Matematika 12 pegi

22,367 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
13 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
22,367
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
169
Comments
0
Likes
13
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematika 12 pegi

  1. 1. LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA Edmond Lulja Neritan Babamusta Prof.dr.Shpëtim Bozdo Për klasën e 12-të të arsimit të mesëm të përgjithshëm
  2. 2. Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2011 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese “Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi. Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 pegi@icc-al.org Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 shtypshkronjapegi@yahoo.com
  3. 3. Libër mësuesi “Matematika 12” 3 Përmbajtja Disa orientime për zbatimin në praktikë të programit dhe tekstit “Matematika 12” Planifikimi lëndor vjetor nga mësuesi Objektivat sipas krerëve (në tre nivele) Mbi organizimin e punës në klasë Puna mbi projektet kurrikulare Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës Udhëzime për zhvillimin e mësimeve " Kreu 1 Vazhdueshmëria e funksionit " Kreu 2 Derivati i funksionit " Kreu 3. Zbatime të derivateve " Kreu 4 Vijat e gradës së dytë. Rrethi dhe elipsi " Kreu 5 Vijat e gradës së dytë. Hiperbola dhe parabola " Kreu 6 Integrali i pacaktuar " Kreu 7 Integrali i caktuar " Kreu 8 Kombinatorikë. Probabilitet. Statistikë Horizonti i mësuesit " Probleme të kurrikulës së matematikës në shkollën e mesme dhe aspektet historike të tyre
  4. 4. “Matematika 12” Libër mësuesi4 Disa orientime për zbatimin në praktikë të programit dhe tekstit “Matematika 12” Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 12 (pjesa e kurrikulës bërthamë), është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së dhjetë dhe të njëmbëdhjetë). Nga programi mësimor i klasës 12 ) Synimi i lëndës Lënda e matematikës në gjimnaz synon të japë ndihmesë në zhvillimin vetjak të nxënësit/es ta aftësojë atë për të përdorur lehtësisht dhe në mënyrë organike në fushat e tjera të të nxënit, njohuritë dhe shprehitë matematike, metodat matematike, arsyetimin matematik WD SDMLVs Q[sQsVin/en me njohuri dhe shprehi matematike të nevojshme për jetën dhe për arsimim të mëtejshëm Ws NXMGHVHW SsU të plotësuar nevojat dhe shprehitë e individit në përputhje me kërkesat e shoqërisë. ) Objektiva të përgjithshëm Në përfundim të gjimnazit, në lëndën e matematikës, nxënësi/ja duhet: ª të përdorë matematikën si një mjet në jetën e përditshme dhe në veprimtari shoqërore ª të besojë në aftësitë, shprehitë dhe në gjykimin e tij/saj ª të jetë kurajoz dhe i vullnetshëm për t’u përfshirë në një të nxënë eksperimentues, zbulues dhe krijues ª të mendojë në mënyrë logjike dhe kritike ª të përdorë lidhjet brenda lëndës së matematikës, si dhe lidhjet e saj me fusha të tjera ª të zotërojë njohuri e shprehi matematike të nevojshme për të vazhduar studimet e mëtejshme në çdo fushë;
  5. 5. Libër mësuesi “Matematika 12” 5 ª të zotërojë shprehitë e punës së pavarur, sistematike dhe të saktë; ª të ketë kureshtje dhe imagjinatë të zhvilluar; ª të modelojë matematikisht situata të jetës së përditshme; ª të përdorë figurat, formulat, modelet në mbështetje të të menduarit ª të komunikojë qartë dhe saktë, duke përdorur fjalorin dhe simbolet; ª të jetë i motivuar për ta studiuar matematikën si fushë që ka rëndësi për jetën sociale dhe profesionale. ) Sasia e orëve lëndore Në klasën e 12të , lënda e matematikës së kurrikulës bërthamë, zhvillohet me 4 orë në javë. (34 javë x 4 orë/javë = 136 orë vjetore). Rreth 23 orë do të shpenzohen për përgatitje për provimin e maturës dhe për projekte kurrikulare. ) Linjat e programit Linja 1. Gjeometria. Orë të sugjeruara: 30 Linja 2. Njehsimi diferencial e integral. Orë të sugjeruara: 60 Linja 3. Statistikë, kombinatorikë, probabilitet. Orë të sugjeruara: 19 Linja 4. Zbatime të matematikës në fusha të tjera dhe njohuri mbi evolucionin e matematikës. Orë të sugjeruara 11 Linja 5. Proceset matematike e integruar në linjat e tjera Shënim. Rreth 8 orë, shpërndarë në linja të ndryshme, do të përdoren për projekte kurrikulare. Veç kësaj një sasi prej rreth 16 orësh do të përdoret për përsëritjen për maturë.
  6. 6. “Matematika 12” Libër mësuesi6 Planifikimi lëndor vjetor nga mësuesi Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime: Së pari, programet e matematikës, duke filluar nga klasa e parë e ciklit të ulët janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur është i ndarë në 10 kapituj (një kapitull është për përsëritjen për provimin e maturës). Në të e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. ) Shpërndarja e orëve në tekst, sipas kapitujve dhe linjave, jepet në tabelën e mëposhtme: KREU ORËT SIPAS KREUT LINJA PËRKATËSE ORËT SIPAS LINJAVE 1. Vazhdueshmëria e funksionit 8 Linja 2 8 2. Derivati i funksionit 16 Linja 2 16 3. Zbatime të derivateve 15 Linja 2 15 4. Rrethi dhe elipsi 15 Linja 1 15 5. Hiperbola dhe parabola 14 Linja 1 14 6. Integrali i pacaktuar 9 Linja 2 9 7. Integrali i caktuar 8 Linja 2 8 8. Kombinatorikë. Probabilitet. Statistikë 18 Linja 3 18 9. Zbatime të matematikës në fushat e tjera dhe njohuri mbi evolucionin e matematikës. 10 Linja 4 10 10. Përsëritje për provimin e maturës 15 Shpërndarë sipas linjave 15 Projekte kurrikulare 8 Shpërndarë nëpër linjat 8 SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE 136 SHUMA E ORËVE SIPAS LINJAVE 136
  7. 7. Libër mësuesi “Matematika 12” 7 Në tekst, siç shihet, figuron edhe një kapitull i veçantë për realizimin e përsëritjes lëndore në kuadrin e përgatitjes për provimin e maturës. Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave ose pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema ose fjali, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës, vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend ose përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston ne zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “zbulon” në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemave, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Ajo është pjesë e rëndësishme e procesit të përpunimit të njohurive. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime. Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemave të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “më mirë të zgjidhet një problem në dhjetë mënyra se sa të zgjidhen dhjetë problema të ndryshëm” tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të
  8. 8. “Matematika 12” Libër mësuesi8 planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është i ndarë në njësi mësimore, aq sa janë edhe orët sipas linjave. Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi përcakton për lëndën, pra 136 orë. Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë ose realizojë vetëm disa prej tyre ose edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit.
  9. 9. Libër mësuesi “Matematika 12” 9 Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti Përshkrimi i komponentit Niveli I-rë i arritjeve Niveli i II-të i arritjeve Niveli i III-të i arritjeve Njohuritë matematike Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit). Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë. Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme. Aftësitë matematike Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim. Shfaqje e kufizuar e aftësive. Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura. Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur. Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë Shfaqje të kufizuara. Shfaqje solide. Shfaqje të avancuara. Qëndrimet dhe vlerat Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave. Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave. Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore. Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.
  10. 10. “Matematika 12” Libër mësuesi10 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tri kategorive kryesore: (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: me ndihmën e mësuesit; me anën e një numri të kufizuar metodash; me gabime ose me mangësi të shumta. Nxënësi përdor arsyetime matematike: me ndihmën e mësuesit; që janë nga më të thjeshtat; me gabime ose mangësi. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: me ndihmën e mësuesit; me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë; duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: me ndihmë të kufizuar të mësuesit; me anën e një numri jo të madh strategjish bazale; me gabime ose me mangësi të pjesshme. Nxënësi përdor arsyetime matematike: me një ndihmë të kufizuar të mësuesit; të përshtatshme për zgjidhjen e problemave; me disa gabime ose mangësi të vogla. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: në mënyrë të pavarur; me një farë qartësie e saktësie në terminologji; duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.
  11. 11. Libër mësuesi “Matematika 12” 11 Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: në mënyrë të pavarur; duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të; zakonisht me saktësi. Nxënësi përdor arsyetime matematike: në mënyrë të pavarur; të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: në mënyrë të pavarur; qartë dhe saktë; duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.
