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Guida 1a [2012   2013]
 

Guida 1a [2012 2013]

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Guida alla preparazione dell' esame di matematica elementare del secondo anno del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria (secondo il nuovo ordinamento, 2013), Università Cattolica di ...

Guida alla preparazione dell' esame di matematica elementare del secondo anno del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria (secondo il nuovo ordinamento, 2013), Università Cattolica di Milano

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    Guida 1a [2012   2013] Guida 1a [2012 2013] Document Transcript

    • UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE DI MILANO FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Giovanni Lariccia Matelsup1 MATEMATICA ELEMENTARE CON ESERCITAZIONI(Esame obbligatorio per gli studenti del secondo anno di corso) Anno Accademico 2012 – 2013 Guida1A (2012 – 2013)(Guida provvisoriaalla preparazione all’ esame dell’ esame di Matematica Elementarecon esercitazioni del secondo anno) Percorso A (frequentanti e assimilati)
    • SommarioObiettivi del corso ...................................................................................... 4Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture, operazioni, algoritmi .......... 4 Bibliografia .......................................................................................................5 Testi obbligatori .............................................................................................................................. 5 Testi facoltativi (o alternativi)......................................................................................................... 5Un programma, due percorsi ....................................................................... 5La presente Guida A ................................................................................... 6 Alcuni assiomi di base ........................................................................................6 Assioma numero 1 – “Se faccio, capisco”....................................................................................... 6 Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica! ............................................. 7 Assioma numero 2 – Imparare collaborando con gli altri, come in un grande gioco ....8Obiettivo finale del corso Matelsup1 ............................................................. 9Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica ......................................... 9I principi a cui si ispira questo corso ............................................................. 9In che cosa consiste l’ esame..................................................................... 10Lavori individuali e lavori di gruppo ............................................................ 11Le tre fasi dell’ apprendimento matematico ................................................. 11Informatica della mente ............................................................................ 12I siti per costruire le conoscenze ................................................................ 12 I siti wiki - Wikispaces...................................................................................... 13I blog ..................................................................................................... 14Le undici prove del percorso principale (percorso A) ..................................... 15 Il magazzino personale su Box.net .................................................................... 15 La pagina personale sul sito di riferimento (matelsup1) ........................................ 16 I-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di apprendimento e di studio .. 16 G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’ educazione matematica nei paesi emergenti .............................................................................................. 16 I-AB-02 – Io e la matematica ............................................................................ 17 I-AB-03 – Il genio della porta accanto ................................................................ 18 IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico ....................................................... 19 I-AB-05 – La mia famiglia ................................................................................. 19 G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale ....................................... 21 G-A-07 – Le figure di Sierpinski......................................................................... 22Bibliografia essenziale ............................................................................... 24Bibliografia generale ................................................................................. 26Appendice Numero 1 ................................................................................ 32Appendice Numero 2 ................................................................................ 34Appendice Numero 3 ................................................................................ 35Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto ................... 36 Premessa ....................................................................................................... 36 La scoperta della matematica ............................................................................ 36 Studi, curriculum ............................................................................................. 36 Pagina 2
    • Familiarita’ ..................................................................................................... 37 Personalita’ ..................................................................................................... 37 La professione scelta ....................................................................................... 37 Concorsi, gare................................................................................................. 37 Matematica e societa’ ...................................................................................... 38 Computer, internet .......................................................................................... 38 Memoria ......................................................................................................... 38 Numeri, calcolo mentale ................................................................................... 38 Sogni nel cassetto ........................................................................................... 38Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello ................................. 39 Come va condotta l intervista ........................................................................... 39 Domande di base ............................................................................................ 39 Esperienze relative all insegnamento della matematica ............................................................. 39 Esperienze relative alla formazione degli insegnanti ................................................................... 40 Rapporti con la matematica ......................................................................................................... 40 Innatismo (domanda opzionale)................................................................................................... 40 Costruttivismo (domanda opzionale) ........................................................................................... 40 Paura della matematica ................................................................................................................ 40 Il mondo dei giochi e il mondo della matematica ........................................................................ 40 La questione dei videogiochi ........................................................................................................ 41 Il computer..................................................................................................... 41 Attrezzature .................................................................................................................................. 41 Ambiente ...................................................................................................................................... 41 Disabilità (discalculia) ................................................................................................................... 41Appendice Numero 6 - Keith Devlin: pensare la matematica .......................... 42 Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin ........................................................ 42 Pensare la matematica, di Keith Devlin .............................................................. 44Appendice Numero 7 - Il rapporto Oecd – Pisa: una ricerca tra i 15enni di 57paesi del mondo ...................................................................................... 52Appendice Numero 8 – Rapporto PISA: flop della scuola o questionesettentrionale? ......................................................................................... 53 Pagina 3
    • Obiettivi del corsoAcquisire una piena consapevolezza del ruolo giocato dalla matematica nello sviluppo dellaciviltà e nello sviluppo cognitivo individuale, con particolare riguardo alle abilità numeriche.Acquisire o rinfrescare le competenze di base relative alle strutture aritmetiche elementari eai relativi algoritmi. Saper osservare, registrare ed analizzare il comportamento di bambini edi adulti che svolgono semplici operazioni aritmetiche anche in una base di numerazionediversa da dieci, eventualmente con sussidi o strumenti di calcolo appropriati. Esplorare leprincipali strategie proposte dagli esperti per imparare ed insegnare le tabelline, perimparare a svolgere calcoli mentali e prendere familiarità con i numeri da 1 a 1000. Strategiedi apprendimento e di insegnamento delle frazioni e dei problemi con le frazioni. Saperleggere ed interpretare i programmi e le indicazioni ministeriali alla luce delle impostazioniepistemologiche sopra indicate. Saper leggere e descrivere la professionalità di uninsegnante esperto che insegna questa materia nella scuola primaria. Saper interpretare lostile cognitivo di un bambino ed il suo atteggiamento nei confronti della matematicapartendo dall’ analisi dei suoi lavori sui quaderni o su altri supporti.(dalla Guida al Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria)Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture,operazioni, algoritmiLa rappresentazione delle conoscenze, il costruttivismo e la metacognizione nello studio deiprocessi di apprendimento - insegnamento della matematica: se faccio, capisco, imparare aimparare. La natura duale (dichiarativo-procedurale) del sapere matematico: sapere e saperfare. Cosa ci dicono la scienza cognitiva della matematica e l’informatica della mente sullenostre capacità numeriche (innate, acquisite). L’aritmetica dei libri scolastici e l’aritmetica distrada: cosa si deve sapere e cosa si deve saper fare per sopravvivere nella nostra civiltà.Importanza della didattica metacognitiva per favorire l’apprendimento dell’aritmetica.Giocare con i numeri e con le loro rappresentazioni negli spazi reali e virtuali. Calcolare amente, calcolare con l’abaco cinese: rappresentazioni e strategie. I polimini. Larappresentazione delle conoscenze sulla propria famiglia realizzando un albero di famigliacon www.myheritage.it o con CmapTools. Strategie di calcolo mentale. Sussidi e strumenti dicalcolo. Il paese di matelandia: come condurre i bambini ad essere matematici piuttosto cheinsegnare loro la matematica. Brevi cenni allo sviluppo della matematica nella storia e allavita di alcuni geni della matematica. Sistemi di numerazione in base diversa da dieci. Abaci esupporti per il calcolo nella storia dell’umanità. Come si costruiscono, si raffinano e si Pagina 4
    • mantengono le abilità matematica (brain training). Intervista strutturata alla "maestramodello".BibliografiaTesti obbligatori G. Lariccia, Informatica della mente, Book-jay.it (2010) G. Lariccia, I fantastici mondi di Iperlogo, Book-jay.it (2010) L. Gherarducci, I bambini e i numeri, Book-jay.it (2010)Testi facoltativi o alternativi L. Girelli, Noi e i numeri, Il Mulino, Bologna (2007) S. Ferrario, La vera storia di QQ.storie, Book-jay.it (2010) B. Gigliotti, A scuola con QQ.polimini, Book-jay.it (in preparazione) C. Bortolato, Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico-intuitivo, Erickson, Trento (2002) C. Colombo Bozzolo-A. Costa, Nel mondo dei numeri e delle operazioni,Erickson, Trento, (2002), (un volume da scegliere, d accordo con il docente, tra i vol. 1 - 5).Un programma, due percorsiPer preparare l’ esame di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore (SE) – d’ orain avanti abbreviato con la sigla Matelsup1 – gli studenti possono seguire due percorsidistinti, contraddistinti dalle lettere A e B.I due percorsi sono assolutamente coerenti tra diloro e derivano entrambi dallo stessoprogramma ufficiale del corsopubblicato sulle guide difacoltà, che abbiamo appena riportato.Lo studente che ha scelto uno dei due piani può comunque, anche a metà del piano, passareall’ altro piano. Se una persona passa dal Percorso A al Percorso B deve soltanto comunciarloal docente. Se invece si vuole passare dal Percorso B al Percorso A - eventualmenteconservando alcuni lavori già svolti per il Percorso B - occorre negoziare con il docente lapersonalizzazione del proprio percorso.Scegliere il Percorso A piuttosto che il Percorso B non comporta alcun privilegio o vantaggio,in termini sia di tempo che di quantità di studio e, di conseguenza, in termini di risultatofinale. Una persona che ha seguito la Guida A può effettuare una preparazione affrettata edottenere un cattivo risultato all esame, così come una persona che segue la Guida B,studiando con intelligenza ed impegno, può ottenere comunque il massimo dei voti e la lode. Pagina 5
