestri, siano in grado di produrre questo tipo di risultati, ci rendeottimisti sul futuro della nostra classe insegnante e, quindi, della nostra Pagina 8 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramscuola.Ci auguriamo che anche le famiglie vengano attratte da queste esperienzecon i giochi matematici creativi anche grazie alle nuove tecnologie. Le quali,come noto, consentono ormai di ricreare i relativi spazi cognitivi sotto formadi programmi di edutainment6 fruibili direttamente nelle case dei nostribambini. In questo modo, forse, si potrà avviare, anche nel nostro paese, unprocesso di riconciliazione con la matematica e di maggiore diffusione dellecompetenze matematiche stesse.6 La parola edutainment nel mercato del software in lingua inglese indica un acronimo chenasce dalla unione delle parole education (educazione, insegnamento) ed entertainment(divertimento). Rientrano nella categoria edutainment quei programmi, soprattutto giochi,le cui finalità si collocano a metà strada tra l’ educazione (apprendimento) e il divertimento. Pagina 9 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram1. LA MATEMATICA NELLE INDICAZIONI PER IL CURRICOLOPer comprendere meglio lo scopo finale del nostro lavoro conviene partiredalla lettura di ciò che le Indicazioni per il curricolo, il documento ministerialepresentato nel settembre 2007 dall’allora Ministro della Pubblica Istruzione,Giuseppe Fioroni, cui gli insegnanti sono tenuti a fare riferimento nella loroazione didattica, dicono a proposito dell’insegnamento della matematica edel suo ruolo all’interno del curricolo del singolo alunno. *…+ la matematica ha uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità generale di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per rappresentare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; inoltre contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.Il bambino si pone in relazione con oggetti ed eventi. Proprio per questomotivo, gli obiettivi di apprendimento proposti all’interno delle Indicazionisono indicati con nomi indicanti oggetti concreti: - Numeri - Spazio e figure - Relazioni, misure, dati e previsioni.Egli si rapporta agli oggetti e agli eventi del mondo, che cerca di descrivereattraverso l’uso di un linguaggio formalizzato, idoneo non solo per farsicomprendere, ma per renderlo in grado di argomentare in modo corretto e dicapire i punti di vista degli altri interlocutori.Solo questo processo di scambio con il mondo circostante (fatto in questo Pagina 10 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramcaso sì di oggetti ed eventi, ma anche di persone) consente all’alunno diacquisire consapevolezza e capacità critica e di giudizio.1.1. L’insegnamento della matematica1.1.1. Il laboratorio matematicoPer realizzare un insegnamento efficace, pare anzitutto necessaria lacostruzione di un laboratorio matematico, che definiamo riportando le paroledi Bruno D’Amore: Che cos’è un laboratorio di matematica? Cercherò di definirlo parola per parola: Laboratorio = è un ambiente dove si costruiscono oggetti, si lavora concretamente, si ottiene qualche “cosa”; soprattutto è caratteristica del laboratorio una certa qual pratica inventiva; nel laboratorio deve essere viva una tensione verso l’ideazione, la progettazione, la realizzazione di qualche cosa di non ripetitivo né banale; di matematica = perché l’oggetto concreto, risultato finale della realizzazione è di contenuto matematico. Dunque, il laboratorio di matematica è un luogo nel quale si costruisce qualche cosa di concreto che ha a che fare con la matematica7.Dove si può dunque costruire qualcosa di concreto, se non laddove vi è unaopportunità di confronto con i pari (e quindi di discussione) e un ambientesignificativo?Il laboratorio matematico prevede che il soggetto apprenda con un fareattivo, dove il suo fare corrisponde alla risposta a bisogni, curiosità, domandeed interrogativi: l’azione è finalizzata ad una conoscenza, ad unapprendimento/prodotto e si esplica in un’attività di azione che si fa ricerca,in un rimodellamento costante del proprio sentire.7 B. D’AMORE, I. MARAZZANI, Laboratorio di matematica nella scuola primaria. Attività percreare competenze, Pitagora, Bologna 2005, 1-10. Pagina 11 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram1.1.2. La risoluzione dei problemiSin dall’inizio della scuola primaria, è opportuno sviluppare i concettimatematici in attività didattiche significative, in cui l’alunno possa essereattivamente coinvolto e quindi motivato ad affrontare e a risolvere problemi.Un’attività didattica viene considerata significativa nel momento in cuiconsente l’introduzione motivata di strumenti culturali della matematica perstudiare oggetti ed eventi attraverso un approccio quantitativo, secontribuisce alla costruzione dei loro significati e se dà senso al lavororiflessivo su di essi.Ecco, allora, perché il ruolo dei problemi viene considerato cruciale nellapratica della matematica: essi vengono considerati come questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana.I problemi sono quindi “pezzi di mondo” da comprendere: scegliere comecomportarsi in situazioni problematiche sembra essere un veicolo eccellenteper la formazione di concetti.Nella pratica, il bambino che si trova ad affrontare un problema deve: - individuare (da situazioni concrete note all’allievo o proposte dall’insegnante) gli elementi essenziali del problema; - selezionare le informazioni utili per prospettare una possibile risoluzione del problema; - individuare le informazioni necessarie per raggiungere un obiettivo in una situazione problematica (a partire dai dati forniti dal testo o dal contesto); - individuare dati mancanti o sovrabbondanti o contraddittori; - essere consapevole dell’obiettivo da raggiungere in una situazione problematica, del processo risolutivo seguito controllando le soluzioni prodotte; - riflettere sul procedimento seguito e confrontarsi con altre possibili soluzioni; Pagina 12 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram - formalizzare il procedimento risolutivo seguito; - stabilire la possibilità di applicare i procedimenti utilizzati anche in altre situazioni.Nell’ambito di porsi e risolvere problemi, l’errore cessa di avere valenzanegativa, poiché, grazie anche al lavoro cooperativo ed al confronto con icompagni, acquisisce la sostanza di strumento concettuale atto almiglioramento, strategico e di calcolo, delle capacità risolutive dell’alunno.L’insegnante svolge la funzione di mediatore, consentendo all’alunno diconfrontarsi con sempre nuove e significative situazioni problematiche diapprendimento.1.1.3. Il gruppo di apprendimentoAbbiamo già avuto modo di affermare che la classe è gruppo diapprendimento, e lo è perché è la società che l’ha stabilita in questo modo.È anche vero però che, quando parliamo di classe, ci riferiamo ad unorganismo complesso all’interno del quale si intrecciano e influenzanoreciprocamente la struttura istituzionale e quella sub-istituzionale, lerelazioni fra i compagni, quelle fra il gruppo e l’insegnante, le regole e i ruoli8.Il gruppo di apprendimento, che può essere sia l’intera classe che isottogruppi in cui essa viene suddivisa, utilizza il suo capitale di relazioni percostruire conoscenze e quindi contribuire alla crescita culturale e personaledei singoli membri del gruppo (in questa definizione è evidente il rapporto diinterdipendenza fra livello affettivo-relazionale e quello cognitivo delfunzionamento del gruppo).Compito dell’insegnante è gestire e organizzare la vita del gruppo, affinchénon si verifichino deviazioni di tipo economicista o, all’opposto, fusionale,8 S. C. NEGRI, Il lavoro di gruppo nella didattica, Carocci, Torino 2007. Pagina 13 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrammantenendo in equilibrio gli aspetti cognitivo e affettivo-relazionale in mododa creare una vera comunità di apprendimento.Se l’apprendimento è negoziazione di significati culturali e se il mediatore pereccellenza di tale processo è il linguaggio9, l’apprendimento ha perciòcarattere eminentemente sociale, che si crea grazie all’incessantenegoziazione di significati culturali, cioè di conoscenze e pratiche condivisecon il gruppo di appartenenza. Si impara, quindi, attraverso il lavoro comune,che porta alla comunicazione e all’utilizzo sempre più consapevole dellinguaggio.1.1.4. La riflessione sul percorso seguitoLa guida dell’insegnante e lo scambio con i pari favoriscono, a lungo termine,la capacità, per il bambino, di affrontare con fiducia situazioni-problema,rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune earrivando a congetturare varie possibili soluzioni.Questo processo potrebbe portare il bambino stesso ad avere, fin dai primianni della scuola primaria, un controllo sul processo risolutivo e a confrontarei risultati con gli obiettivi, nella consapevolezza che non ci sono procedimentirisolutivi validi in assoluto, ma solo in relazione ad alcune specifichecircostanze e che, quindi, l’errore (un processo risolutivo più o meno vicinoalla reale soluzione del problema) può essere considerato una conquista.L’insegnante ha quindi il compito di favorire nell’alunno la capacità di esporree discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti, interagendo9 Come spiega Pontecorvo, il linguaggio è un modo per mettere ordine in pensieri,percezioni e azioni che riguardano la realtà; è uno strumento di comunicazione etransazione con gli altri (C. PONTECORVO, La condivisione della conoscenza, La Nuova Italia,Firenze 1993, 5). Pagina 14 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramin prima persona con l’alunno stesso attraverso una continua indaginerelativa alla motivazione di una risposta data, alla scelta di un particolarepercorso, a cosa succede al percorso risolutivo nel caso vengano alteratiparzialmente i dati o nel caso venga tolta o aggiunta una delle ipotesi.Questo perché l’interazione sociale consente al bambino di conoscere lapropria mente e il suo funzionamento attraverso la conoscenza della mentedell’altro10: l’osservazione di strategie e la condivisione di credenze su comefunziona la mente, ha mostrato di orientare i comportamenti dei bambini.Conoscere la propria mente, attraverso la conoscenza della mente dell’altro,porta alla costruzione di ulteriore conoscenza, sia generale, siametacognitiva.A tal proposito, Cornoldi, parlando di metacognizione, propone unadistinzione fra conoscenza metacognitiva e processi metacognitivi dicontrollo.Con la prima, conoscenza metacognitiva , indica le rappresentazioni checiascuno di noi elabora in relazione al funzionamento cognitivo; invece iprocessi metacognitivi di controllo prevedono, accompagnano, pianificano emonitorano il comportamento umano11.In relazione a quanto affermato poco sopra, possiamo ritenere che, grazie alcostante confronto con gli altri, i bambini hanno la possibilità di sviluppareentrambi gli aspetti cui lui fa riferimento.Il lavoro di metacognizione condotto dallo studente (in maniera autonoma ograzie alla guida dell’insegnante), lo porterà a raggiungere quella capacità diimparare ad apprendere che fungerà per lui da guida in tutti gliapprendimenti successivi.10 NEGRI, Il lavoro di gruppo nella didattica, 66-69.11 C. CORNOLDI, Metacognizione e apprendimento, Il Mulino, Bologna 1995 (capitolo 1). Pagina 15 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram1.1.5. La costruzione del pensiero matematicoFin dai suoi primi giorni di vita, il bambino si trova a dover affrontaresituazioni problematiche e fin dai primi giorni egli mostra “competenzematematiche”12 che in seguito sviluppa e approfondisce ciclicamente e condiverso spessore nel corso del tempo: La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese.Rifacendoci a Gallo-Vezzani: Ogni teoria matematica, così come ogni gioco, si basa su uno specifico sistema di regole. *…+ La presa di coscienza delle regole è graduale *…+. Le regole sono capite riprendendole più volte, in modo da eliminare fraintendimenti o interpretazioni errate. *…+ Le regole della matematica prendono senso progressivamente, usandole: comparandole, sperimentandole con problemi, esempi, controesempi, applicandole a situazioni diverse e valutandone le conseguenze13.È per questo motivo che i traguardi per lo sviluppo della competenza altermine della scuola secondaria di primo grado sono presentati comeun’evoluzione di quelli per la quinta classe della scuola primaria (eccone dueesempi). Traguardi per lo sviluppo della competenza Al termine della classe quinta Al termine della classe terza della scuola primaria della scuola secondaria di primo grado L’alunno sviluppa un L’alunno ha rafforzato un12 K. DEVLIN, L’istinto matematico, Raffaello Cortina Editore, Milano 2007, 1-11; D. LUCANGELI, S.POLI, A. MOLIN, L’intelligenza numerica 2, Erickson, Trento 2003, 12-14; G. LAKOFF, R. E. NÙÑEZ, Dadove viene la matematica, Bollati Boringhieri, 2005, 41-48.13 P. GALLO, C. VEZZANI, Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica, Mimesis, Milano 2007, 138-139. Pagina 16 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram atteggiamento positivo rispetto atteggiamento positivo rispetto alla alla matematica, anche grazie a matematica e, attraverso esperienze in molte esperienze in contesti contesti significativi, ha capito come gli significativi, che gli hanno fatto strumenti matematici appresi siano utili intuire come gli strumenti in molte situazioni per operare nella matematici che ha imparato siano realtà. utili per operare nella realtà. Utilizza rappresentazioni di dati Ha consolidato le conoscenze teoriche adeguate e le sa utilizzare in acquisite e sa argomentare (ad esempio situazioni significative per sa utilizzare i concetti di proprietà ricavare informazioni. caratterizzante e di definizione), grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni.È ancora per questo motivo che gli obiettivi di apprendimento, per ciascunlivello, contengono anche quelli del livello precedente, seppur con un gradomaggiore di complessità rispetto alle situazioni fatte oggetto diconsiderazione e del livello di padronanza dell’alunno.Naturalmente, l’evoluzione dei traguardi e degli obiettivi ha aspetti sia diconsolidamento, sia di approfondimento, il quale, ultimo, richiedeconsapevolezza e simbolizzazione diverse.Per dimostrare quanto affermato, ci serviamo degli obiettivi diapprendimento che troviamo sotto la voce Spazio e figure al termine dellaclasse terza e al termine della classe quinta della scuola primaria e limetteremo a confronto.1.2. Gli obiettivi di apprendimentoVale la pena soffermarsi un istante per alcune considerazioni generali inmerito agli obiettivi di apprendimento.Nella scuola primaria, gli obiettivi di apprendimento in Matematica sono tre: - Numeri - Spazio e figure Pagina 17 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram - Relazioni, misure, dati e previsioni.Ci sembra interessante notare come i temi siano stati titolati con i nomi dioggetti matematici e non di teorie (numeri anziché aritmetica, spazio e figureanziché geometria, relazioni anziché algebra, dati e previsioni anzichéprobabilità e statistica): ciò, probabilmente, allo scopo di valorizzare, nelprimo ciclo di istruzione, gli oggetti con cui gli alunni devono fare esperienza,rispetto alla loro sistemazione teorica, certo da non tralasciare. Unacostruzione di carattere più fortemente teorico è auspicata invece per lamatematica del secondo ciclo di istruzione.Gli obiettivi, invece, sono indicati utilizzando verbi e sono essenzialmenteabilità e competenze, nella cui descrizione sono necessariamente utilizzaticoncetti, la cui conoscenza è, quindi, implicitamente richiesta. Obiettivi di apprendimento in Spazio e figure Al termine della classe Al termine della classe terza della scuola primaria quinta della scuola primaria – Comunicare la posizione di – Descrivere e classificare figure oggetti nello spazio fisico, sia geometriche, identificando elementi rispetto al soggetto, sia rispetto ad significativi e simmetrie, anche al fine altre persone o oggetti, usando di farle riprodurre da altri. termini adeguati (sopra/sotto, davanti/dietro, destra/sinistra, – Riprodurre una figura in base a una dentro/fuori). descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e – Eseguire un semplice percorso compasso, squadre, software di partendo dalla descrizione verbale geometria). o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare – Utilizzare il piano cartesiano per le istruzioni a qualcuno perché localizzare punti. compia un percorso desiderato. – Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione. – Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse. – Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. – Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando ad esempio la Pagina 18 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram – Disegnare figure geometriche e carta a quadretti). costruire modelli materiali anche nello spazio, utilizzando strumenti – Determinare il perimetro di una appropriati. figura. – Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per scomposizione.Molti obiettivi fanno riferimento alla necessità che le abilità siano collocate insituazioni concrete, prevedendo così che l’alunno sappia dare unavalutazione consapevole di quando e come utilizzare tali abilità e di qualistrumenti siano i più opportuni a seconda delle finalità e dei contesti; moltialtri, invece, riguardano la comunicazione e l’argomentazione, e quindi lanecessità basilare di riflettere sull’apprendimento per poi renderlo condiviso.L’attenzione pare subito soffermarsi sull’aspetto comunicativo che risultaevidente all’interno degli obiettivi riportati: fin dalle prime classi i bambinidovranno raggiungere apprendimenti significativi grazie alla comunicazione:della propria posizione e della posizione degli oggetti all’interno dello spaziofisico; di un percorso eseguito o da eseguire o far eseguire; dellecaratteristiche delle figure geometriche, che dovrà riconoscere, denominaree descrivere.La realtà circostante, e quindi lo spazio di cui il bambino fa esperienza, sono ilpunto di avvio dello studio della geometria: a partire da essi, infatti, ilbambino sviluppa la capacità di visualizzare mentalmente lo spazio e glioggetti geometrici e di passare quindi dall’oggetto tridimensionale alla suarappresentazione bidimensionale (con un itinerario che va dallo spazio alpiano, per ritornare poi allo spazio stesso).Infine, l’uso di modelli concreti (indicati negli Obiettivi come modellimateriali), del disegno (strumenti appropriati) e della comunicazione tra glialunni intorno a questi modelli, dovrebbe essere un modo per favorire lapercezione dello spazio, la sua organizzazione secondo canoni consolidati e la Pagina 19 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramcapacità di “pensare” lo spazio stesso, garantendo quindi al bambinol’esercizio di una cittadinanza consapevole. Pagina 20 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram2. PROBLEM SOLVING, METACOGNIZIONE, RAPPRESENTAZIONE DELLE CONOSCENZENel capitolo che segue ci occupiano, sia pure in modo rapido e succinto, di treargomenti fondamentali per la preparazione di un insegnante:  il problem solving,  il rapporto fra matematica e metacognizione;  la rappresentazione delle conoscenze.2.1. Il concetto di problemaChe cos’è un problema?Per capire cosa intendiamo quando parliamo di problema, facciamoriferimento a Polya14, il matematico svizzero-statunitense che per lunghi annisi è occupato di didattica e di educazione matematica nella scuola primaria. Abbiamo un problema. Vale a dire che abbiamo una meta A che non possiamo raggiungere immediatamente e che siamo alla ricerca di qualche azione atta a farcela raggiungere. La meta A può essere pratica o teorica, forse matematica – un oggetto matematico (un numero, un triangolo, …) che desideriamo trovare (calcolare, costruire, …) od una proposizione che desideriamo dimostrare. Ad ogni modo, desideriamo raggiungere la nostra meta A.14 G. POLYA, La scoperta matematica I-II, Feltrinelli 1971, 131; 272. Pagina 21 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 2.1 – Risolvere un problema Avere un problema significa cercare coscientemente un’azione appropriata per ottenere uno scopo chiaramente concepito ma non immediatamente ottenibile.Partendo dalle affermazioni di Polya, ci rendiamo conto che i problemicostituiscono un’esperienza caratteristica della vita quotidiana di ciascuno: inogni momento della giornata, ci si trova a dover affrontare situazioniproblematiche, a voler cioè raggiungere obiettivi/scopi che non sonoottenibili immediatamente ma, per arrivare ai quali, è necessario compiereun’azione in grado di farci pervenire all’obiettivo prefissato (in questo senso,anche il semplice “bere un bicchier d’acqua” può essere individuato comeproblema). Risolvere i problemi è compito specifico dell’intelligenza, e l’intelligenza è il dono specifico dell’uomo. L’abilità di aggirare un ostacolo, di intraprendere una strada indiretta, là dove non si presenta una strada diretta, innalza l’animale intelligente sopra quello ottuso, innalza l’uomo di gran lunga sopra il più intelligente degli animali e gli uomini di talento sopra i loro compagni di umanità.Potremmo addirittura affermare che la risoluzione dei problemi è l’attivitàumana più caratteristica, quella che ha fatto avanzare l’umanità nella storia e Pagina 22 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramche permette ad ogni individuo di crescere e di aumentare il bagaglio deglistrumenti cognitivi necessari per affrontare l’esistenza stessa.2.1.1. Il valore formativo della risoluzione di problemiLa parola ai bambiniCosa pensano i bambini dei problemi?Fig. 2.2 – Cosa pensano i bambini dei problemi Pagina 23 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramEcco cosa hanno raccolto De Candia, Cibinel e Lucangeli nella lorosperimentazione per la pubblicazione del volume Risolvere problemi in 6mosse15.I documenti ministerialiIl valore formativo dei problemi è stato più volte sottolineato all’interno deidocumenti ministeriali relativi all’approccio didattico-educativo della scuolaprimaria.Nei Programmi della Scuola Elementare (1985), la risoluzione di problemisembra essere di pertinenza dell’insegnamento della matematica: basata susituazioni concrete e su esperienze reali del bambino, essa è il mezzofondamentale per l’acquisizione delle nozioni e delle abilità matematiche.Le Raccomandazioni per l’attuazione delle Indicazioni Nazionali per la ScuolaPrimaria, nella parte dedicata alle singole discipline, sviluppano il tema deiproblemi identificandolo come una procedura del pensiero matematico, perla quale non vengono indicate conoscenze o abilità, ma soltanto competenzealle quali l’insegnante deve prestare attenzione, per aiutare i bambini adinteriorizzare un metodo.Le Indicazioni per il curricolo16 considerano la risoluzione dei problemi comeuno strumento a vantaggio dell’evolversi della conoscenza, che permette diacquisire nuovi concetti e abilità e di arricchire di significato concetti giàappresi; la capacità di esporre e discutere con i compagni le soluzioni e iprocedimenti seguiti fanno inoltre di questa attività la base di lancio per unapprendimento costruttivo e, conseguentemente, significativo.15 C. DE CANDIA, N. CIBINEL, D. LUCANGELI, Risolvere problemi in 6 mosse, Erickson, Trento, 2009.Riportiamo affermazioni e disegni tratti dal testo citato.16 Rimandiamo al capitolo 3 per una più diffusa illustrazione. Pagina 24 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramProblemi a scuolaNella prassi didattica però, molto frequentemente, la principale funzione deiproblemi pare essere quella di fornire pretesti per fare esercizi di calcolo.In realtà: Un problema è una situazione che differisce da un esercizio, poiché colui che deve risolverlo non ha a disposizione un procedimento, o algoritmo, che può con certezza condurlo alla soluzione17.In un contesto di assimilazione del problema all’esercizio, il testo/contestodel problema diventa, per l’alunno, qualcosa di superfluo, finendo conl’essere immediatamente dimenticato non appena sono stati identificati inumeri e l’operazione da eseguire con questi numeri: la distanza emotiva deicontenuti proposti dai problemi e la stereotipizzazione18 dei testi deiproblemi scolastici standard, conducono l’alunno a perdere l’abitudine dianalizzare con cura il testo, portando il bambino a seguire le convenzioniscolastiche piuttosto che il reale testo che ha sotto mano. Una grande scoperta risolve un grande problema, ma nella soluzione di qualsiasi problema c’è un pizzico di scoperta. Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e gioire del trionfo della scoperta.17 La definizione di problema data da Kantowzki è stata tratta da R. BORASI, Che cos’è un problema inwww.alceoselvi.it.18 Gli stereotipi più comuni dei testi dei problemi scolastici possono essere così indicati:il campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è definito esplicitamente a priori;si dovranno sicuramente utilizzare le conoscenze scolastiche acquisite precedentemente in quelcampo;bisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati essenziali;la soluzione esiste ed è unica;il testo del problema è scarno (o da scarnificare ad opera del bambino);la difficoltà si misura con le operazioni aritmetiche con cui il problema si risolve;la possibilità di una soluzione per tentativi non è mai contemplata.G. BOLONDI, La matematica quotidiana, Mimesis, Milano 2005, 7-31. Pagina 25 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFornire un apprendimento significativo, tramite un approccio di tipoproblematico e di scoperta, significa consentire al bambino di andare oltre airigidi schemi imposti dal modello scolastico predominante. Ciò comporta, perlui, il confrontarsi con testi/contesti ricchi, che siano reale rappresentazionedi situazioni problematiche quotidiane, nelle quali i dati importanti arrivanoinsieme ad altri, superflui od insignificanti, con una conseguente necessità didiscernimento e selezione fra di essi.Lavorare con testi ricchi, magari per piccoligruppetti, consente ai bambini di immergersinel testo del problema, di scambiarsi lestrategie nel corso del lavoro e di effettuareverifiche sui risultati parziali. Fig. 2.3 – Scambio di strategie per la risoluzione di problemi2.1.2. Problemi: elementi costitutiviQualsiasi sia il problema che si voglia andare ad affrontare, esso presentaalcuni elementi strutturanti, così classificabili19:19 BORASI, Che cos’è un problema, 5-11. Pagina 26 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 2.4 – Elementi costitutivi del problemaLa formulazione del problemaLa corretta e precisa definizione di ciò in cui consiste il problema è dettaformulazione del problema.Tale formulazione può essere esplicitata nel testo, sotto forma di specifichedomande a cui rispondere o di compiti da eseguire, oppure demandata a chiaffronta il problema. In questo secondo caso, persone diverse definiranno,verosimilmente, in maniera differente il problema, così che ogniformulazione influenzerà l’intero approccio al problema stesso,condizionandone la soluzione.Il contestoIl contesto indica tutto ciò che viene implicitamente o esplicitamenteespresso nel testo, allo scopo di inquadrare il problema e fornire informazioninecessarie alla sua risoluzione.Il contesto deve sempre far parte del testo del problema; quando la suaformulazione non è precisa, si potrebbe pensare all’esistenza di un maggiornumero di soluzioni reali per il problema stesso. Il suo ruolo dovrebbe, Pagina 27 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramquindi, concentrare su di sé maggiore considerazione di quanta ne vieneinvece dedicata20.Le soluzioni di un problemaIl concetto di risolvibilità è un elemento fondamentale del modo di impostareun problema: i problemi che non ammettono nessuna soluzione, spesso, dalsentire comune, non vengono per nulla considerati problemi.Le diverse formulazioni alternative del problema originale consentono invecedi scoprire cosa può essere considerato come soluzione accettabile di unproblema.I metodi di approccioPer metodi di approccio si intendono i metodi e le strategie che si possonoutilizzare per affrontare la soluzione del problema; essi dipendonoessenzialmente da due fattori: il problema in sé e la preparazione delsoggetto che deve risolverlo.Una generale classificazione dei metodi di approccio al problema è quellasuggerita da Polya:  la regola sotto il naso, quando il problema può essere risolto semplicemente attraverso l’utilizzo di una algoritmo appena studiato;  applicazione con scelta, quando l’algoritmo più adatto deve essere selezionato tra diversi, studiati precedentemente;  scelta di una combinazione, quando per raggiungere la soluzione è necessario combinare in modo opportuno alcuni tra gli algoritmi precedentemente studiati;  vicino al livello di ricerca, quando è richiesta l’elaborazione di un nuovo algoritmo per risolvere il problema dato.20 Si faccia riferimento a quanto affermato sulla distinzione fra problema ed esercizio. Pagina 28 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram2.2. Metacognizione e matematicaPoiché la metacognizione è capace di far luce sullo sviluppo del pensiero, equindi anche sul successo scolastico, essa è divenuta un punto di riferimentoper la spiegazione della complessa dinamica che caratterizza l’apprendimentomatematico. Buone prestazioni in matematica sembrano infatti poter essereimputabili all’insieme delle conoscenze che lo studente acquisisce circa lacognizione (cioè la conoscenza metacognitiva che gli provienedall’osservazione e dalla riflessione sui suoi atteggiamenti metacognitivi) e lasua regolazione (i processi di controllo attraverso cui l’individuo controlla epianifica la propria attività e, conseguentemente, regola il suocomportamento). Cognizione e regolazione, se ben organizzate, costituisconouna vera e propria teoria della mente in grado di guidarlo nel mettere in attocomportamenti strategici con buoni risultati nelle prestazioni.Se è vero che la natura epistemologica della matematica l’ha condotta alpassaggio da disciplina formale e descrittiva a disciplina sostanziale ecostruttiva, è anche vero, perciò, che le conoscenze matematiche sono fruttodi un apprendimento attivo che beneficia del buon livello di metacognizioneposseduto dallo studente impegnato in compiti matematici21.2.2.1. Atteggiamento metacognitivo e apprendimentomatematico: il ruolo di credenze e convinzioniIl sistema di convinzioni