  12. 12. “Matematika 12” Libër mësuesi12 PËRMBAJTJA E LËNDËS NË TEKST KREU 1 VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT 1.1 Përsëritje. Limitet e funksioneve kur xof. 1.2 Përsëritje. Limitet e funksioneve kur xoa. 1.3 Limitet e njëanshme. 1.4 Përkufizimi i funksionit të vazhdueshëm. 1.5 Veprimet me funksionet e vazhdueshëm. 1.6 Vazhdueshmëria e funksioneve të zakonshëm. 1.7 Veti të funksioneve të vazhdueshëm në një segment. Zbatoni njohuritë tuaja 1.8 Testim KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT 2.1 Probleme që çojnë në kuptimin e derivatit. 2.2 Derivatet e funksioneve të thjeshta. 2.3 Derivati si shpejtësi e ndryshimit të funksionit. 2.4 Mënyrë tjetër për gjetjen e derivatit. 2.5 Rregullat e derivimit. 2.6 Rregullat e derivimit. 2.7 Përafrimet e funksioneve. 2.8 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.9 Tangjentja në një pikë të vijës. Kuptimi gjeometrik i derivatit. 2.10 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.11 Derivatet e funksioneve logaritmik, fuqi, eksponencial, trigonometrikë. 2.12 Derivatet e rendit të dytë. Diferenciali. Zbatoni njohuritë tuaja 2.13 Derivati i funksionit të përbërë. 2.14 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.15 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.16 Testim
  13. 13. Libër mësuesi “Matematika 12” 13 KREU 3 ZBATIME TË DERIVATEVE 3.1 Teorema Ferma. Teorema e Lagranzhit. 3.2 Studimi i monotonisë së funksionit. 3.3 Zbatime për përpunim të njohurive. 3.4 Kushte të mjaftueshme të ekzistencës së ekstremumeve. 3.5 Zbatime për përpunim të njohurive. 3.6 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit të vazhdueshëm. 3.7 Probleme në kërkim të vlerës më të madhë (më të vogël) të funksionit. 3.8 Problema për përpunim të njohurive. Zbatoni njohuritë tuaja 3.9 Përkulshmëria e vijës. Pikat e infleksionit. 3.10 Variacioni i funksionit y=ax2 +bx+c. 3.11 Variacioni i funksionit y=ax3 +bx2 +cx+d. 3.12 Variacioni i funksionit y=ax4 +bx2 +c. 3.13 Variacioni i funksionit ax b y cx d 3.14 Ushtrime për përpunim të njohurive. 3.15 Testim KREU 4 VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI 4.1 Përkufizimi i rrethit dhe ekuacioni i tij. 4.2 Raste të veçanta të ekuacionit të rrethit. 4.3 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.4 Ekuacioni i tangjentes dhe pingules në një pikë të rrethit. 4.5 Kushti i tangjencës së drejtëzës me rrethin. 4.6 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.7 Elipsi dhe ekuacioni i tij. 4.8 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.9 Jashtëqendërsia e elipsit. 4.10 Rrezet vatrore të elipsit.
  14. 14. “Matematika 12” Libër mësuesi14 4.11 Vijat drejtuese të elipsit. 4.12 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe elipsit. 4.13 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të elipsit. Zbatoni njohuritë tuaja 4.14 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.15 Testim KREU 5 VIJAT E GRADËS SË DYTË. HIPERBOLA DHE PARABOLA 5.1 Hiperbola dhe ekuacioni i saj. 5.2 Jashtëqendërsia e hiperbolës. Hiperbola barabrinjëse. 5.3 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.4 Rrezet vatrore dhe vijat drejtuese të hiperbolës. 5.5 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe hiperbolës. 5.6 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të hiperbolës. 5.7 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.8 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e abshisave. 5.9 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e ordinatave. 5.10 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe parabolës. 5.11 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të parabolës. 5.12 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.13 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.14 Testim KREU 6 INTEGRALI I PACAKTUAR 6. 1 Kuptimi i integralit të pacaktuar. 6. 2 Veti të integralit të pacaktuar. Zbatoni njohuritë tuaja 6. 3 Metoda e zëvendësimit. 6. 4 Metoda e zëvendësimit (vazhdim). 6. 5 Metoda e integrimit me pjesë. 6. 6 Ushtrime për përpunim të njohurive.
  15. 15. Libër mësuesi “Matematika 12” 15 6. 7 Integrimi i thyesave racionale. Zbatoni njohuritë tuaja 6. 8 Metoda të kombinuara integrimi. 6. 9 Ushtrime për përpunim të njohurive. KREU 7 INTEGRALI I CAKTUAR 7.1 Kuptimi i integralit të caktuar. 7.2 Veti të integralit të caktuar. 7.3 Ushtrime për përpunim të njohurive. 7.4 Llogaritja e sipërfaqeve. 7.5 Llogaritja e sipërfaqeve. 7.6 Llogaritja e sipërfaqeve. 7.7 Ushtrime për përpunim të njohurive. 7.8 Testim KREU 8 KOMBINATORIKË. PROBABILITET. STATISTIKË 8.1 Përsëritje. Parimi i mbledhjes dhe shumëzimit. Përkëmbimet. Dispozicionet. 8.2 Përsëritje. Kombinacionet. 8.3 Veti të koeficientëve binomialë. Zbatoni njohuritë tuaja. 8.4 Probabiliteti. 8.5 Ushtrime për përpunim të njohurive. 8.6 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve. 8.7 Probabiliteti i prerjes së ngjarjeve. 8.8 Ushtrime për përpunim të njohurive. 8.9 Ushtrime për përpunim të njohurive. 8.10 Tabelat me dy ndryshore. 8.11 Përsëritje. Mesatarja dhe dispersioni. 8.12 Ndryshoret e rastit. 8.13 Ndryshoret e rastit (vazhdim) 8.14 Ushtrime për përpunim të njohurive.
  16. 16. “Matematika 12” Libër mësuesi16 8.15 Funksioni i shpërndarjes. 8.16 Pritja matematike. 8.17 Shmangia mesatare katrore. Dispersioni. 8.18 Ushtrime për përpunim të njohurive. KREU 9 ZBATIME TË MATEMATIKËS NË SHKENCAT E TJERA 9.1 Funksioni në shkencat e natyrës. 9.2 Lëkundja harmonike. 9.3 Kërkesa dhe oferta. 9.4 Funksioni në modelimet ekonomike. 9.5 Kuptimi mekanik i derivatit të funksionit. 9.6 Kuptimi mekanik i derivatit të dytë të funksionit. 9.7 Interpretimi ekonomik i derivatit. 9.8 Vetitë optike të konikeve. 9.9 Problema zbatimi. 9.10 Problema zbatimi. Zbatoni njohuritë tuaja KREU 10 PËRGATITJA PËR PROVIMIN E MATURËS 11. Projektet kurrikulare
  17. 17. Libër mësuesi “Matematika 12” 17 OBJEKTIVAT SIPAS KRERËVE (NË TRE NIVELE) KREU 1 VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë nga grafiku nëse kemi Dox lim f(x)= E , ku D është ff aa ,,, , kurse E është A,, ff ( RA ). Të skicojnë grafikë funksionesh që gëzojnë vetinë e mësipërme. Të gjejnë limitet e njëanshme, kur ax o të një polinomi apo funksioni racional konkret. Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të dhënë në trajtën y= ¯ ® ­ ! axpërxg axpërxf )( )( , ku f(x), g(x) janë polinome apo shprehje racionale të thjeshta. Të përcaktojnë për funksione të trajtës së mësipërme, nëse kanë limit kur ax o , duke krahasuar limitet e njëanshme. Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion konkret është i vazhdueshëm për x=a. Të dallojnë nëse një funksion i dhënë grafikisht është i vazhdueshëm në ]a, b[. Të dallojnë nëse një funksion i thjeshtë, i dhënë me një formulë të vetme, është i vazhdueshëm për x=a. Kur f(x), g(x) janë polinome apo shprehje racionale të thjeshta, të dallojnë nëse funksioni y= ¯ ® ­ t axpërxg axpërxf )( )( është i vazhdueshëm për x=a. Të përdorin në raste të thjeshta teoremat mbi veprimet me funksionet e vazhdueshëm. Të dallojnë nëse një funksion i dhënë është i zakonshëm. Të japin shembuj funksionesh të zakonshëm. Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksioneve të zakonshëm shumë të thjeshtë. Të gjejnë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion i zakonshëm shumë i thjeshtë.
  18. 18. “Matematika 12” Libër mësuesi18 Të gjejnë limitin e një funksioni të vazhdueshëm të thjeshtë në një pikë të bashkësisë së përcaktimit. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të formulojnë saktë përkufizimet e koncepteve kryesore. Të riprodhojnë saktë e me argumentim vërtetimet e teoremave të dhëna në tekst. Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të thjeshta të trajtës y= ¯ ® ­ t axpërxg axpërxf )( )( , kur kemi të bëjmë me forma të pacaktuara të thjeshta. Të përcaktojnë nëse funksionet e sipërpërmendura janë të vazhdueshëm në pikën x=a. Të gjejnë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion i zakonshëm. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të trajtës y= ¯ ® ­ t axpërxg axpërxf )( )( , kur kemi të bëjmë me forma të pacaktuara jo standarde. Të përcaktojnë nëse funksionet e trajtës së mësipërme janë të vazhdueshëm për x=a. Të shkruajnë në mënyrë të përshtatshme një funksion të dhënë kompleks (me anë të veprimeve aritmetike apo përbërjes) për të konkluduar që ai është i vazhdueshëm për x=a. Të gjejnë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion i zakonshëm jo standard. Të nxjerrin nga teoremat e njohura rrjedhime logjike dhe t’i vërtetojnë ato. Të studiojnë shenjën e një funksioni të thjeshtë të vazhdueshëm në [a, b].