    • La presente Guida ALa presente Guida A riguarda dunque in modo specifico il Percorso A. Il Percorso A - cheabbiamo definito sperimentale - si rivolge principalmente a coloro che hanno frequentato ilcorso ed hanno accettato la sfida di un piano di lavoro dinamico, creativo ed interattivo,basato sul dialogo e sulla iniziativa da parte dello studente a cui corrisponde una rispostaflessibile da parte del docente.Alcuni assiomi di basePrima di parlare di come si deve preparare il programma del corso di MatematicheElementari da un Punto di Vista Superiore vogliamo o fissare alcuni assiomi di base..Ci sono due versanti in questo in questo corso e quindi due sezioni degli assiomi di base.Il primo versante lo chiameremoversante apprendimento. Sul versante dellapprendimento,la mia impostazione segue i principi del costruttivismo, rivisitato all’ epoca del cosiddettoweb 2.0 e dei cosiddetti “nativi digitali”.I miei assiomi di base sono i seguenti.Assioma numero 1 – “Se faccio, capisco”La matematica si capisce soltanto facendola. Questo assioma è stato assunto come base perun importantissimo progetto di apprendimento - insegnamento della matematica dellamatematica chiamato "Se faccio, capisco".. Il progetto di cui parliamo si chiama ProgettoNuffield. Risale alla seconda metà degli anni 60 ed è stato finanziato in Gran Bretagna dallafondazione Nuffield. Le guide per gli allievi e per gli insegnanti del progetto Nuffield sonostate tradottein Italia dalla casa editrice Zanichelli ed hanno avuto un grande rilievo negliambienti dei cultori della Didattica della matematica allinizio degli anni 70.Ma non sono soltanto gli esperti di didattica che asseriscono che la matematica si capiscefacendola. Anche la maggior parte dei ricercatori matematici concordano su questo assioma.Ecco come si esprime a questo proposito il presidente del Festival internazionale dellamatematica che si è tenuto nel 2007 a Roma e si ripete ogni anno, sempre a Roma , duranteil mese di marzo. Questo scienziato afferma più o meno testualmente: “ perché noimatematici sappiamo bene che la matematica si comprende soltanto facendola. Quando unodi noi deve rivedere una pubblicazione scientifica fatta da un collega, deve ripercorrere passopasso tutte le dimostrazioni che il collega ha fatto per potere capire quello che egli afferma diavere scoperto”. Pagina 6
    • E bene ricordare che la frase “Se faccio capisco” rappresenta la conclusione di un notoproverbio cinese che preso nella sua interezza dice “ Se ascolto dimentico, se vedo ricordo,se faccio capisco”.Dunque io ho deciso di prendere come assioma – ovvero come una asserzione di base di cuinon intendo fornire la dimostrazione perché sin troppo evidente! - il fatto che la matematicaper capirla bisogna farla.Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica!Un altro supporto a questo assioma viene fornito da Seymour Papert, un illustre matematicoed epistemologo sudafricano che ha lavorato per due anni con il grande psicologo JeanPiaget, uno dei maggiori psicologi del „900, che ha studiato la nascita e lo sviluppo dellintelligenza nel bambino fondando quella branca del sapere che si chiama epistemologiagenetica.Seymour Papert ha lavorato per due anni con Jean Piaget, occupandosi di della nascita deiconcetti della cibernetica nei bambini e contribuendo alla stesura di saggi molto importantiin questo settore in collaborazione con Piageted altri collaboratori.SuccessivamentePapert si recò negli Stati Uniti dove insieme a Marvin Minsky è uno deipionieri degli studi che vanno sotto il nome di Intelligenza Artificiale e fonda un laboratoriodi ricerca sull Intelligenza Artificiale presso il Massachusetts Institute of Technology, unadelle più prestigiose università americane con sede a Cambridge, Massachussetts.Dopo avere collaborato alla stesura di importanti contributi allo sviluppo della intelligenzaartificiale - ricordiamo unopera fondamentale chiamata Perceptrons, scritta con MarvinMinsky, Papert entra a far parte del progetto Logo sviluppato presso la società BoltBeranek& Newman per conto del governo americano.Il progetto Logo si propone di sviluppare un contesto in cui i bambini diventano capaci diprogettare programmi per computer allo scopo di interagire in modo autorevole con ilcomputer stesso. Lo scopo del progetto Logo non è quello di creare dei programmatori ma dirivolgersi a dei bambini piccoli a partire da 6 - 7 anni per metterli in condizione di dominarela logica del computer.Al progetto partecipano diversi specialisti del settore della intelligenza artificiale dellepoca.Tra questi citiamo Daniel Bobrow.Seymour Papert in una pubblicazione per il Mit della serie dei Logo Memo del 1969 dichiarasemplicemente che “è meglio allevare dei piccoli matematici piuttosto che insegnare lamatematica”. Pagina 7
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Questa affermazione all epoca apparì piuttosto provocatoria – ed in effetti voleva proprioessere tale! - ma dopo alcuni decenni in cui gli psicologi hanno continuato ad investigaresulle difficoltà connesse all’ apprendimento della matematica e sui metodi per superarle,appare come profeticaOggi si parla infatti di metacognizione e di didattica metacognitiva per intendere il fattoche l apprendimento della matematica, per essere efficace, deve essere consapevole.E si lavora molto sulla possibilità di favorire questa consapevolezza e questo pienocoinvolgimento dell allievo usando il gioco come metodologia di coinvolgimento.Dunque la dichiarazione rivoluzionaria di Seymour Papert ha avuto un seguito, sia pure inmodo indiretto, ed oggi verrebbe sottoscritta dalla maggior parte degli esperti di didatticadella matematica.Noi la prendiamo come uno degli assiomi del nostro corso.Assioma numero 2 – Imparare collaborando con gli altri,come in un grande giocoIl secondo “assioma” nasce dalle teorie dell’ apprendimento collaborativo (cooperativelearning) e dal fatto che ormai viviamo in un’ epoca in cui essere in collegamento con ipropri simili è molto più facile di prima.Nasce anche dal fatto che l’ apprendimento è tanto più efficace se viene vissuto come ungioco in cui si entra volontariamente e di cui si accettano consapevolmente le regole.Diversi autori sostengono che se la matematica viene affrontata come un gioco simbolico,viene accettata più facilmente.La teoria delle intelligenze multiple *GARDNER+ suffraga l’ ipotesi che diverse persone condiversi talenti possano, complessivamente, affrontare meglio le difficoltà connesse con l’apprendimento della matematica, socializzandole e scoprendo le ragioni che giocano afavore della diffusione delle abilità matematiche nel nostro mondo. Pagina 8 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Obiettivo finale del corso Matelsup1L’ obiettivo finale del corso MatelSup1 è quello di avvicinare gli allievi alla matematica, allesue metodologie e alle sue strategie, dando loro la percezione di quanto questa disciplinasia importante per la costruzione e la manutenzione della nostra civiltà e di quanti ambitidisciplinari si occupino oggi della questione.Riteniamo che in un corso di trenta ore, a cui si aggiungeranno mediamente altre sessantaore di preparazione all’ esame, non sia possibile in alcun modo costruire delle competenzesignificative in ordine alla struttura delle conoscenze matematiche e, soprattutto, aiproblemi relativi all’ apprendimento e all’ insegnamento di questa materia nella scuolaprimaria.Crediamo che l’ unico modo di ottenere un risultato significativo, il più esteso possibile, siaquello di far provare in modo diretto agli allievi un certo numero di esperienze diapprendimento.Al tempo stesso pensiamo che sia estremamente utile dare a tutti coloro che sosterrannoquesto esame che di fronte al compito immane di costruire delle competenzematematiche adeguate alla nostra epoca e al nostro paese non siamo soli, ma possiamocon relativa facilità entrare a far parte di alcune reti di costruzione e condivisione diconoscenze e competenze che ci potranno accompagnare per tutta la durata della nostravita professionale.Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmeticaQuesto corso è centrato sui numeri e sulla aritmetica elementare con tutto quello cheintorno ai numeri si può sapere e saper fare.Una parte centrale del corso è dedicata alla rappresentazione delle conoscenze ed allasoluzione dei problemi.I principi a cui si ispira questo corsoIl corso di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore (secondo anno) partedal presupposto che, in qualche modo, tutti noi abbiamo una base innata di competenzematematiche anche se queste competenze possono, negli anni essere state “soffocate sul Pagina 9 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012nascere” o addirittura “sterilizzate”, dando luogo addirittura a delle avversioni e in qualchecaso ad un vero e proprio terrore per la matematica.D’ altra parte un insegnante di scuola primaria non può in alcun modo avere un rapportoincerto o ambiguo con questa disciplina, che è importantissima per l’equilibrio cognitivodei suoi futuri allievi.Durante il corso – ovvero durante il periodo di preparazione dell’ esame - gli allievidovranno quindi compiere un percorso di avvicinamento o riavvicinamento allamatematica documentandolocon precisione attraverso un blog1.Dovranno inoltre sperimentare in prima persona alcuni processi di apprendimento dellamatematica. Per farlo dovranno esplorare, osservare e costruire degli artefatticomunicabili e scambiabili con tutti gli altri allievi del corsoCiascuno di tali artefatti rappresenterà quindi tassello di un sapere comune e condivisocostruito dagli stessi allievi sotto la guida del docente. Per consentire questa costruzionecooperativa abbiamo pertanto scelto uno strumento chiamato Wikispaces, cherappresenta una delle modalità in cui si può costruire un wiki. Per capire il rilievo di questaforma di comunicazione in cui tutti sono sia lettori che potenziali autori basterà citare l’esempio più conosciuto che è l’ enciclopedia Wikipedia. Ma anche diverse comunità dimatematici professionisti hanno costruito dei wiki, uno dei quali (mathforum.org), a cuipossono partecipare con naturalezza soltanto coloro che parlano inglese, è servito damodello concettuale e da punto di partenza per la costruzione del nostro wiki inWikispaces.In che cosa consiste l’ esameNel momento in cui l’ allievo ha superato tutte le prove - di cui parleremo in mododettagliato più avanti in questo documento - ed ha documentato concretamente il suopercorso di apprendimento, partecipando attivamente alla costruzione del saperecondiviso attraverso la costruzione del sito wiki– Wikispacesrelativo a questo corso, puòessere ammesso a sostenere l’ esame.1 La parola blog è un acronimo di Web Log e deriva dalle parole weblog. In realtà non è altro che un diario pubblicatosu internet che, grazie ai potenti mezzi oggi disponibili sul web equivale ad un sito vero e proprio realizzato con mezziartigianali! Pagina 10 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Durante l’ esame il candidato sarà invitato a sostenere una conversazione sulle proverealizzate: ma potrà anche essere invitato a sostenere prove analoghe ed ovviamente nonidentiche a quelle che ha sostenuto nel corso della sua preparazione.Lavori individuali e lavoridi gruppoDue delle otto prove indicate nel seguito - e precisamente la prova B06 e la prova B07 -possono essere svolte da un piccolo gruppo di persone. Questo non rappresenta uno“sconto”, quanto una metodologia di apprendimento: in generale la matematica si imparameglio facendola, e per superare ostacoli ed indecisioni il lavorare in gruppo può aiutaremolto.I gruppi, di regola, non dovrebbero mai superare le quattro unità, perché al di sopra diquesto numero si rischia di aumentare la complessità della comunicazione all’ interno delgruppo e poi non tutti i partecipanti possono riuscire ad esprimersi.L’ ideale è mettere insieme un gruppo con cui svolgere tutte le prove. Ma in linea diprincipio uno potrebbe anche avere diversi gruppi per le due prove.Ogni candidato deve rispondere personalmente del lavoro del gruppo ed essere in grado dispiegare i risultati raggiunti e di difendere le posizioni assunte dall’ intero gruppo.Le tre fasi dell’ apprendimento matematicoL’ intero corso e ciascuna delle prove in cui esso è organizzato possono essere articolate intre fasi distinte.Fase A: Esplorazione - Rendersi conto di quello che esiste, nella realtà, dentro e fuori dinoi, nella letteratura generale e specificaFase B: Osservazione– Osservazione diretta dei fenomeni in oggetto o delle prestazioniproprie e di altri con riferimento alla prova in questione.Fase C: Costruzione– Costruzione di un albero delle competenze necessarie per ottenereun buon risultato nella prova in oggetto. Costruzione di un percorso di avvicinamento allaperformance desiderata. Pagina 11 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Informatica della mentePer rappresentare le conoscenze relative ad una prova o all’ intero programma possonoessere utilizzati alcuni programmi di computer come:Cmaptools – Una applicazione di pubblico dominio che consente di costruire in modomolto semplice ed intuitivo delle mappe concettuali praticamente su qualunqueargomento.Microsoft Power Point – Uno strumento classico per costruire presentazioni. Ma ancheuna serie di scatole degli attrezzi per realizzare diagrammi di varia complessità.Iplozero 