Matematika 12 pegi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matematika 12 pegi

on

  • 4,493 views

 

Statistics

Views

Total Views
4,493
Views on SlideShare
4,493
Embed Views
0

Actions

Likes
2
Downloads
39
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Matematika 12 pegi Matematika 12 pegi Document Transcript

    • LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA Edmond Lulja Neritan Babamusta Prof.dr.Shpëtim Bozdo Për klasën e 12-të të arsimit të mesëm të përgjithshëm
    • Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2011 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese “Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi. Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 pegi@icc-al.org Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 shtypshkronjapegi@yahoo.com
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 3 Përmbajtja Disa orientime për zbatimin në praktikë të programit dhe tekstit “Matematika 12” Planifikimi lëndor vjetor nga mësuesi Objektivat sipas krerëve (në tre nivele) Mbi organizimin e punës në klasë Puna mbi projektet kurrikulare Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës Udhëzime për zhvillimin e mësimeve " Kreu 1 Vazhdueshmëria e funksionit " Kreu 2 Derivati i funksionit " Kreu 3. Zbatime të derivateve " Kreu 4 Vijat e gradës së dytë. Rrethi dhe elipsi " Kreu 5 Vijat e gradës së dytë. Hiperbola dhe parabola " Kreu 6 Integrali i pacaktuar " Kreu 7 Integrali i caktuar " Kreu 8 Kombinatorikë. Probabilitet. Statistikë Horizonti i mësuesit " Probleme të kurrikulës së matematikës në shkollën e mesme dhe aspektet historike të tyre
    • “Matematika 12” Libër mësuesi4 Disa orientime për zbatimin në praktikë të programit dhe tekstit “Matematika 12” Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 12 (pjesa e kurrikulës bërthamë), është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së dhjetë dhe të njëmbëdhjetë). Nga programi mësimor i klasës 12 ) Synimi i lëndës Lënda e matematikës në gjimnaz synon të japë ndihmesë në zhvillimin vetjak të nxënësit/es ta aftësojë atë për të përdorur lehtësisht dhe në mënyrë organike në fushat e tjera të të nxënit, njohuritë dhe shprehitë matematike, metodat matematike, arsyetimin matematik WD SDMLVs Q[sQsVin/en me njohuri dhe shprehi matematike të nevojshme për jetën dhe për arsimim të mëtejshëm Ws NXMGHVHW SsU të plotësuar nevojat dhe shprehitë e individit në përputhje me kërkesat e shoqërisë. ) Objektiva të përgjithshëm Në përfundim të gjimnazit, në lëndën e matematikës, nxënësi/ja duhet: ª të përdorë matematikën si një mjet në jetën e përditshme dhe në veprimtari shoqërore ª të besojë në aftësitë, shprehitë dhe në gjykimin e tij/saj ª të jetë kurajoz dhe i vullnetshëm për t’u përfshirë në një të nxënë eksperimentues, zbulues dhe krijues ª të mendojë në mënyrë logjike dhe kritike ª të përdorë lidhjet brenda lëndës së matematikës, si dhe lidhjet e saj me fusha të tjera ª të zotërojë njohuri e shprehi matematike të nevojshme për të vazhduar studimet e mëtejshme në çdo fushë;
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 5 ª të zotërojë shprehitë e punës së pavarur, sistematike dhe të saktë; ª të ketë kureshtje dhe imagjinatë të zhvilluar; ª të modelojë matematikisht situata të jetës së përditshme; ª të përdorë figurat, formulat, modelet në mbështetje të të menduarit ª të komunikojë qartë dhe saktë, duke përdorur fjalorin dhe simbolet; ª të jetë i motivuar për ta studiuar matematikën si fushë që ka rëndësi për jetën sociale dhe profesionale. ) Sasia e orëve lëndore Në klasën e 12të , lënda e matematikës së kurrikulës bërthamë, zhvillohet me 4 orë në javë. (34 javë x 4 orë/javë = 136 orë vjetore). Rreth 23 orë do të shpenzohen për përgatitje për provimin e maturës dhe për projekte kurrikulare. ) Linjat e programit Linja 1. Gjeometria. Orë të sugjeruara: 30 Linja 2. Njehsimi diferencial e integral. Orë të sugjeruara: 60 Linja 3. Statistikë, kombinatorikë, probabilitet. Orë të sugjeruara: 19 Linja 4. Zbatime të matematikës në fusha të tjera dhe njohuri mbi evolucionin e matematikës. Orë të sugjeruara 11 Linja 5. Proceset matematike e integruar në linjat e tjera Shënim. Rreth 8 orë, shpërndarë në linja të ndryshme, do të përdoren për projekte kurrikulare. Veç kësaj një sasi prej rreth 16 orësh do të përdoret për përsëritjen për maturë.