e aspettative che il soggetto sviluppa sullamatematica (ma anche su di sé) può avere un ruolo determinante sia nelfacilitare l’apprendimento e la disposizione ad apprendere, sia nell’ostacolaretale disponibilità: l’esistenza di convinzioni, aspettative, intuizioni può21 B. CAPONI, G. FALCO, R. FOCCHIATTI, C. CORNOLDI, D. LUCANGELI, Didattica metacognitiva dellamatematica, Erickson, Trento 2006. Pagina 29 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramconfluire cioè in vere e proprie credenze epistemologiche relative alla naturadella conoscenza che, a loro volta, influenzano il modo di pensare, ragionare,imparare e prendere decisioni dell’individuo22.Ecco le più comuni idee sulla disciplina23:  in matematica influisce maggiormente l’abilità innata e la conoscenza delle regole;  in matematica è più frequente aspettarsi di memorizzare e applicare ciò che si è imparato meccanicamente piuttosto che ciò che si è capito;  la matematica è un’attività solitaria, da svolgere individualmente;  la matematica imparata a scuola ha poco o niente a che fare con la vita reale;  le dimostrazioni formali sono irrilevanti per la scoperta e l’invenzione;e sulla risoluzione dei problemi24:  quello che si deve fare è definito da un singolo quesito che si trova alla fine del testo;  esiste un solo modo giusto per risolvere un problema (in genere, applicare l’ultima regola che l’insegnante ha spiegato in classe);  tutti i problemi possono essere risolti con l’utilizzo di una o più operazioni;  l’ operazione che porta alla soluzione è indicata da una parola chiave che di solito si trova nell’ultima domanda, per cui non è necessario tenere presente l’intero problema;  la risoluzione richiede necessariamente pochi minuti di lavoro;22 D. LUCANGELI, C. CORNOLDI, Metacognizione e Matematica: i processi individuali el’insegnamento/apprendimento in ALBANESE, DOUDIN, MARTIN, Metacognizione ed educazione,205-215.23 Le abbiamo tratte da A. H. SCHOENFELD, Learning to think mathematically: Problem Solving,Metacognition, and Sense-Making in Mathematics inhttp://gse.berkeley.edu/Faculty/AHSchoenfeld/AHSchoenfeld.html#Publications, 69; riportiamodirettamente in traduzione.24 C. CORNOLDI, B. CAPONI, G. FALCO, R. FOCCHIATTI, D. LUCANGELI, M. TODESCHINI, Matematica emetacognizione, Trento 2007 (1995), 13-14 e CAPONI et al., Didattica metacognitiva dellamatematica, 13. Pagina 30 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram  la capacità matematica si identifica nella velocità di esecuzione;  la decisione di controllare la correttezza del lavoro svolto dipende dalla disponibilità di tempo;  la difficoltà di un problema è determinata da: la quantità di numeri presenti; la loro grandezza; la lunghezza del testo; il numero delle domande poste dal problema.L’individuo che utilizza in modo controllato la propria mente, a motivo delleconoscenze e delle opinioni circa il lavoro della sua mente e dellecaratteristiche del compito da affrontare, ha la possibilità di dirigere econtrollare i propri processi di pensiero: i processi di controllo svolgonoperciò funzione di adattamento e hanno il compito di attivare, mantenere ointerrompere l’attività che si sta compiendo, in modo più o menoconsapevole o automatico.1.2.2. Processi di controllo metacognitivoAlcuni fondamentali processi di controllo metacognitivo sono stati individuatida Brown, che ha formulato l’ipotesi dell’esistenza di un sistema mentalesuperordinato capace di controllare la sua efficacia prima, durante e dopol’esecuzione di compiti di apprendimento. Questo controllo strategico, cheprende avvio da una corretta comprensione del compito e delle rispettiverichieste, avviene mediante processi cognitivi di: Pagina 31 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram  previsione del proprio livello di prestazione in un compito specifico, della difficoltà della prova, o del risultato dell’applicazione di una certa strategia;  pianificazione delle operazioni che conducono ad un certo obiettivo; capacità di organizzare le azioni in vista del raggiungimento della meta finale;  monitoraggio e supervisione di un compito già intrapreso;Fig. 2.5 – I processi di controllo25  valutazione della propria prestazione, delle strategie utilizzate, del risultato ottenuto.Il ruolo del linguaggioI processi di autoregolazione, e quindi di autocontrollo, esprimono ilcomplesso rapporto che l’individuo ha con il suo sistema cognitivo e lemodalità concrete di uso di specifiche strategie regolatorie in varie situazionidi apprendimento e di problem solving: essi, infatti, portano il soggetto aselezionare, combinare e coordinare le strategie in modo diverso. Affinchéquesto avvenga, però, è necessario che l’individuo sviluppi un atteggiamentoriflessivo che lo conduca ad attivare un «dialogo interno» con se stesso e loguidi nel controllo consapevole del compito. Tale dialogo privato ed25 Lo schema è tratto da CAPONI et al., Didattica metacognitiva della matematica, materiali per ilconduttore 6. Pagina 32 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramindividuale è tuttavia il risultato di un processo di co-costruzione sociale26.Il linguaggio sociale esterno, che si realizza quando l’individuo interagisce ecoopera con persone a lui vicine (nel caso degli alunni, gli insegnanti e icompagni) che lo portano a riflettere e ad autoregolare il propriocomportamento, viene progressivamente trasferito al controllo interno. Ilprocesso di interiorizzazione è stimolato dalla possibilità di riflettere suquanto si sta facendo, di confrontarsi con gli altri, di chiarire le proprieposizioni difendendole dalle obiezioni altrui, di spiegare in modo che gli altricapiscano quello che si vuole dire27. Tutto ciò mediante l’utilizzo dellinguaggio, mediatore dell’apprendimento.2.3. Problem solving e metacognizione Un problema tipico è quello di trovare la strada per raggiungere un dato posto in un paese poco noto. *…+ Può darsi, oppure no, che questa sia la ragione per la quale la risoluzione di un problema ci sembri assomigliare in qualche modo al trovare una strada: una strada che ci faccia uscire da una difficoltà, una strada che ci faccia girare (superare, ndr.) un ostacolo28.26 A tal riguardo, Vygotskij sosteneva che i comportamenti mentali inferiori venissero gradualmentetrasformati in superiori attraverso l’interazione sociale: egli era infatti interessato alle proprietàtrasformazionali della parola, dalla sua origine sociale al linguaggio egocentrico e, successivamente,al discorso interno. L. DIXON-KRAUSS (a cura di), Vygotskij nella classe, Erickson, Trento 2000 (1996),29.27 Questa può essere riconosciuta, a tutti gli effetti, come costruzione attiva dell’apprendimento daparte dell’individuo (e, nel caso particolare, dell’alunno). L’origine sociale del controllo cognitivoassume maggior valore se la si interseca con il concetto di zona di sviluppo prossimale: lo spaziointermedio fra il livello di sviluppo attuale del bambino, determinato dalla sua capacità di risolvereindipendentemente situazioni problematiche, e il suo livello di sviluppo potenziale, determinatodalla sua capacità di soluzione di problemi con l’assistenza di un adulto o attraverso la collaborazionedi compagni più capaci. Ciò significa che, se la qualità della mediazione dei compagni nei gruppi diapprendimento ha un ruolo strategico nel permettere al soggetto di riflettere ed appropriarsi delleconoscenze, contemporaneamente lo sviluppo delle abilità metacognitive è condizione necessariaper rinforzare la capacità di valutare e quindi di trasferire e di generalizzare una strategia,sviluppando così competenze di ordine superiore.28 POLYA, La scoperta matematica, 131. Pagina 33 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram2.3.1. Problem solvingNei contesti di problem solving29, l’individuo si trova a dover cercare unastrada, a fronteggiare una situazione nuova, che spesso non può risolvere conle consuete modalità. In queste circostanze egli avrà bisogno di attivaredistinti livelli di conoscenza e, quindi, di strategie di controllo. È necessarioinfatti che possegga operazioni e strategie appropriate di soluzione(conoscenza strategica), all’interno di una più generale conoscenza delleprocedure utilizzabili (conoscenza procedurale). Perché esse possanosussistere, è prima di tutto indispensabile una conoscenza/comprensionedegli elementi da modificare (conoscenza dichiarativa), a sua volta sostenutada una capacità efficace di rappresentazione (conoscenza schematica).2.3.2. Problem solving a scuolaI problemi di matematica generalmente affrontati a scuola sono problemiche, attraverso un testo di tipo verbale, per lo più narrativo, presentano uncompito risolvibile tramite strategie, procedure e algoritmi di tipomatematico (dalla letteratura psicologica d’oltreoceano, vengono infatticlassificati come mathematical word problem solving).La capacità di soluzione di tali compiti sembra richiedere abilità cognitive emetacognitive identificabili in alcune componenti principali30:29 Il cognitivismo ha messo in evidenza che la soluzione di problemi non è un processo, o insieme diprocessi, peculiare di situazioni e compiti difficili o problematici, *…+ ma è piuttosto una dimensionecognitiva, che riguarda tutti i compiti, a vari livelli di complessità, in cui un individuo utilizza dei pianie delle strategie per raggiungere un obiettivo (P. BOSCOLO, Psicologia dell’apprendimentoscolastico, UTET, Torino 1997, 336).30 Questa identificazione delle componenti dell’abilità di soluzione dei problemi matematici vieneproposta, facendo riferimento a Polya (G. POLYA, Come risolvere i problemi di matematica,Feltrinelli, Milano 1983 (1957)), negli studi successivi. Nel nostro lavoro abbiamo considerato, inparticolare, G. PERTICONE, Problemi senza problemi, Erickson, Trento 2008 e D. LUCANGELI, M.IANNELLI, E.FRANCESCHINI, G. BOMMASSAR, S. MARCHI, Laboratorio logica, Erickson, Trento 2002. Pagina 34 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram  la comprensione delle situazioni problema, attraverso l’identificazione e l’integrazione delle informazioni verbali ed aritmetiche;  la rappresentazione dello schema matematico;  la categorizzazione della struttura del problema;  la pianificazione delle procedure e delle operazioni;  il monitoraggio e la valutazione finale.Fig. 2.6 – Modello delle componenti dell’abilità di soluzione dei problemi matematici31Le conoscenze metacognitive e i processi di controllo dirigono l’alunno nellapresa di decisioni relative alla scelta di un particolare metodo euristico oalgoritmo (decisioni tattiche), oppure nella gestione del percorso di soluzionescelto e nella distribuzione di risorse (decisioni strategiche) durante ilprocesso di soluzione di un problema32.2.3.3. Decisioni tatticheLe decisioni tattiche riguardano i processi inerenti il livello cognitivo della31 Sebbene la comprensione risulti gerarchicamente sovraordinata a tutte le altre componenti(rappresentazione, categorizzazione, pianificazione ed autovalutazione), queste possono contribuireseparatamente alla soluzione senza bisogno di postulare una qualche dipendenza reciproca. Ciòstarebbe a confermare l’esistenza di profili diversi di difficoltà e di cause cognitive alla base di esse(schema e spiegazione sono tratti da: LUCANGELI et al., Laboratorio logica, 16).32 CAPONI et al., Didattica metacognitiva della matematica, 23-24; LUCANGELI, CORNOLDI,Metacognizione e matematica, 211-212. Pagina 35 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramsoluzione dei problemi. È possibile inserire lo studio di tali processinell’ambito delle teorie dell’Human Information Processing (elaborazionedell’informazione nell’uomo) secondo le quali il processo di soluzione, alivello cognitivo, può essere suddiviso in un certo numero di stadi; all’internodi ogni stadio si possono distinguere vari processi cognitivi, ognunocaratterizzato da un particolare tipo di conoscenza, generale e/o specifica. Intale prospettiva33, il comportamento di soluzione di un problema èun’interazione fra:  un sistema di elaborazione dell’informazione: l’essere umano, che risolve il problema. Si tratta di un sistema che opera serialmente e dispone di strutture di conoscenza e di un repertorio di strategie che lo aiutano a interpretare il problema, a cercare nella memoria le procedure e gli algoritmi disponibili, a mettere in relazione gli elementi di conoscenza, immagazzinati separatamente, per produrre la soluzione;  l’ambiente del compito, cioè il problema, così come viene definito dallo sperimentatore/osservatore. Comprende tutti gli elementi del problema che possono avere consistenza fisica, essere presentati verbalmente o in forma simbolica;  lo spazio del problema, cioè la rappresentazione che l’individuo si crea di quel particolare problema. Dall’ambiente del compito il soggetto ricava delle informazioni che codifica in modo da poterle interpretare in base alle strutture di conoscenza di cui dispone; il tipo di rappresentazione può essere diverso – verbale, iconico, simbolico, etc. - e serve ad attivare differenti tipi di conoscenza e strategie. Lo spazio del problema è prodotto da ciò che il solutore capisce dei dati e33 Sviluppatasi in stretto rapporto con le ricerche sull’Intelligenza Artificiale, essa ha trovatocompiuta sistemazione teorica nell’opera di A. Newell e H.A. Simon (1972) Human Prolem Solving(BOSCOLO, Psicologia dell’apprendimento scolastico, 337-346). Abbiamo fatto riferimento ancheall’articolo H. A. SIMON, A. NEWELL, Human Problem Solving: the state of the theory in 1970, inwww.cog.brown.edu. L’articolo preannuncia le conclusioni emerse dal lavoro edito nel 1972. Pagina 36 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram dell’obiettivo del problema, nonché delle strategie da usare).Partendo dalle considerazioni sviluppate da Polya nel suo testo e dal modelloclassico di Mayer34, consideriamo ora il metodo euristico (quindi dei processicognitivi), mediante il quale lo studente dovrebbe giungere alla risoluzione diun problema.Riprendiamo le tappe già esplicitate al paragrafo precedente35.Le abilità di comprensione Non ha senso rispondere ad una domanda che non si è compresa. È duro lavorare per uno scopo che non si desidera.In tale competenza rientrano abilità più generali di comprensione dei testiverbali e abilità più specifiche di comprensione dello schema matematicovero e proprio.Innanzitutto deve risultare comprensibile l’enunciato del problema: da esso,gli studenti dovrebbero essere in grado di illustrare con facilità il problemastesso e di distinguerne le parti principali (i dati, l’incognita, la relazione fraessi).Secondo il modello proposto da Mayer, la comprensione dei problemimatematici (che lui chiama codifica del problema) corrisponde alla traduzione34 Già citato, POLYA, Come risolvere i problemi di matematica (sue, dal medesimo testo, anche leseguenti citazioni). Myer e collaboratori, nell’ambito della linea teorica che si rifà all’HumanInformation Processing, hanno specificato in maniera più dettagliata tali processi fondamentali (liabbiamo esaminati grazie ai lavori di Passolunghi, (M. C. PASSOLUNGHI, Memoria, metacognizione esoluzione dei problemi, in O. ALBANESE (a cura di), Metacongizione e apprendimento, FrancoAngeli2003; M. C. PASSOLUNGHI, Apprendimento matematico: competenza e disabilità nella soluzione deiproblemi, in «Difficoltà in matematica» 1/1 (ottobre 2004), Erickson) e a LUCANGELI, Laboratoriologica.35 Al paragrafo 1.4.2. (abilità di comprensione, rappresentazione, categorizzazione, pianificazione,monitoraggio e valutazione). Per sviluppare le abilità proposte qui di seguito, Perticone (PERTICONE,Problemi senza problemi) propone di riorientare la didattica dei problemi verso una scelta diversa daquella di svolgere tanti problemi per intero: svolgere moltissimi esercizi di parti del problema,avendo l’accortezza di mantenere l’attenzione del bambino all’interno di una cornice risolutoriagenerale. Pagina 37 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramo decodifica delle informazioni. Mediante questo processo, ogni affermazionecontenuta nel testo del problema viene trasformata da parte del soggetto inuna rappresentazione semantica in memoria: partendo cioè dal testo verbale,il soggetto inizia a costruirsi una rappresentazione interna del problema.Le abilità di rappresentazionePerché la rappresentazione ci sia, ciascuna informazione, semplice ocomplessa, deve essere messa in relazione con tutte le altre, così da ottenereuna rappresentazione cognitiva dell’intera situazione problema (Mayerchiama questa fase integrazione).La capacità di integrazione/rappresentazione sembra cruciale per guidare lascelta della soluzione corretta, ma risulta ancora poco chiaro se si debbatrattare solamente si una rappresentazione interna, cognitiva, o se questapossa anche utilizzare supporti esterni, quali la rappresentazione figurale oschematica delle informazioni stesse36.Le abilità di categorizzazioneLa capacità di rappresentazione è fortemente legata ad un’altra componentecruciale della più generale abilità di risoluzione dei problemi matematici, cioèalla capacità di categorizzazione. Essa, attraverso il riconoscimento dellesomiglianze e delle differenze tra schemi di soluzione, consente di individuarecome simili i problemi che si risolvono nello stesso modo e,36 Nel loro lavoro, Risolvere problemi in 6 mosse, Candia, Cibinel e Lucangeli affermano che ilproblema può essere rappresentato in entrambi i modi: sia attraverso la rappresentazione figurale, ovignetta, sia attraverso la rappresentazione schematica. La prima viene in genere prediletta dairisolutori più piccoli, la seconda dai più grandi.Per essere efficace, la rappresentazione-vignetta deve contenere i dati, la relazione fra i dati e ladomanda; la rappresentazione-simbolica utilizza invece dei simboli, come → ? + } per rappresentaredelle quantità, dei numeri o delle proporzioni. Pagina 38 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramconseguentemente, di riconoscerli come appartenenti alla medesimacategoria. Questa categoria generale cui il problema appartiene, consente diriconoscere la struttura profonda del testo del problema e di riconoscere lo“spazio di quel problema” determinato.L’abilità di categorizzazione è, insieme all’abilità di rappresentazione, unprocesso fondamentale che permette di connettere fra di loro le informazionidel problema e di selezionare quelle rilevanti per giungere alla soluzione. Ilriconoscimento di un modello familiare nel testo proposto facilita gli individuinel rapido accesso alle procedure risolutive.Le abilità di pianificazione Possiamo dire di avere realizzato un piano quando conosciamo, anche solo per linee generali, quali calcoli, computi oppure costruzioni si devono eseguire per ottenere l’incognita. *…+ La compilazione di un piano è l’impresa più ardua nella risoluzione di un problema; essa può procedere per gradi.*…+La pianificazione è la capacità che si rende necessaria, una volta compresi ilproblema e la sua struttura, per elaborare un vero piano d’azione, traducibilein operazioni concrete e di calcolo, nella corretta sequenza risolutoria.Le condizioni necessarie per ottenere successo nella pianificazione sono:essere in grado di generare sotto-obiettivi37 e possedere delle risorsesufficienti nella memoria di lavoro per poter mantenere attiva e facilmentedisponibile la struttura delle mete da raggiungere.Lo sviluppo del piano e le abilità di monitoraggioMalgrado le abilità di monitoraggio, per certi versi, rientrino piùpropriamente fra le abilità metacongitive di risoluzione dei problemi,37 Lo stesso Polya, a tal riguardo, affermava: Se non riesci a risolvere un problema, ce ne sarà uno piùfacile che riesci a risolvere: trovalo. Pagina 39 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrampossono tuttavia essere inserite nell’ambito delle abilità cognitive laddove siapossibile connetterle allo sviluppo del piano e ad un controllo della suaregolare esecuzione passo per passo. Lo sviluppo del piano è un’impresa molto più semplice; richiede soprattutto pazienza e precisione. Il piano fornisce un abbozzo generale; ci si deve convincere che i dettagli rientrano necessariamente in tale traccia e quindi vanno esaminati ad uno ad uno, pazientemente, finché ciascuno di essi risulti perfettamente chiaro e non resti nessun punto oscuro ove possa celarsi qualche errore.Conseguentemente alla pianificazione, ha luogo il processo di esecuzione, incui il solutore identifica quali sono le operazioni per ottenere i differentisotto-obiettivi e le esegue. Per svolgere questa fase è necessario possedere laconoscenza degli algoritmi di calcolo e monitorare il loro utilizzo sequenzialeper giungere alla soluzione del problema.La valutazione finale Persino gli studenti migliori, quando hanno ottenuto la soluzione del problema e hanno copiato in bella il loro esercizio, chiudono il quaderno e passano ad altro. In tale modo essi trascurano una fase del lavoro tanto importante quanto istruttiva. *…+ Nessun problema di matematica si può considerare definitivamente chiuso. Resta sempre qualcosa da dire ancora sopra di esso; con uno studio ed un’applicazione accurati, si può perfezionare qualunque risoluzione e, in ogni caso, si può sempre giungere ad una più profonda comprensione del risultato.Arrivati al termine del problema, è quindi opportuno verificare e perfezionarela risoluzione: una soluzione più semplice o veloce ed intuitiva è semprepreferibile ad un procedimento lungo e difficoltoso. È importante nonlasciare mai negli alunni l’impressione che i problemi di matematica sianoslegati fra loro, e che non vi sia alcun legame fra questi problemi e quelli dialtro genere. A tal riguardo un’attività sempre molto produttiva è spronare gli Pagina 40 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramalunni ad inventare esercizi ai quali sia applicabile il procedimento valido peril problema proposto (problem posing).2.3.4. Decisioni strategicheOltre a questi processi generali, oggetto della ricerca cognitivista, gli studiosiinteressati alla metacognizione hanno sottolineato la necessità, in ognimomento dell’esecuzione di un problema, di tener conto delle abilitàsovraordinate di tipo metacognitivo, che possono influenzare in modocausale la prestazione.La Brown ha individuato una serie di processi di controllo metacognitivo chefavoriscono la corretta esecuzione di una prova:  predizione, cioè la capacità di predire se si ritiene di essere in grado di risolvere il problema;  pianificazione, sviluppare un piano che permetta di raggiungere la soluzione;  monitoraggio, controllare passo dopo passo i vari processi risolutivi;  valutazione, valutare il risultato ottenuto.Schoenfeld ha precisato il ruolo di sei metacomponenti: la decisione sullanatura del problema, la selezione delle componenti per la soluzione, laselezione di una strategia per la combinazione degli elementi, la decisione suuna rappresentazione mentale, la distribuzione delle risorse e il monitoraggiodei processi di soluzione38.Cornoldi39 elenca una lunga serie di processi metacognitivi di controllo: li38 Per entrambi abbiamo fatto riferimento a CORNOLDI, Metacognizione e apprendimento, 309-310;CORNOLDI et al., Matematica e metacognizione, 14, ed (esclusivamente per le spiegazioni inerenti iprocessi di controllo metacognitivi proposti dalla Brown) a PASSOLUNGHI, Memoria, metacognizionee soluzione dei problemi; PASSOLUNGHI, Apprendimento matematico: competenza e disabilità nellasoluzione dei problemi.39 In C. CORNOLDI, Autocontrollo, metacognizione e psicopatologia dello sviluppo, «Orientamenti Pagina 41 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrampresentiamo in una mappa concettuale per poi offrire una panoramica deiprincipali.Fig. 2.7 – I processi metacognitivi di controllo, in relazione alle componenti del problemsolvingProblematizzazioneOssia il riconoscimento dell’esistenza di un problema.La fase dell’identificazione del problema può essere critica, in quanto ilsoggetto può non accorgersi che esiste un problema o non riconoscereesattamente qual è il problema, soprattutto in caso di situazioni naturali,quando i problemi si celano all’interno di contesti complessi, oppure quandoci si trova di fronte a problemi mal definiti.Comprensione e definizione del problema-compitoDopo che il problema è stato identificato e compreso, il solutore devePedagogici», vol. 3 (1990). Noi traiamo tale elenco da IANES, Metacognizione e insegnamento, 23-24;i relativi commenti da CORNOLDI, Metacognizione e apprendimento, 309-322 e CORNOLDI,Matematica e metacognizione, 14-19. Pagina 42 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramdeterminare quali sono gli elementi noti, quali gli sconosciuti e che cosaesattamente viene richiesto: in questo modo sarà così possibile, per lui,definire la difficoltà del problema stesso.Nel caso di problemi mal definiti, la difficoltà consiste nel ridefinire ilproblema, nel definirlo in modi nuovi.Collegamento con compiti similiLa comprensione di un qualunque problema è fortemente aiutata dalrecupero di uno schema di memoria che si riferisca a quel tipo di problema.Attivazione delle conoscenze precedenti coinvolte in queltipo di compitoLo schema di memoria, in connessione con un insieme di idee metacognitivesulle tipologie dei problemi, è ciò che aiuta il soggetto a riconoscere lasomiglianza fra quel problema ed altri svolti in passato o fra problemiproposti in un determinato momento.Integrazione delle varie informazioni provenienti da fontidiverseL’integrazione avviene mediante l’uso di mappe mentali (di vario tipo eformato, funzionali a seconda del tipo di problema proposto), che si basanosulla selezione, reinterpretazione e riorganizzazione degli elementi offerti daltesto del problema.Entra in gioco l’attività iniziale di pianificazione che prevede che gli elementivengano organizzati in un certo modo.I buoni solutori, procedendo nella soluzione del problema, devono teneresotto controllo, aggiornare e controllare il piano iniziale, proponendoalternative differenti da quelle inizialmente previste.Un soggetto con buone abilità metacognitive non è necessariamente quello Pagina 43 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramche pianifica maggiormente, ma quello che sa capire fino a che punto èappropriato pianificare e quando è necessario cambiare piano40.Raccolta e valutazione dei feedbackL’autocontrollo e l’automonitoraggio è facilitato dalla verbalizzazione di cuisarebbe, in parte, una forma di interiorizzazione. Con la tecnica del pensiero avoce alta e la successiva analisi dei protocolli di osservazione, è possibileosservare come, durante l’attività di risoluzione del problema, si realizzino,da parte del soggetto, processi di trasformazione del piano, di orientamento,di monitoraggio, di direzione, di esame e di stimolazione. La verbalizzazione,inoltre, pare migliorare il livello di ragionamento, ma anche l’autoregolazione(coinvolge infatti maggiormente l’attenzione del soggetto, la propensione avalutare l’andamento della prova, …).La self-regulation, inferita dal pensiero ad alta voce, costituisce un buonpredittore della prestazione del soggetto.Definizione del livello di performance atteso. Valutazionedella distanza della soluzione. Valutazione dei risultatifinali.Esiste una grande variabilità negli elementi utilizzati per dare una stima, unavalutazione della soluzione41 in itinere e al termine del percorso.I bambini della scuola primaria utilizzano indici relativi alle loro abilità, ad40 Questo riguarda alcuni aspetti fortemente correlati all’automonitoraggio ed all’autovalutazione: lagenerazione delle alternative per la soluzione del problema; l’esame delle alternative e delle possibilidecisioni; l’applicazione del piano strategico di soluzione scelto; l’inibizione delle alternative che peril momento non si vogliono attivare; gli aggiustamenti del piano che si sta seguendo; la decisione diquando è opportuno sospendere l’esecuzione del piano e la decisione di riprovare o di predisporreun piano strategico alternativo.41 Intesa secondo la duplice accezione data da Polya di soluzione come oggetto che soddisfa allacondizione del problema e di procedimento risolutivo (POLYA, La scoperta matematica I, 142). Pagina 44 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramesperienze precedenti, a quello che hanno capito o che sanno; i soggetti dietà maggiore, invece, valutano la difficoltà: in relazione a tipologia delproblema e caratteristiche individuali; in base al grado di comprensibilitàimmediata e alla quantità di intuizione richiesta; in rapporto alla curiositàsuscitata, al legame con situazioni con cui si è a diretto contatto, apropensioni o conoscenze individuali, alle esperienze precedenti.2.3.5. ConclusioniAbbiamo più volte ripetuto che la metacognizione (intesa sia comeconoscenza del funzionamento cognitivo che come processi di controllo daapplicare ad esso) ha risvolti significativi nell’abilità di risoluzione deiproblemi.Vale allora la pena incrementare il suo utilizzo, mediante una sorta di trainingmetacognitivo42, a mano a mano che si procede nelle differenti attività di42 Cornoldi ha proposto, a riguardo, un programma metacognitivo per il miglioramento delle abilitàin matematica nel testo CORNOLDI et al., Matematica e metacognizione. Il programma si compone diun Questionario di verifica iniziale e finale relativo al livello di competenza metacognitiva, sia di Unitàspecifiche di intervento didattico (tali unità contengono compiti che seguono il criterio di gradualitàsia nelle attività proposte, sia nella successione di obiettivi specifici all’intervento di ciascun obiettivogenerale). Il programma del training Matematica e Metacognizione si sviluppa in due aree: una, piùgenerale, dedicata al riconoscimento delle abilità cognitive implicate in situazioni matematiche e alleloro interconnessioni (il ruolo dell’attenzione; l’importanza dell’autoefficacia; il ruolo del linguaggioverbale; il ruolo della memoria di lavoro; il ruolo e la capacità della memoria a breve termine;riconoscere che la mente umana lavora in maniera interconnessa: matematica e memoria) ed unarelativa alle situazioni di problem solving, dedicata al riconoscimento di abilità mentali specifiche(prendere consapevolezza della natura dei problemi matematici; riconoscere l’importanza di unprocedimento operativo per trovare la soluzione ad un problema; riconoscere l’importanza deidiversi piani di rappresentazione; riconoscere la consequenzialità dei procedimenti matematici;riconoscere che esistono più percorsi di soluzione; riconoscere