2009– Un linguaggio di programmazione ideato e sviluppato da G. Lariccia e G.Toffoli con una interfaccia ad icone che consente di creare programmi interattivi e storiematematiche praticamente su qualunque argomento.QQ.storie, una applicazione contenitore che consente di costruire storie di contenutomatematico, con il testo scritto in word ed i disegni o le animazioni scritte nel linguaggioIperlogo oppure in una delle tante “scatole degli attrezzi” create apposta per qq.storie nell’ambito di un progetto quadro chiamato IperQQ.I programmi Iplozero 2009 e QQ.storie non sono obbligatori per il Percorso B: ma liabbiamo qui riportati in quanto una persona che sta seguendo il Percorso B può inqualunque momento - magari perché ha trovato un collega con cui fare gruppo – ritornaresul Percorso A.E comunque perché non si esclude che una persona che segue il percorso B e che quindiper motivi comunque validi non è in grado di interagire con il docente, desideri e possausare i programmi Iperlogo e QQ.storie anche da solo. E’ successo in passato e potrebbesuccedere nuovamente in futuro.Conviene segnalare, a questo proposito, che il sito di riferimento per QQ.storiesi trova all’indirizzo qqstorie.wikispaces.com.I siti per costruire le conoscenzePer costruire conoscenze condivise facilmente accessibili da una rete di persone conobiettivi comuni abbiamo deciso di un tipo di sito chiamato Wiki.Il modello più conosciuto di questo tipo di siti è la famosa enciclopedia Wikipedia. Nonpotendo pretendere che gli allievi del corso diventassero in poco tempo autori di articoli di Pagina 12 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Wikipedia, abbiamo deciso di adottare un modello simile, ispirato agli stessi principi diWikipedia, proposto dagli ideatori di Wikispaces (www.wikispaces.com).Tra le finalità previste da Wikispaces ci sono proprio quelle di consentire la costruzione e lamanutenzione di siti di supporto a dei corsi come il nostro.Ci è sembrato che i siti educativi di Wikispaces rispondessero particolarmente bene alloscopo di consentire la costruizione collaborativa di un sapere condiviso sui fondamentidella matematica da approfondire in vista del suo insegnamento nella scuola primaria edell’ infanzia.I siti wiki - WikispacesAbbiamo così creato un sito contenitore per consentire a tutti gli studenti di Matelsup1 difamiliarizzarsi con la tecnica Wiki – Wikispaces. A questo sito si può accedere attraverso l’indirizzo matelsup1.wikispaces.comAndando su questo indirizzo potete facilmente iscrivervi da soli (cliccando sul pulsanteJOIN THIS GROUP e fornendo quindi le vostre generalità). Oppure potete chiedere aldocente di invitarvi.A questo sito se ne sono aggiunti tanti altri, raggiungibili dal primo attraverso opportunicollegamenti ipertestuali, per trattare argomenti specifici in modo semplice e trasparente.Possiamo fare una distinzione tra i wiki – Wikispaces di tipo “generalista” – quelli cheaccolgono tutte le persone afferenti ad un corso o un laboratorio; ed i wiki – Wikispaces ditipo “specialista” – quelliche nascono attorno ad un argomento specifico.Al momento attuale i gruppi wiki-Wikispaces che ruotano attorno alla matematica ed alsuo insegnamento, sia di tipo generalista che di tipo specialista, creati dal docente o dagruppi di allievi con il supporto del docente, sono i seguenti:SITI WIKI – WIKISPACES GENERALISTA Didalab 07 (2007 – 2008): http://didalab7.wikispaces.com Didalab DM85 Infanzia: http://didalab85infanzia.wikispaces.com Didamat 07 (2007 - 2008): http://didamat7.wikispaces.com Didamat DM85 Primaria:http://didamat85.wikispaces.com Matelsup1 (aritmetica) – Vetrina: http://matelsup1.wikispaces.com MatElSup2 - Geometria: http://matelsup2.Wikispaces.comSITI WIKI – WIKISPACESDI TIPO SPECIALISTA Pagina 13 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Fare pratica con QQ.storie: http://qqstorie.Wikispaces.com Frattali: http://frattali.Wikispaces.com Giochi matematici: http://giochi-matematici.Wikispaces.com I blocchi logici nella didattica: http://blocchi-logici.Wikispaces.com Il tangram nella scuola primaria: http://tangram.Wikispaces.com Imparare a imparare: http://imparareaimparare.Wikispaces.com La felce come oggetto frattale: http://felce.Wikispaces.com Primi passi in Iperlogo: http://primi-passi-in-iperlogo.Wikispaces.com Primi passi in QQ.storie: http://primi-passi-in-qqstorie.Wikispaces.com Primi passi su Blackboard: http://primi-passi-su-blackboard.Wikispaces.com Sei personaggi in cerca di math: http://sei-personaggi.Wikispaces.com Sierpinski: http://sierpinski.Wikispaces.com Il cavolfiore come forma frattale: http://cavolfiori.Wikispaces.com Il fiocco di neve come frattale: http://fioccodineve.Wikispaces.com http://primi-passi-su-blackboard.Wikispaces.com/I blogI blog sono un genere letterario molto diffuso su internet. Il nome blog è un acronimo (cioèin buona sostanza una abbreviazione) che sta per web log, che vuol dire registro su web. Inaltre parole è un diario, che una persona scrive perché altri la vadano a consultare. Famosisono alcuni blog come quelli di Luca Sofri, o di alcuni testimoni oculari di fatti importanti edrammatici. Molti giornalisti o esperti tengono da anni il loro blog che funziona un po’come la posta del direttore di un quotidiano o di una rivista, sia pure con le regole diinternet.Per documentare il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto durante lapreparazione dell’ esame, l’ allievo è invitato a costruirsi e a mantenere un blog sull’argomento.Il blog può essere facilmente costruito dotandosi di un account di wordpress registrandosi, con questo account, un blog in lingua italianache avrà un indirizzo del tipo annettaelamatematica.wordpress.comNell’ esempio abbiamo immaginato che la studentessa si chiami Annetta, e per cognomeabbiamo immaginato un fantasioso “Laqualunque”. Pagina 14 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Se Annetta Laqualunquenon ha un indirizzo di posta elettronica può farsene uno moltorapidamente andando sul sito www.gmail.com. Di solito gli indirizzi di gmail sono formatidal nome seguito dal punto, seguito dal cognome,Dunque Annetta Laqualunque, se non ha già un’ indirizzo di posta elettronica può farseneuno immediatamente del tipo annetta.laqualunque@gmail.com.Con questa identità può registrarsi sul sito www.wordpress.com, e costruire un blog cheabbiamo immaginato abbia il nome di annettaelamatematica. In questo modo il suo blogsarà raggiungibile da chiunque all’ indirizzo annettaelamatematica.wordpress.comLe undiciprove del percorso principale (percorso A)Elenchiamo qui di seguito le provedel percorso principale, che per continuità con gli anniprecedenti chiameremo Percorso A. Chiameremo prove di tipo A le prove di questopercorso.Vedremo più avanti che i non frequentanti possono sostenere delle prove alternative chepossono sostituire quelle del percorso A. Le chiameremo prove di tipo B.Le prove sono inoltre distinte in prove individuali (I) e prove di gruppo (G).Il magazzino personale su Box.netTutte le prove comportano un certo tipo di attività e si concludono con la creazione di undocumento, che dovrebbe essere di uno dei seguenti formati: Power Point (con estensione ppt o pptx) Word (con estensione doc o docx) CmapTools (con estensione cmap) Immagine (con estensione jpg o png o pdf) Filmato (con estensione mp4)Ogni allievo deve farsi un magazzino virtuale in cui caricherà le prove. Il magazzino virtualeva costruito su Box.net. Su questo sito è possibile creare un account gratuito che dà dirittoad utilizzare uno spazio, organizzabile in cartelle, delle dimensioni ragguardevoli di 2 GB.Va precisato che ogni documento caricato non deve superare i 25 MB di peso. Pagina 15 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012La pagina personale sul sito di riferimento (matelsup1)I-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi diapprendimento e di studioL’ allievo dovrà, all’ inizio della preparazione di questo esame, dotarsi di un blog comequello indicato in precedenza.Su questo blog lo studente dovrà documentare il percorso diavvicinamento alla matematica cheha luogo durante la preparazione dell’ esame.Il blog potrà ovviamente incrociarsi con i siti ed i documenti relativi alle varie provesuccessive, descritte nel seguito di questo documento.Questo documento, come tutti gli altri, va caricato su Blackboard, nello spazio dedicato alcorso di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore, nella cartella dei lavoriindividuali.Il blog ha lo scopo di consentire all’ allievo di esprimere le emozioni che prova nel venire acontatto con una materia, la matematica, che spesso viene percepita in modo distorto egeneralmente negativo dalla maggior parte delle persone.Il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto attraverso il corso suggerisce diconsiderare la matematica come una disciplina amica, anzi, addirittura in qualche modoconnaturata con noi.E’ come se scoprissimo che nel profondo della nostra mente ci sono delle radicimatematiche in parte addirittura innate. Scoprire la matematica in modo libero espontaneo è come ritrovare dentro di sé la capacità di comprendere e parlare una linguauniversale di cui avevamo perso le tracce.G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’educazione matematica nei paesi emergentiLo scopo di questa prova è quello difare in modo che gli studenti si rendano conto diquanto è importante la matematica nel nostro mondo e di quale peso deve essere, diconseguenza, attribuito all’ educazione matematica. Pagina 16 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012In questa Guida presentiamo questa prova in una modalità che è adatta ad essere svolta alivello di gruppo. Chi non si sente di svolgere la prova in questo modo può sempre fareriferimento alla corrispondente prova del percorso B.Per svolgere correttamente questa prova dovete innanzitutto leggere il libro “Noi e inumeri” di Luisa Girelli [GIRELLI 2006]. E’ bene che ciascuno dei componenti del gruppolegga il libro con molta attenzione. Può essere utile,dopo la lettura, organizzare unadiscussione per confrontarsi sui temi sollevati dal libro.Il secondo passo da compiere è l’ analisi del rapporto Oecd – Pisa 2006 che ha valutato,comparandole, le competenze matematiche degli studenti di 57 diversi paesi all’ età di15 anni. In fatto di competenze matematiche l’Italia si classifica al 38° posto (vediappendice 6), ovvero decisamente male!Nel libro “Centomila punture di spillo” pubblicato di recente, Carlo De Benedetti e FedericoRampini sottolineano il fatto che nei paesi ad economia emergente, l’ educazionematematica viene considerata molto più che da noi. Il basso livello di competenzamatematica dei nostri quindicenni sarebbe quindi un segno del declino del nostro paese,mentre per invertire la tendenza dovremmo – sostengono gli autori! – dare moltomaggiore peso all’educazione matematica elementare.In una ricerca sulla educazione matematica in India e Singapore svolta da alcuni ricercatoristatunitensi viene sottolineato inoltre il ruolo della pressione sociale da parte dellefamiglie. In India e a Singapore i genitori fanno capire ai loro figli essere bravi inmatematica è molto importante.Provate a scoprire in quale modo questa importanza si traduce in pratica cercando discoprire quale e quanta matematica ed in quale modo si insegna nelle scuole dell’infanzia ed elementare in Cina, in India, in Brasile o in Russia. Oppure nei paesi che, comela Finlandia, il Canada, risultano ai primi posti nella classifica del rapporto Oecd – Pisa.I-AB-02 – Io e la matematicaIn questa prova devi tracciare una storia dei tuoi rapporti con la matematica, dalle origini -ovvero dalla tua nascita! - ai nostri giorni.In questo documento devi mettere a fuoco, suddividendola in periodi corrispondenti ailivelli prescolari e scolari, la storia delle attrazioni e repulsioni tra te e la matematica.Dovrai quindi raccontare in modo preciso ma possibilmente anche abbastanza vivace ecolorito: Pagina 17 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012l’ evoluzione della tua idea di matematica: quandohai sentito per la prima volta questaparola, a cosa l’ hai associata; quando e come hai eventualmente cambiato idea sullamatematica;cosapensi, oggi, che sia la matematica e cosa rappresenta per teparladelle esperienze, positive e negative, di apprendimento e di insegnamento con cui seivenuto a contatto, dei tuoi maestri buoni e cattivichi e come ha influito sulla tua competenza matematica in senso positivo o negativo(amici, parenti, libri, articoli, personaggi pubblici, attori, etc.)chi sono e cosa fanno oggi i matematici - secondo te e limitatamente a quello che puoicapireForme suggerite:un documento Word di un paio di cartelle;meglio: una presentazione di Power Point di una ventina di slidesQuesta prova va svolta assolutamente prima della prossima, perché l’ intervista al geniodella porta accanto potrebbe modificare la vostra concezione attuale della matematica,che vi abbiamo chiesto di descrivereI-AB-03 – Il genio della porta accantoUna intervista oppure una descrizione precisa e dettagliata della personalità di unapersona a noi vicina che ha avuto con la matematica un rapporto positivo e costruttivo,fino a farne in qualche modo una ragione di vita.La persona da descrivere o intervistare tuttavia potrebbe anche essere una persona che haavuto difficoltà oggettive nell’ apprendimento della matematica, in quanto portatore di unhandicap generico o specifico come la discalculia.Nell’ Appendice Numero 4 viene tracciato lo schema di una possibile intervista. E’ inutilesottolineare che l’ intervista va concepita su misura del soggetto da intervistare, sia pernon metterlo in difficoltà o in imbarazzo; sia per ottenere da lui la