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi6 Planifikimi lëndor vjetor nga mësuesi Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime: Së pari, programet e matematikës, duke filluar nga klasa e parë e ciklit të ulët janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur është i ndarë në 10 kapituj (një kapitull është për përsëritjen për provimin e maturës). Në të e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. ) Shpërndarja e orëve në tekst, sipas kapitujve dhe linjave, jepet në tabelën e mëposhtme: KREU ORËT SIPAS KREUT LINJA PËRKATËSE ORËT SIPAS LINJAVE 1. Vazhdueshmëria e funksionit 8 Linja 2 8 2. Derivati i funksionit 16 Linja 2 16 3. Zbatime të derivateve 15 Linja 2 15 4. Rrethi dhe elipsi 15 Linja 1 15 5. Hiperbola dhe parabola 14 Linja 1 14 6. Integrali i pacaktuar 9 Linja 2 9 7. Integrali i caktuar 8 Linja 2 8 8. Kombinatorikë. Probabilitet. Statistikë 18 Linja 3 18 9. Zbatime të matematikës në fushat e tjera dhe njohuri mbi evolucionin e matematikës. 10 Linja 4 10 10. Përsëritje për provimin e maturës 15 Shpërndarë sipas linjave 15 Projekte kurrikulare 8 Shpërndarë nëpër linjat 8 SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE 136 SHUMA E ORËVE SIPAS LINJAVE 136
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 7 Në tekst, siç shihet, figuron edhe një kapitull i veçantë për realizimin e përsëritjes lëndore në kuadrin e përgatitjes për provimin e maturës. Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave ose pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema ose fjali, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës, vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend ose përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston ne zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “zbulon” në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemave, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Ajo është pjesë e rëndësishme e procesit të përpunimit të njohurive. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime. Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemave të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “më mirë të zgjidhet një problem në dhjetë mënyra se sa të zgjidhen dhjetë problema të ndryshëm” tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të
    • “Matematika 12” Libër mësuesi8 planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është i ndarë në njësi mësimore, aq sa janë edhe orët sipas linjave. Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi përcakton për lëndën, pra 136 orë. Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë ose realizojë vetëm disa prej tyre ose edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 9 Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti Përshkrimi i komponentit Niveli I-rë i arritjeve Niveli i II-të i arritjeve Niveli i III-të i arritjeve Njohuritë matematike Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit). Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë. Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme. Aftësitë matematike Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim. Shfaqje e kufizuar e aftësive. Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura. Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur. Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë Shfaqje të kufizuara. Shfaqje solide. Shfaqje të avancuara. Qëndrimet dhe vlerat Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave. Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave. Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore. Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi10 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tri kategorive kryesore: (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: " me ndihmën e mësuesit; " me anën e një numri të kufizuar metodash; " me gabime ose me mangësi të shumta. Nxënësi përdor arsyetime matematike: " me ndihmën e mësuesit; " që janë nga më të thjeshtat; " me gabime ose mangësi. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: " me ndihmën e mësuesit; " me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë; " duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: " me ndihmë të kufizuar të mësuesit; " me anën e një numri jo të madh strategjish bazale; " me gabime ose me mangësi të pjesshme. Nxënësi përdor arsyetime matematike: " me një ndihmë të kufizuar të mësuesit; " të përshtatshme për zgjidhjen e problemave; " me disa gabime ose mangësi të vogla. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: " në mënyrë të pavarur; " me një farë qartësie e saktësie në terminologji; " duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 11 Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: " në mënyrë të pavarur; " duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të; " zakonisht me saktësi. Nxënësi përdor arsyetime matematike: " në mënyrë të pavarur; " të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: " në mënyrë të pavarur; " qartë dhe saktë; " duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi12 PËRMBAJTJA E LËNDËS NË TEKST KREU 1 VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT 1.1 Përsëritje. Limitet e funksioneve kur xof. 1.2 Përsëritje. Limitet e funksioneve kur xoa. 1.3 Limitet e njëanshme. 1.4 Përkufizimi i funksionit të vazhdueshëm. 1.5 Veprimet me funksionet e vazhdueshëm. 1.6 Vazhdueshmëria e funksioneve të zakonshëm. 1.7 Veti të funksioneve të vazhdueshëm në një segment. Zbatoni njohuritë tuaja 1.8 Testim KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT 2.1 Probleme që çojnë në kuptimin e derivatit. 2.2 Derivatet e funksioneve të thjeshta. 2.3 Derivati si shpejtësi e ndryshimit të funksionit. 2.4 Mënyrë tjetër për gjetjen e derivatit. 2.5 Rregullat e derivimit. 2.6 Rregullat e derivimit. 2.7 Përafrimet e funksioneve. 2.8 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.9 Tangjentja në një pikë të vijës. Kuptimi gjeometrik i derivatit. 2.10 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.11 Derivatet e funksioneve logaritmik, fuqi, eksponencial, trigonometrikë. 2.12 Derivatet e rendit të dytë. Diferenciali. Zbatoni njohuritë tuaja 2.13 Derivati i funksionit të përbërë. 2.14 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.15 Ushtrime për përpunim të njohurive. 2.16 Testim
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 13 KREU 3 ZBATIME TË DERIVATEVE 3.1 Teorema Ferma. Teorema e Lagranzhit. 3.2 Studimi i monotonisë së funksionit. 3.3 Zbatime për përpunim të njohurive. 3.4 Kushte të mjaftueshme të ekzistencës së ekstremumeve. 3.5 Zbatime për përpunim të njohurive. 3.6 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit të vazhdueshëm. 3.7 Probleme në kërkim të vlerës më të madhë (më të vogël) të funksionit. 3.8 Problema për përpunim të njohurive. Zbatoni njohuritë tuaja 3.9 Përkulshmëria e vijës. Pikat e infleksionit. 3.10 Variacioni i funksionit y=ax2 +bx+c. 3.11 Variacioni i funksionit y=ax3 +bx2 +cx+d. 3.12 Variacioni i funksionit y=ax4 +bx2 +c. 3.13 Variacioni i funksionit ax b y cx d   3.14 Ushtrime për përpunim të njohurive. 3.15 Testim KREU 4 VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI 4.1 Përkufizimi i rrethit dhe ekuacioni i tij. 4.2 Raste të veçanta të ekuacionit të rrethit. 4.3 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.4 Ekuacioni i tangjentes dhe pingules në një pikë të rrethit. 4.5 Kushti i tangjencës së drejtëzës me rrethin. 4.6 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.7 Elipsi dhe ekuacioni i tij. 4.8 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.9 Jashtëqendërsia e elipsit. 4.10 Rrezet vatrore të elipsit.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi14 4.11 Vijat drejtuese të elipsit. 4.12 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe elipsit. 4.13 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të elipsit. Zbatoni njohuritë tuaja 4.14 Ushtrime për përpunim të njohurive. 