che il problem solving dipendedall’organizzazione delle conoscenze della persona; riconoscere l’importanza della precisione nelleprocedure).Un altro programma di tipo metacognitivo è Solve it! di Montague (ne abbiamo trovato una breveillustrazione in M. MONTAGUE, C. WARGER, T. H. MORGAN, Solve It! Strategy Instruction to ImprovrMathematichal Problem Solving, in Learning Disabilities Research & Practice, 15(2) (2000), 110-116in http://www.updc.org/initiatives/math/research/strategy%20problem-solving.pdf). Si tratta di unprogramma basato sull’insegnamento, agli studenti con carenze in compiti di problem solving delsecondo ciclo di istruzione, di processi cognitivi e di strategie di autoregolazione per la risoluzione di Pagina 45 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramproblem solving (nel nostro caso specifico).La Montague43, che a lungo ha lavorato con alunni con disturbi cognitivi, haproposto un insegnamento di strategie cognitive apparentementedifferenziato rispetto a quello focalizzato sui processi metacognitivi (in realtàad esso strettamente collegato), e basato su tecniche di autoistruzione checonvergono su tre fasi:  dirsi  interrogarsi  controllarsi.Le tre fasi del chiedersi, interrogarsi, controllarsi (con una sorta diriconoscimento/identificazione delle scelte nell’agire individuale e quindi conuna presa di coscienza ed un tentativo di darne ragione a sé e agli altri)vengono applicate a tutte le strategie cognitive, con l’effetto che il soggettocon training metacognitivo diventa padrone delle strategie e di una tendenzaad utilizzarle in maniera autocontrollata.problemi di matematica: gli studenti imparano a comprendere i problemi matematici, ad analizzarele informazioni presentate, a costruire piani logici per la risoluzione dei problemi e a valutare lesoluzioni trovate; tutto ciò mediante il ricorso ad auto-istruzione, auto-interrogazione, auto-monitoraggio (dirsi, interrogarsi, controllarsi).Esistono altri programmi di training metacognitivo, anche se, in alcuni casi, non propriamentematematico seppur relativi al problem solving. Faccio riferimento al PAS (Programma diArricchimento Strumentale) di Feuerstein: presupposti teorici del programma sono la credenza nellamodificabilità cognitiva e l’esperienza di apprendimento mediato; due gli obiettivi fondamentali:arricchire il repertorio individuale di strategie cognitive per arrivare ad un apprendimento e ad unproblem solving più efficaci e recuperare le funzioni cognitive carenti (si tratta quindi di unprogramma di recupero per individui con bisogni speciali e di arricchimento per individui conprestazioni normali, bambini o adulti). La prima spiegazione in lingua italiana di tale Programma sitrova in R. FEUERSTEIN, R. S. FEUERSTEIN, L. FALIK, Y. RAND, Il Programma di ArricchimentoStrumentali di Feuerstein, Erickson, Trento 2008 (2006).43 M. MONTAGUE, Self regulation strategies to improve mathematical problem solving for studentswith learning disabilities, in http://www.meadowscenter.org/files/LDQ-Montague-Winter08.pdf. Pagina 46 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram2.4. Conoscenza e rappresentazioni2.4.1. La conoscenzaQuando si può dire di conoscere qualcosa?Per rispondere a questa domanda, ci rifacciamo direttamente alle parole diCorno e Pozzo, secondo i quali: Conoscere qualcosa è sapere il suo significato, e sapere il suo significato è saperselo rappresentare in qualche modo nella mente44.Senza una rappresentazione mentale dell’oggetto di conoscenza, non èpossibile comprendere il suo significato né, tantomeno, sostenere diconoscerlo; è quindi necessario, per la mente umana, crearsi dei modellimentali che le consentano di interpretare i fenomeni passati e la rendanocapace di affrontare i futuri.Fig. 2.8 – Il concetto, la rappresentazione esterna e il mondo rappresentatoCosa succede quando impariamo qualcosa? As we learn, we build conceptions of our world. Mostly, these conceptions44 D. CORNO, G. POZZO (a cura di), Mente, linguaggio, apprendimento, La Nuova Italia, Firenze 1991,XII. Pagina 47 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram are represented only by mental structures which are, of course, invisible. Making conceptions visible requires that they be expressed externally, in some form of notation: examples are text, diagrams, maps, and musical scripts. Notations vary greatly in form and in fitness for different tasks and contexts but they share this central purpose of ‘making thinking visible’, or in other words, of making external representations of conception 45.Sembra dunque evidente che, se la mente umana non avesse elaboratomodelli mentali di varia natura e complessità e tali da guidare e ordinare inostri processi di interpretazione, per la scienza cognitiva resterebbeinspiegabile la capacità di comprendere anche le informazioni più banali. Lacreazione di formalismi rappresentativi sembra perciò essere il fondamentodella comprensione46.Nel processo di rappresentazione della conoscenza, quindi, la mente umanarielabora informazioni, sviluppa modelli di rappresentazione ed assegnasignificati, o meglio: rielabora le informazioni attraverso la costruzione dimodelli di rappresentazione che utilizza per dare significati.45 Quando impariamo, costruiamo concetti del nostro mondo. In generale, questi concetti sonorappresentati unicamente dalle nostre strutture mentali, che sono invisibili.Far diventare visibili i concetti richiede che essi siano espressi esternamente, in qualche forma diannotazione: alcuni esempi possono essere testi, diagrammi, mappe e notazioni musicali. Leannotazioni differiscono profondamente per forma e qualità a causa dei loro diversi scopi e contesti,ma condividono l’obiettivo centrale di “rendere visibile ciò che si è pensato” o, in altre parole, di farerappresentazioni esterne delle idee.T. CONLON, S. GREGORY, Representation of Conception: Towards a Repertoire for Thinking andLearning, 2007, tratto da http://www.parlog.com/shared/roc.pdf.46 M. GINEPRINI, M. GUASTAVIGNA, Mappe per capire. Capire per mappe, Carocci Faber, Roma 2004,23-24. Pagina 48 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 2.9 – La rappresentazione della realtà472.4.2. Le rappresentazioniIndichiamo, con il termine rappresentazione, un insieme di convenzionisintattiche e semantiche che rendono possibile descrivere le cose: essestabiliscono i simboli da impiegare, i modi in cui è possibile combinare questisimboli e i significati da essi racchiusi.Per i motivi appena descritti, una rappresentazione risulta essere tanto piùefficace quanto più riesce ad esplicitare gli aspetti essenziali del campo diconoscenza che prende in considerazione.2.4.3. Proprietà delle rappresentazioniMalgrado ne esistano di differenti tipi, in relazione alle differenti finalità diciascuna, tutte le rappresentazioni della conoscenza mostrano alcuneproprietà comuni: - funzionano a partire da conoscenze ed esperienze passate; - sono frutto di un processo di generalizzazione, così da essere valide per il maggior numero possibile di situazioni; - forniscono strumenti per affrontare adeguatamente una nuova situazione.2.4.4. Le mappeEsistono vari tipi di rappresentazione, classificabili in tre macro-categorie: - i modelli mentali, che comprendono reti semantiche, frame, script e schemi;47 Secondo gli scienziati cognitivi, la mente umana è predisposta alla ri/elaborazione delleinformazioni e alla costruzione/assegnazione di significati e per svolgere tali operazioni ha sviluppatodiversi modelli di rappresentazione (GINEPRINI, GUASTAVIGNA, Mappe per capire. Capire permappe, 23) Pagina 49 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram - le mappe cognitive; - le mappe informative, cui appartengono mappe concettuali, mappe per il web, mappe per argomentare, mappe per prendere decisioni, mappe per la progettazione di ricerche e mappe mentali.Fig. 2.10 – I vari tipi di rappresentazioneI vari modelli logico-operativi per la rappresentazione delle conoscenze nonsono assolutamente opposti l’uno all’altro e neppure in contrasto: ognimodello, a motivo delle sue peculiari caratteristiche (che lo distinguono datutti gli altri) è particolarmente idoneo allo svolgimento di alcune funzionirappresentative.Le mappe Una mappa è un mezzo per interpretare, rielaborare e trasmettere conoscenze, informazioni e dati, i concetti principali, i molteplici legami che essi stabiliscono e di conseguenza i possibili percorsi di ragionamento48.48 GINEPRINI, GUASTAVIGNA, Mappe per capire. Capire per mappe, 7. Pagina 50 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramLe mappe sono caratterizzate da due elementi essenziali: i concetti e i legamiche fra questi concetti si stabiliscono.La loro funzione è quella di interpretare, rielaborare e trasmettere leconoscenze apprese dall’individuo e, grazie al loro aspetto grafico, divisualizzare i percorsi di ragionamento mediante i concetti e l’analisi deilegami che creano una connessione fra i concetti medesimi.Un particolare tipo di mappe è rappresentato dalle mappe concettuali.2.5. Le mappe concettuali2.5.1. Fondamenti psicologici delle mappe concettuali49 The question sometimes arises as to the origin of our first concepts. These are acquired by children during the ages of birth to three years, when they recognize regularities in the world around them and begin to identify language labels or symbols for these regularities (Macnamara, 1982). This early learning of concepts is primarily a discovery learning process, where the individual discerns patterns or regularities in events or objects and recognizes these as the same regularities labeled by older persons with49 Il problema sembra nascere dall’origine del nostri primi concetti. Questi sono acquisiti dai bambininel periodo che va dalla nascita fino ai tre anni di età, quando essi riconoscono la regolarità nelmondo che li circonda e cominciano a identificare etichette linguistiche o simboli per questeregolarità (Macnamara, 1982). Questa prima conoscenza dei concetti è soprattutto una scoperta delprocesso di conoscenza, dove l’individuo discerne gli schemi o le regolarità negli eventi o neglioggetti e le riconosce come le medesime regolarità etichettate dagli adulti con parole o simboli.Dopo i tre anni, l’apprendimento di nuovi concetti e proposizioni è mediato dal linguaggio, e haluogo innanzitutto grazie ad un processo di apprendimento ricettivo dove i nuovi significati sonoottenuti mediante la formulazione di domande (perché? ndr) e il procurarsi chiarificazioni dellerelazioni fra vecchi e nuovi concetti e proposizioni.Queste acquisizioni di conoscenza sono mediate in un modo molto efficace quando sono disponibiliesperienze o oggetti concreti; da qui, l’importanza delle attività di hands-on (“metterci mano”, agireattivamente) per le attività di apprendimento scientifico con i giovani alunni, ma ciò è altrettantoreale con i soggetti di ogni età e con qualsiasi disciplina.J. D. NOVAK, A. J. CAÑAS, The Theory Underlying Concept Maps and How to Construct Them,Technical Report IHMC CmapTools 2006-01 Rev 01-2008, Florida Institute for Human and MachineCognition, 2008 inhttp://cmap.ihmc.us/Publications/ResearchPapers/TheoryCmaps/TheoryUnderlyingConceptMaps.htm. Pagina 51 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram words or symbols. *…+ After age 3, new concept and propositional learning is mediated heavily by language, and takes place primarily by a reception learning process where new meanings are obtained by asking questions and getting clarification of relationships between old concepts and propositions and new concepts and propositions. This acquisition is mediated in a very important way when concrete experiences or props are available; hence the importance of “hands-on” activity for science learning with young children, but this is also true with learners of any age and in any subject matter domain.I concetti (che sono alla base della costruzione di mappe concettuali),indicano il riconoscimento e l’identificazione di regolarità nel mondocircostante dapprima mediante simboli, e successivamente attraversoetichette di carattere linguistico. Dopo i tre anni, l’apprendimento di nuoviconcetti, che si realizza grazie alla mediazione del linguaggio, diventasignificativo a motivo dei legami che il bambino riconosce fra i nuovi ed ivecchi concetti da lui già posseduti. Le nuove acquisizioni, però, sembranofavorite dalla presenza fisica degli oggetti di conoscenza, che permettono albambino di rapportarsi ad essi implicando i propri pensieri, azioni edemozioni ed ottenendo, di conseguenza, tre tipi di apprendimento: - cognitivo (acquisizione di conoscenze); - emotivo (mutamento di emozioni o sentimenti); - psicomotorio (miglioramento nelle attività fisiche o motorie con conseguente miglioramento nelle prestazioni).Un importante progresso nellacomprensione dell’apprendimento èche la memoria umana non è unrecipiente da riempire, ma piuttostoun complesso scenario di sistemi dimemoria interrelati, come mostra lafigura a lato. Essa infatti mette in Pagina 52 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramevidenza i sistemi di memoria della Fig. 2.11 – I sistemi di memoria della mente umana e le loro interazionimente umana e le interazioni con i datiin ingresso dai nostri input affettivi epsicomotori.Per rendere significativa un’esperienza di apprendimento (a livello cognitivo emetacognitivo), al punto da consentirle di radicarsi all’interno della memoriaindividuale, pare allora indispensabile non trascurare nessuno dei treelementi indicati (pensieri, azioni ed emozioni del bambino che conosce):un’esperienza educativa positiva aumenterà la capacità di riflettere, sentire oagire di una persona nelle esperienze successive (empowerment); alcontrario, un’esperienza negativa o diseducativa produrrà l’effetto opposto(disempowerment).Qualsiasi evento educativo rappresenta un’azione condivisa per cercare unoscambio di significati ed emozioni fra alunno e docente riguardo ai cinqueelementi base dell’evento stesso (alunno, insegnante, conoscenze, contesto,valutazione): l’obiettivo è fare in modo che essi arrivino a condividere unpunto di vista comune per ogni elemento.Ogni volta che l’alunno e il docente riescono a concordare e a condividere ilsignificato di una unità di conoscenza, si verifica un apprendimentosignificativo. Novak50 afferma che: L’apprendimento significativo è alla base dell’integrazione costruttiva di pensieri, sentimenti e azioni e induce all’empowerment finalizzato all’impegno e alla responsabilità.50 J. NOVAK, L’apprendimento significativo, Erickson, Trento 2001 (1998). La citazione si trova apagina 26. Pagina 53 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram2.5.2. L’apprendimento significativoIl carattere essenziale del processo di apprendimento di un significato(apprendimento significativo) è che idee espresse in forma simbolica venganocollegate in modo non arbitrario, seppur soggettivo, a ciò che il soggetto sagià, vale a dire agli aspetti già esistenti nel suo bagaglio conoscitivo.L’apprendimento di significati presuppone che il discente presenti una certadisposizione a porre in relazione il nuovo materiale, in modo non arbitrario esostanziale, alla sua struttura di cognizioni, e che il materiale da apprenderesia significativo per lui.Un buon insegnante aiuterà perciò l’alunno ad andare oltreall’apprendimento meccanico, analizzando insieme a lui i significati di quantoè stato appreso.Fig. 2.12 – Apprendimento significativoL’apprendimento significativo51, come illustrato dalla mappa, richiede: - conoscenze precedenti: l’alunno deve possedere già delle informazioni da mettere in relazione a quelle nuove, perché queste possano essere51 D. P. AUSUBEL, Educazione e processi cognitivi. Guida psicologica per gli insegnanti, FrancoAngeli,Milano 1994, 94. Pagina 54 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram apprese in maniera più approfondita; - materiale significativo: le conoscenze da apprendere devono essere rilevanti in rapporto ad altre e devono contenere concetti e proposizioni significativi; - che l’alunno scelga di apprendere in modo significativo: l’alunno deve decidere consapevolmente di mettere in relazione, in modo non superficiale, le nuove conoscenze con quelle già in suo possesso.Fine ultimo del processo di apprendimento significativo pare quindi quello diportare l’alunno e l’insegnante alla metaconoscenza e almetapprendimento52, due parti distinte, ma interconnesse, di quellaconoscenza che caratterizza la comprensione dell’uomo.2.5.3. Nascita e sviluppo delle mappe concettualiLe mappe concettuali si svilupparono nel 1972, nel corso del programma diricerche di Novak, presso la Cornell University, dove lo studioso cercava ditrovare e di comprendere i cambiamenti nell’apprendimento delle scienze daparte dei bambini. Questo programma di ricerche era basato sulla psicologiadell’apprendimento di Ausubel, secondo cui l’apprendimento ha luogo grazieall’assimilazione di nuovi concetti e proposizioni all’interno di concettiesistenti e di strutture proposizionali possedute dal discente (questa strutturadi conoscenza, così come è posseduta dall’alunno, si riferisce anche allastruttura cognitiva di ogni individuo).Durante il corso di questi studi, i ricercatori intervistarono molti bambinirinvenendo però notevoli difficoltà nell’identificare cambiamenti specifici52 Per metaconoscenza si intende la conoscenza della vera natura della conoscenza e dell’azione delconoscere; per metapprendimento, l’apprendimento di ciò che riguarda la naturadell’apprendimento o l’apprendere ad apprendere. Pagina 55 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramnell’apprendimento di concetti scientifici dall’esame delle trascrizioni delleinterviste effettuate.Dalla necessità di trovare un modo migliore per rappresentare lacomprensione dei concetti da parte del bambino, nacque l’idea dirappresentare la sua conoscenza sotto forma di mappa concettuale53.2.5.4. Le mappe concettuali e la loro funzioneUna mappa concettuale è la rappresentazione grafica di concetti espressi informa sintetica, parole-concetto, all’interno di una forma geometrica, nodo, ecollegati fra loro da linee o frecce che esplicitano la relazione attraversoparole-legamento54.Le mappe concettuali servono a mettere in evidenza le connessioni disignificato tra i concetti che formano le proposizioni55. Il termine proposizioneidentifica un’unità semantica in cui due o più concetti sono legati fra loro daparole.Nella sua forma più semplice, una mappa concettuale può essere costituitaproprio da due concetti uniti con una parola che stabilisce tra essi unarelazione.Riprendiamo direttamente da Novak-Gowin: Ad esempio: “Il cielo è blu” è una proposizione valida formata dai concetti “cielo” e “blu”. La maggior parte dei significati, però, vengono appresi attraverso proposizioni complesse, all’interno delle quali è incluso il concetto particolare di cui si vuole comunicare il significato.53 NOVAK, CAÑAS, The Theory Underlying Concept Maps and How to Construct Them.54 Definizione tratta da GINEPRINI, GUASTAVIGNA, Mappe per capire. Capire per mappe, 8.55 J. D. NOVAK, D. B. GOWIN, Imparando a imparare, SEI, Torino 1989, 31. Da qui è tratto anchel’esempio citato. Pagina 56 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram Sebbene proprietà empiriche concrete possano facilitare l’apprendimento di concetti, le regolarità rappresentate dalle etichette concettuali acquistano ulteriore significato attraverso le affermazioni proposizionali che includono concetti. Frasi come “l’erba è verde”, “l’erba è una pianta”, “l’erba è una Fig. 2.13 – Gli esempi citati graminacea”, hanno contribuito ad aumentare l’ampiezza e precisione del concetto “erba”.Costruire mappe concettuali è un espediente per schematizzare un insieme disignificati nascosti dentro una rete di proposizioni; ha perciò la funzione dimettere a fuoco, per chi impara e per chi insegna, le idee chiave su cui ci sideve concentrare per svolgere un determinato compito.Proprio per questo abbiamo deciso di trattare le mappe concettuali inmaniera più diffusa e approfondita all’interno di questo capitolo: ci sembrainfatti che esse possano essere un valido strumento che consente, mediantel’utilizzo del linguaggio56 ed il confronto con i pari, di conoscere i propriprocessi cognitivi e metacognitivi sottostanti lo svolgimento di attività e divisualizzarli grazie all’utilizzo di un supporto grafico.2.5.5. Le mappe concettuali. Elementi fondamentaliGli elementi fondamentali delle mappe concettuali, come già56 Il linguaggio gioca un ruolo fondamentale nello scambio dell’informazione e, quindi, riveste unruolo fondamentale per capire il valore e lo scopo delle mappe concettuali: essendo queste unarappresentazione esplicita dei concetti e delle proposizioni che una persona sa formulare, le mappeconcettuali permettono agli insegnanti e agli studenti di discutere se un legame proposizionale èvalido, o di riconoscere la mancanza di relazioni tra i concetti e, quindi, anche di identificarel’informazione da cercare. Esse sono inoltre utili per rivelare misconcezioni e per giungere a“contrattare”, a “negoziare” i significati. Pagina 57 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramprecedentemente accennato, sono: - le parole-concetto; - i collegamenti; - le parole-legame.Le parole-concettoIndichiamo con concetto una regolarità percepita in eventi e oggetti, edesplicitata convenzionalmente attraverso un’etichetta: i concetti sonodunque unità di significato con le quali pensiamo il mondo e combiniamo etrasformiamo i molteplici elementi che lo compongono.I concetti vengono indicati attraverso l’uso di etichette, le parole-concetto, evengono collocati all’interno di figure geometriche isoforme (supporto visivoper l’identificazione e la separazione dei concetti l’uno dall’altro).I collegamentiUna mappa concettuale indica una specie di percorso: visualizza le strade chesi possono prendere per collegare i concetti in una proposizione. Icollegamenti, quindi, sono i legami fra i concetti della mappa e aiutano avisualizzare come i vari concetti sono legati fra loro.Secondo Novak-Gowin57, le mappe concettuali dovrebbero assumere unaconfigurazione gerarchica; Novak58 precisa inoltre che le mappe concettualidovrebbero essere lette dall’alto verso il basso, procedendo dai concetti diordine più elevato (più generali ed inclusivi) posti in alto, fino ai concetti diordine inferiore (più espliciti e specifici) che si trovano in basso.Secondo i due studiosi, quindi, la rete di significati raffigurata attraverso le57 NOVAK, GOWIN, Imparando a imparare, 31-32.58 NOVAK, L’apprendimento significativo, 11-12. Pagina 58 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrammappe e la gerarchia concettuale realizzata, non possono che spiegarsi con ilcriterio di inclusività, pur riconoscendo l’esistenza di collegamenti trasversali(di cui però non specificano i caratteri).Gineprini-Guastavigna59 offrono una classificazione dettagliata deicollegamenti verticali ed orizzontali:Fig. 2.14 – I vari tipi di collegamento delle mappe concettualiI collegamenti verticali rappresentano relazioni fra i concetti di tipo inclusivo,relazioni di causa-effetto, di fine o scopo, transitive o predicative60; icollegamenti orizzontali indicano invece relazioni fra concetti di tipotemporale, spaziale, nominale, relazione di addizione/ordine/paragone ocontrasto e relazioni di esplicazione o di esemplificazione.I collegamenti trasversali, che indicano le relazioni esistenti tra le idee che sitrovano in parti diverse della mappa, possono in generale racchiudere lemedesime tipologie di relazione sia dei collegamenti orizzontali, sia di quelliverticali.59 M. GINEPRINI, M. GUASTAVIGNA, Mappe concettuali nella didattica, sta inhttp://www.pavonerisorse.to.it/cacrt/mappe/, 12.60 I collegamenti transitivi indicano il tipo di azione compiuta da un concetto nei confronti di un altro.La freccia va da concetto che compie l’azione a quello che la subisce, e tali concetti sono dispostidall’alto verso il basso. Pagina 59 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramLe parole-legameLe parole-legame definiscono i rapporti esistenti fra i nodi, permettendocicosì di costruire una comunicazione dotata di significato; esse danno il sensoche altrimenti verrebbe a mancare in una trasmissione composta unicamenteda concetti.2.5.6. Metodi di realizzazioneEsistono vari sistemi per realizzare, nella pratica, le mappe concettuali: alcuniprevedono il rapporto con gli oggetti concreti al posto dei concetti (in specialmodo con i bambini più piccoli); altri l’utilizzo di carta, forbici, post-it; altriancora sfruttano le possibilità offerte dalla tecnologia mediante il ricorso asoftware più o meno specifici.Fig. 2.15 – Metodi di realizzazione di mappe concettualiFoglio di carta molto grande e oggetti concretiÈ probabilmente il modo più creativo di introdurre l’uso delle mappe con ibambini in tenera età.Il foglio da spolvero viene posizionato per terra e vi vengono posti sopra glioggetti-concetti; si possono prevedere due fasi: in un primo momento siinseriscono gli oggetti reali; successivamente è possibile passare a livellisempre maggiori di astrazione (dapprima foto e disegni, poi parole, infine Pagina 60 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramsimboli).Una variante concreta, nel caso non si disponga di oggetti reali, consistenell’utilizzo di cartellone con carta, forbici, colla, matite colorate.Lavagna e gessoÈ il livello minimo di dotazione tecnologica, che ha il vantaggio di nonmancare in nessuna aula scolastica; il difetto maggiore è che il lavoro vieneimmediatamente perso con la cancellazione della lavagna stessa. Ovviamentela mappa può essere trascritta con carta e penna, ma questo lavoro dicopiatura è poco entusiasmante e le eventuali operazioni di correzionesuccessive comportano un continuo lavoro di riscrittura. La conservazione ela diffusione del lavoro risultano alquanto difficoltose.Post-itÈ un modo molto interessante per poter costruire mappe, apportandoaggiustamenti successivi: i post-it, infatti, sono riposizionabili ed aderiscono amolte possibili superfici, purché lisce.Anche questo metodo, però, non favorisce la trasportabilità del lavoro.Pc e software idoneiÈ naturalmente il modo non solo tecnologicamente più avanzato, ma ancheche meglio consente aggiustamenti, riscritture e riposizionamenti deglielementi costitutivi di una mappa; permette di conservare traccia dellamemoria storica dell’evoluzione di quella certa mappa (attraverso salvataggisuccessivi con nomi differenti), di produrne in qualsiasi momento una copiasu supporto cartaceo e di conservare e trasportare facilmente il lavoro fatto.Benché sia possibile realizzare mappe anche con i comuni software perriscrivere o disegnare o con i comuni fogli di calcolo, è sicuramente più Pagina 61 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramagevole e si ottengono risultati migliori con l’impiego di software specifici.Concept Map Tools©Il software Cmap Tools, creato dall’Institute for Human and MachineCognition (IHMC), riunisce la solidità delle mappe concettuali con il poteredella tecnologia, in particolare internet e il world wide web (www).Il software è semplice da utilizzare per gli utenti di tutte le età, che possonocreare e modificare le mappe concettuali con la medesima semplicità con cuipossono costruire un testo scritto; esso permette inoltre agli utenti: dicollaborare a distanza nella costruzione delle loro mappe, di pubblicare leproprie mappe concettuali cosicché chiunque su internet possa avere accessoad esse, di collegare risorse alle proprie mappe per una ulteriore spiegazionedei loro contenuti, di perlustrare il web per trovare informazioni correlate allamappa.Caratteristiche delle mappe concettuali in ambiente Cmap Tools: - assenza di una sintassi di connessione predefinita; - valorizzazione di qualsiasi stile di progettazione; - assegnabilità, ai nodi-concetto, oltre che di relazioni, di varie proprietà che li possono ulteriormente correlare e connotare; - approfondimento potenziale: a ciascun nodo può essere associata una o più risorse locali o di rete, alle quali sarà possibile associare un’etichetta o una ulteriore descrizione; - ingresso in una comunità.Ne consegue che l’ambiente è utile per la costruzione di mappe sia quando,fin dall’inizio del processo, si ha pieno dominio del campo di conoscenza e/odi azione che si intende rappresentare (in termini sia di articolazione deiconcetti, sia di relazione fra di essi), sia quando risulta necessario inveceprocedere per raffinamenti successivi. Pagina 62 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram Pagina 63 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram3. LA GEOMETRIA A SCUOLA3.1. Imparare la geometria3.1.1. Conoscere per immagini mentaliL’essere umano, per sua natura, si forma spontaneamente immagini(mentali) di ciò con cui entra in contatto in forma sensibile. Immagine mentale è il risultato figurale o proposizionale prodotto da una sollecitazione (interna o esterna). L’immagine mentale è condizionata da influenze culturali, stili personali, in poche parole è prodotto tipico dell’individuo, ma con costanti e connotazioni comuni tra individui diversi. Essa può più o meno essere elaborata coscientemente (anche questa capacità di elaborazione dipende dall’individuo). Tuttavia l’immagine mentale è interna e almeno in prima istanza involontaria61.Anche nel caso in cui venga pronunciato il nome di un oggetto ignoto alsoggetto, questi cercherà di farsi un’immagine di esso in modo confuso ocompleto o parziale, in base alle proprie conoscenze ed esperienze.Ciò succede anche, e a maggior ragione, nell’ambito didattico, dove, ormai datempo, è caduta la tradizionale (e obsoleta) concezione di insegnamento perimposizione dall’alto e dal di fuori, a motivo della considerazione del fanciullocome tabula rasa o “brocca vuota da riempire”. Il bambino, al contrario, è“detentore” di un patrimonio di conoscenza che va accresciuto e sviluppato,a partire innanzitutto dal suo riconoscimento.Perché ciò avvenga, però, è necessario comprendere come avviene ilprocesso di insegnamento-apprendimento.61 B. D’AMORE, Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concettuali della didattica dellamatematica, Pitagora, Bologna 2003, 85. Pagina 64 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram *…+ lo studente si costruisce un’immagine I1 di un concetto C; egli la crede stabile, definitiva. Ma, ad un certo punto della sua storia cognitiva, riceve informazioni su C che