maggiore quantità diinformazioni possibile, anche in forma confidenziale! Pagina 18 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012IG-AB-04 – Profilo di un grande matematicoQuesta prova consiste nella ricerca e nel racconto del profilo di un grande matematico. Perl’esame di Matelsup1 dovete scegliere una figura di matematico che si è occupato inmodo particolare di numeri o di aritmetica.La prova può essere superata facendo riferimento ad un libro o ad un film che descrive lavita del matematico. Dovrete cercare nella figura da voi scelta tutte le caratteristiche chelo rendono vicino o lontano dalle persone comuni, in termini sia cognitivi che dipersonalità.Può essere utile, prima di svolgere questa prova, leggere l’ intervista a Keith Devlin, unmatematico grande divulgatore della matematica, fatta da Paolo Lolli e ripresa dal sitoPolymath del Politecnico di Torino. La riportiamo nell’ appendice 5.I-AB-05 – La mia famigliaLa rappresentazione della struttura della propriafamiglia, se fatta in modo preciso erigoroso, può costituire il modo più naturale di introdurre il concetto matematico direlazione e di creare in modo semplice ed intuitivo delle relazioni su un insieme.Le relazioni familiari, dal punto di vista matematico, sono dello stesso tipo delle relazioniche si possono stabilire tra numeri o tra enti di natura geometrica. Quindi imparare arappresentare la propria famiglia in modo formalmente rigoroso e corretto puòrappresentare il primo esempio di matematizzazione a bassissimo costo ed anche una delleprime occasioni per compiere un processo di astrazione.L’ esperienza che abbiamo fatto negli ultimi anni del corso di Didattica della Matematicacon centinaia di allievi dimostra che la prova viene facilmente compresa e realizzata coninteresse e con gusto.Una rappresentazione matematicamente e semanticamente corretta della propriafamiglia, come può essere ottenuta con un programma specializzato come Genoprooppure con un programma generico come Cmaptools.GenoPro 2007 si può scaricare, in prova gratuita per 30 giorni 2, dal sito2 Gli studenti e i docenti di corsi in cui si usa GenoPro 2007 hanno diritto, secondo quanto riporta il sito,ad una licenzadi prova che vale per sei mesi. Abbiamo inoltrato domanda per ottenere questa licenza e pubblicheremo suBlackboard quando questa licenza sarà disponibile. Pagina 19 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 http://www.genopro.com/Il suo funzionamento, basato su icone, è talmente intuitivo che non vale la pena dispiegarlo. Basta piuttosto riportare un esempio per rendere evidente l’ uso dei simboli. Ilprogramma stesso si prende cura del fatto che le relazioni vengano stabilite in modocorretto.A titolo di esempio, vi mostriamo l’ albero di famiglia dello scrivente esteso fino ai duenipoti, senza i genitori. Anche voi nella vostra prova dovreste provare a rappresentarealmeno tre generazioni di persone, cominciando per esempio dai vostri nonni.I documenti (= gli alberi genealogici) realizzati con GenoPro 2007 si possono salvare nelformato .gno. Con questo formato dovranno essere quindi caricati su Blackboard. Pagina 20 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Cmaptoolssiscarica dalla pagina http://cmap.ihmc.us/download/e per scopi educativi è completamente gratuito. Peraltro abbiamo inserito una copia delprogramma anche nella cartella Materiali Altre applicazioni del sito di Blackboard.Cmaptoolstratta di un programma assai più generale di GenoPro, costruito per realizzaremappe concettuali, ovvero strutture di concetti legati da relazioni.Cmaptoolsè stato sviluppato soprattutto per costruire mappe concettuali, ma è unprogramma molto versatile che può essere usato benissimo anche per costruire deglialberi genealogici, ovvero gli alberi di famiglia. Vale la pena, allora, usarlo per descrivere lapropria famiglia che è una struttura assai ... familiare!Qui sotto rappresentiamo la stessa famiglia già vista in GenoPro realizzata con Cmaptools.Questo argomento, su cui tra l’ altro dovrebbe partire almeno una tesi di laurea neiprossimi mesi, sarà ampiamente approfondito nelle dispense in preparazione.G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di saleIl fatto che noi rappresentiamo i numeri in base 10, ovvero usando le cifre 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 e 9 in modo posizionale, dipende dal fatto che le nostre mani hanno dieci dita.La notazione posizionale, come è noto, è stata resa possibile dall’ introduzione dello zero,dovuta agli arabi che l’ hanno forse ereditata dagli indiani. In questo modo, usando lozero, il numero 10 esprime una unità di ordine superiore e zero unità; il numero 12esprime una decina e due unità, e via dicendo. Pagina 21 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Se avessimo tre dita in tutto, useremmo la base tre: possiamo immaginare che ci sianodegli extraterrestri che hanno tre dita in tutto e che contano raggruppando gli oggetti a trea tre (terzine), quindi raggruppando le terzine a tre a tre (nonetti) e via dicendo.In questa prova, che va svolta preferibilmente in gruppo, dovete imparare a rappresentarein base tre i numeri da 1 a 100 raggruppandoli per gruppi di tre (terzine), poi per terzine diterzine (nonetti), quindi per terzine di terzine di terzine (ventisettetti) e finalmente perterzine di terzine di terzine di terzine (ottantunetti).Per documentare questa capacità vi suggeriamo di usare le palline di sale e di fotografarealcuni insiemi di numerosità crescente fino a 100, racchiudendo i vari raggruppamenti conun filo di lana o con una fettuccia o simili.G-A-07 – Le figure di SierpinskiWacławFranciszekSierpioski è un famoso matematico polacco conosciuto per diversiimportanti contributi alla teoria degli insiemi, alla teoria dei numeri, alla teoria dellefunzioni e alla topologia. Tra le scoperte matematiche associate c’ è una bellissima figurafrattale chiamata triangolo di Sierpinski.Il triangolo o figura di Sierpinski è una figura frattale, ovvero una figura generata da uno“schema ricorsivo” un meccanismo costruttivo che si ripete allo stesso modo su scalediverse. Possiamo vedere la successione dei triangoli di Sierpinski come vengono disegnatida una applicazione scritta nel linguaggioJava accessibile direttamente online all’indirizzo http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.htmlUn triangolo di Sierpinski di livello 0 non è altro che un normale triangolo equilatero: Pagina 22 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Cliccando sul pulsante di avanzamento si ottengono le figure di Sierpinski di livellosuperiore.L’insegnante americana CynthiaLanius ha provato a presentare il triangolo di Sierpinskialla sua classe: ne è scaturito un progetto spettacolare, in cui i bambini, divisi per gruppihanno disegnato sul pavimento un triangolo di Sierpinski gigantesco di livello moltoelevato. Pagina 23 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012L’esperienza di disegnare, lavorando in gruppo, i successivi triangoli di Sierpinski è una esperienza molto bella, cheabbiamo riproposto nell’ ambito del corso di Didattica della Matematica che ho tenuto nel 2007 – 2008 all’ Universitàdell’ Aquila.Ma ci sono anche diverse scuole italiane che hanno provato a fare queste figure. Un forum molto interessante chedocumenta questo tipo di esperienze si trova su http://www.scuolamatica.net/moodle/mod/forum/discuss.php?d=314Bibliografia essenzialeIndichiamo qui appresso i volumi essenziali da studiare per prepararsi all’ esame seguendoil Percorso A. Si tratta del materiale minimo indispensabile che permette di arrivare almomento in cui le dispense ufficiali del corso saranno pubblicate e disponibili per tutti.Ribadiamo il fatto che per superare l’ esame non è sufficiente studiare i tre volumi nelmodo tradizionale, anche perché il secondo ed il terzo sono volumi costituiti in largamisura da schede di lavoro per bambini di sei, sette e otto anni. Sarebbe ovviamenteassurdo- o se vogliamo grottesco! – basare la preparazione adun esame universitario sullostudio tradizionale di testi in larga parte costruiti per dei bambini!Ed infatti non è così. Se, ancora non vi fosse chiaro, provate a rileggere ancora una volta ilprogramma e la Guida che avete appena letto: vi renderete conto, ci auguriamo, che Pagina 24 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012questo esame, anche nella forma tradizionale, presuppone che uno la matematica, percapirla, la deve fare, non basta leggerla e ripeterla cento o duecento volte (“Se faccio,capisco”).E fare la matematica su un testo per bambini non può significare soltanto “giocare a fare ibambini” ma vuol dire andare in profondità, passare a raggi x le schede create per ibambini per capire a fondo cosa gli autori delle schede si aspettano che i bambini facciano.E cosa si aspettano che sappiano fare, prima e dopo ogni singola scheda.Questa radiografia del materiale per bambini, in definitiva, è la sostanza di quanto vienerichiesto come competenza finale di questo corso. Nel percorso A viene accentuato l’aspetto autoriale e costruttivo. In questo Percorso B viene invece accentuato l’ aspettostrutturale. La struttura concettuale sottostante ad una scheda di lavoro per bambini - o diun intero volume di schede - può essere descritta in modo formalmente ineccepibile sottoforma di mappa concettuale. Ma può essere anche tradotta in una QQ.storia, per chidesidera cimentarsi con la dimensione del disegno di una interfaccia per il computer.[GIRELLI 2006] Luisa GIRELLI Noi e i numeri Collana “Farsi un’ idea” Bologna: Il mulino, 2006[BORTOLATO 2002] Camillo BORTOLATO Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico - intuitivo Erickson, 2002[COLOMBO BOZZOLO, COSTA 2002] Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1. I numeri fino a 100 Erickson, 2002Ricordiamo inoltre, che sono in preparazione, da parte del docente, delle dispensecomplete per questo corso, che però non è stato possibile mettere a punto in tempo utileper l’ esame - e questo, tra l’ altro è il motivo della preparazione della presente Guida. Pagina 25 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Bibliografia generaleNel seguito di questo capitolo presentiamo un’ ampia bibliografia generale, di sfondo, chepotrà interessare chi voglia approfondire gli argomenti trattati dal corso o per chi desidericonsiderare un possibile percorso di approfondimento, magari in vista di una tesi di laurea.[ANTINUCCI, 1999 ] Francesco ANTINUCCI Computer per un figlio. Giocare, apprendere, creare. Bari, 1999 (Laterza)[ANTONIETTI, CANTOIA, 2001] Alessandro ANTONIETTI, Manuela CANTOIA Imparare con il computer. Come costruire contesti di apprendimento per il software. Erikson 2001[BOZZI, 1956 ] Paolo BOZZI Sulla rappresentazione grafica di concetti temporali nei bambini. Euro[BUTTERWORTH, 1999 ] Brian BUTTERWORTH Intelligenza matematica Rizzoli 1999[CALDELLI, ] Luisa CALDELLI Percorsi, labirinti, mappe esperienze proto matematiche nella scuola dell’infanzia. La Nuova Italia[CALDELLI, 1986] Luisa CALDELLI La matematica dalla scuola dell’infanzia alla scuola elementare. La Nuova Italia 1986[CALDELLI,] Luisa CALDELLI Il bambino matematizza il mondo: esperienze protomatematiche nella scuola dell’infanzia. La Nuova Italia Pagina 26 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012[CALVANI, 1988] Antonio CALVANI Il bambino, il tempo la storia. La Nuova Italia 1988[CASTELNUOVO 1963] CASTELNUOVO Emma. Didattica della matematica Firenze: La Nuova Italia, 1963[CASTELNUOVO, 1993] Emma CASTELNUOVO Pentole, ombre, formiche. In viaggio con la matematica. Firenze: La Nuova Italia, 1993[CORNOLDI, 2004] Cesare CORNOLDI Matematica e metacognizione: atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo. Erickson, 2004[CORNOLDI, 1995] Cesare CORNOLDI Metacognizione e apprendimento. Bologna: Il Mulino, 1995*D’AMORE, 1981+ Bruno D’AMORE Educazione matematica e sviluppo mentale. La matematica dalla scuola dell’ infanzia all’ università Roma Armando 1981*D’AMORE, 2004 + Bruno D’AMORE Infanzia e matematica: didattica della matematica nella scuola dell’infanzia. Pitagora Ed. Bologna 2004*D’AMORE, 2005+ Bruno D’AMORE Didattica della matematica. Bologna: Pitagora, 2005*DAMORE, DAGLI’, 1999+ Bruno D AMORE, Francesco DAGLI’ Pagina 27 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Matematica nella scuola materna Edizioni Juvenilia[DEHAENE, 2000] Stanislas DEHAENE Il pallino della matematica: scoprire il genio dei numeri che è in noi. Mondatori 2000[DEVLIN 2007] Keith DEVLIN L’ istinto matematico. Perché sei anche tu un genio dei numeri. Collana Scienza e Idee, diretta da Giulio Giorello Milano: Raffaello Cortina editore, 2007[DOMANDOMAN, 1998] Glenn DOMAN, Janet DOMAN Imparare la matematica a tre anni Armando Editore, 1998[GALLO, VEZZANI, 2007] Paola GALLO e Cristina VEZZANI Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica. Milano: Associazione Culturale Mimesis, 2007[GILBERT, 1974] Robert GILBERT- a cura di Giovanni LARICCIA Il bambino e la matematica moderna. Roma: Armando Armando editore, 1974[GIRELLI 2006] Luisa GIRELLI Noi e i numeri Collana “Farsi un’ idea” Bologna: Il mulino, 2006[GARDNER, 1983] Howard GARDNER Formae Mentis. Saggio sulla pluralità delle intelligenze. Milano: Feltrinelli, 2007 Edizioneoriginale: New York, Basic Books, 1983[LARICCIA, 1988] Giovanni LARICCIA Le radici dell’ informatica Pagina 28 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Milano: Nuova Sansoni, 1988 (prima edizione; 1984)[LARICCIA, 2010a] Giovanni LARICCIA I fantastici mondi di Iperlogo Torino: Book-jay.it, 2010[LARICCIA, 2010b] Giovanni LARICCIA Informatica della mente Torino: Book-jay.it, 2010[LEGRENZI, 2002] Paolo LEGRENZI La mente. Anima, cervello o qualcosa di più? Il Mulino, 2002[LAKOFF, NUNEZ, 