  19. 19. Libër mësuesi “Matematika 12” 19 KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë, për funksione shumë të thjeshtë(y=ax+b, y=ax2 +b), derivatin në pikën a, sipas përkufizimit për f ’(a). Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në zbatime direkte formulat për derivatet e funksioneve: y=ax+b, y=ax2 +bx+c, y= x a , y= xa . Të gjejnë shpejtësinë e çastit për pikën materiale që kryen lëvizje drejtvizore sipas boshtit Ox, në bazë të një ligji të thjeshtë të njohur. Të gjejnë shpejtësinë e ndryshimit të madhësisë y, me ndryshimin e x, kur varësia e y nga x jepet me një formulë të thjeshtë. Nëse f nuk është i vazhdueshëm në pikën x=a, të konkludojnë që f ’(a) nuk ekziston. Të japin shembuj funksionesh të vazhdueshëm në a, që nuk kanë derivat në pikën a. Të zbatojnë teoremat mbi derivatin e shumës, prodhimit, raportit, fuqisë për të gjetur, sipas formulave të njohura, derivatin në pikën x të funksioneve të thjeshtë. Të gjejnë derivatin në pikën x të polinomit konkret me fuqi të çfarëdoshme. Të përcaktojnë nëse pika a i përket bashkësisë së përcaktimit të funksionit racional thyesor dhe pastaj të gjejnë derivatin e këtij funksioni për x=a. Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut të një funksioni të thjeshtë në pikën x=a. Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në zbatimet direkte formulat për derivatin në pikën x të funksioneve: y= xogaA , y= nxA , y= x a , y= x e , y=sinx, y=cosx, y=tgx. Të njehsojnë derivatin e dytë të një funksioni shumë të thjeshtë në pikën x apo në një pikë të dhënë. Të njehsojnë nxitimin e pikës materiale që kryen lëvizje sipas Ox në bazë të një ligji shumë të thjeshtë të njohur. Të njehsojnë diferencialin e një funksioni të thjeshtë të derivueshëm në pikën x. Të gjejnë derivatin në pikën x të funksionit të përbërë me dy hallka.
  20. 20. “Matematika 12” Libër mësuesi20 Të fiksojnë në kujtesë formulat për derivatet e funksioneve të përbërë kryesorë në trajtën y’(x)= )(')(' xuufu ˜ , p. sh.
  21. 21. ' sin xu =cosu·u’(x) etj. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë, sipas përkufizimit, derivatin në pikën x për funksionin: y=ax2 +bx+c, y=ax3 , y= x a , y= xa . Të gjejnë shpejtësinë e çastit për pikën materiale që kryen lëvizje sipas boshtit Ox, në bazë të ligjit x=f(t), ku f-funksion i zakonshëm. Të gjejnë për funksione të thjeshtë f ’(a) si axo lim ax afxf )()( . Të interpretojnë gjeometrikisht mosekzistencën e f ’(a) kur f nuk është i vazhdueshëm në x=a. Të riprodhojnë vërtetimet për teoremat e paraqitura në tekst, që shprehin rregullat e derivimit. Të nxjerrin prej tyre rrjedhime të thjeshta dhe t’i vërtetojnë ato. Të përdorin rregullat e derivimit për të gjetur derivatet në pikën x të funksioneve të zakonshëm. Të vërtetojnë barazimin e përafërt f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta. Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut të funksionit f në pikën a, kur f është funksion i zakonshëm. Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion nuk ka derivat në pikën x=a. Të përdorin formulat për derivatet e funksioneve logaritmikë, fuqi, eksponencialë, trigonometrikë në situata të thjeshta praktike, sidomos kur shqyrtohet shpejtësia e një procesi apo tangjentja ndaj një vije transhendente. Të riprodhojnë vërtetimet e dhëna në tekst për disa teorema për derivatet e këtyre funksioneve. Të njehsojnë derivatin e dytë në një pikë x për një funksion të zakonshëm. Të njehsojnë nxitimin e pikës materiale që lëviz sipas Ox në bazë të ligjit x=f(t), ku f-funksioni i zakonshëm.
  22. 22. Libër mësuesi “Matematika 12” 21 Të vërtetojnë e të kryejnë shndërrime të thjeshta të diferencialit. [p. sh. )( 1 cxd c dx ; )( 2 1 2 xdxdx etj. ] Të gjejnë derivatin në pikën x për një funksion të përbërë me tri hallka. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin faktin që shpejtësia e ndryshimit të y me ndryshimin e x, kur y=f(x) jepet nga f ’(x), në situata reale komplekse e jo standarde. Të gjejnë f ’(x) si axo lim ax afxf )()( në raste jo standarde. Të vërtetojnë teoremën mbi derivatin e raportit. Të zbatojnë barazimin e përafërt f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) në raste komplekse e jo standarde. Të zgjidhin problema me kuptimin gjeometrik të derivatit në situata jo standarde. Të nxjerrin me vërtetim formulat për derivatet e të gjitha funksioneve trigonometrikë. Të njehsojnë derivatin e dytë të funksioneve të përbërë të thjeshtë dhe ta përdorin atë në situata matematike e reale jo standarde. Të gjejnë derivatin në pikën x për funksione të përbërë me më shumë se tri hallka. Të zbatojnë njohuritë në situata reale e matematikore jo standarde. KREU 3 ZBATIME TË DERIVATEVE Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka ekstremum për x=a. Të përcaktojnë intervalet e monotonisë për funksione shumë të thjeshtë (si polinomet e fuqisë II-III), nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit. Të gjejnë ekstremumet e një funksioni shumë të thjeshtë të derivueshëm (si polinomet e fuqisë II-III) në një interval.
  23. 23. “Matematika 12” Libër mësuesi22 Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) në segment për funksione shumë të thjeshtë të derivueshëm (si polinomet e fuqisë II-III). Të modelojnë matematikisht situata shumë të thjeshta (reale apo matematikore) me kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël). Të zbatojnë në këto situata metodën e përgjithshme të zgjidhjes, që është analizuar në tekst (duke ndjekur hapat sipas radhës). Të studiojnë përkulshmërinë e grafikut dhe të gjejnë pikat e infleksionit për funksione shumë të thjeshtë (si polinomet e fuqisë II-III), nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të dytë. Të studiojnë, sipas metodës me 9 hapa, variacionin e një funksioni të fuqisë II dhe të skicojnë grafikun e tij. Të ndërtojnë tabelën e variacionit të një funksioni në bazë të grafikut të njohur të tij. Të studiojnë variacionin dhe të skicojnë grafikun e një funksioni të thjeshtë të fuqisë III (kur gjenden lehtë pikëprerjet me boshtin Ox). Të shkruajnë ekuacionet e asimptotave të një funksioni homografik. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Për funksione të thjeshtë të derivueshëm në I të gjejnë pikën c, që vërteton barazimin e Lagranzhit f(b)-f(a)=f ’(c)·(b-a). Të bëjnë interpretimin gjeometrik të teoremës së Lagranzhit. Të përcaktojnë intervalet e monotonisë për funksione të thjeshtë të derivueshëm (përfshirë funksionet racionalë) apo të trajtës y= 2 2 rax x a . Të gjejnë ekstremumet e funksioneve të tillë. Të përdorin në raste të thjeshta (përfshirë funksionet trigonometrikë) teoremat për gjetjen e ekstremumeve, duke përdorur derivatin e dytë. Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) për një funksion të thjeshtë të derivueshëm në segment (përfshirë funksione racionalë e të trajtës y= dcxbxax 2 ). Të modelojnë matematikisht situata të thjeshta (reale apo matematikore) me kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël).
  24. 24. Libër mësuesi “Matematika 12” 23 Të studiojnë për funksione të thjeshtë (përfshirë funksione homografikë apo të trajtës y= 2 2 x x ar ) përkulshmërinë e grafikut nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të dytë. Të gjejnë pikat e infleksionit për funksione të tillë. Të studiojnë variacionin e një funksioni çfarëdo të fuqisë III ose IV, me anë të metodës me 9 hapa. Të ndërtojnë grafikun e një funksioni të tillë. Të studiojnë variacionin dhe të ndërtojnë grafikun e një funksioni homografik y= dcx bax . Të skicojnë grafikun e një funksioni çfarëdo, kur njohin tabelën e variacionit të tij. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të nxjerrin dhe të vërtetojnë rrjedhime logjike të teoremës së Lagranzhit. Të studiojnë monotoninë e një funksioni të zakonshëm, nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit. Të gjejnë ekstremumet e një funksioni të zakonshëm, duke përdorur derivatin e parë apo të dytë. Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) në I për një funksion të zakonshëm të derivueshëm në të. Të studiojnë përkulshmërinë e grafikut dhe të gjejnë pikat e infleksionit për një funksion të zakonshëm. Të interpretojnë grafikisht numrin dhe shenjat e rrënjëve reale të ekuacionit f(x)=m, ku f-polinom deri tek fuqia IV apo funksion racional i thjeshtë. Të përcaktojnë nëse pika C (a, b) është qendër simetrie për grafikun e një funksioni të dhënë f. Të përcaktojnë nëse drejtëza x=a është bosht simetrie për grafikun e një funksioni të dhënë f. Të modelojnë matematikisht situata të reja e jo standarde me kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël).
  25. 25. “Matematika 12” Libër mësuesi24 KREU 4 RRETHI DHE ELIPSI Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të përshkruajnë kuptimin e ekuacionit të vijës në planin kartezian. Të dallojnë drejtëzën si vijë që në planin kartezian paraqitet me një ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore. Të shkruajnë ekuacionin e rrethit kur njihet qendra e tij C (a, b) dhe rrezja r. Për rrethin x2 +y2 =r2 të përshkruajnë veti të thjeshta (qendra, boshtet e simetrisë, prerjet me boshtet koordinativë). Të përcaktojnë pozicionin e një pike me koordinata të dhëna në lidhje me rrethin x2 +y2 =r2 . Të gjejnë prerjen e rrethit x2 +y2 =r2 me një drejtëz. Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në një pikë të rrethit x2 +y2 =r2 dhe ta përdorin në raste të thjeshta. Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me rrethin x2 +y2 =r2 në raste te thjeshta. Të përshkruajnë vetinë vatrore të elipsit. Të shkruajnë ekuacionin e elipsit me qendër origjinën e koordinatave dhe me boshte simetrie Ox, Oy, kur njihen gjysmëboshtet; kur njihet një nga boshtet dhe largësia vatrore. Të gjejnë për elipsin me ekuacion kanonik 12 2 2 2 b y a x pikëprerjet me boshtet; qendrën; boshtet e simetrisë; vatrat. Të gjejnë për elipsin 12 2 2 2 b y a x jashtëqendërsinë dhe ekuacionet e vijave drejtuese. Të skicojnë elipsin 12 2 2 2 b y a x dhe të shqyrtojnë si ndryshon forma e tij kur ndryshon jashtëqendërsia. Të gjejnë abshisat (ordinatat) e pikave të elipsit kur njihet ordinata (abshisa). Të gjejnë prerjet e elipsit 12 2 2 2 b y a x me drejtëzën y=kx.