non sono contemplate nell’immagine I1 che aveva. Egli deve allora adeguare la vecchia immagine I1 ad una nuova, più ampia, che non solo conservi le precedenti informazioni, ma accolga coerentemente anche le nuove. Di fatto, egli si costruisce una immagine I2 di C. Tale situazione può ripetersi più volte durante la storia scolastica di un allievo, costringendolo a passare da I2 a I3… Molti dei concetti della Matematica sono raggiunti grazie a passaggi, nei mesi o negli anni, da un’immagine ad un’altra più… comprensiva e si può immaginare questa successione di costruzioni concettuali, cioè di successive immagini I1, I2, …, In, In+1, … come una specie di scalata, di “avvicinamento” a C.Abbiamo fatto riferimento a D’Amore per aiutarci nella spiegazione di come,durante il percorso scolastico, gli alunni si avvicinino alla formazione deiconcetti.Come abbiamo detto, a seguito di una stimolazione esterna, nella mente siforma un’immagine dell’oggetto/concetto che ha prodotto quellastimolazione. Si tratta, in prima battuta, di un’immagine incerta, costruitasulla base degli elementi a disposizione di chi si trova a dover analizzarequegli stimoli. In un momento successivo, quando giungono nuoveinformazioni sullo stesso oggetto/concetto, il soggetto si trova a doveradeguare l’immagine posseduta alla nuova, a motivo del gap creatosi. Questogap, che deriva da un conflitto cognitivo62, può essere voluto e procuratodall’insegnante che, in qualità di mediatore63, ha prodotto una situazione diapprendimento facilitante per l’alunno stesso.62 Per il significato di conflitto cognitivo, cfr. p. 128.63 Definisco mediatore l’insegnante, facendo riferimento all’esperienza di Reuven Feuerstein,secondo il quale è possibile un cambiamento delle modalità con cui il soggetto si pone di fronte aiproblemi ed ai contenuti di apprendimento, a condizione però di una buona mediazione culturale daparte del mediatore che, a scuola, viene personificato dalla figura docente.Per avere indicazioni più approfondite sulle basi teoriche cui fa riferimento il metodo che da luiprende il nome (Metodo Feuerstein, appunto), R. FEUERSTEIN, R. FEUERSTEIN, L. FALIK, Y. RAND, IlProgramma di Arricchimento Strumentali di Feuerstein, Erickson, Trento 2008. Pagina 65 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramAl termine del cammino di apprendimento sotto la guida dell’insegnante-mediatore, nella mente del bambino si forma il modello del concetto,l’immagine mentale finale di una successione di immagini sempre piùelaborate e comprensive. Nelle parole di D’Amore64, quanto detto suona così Ad un certo punto di questa successione di immagini, c’è un momento in cui l’immagine cui si è pervenuti dopo vari passaggi «resiste» a sollecitazioni diverse, si dimostra abbastanza «forte» da includere tutte le argomentazioni e informazioni nuove che arrivano rispetto al concetto C che rappresenta. Un’immagine di questo tipo, dunque stabile e non più mutevole, si può chiamare «modello» M del concetto C.3.1.2. Insegnare GeometriaDa quanto esposto nel paragrafo precedente, pare chiaro che, per ilraggiungimento del successo scolastico da parte di ogni studente, ènecessario che l’insegnante crei conflitti cognitivi nella mente dell’alunno,così da obbligare quest’ultimo ad un riadattamento progressivo delleimmagini mentali da lui possedute e portarlo ad avvicinarsi in misura sempremaggiore al modello del concetto.Da dove iniziare, però, per quanto riguarda l’insegnamento della geometria?Uno sguardo alla tradizioneL’insegnamento tradizionale si basa sulla geometria euclidea e prende l’avviodalla costruzione logica di assiomi, definizioni, teoremi e dimostrazioni cheEuclide, più di 2000 anni fa, utilizzò per costruire il sistema.Presentare la geometria a partire dagli assiomi, però, prevede che gli alunnipensino ad un livello deduttivo formale, e che perciò possano non solo64 D’AMORE, Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concettuali della didattica dellamatematica, 86. Pagina 66 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrammemorizzare fatti e regole, ma anche comprendere le relazioni fra le idee.Così non è, in special modo se si fa riferimento ai bambini del primo ciclo diistruzione. Anzi, questo modo di insegnare la geometria crea un forte divariofra il livello di pensiero degli alunni e il livello di pensiero che è richiesto lorodi imparare.Se è vero che l’istruzione e la scuola devono mettere al centro del lorooperare il bambino che apprende, sembra allora imprescindibile laconoscenza delle tappe che questo attraversa nel suo percorso diapprendimento. Facendo riferimento all’opinione di Piaget, infatti, è meglio non dare insegnamenti, piuttosto che fornirli al momento sbagliato.I Livelli di pensiero geometricoPare allora necessario provvedere un insegnamento che sia rispettoso dellivello di sviluppo del bambino.A differenza di Piaget però, il quale sosteneva che lo sviluppo mentale delbambino dipendesse dai cambiamenti qualitativi che contraddistinguono glistadi o periodi dall’età evolutiva65, l’autore della teoria dei Livelli di pensierogeometrico (Levels of Geometric Thinking), Pierre Van Hiele, ritiene che ilivelli di pensiero siano fortemente connessi alle esperienze e agliinsegnamenti cui il bambino è sottoposto.Tale teoria, che l’autore ha esposto in un articolo apparso su TeachingChildren Mathematics66, propone una gerarchia di livelli di pensiero che siestende dall’età di circa cinque anni fino al periodo universitario67.65 P. BOSCOLO, Psicologia dell’apprendimento scolastico, UTET, Torino 1997, 29.66 P. VAN HIELE, Developing Geometric Thinking through Activities that Begin with Play, «TeachingChildren Mathematics» n. 6 (February 1999): 310-316.67 J. WAY, The Development of Spatial and Geometric Thinking: the Importance of Instruction, in Pagina 67 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram In my levels of geometric thinking, the “lowest” is the visual level, which begins with nonverbal thinking. At the visual level of thinking, figures are judged by their appearance68.Il primo livello proposto da Van Hiele viene indicato come visual level (livellovisivo) e ha inizio con il pensiero non verbale69.Nel livello visivo, le forme vengono giudicate attraverso il loro aspetto egeneralmente viste come un tutto, piuttosto che come un insieme di partidistinte. Malgrado i bambini comincino ad utilizzare i nomi delle formeprincipali, non sono in grado di offrire spiegazioni; piuttosto, associano laforma con oggetti familiari70. At the next level, the descriptive level, figures are the bearers of their properties. *…+ language is important for describing shapes. However, at the descriptive level, properties are not yet logically ordered *…+71.Nel secondo livello, il livello descrittivo, i bambini possono identificare edescrivere le parti dei componenti e le proprietà delle forme72; per fare ciò,hanno bisogno di sviluppare un linguaggio appropriato da accompagnare ainuovi concetti specifici.A questo livello, le proprietà non sono logicamente ordinate: ciò significa chehttp://nrich.maths.org/public/leg.php?group_id=22&code=5044#results.68 Nei miei livelli di pensiero geometrico, il più basso è il livello visivo, che comincia con il pensieronon verbale. Nel livello visivo del pensiero, le forme sono giudicate attraverso il loro aspetto.69 Il pensiero non verbale ha grande importanza dal momento che tutto il pensiero razionale trovaorigine in esso e poiché molte delle decisioni vengono prese solamente mediante questo tipo dipensiero.70 Nell’esempio proposto dall’autore: “Children might say, - It is a rectangle because it look like abox-” (I bambini possono dire - È un rettangolo perchè sembra una scatola-).71 Nel livello successivo, il livello descrittivo, le figure sono portatrici delle loro proprietà. Illinguaggio è importante per descrivere le figure. In ogni caso, nel livello descrittivo, le proprietà nonsono ancora logicamente ordinate.72 “For example, an equilater triangle has such properties as three sides; all sides equal; three equalangles; *...+” (Per esempio, un triangolo equilatero ha alcune proprietà come tre lati; tutti i lati uguali;tre angoli uguali). Pagina 68 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrami bambini non percepiscono le relazioni fondamentali fra le proprietà73. At the next level, the informal deduction level, properties are logically ordered. They are deduced from one another *…+. Students use properties that they already know to formulate definitions *…+ and use them to justify relationships74.In questo livello, il livello della deduzione informale, le proprietà delle formevengono ordinate in modo logico: gli studenti sono in grado di capire che unaproprietà precede o segue un’altra e che, quindi, possono dedurre unaproprietà da un’altra; sono inoltre in grado di applicare quello che hannoappena compreso per spiegare le relazioni fra le forme, e per formularnedefinizioni.Sebbene la deduzione informale formi la base della deduzione formale, ilruolo degli assiomi, delle definizioni, dei teoremi e delle proposizioni inversenon è stato compreso.Molto spesso, infatti, gli studenti non hanno raggiunto questo livello dideduzione informale, e di conseguenza non hanno avuto successo nellostudio della geometria euclidea che coinvolge la deduzione formale.Come è possibile sviluppare siffatto pensiero? I believe that development is more dependent on instruction than on age or biological maturation and types of instructional experiences can foster, or impede, development75.Un’istruzione ben calibrata può quindi favorire la progressione all’interno dei73 “So a triangle with equal sides is not necessary one with equal angles” (Così un triangolo con tutti ilati uguali non è necessariamente anche uno con gli angoli uguali).74 Nel nuovo livello, il livello della deduzione informale, le proprietà sono logicamente ordinate.Sono dedotte le une dalle altre *…+. Gli studenti utilizzano le proprietà che già conoscono performulare definizioni *…+ e usano queste per giustificare relazioni.75 Sono convinto che lo sviluppo (del pensiero geometrico, ndr.) dipende più dall’istruzione chedall’età o dalla maturazione biologica e che il tipo di esperienza educativa può favorire o impediretale sviluppo. Pagina 69 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramlivelli del pensiero geometrico formulati dall’autore, molto più di quantofacciano l’età o la maturazione biologica.Fondamentale appare dunque il ruolo dell’insegnante, e dell’insegnamento-apprendimento, per favorire, nell’alunno, la graduale costruzione di immaginimentali e di modelli di concetti.Resta da chiarire una questione: dal momento che l’apprendimento diconcetti avviene attraverso la costruzione progressiva di immagini mentalisempre più rappresentative del concetto stesso, e che la maturazione delpensiero geometrico avviene anch’essa grazie ad un percorso graduale cheporta da un livello di pensiero (e quindi da un modo di conoscere la realtà) aquello superiore per mezzo dell’intervento educativo cui l’alunno èsottoposto, perché lo studente incontra tante difficoltà nell’apprendimentodella geometria?3.1.3. Difficoltà nell’apprendimento della geometria76Abbiamo analizzato in che maniera avviene l’apprendimento e quali sono lefasi attraverso cui si sviluppa, in particolare, il pensiero geometrico. Proviamoora a tracciare una breve sintesi degli elementi che potrebbero costituire unostacolo per l’apprendimento della geometria (e in generale dellamatematica).Il contratto didatticoConcepita da Guy Brousseau ed entrata nel campo della ricerca in didatticadella matematica a partire dagli anni Sessanta, l’idea di contratto didattico siè rivelata da subito feconda per rivelare cosa avviene in classe durante le ore76 Abbiamo deciso di intitolare così questo paragrafo ma siamo consapevoli di come il discorso siageneralizzabile anche all’apprendimento della matematica. Pagina 70 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramdi matematica.Egli lo definiva in questi termini: In una situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere un problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico77.Per contratto didattico si può quindi intendere tutto ciò che regola ilcomportamento di allievi, ed insegnanti, in base alle attese che ciascuno diessi ha nei confronti dell’altro e della matematica. È come se, in aula, l’allievocercasse di comportarsi nella maniera che ritiene meglio assecondi leaspettative che il suo insegnante riversa su di lui. Queste attese (che in realtàsono reciproche) scaturiscono dalle convinzioni che lo studente si è fatto disé, dell’insegnante, dei rispettivi e reciproci ruoli sociali, della scuola, dellenorme, della valutazione, della matematica e del suo senso 78.Non essendovi stato abituato, lo studente non ha la forza di rompere ilcontratto didattico, malgrado talvolta (ne sono prova le esperienze compiuteproprio da D’Amore) riconosca l’assurdità dei problemi posti dall’insegnante:egli preferisce rispettarne le clausole pur di non rischiare, pur di non osare inprima persona. Proprio in ragione di ciò, lo studente non si farà scrupolo afornire risposte che all’adulto parranno assurde: sta solo cercando di trovarela risposta che spera essere quella attesa dal suo insegnante.77 La definizione data da BROUSSEAU è tratta da D’AMORE, Le basi filosofiche, pedagogiche,epistemologiche e concettuali della didattica della matematica, 66.78 M. I. FANDIÑO PINILLA, B. D’AMORE, Area e Perimetro, «Strumenti per la didattica dellamatematica» 1, Erickson, Trento 2006, 86-87. Pagina 71 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramEccesso di rappresentazioni semioticheIn matematica generalmente si usano, fin da subito, rappresentazioni, e non“oggetti reali”: si sceglie un registro semiotico, ed in questo si formulano lediverse rappresentazioni dell’oggetto in questione. Il rischio, però, è che lostudente confonda le rappresentazioni con l’oggetto matematico: eglidunque apprende la gestione delle rappresentazioni semiotiche, ma non è ingrado di costruire, nella sua mente, l’oggetto matematico.Quando il numero di rappresentazioni semiotiche da gestire è eccessivo, ilpericolo è l’insuccesso apprenditivo: lo studente infatti si confonde poichédedica la propria attenzione alla gestione dei registri semiotici piuttosto cheall’apprendimento concettuale.Immagini e modelli formatisi troppo prestoAbbiamo già parlato di immagini mentali e di modelli concettuali. Farsi unmodello di un concetto significa rielaborare successive immagini (deboli,instabili) per giungere ad una di esse definitiva (forte, stabile).Al modello raggiunto, si dà il nome di modello interno, privato: ad esso lostudente deve fare riferimento nel momento in cui, per esempio in situazionedi comunicazione con altri, vuole produrre un modello esterno.Esiste la possibilità che tale modello interno si formi al momento giusto, cioèquando si tratta davvero del modello corretto che l’insegnante ha auspicatoper il concetto C: in questo caso, l’azione didattica ha funzionato.Può anche capitare, invece, che il modello si formi troppo presto, quandorappresenta ancora soltanto un’immagine che avrebbe dovuto essereulteriormente ampliata: in questo caso sarà difficile per lo studenteraggiungere C in quanto M (il modello che si è formato) farà da ostacolo agliapprendimenti futuri.È anche vero, però, che spesso è l’insegnante a proporre un’immagine forte e Pagina 72 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramconvincente, persistente, confermata da continui esempi ed esperienze di unconcetto C: l’immagine proposta si trasforma così in un modello intuitivo oparassita.Dalle considerazioni fatte, pare evidente che la situazione ideale sia quella delraggiungimento del modello al momento opportuno; nel caso questo nonfosse possibile, sarebbe auspicabile che l’insegnante non proponga modelliintuitivi, lasciando piuttosto immagini instabili, il più vicino possibile al saperematematico che si vuole raggiungere, ma ancora passibili di successiviaccomodamenti.Conflitti e misconcezioniNel suo percorso di apprendimento, lo studente può aver assunto unconcetto ed essersene fato un’immagine; questa, nel tempo, può essererinforzata da prove o rivelarsi inadeguata rispetto ad un’altra del medesimoconcetto che si manifesta in conflitto con quella da lui posseduta.Questo contrasto, o conflitto cognitivo, accade specialmente quando la nuovaimmagine amplia i limiti di applicabilità del concetto o ne dà una versione piùcomprensiva.Una misconcezione è invece un concetto errato, che costituisce in genere unevento da evitare. Essa però non va sempre vista come una situazione deltutto negativa: spesso infatti, per poter raggiungere la costruzione di unconcetto infatti, è spesso necessario passare attraverso una misconcezionemomentanea in corso di sistemazione79.Definire semplicemente “errori” le misconcezioni pare molto riduttivo inquanto esse sembrano, in realtà, un delicato, e necessario, momento di79 Lo studente rivela spesso le sue misconcezioni quando applica correttamente regole scorrette,spesso a causa di una mancata comprensione o di una errata interpretazione del contesto. Pagina 73 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangrampassaggio da una prima concezione elementare ad una più elaborata ecorretta. Non si tratta perciò di punire; al contrario, è necessario dare glistrumenti per l’elaborazione critica di una sistemazione cognitiva.Stili cognitiviIntendiamo, per stile cognitivo, l’insieme delle caratteristiche personali checiascun individuo ha e mette in opera nel processo di pensiero e diapprendimento in maniera più o meno consapevole; gli stili sono correlaticon la personalità.Per l’insegnante, individuare delle costanze, delle regolarità, degli aspetti distabilità nelle modalità con le quali lo studente apprende, adottando alcunestrategie più frequentemente di altre, è utile al fine di valorizzare leinclinazioni individuali come risorse primarie, per riuscire ad affrontaresituazioni diverse80.Proporre attività che vadano incontro solamente allo stile cognitivo di unparticolare alunno (o di un piccolo gruppo di alunni, non tenendo inconsiderazione gli altri) rischia di diventare, per questi ultimi, non solocontroproducente, ma anche fortemente demotivante.OstacoliUn ostacolo è un’idea che, al momento della formazione di un concetto, è stata efficace per affrontare dei problemi (anche solo cognitivi) precedenti, ma che si rivela fallimentare quando si tratta di applicarla ad un problema nuovo. Visto il successo ottenuto (anzi, a maggior ragione a causa di questo), si tende a conservare l’idea già acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si80 M. CANTOIA, L. CARRUBBA, B. COLOMBO, Apprendere con stile, Carocci Faber, Roma 2004, 16-18. Pagina 74 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram cerca di salvarla; ma questo fatto finisce con l’essere una barriera verso i successivi apprendimenti81.D’Amore riconosce tre tipi di ostacoli: - di natura ontogenetica: quando le capacità e conoscenze adatte all’età mentale dell’individuo risultano inadatte nei confronti della progetto didattico proposto; - di natura didattica: nel caso in cui le scelte didattiche che un insegnante ritiene efficaci, risultano inefficaci per alcuni alunni; - di natura epistemologica, che dipende dalla natura dell’argomento trattato.Mancanza di situazioni adidatticheQuali sono le situazioni di cui si fa maggiormente esperienza a scuola? E inquale situazione si ha apprendimento significativo? Nella situazionedidattica? In quella non didattica? O piuttosto nella situazione adidattica? La situazione adidattica è una situazione che l’insegnante crea tenendo conto dello stato cognitivo dei suoi allievi, delle esigenze del programma, della trasposizione, dell’ambiente; egli la propone in maniera indiretta o, meglio, se possibile, non la propone affatto, ma fa sì che sia necessario entrarvi. Con una azione che si chiama devoluzione, affida agli studenti la gestione di tale situazione; essi sanno che, accettando tale responsabilità, impareranno qualche cosa, cioè sanno che lo scopo dell’attività è di apprendimento, ma non sanno che cosa stanno per accettare82.In questo tipo di situazione, l’insegnante ha la funzione di regista dellasituazione, che si limita a sorvegliare e indirizzare gli studenti implicati, inprima persona, nel lavoro di scoperta del nuovo apprendimento.81 D’AMORE, Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concettuali della didattica dellamatematica, 105.82 FANDIÑO PINILLA, D’AMORE, Area e Perimetro, 105-106. Pagina 75 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramQuando lo studente giunge alla costruzione della conoscenza chel’insegnante desidera, quest’ultimo lo invita a renderla pubblica e adifenderla dalle incertezze o dalle opposizioni degli altri compagni (questadifesa, detta validazione, garantisce il passaggio da un modello solamenteinterno ad uno esterno). Quando gli studenti giungono alla socializzazionedella conoscenza, cioè alla costruzione di conoscenza condivisa, attendonoche l’insegnante istituzionalizzi il sapere raggiunto, riconoscendogli lo statusteorico e dandogli il nome con il quale la società lo riconosce.3.1.4. Una propostaDopo aver affrontato approfonditamente a livello teorico i vari aspetti relativiall’apprendimento della matematica (e della geometria), andremo a proporrealcune possibili attività relative alla risoluzione di problemi geometriciall’interno del percorso di insegnamento-apprendimento della disciplina perle classi III e IV della scuola primaria.Abbiamo deciso di utilizzare uno strumento per avvicinarci ad essa, proprio inconsiderazione del fatto che l’apprendimento, in questa età, deve partiredall’esperienza reale e, in particolar modo, dal rapporto con gli oggetti.Che cosa meglio di un “gioco”?Utilizzeremo il tangram: un gioco-rompicapo coinvolgente e motivante per ilbambino che, senza accorgersene, ha la possibilità di apprendere, provandoper giunta piacere nel farlo.Cominciamo col farne la conoscenza, per poi comprendere, nel capitolosuccessivo, come sia possibile utilizzarlo a livello didattico. Pagina 76 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram4. IL TANGRAM4.1. Un oggetto misterioso4.1.1. Proviamo ad immaginare un puzzlePer molti versi, il tangram può essere paragonato adun puzzle83: si tratta infatti di un gioco da tavolo,formato da pezzi da avvicinare per formareimmagini.Almeno una volta nella vita, ognuno di noi si ètrovato a dovere risolvere un puzzle, un rompicapo Fig. 4.1 – Il tangramcon un numero di pezzi variabile, rivolto ad unpubblico che può andare dai 3 ai 100 anni di età.Le difficoltà e i processi logici da compiere nel percorso di risoluzione, sonogli stessi sia per i bambini, che per gli adulti; quello che cambia sono leimmagini, il numero di pezzi e le difficoltà dovute al procedimento percompletare il puzzle.4.1.2. Un puzzle un po’ specialeIl tangram è anchesso un puzzle, ma con caratteristiche diverse dal giocoeuropeo: non è solo un gioco ma, come tante altri oggetti che provengonodalloriente, è anche lespressione di una filosofia, di un modo di vivere.Il tangram (in cinese: 七巧板) è un gioco rompicapo cinese. Il nome significa"Le sette pietre della saggezza“ o “La tavoletta della saggezza”.83 Secondo la definizione da dizionario, per puzzle si intende un gioco da tavolo in cui bisognaincastrare tra loro dei pezzi di cartone di piccole dimensioni fino a risalire allimmagine originale. Puòessere considerato un rompicapo. Pagina 77 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramIl numero dei suoi pezzi è fisso: il tangram è infatti suddiviso in sette formegeometriche che ne sono gli elementi base (tan).Questi pezzi, come è possibile vedere dalla figura, sono: - 5 triangoli, di cui:  due grandi,  uno medio  due piccoli; - 1 quadrato; - 1 parallelogramma.Fig. 4.2 – Composizione del tangramA partire da questi elementi è possibile ricostruire una serie più o menoinfinita di figure.Fig. 4.3 – Il tangram e i suoi tanIn riferimento al suo significato, quanto mai appropriato appare, allora, ilnome tangram: se lo scopo di questo gioco è quello di ricostruire il maggiornumero di figure possibili, questa tavoletta non può che richiedere riflessionee astuzia, oltre che il rispetto di poche regole, che però analizzeremo inseguito. Pagina 78 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram4.2. Fra storia e leggendaRiteniamo indispensabile, a questo punto, fornire alcune indicazioni dicarattere leggendario e storico sul tangram.4.2.1. Narra la leggendaLa leggenda sull’origine del gioco narra di un monaco che donò ad un suoallievo un quadrato di porcellana ed un pennello, affidandogli il compito diviaggiare per il mondo e di dipingere sulla porcellana le bellezze che avrebbeincontrato lungo il suo cammino.Il discepolo, emozionato a motivo del dono ricevuto e del compito che gli erastato affidato, si lasciò scivolare dalle mani il quadrato di porcellana che siruppe formando sette pezzi. Colto dall’imbarazzo e dal timore, cercò di rimediare al danno e, durante i vari tentativi compiuti per ricomporre il quadrato, formò varie figure interessanti. Capì che non avrebbe più avuto bisogno di viaggiare: sarebbe stato sufficienteFig. 4.4 – Immagini realizzate combinare in modo sempre diversocon i pezzi del tangram questi sette pezzi per poter rappresentare, proprio lì, davanti a sé, tutte le bellezze del mondo intero. Pagina 79 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram4.2.2. La storia del tangram Fig. 4.6 – I personaggi di Alice nel Paese delle meraviglie realizzati con il tangram Pagina 80 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram Il tangram è un antichissimo gioco cinese, inizialmente conosciuto con lo strano nome “Tchiao pan”, che risale al 740-730 a.C. Fig. 4.5 – Preparazione del La "Tavoletta della tangram verità", come venne anche chiamato questo gioco, in Cina divenne persino oggetto di culto. Il tangram ebbe un grande successo all’inizio dell’Ottocento: molti furono i libri pubblicati sul gioco e rapida fu la sua diffusione in Europa ed America.Nel 1817, Lewis Carroll scrisse un libro intitolato The Fashionable ChinesePuzzle, dedicato proprio al tangram.Pare infatti che lo scrittore fosse un grande appassionato del gioco, tant’èvero che sembra sia stato proprio grazie ad esso che presero vita le figure delsuo magico mondo in Alice nel Paese delle meraviglie: il Cappellaio Matto, la Pagina 81 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramDuchessa Brutta, il Bianconiglio sarebbero tutti nati da semplici composizionidi quadrati, triangoli e parallelogrammi.Uno dei primi libri sul tangram pubblicati in Italia è del 1818: Il gioco cinesechiamato il rompicapo, edito da Vallardi.Anche il grande esperto in giochi Sam Loyd si occupò del tangram al qualededicò anche un libro, nel 1903, L’ottavo libro del Tan, nel quale sostenevache il gioco era stato inventato quattromila anni prima dal dio Tan e che iprimi Sette libri del Tan contenevano ognuno mille figure del tangram. Il suolibro, che conteneva più di 600 nuove figure, contribuì sicuramente alsuccesso del tangram84.Attualmente, numerosissimi sono i siti internet che parlano del tangram oche offrono suggerimenti per il suo uso didattico; altrettanto numerosi sono isoftware scaricabili dal web per giocare con esso utilizzando il computer.84 Abbiamo citato, in questo paragrafo, la leggenda più diffusa; siamo però consapevoli dell’esistenzadi numerose altre leggende (ad es. in http://archimedes-lab.org).http://rasputin.altervista.org/tangram.htm;http://www.ddripandelli.it/tangram/indice.htm;http://www.math.it/tangram/tangram.htm;http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Tangram/Tangram.htm;http://it.wikipedia.org/wiki/Tangram;http://www.puzzlemuseum.com/month/picm09/2009-03-early-tangram.htm;http://www.lannaronca.it/Programmazione/tangram.htm. Pagina 82 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramSono stati costruiti tangram con vari materiali(legno, plastica o avorio), ma è possibilecostruirlo semplicemente, utilizzando dei fogli dicartoncino (colorati o nero/monocolore85), inmodo tale da poter avere sin dai primi momentidella sua realizzazione il contatto diretto mani-tan. Fig. 4.7 – Un tangram in avorio4.3. Le regole del giocoPoche e molto semplici sono le regole di questo gioco: - utilizzare tutti e sette i pezzi nel comporre la figura finale; - non sovrapporre mai i pezzi.4.4. Un gioco a scuolaPare a questo punto naturale chiedersi perché suggeriamo l’ingresso, fra lemura scolastiche, di un simile gioco.Tralasciamo le questioni relative all’importanza del fare esperienza, delcontatto con gli oggetti, dell’utilità del gioco a livello didattico, di cui giàabbiamo discusso in precedenza.Proviamo a proporre alcune valide motivazioni sull’uso del tangram a scuolaservendoci della seguente mappa concettuale:85 I cartoncini colorati si rivelano indiscutibilmente più utili in presenza di bambini molto piccoli oladdove le caratteristiche delle varie figure geometriche considerate non siano ancora state beninteriorizzate; diversamente, sembra essere preferibile l’utilizzo di pezzi monocolore che, se in primabattuta potrebbero obbligare ad un maggiore sforzo di identificazione dei vari tan, è anche vero checonsente di non correre il rischio che il colore diventi distrattore, e quindi elemento fuorviante, per ilgiocatore. Pagina 83 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 4.8 – Mappa concettuale sul tangramGiocare con il tangram, ha forti risvolti educativi e didattici: rivestono infattiforte connotazione educativa sia il rispetto di semplici regole, sia la possibilitàdi confronto con gli altri, che l’utilizzo del tangram può mettere in atto86.A livello didattico, invece, attraverso percorsi ben definiti e delineati, sipossono affrontare, in ambito matematico, sia la formazione di immaginimentali relative al tema delle frazioni, sia lo studio della geometria piana.Nel capitolo 5, andremo a presentare un percorso riguardante lo studio dellageometria con il tangram e, in particolare, cercheremo di comprendere comesi può formare il concetto geometrico di area nella mente dell’alunnoutilizzando tale strumento.86 Vale la pena fare riferimento, a riguardo, al volume P. GALLO, C. VEZZANI, Mondi nel mondo. Fragioco e matematica, Mimesis, Milano 2007. Pagina 84 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram5. LA GEOMETRIA CON IL TANGRAMIn questo capitolo cercheremo di comprendere quali siano i meccanismicognitivi