2005] George LAKOFF e Rafael NUNEZ Da dove viene la matematica. Come la mente embodied porta in essere la matematica. Torino: Bollati, 2005[LINDSAY, NORMAN, 1984] Peter H. LINDSAY e Donald A. NORMAN L’ uomo come elaboratore di informazioni Firenze: Giunti Barbera, 1984[LOVELL, 1970] Kenneth LOVELL La formazione matematica. La Nuova Italia, 1970[NORMAN,1995] Donald A. NORMAN Le cose ci fanno intelligenti. Il posto della tecnologia nel mondo dell’uomo. Milano: Feltrinelli 1995[NORMAN, 2000] NORMAN Il computer invisibile. La tecnologia migliore è quella che non si vede. Milano: Apogeo 2000[NORMAN, 1997] Donald A. NORMAN Pagina 29 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 La caffettiera del masochista. Psicopatologia degli oggetti quotidiani. Firenze: Giunti 1997 (Titolooriginale: the design of everyday things)[OLIVERIO, 1997] Alberto OLIVERIO L’ arte di pensare. Per imparare a decidere, per usare la forza della mente. Milano: Rizzoli, 1997[OLIVERIO, 1998] Alberto OLIVERIO L’ arte di ricordare. La memoria e i suoi segreti Milano: Rizzoli, 1998[OLIVERIO, 1999] Alberto OLIVERIO L’ artedi imparare. A scuola e dopo Milano: Rizzoli, 1999[OLIVERIO, 2001] Alberto OLIVERIO La mente: istruzioni per l’ uso Rizzoli, 2001[OLIVERIO, OLIVERIO FERRARIS, 2004] Alberto OLIVERIO, Anna OLIVERIO FERRARIS Le età della mente Rizzoli, 2004[PAPERT, 1984] Seymour PAPERT Mindstorms. Bambini, computers e creatività. Milano: Emmeedizioni, 1984 (New York: Basic Books, 1980)[PAPERT, 1994] Seymour PAPERT I bambini e il computer. Nuove idee per i nuovi strumenti dell’educazione. Rizzoli, 1994[PEA, 2001] Beppe PEA Matematica nella scuola di base, i concetti dello spazio e del tempo nella scuola moderna e nel primo ciclo della scuola di base. Tannini, 2001 Pagina 30 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012[PETTER, 1996] Guido PETTER Il bambino impara a pensare: introduzione alla ricerca sullo sviluppo cognitivo. Firenze: Giunti, 1996[PIAGET, 1968] Jean PIAGET La genesi del numero nel bambino. La Nuova Italia, 1968[PIAGET, 1979] Jean PIAGET Lo sviluppo della nozione di tempo nel bambino. La Nuova Italia, 1979[PIAGET, 1985] Jean PIAGET Precalcolo. La Scuola, 1985[RICHTERMAN, 1986] Tamara Davydovna RICHTERMAN Il senso del tempo nei bambini in età pre-scolare La Nuova Italia, 1986[TANONI GRACIOTTI, 1997] Italo TANONI, Rossano GRACIOTTI L’immagine bambina: proposte per l’educazione multimediale nella scuola dell’infanzia. Bergamo Junior 1997[THAGARD, 1996] Paul THAGARD La mente. Introduzione alla scienza cognitiva Guerini studio 1996[TOURET, 1987] Lise TOURET Percorsi alla scoperta della matematica. 53 situazioni-problema per i bambini della scuola materna. La Scuola, 1987 Pagina 31 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero1Libro fondamentale numero 1ABLuisa GIRELLI, Noi e i numeri. Bologna: Il Mulino, 2006Questo libro va studiato a fondo sia per nel Percorso A che nel percorso B. Per motivare lostudente, presentiamo una breve recensione del libro fatta da Nadia Rossi, laureata nel2007 in Didattica della matematica, riveduta e pubblicata su Blackboarddal Prof. LaricciaQuesto agile libro divulgativodovuto a Luisa Girelli, ricercatrice all Università di MilanoBicocca, riassume in modo sintetico e brillante, mettendole in una prospettiva storica, lericerche della scienza neurocognitiva degli ultimi venti anni e fornisce una prospettiva cheè fondamentale, oggi, per chiunque si occupa di apprendimento e insegnamento dellamatematica.Il libro prende in considerazione l’importanza della matematica, e spiega come essa facciaparte della nostra vita quotidiana e di come in ogni momento facciamo uso dei numeri.Ripercorre così la storia dei numeri seguendo l’evoluzione della specie. Nel primo capitoloviene preso appunto in considerazione il fatto che sin dall’antichità i popoli contavano, nonutilizzavano ancora il concetto di numero, ma attraverso alcuni ritrovamenti di disegni conincise delle tacche sul muro indicavano appunto le prime esigenze di tener traccia di unanumerosità. Prende poi in considerazione il modo in cui ogni popolo ha raggiunto ilconcetto di numerosità su base 10 o 20 fino al conteggio con parti del corpo. Nel capitolosuccessivo viene presentata la matematica come oggetto di studio su animali. Qui vienedata una spiegazione completa del concetto di numero “…possedere il concetto di numerosignifica non solo rappresentarsi delle numerosità, ma cogliere la relazione ordinale tra idiversi numeri e svolgere operazioni con essi”. Un esempio per chiarire: possedere ilconcetto di numero non vuol solo dire riconoscere che 3 banane e 3 suoni hanno la stessanumerosità, ma anche che mangiando 1 banana ne rimangono 2 o che se ho 4 bambini acui devo dare le banane o ne procuro altre 2 o divido in parti uguali quelle rimanenti. Inquesto capitolo si parla però di numerosità relativa agli animali e si studia in base a chepunto gli animali possono apprendere attraverso un addestramento oppure studiarli nelloro mondo naturale e vedere se hanno un minimo di concetto di numerosità.La domandache ci si pone è se anche i neonati hanno capacità numeriche innate. A questo concetto sisono fatti studi a partire dagli anni ottanta. Vengono presentati alcuni libri fondamentalisulla genesi del concetto di numero, primo tra tutti il libro di Piagete Szeminska”La genesidel numero nel bambino” in cui gli autori descrivono gli stadi che conducono il bambino a Pagina 32 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012formare una rappresentazione astratta del numero attraverso le interazioni con l’esterno.Si passa attraverso i prerequisiti di acquisizioni di nozioni logiche quali: conservazione,classificazione, seriazione. Con i suoi studi Piaget dimostra che i bambini di 5 anni sono ingrado di rendersi conto che le proprietà percettive di un insieme (ossia la forma, il colore,ecc) non influenzano la numerosità.Questi studi hanno avuto diverse critiche in quanto siconsideravano esempi troppo lontani dalla vita reale di un bambini.I bambini con il tempoimpareranno a capire i numeri anche se prima li attribuiranno ad eventi a loro conosciuti(esempio le 2 candeline sulla torta in dicano un compleanno). Solo col tempo imparerannoil concetto di sequenziale (il 2 è prima del 3), ordinale (2 è meno di 3), cardinale (2 indicaun insieme di numerosità 2). Secondo studi effettuati i bambini iniziano ad usare i numerisin da due anni, anche se iniziano a contare senza conoscere il significato delnumero.Verso i tre anni iniziano a sommare piccole quantità di oggetti utilizzando molto ledita come base di conto. Questo modo di contare verrà presto abbandonato per avvicinarsia procedure più veloci (il conteggio dal numero maggiore esempio 2+4 si parte dal 4 e siaggiunge 2. Qui deriva già una importante regola matematica quella commutativa per cuicambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia). Il libro continua parlando delladistinzione fra soggetti superdotati in matematica che con pochi e semplici passaggirisolvono grandi problemi, a soggetti che presentano invece gravi problemi quali ladiscalculia evolutiva cioè con difficoltà nei calcolo più semplici. Nell ultima parte del libroviene presa in considerazione la capacità di insegnare matematica, non facendo studiare amemoria regole su regole, ma facendo applicare alcuni semplici calcoli alla vita reale (vienechiamata matematica da strada). Pagina 33 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 2Libro fondamentale numero 2BCamillo BORTOLATO, Calcolare a mente. Esercizi secondo l approccio analogico - intuitivo.Trento: Erickson, 2002.Questo libro è raccomandato,ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è inveceobbligatorio e va studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Riportiamo qui diseguito la scheda descrittiva del libro tratta dal catalogo della Erickson.Il libro tratta della teoria e della pratica del calcolo mentale, visto come uno strumentoutile a far capire pienamente i numeri ai bambini. Rappresenta un modo per entrare afondo nella problematica della rappresentazione delle consocenzerelative ai numeri nellanostra memoria. Il libro parte dalla considerazione che nel calcolo mentale, i bambini dioggi utilizzano le stesse tecniche che usavano i loro coetanei fin dall antichità: operanocioè senza fare riferimento al codice dei numeri arabi, senza vedere le cifre, ma basandosisolo sul codice semantico e su quello lessicale. Ancora oggi, prima di incontrare i numeriscritti, ogni bambino conserva un "genio innato" per la numerosità, che precede qualsiasinozione impartita da genitori o insegnanti. Partendo dq questa teoria, il volume presentale strategie del calcolo mentale, che sono diverse e indipendenti dalle procedure delcalcolo scritto. L approccio analogico - intuitivo mira a sviluppare una struttura diriferimenti ordinati che funzioni nella mente dell alunno come una carta geografica perorientarsi nel calcolo, una struttura semplice,regolare e replicabile in tutte le dimensioni,che permetta all alunno di riconoscere quantità anche elevate in modo istantaneo, senzacontare. Pagina 34 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 3Libro fondamentale numero 3BClara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA, Nel mondo dei numeri e delle operazioni.Volume 1 - I numeri fino a 100. Trento: Erickson, 2002.Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è inveceobbligatorio e va studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Su questo libro èbasata la prova B06Questo è il primo volume della nuova collana Erickson "Ri-costruiamo la matematica"(rivolta agli insegnanti di scuola elementare). La collana prevede complessivamente seititoli relativi all aritmetica e sei relativi alla geometria, più altri relativi alle abilità richiesteper risolvere i problemi.Il libro contiene indicazioni teoriche, didattiche e operative in merito ai concettimatematici relativi ai numeri naturali da 0 a 100. Ricco di schede operative diversificate neicontenuti e nei livelli di difficoltà e basato sul modello teorico della didattica per concetti, ilprogramma si caratterizza per una reale coordinazione fra il punto di vista teoricodisciplinare, quello pedagogico e quello didattico. Ogni proposta operativa è inserita in uncontesto di riferimento che permette di valutarne l’opportunità didattica, le conoscenze ele competenze implicate come prerequisiti e come elementi di scoperta. Per superare ildistacco tra forma e contenuto, che talvolta caratterizza l’insegnamento dell’aritmetica,l’itinerario didattico proposto è ben graduato a partire dal mondo esperienziale delbambino, secondo una scala di progressiva schematizzazione, astrazione, sintesi eformalizzazione. Pagina 35 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto (Traccia di una intervista diretta ad un adulto, giovane o meno giovane, uomoo donna, che ha compiuto studi scientifici ed usa correntemente la matematicanella sua professione)PremessaLo scopo principale di questa intervista è quello di far parlare liberamente il soggettointervistato fino a fargli rivelare dei particolari intriganti, in modo particolare riguardo allaincubazione della sua passione, alla sua iniziazione alla matematica ed al suo rapporto conil resto del mondo.L’ intervista non può rappresentare una indagine scientifica e va condotta con naturalezzae con tranquillità, senza enfatizzazioni ed esagerazioni.Il rapporto con i compagni di studi e con i coetanei non va enfatizzato troppo, maattraverso il modo stesso in cui si svolge la conversazione l’ intervistatore potràaggiungere, a margine dell’ intervista, alcune impressioni sulla socievolezza e sul caratteredell’ intervistato.La scoperta della matematicaA che età hai scoperto l’ esistenza della matematica?Attraverso quali esperienze?Insieme con chi? Grazie a chi?Che importanza ha avuto la scuola nella scoperta della matematica?Quali altre esperienze al di fuori della scuola (prima della scuola, durante la scuola) tihanno fatto scoprire la matematica?Quando e come hai scoperto la tua passione per la matematica?Come andavi in matematica a scuola? Sei sempre andato bene?Che ricordo hai dei tuoi insegnanti di matematica? Hanno riconosciuto il tuo talento? Tihanno incoraggiato?Studi, curriculumChe tipo di studi hai svolto? Pagina 36 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Hai scelto tu questo tipo di studi?Come andavi nelle altre materie?La passione per la matematica ha mai compromesso il rendimento nelle altre materie?Come ti vedevano i tuoi insegnanti, i tuoi professori?Familiarita’Nella tua famiglia ci sono altri “geni” della matematica?Il tuo carattere (la tua personalità) sono caratteristici secondo te di un matematico o diuno che ama la matematica? Puoi descriverci alcuni aspetti?Personalita’Ti ritieni una persona socievole?Ritieni di essere creativo?Parlaci della tua fantasiaQual è il tuo rapporto con il computer?Ti piace giocare? Quali tipi di giochi?La professione sceltaSotto quale aspetto la tua professione attuale ha una relazione con la matematica?Cosa pensavi (sognavi) di fare da grandePensi di avere realizzato i tuoi sogni?Concorsi, gareHai mai partecipato a delle gare di matematica? Se si, come sei andato? Come ti seipreparato?Hai mai partecipato a dei concorsi con prove di carattere matematico o coinvolgenti lamatematica? Se si, in quale modo ti sei preparato?Hai mai partecipato a delle selezioni interne in cui la matematica fosse determinante?Come è stato il tuo rendimento in queste circostanze? Pagina 37 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Matematica e societa’Qual è il ruolo della matematica nella società moderna?Pensi che l’ insegnamento della matematica sia adeguato alle esigenze della nostra