  26. 26. Libër mësuesi “Matematika 12” 25 Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj elipsit 12 2 2 2 b y a x në një pikë të tij dhe ta përdorin në raste të thjeshta. Të përdorin në raste të thjeshta kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 12 2 2 2 b y a x . Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të identifikojnë grafikun e një funksioni numerik f si vijë me ekuacion y=f(x). Të argumentojnë mënyrën për gjetjen e pikëprerjes së dy vijave me ekuacione të dhëna. Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e rrethit kur njihet qendra dhe rrezja e tij. Të gjejnë, kur ekuacioni i rrethit jepet në trajtën x2 +y2 +ax+by+c=0, qendrën dhe rrezen. Të gjejnë prerjen e rrethit (x-a)2 +(y-b)2 =r2 me një drejtëz (në veçanti, prerjet me boshtet koordinativë). Të studiojnë vetitë e thjeshta (simetri, vendndodhje) për rrethin (x-a)2 +(y-b)2 =r2 . Të vërtetojnë saktë kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me rrethin x2 +y2 =r2 . Të japin saktë përkufizimin e elipsit sipas vetisë vatrore. Të shkruajnë ekuacionin e elipsit 12 2 2 2 b y a x , kur njihen dy pika të tij. Të riprodhojnë vetitë e thjeshta, të dhëna në tekst, për simetrinë, vendndodhjen dhe formën e elipsit 12 2 2 2 b y a x . Të gjejnë prerjen e elipsit 12 2 2 2 b y a x me drejtëzën Ax+By+C=0. Të përshkruajnë vetinë e vijës drejtuese të elipsit.
  27. 27. “Matematika 12” Libër mësuesi26 Të përdorin në raste të thjeshta formulat për rrezet vatrore të një pike të elipsit 12 2 2 2 b y a x . Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e tangjentes në një pikë të elipsit 12 2 2 2 b y a x . Të nxjerrin me vërtetim kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 12 2 2 2 b y a x e ta përdorin në situata të zakonshme. Të ndërtojnë praktikisht elipsin me vatra të dhëna e bosht të madh të dhënë. T’i përdorin njohuritë për modelimin matematik dhe zgjidhjen e problemave të thjeshta nga jeta reale, shkencat e zbatuara dhe vetë matematika. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të formulojnë në trajta të njëvlershme disa nga teoremat kryesore, duke bërë edhe vërtetimet përkatëse. Të përcaktojnë kushtet për të cilat ekuacioni x2 +y2 +ax+by+c=0 paraqet rreth. Të bëjnë studim të plotë për pozitën reciproke të dy rrathëve me qendra e rreze të njohura. Të shkruajnë ekuacionin kanonik të elipsit 12 2 2 2 b y a x , kur jepen elementë çfarëdo përcaktues të tij. Të përcaktojnë pozicionin e një pike me koordinata të dhëna lidhur me elipsin 12 2 2 2 b y a x . Të gjejnë ekuacionin e tangjentes nga një pikë jashtë elipsit 12 2 2 2 b y a x . Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 12 2 2 2 b y a x në situata të reja, jo standarde.
  28. 28. Libër mësuesi “Matematika 12” 27 Të zgjidhin problema me gjetje të ekuacioneve të vijave të dhëna me kushte gjeometrike, në rastet kur këto vija dalin rrathë apo elipsa. T’i përdorin njohuritë për modelim dhe zgjidhje të situatave të reja, jo standarde, nga jeta, shkencat e zbatuara dhe matematika. KREU 5 HIPERBOLA DHE PARABOLA Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të përcaktojnë nëse një pikë me koordinata të njohura ndodhet në një vijë me ekuacion të njohur. Të përshkruajnë vetinë vatrore të hiperbolës. Të shkruajnë ekuacionin kanonik të hiperbolës 12 2 2 2 b y a x , kur njihen: a) gjysmëboshtet; b) njëri nga boshtet dhe largësia vatrore; c) njëri nga boshtet dhe ekuacionet e asimptotave. Të gjejnë abshisat (ordinatat) e pikave të hiperbolës 12 2 2 2 b y a x , kur njihet ordinata (abshisa) e tyre. Të gjejnë, për hiperbolën me ekuacion kanonik 12 2 2 2 b y a x , pikëprerjet me boshtet, boshtet e simetrisë, vatrat, ekuacionet e asimptotave. Të gjejnë për hiperbolën 12 2 2 2 b y a x jashtëqendërsinë dhe ekuacionet e vijave drejtuese. Të skicojnë hiperbolën 12 2 2 2 b y a x dhe të shqyrtojnë si ndryshon forma e saj kur ndryshon jashtëqendërsia.
  29. 29. “Matematika 12” Libër mësuesi28 Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj hiperbolës 12 2 2 2 b y a x në një pikë të saj dhe ta përdorin në raste të thjeshta. Të përdorin në raste të thjeshta kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 12 2 2 2 b y a x . Të përshkruajnë vetinë e vijës drejtuese të parabolës. Të shkruajnë ekuacionin e parabolës me kulm në origjinë e bosht simetrie Ox kur njihet: a) vatra; b) ekuacioni i vijës drejtuese; c) një pikë. Të bëjnë të njëjtën gjë për parabolën me kulm në origjinë e bosht simetrie Oy. Të gjejnë, në bazë të ekuacionit të dhënë të parabolës (y2 =2px apo x2 =2py) vatrën, vijën drejtuese, boshtin e simetrisë. Të skicojnë parabolën dhënë me ekuacion y2 =2px apo x2 =2py. Të gjejnë për pikën e parabolës y2 =2px apo x2 =2py njërën nga koordinatat, kur njihet koordinata tjetër. Të gjejnë pikat e prerjes së parabolës (y2 =2px apo x2 =2py) me një drejtëz me ekuacion të dhënë. Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në një pikë të parabolës(y2 =2px apo x2 =2py) dhe ta përdorin në raste të thjeshta. Të përdorin në raste të thjeshta kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën (y2 =2px apo x2 =2py). Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të japin saktë përkufizimin e hiperbolës sipas vetisë vatrore. Të shkruajnë ekuacionin e hiperbolës 12 2 2 2 b y a x , kur njihen: a) dy pika; b) largesa vatrore dhe ekuacionet e asimptotave;
  30. 30. Libër mësuesi “Matematika 12” 29 c) një pikë dhe ekuacionet e asimptotave. Të riprodhojnë vetitë e thjeshta, të dhëna në tekst, për simetrinë, vendndodhjen dhe formën e hiperbolës 12 2 2 2 b y a x . Të përshkruajnë vetinë e vijës drejtuese të hiperbolës 12 2 2 2 b y a x . Të përdorin në raste të thjeshta veti të veçanta të hiperbolës barabrinjëse 2 2 2 2 1 x y a a . Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në raste të thjeshta formulat për rrezet vatrore të një pike të hiperbolës 12 2 2 2 b y a x . Të nxjerrin me vërtetim ekuacionet e tangjentes në një pikë të hiperbolës 12 2 2 2 b y a x . Të nxjerrin me vërtetim kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 12 2 2 2 b y a x e ta përdorin në situata të zakonshme. Të japin saktë përkufizimin e parabolës sipas vetisë së vijës drejtuese. Të riprodhojnë vetitë e thjeshta, të dhëna në tekst, për simetrinë, vendndodhjen dhe formën e parabolës y2 =2px. Të bëjnë të njëjtën gjë për parabolën x2 =2py. Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e tangjentes në një pikë të parabolës (y2 =2px apo x2 =2py). Të nxjerrin me vërtetim kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën (y2 =2px apo x2 =2py) e ta përdorin në situata të zakonshme. T’i përdorin njohuritë për modelimin matematik dhe zgjidhjen e problemeve të thjeshta nga jeta reale, shkencat e zbatuara dhe vetë matematika. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të vërtetojnë me rrugë të reja disa nga teoremat e njohura.
  31. 31. “Matematika 12” Libër mësuesi30 Të përcaktojnë kushtet për të cilat drejtëza y=kx+t pret hiperbolën 12 2 2 2 b y a x . Të shkruajnë ekuacionin kanonik të hiperbolës 12 2 2 2 b y a x , kur jepen elementë çfarëdo përcaktues të saj. Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 12 2 2 2 b y a x në situata të reja, jo standarde. Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e parabolës y2 =2px. Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes nga një pikë jashtë parabolës (y2 =2px apo x2 =2py). Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën (y2 =2px apo x2 =2py) në situata të reja, jo standarde. Të zgjidhin problema me gjetje të ekuacioneve të vijave të dhëna me kushte gjeometrike, në rastet kur këto vija dalin hiperbola apo parabola. T’i përdorin njohuritë për modelim dhe zgjidhje të situatave të reja, jo standarde, nga jeta, shkencat e zbatuara dhe matematika. KRERËT 6-7 INTEGRALI I PACAKTUAR; INTEGRALI I CAKTUAR Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të japin saktë përkufizimin e primitivit së një funksioni. Të vërtetojnë që nëse F është primitiv i f, atëherë edhe F+c është primitiv i f. Të përdorin drejt simbolikën ³ dxxf )( . Të shkruajnë dhe të përdorin në zbatime direkte vetitë e integralit të pacaktuar. Të përdorin shndërrime të thjeshta të diferencialit (si dx=d(x+a); dx= )( 1 cxd c ), për të gjetur integrale të pacaktuar të thjeshtë.