che i bambini utilizzano quando si approcciano e cercano di risolvereuna situazione problematica.I problemi che proporremo sono classificabili come rompicapo e, per la lororisoluzione, suddivideremo lo spazio del problema in fasi sottostanti, così daaiutare i bambini nell’affrontare situazioni problematiche con uno strumentonon conosciuto, se non superficialmente, quale appunto è il tangram.I protocolli di osservazione, riportati in appendice, consentiranno diripercorrere l’osservazione svolta nell’applicazione pratica del nostroprogetto, dando anche la possibilità di soffermarci a riflettere su alcuniaspetti di particolare interesse, in quanto sembrano confermare quanto, alivello teorico, abbiamo riportato nei precedenti capitoli.Utilizzando le parole dei soggetti osservati ed alcune mappe concettuali 87,proveremo a riprodurre i vari tentativi di risoluzione dei problemi proposti,cercando di porre l’attenzione sui concetti e sulle nuove conoscenze emerse,a livello cognitivo e metacognitivo, grazie all’esperienza vissuta.5.1. Un percorso in 5 mosseQuella che andremo ora a proporre è un’attività basata sulle cinque fasi, che,secondo l’idea di Van Hiele, favoriscono la progressione all’interno dei livellidel pensiero geometrico (dal livello visivo, al descrittivo, al livello di deduzioneinformale): nell’attuazione del nostro progetto, infatti, abbiamo cercato di87 Le mappe concettuali, realizzate insieme attraverso l’uso di post-it, sono state poi riprodotte einserite nel testo da chi scrive, utilizzando ICMaptools. Pagina 85 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramseguire questa linea teorica, tentando di modellarla in relazione allostrumento scelto per il nostro lavoro, il tangram.5.1.1. Prima mossa: Inquiry In which materials lead children to explore and discover certain structures88.In questa fase, i bambini devono essere lasciati liberi di esplorare e scoprire lecaratteristiche del materiale che verrà utilizzato per l’apprendimento.L’insegnante ha il compito di osservarli cercando di comprenderne pensiero elinguaggio.Per incominciareIl modo in cui proponiamo il nostro strumento, sarà decisivo in vista del suofuturo successo con i bambini.Nel nostro caso, il tangram può essere introdotto agli alunni mediante ilracconto della leggenda del tangram89, in modo da porre subito l’oggettosotto una luce nuova, misteriosa. È necessario far capire ai bambini chestiamo entrando in un mondo sconosciuto, un mondo magico: soltantotramite questo viaggio sarà possibile dare il via al gioco.Proviamo a spiegare meglio quanto affermato, facendo riferimento a Le cittàinvisibili di Calvino e al suo commento ad opera di Staccioli:88 La fase dell’inchiesta, nella quale i materiali conducono i bambini a esplorare e scoprire certecaratteristiche. Le citazioni in inglese sono tratte da P. VAN HIELE, Developing Geometric Thinkingthrough Activities that Begin with Play, «Teaching Children Mathematics» n. 6 (February 1999): 310-316. Un supporto al commento è tratto da J. WAY, The Development of Spatial and GeometricThinking: the Importance of Instruction, in http://nrich.maths.org/public/leg.php?group_id=22&code=5044#results.89 Leggenda che abbiamo esposto nel capitolo precedente. In relazione al “pubblico” di alunni che siavrà di fronte, essa potrà essere letta, raccontata o animata, utilizzando la modalità che si ritiene piùadatta ai propri ascoltatori. Pagina 86 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram Ottavia è il nome della città sottile che Calvino inserisce fra gli invisibili luoghi che Marco Polo descrive a Kublai Kan: “C’è un precipizio in mezzo a due montagne scoscese: la città è sul vuoto, legata alle due creste con funi e catene e passerelle... una rete che serve da passaggio e sostegno. Sospesa sull’abisso, la vita degli abitanti d’Ottavia è meno incerta che in altre città. Sanno che più di tanto la rete non regge” (I. CALVINO, Le città invisibili, Einaudi, Torino, 1972, 81). La città di Ottavia sembra essere il luogo perfetto per affrontare un paragone con le situazioni ludiche. Anche i giocatori impegnati nello svolgersi di un gioco sono sospesi fra due picchi scoscesi (che comunemente definiamo realtà e fantasia) e si tengono costantemente in equilibrio fra queste due polarità. Usano gli oggetti di gioco o intessono relazioni con altri ‘viandanti’ tenendo conto dello spazio e del tempo. Essi avvertono il senso di realtà che li circonda e non osano rischiare più di tanto né con le cose (si farebbero male) né con le persone (resterebbero soli). Ed avvertono, nello stesso tempo, la possibilità di essere sganciati dal tempo e dallo spazio, dando vita anche a imprese impossibili, improbabili, irreali. Se i giocatori si dimenticano di essere sostenuti dall’una e dall’altra sponda, l’equilibrio si rompe ed il gioco finisce. I buoni giocatori (in genere) sanno che “più di tanto la corda non regge”. *…+ Camminare sulle corde sospese (che si muovono a seconda del peso o dei movimenti) richiede destrezza e competenza, richiede la consapevolezza di essere in un luogo protetto e nello stesso tempo incerto. Ed è proprio questa consapevolezza, ci dice Calvino, che fa di Ottavia una città sicura90.Il bambino si trova immerso così in una nuova realtà, di cui è, magari,protagonista91 e nella quale può sbizzarrirsi utilizzando la propriaimmaginazione: è proprio questo tocco di magia che può attrarre il bambinoe spingerlo ad aprirsi e nutrire simpatia nei confronti del nuovo gioco.90 G. STACCIOLI, Il gioco è un viaggio a dondolo, «Tangram» 12 (dicembre 2005) in http://www.rivistatangram.it/index.php?option=com_content&view=article&id=84&Itemid=64.91 Non è detto infatti che non si possa spingere i bambini ad immedesimarsi nel protagonista dellastoria che abbiamo utilizzato per la presentazione dell’oggetto, per poi chiedere loro che cosaavrebbero fatto se si fossero trovati al suo posto. Avremmo così creato una situazione problematicacapace di dare il via al gioco di esplorazione dello strumento stesso. Pagina 87 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramCominciano il gioco e l’apprendimentoI bambini vengono così lasciati a diretto contatto con il gioco, con il qualecominciano a prendere confidenza.Per fare ciò, sembra indispensabile che ogni bambino abbia a disposizione ilsuo tangram, acquistato, precedentemente realizzato dall’insegnante,oppure costruito da lui stesso utilizzando dei semplici cartoncini92. Nel gioco e nel giocare un po’ di coraggio ci vuole (un coraggio che è direttamente proporzionale al crescere dell’età), perché nessun gioco è senza rischio. Ma il rischio è limitato in rapporto alla capacità di ‘distanziarsi’ dalle sponde, che inevitabilmente ogni giocatore (viandante di Ottavia) acquisisce. *…+ Quando ci si mette in condizioni di giocare veramente, non si può evitare l’oscillazione della corda che dondola fra reale e non reale, fra conosciuto e sconosciuto, fra certo e incerto93.Questa ci sembra però anche una possibilità molto interessante a vantaggiodell’insegnante: in maniera “distaccata”, così da non invadere il mondofantastico nel quale è entrato il bambino, egli può mettersi in osservazione,allo scopo di comprendere come i suoi alunni identificano i vari tan, come lidescrivono, come li localizzano, quali relazioni riescono ad individuare fra diessi94: in questo modo, potrebbero ricavare una sorta “prova di ingresso”sulle immagini mentali possedute dai bambini rispetto ad “oggetti di naturageometrica”.5.1.2. Seconda mossa: Direct orientation Tasks are presented in such a way that characteristic structures appear92 La condizione migliore, almeno con i più piccoli, ci pare essere quella in cui il tangram sia oggettodi dono, dall’insegnante al bambino, così che questo riesca ancor meglio ad identificarsi nella figuradel protagonista della leggenda.93 STACCIOLI, Il gioco è un viaggio a dondolo.94 Il medesimo approccio è utilizzato da B. BANDO IRVIN, Geometria con i blocchi colorati, Erickson,Trento 2002, 7-8. Pagina 88 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram gradually to the children95.L’insegnante presenta le attività in modo che l’attenzione dei bambini vengaconcentrata su una particolare caratteristica della forma o del puzzle (lo faprendendo spunto dalla sua precedente osservazione delle attività individualidi indagine svolte dai bambini nella fase di inquiry).Con questo lavoro, i bambini arriveranno ad avere una conoscenza piùspecifica in merito ad una particolare proprietà della forma considerata.5.1.3. Terza mossa: Explicitation The teacher introduces terminology and encourages children to use it in their conversations and written work about geometry 96.In questa fase vengono proposti compiti che mirano a sviluppare il linguaggiospecifico associato alla forma e alle sue caratteristiche, pur continuando,contemporaneamente, il lavoro di esplorazione della medesima.I bambini devono essere incoraggiati a dimostrare quanto scoperto eappreso.95 I compiti sono presentati in maniera tale da far apparire gradatamente le strutture caratteristicheai bambini.96 L’insegnante introduce il linguaggio specifico e incoraggia i bambini ad utilizzarlo nelle loroconversazioni e nei lavori scritti sulla geometria. Pagina 89 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram L’insegnante può quindi far tornare i T4 T3 T4 Q bambini alla realtà, spingendoli a raccontare le loro “esplorazioni”. T1 Può poi chiedere il loro aiuto per andare T5 P ad analizzare quanto ciascuno ha scoperto T2 riguardo ad ogni singolo pezzo e raccogliere i dati in una tabella, che gli consentirà di avere un quadro meglioFig. 5.1 – I tan delineato delle conoscenze dei bambini in merito alle figure di riferimento97.Forma T1 T2 T3 T4 T5 Q PColore giallo rosso Verde rosa viola azzurro bluNumero 3 3 3 3 3 4 4dei latiNumero 3 3 3 3 3 4 4dei verticiCategoria quadrilatero quadrilaterodi poligono triangolo triangolo triangolo triangolo triangolo (parallelo- (quadrato) gramma)Lati 2 dei 3 lati 2 dei 3 lati 2 dei 3 lati 2 dei 3 lati 2 dei 3 lati tutti i 4 lati lati oppostiequivalentiAngoli 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 angoli tutti i 4 angolicongruenti angoli angoli angoli angoli angoli oppostiTipo isoscele isoscele Isoscele isoscele isoscele regolare /di poligonoLati / / / / / 2 coppie 2 coppieparalleliLati / / / / / equivalenti equivalentioppostiSimmetria 1 linea 1 linea 1 linea 1 linea 1 linea 4 lineeAngoli 45°-45°- 45°-45°- 45°-45°- 45°-45°- 45°-45°- 90° ciascuno 45° e 135°interni 90° 90° 90° 90° 90°Nome acuti e acuti e acuti e acuti e acuti e retti acuti e ottusidegli angoli retti retti retti retti rettiSomma 180° 180° 180° 180° 180° 360° 360°degli angoli97 Malgrado un lavoro siffatto permetta di avere un quadro generale abbastanza puntuale dell’interogruppo classe, potrebbe però non prendere in giusta considerazione la situazione reale di ognisingolo alunno. Pagina 90 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramRelazioni ½ di T3 ½ di T3frazionarie98 ½ di Q ½ di Q ½ di T1 / / ½ di P ½ di P / / ½ di T2 ¼ di T1 ¼ di T1 ¼ di T2 ¼ di T2Tabella 5.1 – Analisi dei tanLa tabella potrebbe, all’incirca, assomigliare a quella riportata alla paginaprecedente99: nella colonna di sinistra, sono indicati, in ordine di complessità,i vari aspetti sui quali ci attendiamo che, al termine del primo ciclo diistruzione, i bambini abbiano raggiunto un buon livello di conoscenza.Dopo aver riflettuto sui dati raccolti, è possibile progettare un percorso diapprendimento per tappe, allo scopo di consentire ai bambini di formarsi leimmagini mentali (da accomodare grazie alle successive conoscenzeacquisite) dei concetti geometrici che intendiamo prendere in esame.Il maggiore o minore riempimento della tabella permetterà inoltreall’insegnante di comprendere il percorso di apprendimento che ancorarimane da fare al suo alunno.5.1.4. Quarta mossa: Free orientation The teacher presents tasks that can be completed in different ways and enables children to become more proficient with what they already know 100.Il bambino risulta ora impegnato in compiti di problem-solving di tipo open-98 Ci riferiamo qui unicamente ai rapporti fra superfici. Discorso a parte meriterebbe invece larelazione fra i perimetri.99 Abbiamo già completato la tabella per dare idea della complessità della situazione; ovviamentenon ci aspettiamo né richiediamo che, ad un primo approccio con il tangram e magari anche con lageometria, i bambini siano in grado di fare altrettanto.T = triangolo; Q = quadrato; P = parallelogramma.Per questione di spazio, qui l’abbiamo riportata solamente con l’iniziale del suo nome in riferimentoal disegno di figura 1; sarebbe più opportuno però indicare per intero il suo nome, mantenendo ladistinzione numerica per i diversi triangoli considerati.Per la strutturazione della tabella abbiamo fatto riferimento a BANDO IRVIN, Geometria con i blocchicolorati, 9.100 L’insegnante presenta compiti che possono essere risolti in vari modi, e rende i bambini in gradodi diventare più competenti in quello che hanno appreso. Pagina 91 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramended o che possono essere risolti in diversi modi.Lo scopo di questa attività è quello di rendere i bambini maggiormenteconsapevoli dei loro apprendimenti (e quindi delle loro immagini mentali), inmodo tale che questi ultimi diventino, a loro volta, più radicati ed efficaci perquelli successivi.5.1.5. Quinta mossa: Integration Children are given opportunities to pull together what they have learned 101.Viene offerta ai bambini, attraverso questa attività, la possibilità di rifletteresulle conoscenze acquisite e di riunirle in una sintesi, in un tutto organico. Ciòpermetterà loro di rafforzare l’apprendimento appena costruito e ditrasformarlo in apprendimento significativo che, nel nostro caso specifico, èstato conseguito mediante la realizzazione di mappe concettuali.5.2. Problemi con il tangramAbbiamo già detto più volte che è possibile studiare la geometria attraversol’utilizzo del tangram. È infatti possibile: - identificare la posizione delle figure nello spazio e comunicarla; - riconoscere, denominare e descrivere le diverse figure geometriche (i vari tan, ma anche tutte le figure che possono essere realizzate mediante la loro combinazione) indicandone elementi significativi e simmetrie; - riprodurre una figura geometrica a partire dalla sua descrizione; - riconoscere figure ruotate; - riprodurre, in scala, figure assegnate;101 Ai bambini è data la possibilità di mettere insieme ciò che hanno appreso. Pagina 92 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram - determinare il perimetro delle figure geometriche e, per scomposizione, la loro area102.In breve, è perciò possibile raggiungere la maggior parte degli obiettivi diapprendimento di matematica relativi a Spazio e figure.Per non lasciare che quanto affermato rimanga semplicemente un vuotoinsieme di parole, proponiamo due situazioni di problem solving, attraversol’utilizzo dello strumento tangram, mediante le quali è possibile avvicinare glistudenti alla costruzione del concetto di area.A motivo della scarsa confidenza dei bambini con lo strumento adoperato, ungioco, non è stato semplice scegliere i problemi da risolvere con l’utilizzo deltangram: riteniamo, infatti, che valga la pena (e sia più produttivo) impiegarequesto materiale all’interno di un processo di insegnamento-apprendimentonon episodico, ma che, al contrario, copra una più lunga estensionetemporale.Inoltre, come in qualsiasi gioco, è altrettanto vero che è l’esercizio el’abitudine al gioco stesso che permette di avere con esso maggioreconfidenza, scoprendone utilizzi e caratteristiche sempre nuovi. Infatti,citando Gallo-Vezzani: Continuando a giocare si acquisisce quella destrezza che permette di giocare meglio e quindi di ottenere ulteriore destrezza. Ogni volta che iniziamo una nuova partita103, la maggiore consapevolezza ci rivela aspetti e finezze prima nascosti. Allo stesso modo, ogni volta che riprendiamo un argomento matematico, raggiungiamo un livello di comprensione superiore104.102 È possibile a tal riguardo anche una riflessione sulla equiestensione delle figure equiscomponibilianche se, tale discorso, non può essere fatto per quanto riguarda il perimetro, come suggerito da M.I. FANDIÑO PINILLA, B. D’AMORE, Area e Perimetro, «Strumenti per la didattica della matematica» 1,Erickson, Trento 2006, 101-102.103 Il corsivo è nostro: in ambito scolastico potremmo infatti sostituire la parola partita con esercizio.104 P. GALLO, C. VEZZANI, Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica, Mimesis, Milano 2007, 15. Pagina 93 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram5.3. Il nostro progettoAttraverso il tangram, per stadi successivi e attraverso la tappa “superficie”, èpossibile formare nei bambini un’immagine sempre più aderente al concettogeometrico di area.Cominciamo con una distinzione, troppo spesso trascurata: Superficie è una parte di piano, mentre area è la sua misura bidimensionale, cioè un numero reale accompagnato da un’opportuna unità di misura105.La definizione data ci consente di capire quali sono gli aspetti che andremo adindagare per avvicinarci alla formazione dell’immagine mentale di area e inquale successione li prenderemo in considerazione: - la superficie; - le relazioni fra i pezzi del tangram; - la “misura” dell’area.5.3.1. Metodo e scopo del lavoroAbbiamo cercato di costruire il sapere geometrico attraverso un approccio ditipo problematico, puntando sulla risoluzione di problemi-rompicapo.Abbiamo proceduto per gradi: dapprima attraverso la costruzione comunedell’immagine mentale; poi andando a verificare quanto questa fosse entrataa far parte del bagaglio del singolo bambino, attraverso un lavoro simile aquello proposto in prima battuta, ma svolto in rapporto uno-ad-uno conl’adulto; infine abbiamo sistematizzato l’apprendimento e lo abbiamo resosignificativo mediante una successiva rielaborazione tramite mappaconcettuale106.105 FANDIÑO PINILLA, D’AMORE, Area e Perimetro, 18 (il grassetto è nostro).106 In un contesto prettamente didattico, tale mappa concettuale conclusiva avrebbe avuto Pagina 94 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramAbbiamo registrato le conversazioni con i bambini e le verbalizzazioni chequesti facevano del loro percorso di ricerca della soluzione del problema,annotando le loro mosse: abbiamo utilizzato registratori e una macchinafotografica, con la quale abbiamo ripreso gli spostamenti dei tan fatti daibambini durante la risoluzione dei problemi.Scopo del nostro lavoro è stato quello di verificare, in relazione alleaffermazioni riportate all’interno della parte teorica di questo lavoro, ilpercorso che i bambini compiono nel loro processo di risoluzione di unproblema dato.5.3.2. Il gruppo di osservazioneIl nostro “gruppo di osservazione” risulta composto da 2 adulti e 2 bambini: iprimi sono due insegnanti, che ricoprono il ruolo osservatori; di questi, unosvolge anche il compito di condurre e dirigere il lavoro svolto nelle attivitàcomuni.Sebbene il progetto sia stato elaborato da uno solo degli osservatori, l’altro èstato precedentemente informato sulla modalità di esecuzione delle attività esul tipo di mediazione da effettuare con i bambini, sia nei momenti comuniche in quelli individuali.Nella fase seguente all’analisi sul campo (“fase riflessiva”) il lavoro eseguito ei risultati raggiunti sono stati oggetto di confronto e di discussione da partedegli osservatori stessi.I due bambini, due alunne del quarto anno della scuola primaria,appartengono a contesti socio-culturali simili, anche se provengono daambienti scolastici differenti; si tratta però di due bambini abituati a lavorareprincipalmente lo scopo di andare a mettere in evidenza i concetti coinvolti nel problema stesso e difornire un feedback al lavoro di progettazione. Pagina 95 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangraminsieme in varie attività extrascolastiche.5.3.3. Fase progettuale: avvio dell’attivitàAbbiamo predisposto per i bambini alcuni tangram realizzati con cartoncinimonocolore, uno per ciascun bambino, e uno in plastica: quello in plastica èstato destinato ai lavori comuni, mentre, per maggior comodità, quelli dicartoncino alle attività individuali.Prima di cominciare l’osservazione, è parso opportuno comunicare ai bambiniquello che saremmo andati a fare e perché: Nel lavoro che ti andrò a proporre, ti verrà chiesto di risolvere alcune situazioni problematiche. Non mi interessa se avrai bisogno di poco o molto tempo per arrivare alla soluzione, e nemmeno se la soluzione che raggiungerai sarà quella giusta. Mi interessa capire come fai ad affrontare il problema che ti ho affidato, che strada fa la tua mente per risolverlo. Puoi utilizzare tutti gli strumenti che trovi qui a disposizione. Ti chiedo di pensare ad alta voce, e quindi di dirmi sempre che cosa stai facendo e perché.In questo modo, forniremo ai bambini le “indicazioni” che ci consentiranno dipoter incominciare il lavoro.Dopo aver lasciato un attimo di tempo ai bambini perché si orientino nelconfronto con il nuovo gioco, spiegheremo loro l’attività: Provate ad utilizzare tutti i pezzi che vi sono stati dati. Cosa potete fare con essi?Quindi proporremo ai bambini di mostrarci le loro creazioni e di spiegarci checosa hanno fatto e che cosa hanno scoperto sui singoli pezzi, invitandoli adare un titolo alla loro opera. Pagina 96 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram5.4. Problemi di tangram sull’area5.4.1. EquiestensioneCon questo primo problema l’attenzione del gruppo verrà rivolta al concettodi equiestensione107, da raggiungere mediante il fatto che: se due poligonisono equiscomponibili, allora sono anche equiestesi. Problema È possibile che figure diverse occupino la medesima quantità di superficie? Perchè? Come puoi spiegare la tua affermazione usando il linguaggio matematico?Per arrivare a risolvere questo problema, abbiamo suddiviso il percorso indue fasi: la prima, svolta in gruppo; la seconda singolarmente. Quest’ultimaha lo scopo di verificare le acquisizioni di ciascun bambino e di indirizzarlo allarisoluzione del problema indicato.Fase 1Lo scopo di questa prima attività è fare in modo che i bambini costruiscanoinsieme le prime immagini mentali sulle relazioni fra i vari tan e sullasuperficie da essi occupata. Immagina di essere il discepolo del maestro cinese: egli vorrebbe provare a ricostruire il quadrato magico. Come può sistemare i pezzi per raggiungere il suo scopo?Proveremo a far ricostruire dai bambini il quadrato, mostrandolo completo,ma senza suddivisione in tan, su un cartoncino.107 Quando due figure hanno la stessa superficie, si dice che sono equiestese. Pagina 97 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFase 2Questo problema sarà invece svolto singolarmente, a turno, da ciascuno deibambini, mentre l’osservatore annoterà le mosse e registrerà leverbalizzazioni relative al lavoro che questi andranno a compiere. Come puoi disporre i pezzi per formare un triangolo? Ricorda di pensare sempre ad alta voce.Proveremo a far ricostruire dai bambini il triangolo, mostrandolo completo,ma senza suddivisione in tan, su un cartoncino. Registreremo tutti i lororagionamenti per cercare di comprendere come si muovono durante ilpercorso di risoluzione dei problemi e quali relazioni vedono sussistere fra ivari pezzi nella ricomposizione delle figure date. Infine, proveremo ad invitarei bambini a risolvere il problema di partenza: Ti senti in grado ora di risolvere il problema che ci eravamo posti all’inizio del lavoro? È possibile che figure diverse occupino la medesima quantità di superficie? Perché? Come puoi spiegare la tua affermazione usando il linguaggio matematico?Cercheremo quindi di delineare insieme ai bambini una mappa concettualerelativa alla equiestensione, utilizzando il linguaggio, anche semplice, da lorousato, ma non prescindendo da quella parte di terminologia già tesoro delloro patrimonio di conoscenza.5.4.2. Relazioni fra le superfici occupate dai pezzi deltangramI tan hanno estensioni diverse, e alcune delle forme da essi rappresentatepossono essere ricostruite mediante l’utilizzo di altri tan.Per questo motivo è possibile affermare che fra i vari tan esistono rapporti digrandezza e che questi ultimi possono essere quantificati attraverso relazioni Pagina 98 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramfrazionarie. Problema Quanti triangoli piccoli servono per ricostruire il quadrato magico? Quale parte rappresenta il triangolino rispetto al quadrato magico?Per arrivare alla soluzione di questo problema, lavoreremo ancora per tappe.Fase 1Riprenderemo l’esperienza dei bambini secondo la quale alcune forme sonopossono essere ricostruite grazie alla somma di altre. Osservate bene i vari tan: alcuni di essi possono essere ricreati mettendo insieme altri pezzi. Quanti tan possono essere ricreati utilizzando due pezzi? Riusciamo ad indicare con una frazione il rapporto fra il tan iniziale e la sua ricostruzione?Lasceremo ai bambini il tempo di sperimentare con mano e di trovareinsieme la soluzione di questo problema.Fase 2Questa attività, invece, sarà svolta singolarmente da ciascuno dei bambini,mentre l’osservatore registrerà le mosse e le relative verbalizzazioni. Esistono tan che possono essere ricreati utilizzando tre pezzi?A questo punto sarà possibile cercare di risolvere il problema iniziale: Quanti triangoli piccoli servono per ricostruire il quadrato magico? Quale parte rappresenta il triangolino rispetto al quadrato magico?Cercheremo quindi di creare una mappa concettuale sulle relazionireciproche fra l’area dei diversi pezzi del tangram. Pagina 99 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramTratteremo il concetto di area attraverso le relazione fra le estensioni deisingoli pezzi, senza utilizzare la tradizionale misura (m²): prima di arrivare adessa sarebbe infatti preferibile passare attraverso la misurazione mediantesistemi non convenzionali, come la carta quadrettata (che permette dicomprendere il perché dell’utilizzazione di una misura “quadrata”!). Pagina 100 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram6. LA FASE OPERATIVALa fase operativa si è svolta, almeno inizialmente, in un clima sereno, anchese è risultato abbastanza evidente che le bambine sottoposte al progettostavano “studiando” i loro osservatori, cercando di comprendere in qualemodo relazionarsi con loro e quali sarebbero state le richieste cui sarebberostati sottoposti.Le prime risposte, infatti, sono apparse brevi e distaccate, talvolta con toni emodalità di sfida nei confronti dell’adulto; in seguito, una volta rasserenate erassicurate, si sono relazionate in maniera cordiale e, frequentemente, conun atteggiamento intermedio fra quello che avrebbero tenuto con uninsegnante e quello con un adulto di fiducia.6.1. Primo approccio al tangramPoiché ci era stato riferito dai genitori che le bambine alle quali cirivolgevamo non conoscevano il tangram108, abbiamo proposto un approcciograduale allo strumento e alle sue caratteristiche, per far sì che essepotessero prendere sempre maggior confidenza con lo strumento stesso ed ilsuo utilizzo, oltre che, in maniera più o meno cosciente, con le suecaratteristiche.Per questa attività non abbiamo previsto nessun prerequisito specifico: siamosemplicemente rimasti in osservazione cercando di comprendere le tecniche108 Abbiamo avuto conferma di ciò anche grazie alla nostra domanda iniziale nella quale abbiamochiesto ai bambini, mostrando il tangram, di dirci di che cosa si trattava. Abbiamo ricevuto risposterelative al suo nome «Del tangram!» e al possibile scopo e origine dell’oggetto in questione «È ungioco! (…) Cinese!»; entrambe le risposte hanno comunque evidenziato una conoscenza molto vaga,teorica e superficiale dell’oggetto in questione. Pagina 101 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramdi esplorazione del materiale di ciascuna bambina.Abbiamo notato che P. è stata molto coinvolta dalla storia raccontata, ma si èinizialmente trovata a disagio nel doversi approcciare al nuovo materiale; E.,al contrario, anche durante il racconto introduttivo, continuava ad osservare ipezzi del tangram caduti sul tavolo, dando l’impressione di aver già iniziato alavorare/giocare/fantasticare con i vari tan. La domanda rivolta da E. appenadopo aver dato inizio ai lavori («Possiamo formarlo anche?») sembra quasiindicare che quello fosse il percorso da lei già intrapreso: si è messa subitoall’opera, ha incominciato ad avvicinare i pezzi in modo più o meno casuale,senza costruire, in prima battuta, niente di preciso, come intimorita dalpensiero di poter sbagliare.Probabilmente, il trovarsi ad affrontare una situazione adidattica ha messo incrisi le bambine, scatenando in loro un atteggiamento dapprima difensivo,poi, a mano a mano che venivano coinvolti dal lavoro/gioco, più rilassato,disponibile e organizzato.Col tempo i tentativi di P. ed E. sono diventati più sistematici: hanno deciso direalizzare una determinata figura e hanno provato ad organizzare i pezzi inmodo da raggiungere il loro scopo (a nostro avviso, un passaggio dovuto siaalla maggiore confidenza con lo strumento, sia alla convinzione cheavrebbero comunque ottenuto un giudizio positivo riguardo al lavoroeseguito). Pagina 102 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 6.1 – Riflessione sul percorso di conoscenza durante il primo approccio al tangram.6.2. Analisi dei pezzi del tangramDopo queste prime attività di approccio allo strumento, abbiamo chiesto allebambine di aiutarci a descrivere i vari pezzi che compongono il tangram.Per questo tipo di attività abbiamo previsto alcuni prerequisiti disciplinarispecifici109: - classificare figure geometriche; - descrivere figure geometriche identificando elementi significativi e simmetrie; - riconoscere figure ruotate.109 Facciamo riferimento agli obiettivi di apprendimento al termine della classe terza e al terminedella classe quinta, riportati sulle Indicazioni per il Curricolo. Pagina 103 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 6.2 – Analisi del tangram. Prerequisiti.A parte un’affermazione iniziale di P., di cui non siamo riusciti a comprendereil senso «Tutti i pezzi del tangram sono tutti uguali *…+ per esempio non ce nepuò essere uno rettangolare, rotondo, …», le bambine non hanno mostratoparticolari difficoltà nell’indicare che il tangram è composto da figuregeometriche e, quindi, nell’identificarle: il triangolo, il parallelogramma(inizialmente a