società(civiltà)?Computer, internetChe rapporto hai con il computer?Che rapporto hai con internet?Che rapporto pensi che ci sia tra il computer e la matematica?Conosci qualche linguaggio di programmazione?MemoriaCome consideri la tua memoria? (Normale, Buona, Ottima)Che tipo di memoria hai? (Uditiva, Visiva)Secondo te come deve essere la memoria di un matematico (di un genio matematico dellaporta accanto)?Numeri, calcolo mentaleEsegui mai calcoli a mente?Quando e quanto usi la calcolatrice per fare i calcoli della vita quotidiana?Quali grandi numeri conosci?Qual è il numero più grande che hai mai incontrato?Qual è il numero più interessante che hai conosciuto? E perché lo consideri tale?Sogni nel cassettoQuali sono i tuoi sogni nel cassetto, dal punto di vista matematico? Pagina 38 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modelloNell Analisi della Funzione Docente la prima fase è quella della intervista alla maestramodello, ovvero ad un docente o ad una docente che presenta delle caratteristiche dieccellenza unite ad una disponibilità a parlare della sua professione e della suaprofessionalità in termini aperti e costruttivi.La maestra modello deve essere selezionata sulla basi delle caratteristiche che indichiamoqui di seguito., Deve essere innanzitutto disponibile e comunicativa esperta e relativamente matura insegnare o avere insegnato matematica La potete cercare tra i docenti della scuola in cuieffettuate il vostro tirocinio.Contattatela con garbo e presentatele, se occorre, il progetto di indagine che stateeffettuando. Lamaestra modello deve essere disponibile a collaborare anche nellesuccessive fasi dell indagine, quelleche riguardano il libro di testo ed i sussidi didattici, irisultati visibili sui quaderni degli allievi e linterazione con l ambiente.Come va condotta l intervistaL intervista va condotta cercando di mettere a suo agio la persona intervistata. Ledomande non vanno quindi fatte in modo meccanico, qui non si tratta di domande di tipostatistico, ma di una indagine che deve assomigliare alle indagini fatte dai grandi giornalistipiuttosto che dagli istituti demoscopici.Domande di baseEsperienze relative all insegnamento della matematica Lei insegna attualmente matematica nella scuola elementare? Ci può dire da quanto tempo? Oppure per quanto tempo complessivamente lo ha fatto? Ha una laurea in matematica o in una materia scientifica? Se si, dove e quando l ha conseguita? Con chi ha svolto la tesi? Ha seguito corsi di specializzazione sull insegnamento della matematica? Se si, può dirci quali? In quale ambiente o organizzazione? Condotti da chi? Fa parte di associazioni o di reti di docenti che coltivano l interesse per la matematica e per il suo apprendimento - insegnamento? Pagina 39 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Esperienze relative alla formazione degli insegnanti Ha svolto, svolge o conta di svolgere corsi di formazione per insegnanti della scuola primaria? Dove? Come? Con chi? Con quale organizzazione?Rapporti con la matematica Le piace la matematica? La trova utile? Piacevole? O altro? Supponiamo che i suoi rapporti con la matematica oggi siano buoni. Lo sono stati sin da quando era bambina? O da quando era adolescente? O da quando ha cominciato ad insegnarla? Chi sono i suoi "modelli" tra i grandi matematici? Chi sono i suoi maestri nel campo della didattica della matematica?Innatismo (domanda opzionale) Alcuni ricercatori (Dehaene, Butterworth, Girelli, Wynn) sostengono che alcune competenze matematiche siano innate ed il campo delle competenze matematiche innate si estende continuamente. Lei ritiene che le competenze matematiche siano in parte innate?Costruttivismo (domanda opzionale) Seymour Papert, uno degli "apostoli del linguaggio Logo" asseriva che tutti i bambini dovrebbero, nel loro piccolo, poter in qualche fare i matematici? Lei concorda o meno? Ritiene che ognuno di noi possa, nel suo piccolo, essere un piccolo matematico?Paura della matematica Gli psicologi ci dicono che molti bambini maturano un atteggiamento di paura, se non addirittura di terrore verso la matematica. Lo conferma? Ne ha avuto una esperienza diretta? Quali possono essere, secondo lei, le cause della paura della matematica? Il metodo adottato dall insegnante può influire in senso positivo o negativo? Ritiene che La personalità dell insegnante può influenzare la paura della matematica? Quali esperienze formative possono avvicinare in modo sereno il bambino alla matematica?Il mondo dei giochi e il mondo della matematica Ritiene che il mondo dei giochi e il mondo della matematica possano avere dei punti in comune? Ad esempio, negli Stati Uniti c è un intero curriculum di avviamento alla matematica che poggia sul gioco degli scacchi. Lo ritiene interessante? Utile? Applicabile anche in Italia? Pagina 40 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012La questione dei videogiochi Lei ha mai provato i videogiochi? Ha dei figli o dei nipoti che usano i videogiochi? Moltissimi bambini usano i videogiochi: lo ritiene un fatto positivo? Ritiene che questa esperienza possa favorire o meno un sano rapporto con la matematica?Il computer Quale ruolo può avere il computer nell apprendimento - insegnamento della matematica? Lei usa il computer per insegnare la matematica? Se non lo usa, per quale motivo?Attrezzature insufficienti? Difficoltà organizzative? O contrarietà nei confronti del mezzo? Conosce programmi per il computer orientati a favorire o facilitare l apprendimento dellamatematica? Considera il computer come un semplice supporto per materiali didatticimultimediali o qualcosa di più profondo?AmbienteRisponda liberamente, e solo se lo ritiene opportuno. L ambiente scolastico laiuta nella sua missione? Ha buoni rapporti con i colleghi sul tema dell insegnamento della matematica? Ci sono forme di collaborazione tra tutti gli insegnanti che, nella scuola, insegnano matematica? La dirigenza della scuola considera in modo adeguato le esigenze relative all apprendimento della matematica? Le favorisce in qualche modo? Sempre sul tema dell apprendimento della matematica, esiste qualche forma di collaborazione, diretta o indiretta, con i genitori?Disabilità (discalculia) Si è mai imbattuta in soggetti che presentavano disturbi specifici nell apprendimento legati in modo particolare alla matematica (tipo discalculia)? Ha avuto modo di collaborare con degli psicologi? Quali figure di psicologi in particolare? Ha trovato proficua la collaborazione con gli psicologi? Ha avuto modo di conoscere ed apprezzare dei test per la diagnosi precoce della discalculia? Pagina 41 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 6 - Keith Devlin: pensare lamatematica(da una conferenza del Prof. Keith Devlin riportata nel sito Polymathdell’Universita’ di Torino)Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith DevlinKeith J.Devlin è un vero polymath, dovrebbe essere il primo socio onorario del sito, se èprevista questa figura. Ha dato e continua a dare contributi importanti sia nella ricerca sianella divulgazione.Ha conseguito il dottorato in matematica nel 1971 presso lUniversità di Bristol, nel settoredella teoria degli insiemi - sono ricerche molto difficili e affascinanti quelle dellattualeteoria degli insiemi, veri e propri esperimenti mentali di coraggiose estrapolazioni versoinfiniti sempre più grandi e per studiare le conseguenze della loro esistenza sullamatematica concreta e per affinare lintuizione dellinfinito (secondo un suggerimento cherisale a Gödel).Alcuni suoi libri ed esposizioni relative agli argomenti studiati in quegli anni sono presentiin tutte le biblioteche universitarie del mondo (in particolare Constructibility, Springer,1984).Negli anni Ottanta Devlin è stato una delle vittime della Thachter, ha perso il posto con lamotivazione che le sue ricerche non si rivolgevano a questioni utili. A differenza deiminatori, lemigrazione negli Stati Uniti è stata per lui, e forse per noi, una fortuna. Hacontinuato sì ad interessarsi di logica, sia pure in una direzione diversa: sotto linfluenza diJon K. Barwise, che lo aveva invitato come ricercatore al Centro di studi sul linguaggio CSLIdi Stanford (lo stesso centro che ora dirige, dopo la morte prematura di Barwise) si èdedicato allimpegnativo (e per ora purtroppo poco più che tentative, a tentoni)argomento di una fondazione di una nuova logica dellinformazione. Ma soprattutto,avendo poi ottenuto un posto in una università che non aveva un programma di dottorato(questa è una nostra congettura, non sappiamo quale sia la causa e quale leffetto), hacolto loccasione di dare maggiore sfogo ad unattività di science writer multimediale percui aveva già manifestato interesse e spiccate attitudini mentre viveva in Gran Bretagna.Ivi era stata un grande successo la sua rubrica periodica di matematica Micromaths sulManchester Guardian, così come un famoso documentario televisivo A Mathematical Pagina 42 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Mystery Tour per la BBC. Ora continua la sua collaborazione con la televisione ed haaggiunto una rubrica sul Los Angeles Time.Frutto di questa attività di divulgazione sono diversi libri di cui alcuni tradotti in italiano(Matematica - La nuova età delloro, Dove va la matematica, Addio Cartesio, Il linguaggiodella matematica, Il gene della matematica).Devlin ha anche ripetutamente messo le sue capacità organizzative ed espositive al serviziodella comunità, ad esempio dirigendo dal 1991 per alcuni anni limportante rubricaComputers and Mathematics sulle Notices dellAmerican Mathematical Society, edirigendo per qualche tempo la rivista Focus della Mathematical Association of America.Il libro che viene oggi presentato (Il gene della matematica, Longanesi) può essereaffiancato a quelli di S. Dehaene, Il pallino della matematica (come sono fini gli editoriitaliani a inventarsi titoli di richiamo; il libro di Dehaene è tutto dedicato a dimostrare che ilcosiddetto "pallino" non esiste), e di B. Butterworth, Intelligenza matematica, a costituireuna trilogia di indagini su quello che si può indurre dalle conoscenze attuali sul cervellorelativamente alle capacità matematiche umane. Ma mentre gli altri due si limitano adiscutere le risultanze delle ultime ricerche neurofisiologiche (e al massimo etnologiche, inButterworth) sulla capacità innata di riconoscimento e manipolazione di quantità piccole,in gran parte comune agli animali superiori, Devlin affronta il problema molto più difficile eproblematico, e importante (soprattutto per la didattica), dellinnesto e della crescita dellamatematica simbolica sulla base delle capacità cerebrali matematiche che sonosostanzialmente analogiche.Nella sua analisi gioca un ruolo fondamentale la discussione della crescita progressiva delcervello nel corso dellevoluzione umana; in particolare, visto che la matematica checonosciamo è troppo recente per risentire dellevoluzione biologica, un elemento decisivoappare essere la nascita del linguaggio, in seguito alla crescita dimensionale del cervello(soprattutto della corteccia frontale) in un periodo che va da 200.000 a 75.000 anni fa. Lalunga e approfondita discussione di Devlin, che costituisce la parte centraledellesposizione, è un importante contributo al problema della nascita del linguaggio; lasua tesi è che per la matematica non sono necessarie altre capacità di quelle chepermettono il linguaggio; largomento centrale è che con il linguaggio evoluto si è resapossibile agli umani una forma di pensiero astratto superiore, che egli chiama off-line: lacapacità non solo di descrivere fatti elementari, anche già articolati nelle affermazionisoggetto-predicato che coinvolgono nomi comuni, astratti, ma la possibilità ulteriore diimmaginare e descrivere situazioni di fantasia. Il vantaggio evolutivo connesso a questa Pagina 43 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012capacità è quello della pianificazione, che richiede di inventare scenari possibili (se le cosestessero), e di sviluppare logicamente le conseguenze delle ipotesi immaginate.Sulla base di questa tesi, e come elemento di conferma, Devlin presenta una visione dellamatematica dove prevale la costruzione e la comunicazione di storie, non essenzialmentediverse dalle telenovele e dallo scambio di pettegolezzi, relative a mondi formati dapersonaggi che sono questa volta gli oggetti astratti matematici, i quali sono gli schemi, ipattern, che si incontrano in tutte le trattazioni matematiche.Pensare la matematica, di Keith DevlinSono circa trentanni che mi occupo di matematica e da almeno cinque cerco di capire inche modo il mio cervello, e quello degli altri matematici, riesca a fare matematica. Permolti motivi questa è una domanda interessante e inconsueta. Il motivo più interessanteriguarda il tempo. Levoluzione ha avuto luogo attraverso centinaia, migliaia e milioni dianni, mentre la matematica è molto recente. I numeri hanno diecimila anni e la maggiorparte della matematica ha, al massimo, duemila anni. Questo tempo è troppo breveperché possano avvenire grandi cambiamenti nel cervello umano. Quindi, quandofacciamo matematica, quando i nostri cervelli pensano in modo matematico, dobbiamonecessariamente usare delle abilità mentali che sono state acquisite centinaia di migliaia dianni prima che la matematica venisse inventata. E la domanda che mi sono posto, quandoho scritto Il Gene delle Matematica è la seguente: "Come hanno fatto i nostri antenati adacquisire il pensiero matematico?" Ho impiegato parecchi anni per riuscire a trovare unaspiegazione convincente: quella che ho pubblicato nel libro Il Gene delle Matematica, editoin Italia da Longanesi.Non sostengo che ci sia un gene particolare che ci consente di fare matematica, quindi sevoi non siete capaci di