  32. 32. Libër mësuesi “Matematika 12” 31 Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në zbatime direkte tabelën themelore të integraleve. Të njehsojnë integralin e pacaktuar të një polinomi konkret. Të njehsojnë integrale të pacaktuar të formave: ³ axdxsin , ³ axdxcos , dxeax ³ , ³ bax dx . Të përdorin metodën e zëvendësimit në raste shumë të thjeshta, kur sugjerohet zëvendësimi )(xu M apo x=f(t). Të përdorin metodën e integrimit me pjesë në raste shumë të thjeshta, duke integruar vetëm një herë e kur jepet sugjerimi )(xu M ; dxxdv )( . Të shkruajnë dhe të përdorin në zbatime direkte vetitë e thjeshta të integralit të caktuar. Të përdorin në raste shumë të thjeshta formulën e Njuton-Laibnicit për ³ b a dxxf )( , kur f(x) është polinom, ose sinax, ose cosax, ose ax e . Të njehsojnë me anën e integralit të caktuar sipërfaqen e trapezit vijëpërkulur, që kufizohet nga boshti Ox, drejtëzat x=a, x=b dhe vija y=f(x), ku f(x)-polinom ose sinax, ose cosax, ose ax e dhe f(x)0 në [a, b]. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të vërtetojnë që bashkësia e primitivave të një funksioni f jepet nga formula y=F(x)+c, ku F është një primitiv e funksionit f. Të vërtetojnë vetitë e integralit të pacaktuar. Të vërtetojnë të gjithë shndërrimet kryesore të diferencialeve dhe t’i përdorin ato sistematikisht, duke kthyer integrale të thjeshtë në integrale tabelorë. Të vërtetojnë tabelën themelore të integraleve dhe ta përdorin atë sistematikisht në trajtën ³ duuf )( , ku u-funksion i derivueshëm. Të përdorin metodën e zëvendësimit në raste të thjeshta, duke gjetur vetë zëvendësimin )(xu M .
  33. 33. “Matematika 12” Libër mësuesi32 Të përdorin metodën e integrimit me pjesë, duke integruar vetëm një herë për integrale të trajtave: ³ ˜ nxdxxP A)( , ³ cxdxbax sin)( , ³ dxebax cx )( (P(x)-polinom). Të njehsojnë integrale të trajtës ³ dx bax xP )( , duke bërë pjesëtimin e polinomit P(x) me ax+b. Të japin përkufizimin e integralit të caktuar. Të vërtetojnë vetitë e thjeshta të integralit të caktuar. Të përdorin formulën e Njuton-Laibnicit në raste të thjeshta. Të njehsojnë sipërfaqen e trapezit vijëpërkulur në rastet kur f është funksion i thjeshtë, por që nuk ruan shenjë në [a, b]. Të njehsojnë sipërfaqen e trapezit vijëpërkulur që kufizohet nga vijat y=f(x), y=g(x), ku f, g janë funksione të thjeshtë. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të kryejnë shndërrime jo standarde të diferencialit për të njehsuar integrale të pacaktuara. Të pasurojnë tabelën themelore të integraleve me integrale të reja. Të përdorin metodën e zëvendësimit në raste jo standarde. Të përdorin metodën e integrimit me pjesë në raste jo standarde, duke integruar edhe më shumë se një herë. Të njehsojnë integrale të trajtës ³ dx cbxax xP 2 )( , ku P(x)-polinom i fuqisë së parë ose të dytë dhe trinomi ax2 +bx+c ka dy rrënjë reale. Të vërtetojnë vetitë e integralit të caktuar. Të përdorin formulën e Njuton-Laibnicit në rastet kur gjetja e primitivës kërkon procedura jo standarde. Të vërtetojnë formulat për njehsimin e sipërfaqeve të trapezave vijëpërkulur, në rastet e ndryshme teorike. Të njehsojnë me anë të integralit të caktuar sipërfaqe figurash plane që kanë trajta jo standarde.
  34. 34. Libër mësuesi “Matematika 12” 33 KREU 8 KOMBINATORIKË. PROBABILITET. STATISTIKË Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të zbatojnë në raste të thjeshta teknika të ndryshme numërimi. Të zbatojnë në raste të thjeshta parimin e shumëzimit dhe atë të mbledhjes. Të përdorin në raste të thjeshta barazimin CC kn n k n . Të gjejnë në raste të thjeshta numrin e rezultateve të barasmundshme të një prove. Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje të thjeshtë me rezultate të barasmundshme, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit. Të dallojnë në raste të thjeshta ndryshoret e rastit diskrete. Të zbatojnë në raste të thjeshta formulën për funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit diskrete. Të zbatojnë në raste të thjeshta formulën për gjetjen e pritjes matematike të një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. Të zbatojnë në raste të thjeshta formulën për dispersionin e një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. Të ndërtojnë tabela me dy hyrje duke shprehur dendurinë e çifteve të vlerave të mundshme të dy ndryshoreve, me të dhëna nga jeta reale, në raste të thjeshta. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të zbatojnë në situata të zakonshme teknika të ndryshme numërimi, duke përfshirë edhe diagramën pemë. Të vërtetojnë barazimin CC kn n k n e ta përdorin në situata të zakonshme. Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje të zakonshme me barazmundësi të rezultateve, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit. Të përkufizojnë ndryshoret e rastit diskrete e t’i dallojnë ato në situata të zakonshme.
  35. 35. “Matematika 12” Libër mësuesi34 Të zbatojnë në situata të zakonshme formulën për funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit diskrete. Të zbatojnë në situata të zakonshme formulën për pritjen matematike të një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. Të zbatojnë në situata të zakonshme formulën për pritjen matematike të një ndryshore të rastit diskrete me një numër të fundëm vlerash. Të gjejnë në situata të zakonshme dispersionin e një ndryshoreje të tillë. T’u japin përgjigje pyetjeve që kërkojnë sistemim e përpunim paraprak të informacionit statistikor. Të ndërtojnë në situata të zakonshme reale tabela me dy hyrje, duke shprehur dendurinë e gjithë çifteve të kategorive të ndryshme të dy ndryshoreve. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të zbatojnë teknika të ndryshme numërimi në situata të reja, jo standarde. Të vërtetojnë vetitë kryesore të koeficientëve binomialë e t’i zbatojnë ato në situata të reja, jo standarde. Të interpretojnë përkufizimin klasik të probabilitetit të një ngjarje. Të përkufizojnë ndryshoret e rastit të vazhdueshme dhe t’i dallojnë ato në situata të reja, jo standarde. Të zbatojnë në situata të reja, jo standarde, formulën për funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. Të zbatojnë në situata të reja, jo standarde, formulën për pritjen matematike të një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. Të zbatojnë në situata të reja, jo standarde, formulën për dispersionin e një ndryshore të tillë. Të ndërtojnë tabela me dy hyrje, duke shprehur dendurinë e gjithë çifteve të vlerave apo të kategorive të ndryshme të dy ndryshoreve, në situata të reja, jo standarde. Të nxjerrin konkluzione për shpërndarjen e ndryshores së rastit diskrete, në bazë të studimit të dispersionit.
  36. 36. Libër mësuesi “Matematika 12” 35 KREU 9 ZBATIME TË MATEMATIKËS NË SHKENCAT E TJERA Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin konceptet dhe shprehitë matematike të mësuara gjatë viteve të gjimnazit, për të zgjidhur problema të thjeshta nga shkencat social-ekonomike dhe ato të zbatuara me një numër të kufizuar metodash, me ndihmën e të tjerëve dhe me gabime ose me mangësi. Të përdorin sintezën në zgjidhjen e problemave standarde. Të vërejnë se si ligjësi dhe zbatime matematike kanë ardhur si rezultat i dukurive reale. Të përdorin gjatë zgjidhjes së problemave arsyetime matematike të thjeshta. Të zotërojnë elementë nga historiku i matematikës, të cilat lidhen me njohuritë kryesore. Të njohin kontributin e disa matematicienëve të shquar, që nga lashtësia deri në ditët e sotme. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin konceptet dhe shkathtësitë matematike të mësuara gjatë viteve të gjimnazit, për zgjidhjen e problemave të zakonshme, duke përdorur disa strategji bazale, me pak gabime apo mangësi të pjesshme. Të përdorin analizën gjatë zgjidhjes së problemave të zakonshme. Të interpretojnë, duke përdorur konceptet dhe shkathtësitë matematike të fituara, informacione të marra nga mjetet e informimit publik. Të përdorin gjatë zgjidhjes së problemave arsyetime të përshtatshme, me ndihmë të kufizuar. Të zotërojnë informacion sintetik e të qartë për evolucionin e matematikës ndër vite, duke dalluar etapat e zhvillimit të saj. Të kenë konceptim të qartë për metodën aksiomatike në matematikë.
  37. 37. “Matematika 12” Libër mësuesi36 Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin konceptet dhe aftësitë matematike të fituara gjatë viteve të gjimnazit, për të zgjidhur problema në situata të reja, duke përshtatur strategji apo duke hartuar strategji, me saktësi. Të analizojnë dukuri dhe përfundime të nxjerra nga shkencat e tjera, duke përdorur formimin matematik të fituar. Të bëjnë diskutimin e problemave, duke kaluar në përgjithësime. Të zgjidhin problemën me disa mënyra, duke përdorur me kreativitet njohuri nga linjat qendrore të lëndës. Të përdorin gjatë zgjidhjes, arsyetime matematike në mënyrë të pavarur dhe adekuate. Të kenë konceptim të qartë mbi objektin e matematikës. Të kenë konceptim të qartë mbi faktorët që çojnë në lindjen dhe zhvillimin e teorive matematike, mbi lidhjen e ndërsjellë midis induksionit e deduksionit në këtë proces. Të dallojnë qartë matematikën si shkencë nga matematika shkollore.