motivo di una confusione terminologica, P. lo indica comeparallelepipedo, ma E. corregge immediatamente) e il quadrato.Più difficoltosa è risultata la descrizione delle caratteristiche dei singoli pezzi.Abbiamo riportato in tabella i dati raccolti110.6.2.1. Conflitto cognitivo sul triangolo isosceleAbbiamo preso in considerazione il triangolo isoscele.Sin dall’inizio, le bambine convengono nell’affermare che si tratti di un110 Tabella 6.1. Pagina 104 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramtriangolo (ha tre lati e tre angoli) isoscele. Per spiegarci questo termine,isoscele, dicono così «*…+ ha due lati uguali ed uno disuguale, diverso».Quando chiediamo loro di parlarci degli angoli, P. risponde «Ha due angoliacuti ed uno ottuso» (E. inizialmente aveva detto retto, correggendosiimmediatamente dopo aver ascoltato P.). Chiediamo di mostrarci l’angoloottuso e sia P. che E. indicano l’angolo non acuto che, in realtà, è retto.Quando proviamo ad interrogarle più approfonditamente su tale angolo,vanno in confusione; cerchiamo così di ragionare insieme sulla costruzione esulle caratteristiche degli angoli acuto, retto e ottuso.Le bambine li definiscono con precisione. Appuratane la conoscenza,andiamo a verificare la comprensione di quanto appena esposto. Chiediamodi mostrarci, nella modalità a loro più congeniale, come è fatto un angoloretto; loro utilizzano le dita, pollice ed indice, che dispongonoperpendicolarmente l’uno rispetto all’altro.Ritorniamo, così, alla nostra precedente discussione sull’angolo, non acuto,del triangolo: E. afferma che si tratta di un angolo retto, P. al contrario èconvinta si tratti di un angolo ottuso.E. prova a spiegare a P. che si tratta di un angolo retto: ruotando la figura eposizionando il triangolo con il vertice dell’angolo retto in basso a sinistra e icateti uno parallelo ed uno perpendicolare all’osservatore: «Se tu lo giri così,vedi che è un angolo retto!». Siamo di fronte ad un conflitto cognitivo, cherichiede a P. di ammettere che un triangolo isoscele può avere talvolta unangolo retto al posto di un angolo ottuso. Proviamo a convincere P.chiedendo di misurare l’angolo, utilizzando gli strumenti a disposizione e leconoscenze possedute. Appoggiamo l’angolo del quadrato, che P. dice essereun angolo retto, sopra l’angolo del triangolo che stiamo considerando,vediamo che sono uguali. P., a motivo dell’evidenza, deve ammettere che sitratta di un angolo retto e che il triangolo isoscele può essere Pagina 105 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramcontemporaneamente anche rettangolo. L’immagine mentale di triangoloisoscele che lei precedentemente aveva si è ampliata, considerando possibilel’esistenza di un triangolo isoscele che contemporaneamente sia ancherettangolo.6.2.2. Lessico: parallelismo dei latiLe bambine hanno mostrato buona conoscenza della terminologia specifica;abbiamo talvolta avuto l’impressione, però, che si trattasse soltanto diconoscenza lessicale astratta, difficilmente contestualizzata (forse a motivo diun eccesso di rappresentazioni semiotiche).Abbiamo chiesto come è fatto il quadrato e siamo arrivati ad identificare lecaratteristiche degli angoli e ad indicare come tutti i suoi lati siano uguali.Chiediamo se è possibile dare qualche altra informazione sui lati. E. parla diparallelismo: dice «due lati paralleli, no. Due lati paralleli, cioè quattro latiparalleli… cioè…». Siamo costretti a chiederle di indicare con il linguaggiogestuale ciò che intende dire e a suggerire il completamento della frase perpoterne comprendere il significato. La medesima situazione si verifica quandoparliamo dei lati del parallelogramma.Da questo momento, E. continua a corredare le sue spiegazioni con l’utilizzodi segni tracciati sui pezzi del tangram, così da permetterci di comprendereanche laddove il suo linguaggio si dimostri insufficiente a chiarire il concettoposseduto.6.2.3. Immagini e modelli troppo presto formatisi. Uso difigure stereotipateCosì come abbiamo visto per la ricerca dell’angolo retto nel triangolo isoscelegrande, che ha comportato la necessità di ruotare la figura fino a farleassumere l’orientamento più familiare alle bambine (a motivo delle loro Pagina 106 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramesperienze scolastiche sono portate ad identificarlo facilmente solo seorientato in una particolare direzione: «Se tu lo giri così, vedi che è un angoloretto!»), abbiamo verificato la medesima situazione di figure stereotipatenella mente dei bambini anche nel caso dell’analisi del parallelogramma e delquadrato/rombo.Anche il parallelogramma infatti, sebbene sia stato riconosciuto senzadifficoltà, ha richiesto di essere ri-orientato prima di procedere alla sua analisi(«Ma come si mette? *…+ Se io lo metto così…»).Due triangoli isosceli di uguali dimensioni, grandi o piccoli, uniti perl’ipotenusa formano un quadrato o un rombo (con angoli retti e laticongruenti). Le bambine identificano con nomi differenti, rombo e quadrato,tale figura, in relazione all’orientamento spaziale da esso assunto: quandopoggia su un lato, viene definito quadrato mentre, quando poggia su unvertice, rombo.6.2.4. Il ricorso all’esperienza concretaAbbiamo già osservato come, durante la verifica della misura dell’angoloretto del triangolo grande, si sia dovuto far ricorso all’esperienza diretta (conla manipolazione degli strumenti a nostra disposizione).Altri esempi sono il confronto fra figure uguali (i due triangoli grandi e i duetriangoli piccoli, che le bambine hanno di volta in volta sovrapposto perverificarne il rapporto di uguaglianza), la misurazione dei lati del triangolo dimedie dimensioni (che P. effettua utilizzando le sue dita) e la definizionedelle linee di simmetria delle varie figure (cercando di spiegare che ilparallelogramma non ha linee di simmetria, E. finge di piegare a metà lafigura).Al termine dell’esperienza siamo quindi riusciti a completare insieme latabella riportata alla pagina seguente. Pagina 107 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramForma T1 T2 T3 T4 T5 Q PColore giallo rosso verde rosa viola azzurro bluNumero 3 3 3 3 3 4 4dei latiNumero 3 3 3 3 3 4 4dei verticiCategoria triangolo triangolo triangolo triangolo triangolo quadrato parallelo-di poligono isoscele isoscele isoscele isoscele isoscele grammaLati 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 tutti i 4 lati lati oppostiequivalenti lati lati lati lati latiAngoli 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 2 dei 3 tutti i 4 angolicongruenti angoli angoli angoli angoli angoli angoli oppostiLati - - - - - 2 coppie 2 coppieParalleliLati - - - - - uguali UgualiOppostiSimmetria 1 linea 1 linea 1 linea 1 linea 1 linea 4 linee -Angoli 90°, 90°, 90°, 90°, 90°, 90° ciascuno due acuti,Interni acuto, acuto, acuto, acuto, acuto, due ottusi acuto acuto acuto acuto acutoNome acuti e acuti e acuti e acuti e acuti e retti acuti edegli angoli retti retti retti retti retti ottusiTabella 6.1 – Analisi dei pezzi del tangramMediante l’utilizzo di una mappa, illustriamo il percorso conoscitivo edidattico svolto in questa seconda parte del lavoro.Fig. 6.3 – Riflessione sul percorso di conoscenza a seguito dell’analisi dei pezzi deltangram. Pagina 108 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram6.3. I problemi di tangram: superficieCi siamo, a questo punto, dedicati ai problemi affrontando, in un primotempo, il problema della superficie (nell’immagine che segue, i prerequisitiche gli alunni devono possedere per affrontare questo problema e gliobiettivi che con esso vogliamo raggiungere).Leggiamo il problema e ne lasciamo una copia sul tavolo, così che possaessere in seguito consultato.Fig. 6.4 – Problema di equiestensione. Prerequisiti e obiettivi.6.3.1. Superficie o area? Un problema di termini È possibile che figure diverse occupino la medesima quantità di superficie? Perché? Come puoi spiegare la tua affermazione usando il linguaggio matematico?E. rivela immediatamente una difficoltà inerente la comprensione del testo:«Che cos’è la superficie?». Non riuscendo ad ottenere nemmeno da P. unadiversa riformulazione del concetto, proviamo ad utilizzare parole differentiper proporre in altro modo il problema. Utilizziamo la parola area (purconoscendo la differenza concettuale che sta alla base dei due termini): «Èpossibile che due figure diverse abbiano la stessa area?».E. pare ora avere più chiaro l’oggetto del nostro problema, così come il Pagina 109 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramsignificato reale del termine adoperato; P. pare invece mostrare confusioneterminologica fra area e superficie: E. «Io non l’ho studiata l’area… la studio in quinta. *…+ È lo spazio che occupa una figura…». P. «Vedi, allora l’hai fatto!». E. «No! Io… non la so misurare».Fig. 6.5 – Risoluzione del problema terminologico.Teniamo a sottolineare che, al termine del percorso, quando il problemaproposto stava per essere affrontato individualmente, abbiamo riletto il testooriginale, utilizzando la parola superficie nella sua corretta accezione: nonsono state più riscontrate difficoltà di comprensione.6.3.2. Il lavoro comuneDurante questa fase, le bambine hanno lavorato per tentativi ed errori.Pur sforzandosi di verbalizzare quello che stavano facendo, le loro riflessionisul percorso seguito appaiono piuttosto generiche ed imprecise. Malgradociò non siamo intervenuti, limitandoci ad una osservazione esterna.Soltanto quando abbiamo rilevato un vero e proprio blocco della situazione,abbiamo ritenuto opportuno aiutarle nel formulare le considerazioni sullaposizione di un pezzo («Il triangolo medio può stare solo con l’angolo retto suvertice del quadrato magico?»). Al termine, seppur in modo velato, abbiamo Pagina 110 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramchiesto di esplicitare la difficoltà e, prendendo spunto dal percorso attuatodalle bambine e dalle conoscenze da esso ottenute, le abbiamo indirizzate atrovare una soluzione: O. «Guardate, per esempio, l’angolo del quadrato magico: come posso formarlo? (…) Potevo formarlo mettendo su di esso il vertice di un quadrato e quello acuto di un triangolo? Perché?». E. «No, perché esce dal quadrato». O. «Perché? Che angolo è questo (indicando un angolo del quadrato magico) ». P. «È retto! ». O. «Quindi per formare gli angoli del quadrato magico…». E. «Devi avere degli angoli retti». O. «Come faccio a formare degli angoli retti? ». P. «O usando questo (indica l’angolo del tan quadrato), o usando…». E. «Gli angoli acuti delle altre figure».Abbiamo scoperto che unendo due angoli acuti di convenienti dimensioni èpossibile formare un angolo retto.Ha inizio così la fase di lavoro individuale. Pagina 111 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 6.6 – Lavoro comune di approfondimento sulla superficie dei pezzi del tangram.6.3.3. Lavoro individuale 1 - E.Ci siamo raccomandati con E. affinché utilizzasse una verbalizzazione il piùpossibile precisa del suo agire, sia per le figure considerate, sia per quantoriguarda il luogo in cui le avrebbe posizionate.E. sembra muoversi influenzata in maniera minore dal comportamento pertentativi ed errori: posiziona gli angoli acuti dei triangoli in corrispondenzadegli angoli acuti del triangolo da ricostruire, oppure due angoli acuti o i loroangoli retti (o l’angolo del quadrato) in corrispondenza dell’angolo retto deltriangolo dato; forma gli angoli piatti utilizzando due angoli retti o due acutied uno retto.E. fatica a posizionare il parallelogramma: lo orienta infatti ripetutamente Pagina 112 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramnella maniera proposta generalmente dai libri di testo, quindi poggiante sullabase maggiore (in posizione, per così dire, “orizzontale”); la ricostruzionedella figura lo prevede invece in posizione “verticale”, con la possibilità di unasua traslazione (una sorta di ribaltamento) rispetto all’originale.Proviamo a farla riflettere sull’angolo retto che si è formato a motivo delposizionamento dei due triangoli grandi sull’ipotenusa del triangolo dato: O. «Prova a ricordare quello che hai fatto prima. Che angolo è questo?». E. «Retto». O. «Bene. Come mi hai detto che si può formare un angolo retto? ». E. «O con l’angolo del quadrato o con due angoli acuti… Allora… Il parallelogr… Metto il quadrato, poi prendo… Metto quello (il triangolo, ndr.) medio sulla punta, il parallel… no. Tolgo il quadrato. Metto il parallelogramma… metto il parallelogramma… no. Non ci sta. No. Non riesco… *…+ (osserva i pezzi) ».Non essendo sicura, ricomincia a procede per tentativi ed errori, girando lefigure fra le mani e provando a posizionarle sul triangolo dato; orientandolein vari modi, giunge infine alla soluzione del problema.Torniamo così al problema proposto in origine.Mostriamo ad E. il quadrato e il triangolo che nelle due esperienze haricostruito e le chiediamo di rispondere alla prima domanda del problema(«Queste due figure, occupano la stessa superficie?») e di giustificare la suarisposta.Poiché E. non risponde nulla, proviamo a chiederle di osservare conattenzione le figure. E. si ferma a riflettere e afferma che in apparenza le duefigure non sembrano occupare la stessa superficie, ma poi diventanuovamente silenziosa, con un’espressione di profonda concentrazione,come rielaborando nella sua mente informazioni già acquisite. E. «(…) Sì, occupano lo stesso spazio, perché se i pezzi del tangram hanno formato questo (il quadrato magico) e questo (il triangolo), vuol dire che occupano lo stesso spazio». Pagina 113 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram O. «Prova a spiegarmi…». E. «Se il tangram ha formato tutti e due, vuol dire che occupano lo stesso spazio».Proviamo ad indagare più in profondità, per capire quale strategia hautilizzato E. per risolvere questo problema. Le sottoponiamo un ulterioreproblema: esprimere in termini matematici quanto affermato. Sostiene diavere fatto «il più» (indicando il segno al posto dell’operazione da svolgere).Le chiediamo di chiarire la sua affermazione e ci risponde che deve sommarele misure dei singoli pezzi. La sua risposta sembra rifarsi a conoscenzepregresse di classici problemi in cui si richiede di confrontare le aree dellefigure (quindi la sua necessità di dover misurare, di avere a disposizione deinumeri per poter procedere ad un confronto); essa però, pur rispondendoperfettamente al contratto didattico che si instaura in ambiente scolastico,non tiene conto dei dati della situazione reale, cioè la mancanza di misure.La medesima situazione si verifica ancora, poiché E. mostra la convinzione didover necessariamente utilizzare dei numeri per poter risolvere il problema,pur rendendosi conto dell’incoerenza della sua affermazione. E. «Ho usato i pezzi del tangram. E ho fatto il più. (…)». O. «Che cosa hai addizionato? ». E. «Il numero dei tan… eh…».Spingiamo E. a riflettere nuovamente, ma non sa piegarci, a parole, come hafatto l’addizione; utilizza le figure, disponendole sul tavolo (come se cercassedi visualizzare su un foglio di quaderno l’operazione, facendo corrispondereogni pezzo ad un numero). Le chiediamo di verbalizzare quanto fatto («Hosommato due triangoli piccoli, un triangolo medio, un parallelogramma, duetriangoli grandi, e un quadrato») e di provare a rappresentarlo per iscritto: O. «Come puoi fare a scrivere una somma matematica che però non ha i numeri?». E. « (…) Lo scrivo a parole… Allora. Due triangoli piccoli (e scrive tutta la Pagina 114 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram parola) più un triangolo medio…».Portiamo infine E. ad utilizzare dei simboli (le abbreviazioni dei nomi deisingoli pezzi) per scrivere la somma.Proviamo a ripercorrere con una mappa il percorso fatto da E. durante larisoluzione del problema.Fig. 6.7 – Problema di equiestensione. Mappa del lavoro individuale di E.6.3.4. Lavoro individuale 1 - P.Ci siamo raccomandati anche con P. affinché facesse uso di unaverbalizzazione il più possibile precisa del suo agire, sia in merito alle figureconsiderate, sia per il luogo in cui sarebbe andata a posizionarle.P. inizia subito a lavorare per risolvere il problema: procede per tentativi ederrori, continuando a spostare in modo concitato i pezzi, senza peròpianificare una strategia risolutiva: giunge infatti alla soluzione in manierainconsapevole (la sua esclamazione «Ma… ma ho finito!» si presenta, ancheper lei, inaspettata).P. ha molta voglia di fare; pur lasciandosi trasportare dal desiderio di svolgere Pagina 115 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramrapidamente il compito, non effettua però riflessioni di sorta che coinvolganoil recupero di conoscenze precedenti, preferendo, come già detto, basarsi sustrategie di prova ed errore.Torniamo alla domanda del problema di partenza: «Queste due figure,occupano la stessa superficie?»; chiediamo che qualunque risposta vengadata sia supportata da una giustificazione.L’impulsività vince ancora una volta e P. risponde immediatamente, ma la suagiustificazione tiene in poco conto i dati di realtà; una volta verbalizzata la suarisposta e, quindi, il percorso effettuato, si ferma a riflettere: P. «(risponde subito, convinta) No! (poi si ferma, in silenzio)… o sì? ». O. «Voglio sapere, se no, perché; se sì, perché! ». P. «Per me no. Non possono occupare la stessa superficie perché uno ha tutti i triangoli retti… ha tutti gli an… ha tutti i lati uguali e ha gli angoli retti. Invece il triangolo, per fare un angolo retto ne ha bisogno… cioè può farlo, però deve essere girato così (lo posiziona con l’angolo retto in basso a sinistra) e farlo». O. «Cioè con l’angolo retto rivolto dove? ». P. «Rivolto verso l’a…, verso il basso». O. «Verso il basso, dove? ». P. «Eh, a de… cioè a sinistra… e così posso fare il triangolo (…)».Spingiamo P. a riflettere sulle attività precedenti. Subito risponde in manieracorretta alla domanda del problema, giustificando in modo chiaro la suaaffermazione («È vero! Se i pezzi del tangram hanno formato il quadrato epoi con gli stessi pezzi ho formato il triangolo, hanno la stessa area le duefigure!»).Poiché vogliamo capire quale strategia ha utilizzato P. per risolvere ilproblema, chiediamo che provi ad esprimere in termini matematici quanto haaffermato. Anche P. risponde immediatamente di aver fatto «Il più!»; cosìchiediamo di spiegarci in maniera più precisa che cosa ha sommato (danotare, anche per lei, l’utilizzo del segno per indicare l’operazione svolta): Pagina 116 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram P. «La lunghezza del lato, per tutti e tre i lati… del triangolo o del quadrato! E dopo lo sommi. Fai… ad esempio: qua è lunga 10 cm, qua… Ho usato i pezzi del tangram e quindi devo dire quanto sono lunghi… Cioè formo un quadrato e un triangolo con i pezzi del tangram… (…)». O. «Mi hai detto che hai sommato qualcosa. Che cosa hai sommato? ». P. «Il numero dei tan! ». O. « Cioè? ». P. « (…)». O. «I tan sono 7. Hai fatto 7 più qualcosa? ». P. «No…». O. «Cosa hai fatto? ». P. «Quanto è lunga la superficie…». O. «Tu lo sapevi? Non abbiamo dato nessun numero… Che cosa hai sommato? ». P. «Io niente!... No! Non lo so! ».Nella sua iniziale spiegazione, P. utilizza la regola del perimetro del quadratoo del triangolo equilatero e ci propone anche un esempio, ma si ferma subito,convinta di non aver preso in giusta considerazione i tan. Spiega poi di averpreso i pezzi del tangram e di averne considerato la “lunghezza” (utilizzaprobabilmente il termine lunghezza facendo invece riferimento alla lorosuperficie).Proviamo ad indagare ulteriormente, ma P. va in confusione e si blocca (anostro avviso per cercare di evitare la frustrazione di non riuscire arispondere, ovvero perché, pur conoscendo la risposta, è aumentata in P. lapercezione dei rischio di insuccesso di fronte ad un problema “nuovo”);decidiamo così di non insistere nella risoluzione del problema dato.Nella mappa, il percorso di P.: Pagina 117 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 6.8 – Problema di equiestensione. Mappa del lavoro individuale di P.6.4. I problemi di tangram: relazioni fra superficiTorniamo a lavorare insieme e presentiamo il secondo problema, chedovremo affrontare al termine delle attività preparatorie: Quanti triangolipiccoli servono per ricostruire il quadrato magico? Quale parte rappresenta iltriangolino rispetto al quadrato magico?Fig. 6.9 – Problema di relazione. Prerequisiti e obiettivi. Pagina 118 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram6.4.1. Il lavoro comuneChiediamo di individuare i pezzi del tangram che a loro volta possono essereformati da due pezzi più piccoli. Non riscontriamo particolari difficoltà nellasoluzione di questo problema: vengono immediatamente individuate leforme costituite da pezzi più piccoli. P. «Ho messo due triangoli piccoli vicini, uno dei due a testa in giù, sopra il parallelogramma. Il parallelogramma è formato da due triangoli!». *…+ E. «Può essere formato anche questo… il quadrato!». P. «Può essere formato da due triangoli!». E. «Da due triangoli piccoli!». *…+ E. «Un triangolo medio con due triangoli piccoli!».Appropriata, seppur poco connessa con la situazione reale, l’intuizione di P.:«Be’, allora un triangolo grande può essere formato da due triangoli medi!».Ci ritorneremo nel corso della risoluzione del problema iniziale.Procediamo con i lavori individuali.Fig. 6.10 – Problema di relazione fra la superficie dei vari pezzi del tangram.6.4.2. Lavoro individuale 2 - E.Chiediamo di individuare il pezzo del tangram che può essere formato da trepezzi più piccoli, e di mostrarci come ciò può avvenire.Il lavoro di E. incomincia subito, senza esitazioni: la figura formata da tre pezziè il triangolo grande (e lo posiziona sul tavolo davanti a sé). Comincia a Pagina 119 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramproporre le varie possibilità di esecuzione, con notevole sicurezza diprocedimento: «Ho messo il triangolo piccolo sulla punta; il parallelogramma a sinistra, e l’altro triangolo piccolo a destra. E così ho formato il… il triangolo grande. *…+ Il quadrato l’ho messo sulla punta, e i due triangoli piccoli li ho messi uno a destra ed uno a sinistra».Nel posizionare il quadrato fa riferimento alle esperienze fatte nelle attivitàprecedenti con la formazione degli angoli retti.Qualche problema in più sorge quando E. propone di creare la figurautilizzando il triangolo medio: «Il triangolo medio… ho messo il triangolomedio a sinistra, però non ci sta! Mmm. Metto il triangolo medio a sinistra.Ma mi serve un altro triangolo medio! Però non ce l’ho!».Proviamo a farla riflettere su quanto dovrebbe già aver interiorizzatodall’esperienza precedente; immediatamente E. si sblocca, giungendo allaconclusione del problema: «Il triangolo medio… devo farlo (…) Così… Metto un triangolo piccolo sulla punta… Poi ho messo il triangolo medio a destra, e il triangolo piccolo a sinistra».Dopo aver verificato che E. abbia interiorizzato il senso delle due esperienzepreparatorie effettuate, torniamo al problema iniziale, che proponiamo conuna differente formulazione; offriamo anche una possibile strategia (carta epenna) per la risoluzione a E., lasciandola però libera di scegliere se adottarlaoppure no. O. «Se quello che tu hai detto è vero, allora io posso ricostruire questa figura, il quadrato magico, il tangram, utilizzando solo il triangolo piccolino. Tanti triangoli piccolini. Quante volte avrò bisogno di utilizzare il triangolo piccolo per formare questa figura? Sul tavolo ci sono dei fogli, nel caso tu ne abbia bisogno». E. «No, non mi servono. Allora… Il triangolo medio è formato da due… da… Pagina 120 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram due triangoli piccoli, quindi, 2. Quindi 2. Anzi, meglio sul foglio (prende un foglio e scrive 2). Scrivo 2».Per risolvere questo problema, E. analizza una figura per volta, spessoprendendola fra le mani, ed annota il numero di triangoli piccoli da cui èformata.Interessante l’analisi del triangolo grande: E. lo identifica come la somma didue triangoli piccoli ed un quadrato, e successivamente esamina il quadratoindicandolo a sua volta come somma di due triangoli piccoli.E. commette un errore, però: identifica e somma le varie figure nellacomposizione di triangoli piccoli, ma dimentica di inserire nel suo calcolo idue triangoli piccoli che appartengono al tangram.Decidiamo di suggerirle di ricontrollare il suo lavoro, magari riscrivendol’operazione indicando con abbreviazioni i vari addendi (come aveva fatto nelproblema precedente). E. segue il nostro consiglio e ricontrolla il lavoro.Sorge un problema inerente il linguaggio matematico: proviamo a risolverloutilizzando il linguaggio verbale. Chiediamo che venga verbalizzatal’espressione di difficile scrittura in termini matematici e proviamo a scriverlainsieme: E. «Mm… Tm è uguale a 2 triangoli piccoli». O. «Prova a scriverlo! Puoi abbreviare anche Tp, volendo!». E. «Sì! Tm = 2 Tp».In questa maniera, E. procede speditamente nell’annotare tutte le altreforme (sembra aver capito, senza bisogno di spiegazione, che scrivere 2Tpequivale a scrivere 2 x Tp): le organizza sul foglio mettendole una sotto l’altra,poi trasforma l’annotazione in una addizione in colonna. Dopo aver indicatotutte le figure, accantonandole ad una ad una, una volta analizzate, si accorgedi aver dimenticato i due triangoli piccoli (che rimangono sul tavolo davanti asé) e li inserisce nel calcolo. Pagina 121 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramProviamo a porle la seconda domanda del problema, riformulandola:«Rispetto al quadrato grande, che frazione rappresenta il triangolo piccolo?».Riflette solo un istante, in silenzio, poi risponde sicura: «Se per formare ilquadrato servono 16 triangoli piccoli… 1/16!».La risposta ci lascia sorpresi: abbiamo osservato E. eseguire classici problemidi matematica sulle frazioni, senza riuscire spesso a raggiungere la soluzioneesatta. Proviamo così ad indagare più approfonditamente anche sullerelazioni degli altri tan con il tangram, ma otteniamo il medesimo risultato:risposte rapide e sicure, seppur facendo riferimento ai rapporti di superficiedel singolo tan con il triangolo piccolo il triangolo piccolo (ad esempio, per ilquadrato dice 2/16 invece di 1/8).Proviamo allora a rivolgere qualche domanda generale sul lavoro fatto: cidice di aver trovato semplice la risoluzione dei problemi; propone però unagiustificazione della sua affermazione che riguarda non tanto i contenutiproposti, quanto il suo amore per la disciplina: A me è piaciuto lavorare col tangram! *…+ Perché è bello formare le figure, a me piace la geometria…Analizziamo il percorso di E. utilizzando una mappa:Fig. 6.11 – Problema di relazione. Mappa del lavoro individuale di E. Pagina 122 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram6.4.3. Lavoro individuale 2 - P.Chiediamo a P. di individuare il pezzo del tangram che può essere formato datre pezzi più piccoli, e di mostrarci le ragioni delle sue affermazioni.P. incomincia subito a lavorare: con sicurezza prende il triangolo medio eposiziona sopra di esso i triangoli piccoli. Poi si corregge prendendo iltriangolo grande e cominciando a formarlo con tre pezzi più piccoli.P. continua, nel suo lavoro, a procedere per tentativi ed errori; infine arrivaad indicare tutte le soluzioni possibili per formare il triangolo grande.Proviamo ad indagare su ciò che P. ha compreso delle attività svolte: P. «Certe figure del tangram possono essere formate da più combinazioni… e da più pezzi! Cioè, da più pezzi con più combinazioni». O. «I pezzi che formano gli altri, come devono essere?». P. «Più piccoli!».In relazione alle sue affermazioni, ci sembra di poter affermare che P. abbiaraggiunto un buon grado di interiorizzazione delle esperienze svolte.Passiamo così al problema iniziale, che rileggiamo insieme; poi analizziamo laprima parte del problema e chiediamo a P. di riformularlo: P. «Che per formare il quadrato magico potrei anche soltanto utilizzare il triangolo piccolo. Tanti triangoli piccoli. Quindi devo scoprire quanti triangoli piccoli posso usare per formare il quadrato magico (comincia in silenzio a lavorare alla risoluzione del problema: posiziona i triangoli piccoli sopra le altre figure, cercando di memorizzare da quanti pezzi è formata ciascuna)».P. si mette subito al lavoro; le invitiamo a verbalizzare quanto sta facendo.Trova una sua strategia: dice di avere bisogno di carta e penna, altrimentipotrebbe rischiare di dimenticarsi quanto già analizzato.P. decide di utilizzare immediatamente dei simboli per indicare i vari pezzi ela loro composizione e, per farlo, stabilisce un suo linguaggio: 2 = Tp x Tm(non si accorge della problematicità sottostante l’utilizzo del linguaggiomatematico). Pagina 123 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramAnalizza i singoli pezzi, posizionando sopra ciascuno i triangoli piccoli.Qualche problema affiora durante l’analisi del triangolo grande: dopoun’iniziale titubanza, esclama che il triangolo grande è formato da quattrotriangoli piccoli. Esigiamo che dia spiegazione della sua affermazione: «Mi sono ricordata che il triangolo grande può essere formato dal triangolo medio e da due triangoli piccoli. Avevo già contato i triangoli piccoli e allora mi mancava quello medio. Ma se il triangolo medio è formato da due triangoli piccoli, allora due più due fa quattro! Quindi 4 Tp per Tg».Seguendo le sue “convenzioni lessicali”, P. arriva alla conclusione delproblema: controlla nuovamente tutti i pezzi, mettendoli davanti a sé percontare, con lo sguardo, il numero di triangoli piccoli con cui è formatociascun tan. Alla fine afferma che il tangram è formato da 14 triangoli piccoli.Le suggeriamo di controllare di nuovo, chiedendole però di esplicitare inanticipo quale strategia intenderà adottare per portare a termine il compito: «Metto qui tutti i pezzi del tangram, e a mano a mano che ti dico che pezzo ho contato lo sposto al suo posto sopra il tangram colorato!»Utilizzando questa strategia di controllo, P. si accorge di aver dimenticato duetan, i triangoli piccoli: da subito non riesce a comprendere se essi siano dainserire nel computo finale ma, osservando con attenzione i “buchi” dellafigura che ha realizzato, si rende conto che anche i due triangoli piccoli sonoindispensabili per formare il tangram e che, di conseguenza, necessariamentevanno contati.La risoluzione del problema, per P., ora è: «Il quadrato magico è formato dasedici triangoli piccoli!». Prima di considerare terminato il suo compito, P.afferma di dover correggere quanto