fare matematica, non potete trovare la scusa che non possedetequel gene.Quello che voglio dire, è invece che siamo nati con labilità matematica, e questa è in noi, easpetta soltanto di emergere. Il pensiero matematico è unabilità innata, che abbiamo findalla nascita. Le domande specifiche che mi pongo sullabilità matematica sono le seguenti.Come ha fatto il cervello umano ad acquisirla? Quando, in termini di evoluzione, il cervelloha acquisito questa abilità? E quale vantaggio può aver dato questa abilità ai nostriantenati, nella selezione naturale?Come per qualunque altra spiegazione riguardante levoluzione, non possiamo esseresicuri che io abbia dato la spiegazione corretta. Comunque, sappiamo molto sullevoluzione Pagina 44 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012umana e culturale, e sulla psicologia della matematica, e questo restringe e delimita inmodo preciso qualsiasi possibile spiegazione. Quindi la mia versione potrà essere difettosain qualche punto, anche se sono piuttosto fiducioso che possa essere vera.Vediamo meglio qual è lidea che descrivo nel libro. Labilità matematica non è ununicaabilità, ma è piuttosto uninsieme di molte abilità. Quindi il primo passo della mia analisi èstato quello di suddividere questa abilità nelle molte abilità, diverse e individuali, che lacomponevano. Poi, mi sono chiesto che cosa sia stato in termini storici e di evoluzione aportare i nostri antenati allacquisizione di tali abilità? Quando sono state acquisite? Ecome e quando si sono collegate fra loro queste singole abilità per darci la matematica? Eun po come fare una torta, prima ho raccolto tutti gli ingredienti, poi ho spiegato comemescolarli per fare la torta. Ma devo dire che sono molto più bravo come matematico checome cuoco.Ho elencato nove diverse capacità mentali. Alcune sono connesse tra di loro, altre sonoinvece separate. Innanzitutto, vi elencherò semplicemente quali sono queste capacità, poine illustrerò alcune più in dettaglio. Numero 1: il senso del numero. Numero 2: labilità numerica. Numero 3: labilità di ragionare sullo spazio che ci circonda. Numero 4: il senso di causa ed effetto. Numero 5: labilità di costruire e seguire una catena causale di fatti o di avvenimenti. Numero 6: labilità algoritmica (un esempio di algoritmo è linsieme delle regole che si devono seguire per moltiplicare fra loro due numeri). Numero 7: labilità di gestire concetti astratti. Numero 8: labilità di ragionare in modo logico. Numero 9: labilità di ragionare sulle relazioni.Quelle che seguono sono le domande che ci dobbiamo fare su queste nove capacità.Domanda numero uno: quando si sono evolute queste nove capacità mentali?Domanda numero due: quale valore, in termini di sopravvivenza, offrivano ai nostriantenati?Domanda numero tre: che cosa le ha unite per dare labilità del pensiero matematico?Ci sono volute molte pagine nel libro per dare le risposte, ma nel mio intervento esporròsoltanto le idee chiave di quella lunga spiegazione. Pagina 45 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012La prima delle nove capacità è il senso del numero. Questo ha quasi niente a che fare con inumeri, ma significa semplicemente avere la capacità di capire che insiemi di oggettipossono avere misure diverse. Ci sono quattro persone sul palcoscenico. Io non so quantepersone ci siano qui in sala, ma so che voi siete sicuramente più numerosi di quelli chesono qui con me sul palco. Non ci vogliono i numeri per capire che voi siete più numerosi dinoi. Il senso del numero non richiede i numeri, e molti animali possiedono questa capacità.Ci sono molti motivi per cui può essere utile per un animale avere questo senso delnumero. Ad esempio, per un piccolo gruppo di animali, è importante sapere se un altrogruppo di animali che li sta minacciando è più grande o più piccolo del loro. Oppure per unanimale che vive mangiando frutta, ha senso individuare e arrampicarsi sullalbero che hapiù frutti.Il senso del numero si trova anche nei bambini molto piccoli. E facile verificarlodirettamente. Se qualcuno di voi ha un fratellino di due o tre anni, può provare a metterglidi fronte due mucchietti di caramelle, uno piccolo e laltro più grande, e vedere quale deidue sceglie il bambino. Sicuramente sceglierà il mucchietto più grande. Il bambino non habisogno di contare le caramelle per capire quale dei due mucchietti ne contiene di più.Ma per i bambini, il senso del numero è ancora più sorprendente.Nel 1992, nella sua tesi di dottorato al MIT in Massachussets, Stati Uniti, Karen Wynn èarrivato a risultati che hanno stupito gli psicologi e imatematici di tutto il mondo. Hadimostrato che i bambini piccoli, in questo caso di cinque o sei mesi, non soltanto hanno ilsenso del numero, ma sanno che 1 più 1 fa 2, che 3 meno 2 fa 1 e conoscono tuttalaritmetica, laddizione e la sottrazione, per i numeri 1, 2 e 3. In seguito, altri psicologihanno dimostrato che i neonati di due giorni possiedono la stessa abilità.La domanda interessante è: "Come facciamo a sapere questo?" Sembrerebbe impossibilesottoporre un neonato di due giorni a una verifica matematica, invece lo è. Karen Wynn haincominciato con il sistemare dei bambini di cinque mesi davanti a un teatrino dellemarionette. Il palcoscenico era nascosto da uno schermo. Il bambino vedeva una mano cheentrava di lato, con un pupazzo in mano. La mano nascondeva il puapazzo dietro loschermo. Poi il bambino vedeva unaltra mano con un altro pupazzo. In tal modo avevavisto lazione di 1 più 1. Poi lo schermo si abbassava e il bambino vedeva 2 pupazzi epensava, "OK". Subito dopo, il bambino vedeva 2 pupazzi ma, prima di abbassare loschermo, unassistente aggiungeva un altro pupazzo, oppure ne toglieva uno. Ora quandosi abbassava lo schermo, il bambino vedeva 3 pupazzi oppure 1 e si dimostrava sorpreso.Qualcosa non andava per il verso giusto! Il bambino aveva visto 1 più 1. Sapeva che la Pagina 46 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012risposta doveva essere 2. E quindi era sorpreso quando vedeva una risposta sbagliata. Conquesto metodo ed altri simili, gli psicologi hanno dimostrato che i bambini piccoli, persinoalletà di due giorni, hanno il senso del numero e conoscono laritmetica per i numeri 1, 2 e3. Quindi, come dicevamo, è possibile fare una verifica matematica anche con i bambinipiù piccoli.Adesso vediamo la seconda delle nove capacità, labilità numerica. Questo sì che richiede inumeri. Per quanto ne possiamo sapere, soltanto gli esseri umani hanno questa abilità,tranne alcuni casi molto limitati di altri essere viventi. Gli scimpanzé e le grandi scimmiedimostrano una certa conoscenza dei numeri. Infatti, se si pone uno scimpanzé di fronte alteatrino delle marionette e gli si fanno vedere le stesse cose, questo si comporta un pocome il bambino piccolo, proposto da Karen Wynn. Ma con altri animali questo non è cosìevidente come con gli esseri umani. Gli animali che sembrano avere il miglior senso delnumero, oltre agli esseri umani, sono gli uccelli.Per quanto ne possiamo sapere, e abbiamo molte prove, i numeri in sé dipendono dallinguaggio. Chiunque abbia imparato una lingua straniera sa che, anche quando la parlacorrentemente, risulta difficile capire il numero telefonico comunicato da una persona.Infatti, quando parliamo una lingua straniera e sentiamo un numero, automaticamente lotraduciamo o nella nostra lingua oppure nei simboli 1, 2, 3 ecc. Alcuni anni fa, lo psicologocognitivo francese Stanislas Dehaene ha fatto uno studio, al MIT, con una serie di test apersone bilingui russo-inglesi, sulla loro conoscenza dei numeri e ha verificato che unapersona ricorda i numeri nella lingua in cui li ha imparati. Quindi sembra che i numeri sianoessenzialmente parti del linguaggio, anche se sono parti molto speciali. Nel mio libro parloa lungo dellabilità numerica, ma oggi mi devo limitare a questunica semplice spiegazione.Unaltra delle nove capacità è labilità di ragionare sullo spazio che ci circonda. Qualunquecreatura che si muova deve possedere questa abilità. Se la mia abilità di ragionare sullospazio che mi circonda fosse errata, potrei fare tre passi avanti dal punto in cui mi trovo inquesto momento e cascherei giù dal palco.Unaltra della nove capacità è labilità di ragionare sulle relazioni, e ce ne sono di diversitipi. Un tipo di rapporto è quello di una cosa sopra laltra. Oppure di una persona allasinistra dellaltra. Ci sono anche i rapporti tra e sulle persone. E questi rapporti tra personesono molto più complicati degli altri tipi di rapporto che emergono in matematica. Forsedue delle operazioni mentali più difficili sono quella dellutilizzo del linguaggio per capire irapporti familiari e per capire i rapporti tra le persone. Questi rapporti, come dicevo, sonomolto più complicati di quelli matematici. I nostri antenati hanno acquisito questa abilità di Pagina 47 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012ragionare sui rapporti per diverse ragioni. Una di queste è il fatto che la comprensione deirapporti umani rappresenta il modo in cui levoluzione ha portato gli esseri umani acollaborare. Non siamo gli animali più grandi e più veloci, né quelli con le unghie o le zannepiù affilate, e non abbiamo neanche un guscio robusto che ci protegga. Abbiamo però uncervello, che usiamo per pensare, per tenerci lontano dai pericoli, per programmare ilnostro futuro e per collaborare con i nostri simili. Ed è questa collaborazione che vienesupportata dallabilità di capire i rapporti umani. Se ti conosco, forse sono disposto acollaborare con te. Se mio fratello conosce tuo cugino, forse sono disposto a collaborarecon te.La capacità di cui vogliamo ora parlare è quella di gestire i concetti astratti. Tutti sanno,immagino, che la matematica è difficile. Perché? Lo è labilità di ragionare sullo spazio checi circonda? No, questo lo sappiamo fare tutti. Il senso del numero? No. Labilità numerica?No, abbiamo dimostrato che la possedevamo già alletà di due giorni. Se pensate alle noveabilità che ho enunciato, quella chiave, la più complicata, è labilità nel gestire i concettiastratti. Il motivo per cui questa è difficile è piuttosto ovvio. Il cervello umano si è evolutonel giro di centinaia di migliaia di anni per arrivare a pensare al mondo fisico, agli animalinel mondo e, più recentemente, agli altri esseri umani. Il nostro cervello fa queste cose dacentinaia di migliaia di anni ed è diventato piuttosto bravo nel farle. Abbiamo inventato inumeri soltanto diecimila anni fa. Il resto della matematica ha soltanto 2500 anni. Tutti iconcetti astratti, come i numeri, o gli altri concetti astratti della matematica, sono cosemolto recenti, sulle quali il nostro cervello ha appena iniziato a pensare. Il cervello trovadifficoltà perché non si è sviluppato per pensare a questo genere di cose. Purtroppo per lepersone che devono fare un corso di matematica, e a loro questo non piace o addirittura lispaventa, proprio questa capacità di gestire i concetti astratti, che il cervello trova cosìdifficile, risulta la capacità chiave. Nel libro dimostro che è lequivalente della capacità perla lingua. Questa dimostrazione è lunga e complicata e alcune persone non sono daccordosulle mie conclusioni. Ma io penso che siano loro a sbagliare! La mia ipotesi è che il passocruciale nello sviluppo dellabilità matematica sia stato quello di gestire concetti semprepiù astratti, non perché la matematica richieda un ragionamento più complicato.Naturalmente, alcuni concetti matematici sono complicati. Ma molte cose nella vita sonocomplicate, dai film ai romanzi, al teatro, alla musica e allarte.Come disciplina, se volete capire cosè la matematica e come viene percepita da unmatematico, dovreste pensarla come una specie di versione non reale, immaginaria dicerte cose nel mondo reale. Per esempio, se guardo alla mia destra vedo una finestra, cheha una forma più o meno tonda. Se guardassi il cerchio della finestra da vicino, con la lente Pagina 48 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012di ingrandimento, vedrei che il contorno non è una curva perfettamente liscia. Se misurassiil diametro in direzioni diverse troverei che è diverso in ogni direzione. Non è un cerchioperfetto. Ma ha un colore, è nero, ha una temperatura, è freddo, ha una superficie, liscia.Questo cerchio ha molte caratteristiche.Come matematico, nella mia mente ho uninterpretazione immaginaria del cerchio: uncerchio matematico. Per alcuni versi , è molto noioso questo cerchio matematico, non hacolore, temperatura o superficie ma è un cerchio perfetto, il diametro è uguale in tutte ledirezioni. Nella matematica, per esempio in geometria, i matematici studianointerpretazioni idealizzate, immaginarie, di cerchi che esistono nel mondo reale.Qualche volta mi piace descrivere la matematica come la scienza dei modelli. Ilmatematico osserva le cose nel mondo intorno a sé e poi ne estrae delle idealizzazioniastratte e pensa a queste idealizzazioni. Quel mondo matematico esiste soltanto nellamente umana, ma viene dal mondo in cui viviamo. Nel caso del cerchio, soltanto noipossiamo vedere il modello che ne abbiamo estratto. Alcuni modelli li sentiamo con lenostre orecchie. Molti possiamo vederli soltanto con la nostra mente. Per esempio, seuscite (non prima delle fine del seminario, per favore…) e guardate in su, potreste vedereun aeroplano. I vostri occhi non possono vedere le forze che lo tengono su, ma con leequazioni matematiche, la vostra mente può vedere tali forze. La matematica rendevisibile ciò che è invisibile. Come facciamo a fare questo con la matematica? Prendiamodelle capacità mentali, sviluppate per muoversi nel mondo fisico e sociale e le applichiamoal ragionamento su questo finto mondo astratto creato dalla nostra mente. Notate checontinuo