  38. 38. Libër mësuesi “Matematika 12” 37 PLANIFIKIMI I MËSIMIT Plani mësimor ditor është një detajim i parapërgatitur i elementeve të mësimit ditor, të renditura sipas radhës në të cilën do të kryhen. Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimit dhe improvizon vazhdimisht është shumë i ekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësime të cekëta, pa cilësi e rendiment. Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet pa një plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati që do të zgjidhet për hartimin e planit, por fakti që plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik, të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar. Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varet nga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia (pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit. Nganjëherë mësuesit me përvojë e nënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjë mësues nuk mund të përballojë mirë një orë mësimore pa menduar thellë që më parë se çfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimit dhe si do ta mësojnë atë. Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë se cilat janë objektivat e mësimit, cila është përmbajtja që do të trajtohet, cilat do të jenë procedurat që do të ndiqen dhe si do të zbatohen ato. Ka mësues që mendojnë se janë më të suksesshme mësimet e pastrukturuara, të paplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit e gjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetë më mirë në situata të tilla. Kjo tezë është shumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesit e rinj duhet t’u shmangen mendimeve të tilla, sepse mësime të zhvilluara ashtu shpesh përfundojnë në rastësi të padëshirueshme dhe herë-herë në kaos. Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit me përvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve të tyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenë të suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnë planin e mësimit në mënyrë të hollësishme. Planifikimi i kujdesshëm siguron një familjarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jep për këtë arsye mësuesit besim e siguri tek vetja. Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohet lirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë, organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrë racionale kohën.
  39. 39. “Matematika 12” Libër mësuesi38 Elementet kryesore të planifikimit e përgatitjes së mësimit 1. Përzgjedhja e objektivave mësimorë Objektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut, të mësimit) janë tre llojesh: a) Për njohuritë (p.sh. “të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar këta objektiva janë: të gjejnë, të përshkruajnë, të njehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etj. b) Për aftësitë (p.sh. “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlershmërinë për të zgjidhur ekuacione që sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të përdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj. c) Për qëndrimet (p.sh. “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale të funksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të vlerësojnë, të diskutojnë, të debatojnë etj. 2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit 3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim 4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim 5. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve. Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimi I. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë: ) qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit; ) zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës); ) qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit, duke veçuar veprimtarinë kulmore; ) përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren; ) përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion; ) përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit; ) parashikimin e punës me grupe a individë të veçantë. ) parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës apo me lëndët e tjera; ) parashikimin e përdorimit të T. I. K.
  40. 40. Libër mësuesi “Matematika 12” 39 II. Gjatë hartimit të planit të mësimit, mësuesi duhet të mbajë parasysh këto parime (pavarësisht nga formati i zgjedhur për planin): ) qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut; ) çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit; ) mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm; ) veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna; ) çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme; Klasifikimi i mësimeve Mësimet ndahen në dy lloje të mëdha: ¾ -Me shtjellim të njohurive të reja ¾ -Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, për përsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj.) Shkurt për përsëritjen Nëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi i ndihmon nxënësit të vendosin rregull në morinë e njohurive të sapomësuara, d.m.th., të nxjerrin në pah konceptet e metodat përshkuese të kapitullit dhe ato njohuri që duhet të ngulen fort në kujtesë. Ka rëndësi shumë të madhe metodologjia e përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnë vetë nxënësve një përmbledhje të kreut, duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë se sa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësit përfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqen të stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetë atë që kanë mësuar për disa orë mësimore; u japin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet e tekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, të mbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanë fort të qartë. Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm një rimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë të madhe për të vërejtur lidhjet midis njohurive, për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet që faktet mbahen mend më gjatë e konceptet rishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato në lidhjet e tyre të brendshme. Por përsëritja shkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturës së brendshme të kreut është i mirë, por jo i mjaftueshëm. Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë të lidhura me njohuritë e kreut paraardhës, me lëndën e zhvilluar në atë vit, me lëndën e zhvilluar në vitet e mëparshme, madje me lëndën e zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesisht përsëritja
  41. 41. “Matematika 12” Libër mësuesi40 ajo që e vendos çdo njohuri të re në mozaikun e njohurive të lëndës, të fushës kurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Në mënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnë kohën e përsëritjes apo e kthejnë atë në një farë konsultimi para testimit për një apo disa kapituj. Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasi vetëm nëpërmjet saj nxënësit: o nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore, o përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th., lidhjen midis koncepteve e fakteve themelore), o integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë e mëparshme. Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikimin e mësimeve me shtjellim të njohurive të reja. Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimore Pas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore përcaktohen veprimtaritë mësimore, së bashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre. Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime: Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mos mbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodat e procedurat. Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtari zhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmore edhe veprimtari vlerësuese. Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa janë të mira për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multifunksionale).
  42. 42. Libër mësuesi “Matematika 12” 41 Veprimtaritë në mësim duhet të zgjidhen në përshtatje me mundësitë e nxënësve, elasticitetin e tyre, stilin e të nxënit, sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndaj metodave të ndryshme. Veprimtaritë mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet e tij. Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha, hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria. Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë të përshtatshme për çështjen dhe lëndën që mësohet. Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimit dhe për çdo objektiv të ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv. Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim; Reflektim) Evokimi Në këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësi motivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësi me njohuritë e reja që do të merren. Realizimi i kuptimit Në këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjitha veprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton, diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj. Reflektimi Është faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Është faza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues, përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri. Formati i planit mësimit Në përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe:
  43. 43. “Matematika 12” Libër mësuesi42 Objektivat Metodologjia Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies Vlerësimi Këto blloqe mund të zbërthehen në disa formate Modeli i propozuar nga IZHA (Instituti i Zhvillimit të Arsimit) 1. Tema e orës së mësimit; 2. Objektivi përkatës i programit mësimor; 3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit; 4. Procedurat që do të ndiqen; 5. Vlerësimi; 6. Detyrat e shtëpisë; 7. Refleksione. Zbatimi i planit të mësimit Rekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, duke shmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla. Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit të mësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë. Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur. 1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë. 2. Kur ka ndodhur (apo ndodh) diçka e rëndësishme para (apo gjatë mësimit). 3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin. Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh, ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin. Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ja vlen të ndiqen në detaje; në rrethana të tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemin e pozuar.
  44. 44. Libër mësuesi “Matematika 12” 43 Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi, që imponojnë heqjen dorë nga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mund të ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje direkte me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihen nxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionet para se t’i përvishen punës. Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit janë të thjeshta: çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit, çfarë do ta çonte përpara të mësuarit, ç’domethënie ka ndryshimi për lëndën që zhvillohet? MBI ORGANIZIMIN E PUNËS NË KLASË Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshëm për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet. Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar (real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime. Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th të punës me grup. Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me zakonin që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i presë fjalën
  45. 45. “Matematika 12” Libër mësuesi44 nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon. Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet ai që të kopjojë. Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull apo një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (a kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhur). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj në trajtën e një përfundimi përgjithësues, në lëndë si matematika kalohet në vërtetimin e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme rigoroziteti në profile të ndryshme). Më tej kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së pavarur a në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh: a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit? b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar? c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e njohurive për t’i zgjidhur? d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës? Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore situata e modele të botës përreth si p. sh. nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.
  46. 46. Libër mësuesi “Matematika 12” 45 PUNA MBI PROJEKTET KURRIKULARE Projekti kurrikular është një përpjekje për t’i dhënë zgjidhje një situate, për të cilën nxënësit nuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për të cilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxëna shkollore e më tej. Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht në sistemimin e informacioneve të qëmtuara në tekstin shkollor e në burime të tjera; ai përmban edhe punë origjinale, ku shfaqet qëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projekti kurrikular është zbatimi i informacioneve, por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja apo arritja e ndryshimeve përmirësuese. Projekti kurrikular mund të jetë të paktën tri llojesh: Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secili nxënës gjatë tri viteve të gjimnazit duhet të marrë pjesë në projekte të tilla në të paktën 18 orë mësimore. Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnë planit mësimor të mësuesit dhe llogariten në ngarkesën totale të tij në orë mësimore. Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndor ose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund t’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet në disa fusha. Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë, javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brenda një viti shkollor. Projekti kurrikular mund të merret përsipër nga një ose disa mësues. Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikular si një metodë pune për të shtjelluar njohuritë e reja ose për përpunimin e njohurive. Tema e një projekti kurrikular përzgjidhet nëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve me nxënësit. Mirë është që të ketë propozime nga nxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesi duhet të ketë një fond temash, ndër të cilat u lihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjen e temave është mirë që të përfshihen edhe prindërit. Në projektin kurrikular mësuesi është në rolin e lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ai nuk duhet të jetë anëtar a kryetar i grupit të nxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve se çfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione e përgjigje të gatshme. Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se përgjegjësia për suksesin e projektit kurrikular u takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojë pranë për çfarëdo pyetje a shqetësim. Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimit në këtë veprimtari shkon sipas një kurbe zbritëse. Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojë nxënësit gjatë punës së tyre, të vërë paprerë në dukje anët pozitive që vëren.