annotato sul foglio: inizialmente nonabbiamo considerato tale foglio come materiale significativo per larisoluzione del problema; dopo il suo gesto abbiamo compreso, però, comequesto foglio fosse indice, da un lato, di una sua strategia messa in atto per Pagina 124 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramaffrontare il problema e, dall’altro, di una mancata familiarità con il contestoadidattico nel quale stavamo operando mediante attività (risoluzione diproblemi con figure geometriche) appartenenti, in genere, ad un contestoscolastico di tipo didattico.Proviamo a riportare l’attenzione di P. sul problema iniziale e nel tentativo digiungere ad una risoluzione. P. pare inizialmente bloccarsi di fronte ad esso,ma, dopo un nostro incoraggiamento, risponde d’impulso, dovendo subitoritrattare e correggersi: P. «Be’, da quanti pezzi è formato il quadrato… Da due! Due! No, aspetta… ho trovato che il quadrato magico è formato da sedici pezzi… Allora… Non lo so… Sedici! Sedici su due! Due dec… due sedicesimi…». O. «Qual era la domanda? Quale parte rappresenta un triangolino rispetto al quadrato magico? Quale frazione? ». P. «Uno solo… uno. (…) Un sedicesimo?».La risposta di P. risulta incerta, e abbiamo l’impressione che P. stia pertrovarsi nuovamente in una situazione di blocco, come nel precedente lavoroindividuale; non proviamo ad indagare oltre. Piuttosto le chiediamo di dirciche cosa pensa delle attività che le abbiamo proposto.Pur essendole piaciuto lavorare con il tangram, P. afferma di non amare lageometria e di prediligere la matematica.Mediante una mappa, rappresentiamo il percorso di P.:Fig. 6.12 – Problema di relazione. Mappa del lavoro individuale di P. Pagina 125 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram6.5. Fase riflessivaAl termine del lavoro, e dopo un confronto con l’altro osservatore, abbiamoriflettuto sull’esperienza realizzata: gli aspetti più critici delle attività proposte(la verbalizzazione dei processi di pensiero, il contesto adidattico, il lavoro digruppo, l’approccio ludico, l’utilizzo di uno strumento) hanno, in realtà,rivelato molteplici aspetti positivi nella loro adozione.Uno spazio a parte dedicheremo poi all’utilizzo di protocolli di osservazione,strumento efficace per una riflessione più approfondita e minuziosa.6.5.1. La verbalizzazione dei processi di pensieroLa verbalizzazione dei processi di pensiero, se inizialmente si è rivelatapiuttosto difficoltosa (a motivo soprattutto dalla mancanza di familiarità conil dover “dire ad alta voce” tutte le operazioni che si stavano effettuando), èstata riconosciuta poi come valido strumento per evidenziare incertezze edubbi, e per prevenire, o correggere, errori da parte dei bambini stessi:dovendo prestare attenzione anche a ciò che stavano dicendo, infatti, essierano obbligati a concentrarsi maggiormente sulle proprie azioni che, propriomentre venivano verbalizzate, risultavano soggette a meccanismi di controllopiù o meno coscienti.Fig. 6.13 – I vantaggi della verbalizzazione dei processi di pensiero. Pagina 126 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram6.5.2. Il contesto adidatticoIl contesto adidattico ha consentito ai bambini di poter agire in libertà, con lapossibilità di mettere in gioco le proprie abilità e la propria creatività, certi dipoter reiterare sforzi che non li avrebbero portati ad un insuccesso o ad unfallimento; differente però l’approccio dei bambini.Fig. 6.14 – I vantaggi del lavoro in un contesto adidattico.A nostro avviso, E. (per maggiore abitudine a questo tipo di attività, ovveroper fattori caratteriali) ha avuto minori difficoltà nell’attivare processi e nelcontrollarli, mettendo in gioco le sue conoscenze, strategie e abilità, edindagando personalmente le situazioni nuove che via via si andavanopresentando.P., al contrario, ha mostrato maggiori difficoltà nell’adattarsi alla situazione:ha sempre cercato di rispondere in maniera veloce, tentando di individuare larisposta attesa (basata sulle conoscenze teoriche o sui procedimenti esecutivistudiati a scuola), ma spesso senza prestare attenzione alla realtà che avevadi fronte a sé, e faticando a plasmare le sue conoscenze per far frante allasituazione concreta. Abbiamo avuto l’impressione che il suo atteggiamentodipendesse dal forte legame con il “contratto didattico” che lega la suapersona al docente della disciplina e che, conseguentemente, facesse faticaad allontanarsi da esso: di fronte a situazioni “nuove”, ad eccezione Pagina 127 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramdell’ultima attività, le sue strategie di azione si sono basate essenzialmente surisposte per tentativi ed errori.6.5.3. Il lavoro di gruppo e l’approccio ludicoIl lavoro di gruppo ci è parso molto significativo per i bambini: la possibilità dicondividere, tramite la verbalizzazione e l’impegno comune, le nozionipregresse, le conoscenze e le strategie man mano acquisite, hanno permessoa ciascuno di compensare le proprie carenze utilizzando le competenze altrui,e di incrementare il desiderio di compartecipare alla costruzione del sapere.Fig. 6.15 – I vantaggi del lavoro di gruppo.Avevamo preventivato (e paventato) il rischio che un membro del gruppopotesse in qualche modo nascondersi dietro la maggior abilità o competenzadell’altro: per questo motivo abbiamo strutturato le attività secondo unascansione che alternasse momenti comuni a momenti individuali (per noi, incerto modo, di verifica) prima della risoluzione del problema. È altrettantovero però che il numero ridotto dei soggetti con cui abbiamo interagito hareso più semplice l’individuazione dei tratti individuali e delle possibili curepersonali. La presentazione delle attività in forma ludica, avulsa, almeno nellebattute iniziali, dalla possibilità di errore e dal rischio del giudizio dell’adulto edel compagno, hanno consentito a ciascuno di mettere in evidenza le proprie Pagina 128 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramabilità e competenze e di costruirne, in maniera significativa, di nuove.6.5.4. L’utilizzo del tangramL’utilizzo di uno strumento nuovo, il tangram, si è rivelato spunto per unattento comportamento esplorativo che, per ammissione degli stessibambini (in special modo di E.), andasse oltre la semplice raccolta superficialedei dati: era necessario non soltanto muovere i vari tan cercando di creare lefigure date, ma anche comprendere lo spazio del problema sottostante adogni singolo pezzo (per esempio, capire che ogni tan poteva essereposizionato con orientamenti differenti o che “ribaltare” il parallelogrammaera una mossa lecita e, in alcune circostanze, necessaria).6.5.5. I protocolli di osservazioneI protocolli di osservazione, cioè la registrazione integrale dei dialoghiavvenuti in sede osservativa e la successiva fedele trascrizione dei dialoghistessi, sono un ottimo strumento che consente all’osservatore di analizzare lasituazione vissuta e di riflettere “a freddo” sulla medesima, lasciando apertala possibilità di un leale confronto diretto anche con altri studiosi (cosa chenon potrebbe accadere nel caso di dialoghi riportati “a caldo” o “aposteriori”). Nel nostro caso, la rilettura delle conversazioni effettuate ci hapermesso di rilevare alcuni errori ed alcune intuizioni che, durantel’esecuzione del compito, non avevamo preso nella giusta considerazione. Pagina 129 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 6.16 – Aspetti positivi dell’utilizzo di protocolli di osservazione111.Consapevoli della validità di tale strumento (potrebbe aiutare acomprendere, in un contesto didattico, gli errori commessi dagli alunni alivello concettuale e lessicale, e potrebbe offrire all’adulto un utile spunto perun, se necessario, cambio di rotta), sappiamo anche quanto, in un contestoclasse, esso sia di difficile (e, per alcuni versi, inappropriata) applicazione, a111 R. Feuerstein indica, con funzioni cognitive, le condizioni mentali essenziali all’esistenza delleoperazioni mentali e di ogni altra funzione del comportamento. *…+ Il processo (di apprendimento,ndr.) comincia con la creazione delle condizioni cognitive, le quali si manifestano come funzioni chesi evidenziano in diverse abilità identificate e mediate specificamente. Le condizioni devono essereanalitiche e allo stesso tempo essere accessibili alla consapevolezza. (R. FEUERSTEIN, R. S.FEUERSTEIN, L. FALIK, Y. RAND, Il programma di arricchimento strumentale di Feuerstein, Erickson,Trento 2008 (2006), 177-178. Dice anche che una funzione cognitiva è la manifestazione dellecondizioni che influenzano le nostre varie operazioni mentali, operazioni che non sono determinatedal contenuto sul quale vengono compiute (176): potremmo identificare, quindi, tali funzionicognitive con una sorta di presa di coscienza dei processi di controllo metacognitivo che stanno allabase del nostro apprendimento. La teoria della Modificabilità Cognitiva Strutturale di Feuersteinsostiene che, modificando tali condizioni di base, mediante una “Esperienza di ApprendimentoMediato”, è possibile influire sulle operazioni dell’individuo stesso. Pagina 130 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramcausa dei vari meccanismi che si attuano in un gruppo formato da un elevatonumero di alunni. Non solo, infatti, potrebbe essere difficoltoso, perl’insegnante, individuare sempre la corretta corrispondenza voce-bambinodurante la fase di trascrizione dei dialoghi, ma anche non si avrebbe adeguatagaranzia di controllo profondo dei processi di pensiero dei singoli alunni amotivo dei vari meccanismi che interferiscono nel lavoro in grande gruppo.Crediamo però che, almeno in alcune circostanze, tale esperienza potrebbeessere portata all’interno dell’aula, specie a vantaggio dei bambini che ciappaiono maggiormente in difficoltà o che faticano ad esprimere le propriestrategie ed i propri pensieri di fronte ad un contesto problematico.Lavorando individualmente, infatti, sarà più semplice far emergere iprocedimenti mentali dei singoli e, grazie alla successiva riflessione suiprotocolli, si avrà la possibilità di scoprire lo stile cognitivo dell’alunno e lesue funzioni cognitive carenti, per riformulare il nostro lavoro nella manieraadeguata al suo modo di apprendere. Nella mappa che segue indichiamo amo’ di esempio le funzioni cognitive coinvolte nel lavoro proposto. Pagina 131 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 6.17 – Funzioni cognitive coinvolte nelle situazioni di problem solving proposte1126.6. ConclusioniGrazie al nostro lavoro, abbiamo potuto osservare come le conoscenze siformino, nella mente degli individui, procedendo come per stadi, ed il ricorsoall’esperienza concreta, nella fattispecie osservazione e manipolazione deglioggetti, sia sentito come indispensabile sia per un primo approccio allaconoscenza, sia in caso di dubbio o incertezza.Il primo contatto avviene in maniera diretta, non strutturata e poco mirata esistematica: esso è infatti volto a raccogliere il maggior numero diinformazioni possibile sull’oggetto di conoscenza, seppur senza avere unachiara idea della portata e delle varie sfaccettature dello stesso.In un secondo momento, pare efficace aiutare l’alunno nel suo percorso diconoscenza, indirizzandolo in una più sistematica e mirata analisi dell’oggettostesso. In questo modo, egli non disperderà energie in un’indagine senzameta, ma, al contrario, potrà fare riferimento alle sue precedenti conoscenzeper dare fondamento alle caratteristiche indagate.Infine, una volta che le acquisizioni paiono ben radicate e fondate nellamente dell’esploratore, esse diventano innanzitutto meno legate allostrumento che ha permesso di giungere a quella particolare conoscenza e,inoltre, possono essere all’occorrenza riutilizzate, quale patrimonio personaleper l’indagine di nuovi aspetti della medesima.Appare quindi evidente che, il comportamento esplorativo basato su tentativied errori non sia da limitare, almeno nelle fasi iniziali del lavoro; il suoperdurare anche nelle fasi successive, invece, pare essere indice di unamancata interiorizzazione ed astrazione delle conoscenze stesse.112 Riferimento e spiegazione di ciascuna funzione cognitiva in FEUERSTEIN et al., op.cit. 185-222. Pagina 132 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramNecessaria, da parte dell’adulto è la riflessione sugli errori commessi daibambini nel corso dell’analisi del problema e della formazione delleconoscenze: l’errore, lo ricordiamo, non va condannato ma, piuttosto, unavolta riconosciutane la causa, corretto in maniera costruttiva con l’alunnostesso (frequentemente, le difficoltà maggiori sorgono: in fase di input,durante la completa raccolta delle informazioni, in fase esecutiva, nellapianificazione, nel comportamento sommativo e comparativo e, in fase dioutput, nella comunicazione dei risultati raggiunti).Riteniamo sia esperienza molto importante, per favorire l’interiorizzazionedelle conoscenze nei bambini, la sintesi orale o scritta dell’esperienzacompiuta113, allo scopo di ripercorrerla e fissare i concetti principali. Èpossibile fare ciò anche mediante l’uso di mappe concettuali, seppur nonsottovalutiamo alcune criticità dell’adozione di questo strumento per iconcetti matematici. Senza dubbio la mappa concettuale è un potente strumento metacognitivo, in quanto la sua stesura impone di chiarire i significati dei concetti da apprendere, stimola a ripensare ciò che si conosce sotto angolature diverse, obbliga ad esplicitare gerarchie, legami significativi, consente di tradurre in una rappresentazione comunicabile la propria conoscenza, traduce in forma visibile la struttura cognitiva del soggetto. *…+ Ma a quale livello di profondità, dal punto di vista disciplinare, deve arrivare una mappa concettuale? La scelta di dare ad una mappa un certo taglio è soggettiva, nel senso che il modello didattico (insegnamento per concetti, ndr.) non fornisce indicazioni relative, per esempio, all’adozione dei concetti da considerare primitivi (cioè non definiti) all’interno di una mappa. *…+ In ambito matematico risulta però fortemente problematico isolare in una mappa, che voglia essere esauriente ed esaustiva, un certo numero di concetti e di connessioni concettuali senza evitare per alcuni di essi il rimando al senso comune e, quindi, alla soggettività interpretativa114.113 A. P. LONGO, Educazione linguistica in matematica, sta in «emmeciquadro», dicembre 2006.114 C. COLOMBO BOZZOLO, A. COSTA, Nel mondo della geometria, vol.3, Erickson, Trento 2004, 24- Pagina 133 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramSappiamo che, queste attività, richiedono molto tempo, e che questo puòspesso spaventare gli insegnante; ricordiamo però che Prendere tempo non è perdere tempo, ma significa consentire al gruppo classe (o all’individuo, ndr.) di elaborare in progressione le esperienze e le diverse modalità di rappresentazione e di codifica con un linguaggio sempre più astratto e formale115. La costruzione dei concetti aritmetici deve essere il risultato di una reinvenzione degli stessi *…+ Inoltre, il linguaggio simbolico dell’aritmetica e i suoi meccanismi devono essere una conquista per il bambino, così come lo sono stati per l’intera umanità116.Questo perché, affinché il bambino realmente impari, è necessario, per lui,che si dia da fare. Darsi da fare vuol dire “rischiare”. Se il bambino non sa rischiare, rimane lì nell’angolo aspettando che qualcuno gli dica come fare. Ma se qualcuno gli dice come si fa, gli “fa male”; è un male per il bambino, perché non ci proverà più gusto, perché non imparerà un procedimento di ricerca degli strumenti e di identificazione degli obiettivi. Invece, sapere, vuol dire proprio questo: identificare gli obiettivi e cercare gli strumenti *…+117.25.115 C. COLOMBO BOZZOLO, A. COSTA, Nel mondo dei numeri e delle operazioni, vol.5, Erickson,Trento 2003, 18.116 COLOMBO BOZZOLO, COSTA, Op. cit., 30. Quanto detto per l’aritmetica è valido anche per lageometria.117 A. P. LONGO, Ripensando l’educazione matematica. Un io in azione, 22 marzo 2000. Pagina 134 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram Pagina 135 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram7. I PROTOCOLLI OSSERVATIVIAbbiamo riportato, in versione integrale, quanto detto nell’incontro con isoggetti che abbiamo osservato nel corso del nostro progetto. Per alcunitratti, abbiamo corredato il testo con delle immagini che ci sono sembratesignificative per la spiegazione del loro percorso per la risoluzione deiproblemi proposti.Il lavoro è stato suddiviso in tre sezioni; all’interno della terza sezione, alcunititoli permettono di distinguere i due problemi proposti, le due fasi direalizzazione di ciascuno e i protocolli di osservazione di ciascun soggetto.Ci sembra opportuno fornire alcune iniziali indicazioni, in merito alleabbreviazioni utilizzate nel corso della trascrizione, così da rendere piùagevole il lavoro di lettura. E. bambina 1 P. bambina 2 O. osservatore conduttore dell’osservazione O2. osservatore non conduttore, nei casi di compresenza dei due (…) pausa breve […] pausa lunga Fra parentesi tonde, anche alcune osservazioni, spiegazioni e commenti.La punteggiatura è stata inserita allo scopo di consentire al lettore una piùagevole comprensione della comunicazione fra i soggetti e gli osservatori.Primo approccio al tangramO. Nel lavoro che ti andrò a proporre, ti verrà chiesto di risolvere alcune situazioniproblematiche. Non mi interessa se avrai bisogno di poco o molto tempo per arrivarealla soluzione, e nemmeno se la soluzione che raggiungerai sarà quella giusta. Miinteressa capire come fai ad affrontare il problema che ti ho affidato, che strada fa latua mente per risolverlo. Puoi utilizzare tutti gli strumenti che trovi qui adisposizione. Ti chiedo di pensare ad alta voce, e quindi di dirmi sempre che cosastai facendo e perché.(dopo aver mostrato il tangram) Di che cosa si tratta?P. Del tangram!O. Si tratta del tangram. Che cos’è il tangram?E. È un gioco! (…) Cinese!O. È un gioco cinese. Ma voi, sapete com’è nato, questo gioco? Pagina 136 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramE. No.P. Io no!E. Me l’hanno spiegato ma non me lo ricordo…O. C’era un maestro, cinese, che ha dato ad un suo alunno una tavoletta quadrata,come questa (e mostra il quadrato magico), fatta di porcellana… Gli ha detto diandare in giro per il mondo, di cercare tutte le cose belle che c’erano per il mondo edi dipingerle su questa tavoletta… Il problema era che, questo alunno si era un po’agitato. Così ha fatto cadere la sua tavoletta… E questa tavoletta si è (lascia caderesul tavolo il quadrato magico) rotta in sette pezzi… Se voi aveste fatto cadere il regalopreziosissimo che vi aveva fatto la maestra?P. (esclamazione di terrore)O. Cosa avreste fatto?P. Avrei iniziato a piangere, a chiederle scusa…O. E poi?P. E poi l’avrei aggiustato.E. Cominciare a riformarlo con la colla…P. No, senza colla!E. E poi incollarlo.O. Esatto! È la stessa identica cosa che ha fatto questo alunno.E. Wow!O. Ha cercato di rimetterlo insieme, di rimettere insieme i pezzi… Però, mentre lirimetteva insieme, ha scoperto di poter realizzare un sacco di figure… Per ilmomento, vi lascio due buste, con i pezzi del tangram, di cartoncino… Quandolavoriamo insieme, usiamo invece questo, di plastica.P. Wow!E. (sottovoce) Ho già capito…O. Qui ci sono i pezzi del tangram. Vi lascio qualche minuto. Fateci… quello chevolete!E. Possiamo formarlo anche?O. Potete fare quello che volete, tutto quello che vi riesce.[…]E. Che cos’è P.?P. Che ne so io…O. Poi scegliete una delle vostre composizioni migliori…P. Ma io ne sto mettendo una tutta assieme!O. E ci dite che come la volete chiamare. Ci dite «Questo è… Ho composto un…».Date un titolo.E. Io ho composto un… non so che cos’è!P. Ah, bello però!O. Prova a dargli un titolo. Come si chiama questo tuo “non so che cos’è”?E. Boh… Si chiama boh…O. Questo pezzo c’entra?E. Non so dove metterlo… No!O. Prova a dirmi un titolo…E. Non lo so. Tu lo sai?O. No, non lo so!P. Se è tuo… Pagina 137 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramO. È una tua invenzione, come se tu fossi un famoso pittore…O2. A te piace l’arte, inventa!P. Inventa un titolo!E. Coso.O2. Strano nome! Uno un po’ più artistico?E. No, no. Aspetta. Lo rifaccio. Tu cosa stai facendo?P. Che ne so io…O. Questo si chiama “Che ne so io”?O2. Hanno dei nomi strani…P. Ta-tan! L’ho fatto!O. Che cos’è?P. Che ne so io. No. Sembra un albero. No! È una girandola! Conqua il bastoncino (indica la parte sulla destra, formata daltriangolo piccolo e dal quadrato).O. (Riferendosi ad E.) E questo, che cos’è?E. No. Niente!O2. A me quello di prima faceva venire in mente un pesce!P. (rivolta ad E.) Com’è che lo stai facendo, come uno shattle?O. Attenzione: che cos’è?P. È una freccia che indica qualcosa!E. Hm…O2. Per P. è una freccia. Per te?E. Per me… Hm… è un tangram!O. Su questo non ci piove! (…) Sapete che si possono disegnare tante figure… Peresempio, si possono disegnare anche degli animali, con il tangram?P. Sì!?E. Eh! È impossibile! Come si fa?P. Ci vogliono un po’ più pezzi però… mi sembra!O. Lo faccio con questo. Adesso cercherò di comporre… un gatto!P. Anche a me è venuta in mente quell’idea!O. Devo solo pensare come si fa.E. No, puoi… puoi prendere questi due che sono uguali e fai… le orecchie!O. Questi per le orecchie, e il resto? Come si fa a fare il resto?E. Puoi anche fare una mela…O. Hm… si poteva fare un gatto. È che non mi ricordo… Ah,questa è la coda!P. No, questa qua può essere la faccia!O. Sì! E queste le orecchie! Aspetta, come si fa a fare l’altroorecchio? Ah! È un gatto!P. Bello!E. Non toccare il mio coniglio!P. È un coniglio?E. …forse!P. Voglio provare anch’io a farlo! Pagina 138 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramE. Allora anche io faccio un gatto!O. Non c’è una figura giusta o una sbagliata, nel tangram! Tutto è giusto!P. Io ho in mente di fare… Voglio provare a fare… una tartaruga!Una ruga! (…)La faccia, … (…) Fatta!!!O/O2. Bellissima!O. Ok! La tartaruga! E questo? È il coniglio?E. Non lo so… È un uomo-coniglio, perché qui ci sono le braccia, equa il corpo!P. E le gambe?E. (risata)… un uomo coniglio!?O.Un uomo coniglio! […] Ok. Ma, era troppo facile così… C’è unproblema.P. Ma… un problema di matematica?O. Sì, con tantissime frazioni!P/E. No!!!O. E con tantissime operazioni!P/E. No!!!O. Voglio innanzitutto capire da voi, che cosa avete scoperto dei pezzi del tangram,se avete scoperto qualcosa.P. Sì, che hanno molte forme diverse.E. Che si possono fare un sacco di disegni.P. Ma non ne esisterà mai uno (più giusto di un altro, ndr.).Analisi dei pezzi del tangramO. Avete detto che il tangram è fatto da tanti pezzi, giusto.Questo è sempre un tangram, però con i pezzi colorati; ve lofaccio vedere colorato, così almeno capiamo di quale pezzostiamo parlando.Riuscite a dirmi qualcosa di ciascuno di questi pezzi?P. Che sono colorati e che tutti i pezzi del tagram sono tutti uguali.O. Che cosa vuoi dire con tutti uguali?P. Eh, che, per esempio, non ce ne può essere uno rettangolare, rotondo…O. Che pezzi sono allora? Che forme hanno?P. Geometriche! Triangolo, parallelep…E. Parallelogramma!P. Parallelogramma.E/P. Quadrato.O. Bene! Come sono i triangoli? Cominciamo dal triangolo rosso. Com’è, il triangolorosso? Cosa ha di particolare?P. È grande.(…)O. Poi?P. È rosso.E. E ha…P. Ha quattro lati e ha quattro angoli.O. Il triangolo…E. Il triangolo ha quattro lati?P. (ride, accorgendosi dell’errore) Tre angoli e tre lati! Pagina 139 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramO. Mi sapete dire qualcosa sui lati e sugli angoli del triangolo?E. Che questo è un triangolo isoscele.O. Ok! Cosa vuol dire, isoscele? Perché è isoscele?E. Che ha due lati uguali ed uno diseguale, diverso.O. E se è isoscele, che cos’ha oltre ai due lati uguali?E/P. Ha due angoli acuti ed uno P. ottuso/E. retto. Ottuso.O. Uno ottuso. Qual è quello ottuso? (indicano l’angolo retto) Questo è ottuso? (lebambine si confrontano e cercano di trovare una risposta).E. Questo qua è…P./E. OttusoP. E questi due sono acuti.O. Sei sicura che è ottuso?E. È acuto…P. Questo qua è acuto e questi qua sono ottusi.E. No! Non vedi? Questo è l’angolo… […]O. Non confondetevi. Come è fatto un angolo acuto? Che cos’è un angolo acuto?E. Che è meno di 90°.O. Perfetto. E un angolo ottuso?P. Che ha più di 80…E. Di 90°.O. E un angolo di 90° si chiama?E/P. Retto.O. E un angolo di 90°, che si chiama retto, com’è fatto? Provate a farmi vedere unangolo retto…E. È fatto… così (lo indica con le mani)P. E… é…E. È fatto così (ripete il gesto fatto prima con le mani).O. Ok. Questo angolo qua: com’è?P. Questo?E. È retto!P. È retto?E. No. Questo qui?P. È ottuso… (…)E. È ottuso.O. Come fai a misurare se questo è retto?P. Io so (prende i pezzi del triangolo grande e del quadrato). È ottu…E. No.P. È ottu…E. No. (sussurrando) È un angolo retto…P. Non è retto.E. Sì, è un angolo retto.P. Perché? (…)E. Perché…(prova a girare il pezzo, facendogli assumere orientamenti diversi, allafine mettendo l’angolo con il vertice in basso a sinistra, con il lato su cui poggiacoincidente al bordo del tavolo) se tu lo giri così, vedi che è un angolo retto.O. (P. non è convinta) P, prova a pensare al quadrato. Come sono gli angoli delquadrato?P. Tutti retti (proviamo ad appoggiare un angolo del tan quadrato sopra a quelloconsiderato del triangolo).E. E poi, se lo metti così è un triangolo… è sempre un triangolo isoscele. Che però…O. Che però, al posto di avere un angolo ottuso, ha…E/P. Un angolo acuto.E. Retto! Pagina 140 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramP. Retto… Sì, è vero…E. Se il quadrato ha tutti gli angoli retti… il quadrato lo mettiamo qua… il triangoloavrà…O. Il triangolo avrà… due angoli acuti ed uno…E. Retto.P. Retto.O. Il triangolo giallo ed il triangolo rosso, fra loro, come sono? (…) Sono uguali?E/P. No.O. Cos’hanno di diverso?E. Uno è isoscele ed uno è…P. Questo è isoscele e questo è…O. Provate a cercarli… Questi sono colorati, solo per aiutarci a dire il nome. Qualisono, fra i vostri pezzi, i due triangoli rosso e giallo? (li prendono) Ok. Come sono idue triangoli che avete in mano? (li sovrappongono)E. Proviamo.P. Uno è più lungo ed uno è più corto.E. Mm…P. Questo qua è più lungo.O. Sovrapponeteli con precisione…P. No! Uno è un po’ più alto ed uno un po’ più basso… Credo…E. Sono uguali! (P. rimane perplessa) Sì sono uguali. Guarda (li sovrappone conprecisione e mostra il suo lavoro alla compagna).O. Ora. Ragioniamo sul quadrato azzurro.E. Il quadrato ha quattro lati e quattro angoli.P. Quattro lati e quattro angoli. (…)O. Cosa mi sapete dire d’altro, del quadrato?E. Che… (…)O. Come sono gli angoli?P. Retti.E. E i lati tutti uguali.O. E poi?E. Ha quattro lati, ha quattro angoli… (nel frattempo, giocherella con i tan cercandodi formare una figura, che poi non conclude) e due lati paralleli, no. Due latiparalleli, cioè quattro lati paralleli… cioè… (…)O. I lati paralleli, come? (…) A due…E. A due a due. Ha due diagonali.P. E ha una linea di simm… due linee di simmetria.E. No!P. Perché? Perché…E. No, quattro! Perché (lo indica con il dito sul tan quadrato).P. Ah, sì! È vero, sono quattro.O. Bravissime! E.. Il triangolino piccolo, quello rosa? (prendendo il pezzo del lorotangram).P. È questo?E. È questo!O. Com’è?E. Ha tutti i lati ugua… no! Non ce li ha tutti uguali… (nel frattempo ha preso l’altrotriangolo piccolo e lo ha sovrapposto).P. È rosa, ha tre lati, e ha un angolo retto e due acuti.E. I lati. Ne ha tre.P. È isoscele.E. Due uguali ed uno disuguale. (…)O. Bene. Il triangolo rosa, è uguale a qualche altro triangolo? Pagina 141 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramP. Questo!E. A questo qua, a quello viola.P. Sono uguali…O. Il triangolo rosa ed il triangolo viola sono uguali. Il triangolo verde, com’è fatto?P. È più grande e ha, mi sembra, e ha tutti i lati… no, non ha tutti i lati uguali (provaa misurarlo, in maniera non convenzionale, con le dita: pone la punta delle dita suisuoi suoi vertici, e si sposta così di lato in lato): tan… no… ah! È isoscele.E. Ha un angolo retto e due acuti…P. Sì! (…)O. Perfetto. Ci manca il parallelogramma.E. Hm… Il parallelogramma… no, aspetta…P. Ma come si mette? Sì, così.E. Ha due lati paralleli… Ha due diagonali. No.P. Sì, ha due diagonali.E. Ha quattro lati. Due uguali e due dive… du più lunghi, ma uguali.O. Quindi i lati sono uguali a…E. A due a due, ma due più lunghi e due più corti.P. Se io lo metto così… ha un angolo ottuso…E. Due angoli ottusi… e due acuti (nel frattempo, però, E. continua a giocare con itan che non stiamo analizzando).O. I lati, come mi avete detto che sono? Paralleli…P. A due a due. Ha due diagonali. (…)O. Ha assi di simmetria?P. Sì, uno!E. No.P. Sì. No. Aspetta.E. No.P. No.E. No, perché, volendo, lo puoi piegare così, ma esce un po’ (cerca di mostrare allacompagna come potrebbe piegare il pezzo se dovessero esserci assi di simmetria edindica con le dita il fatto che una parte del pezzo “uscirebbe”, sarebbe più grandedell’altra).P. Sì…O. I triangoli che abbiamo visto prima, hanno assi di simmetria? (Li indico loro apartire da quelli più grandi).P. Sì, uno! (e lo indica tracciandolo con le dita sopra la figura)E. Sì, uno! (e lo indica tracciandolo con le dita sopra la figura)O. Questo (verde)?E/P. Uno! (lo indicano tracciandolo con le dita sopra la figura)O. Questi (rosa e viola)?E/P. Uno! (lo indicano tracciandolo con le dita sopra la figura)O. Bene. Siamo d’accordo?E/P. Sì.I problemi di tangram1. Problema di equiestensioneO. Siamo d’accordo. Vi dicevo prima, che noi abbiamo da risolvere un problema. Perarrivare a risolverlo, faremo dei passaggi. Il problema è questo: È possibile chefigure diverse occupino la medesima quantità di superficie? Perchè? Pagina 142 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramChe cos’è la superficie?P. È la… È questa qua! (e indica con le mani la superficie del tavolo).E. La superficie…[…]O. Provo a dirvelo con parole diverse, che forse conoscete meglio. È possibile chedue figure diverse abbiano la stessa area?P. Sì!E. Io non l’ho studiata l’area… la studio in quinta.O. Non preoccuparti…E. È lo spazio che occupa una figura…P. Vedi, allora l’hai fatto!E. No! Io… non la so misurare.O. Non hai da preoccuparti. Non la misureremo. Ma arriveremo a risolvere ilproblema facendo due tappe. Faremo insieme il primo lavoro.Fase 1O. Dobbiamo ricostruire… (mentre mostro loro un cartoncino rosso, di formaquadrata, delle medesime dimensioni del tangram) il quadrato magico. Come faccioa ricostruirlo? Provate a rimettere insieme i pezzi in modo da ricostruirlo. Ricordatedi dirci sempre cosa state facendo. (le bambine lavorano insieme).E. E io l’avevo già rimesso insieme…P. Aspetta.E. Qui c’è il quadrato… No, qui c’è questo.P. E lì? Ah, ma qua ci vuole… il rettangolo (?).E. Ma questo è fuori! No, questo non va bene qua.P. Questo va qui.E. Poi va qua.O. È più complicato del previsto!P. Non ci stanno!E. Sì che ci stanno!P. Sì, ma escono…E. No qua, vanno messi un po’ più…P. Qui esce ma… va be’, dopo qua ne avanza un po’.E. Poi.P. No il quadrato…E. Il quadrato va qua!P. Que’ va qua…E. No, dall’altra parte! Eh, ma… esce! Esce!P. Per me bisogna fare così, e…E. Così e…P. E… così non esce! Per me, fai così, no! Fai così…E. Aspetta, aspetta…P. Dopo qua metti questo. No… Qua metti…E. È questo!P. Tutti… No questi devono andare… ma cosa fai? Questo… qui… o, be’… Ma non cistanno!!!E. E chi lo dice? Basta…P. Vedi. È che dopo ne avanza un pochetto…E. Ma è sbagliato!O. Ma… all’inizio era così. Pagina 143 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramP. Ci dai la sua scatola? Così non escono! (come per dire: se all’inizio i pezzi stavanolì dentro, ci staranno anche ora!)O. Ecco!E. Però hai tolto il cartone con le forme! (…)P. (pronuncia una frase, come fosse una formula magica, ma di difficilecomprensione… Le cronache di moon I care, e ricomincia a lavorare) No, questo quava messo qua. (commentando la mossa della compagna). Come fa ad andare lì?E. No, aspetta. Lo mettiamo qua. Qui. No. Dopo, qua mettiamo questo. E ilquadrato?P. Non ci sta! Ma… possiamo fare… possiamo fare così. Allora. Metti qua… Eh, ma lìnon va bene…E. No, aspetta! Ho scoperto! Questo va messo… qua.P. E questo, dopo, come fa a starci?E. Ci sta, ci sta. Te lo dico io.P. No. Non ci sta!E. Ma uffa! (…)O. Ma il triangolo medio, può stare solo con l’angolo retto sul vertice del quadratomagico?P. No… Può anche stare…E. Qui… E dopo… No, qui non ci sta! Qua questo… qua…P. No. No, però… aspetta!