ad usare la parola "immaginare" e la parola "creare". La maggior parte dellepersone pensa che la matematica sia il ragionamento, passo dopo passo. Non è così. Il piùdelle volte la matematica è creatività e fantasia. La cosa difficile sarà poi quella di deciderese la propria creatività e fantasia abbia fatto cose utili oppure futili?Se un regista fa un film, ci sono due modi diversi per decidere se il regista ha fatto un buonlavoro. Secondo il modo europeo devono esserci molte persone che dicano che è un buonfilm. Secondo il modo americano il film deve aver incassato tre milioni di dollari nel primoweekend! (Ho due passaporti, uno americano e uno europeo! Forse dovrei procurarmeneanche uno australiano…)Un fisico che sviluppa una teoria fisica, usando la propria fantasia e la propria creatività,controlla se la teoria è giusta, facendo un esperimento in laboratorio. Il matematicocontrolla se la propria fantasia e creatività hanno prodotto qualcosa di buono scrivendouna prova logica, per controllare se è corretta o no. Il pensiero logico controlla se è giusta o Pagina 49 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012no, quindi scrivere una prova logica è come andare a vedere il film. La creatività sta nelfare il film, ma anche nel pensare a idee matematiche. Quindi la matematica non èsoltanto una materia creativa, è la materia più creativa della storia umana.La storia della matematica o quella degli esseri umani, ci ha portato a sviluppare questaabilità. Se credete nella spiegazione che ho dato nel libro e che oggi ho descritto, sapetequal è il segreto del fare matematica.Un matematico è qualcuno che vede la matematica come fosse una telenovela. Se non micredete, fate questo esperimento. Nella biblioteca delluniversità, scegliete un libro dimatematica ed apritelo a caso. Vedrete della matematica. Quanti oggetti sono indiscussione? Quanti rapporti tra questi oggetti sono importanti per largomento? Quantècomplicata la rete di rapporti tra loro? Quantè complicata la deduzione logica? Prendetenota delle risposte. Poi guardate la prima telenovela che vi capita in TV. Fate le stessedomande. Quanti personaggi? Quanti rapporti esistono fra loro? Quantè complessa la retedi rapporti? Quantè complicata la trama? In tutte e quattro le categorie, la telenovela èmolto più complicata della matematica. Perché non abbiamo difficoltà a seguire unatelenovela, ma la matematica, che dovrebbe esser più semplice, sembra invece cosìdifficile? Se non vi siete addormentati finora dovreste conoscere la riposta. Le telenovelasono delle interpretazioni finte del mondo reale - la matematica è uninterpretazione fintadi parti del mondo reale. Ma i personaggi della telenovela sono molto simili a voi e a me,tranne che sono più sterilizzati e, almeno nel mio caso, più giovani!La telenovela tratta la vita, i rapporti umani, la matematica tratta invece di pure astrazioni.Nella telenovela matematica i personaggi non sono persone, ma sono oggetti dellamatematica, cose come numeri, figure geometriche, vettori, spazi topologici, funzionianalitiche ecc. E i fatti, i rapporti nella telenovela matematica non sono nascite, morti,matrimoni, storie damore e rapporti di affari, ma sono fatti matematici e rapporti traoggetti matematici. Oggetti che non avete mai visto, toccato o sentito. I fatti matematicisono cose come: Gli oggetti A e B sono uguali? Qual è il rapporto tra X e Y? Trovate unoggetto X con la proprietà P. Risolvete lequazione in X. Tutti gli oggetti di tipo D hanno laproprietà P. Quanti oggetti di tipo Z ci sono? Ora, se non vi piace la matematica, questosembra già molto noioso. Ma immaginate che A, B, X e Y siano personaggi, con tutti i lororapporti, di una telenovela. Quello che abbiamo sono gli elementi fondamentali di unatrama. La telenovela ha dei personaggi, dei rapporti e una trama. e anche la matematica hadei personaggi, dei rapporti e una trama. Ci sono però due differenze, nella telenovela ipersonaggi, i rapporti e la trama sono molto complicati mentre nella matematica sono Pagina 50 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012molto semplici. Ma nella telenovela i personaggi, i rapporti e la trama ci sono familiari,fanno parte della nostra vita quotidiana, mentre nella matematica dobbiamo crearci nellanostra mente tutto un cast di personaggi, dobbiamo avere presenti tutte le loro proprietàe dobbiamo tenere tutto presente, mentre seguiamo la trama nella nostra mente. E un pocome seguire la telenovela senza accendere la TV.Il cervello di un matematico non è diverso dal cervello di qualsiasi altra persona.Semplicemente, i matematici sono delle persone che hanno trovato il modo di usare ilcervello per pensare a questi oggetti, nuovi ed astratti. I matematici pensano agli oggettimatematici e ai loro rapporti usando le stesse facoltà mentali che altri usano per pensareallo spazio fisico ed alle altre persone, oppure per guardare una telenovela. Naturalmente,non sto dicendo che la matematica sia facile. E non sto dicendo che tutti possano esserebravi in matematica. Tutti avranno invece abilità diverse.Per esempio, io ho un paio di gambe, posso usarle per camminare e per correreabbastanza velocemente. Non potrei mai gareggiare nella finale dei 1500 metri, ai giochiolimpici. Anche se mi allenassi per molti mesi, non riuscirei mai ad arrivare a gareggiare neigiochi olimpici. Ma quando uso le mie gambe per correre, sto facendo la stessa azione delfinalista dei giochi olimpici. Ed è la stessa cosa con la matematica, tutti hanno un cervello,questo cervello può fare una certa quantità di matematica, nello stesso modo in cui levostre gambe possono camminare o correre. Forse non diventerete mai dei matematicifamosi e non correrete nella finale dei 1500 metri ai giochi olimpici, ma soltanto perchénon potete vincere una medaglia doro, questa non significa che non dovete fare esercizi,correre e magari partecipare ad altre gare. Potrete divertirvi lo stesso con latletica, senzavincere le olimpiadi. E la stessa cosa vale per la matematica. Grazie. Pagina 51 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 7 - Il rapporto Oecd – Pisa: unaricerca tra i 15enni di 57 paesi del mondoPer presentare il rapporto Oecd– Pisa ripotiamo qui appresso un articolo apparso il 4dicembre 2007 sul Corriere della sera. Il sottotitolo dell’ articolo diceva: “Solo gli studentidei licei del centro Centronord superano lesame. In matematica va malissimo”ROMA - La scuola italiana è stata bocciata, in particolare gli istituti tecnici e quelli professionali. Sono solo i licei asuperare «lesame» del rapporto Ocse-Pisa 2006. Rispetto al livello regionale, sopra la media dellOcse cè solo il nord,con il centro che arranca e il sud e le isole molto distaccati. Secondo il rapporto, gli studenti dei licei hanno conseguitomediamente risultati migliori rispetto ai tre ambiti di indagini (scienze, matematica, lettura) con un punteggio di 518 piùalto di quello di istituti tecnici e professionali, questi ultimi staccati di oltre 100 punti a 414.SUD E ISOLE ANCORA STACCATI - Gli studenti del nord-est hanno un punteggio di 520, seguiti da quelli del nord-ovest con 501, dal centro con 486, dal sud con 448 e le isole con 432. Estrapolando i dati, emerge che gli istituti tecnicidel nord-ovest e del nord-est si collocano al di sopra della media Ue, dimostrando un livello di preparazioneassolutamente migliore di quello dei loro colleghi delle altre regioni dItalia. Secondo le prime analisi, i datisuggeriscono «limmagine di una scuola che da un lato continua a non riuscire a coltivare le eccellenze, dallaltro assistead uno slittamento verso il basso del livello medio di prestazione degli studenti, almeno per quanto riguarda lambitodella lettura».COME SI E SVOLTA LA RICERCA - Il rapporto Ocse-Pisa si è svolto su un campione di quindicenni in tutti e 30 iPaesi dellOcse più altri 17 Paesi del resto del mondo. LItalia ha partecipato con 21.773 ragazzi di quindici anni e 803scuole tra medie inferiori, superiori e centri di formazione professionale. Il nostro Paese era già stato stroncato nel 2003nellindagine approfondita sulla matematica. Questanno il tema di approfondimento sono le scienze e i risultati nonsono migliori. I test che dovevano riscontrare le conoscenze dei ragazzi e la loro capacità di comprensione hanno datorisultati non incoraggianti: lItalia ha un punteggio medio di 475 contro una media Ocse di 500 e una media Ue di 497.Il 25,3% dei ragazzi si colloca sotto il livello 2, quello delle competenze di base. Tra i Paesi con punteggi più alti, invetta alla classifica, Finlandia (563), Hong Kong (542), Canada (534). Peggio di noi fanno, invece, in Ue, Grecia,Portogallo, Bulgaria e Romania.MALE IN MATEMATICA E LETTURA - In matematica va malissimo per gli studenti italiani: sono al posto 38 con462 punti, contro una media Ocse di 498. I ragazzi vanno molto meglio delle ragazze. Ma, in totale, il 32,8% deglistudenti si colloca al livello 2, uno tra i più bassi. In vetta alla classifica Ocse, invece, Taiwan (549), Finlandia (548),Hong Kong (547), Corea (547). Fanalini di coda, i Paesi del Sud-America, la solita Grecia, la Turchia. Ma, ad esempio,la Lituania e la Slovenia fanno meglio di noi. I quindicenni italiani, infine, non si salvano neanche con la competenzanella lettura: lItalia ha 469 punti contro i 492 della media Ocse che piazzano il Paese al posto 33. In questo ambito leragazze stravincono sui colleghi maschi. Ma gli Italiani restano indietro comunque. I più bravi al mondo, ai primi posti,sono Corea (556), Finlandia (547), Hong Kong (536) e Canada (527).04 dicembre 2007 Pagina 52 su 53 pagine
    • Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012Appendice Numero 8 – Rapporto PISA: flop della scuolao questione settentrionale?Pubblicato daClaudio Gentili sul sito www.benecomune.net, sezione Educazione Ricerca Università il 6 dicembre 2007I risultati disastrosi per gli studenti italiani, tra i più “somari” nella media dei Paesi OCSE fanno emergere il flop dellascuola italiana o piuttosto la “questione settentrionale”? Se crolliamo al 38° posto nella matematica e al 36° per culturascientifica, i risultati del Nord superano la media dei Paesi migliori.L’indagine triennale OCSE PISA, che ha comecampione di rilevazione i 30 Paesi dell’Area Ocse più i 27 Paesi partner, questa volta ha posto al centro della propriaanalisi le capacità dei giovani quindicenni nell’apprendimento delle Scienze.Occorre innanzitutto fare una precisazione: questa indagine non misura le nozioni ma la capacità di applicarle nellarealtà. Quindi non si può dire che la nostra scuola non insegni le discipline ma che è poco attenta alle competenze.La ricerca PISA per il campo scientifico ha puntato a rilevare le capacità che i giovani studenti hanno di tradurre le loroconoscenze acquisite in campo scientifico in soluzioni di fronte ai problemi; le loro capacità di dare una spiegazionescientifica a fenomeni specifici; ed, infine, le capacità di interpretare i dati raccolti scientificamente a sostegno di unatesi scientifica.Al terzo appuntamento con i risultati PISA, l’Italia, nel suo complesso non manca di stupire posizionandosi negli ultimigradini della classifica. Esattamente al 36esimo posto dopo Estonia, Taipei, Polonia, Croazia, Slovacchia.Il punteggio medio totalizzato dagli studenti italiani nella Scala complessiva delle Scienze è di 475 punti; valore nontroppo distante dalla media Ocse (500 punti) ma che invece fa registrare uno scostamento ben più alto dai valori deipaesi best performer, come la Finlandia, che ha totalizzato 563 punti posizionandosi prima in classifica.Complessivamente un quarto degli studenti italiani è sotto il livello 2 della scala a 6 livelli utilizzata per misurare leperformance PISA. Ciò equivale a dire “il livello minimo che permette ai quindicenni di confrontarsi con i casielementari che prevedono analisi scientifiche o tecnologiche”.Ma l’Italia è fatta di realtà ben diverse tra di loro. Nelle scuole del Nord – Est i livelli di apprendimento superano lamedia OCSE e questo accade anche in quelle del Nord-Ovest. La situazione peggiora al Centro ed esponenzialmente alSud e nelle Isole. Trento, il Veneto e la Lombardia hanno performance che poco hanno da invidiare a quelle dei Paesileader (Korea, Finlandia, Hong Kong, Canada).Due sono gli insegnamenti da trarre. In primo luogo non mettere le briglie al Nord. Conflitti istituzionali come quelloche in queste settimane oppone il Ministero della Pubblica Istruzione alla Lombardia, di cui è stata impugnata la leggeregionale sull’istruzione, non aiutano. Come pure non aiuta la sostanziale disapplicazione del nuovo Titolo V dellaCostituzione e l’accentuato statalismo di molti degli ultimi provvedimenti in materia di istruzione che mortificano ilruolo delle regioni e l’autonomia scolastica e non valorizzano il volano della formazione professionale. In secondoluogo occorre evitare che cada l’oblio su questi dati. E’ auspicabile, al contrario, imitare la Germania. Tre anni fa lapubblicazione dei dati dell’indagine Pisa 2003 ha provocato in Germania un terremoto. E’ stato definito Pisa-Shock.Ben 823 articoli sono stati dedicati all’esame dei motivi delle insoddisfacenti performance degli studenti tedeschi.La scuola tedesca si è attrezzata per risalire la china. E oggi si vedono i risultati. La Germania è risalita dal 18° al 13°posto.L’Italia invece rispetto all’indagine di tre anni fa ha perso nove posizioni. Mentre questa indagine era motivo diriflessione e di ricerca di soluzioni in Germania da noi è stata subito archiviata.Tre anni fa i nostri media, rispetto agli 823 articoli usciti in Germania hanno dedicato all’indagine Pisa solo 24 articoli.L’auspicio è che la lezione tedesca ci sia di insegnamento. Pagina 53 su 53 pagine