  47. 47. “Matematika 12” Libër mësuesi46 Nga mësuesi për realizimin e projektit kurrikular kërkohet që: Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular; Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit; Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara; Të vlerësojë nxënësit. Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesi Formati tip për një plan të tillë ka këto zëra: Titulli i projektit; Objektivat e projektit; Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen a rimerren; Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse; Partnerët në projekt (prindër, OJF etj); Numri i nxënësve apo i klasave që përfshihen në projekt; Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore(me hapat kryesore, afatet e personat përgjegjës); Burimet kryesore të informacionit; Përshkrimi i produktit të projektit; Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit; Mënyra e vlerësimit të nxënësve. Në ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikular Një nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin e informacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekë shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar a vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edhe informacionet e gjalla-bisedat. Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketë të qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit. Vlerësimi i nxënësve në projektin kurrikular Bëhet duke patur parasysh këto elemente: plani i paraqitur; zbatimi i planit;
  48. 48. Libër mësuesi “Matematika 12” 47 menaxhimi i informacionit; etika e punës në grup; kontributi në raportin përfundimtar; prezantimi i punë së kryer. Mënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë me peshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%). Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolit të nxënësit. Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohurive Projektet kurrikulare mund të përdoren për përsëritjen (e integruar) të njohurive të një apo disa kapitujve. Por në projektin kurrikular nuk ka objektiva për përvetësimin e njohurive të reja; në të ka objektiva vetëm për përforcimin e njohurive të mësuara më parë. Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për të zgjidhur një situatë problemore, transferimi i njohurive të një lënde për të zgjidhur probleme të një lënde tjetër e sidomos në situata reale, i stërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptet e metodat kryesore të lëndës. Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin e kërkimit të informacioneve, të hasen edhe me njohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por atyre nuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuri që nuk përmbahen në program dhe sidomos nuk duhet të vlerësohen me notë për to. Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesit Projekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por mësuesi nuk është i detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular qysh në fillim të vitit shkollor. Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët e tjera lëndore d.m.th., me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit. Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për: o të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave); o të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin; o prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit; o përgatitje për përfundimin e projektit. Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnë pyetje për mësuesin etj. Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës.
  49. 49. “Matematika 12” Libër mësuesi48 Shembull PROJEKT KURRIKULAR Lënda: Matematikë, Klasa XII Titulli: “Ekuacionet parametrike dhe polare të drejtëzës dhe të konikeve” Sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor 8 Koha: 1, 5 muaj (1 shkurt-15 mars) Objektivat: 1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionet parametrike dhe polare të drejtëzës dhe t’i përdorin në situata të thjeshta matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 2. Të gjithë nxënësit të të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionet parametrike dhe polare të rrethit dhe t’i përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 3. 90% e nxënësve të klasës të jenë të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionet parametrike të elipsit, hiperbolës, parabolës dhe t’i përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 4. 70% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionin e përgjithshëm të konikeve në koordinata polare dhe ta përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren 1. Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës në planin kartezian. Ekuacioni i saj kur njihet një pikë dhe vektori drejtues. 2. Ekuacionet i rrethit kur njihet qendra dhe rrezja. 3. Ekuacionet kanonike të elipsit, hiperbolës, parabolës. 4. Vetia e vijës drejtuese të konikeve 5. Kuptimi i parametrit 6. Njohuri mbi koordinatat polare të pikës në plan.
  50. 50. Libër mësuesi “Matematika 12” 49 Kontributet e mësuesve bashkëpunues 1. Mësuesi i fizikës (3 orë) o Evidentimi i rasteve të përdorimit të kohës si parametër në lëndën në klasat e gjimnazit; o Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar zgjidhje ekuacionesh parametrike; o Trajektore lëvizje që shprehen thjeshtë me ekuacione në koordinata polare; 2. Mësuesi i teknologjisë (1 orë) - Detale me konture që përshkruhen thjeshtë duke përdorur koordinata polare Partnerë në projekt Prindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla si inxhinierë, teknikë, arkitektë etj. Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës. Veprimtaritë kryesore Nr Veprimtaria Afati Përgjegjësi 1 Hartimi i një liste paraprake njohurish teorike. Java I Mësuesit. 2 Hartimi i një liste paraprake burimesh informacioni (të të gjitha llojeve). Java I Mësuesi me nxënësit. 3 Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin nxënës. Java I Mësuesi. 4 Përdorimi nga nxënësit i literaturës mësimore të rekomanduar. Java II Secili nxënës. 5 Takime për hapje horizonti me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore. Java II Mësuesit. 6 Kërkim në burime të tjera informacioni. Java III Secili nxënës. 7 Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore. Java III Secili nxënës. 8 Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, me evidentimin e mangësive dhe të rrugëve për plotësim. Java III Mësuesi dhe nxënësit. 9 Hartimi i draftit përfundimtar individual nga secili nxënës. Java IV Secili nxënës. 10 Puna për hartimin e draftit përfundimtar përmbledhës me gjetjet kryesore. Java V Mësuesi me nxënësit. 11 Dorëzimi produktit përfundimtar(raportit) si edhe i portofoleve të secilit nxënës. Java VI Nxënësit. 12 Prezantimi i raportit. Java VI 2-3 nxënës të përzgjedhur nga klasa.
  51. 51. “Matematika 12” Libër mësuesi50 Burimet kryesore të informacionit 1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 9, 10, 11); 2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 9, 10, 11); 3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme tekniko-shkencore dhe të ndërtimit; 4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale; 5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj); 6. Përdorim CD të posaçme; 7. Biseda me prindër për probleme jetësore (forma e lulishtes, forma e mobilieve etj). Produkti i pritshëm i projektit Raport i argumentuar ku të përshkruhen ekuacionet kryesore parametrike e polare me të cilat nxënësit e kësaj moshe hasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore, së bashku me rrugët optimale për të përdorur ato sipas situatës. Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor 1. Bisedë për ekuacionet parametrike; 2. Bisedë për koordinatat polare në plan; 3. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, sëbashku me literaturën e rekomanduar mësimore; 4. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore; 5. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit; 6. Ripunimi i tezave kryesore në bazë të vërejtjeve të bëra; 7. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar; 8. Prezantimi i raportit. Mënyra e vlerësimit të nxënësve Bëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura, duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulës 0,5. 0,5.k in n n ku kn është nota e klasës si grup, in është nota e nxënësit si individ.
  52. 52. Libër mësuesi “Matematika 12” 51 MBI VLERËSIMIN FORMUES NË MATEMATIKË NË KLASËN XII Tre llojet më të përdorshme të vlerësimit në klasë (pa përfshirë vlerësimin me qëllim klasifikimi) janë: Vlerësimi diagnostikues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese. Vlerësimi formues, i cili mbikëqyr përparimin gjatë procesit të të nxënit, siguron një feedback për të lehtësuar nxënësit dhe për të korrigjuar gabimet. Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit a të ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë certifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor. Vlerësimi formues është vlerësimi i përditshëm dhe i vazhdueshëm që u bëhet nxënësve (e që shprehet me notë) për pyetjet, kërkesat e detyrat që u jepen në klasë, për detyrat e shtëpisë, për përgjigjet për testet kohëshkurtër etj. Ai ka për qëllim kryesor përmirësimin e cilësisë së të mësuarit dhe jo thjesht kontrollin apo diferencimin e nxënësve. Ky vlerësim duhet përdorur për feedback gjatë procesit të mësimdhënies e të nxënies, sepse gjatë këtij lloj vlerësimi mësuesi nxjerr në pah dhe ndreq në mënyrë të shpejtë dobësitë dhe të metat e nxënësve. Përdorimi i këtij vlerësimi diktohet edhe nga fakti që, siç pranohet gjerësisht, ora e mësimit nuk është e motivuar dhe shpesh herë bëhet e pakëndshme, kur nuk përdoret vlerësimi formues, por pritet të mbarojë kreu dhe pastaj të bëhet vlerësimi (qoftë edhe me teste) i nxënësve. Gjatë vlerësimit formues, duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Duke u mbështetur në rezultatet e vlerësimit formues, mësuesit duhet t’i këshillojnë nxënësit se si të përmirësojnë të nxënit. Format më të përdorshme të vlerësimit formues në matematikë, në gjimnaz janë: ; vlerësimi me notë për pyetjet në tabelë, ; vlerësimi për aktivizim në klasë, gjatë zbatimit të materialit të kaluar dhe parashtrimit të materialit të ri, ; vlerësim për aktivizimin me punën në grupe, ; vlerësim me teste kohëshkurtër për përvetësimin e një teme të caktuar, ; vlerësim për kryerjen e detyrave të shtëpisë.