(…)E. No, qui è meglio se facciamo così, poi ci mettiamo dentro questo e…P. Evvai! Vedi che genio che sono!!!O. Bravissime! Abbiamo osservato tutti i passaggi che avete fatto. Voi, che cosa avetescoperto?P. Devi avere pazienza. E dopo, in fondo, ci arrivi!O. E tu?E. Mmm… (ride, ma non mi risponde)O. Riflettiamo un istante. Guardate, per esempio, l’angolo del quadrato magico:come posso formarlo? (…) Potevo formarlo mettendo su di esso il vertice di unquadrato e quello acuto di un triangolo? Perché?E. No, perché esce dal quadrato.O. Perché? Che angolo è questo (indicando un angolo del quadrato magico).P. È retto!O. Quindi per formare gli angoli del quadrato magico…E. Devi avere degli angoli retti.O. Come faccio a formare degli angoli retti?P. O usando questo (indica l’angolo del tan quadrato), o usando…E. Gli angoli acuti delle altre figure.Fase 2O. Benissimo! Ricordate quello che avete fatto e che mi avete detto. Adessoproviamo a fare un altro lavoro. Questa volta lavorando ognuna per conto suo.P. Sì…O. Ci servono i vostri tangram. Controllate di avere tutti i pezzi, prima diincominciare. Controllate di avere due triangoli grandi…P. Ce li ho.E. Due triangoli piccoli…P. Ce li ho…O. Un triangolo medio…P. Ce l’ho… Pagina 144 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramE. Sì. Un quadrato… e un parallelogramma.O. Perfetto. Possiamo iniziare lavorare.Protocollo di osservazione E.O. Questa volta abbiamo da ricostruire… il triangolo (mostrandole un cartoncinogiallo della forma e delle dimensioni del triangolo che si andrà a ricostruire con ipezzi del tangram)! Voglio vedere, e voglio sentire, come fai a ricostruire il triangolo.Ricorda di dire, ad alta voce, tutto quello che staifacendo: indica sia il nome della figura (triangologrande, triangolo medio, triangolo piccolo, quadrato,parallelogramma) sia la posizione in cui li staimettendo rispetto al triangolo.(Le lascio un cartoncino giallo triangolare e lo sistema poggiante sull’ipotenusa).E. Il triangolo grande lo metto in basso a sinistra (…). Poi, anche l’altro lo mettodall’altra parte (in basso a destra, ndr.). Poi il quadrato lo metto in mezzo ai due.Metto questo medio… no, non ci sta.(riparte da capo) Metto il triangolo grande sulla punta. Quest’altro lo metto aformare un rombo… Poi. Il quadrato lo metto a sinistra. Questo triangolino lometto… sempre a sinistra. Poi… quest’altro lo metto sempre a sinistra. Poi prendo ilparallelogramma e… lo metto… in questo… non ci sta! Devo rifare!Ho messo il triangolo grande sulla punta del triangolo e l’altro triangolo grande asinistra. Poi metto il parallelogramma a sinistra (? A destra del secondo triangologrande, ndr.).Poi il triangolo me… eh… no. Poi prendo il quadrato. Lometto… a destra. Prendo un triangolo piccolo e lo metto inmezzo. Poi prendo quello… no! Ho sbagliato.(ricomincia)Allora. Prendo questo qui e lo metto qui; questo qui, lometto così. Ho messo i due triangoli grandi uno in basso asinistra e uno in basso a destra. Pagina 145 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramPoi metto il parallelo… (prova a posizionare ilparallelogramma in vari modi, mai però appoggiandolo aduno dei cateti dei triangoli grandi). No. (…)O. Prova a ricordare quello che hai fatto prima. Che angoloè questo?(indico l’angolo che si forma dall’incontro dei due cateti del triangoli grandi chepoggiano con l’ipotenusa sull’ipotenusa del triangolo che dobbiamo ricostruire).E. Retto.O. Bene. Come mi hai detto che si può formare un angolo retto?E. O con l’angolo del quadrato o con due angoli acuti… Allora… Il parallelogr…Metto il quadrato, poi prendo… Metto quello (il triangolo, ndr.) medio sulla punta, ilparallel… no. Tolgo il quadrato. Metto il parallelogramma… metto ilparallelogramma… no. Non ci sta. No. Non riesco… […] (osserva i pezzi).Metto il triangolo medio vicino a quello a destra grande.Poi. Prendo il parallelogramma e lo inserisco nello spazioche rimane in basso. Il triangolo piccolo qui… Ma ilquadrato non ci sta.Io il quadrato lo metto così; questo così e…questo così! Ho fatto! Aspetta… forse! No,mi si è disfatto tutto! Questo pezzo non ci sta! (cerca di posizionarlo senza provaread orientarlo in modi diversi) (…)O. Sei obbligata ad appoggiarlo per forza cosìcome lo hai in mano?E. Lo giro così!!! Fatto!!!O. Bravissima!O. Abbiamo costruito un quadrato e un triangolo. Torniamo al problema dipartenza, te lo ricordi? Queste due figure, occupano la stessa superficie?Voglio sapere, se no, perché; se sì, perché.E. Mm…(…).O. Tu cosa pensi? Occupano la stessa superficie?E. Eh! (…)O. Prova a guardarli. Cosa ti sembra, se li osservi?E. Vendendoli così sembra di no; invece…?O. Invece non lo so! Pensa ai lavori che hai appena fatto…E. (…) Sì, occupano lo stesso spazio, perché se i pezzi del tangram hanno formatoquesto (il quadrato magico) e questo (il triangolo), vuol dire che occupano lo stessospazio.O. Prova a spiegarmi…E. Se il tangram ha formato tutti e due, vuol dire che occupano lo stesso spazio.O. In matematica, come possiamo dire questa cosa? C’è un’operazione che possiamofare per spiegare quello che ti ha portata a dire così?E. Mmm… Il più!O. Più… cosa?E. Devo misurare questi! (indicando i vari pezzi) (…)O. Li devi per forza misurare? Per spiegarmi che il triangolo e il quadrato magicohanno la stessa superficie, devi per forza fare delle misure?E. Ho usato i pezzi del tangram. E ho fatto il più. (…)O. Che cosa hai addizionato?E. Il numero dei tan… eh… Pagina 146 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramO. Ti servono i numeri? Per dirmi che le due figure avevano la stessa superficie, checosa hai sommato?E. Ho sommato i pezzi del tangram!O. Possiamo fare un’addizione di pezzi del tangram? Tu come faresti?E. (dispone uno dopo l’altro, sul tavolo, i vari tan, come se dovesse fareun’addizione). 2 questi… cioè… due triangoli piccoli più due triangoli medi più e poiun…O. Prova a fermarti e a spiegarmi bene.E. Ho sommato due triangoli piccoli, un triangolo medio, un parallelogramma, duetriangoli grandi, e un quadrato.O. Bene. Ti faccio fare una cosa ancora più difficile. Me lo scrivi?E. (mi guarda in silenzio e con aria interrogativa).O. Come puoi fare a scrivere una somma matematica che però non ha i numeri?E. (…) Lo scrivo a parole… Allora. Due triangoli piccoli (e scrive tutta la parola) piùun triangolo medio…O. (la interrompo) Puoi chiamare le figure con delle abbreviazioni?E. Mm… Sì! Per esempio… Posso chiamare il triangolo piccolo posso chiamarlo…Tp, il triangolo medio Tm…O. Facciamo così, che scriviamo qua sopra i nomi.E. …Il triangolo grande… Tg! Che ridere, Tg! Poi, Il parallelogramma P e il quadratoQ!O. Bene! Prova a scrivere la tua somma utilizzando le abbreviazioni che mi hai detto!E. Allora… 2 triangoli piccoli (lascia la scritta 2 triangoli piccoli); poi, più Tm (scrive+ Tm); poi, più Tg (scrive + Tg), …mm… più 2 Tg! (corregge) Più Q (scrive + Q);più… più P (scrive + P). Uguale… Uguale… O triangolo o quadrato!Protocollo di osservazione P.O. Questa volta abbiamo da ricostruire… il triangolo (le mostro un cartoncino giallodella forma e delle dimensioni del triangolo che si andrà a ricostruire con i pezzi deltangram)! Voglio vedere, e voglio sentire, come fai a ricostruire il triangolo.Ricorda di dire, ad alta voce, tutto quello che staifacendo: indica sia il nome della figura (triangologrande, triangolo medio, triangolo piccolo, quadrato,parallelogramma) sia la posizione in cui li staimettendo rispetto al triangolo.(Le do un cartoncino giallo triangolare e lo sistema poggiante sull’ipotenusa).P. Facile!... Va bene… Allora… Io, questo qua lo mettereiqui…No. Il triangolo grande lo metto a sinistra, qua. Lo mettoqua, e l’altro triangolo grande lo metto qua, qui… a… adestra. Questo… eh… il triangolo medio… lo metto in alto.Poi metto il quadrato in mezzo ai due grandi. Poi metto iltriangolo piccolo vicino al quadrato. No… No…Allora… Il triangolo grande lo metto in alto. Poi… Poi… boh! Pagina 147 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramPoi… metto un altro triangolo grande sotto, che siappoggia… Poi metto il triangolo medio di qua…Devo rifare…Ah! Ho capito! No, adesso non mi ricordo più! Mm…(fissando il triangolo giallo)I due triangoli grandi li metto uno a destra e uno a sinistra.Dopo metto… questo medio sulla punta. In giù… Così! Poimetto… No, niente!Allora… Il triangolo grande e il triangolo picc… medio, unolo metto in alto e uno lo metto a sinistra.Poi prendo il parallelogramma e lo metto di qua. Poi prendo questo e lo metto diqua… Poi il triangolo piccolo… Ah, no.Allora. Ma dove metto questo? Allora… I due triangoli (grandi, ndr.) li metto uno asinistra ed uno a destra. Poi prendo il parallelogramma e lo metto qua… in centro…Poi prendo il triangolo medio e lo metto qua; prendo il triang… Il qua… Non ci sta.Posso fare così… Metto i due triangoli grandi in basso, a destra e a sinistra. Poiquesto qua (il parallelogramma) lo metterei di qua… vicino a quelli grandi. No.(prova a “ribaltare” il parallelogramma, sperimentando varie soluzioni). Poi prendoquesto e lo metto qua… cioè… il triangolo piccolo lo metto in alto. Poi lo metto diqua… poi l’altro triangolo (medio, ndr.) lo metto vicino al triangolo grande. Poi iltriangolo questo lo metto di qua (sotto al triangolo piccolo, confinanti perl’ipotenusa)… No! Ho sbagliato. (…)O. Perché?P. Ci resta sempre quel quadrato… è troppo grande! Ma dove lo posso mettere?(Prova a sostituire i due triangoli piccoli con il quadrato. Si ferma ancora inosservazione) ma… (prende il parallelogramma e lo ribalta, infine posiziona neglispazi liberi i triangoli piccoli). Ma… ma ho finito!O. Bravissima!P. Poi ci sono altre figure da fare?... No, non ci sono altre figure… Pagina 148 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramO. Sai, ce ne sono tantissime di figure! Ce ne sono migliaia! Noi, per ora, ciaccontentiamo di queste, poi ti lascerò il tangram, così potrai sbizzarrirti e inventaretutte le figure che vorrai…P. Evvai! Uau!O. Siamo riusciti a costruire un quadrato e un triangolo. Ti ricordi il problema dipartenza? (…) Queste due figure, occupano la stessa superficie?P. (risponde subito, convinta) No! (poi si ferma, in silenzio)… o sì?O. Voglio sapere, se no, perché; se sì, perché!P. Per me no. Non possono occupare la stessa superficie perché uno ha tutti itriangoli retti… ha tutti gli an… ha tutti i lati uguali e ha gli angoli retti. Invece iltriangolo, per fare un angolo retto ne ha bisogno… cioè può farlo, però deve esseregirato così (lo posiziona con l’angolo retto in basso a sinistra) e farlo.O. Cioè con l’angolo retto rivolto dove?P. Rivolto verso l’a…, verso il basso.O. Verso il basso, dove?P. Eh, a de… cioè a sinistra… e così posso fare iltriangolo. (…)O. Prova a pensare ai due lavori che hai fatto poco fa. Cosa hai usato per formare ledue figure?P. È vero! Se i pezzi del tangram hanno formato il quadrato e poi con gli stessi pezziho formato il triangolo, hanno la stessa area le due figure!O. Ti faccio una domanda difficilissima. In matematica, quale operazione puoiusare, per spiegarmi quello che mi hai appena detto?P. (…) Il più!O. Il più… più cosa?P. La lunghezza del lato, per tutti e tre i lati… del triangolo o del quadrato! E dopo losommi. Fai… ad esempio: qua è lunga 10 cm, qua…Ho usato i pezzi del tangram e quindi devo dire quanto sono lunghi…Cioè formo un quadrato e un triangolo con i pezzi del tangram… (…)O. Mi hai detto che hai sommato qualcosa. Che cosa hai sommato?P. Il numero dei tan!O. Cioè?P. (…)O. I tan sono 7. Hai fatto 7 più qualcosa?P. No…O. Cosa hai fatto?P. Quanto è lunga la superficie…O. Tu lo sapevi? Non abbiamo dato nessun numero… Che cosa hai sommato?P. Io niente!... No! Non lo so!2. Problema di relazioni fra i pezzi del tangramO. Siamo pronti per affrontare il secondo problema! Il secondo problema dice così:Quanti triangoli piccoli servono per ricostruire il quadrato magico? Quale parterappresenta il triangolino rispetto al quadrato magico?P. Uuuh!O. Stai tranquilla, come prima, ci arriveremo per gradi. Pagina 149 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFase 1O. Questo primo lavoro lo facciamo insieme. Se guardate bene i pezzi del tangram, ivari tan, ce ne sono alcuni che possono essere formati da due pezzi più piccoli.E/P. Sì…O. Quali sono?P. Questo qui, perché ha due triangoli…O. Fammi vedere bene.E. Metto questo e… no… No, non due… be’…P. Così!O. Cioè? Cosa avete fatto?P. Ho messo due triangoli piccoli vicini, uno deidue a testa in giù, sopra il parallelogramma. Ilparallelogramma è formato da due triangoli!O. Ci sono altri tan che possono essere formati da pezzi più piccoli?P. No.E. Può essere formato anche questo… il quadrato!P. Può essere formato da due triangoli!E. Da due triangoli piccoli!P. Be’, allora un triangolo grande può essere formato da due triangoli medi!E. Vero!... Però non abbiamo due triangoli medi! Dobbiamo usare solo i pezzi deltangram… (…)O. Ci sono altre forme che possono essere formate da due forme più piccole?P. Aspetta… com’era… l’avevo visto fare…E. Ecco!O. Cosa abbiamo fatto?E. Un triangolo medio con due triangoli piccoli! Pagina 150 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramFase 2O. Bene! Bravissime! Siamo pronte per lavorare ognuna per sé.P. Eh! Vediamo… Tentiamo!Protocollo di osservazione E.O. C’è un pezzo del tangram che può essere ricostruito usando… tre pezzi! Unattimo, frena! Ricorda qual era la regola del gioco. (…) Dire sempre…E. Quello che si fa! Va be’, allora.Ho preso due triangoli piccoli ed un parallelogrammaper ricostruire il triangolo grande. Ho messo iltriangolo piccolo sulla punta; il parallelogramma asinistra, e l’altro triangolo piccolo a destra. E così hoformato il… il triangolo grande.Poi posso formarlo anche… sì! No… (…) Mmm. È impossibile. Forse con altri pezzi…Così no… Il quadrato… è l’unico posto in cui posso mettere il quadrato!O. Dove hai messo il quadrato?E. Il quadrato l’ho messo sulla punta, e i due triangolipiccoli li ho messi uno a destra ed uno a sinistra. Poi…O. C’è altro?E. Il triangolo medio… ho messo il triangolo medio a sinistra, però non ci sta! Mmm.Metto il triangolo medio a sinistra. Ma mi serve un altro triangolo medio! Però nonce l’ho!O. Prova a pensare al triangolo medio! Guardalo bene(…): come può essere formato il triangolo medio?E. Il triangolo medio… devo farlo (…) Così… Metto untriangolo piccolo sulla punta…Poi ho messo il triangolo medio a destra, e il triangolo piccolo a sinistra.O. Secondo te, c’è qualcos’altro che si può fare?E. Mm… Secondo me… Mm… no…O. Ok! Bene! Sei pronta per risolvere il problema che abbiamo detto prima?Abbiamo fatto due esercizi per aiutarci a risolverlo e per scoprire qualcosa. Che cosahai scoperto con questi due esercizi?E. Certe forme possono essere formate da più pezzi!O. Se quello che tu hai detto è vero, allora io posso ricostruire questa figura, ilquadrato magico, il tangram, utilizzando solo il triangolo piccolino. Tanti triangolipiccolini. Quante volte avrò bisogno di utilizzare il triangolo piccolo per formarequesta figura?Sul tavolo ci sono dei fogli, nel caso tu ne abbia bisogno. Pagina 151 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramE. No, non mi servono. Allora… Il triangolo medio è formato da due… da… duetriangoli piccoli, quindi, 2. Quindi 2. Anzi, meglio sul foglio (prende un foglio escrive 2). Scrivo 2.O. Aiutami… Mi aiuti a capire come stai risolvendo il problema?E. Sì, ok. Prendo due triangoli piccoli e li metto nel triangolo medio, e ci stanno.Quindi scrivo 2 sul foglio. Più. Poi prendo un’altra figura (prende il triangologrande). No aspetta…O. Com’è formata questa figura?E. Il triangolo grande è formato da… due triangoli piccoli e un quadrato. Unquadrato che è due… due… due triangoli piccoli. E quindi nel triangolo grande cisono… Uno due tre… Quattro (Guardando il triangolo grande e indicando, come sevedesse e potesse fisicamente contare, i vari triangolino). Lo scrivo. Scrivo 4 più. Maabbiamo due triangoli grandi. Quindi scrivo ancora 4 più. Adesso… Il quadrato puòessere formato da due… da due triangoli piccoli. Quindi scrivo 2 ancora. Poi anche ilparallelogramma può essere formato da due… da due… da due triangoli piccoli. Equindi scrivo ancora 2. Poi li sommo. 4+2 6, +4 10, +2 12, +2 14. Il quadrato e iltriangolo possono essere formati da 14 triangoli piccoli.O. Hm. Ricontrolla la tua operazione, per essere sicura. Come in ogni gioco,dobbiamo ricordarci di controllare di avere rispettato tutte le regole. E una regolaimportantissima per giocare con il tangram è quella di usare tutti i pezzi.E. Allora. Questo è il triangolo medio. È formato da due triangoli piccoli… Lo scrivosotto?O. Va bene! Puoi scriverlo anche abbreviato, come hai fatto prima, se ti è comodo!E. Questo era… Tm. Come faccio a dire che Tm è formato da 2? Tm2?O. Come lo dici, se devi usare il linguaggio matematico?E. Mm… Tm è uguale a 2 triangoli piccoli.O. Prova a scriverlo! Puoi abbreviare anche Tp, volendo!E. Sì! Tm = 2 Tp. Poi. Due triangoli grandi… va be’, un triangolo grande è formatoda… Tg uguale… Tg = 4 Tp. Poi, ripeto. Tg = 4 Tp. Questi li metto via. Poi. Ilparallelogramma. P = 2 Tp. Poi, via. Quadrato uguale 2 Tp (scrive Q = 2 Tp). Poi.Mm. (…) (la bambina analizza una figura per volta, accantonandola una voltaterminata l’analisi stessa).O. Hai messo tutto?E. Sì!... Ah! Ah, è vero! Mancano i due triangolipiccoli! (…) Allora. 2 + 4 + 4 + 2 + 2 +1 + 1 = 16.Quindi 16 triangoli piccoli. Poi. Eh… Tp… 2 Tp…Che fa… 16. Fatto!O. Domanda… Rispetto al quadrato grande, chefrazione rappresenta il triangolo piccolo?E. … Se per formare il quadrato servono 16 triangoli piccoli… 1/16!O. Brava! E… un quadrato, che frazione rappresenta, rispetto al quadratone?E. 2/16! Perché il quadrato è formato da due triangoli piccoli.O. E il triangolo medio?E. E il triangolo medio… da… altri due… 2/16.O. E il triangolo grande?E. Be’, il triangolo grande 4/16!O. È stato complicato, secondo te?E. A me è piaciuto lavorare col tangram!O. Perché? Pagina 152 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramE. Perché è bello formare le figure, a me piace la geometria…O. E rispetto alla matematica?E. Mi piace molto di più la geometria! Perché mi piace disegnare le forme…Protocollo di osservazione P.O. C’è un pezzo del tangram che può essere ricostruito usando… tre pezzi! Ricorda didirmi sempre quello che stai facendo.P. Ok. Allora. Metto il triangolo piccolo sopra a quello medio. Poi metto qua iltriangolo piccolo, sopra a quello medio. Dopo prendo… dopo prendo il tria… iltrape… il parallelogramma e lo metto… non ci sta! No! Così! Così! Ho formato iltriangolo… me… medio… no, grande!O. Questo, secondo te, è l’unico modo per formare il triangolo grande?P. Allora prendo… No, prendo… (prende in mano successivamente pezzi diversi e liosserva). Allora. Ho preso un quadrato e il triangolo medio. No.Ho preso il quadrato e l’ho messo in punta, dopoinvece ho preso il triangolo piccolo e l’ho messo adestra e l’altro triangolo piccolo l’ho messo asinistra. Cosa faccio, provo? Sì! (nel realizzarequanto detto, però, la bambina posiziona prima idue triangoli piccoli e poi il quadrato). Fatto! Hoformato il triangolo grande!Poi prendo il triangolo medio e lo metto qui, nell’angolo. (…) Mi sono avanzati questipezzi. Ci provo! (prova varie combinazioni, spostando il triangolo medio in diverseposizioni, ma senza successo)Io ho un’altra figura che si può fare! (Mette due triangoli grandi uno sopra l’altro)Fatto!O. Sì, il triangolo grande può essere fatto anche così, ma noi abbiamo detto che lafigura che ricostruiamo deve essere formata da tre pezzi!P. L’avevo fatta, però! Be’, tre pezzi alla fine son quelli! (riprova a combinare iltriangolo medio con altri pezzi).O. Proviamo a…P. Ecco!O. Ok, bravissima! Brava! Ora proviamo a tornare al problema di prima. Prima però,prova a dirmi: hai scoperto qualcosa, facendo i due esercizi che ti ho proposto? Pagina 153 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramP. Certe figure del tangram possono essere formate da più combinazioni… e da piùpezzi! Cioè, da più pezzi con più combinazioni.O. I pezzi che formano gli altri, come devono essere?P. Più piccoli!O. Bene. Se quello che mi hai detto vero, allora io posso risolvere il problema dipartenza! Te lo rileggo: Quanti triangoli piccoli servono per ricostruire il quadratomagico? Quale parte rappresenta il triangolino rispetto al quadrato magico?Cominciamo dalla prima parte del problema. Quanti triangoli piccoli servono perricostruire il quadrato magico? Che cosa significa?P. Che per formare il quadrato magico potrei anche soltanto utilizzare il triangolopiccolo. Tanti triangoli piccoli. Quindi devo scoprire quanti triangoli piccoli possousare per formare il quadrato magico. (comincia in silenzio a lavorare allarisoluzione del problema: posiziona i triangoli piccoli sopra le altre figure, cercandodi memorizzare da quanti pezzi è formata ciascuna)O. Che cosa stai facendo?P. Sto misurando i pezzi. Il triangolo medio è formato da due triangoli piccoli, ilparallelogramma… da due… Ma poi mica me li ricordo tutti! Mm… Posso avere unpezzo di carta, così li segno?O. Va bene! Prendilo!P. Allora 2 per il triangolo medio. Allora 2 Tp per Tm, poi. Il quadrato. 2 triangolipiccoli per il quadrato. Poi, il trapezio… il parallelogramma. Due! Due, eh, triangoli.2 Tp per P. Questo… (prende in mano il triangolo grande e lo rigira fra le mani). Peril triangolo grande… eh, non lo so! (posiziona sopra al triangolo grande due triangolipiccoli e la osserva). Quattro! Quattro triangoli piccoli!O. Perché? Quattro triangoli piccoli? Come fai a dire quattro?P. Perché mi sono ricordata che il triangolo grande può essere formato dal triangolomedio e da due triangoli piccoli. Avevo già contato i triangoli piccoli e allora mimancava quello medio. Ma se il triangolo medio è formato da due triangoli piccoli,allora due più due fa quattro! Quindi 4 Tp per Tg. Poi ci manca il… triangolo…medio… no! L’ho già fatto! Aspetta. Ho trovato: il triangolo medio, il quadrato, ilparallelogramma, il triangolo grande… basta. Il triangolo grande l’ho già fatto… Ah,ah… ma sono due! Però è uguale… Sì ma sono due, quindi ancora. Quattro volte Tp.4 Tp per Tg. Poi basta! O no? (guarda l’osservatore cercando di ottenrere unarisposta)O. Abbiamo qualcos’altro? Io non lo so… Pensa alla domanda iniziale, al problema.Lo ricordi?P. Quale figura si può fare con tre pezzi. Ah, sì. Quello è quello di prima. Il quadrato,con quanti triangoli piccoli bisogna farlo, per formarlo. Allora. Due… tre… quattro…cinque… sei… sette… Quattordici! (suppongo che abbia sentito la voce dell’altrabambina dall’altra stanza. Guarda l’osservatore) Aspetta. Riconto quanti ne ho giàtrovati (mette in ordine, davanti a sé i tan e, come se li vedesse divisi in pezzi, contatutti i triangolino che “vede”). Allora uno, due, e due quattro, più quattro otto, nove,dieci, undici, dodici, tredici, quattordici. Allora 14 = Tp per quadrato… per ilquadrato magico.O. Se ti chiedessi di ricontrollare un’altra volta, tu come faresti?P. Metto qui tutti i pezzi del tangram, e a mano a mano che ti dico che pezzo hocontato lo sposto al suo posto sopra il tangram colorato!O. Va bene, prova!P. Allora. Il triangolo medio, via; è qua. Ecco. Poi. I due triangoli grandi… Ilquadrato… Il parallelogramma… E qui mi restano due buchi. I due triangoli piccoli…Mm… Ma li uso o non li uso (guarda l’osservatore con aria interrogativa)? Li uso!Quindi devo contare anche i triangoli piccoli! Allora me ne servono… Uno! Uno!... Odue? Pagina 154 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramO. Perché?P. Non lo so… No! Due! Perché… perché mi sono rimasti due buchi a forma ditriangolo piccolo! Quindi due! (…) Quindi ho trovato che, per formare il quadratomagico ci servono quattordici… cioè due… no apetta. Tutti quelli di prima, sonoquattordici triangolini piccoli! Questi altri sono due! (…)Quindi devo fare ancora più due! Sedici! Quattordici più due,sedici! Per formare il quadrato magico. È formato da sedici!O. Sedici, cosa?P. Triangoli piccoli! Il quadrato magico è formato da sedicitriangoli piccoli! Quindi aspetta che correggo! (…)O. Bene. Visto che sei stata così brava, adesso possiamo risolvere anche la secondaparte del problema! Rispetto al quadrato magico, che frazione rappresenta iltriangolo piccolo? Ti rileggo il testo: Quale parte rappresenta il triangolino rispettoal quadrato magico?P. (…) Eh… Non lo so!O. E… se provi a pensare al problema che hai appena risolto? Non ti viene in menteniente?P. Be’, da quanti pezzi è formato il quadrato… Da due! Due! No, aspetta… ho trovatoche il quadrato magico è formato da sedici pezzi… Allora… Non lo so… Sedici! Sedicisu due! Due dec… due sedicesimi…O. Qual era la domanda? Quale parte rappresenta un triangolino rispetto alquadrato magico? Quale frazione?P. Uno solo… uno. (…) Un sedicesimo?O. Bene… Come è andata? È stato complicato?P. No, è facile! Il tangram mi è piaciuto!O. Perché?P. Perché è bello… Anche se non mi piace la geometria! Io preferisco di più lamatematica! Pagina 155 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram8. BIBLIOGRAFIA[ALBANESE, DOUDIN, MARTIN, 2003] Ottavia ALBANESE, Pierre André DOUDIN, Daniel MARTIN Metacognizione ed educazione FrancoAngeli, Milano (2003)[ANZELLOTTI, COTONESCHI, 2007] Gabriele ANZELLOTTI, Stefania COTONESCHI La matematica nelle Indicazioni nazionali per la scuola dell’infanzia, la scuola primaria e la secondaria di primo grado «Notizie della Scuola», n.2, 16 settembre 2007-1 ottobre 2007 sta in http://umi.dm.unibo.it/italiano/Didattica/2007/matematica.pdf[AUSUBEL, 1994] David P. AUSUBEL Educazione e processi cognitivi. Guida psicologica per gli insegnanti, FrancoAngeli, Milano (1994)[BANDO IRVIN, 2002] Barbara BANDO IRVIN Geometria con i blocchi colorati Erickson, Trento (2002)[BOLONDI, 2005] Giorgio BOLONDI, La matematica quotidiana Mimesis, Milano (2005)[BONAITI, CHIESA, LANFRANCHI, 2005] Isabella BONAITI, Lidia CHIESA, Simona LANFRANCHI La formica e il miele Mimesis, Milano (2005)[BORASI] Raffaella BORASI Che cos’è un problema sta in http://www.alceoselvi.it[BOSCOLO, 1997] Pietro BOSCOLO Psicologia dell’apprendimento scolastico UTET, Torino (1997)[BROWN, 1978] Ann BROWN Knowing When, Where and How to Remember: A Problem of Metacognition sta in http://www.eric.ed.gov Pagina 156 su 167 pagine
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    • Roberta Xompero, A scuola con il tangram10. SITOGRAFIA  http://archimedes-lab.org  http://cmap.ihmc.us  http://giochierompicapo.blogspot.com  http://gse.berkeley.edu  http://it.wikipedia.org  http://nrich.maths.org  http://nrich.maths.org  http://rasputin.altervista.org  http://schools.nyc.gov  http://umi.dm.unibo.it  http://www.alceoselvi.it  http://www.cog.brown.edu  http://www.ddripandelli.it  http://www.dschola.it  http://www.favolare.it  http://www.lannaronca.it  http://www.mappementali.it  http://www.math.it  http://www.meadowscenter.org  http://www.noiosito.it  http://www.parlog.com  http://www.pavonerisorse.to.it  http://www.pubblica.istruzione.it  http://www.puzzlemuseum.com  http://www.rivistatangram.it  http://www.updc.org  http://www2.polito.it Pagina 166 su 167 pagine
    • Roberta Xompero, A scuola con il tangramROBERTA XOMPERONata a Busto Arsizio, in provincia di Varese, nel 1981, Roberta Xompero si èdiplomata nel 2000 nell’indirizzo sociopsicopedagogico dell’IstitutoMagistrale Tornielli Bellini di Novara.All’Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano, ha dapprima conseguito,nel 2005, la laurea in Lettere Moderne (indirizzo filologico romanzo-rinascimentale) con una tesi in Paleografia latina e poi, nel 2009, in Scienzedella Formazione Primaria (indirizzo scuola primaria), con una tesi in Didatticadella matematica dal titolo Problem solving e metacognizione. Il ruolo deltangram nel curricolo della scuola primaria: un approccio costruzionista,discussa con il professor Giovanni Lariccia, curatore di questa collana.Il suo interesse pedagogico, che ha messo in atto sia in ambito locale comeeducatrice, sia come insegnante di sostegno, ha avuto inizio molto presto,parallelamente ad una breve esperienza presso un settimanale dell’AltoMilanese, come addetta di cronaca bianca; dal 2006, ha preso servizio, comemaestra, nella Scuola Primaria Sacro Cuore di Gallarate, nella quale tuttorainsegna.Dal 2010 è cultrice della materia, presso l’Università Cattolica del Sacro Cuoredi Milano, per gli insegnamenti di Matematiche elementari da un punto divista superiore, Matematiche elementari da un punto di vista superiore(corso avanzato) e Didattica della matematica. Pagina 167 su 167 pagine