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Conjuntos de Números
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Conjuntos de Números

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  • 1. Reconstruir y Reordenar Profesor Arturo Pérez Xochitiotzin El objetivo es r e c o n s t r u i r y r e o r d e n a r nuestro conocimiento acerca de los números, con la finalidad de que en nuestro trabajo futuro en asignaturas de Matemáticas, Ingeniería o en situaciones cotidianas procedamos adecuadamente, rápido y evitemos el trabajo tedioso. Para que te sea fácil, realizaremos actividades en los temas de Aritmética siguientes: Conjuntos de Números, Divisbilidad, Factorización y otros que iremos agregando a esta lista posteriormente. Conjuntos de Números Recordemos los nombres de algunos conjuntos de números y sus elementos, con ellos trabajaremos: Dígitos A estos diez elementos (números) se les llama dígitos y los empleamos, tomando una ficha de cada cajita, para construir cualquier número, por pequeño o grande que éste sea.
  • 2. Números Naturales {1, 2, 3, 4, … } En este conjunto, los puntos suspensivos significan que después del 4 sigue el 5, luego el 6 y así sucesivamente. El conjunto tiene un número infinito de elementos y los empleamos para contar. Números Enteros {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Los puntos suspensivos a la izquierda del número -4, significan que a la izquierda continúa el número -5, luego -6 y así sucesivamente. También tiene un número infinito de elementos. Los números negativos los empleamos para representar una temperatura bajo cero, deudas, etc. Y LUEGO LOS "RACIONALES, IRRACIONALES Y REALES" Divisibilidad (Disculpa, lo estoy contruyendo aún) Ahora presentamos la definición de divisibilidad, que se requiere para referirnos apropiadamente a los números primos. Definición.
  • 3. Esta definición es equivalente a decir que: b es múltiplo de a y de c b es divisible por a b es divisible por c Ejemplos. 1) 8 divide a 32 porque el número entero 4 es tal que: 32 = 8×4. 32 es múltiplo de 4 y 8. 32 es divisible por 4 y por 8. Por supuestos que 1 divide a 32 porque el entero 32 es tal que: 32 = 1×32. 32 es múltiplo de 32 y es el más pequeño de sus múltiplos. 32 es divisble por 32 y por 1. Observa que 1, 4, 8 y 32 son números menores que o iguales a 32. De hecho todos son menores, excepto el 32. 2) 39 es divisible por 3 porque el número entero 13 es tal que: 39 = 3×13. 39 es múltiplo de 3 y 39. 39 es divisible por 3 y por 39. Por supuesto que 1 divide a 39 porque el entero 39 es tal que: 39 = 1×39. 39 es múltiplo de 39 y es el más pequeño de sus múltiplos. Otro múltiplo es, por ejemplo, 78 = 39×2. Observa que 1, 3, 13 y 39 son números menores que o iguales a 39. De hecho todos son menores, excepto el 39. 3) Puedes dividir al número entero 53 entre todos los números menores o iguales a él, es decir, dividirlo entre 1, 2, 3, 4, 5, ... , 50, 51, 52 y 53; encontrarás que únicamente es divisible por 1 y por 53. Es decir, al dividir al número 53 entre 2, 3, ... , 51 y 52, no encontrarás números enteros, digamos p y q tales que 53 = p × q, excepto 1 y 53.
  • 4. Definición. A los números que sólo son divisibles entre él mismo y el 1 se les llama números primos. Números Primos (Disculpa, lo estoy contruyendo aún) Recuerda que puedes dividir al número entero 53 entre todos los números menores o iguales a él, es decir, dividirlo entre 1, 2, 3, 4, 5, ... , 50, 51, 52 y 53; encontrarás que únicamente es divisible por 1 y por 53. Es decir, al dividir al número 53 entre 2, 3, ... , 51 y 52, no encontrarás números enteros, digamos p y q tales que 53 = p × q, excepto 1 y 53. Definición. A los números que sólo son divisibles entre él mismo y el 1 se les llama números primos. Como ejemplos de números primos a continuación te damos el listado de los que son menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. ¿Cómo empleamos los números primos? Decimos que: 1) Los factores primos de 1517 son 37 y 41 porque 1517 = 37×41. 2) La factorización de 64 es 26, es decir 64 = 2×2×2×2×2×2.
  • 5. 3) La factorización de 7700 es 22×52×7×11, porque 7700 = 2×2×5×5×7×11. Esta forma de expresar en factores a todos los números enteros es lo que le da gran importancia a los números primos, lo cual se resume en el resultado conocido como TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA, que dice lo siguiente: Cualquier número entero positivo se puede expresar como el producto de potencias de números primos, esta factorización es única salvo el orden de los factores. Lo que expresa el teorema en la primera parte (hasta la coma) se muestra en los ejemplos 1), 2) y 3) anteriores. En cuanto a la segunda parte del enunciado, lo que está entre la coma y el punto final, quiere decir que: 7700 = 22×52×7×11 = 52×22×7×11 = 52×7×22×11 = 7×52×11×22 TODAS ESTAS FACTORIZACIONES SE COSIDERAN LA MISMA
  • 6. = 52×7×11×22 . . . Los números primos son muy importantes pues, entre otras cosas, te permiten simplificar expresiones como las siguientes A los números como el 32 y el 39 que además son divisibles por otros números, distintos al 1 y al mismo número, se les llama números compuestos.