  53. 53. “Matematika 12” Libër mësuesi52 Vlerësimi formues nuk këshillohet të bëhet me të njëjtën teknikë vlerësimi, sepse nxënësit familjarizohen me të dhe i përgatisin përgjigjet pa i kuptuar çështjet. Mendojmë se është e dobishme praktika e të mësuarit të nxënësve të teknikave për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë dhe të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit gjithashtu të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak. Në lëndën e matematikës në gjimnaz konceptet synohet të formohen nëpërmjet trajtimit të situatave problemore. Itinerari i zotërimit të njohurive është menduar të jetë spiral dhe jo linear; ato mendohen të përvetësohen jo me paraqitjen e tyre të parë dhe as me përsëritje të thjeshtë, por pas plotësimeve dhe thellimeve nëpërmjet rimarrjes aktive. Gjatë vlerësimit formues duhet mbajtur parasysh se aktiviteti matematik i nxënësve në secilin profil përfshin observimin (vëzhgimin), abstragimin, eksperimentimin dhe vërtetimin. Parashtrimi i përmbajtjes së re si rregull duhet të artikulohet me studimin e situatave të larmishme, që shërbejnë si motivim, si çështje që kërkojnë zgjidhje apo si mbështetje e zbatim i këtij parashtrimi dhe nxënësi duhet të vlerësohet, në mënyrë të vazhdueshme për sasinë dhe cilësinë e aktivizimit të tij në këto aspekte (të paktën një herë në 6-7 orë mësimi). Gjatë vlerësimit formues kujdes duhet t’i kushtohet përvetësimit të koncepteve dhe metodave kryesore të lëndës, si bazë e formimit matematik të nxënësve. Në këtë kuadër, gjatë vlerësimit formues duhet të mbajmë parasysh se nuk ka rëndësi riprodhimi i vërtetimit të një teoreme dhe zbatimi mekanik i saj në një situatë standarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbin e saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atë në situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta. Si rregull, në çdo orë mësimi kryhen ushtrime (në radhë të parë zbatime të thjeshta) për të kuptuar thelbin e koncepteve dhe metodave matematike dhe si modele të punës së pavarur në shtëpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhe zbatimet në klasë duhet të zërë jo më pak se 40% të kohës së mësimit. Gjatë shtjellimit të materialit mësimor mësuesi duhet të krijojë situata problemore të strukturuara për të vënë në lëvizje mendimin e pavarur të nxënësit. Strukturimi i pyetjeve të shtruara klasës bën që secili nxënës të angazhohet në punë të pavarur, sipas mundësive të veta, me një kohë të mjaftueshme për të përvetësuar përmbajtjen deri në një nivel të caktuar arritjeje, për të cilin ai mund të vlerësohet edhe në vend. Konceptimi i lëndës dhe mënyra e realizimit të saj duhet të thyejë kornizat tradicionale të orës së mësimit. Trajtimi i materialit të ri mësimor jo rrallë duhet të bëhet me tekst përpara, sepse nxënësit duhet të plotësojnë në të kërkesat që janë lënë qëllimisht pa u plotësuar, të zgjidhin ushtrimet apo të analizojnë shembujt.
  54. 54. Libër mësuesi “Matematika 12” 53 Në shumicën e temave, ora e mësimit duhet të përbëjë një sintezë të dhënies e të kontrollit të njohurive, të vlerësimit të dijeve e shkathtësive (shprehive) dhe vlerave tek nxënësit. Në këtë këndvështrim format tradicionale të kontrollit e të vlerësimit të nxënësve, që janë mbështetur në riprodhimin gojor të materialit mësimor, të lidhur me binomin mësues-nxënës (në tabelë) dhe me një numër të vogël nxënësish të vlerësuar janë të papranueshme. Kontrolli dhe vlerësimi formues i nxënësve duhet të jetë i larmishëm, i lidhur më tepër me veprimtarinë matematike të nxënësve në klasë, jo i mbështetur kryesisht në riprodhimin gojor të materialit mësimor, jo i kufizuar në një interval kohor të caktuar. Ai përfytyrohet i shkrirë me veprimtarinë matematike të nxënësve, duke siguruar pjesëmarrje të plotë të tyre në punë. Mësuesi duhet të jetë vazhdimisht në kontakt me punën e nxënësve në bankë gjatë gjithë orës së mësimit. Ai duhet të vrojtojë e të vlerësojë jo vetëm çka di nxënësi, por si e mëson, si vepron për ta zbatuar, si nxjerr përfundime etj. Në këtë mënyrë, gjatë këtij lloj vlerësimi nxënësi është më i çliruar nga emocionet dhe nga ana tjetër krijohen mundësi më të mëdha për kontakte e ndihmë të diferencuar tek nxënësit. Natyrisht, format e larmishme të kontrollit të shtrirë në trajtimin e materialit të ri (dhe vlerësimi përkatës) nuk përjashtojnë vlerësimin e nxënësit të ngritur në tabelë apo vlerësimin masiv të pjesshëm (me teste të shkurtra). Nxënësi duhet të regjistrojë në kujtesë një sërë faktesh të rëndësishme matematike. Por kjo nuk do të thotë që në të mësuarit e matematikës kujtesa e tij të ngarkohet tej mase me rregulla e formula të ndryshme, kur këto mund të gjenden nga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandaj vlerësimi nuk duhet të bazohet në kujtesën mekanike; të mbahet parasysh se aftësimi i nxënësve për të kërkuar në këto materiale ndihmëse, formulat dhe faktet që nevojiten për zgjidhjen e ushtrimeve ose për vërtetimin e pohimeve të ndryshme, veçanërisht kur ato i përkasin temave të zhvilluara më parë, pasqyron shkallën e formimit matematik të tij dhe duhet vlerësuar. Procedura e vlerësimit Sistemi i vlerësimit që rekomandohet të zbatohet në gjimnaz është krahasimi me standardet e vendosura. Një nga problemet më të shpeshta dhe më të ndërlikuara me të cilat ndeshen aktualisht dhe do të ndeshen deri në një të ardhme të afërt mësuesit në gjimnaz është gjykimi i statusit dhe i përparimit të nxënësit në intervale të ndryshme kohe, vënia e notave. Është e qartë që vlerësimi duhet të ndjekë qëllimet arsimore, objektivat mësimore, objektivat e vlerësimit. Vlerësimi duhet të mbështetet mbi
  55. 55. “Matematika 12” Libër mësuesi54 një sasi të mjaftueshme të dhënash në të cilat duhet të përfshihen edhe këta elementë: -vlerësimi me notë për përgjigjet në tabelë; -vlerësimi i aktivizimit nga vendi; -vlerësimi i ndihmesës gjatë punës në grup; -testet në fund të kapitullit; -testet në fund të semestrit; -testet në fund të vitit; -provimet vjetore; -provimi i pjekurisë; Vlerësimi me notë Siç dihet, nota përdoret për të paraqitur rezultatin e arritjeve dhe të përparimit akademik të nxënësit. Ajo ka për qëllim të dëshmojë për arritjet e nxënësit, për të drejtuar te nxënësit e tij, për të drejtuar zhvillimin vetjak të nxënësit deri në diplomimin e tij, për të informuar prindërit për nivelin e përparimit të fëmijëve të tyre etj. Për këto arsye mendojmë që vlerësimi me notë është i domosdoshëm në gjimnaz. Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljeve disiplinore të nxënësit, por vetëm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar në standarde të caktuara dhe në burime të shumta. Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe aktivizimin në klasë shërben listë-kontrolli. Vlerësimi i punës në grup duhet të mbajë parasysh këta elementë: o ndarja e informacionit me të tjerët; o ndihmesa në ide; o ndjekja e udhëzimeve; o shfaqja e iniciativës gjatë zgjidhjes së problemeve në grup; o dhënia e vlerësimeve për pikëpamjet e të tjerëve.
  56. 56. Libër mësuesi “Matematika 12” 55 Vlerësimi i përgjigjeve me gojë të nxënësve ka qenë dhe mbetet një sfidë për mësuesin. Për të vlerësuar përgjigjen për një pyetje të strukturuar duhet të mbahen parasysh të gjitha kërkesat në të cilat është ndarë ajo dhe peshën e secilës kërkesë. Në hapin e mëtejshëm vlerësohet realizimi i secilës kërkesë, duke përdorur metodën analitike dhe duke u bazuar në një përgjigje ideale të parapërgatitur (e cila gjithashtu strukturohet sipas kërkesave të pyetjes, duke parashikuar pikët e plota të mundshme për secilën kërkesë). Gjatë vlerësimit elementët e të shkruarit duhen vlerësuar jo të ndara nga përmbajtja. Vlerësimi i nxënësit të pyetur në tabelë Nëse kërkojmë që të pyeturit e një nxënësi në tabelë në lëndën e matematikës të plotësojë synimet e një vlerësimi formues për të, duke qenë edhe në dobi të formimit matematik të klasës, duhet të mbahen parasysh disa kërkesa: 1. Pyetja (çështja që pyetet) duhet të jetë e ndryshme nga ajo që punon klasa në mënyrë të pavarur, por të ketë lidhje me ato çështje që po kontrollohen për klasën. 2. Të kërkojë kohë jo të madhe për t’u zgjidhur (jo më shumë së 10-15 minuta). 3. Të paraqesë interes për klasën dëgjimi i përgjigjes. 4. Të ketë kërkesa jo vetëm për kontrollin e njohurive të kaluara, por të trajtojnë edhe elementë të materialit të ri (në trajtën e punës krijuese të nxënësit). 5. Disa elementë të përgjigjes së nxënësit në tabelë duhet të ndiqen (të dëgjohen) nga klasa (edhe sikur për këtë asaj t’i duhet të ndërpresë punën e vet). 6. Korrigjimet eventuale t’i kërkohen nxënësit për t’i kthyer vetë fillimisht. 7. Vlerësimi i nxënësit me notë mund të bëhet për këtë ushtrim ose duke i dhënë akoma pyetje plotësuese në bangë. Vlerësimi i përgjigjes së nxënësit të pyetjeve në tabelë bëhet në bazë të gjykimit vetjak të mësuesit, por mbi bazën e standardeve të arritjes. Për të patur një vlerësim objektiv është mirë që pyetja të strukturohet në një numër të kufizuar kërkesash. Vlerësimi i përgjigjes të dhënë nga nxënësi që pyetet në tabelë ka si anë pozitive sepse lejon të maten aftësitë për arsyetim matematik (evidentimi i marrëdhënieve shkak-pasojë; zbatimi i aksiomave, teoremave dhe përdorimi i përkufizimeve gjatë argumentimit; aftësimi për të ngritur hipoteza dhe për t’i kontrolluar ato; nxjerrja e përfundimeve; vetëvlerësimi i arsyetimit të ndjekur) si dhe aftësitë për të komunikuar me gojë dhe me shkrim.

×