4.15 Testim KREU 5 VIJAT E GRADËS SË DYTË. HIPERBOLA DHE PARABOLA 5.1 Hiperbola dhe ekuacioni i saj. 5.2 Jashtëqendërsia e hiperbolës. Hiperbola barabrinjëse. 5.3 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.4 Rrezet vatrore dhe vijat drejtuese të hiperbolës. 5.5 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe hiperbolës. 5.6 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të hiperbolës. 5.7 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.8 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e abshisave. 5.9 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e ordinatave. 5.10 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe parabolës. 5.11 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të parabolës. 5.12 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.13 Ushtrime për përpunim të njohurive. 5.14 Testim KREU 6 INTEGRALI I PACAKTUAR 6. 1 Kuptimi i integralit të pacaktuar. 6. 2 Veti të integralit të pacaktuar. Zbatoni njohuritë tuaja 6. 3 Metoda e zëvendësimit. 6. 4 Metoda e zëvendësimit (vazhdim). 6. 5 Metoda e integrimit me pjesë. 6. 6 Ushtrime për përpunim të njohurive.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 15 6. 7 Integrimi i thyesave racionale. Zbatoni njohuritë tuaja 6. 8 Metoda të kombinuara integrimi. 6. 9 Ushtrime për përpunim të njohurive. KREU 7 INTEGRALI I CAKTUAR 7.1 Kuptimi i integralit të caktuar. 7.2 Veti të integralit të caktuar. 7.3 Ushtrime për përpunim të njohurive. 7.4 Llogaritja e sipërfaqeve. 7.5 Llogaritja e sipërfaqeve. 7.6 Llogaritja e sipërfaqeve. 7.7 Ushtrime për përpunim të njohurive. 7.8 Testim KREU 8 KOMBINATORIKË. PROBABILITET. STATISTIKË 8.1 Përsëritje. Parimi i mbledhjes dhe shumëzimit. Përkëmbimet. Dispozicionet. 8.2 Përsëritje. Kombinacionet. 8.3 Veti të koeficientëve binomialë. Zbatoni njohuritë tuaja. 8.4 Probabiliteti. 8.5 Ushtrime për përpunim të njohurive. 8.6 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve. 8.7 Probabiliteti i prerjes së ngjarjeve. 8.8 Ushtrime për përpunim të njohurive. 8.9 Ushtrime për përpunim të njohurive. 8.10 Tabelat me dy ndryshore. 8.11 Përsëritje. Mesatarja dhe dispersioni. 8.12 Ndryshoret e rastit. 8.13 Ndryshoret e rastit (vazhdim) 8.14 Ushtrime për përpunim të njohurive.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi16 8.15 Funksioni i shpërndarjes. 8.16 Pritja matematike. 8.17 Shmangia mesatare katrore. Dispersioni. 8.18 Ushtrime për përpunim të njohurive. KREU 9 ZBATIME TË MATEMATIKËS NË SHKENCAT E TJERA 9.1 Funksioni në shkencat e natyrës. 9.2 Lëkundja harmonike. 9.3 Kërkesa dhe oferta. 9.4 Funksioni në modelimet ekonomike. 9.5 Kuptimi mekanik i derivatit të funksionit. 9.6 Kuptimi mekanik i derivatit të dytë të funksionit. 9.7 Interpretimi ekonomik i derivatit. 9.8 Vetitë optike të konikeve. 9.9 Problema zbatimi. 9.10 Problema zbatimi. Zbatoni njohuritë tuaja KREU 10 PËRGATITJA PËR PROVIMIN E MATURËS 11. Projektet kurrikulare
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 17 OBJEKTIVAT SIPAS KRERËVE (NË TRE NIVELE) KREU 1 VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: " Të dallojnë nga grafiku nëse kemi Dox lim f(x)= E , ku D është  ff aa ,,, , kurse E është A,, ff ( RA ). " Të skicojnë grafikë funksionesh që gëzojnë vetinë e mësipërme. " Të gjejnë limitet e njëanshme, kur ax o të një polinomi apo funksioni racional konkret. " Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të dhënë në trajtën y= ¯ ® ­  ! axpërxg axpërxf )( )( , ku f(x), g(x) janë polinome apo shprehje racionale të thjeshta. " Të përcaktojnë për funksione të trajtës së mësipërme, nëse kanë limit kur ax o , duke krahasuar limitet e njëanshme. " Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion konkret është i vazhdueshëm për x=a. " Të dallojnë nëse një funksion i dhënë grafikisht është i vazhdueshëm në ]a, b[. " Të dallojnë nëse një funksion i thjeshtë, i dhënë me një formulë të vetme, është i vazhdueshëm për x=a. " Kur f(x), g(x) janë polinome apo shprehje racionale të thjeshta, të dallojnë nëse funksioni y= ¯ ® ­  t axpërxg axpërxf )( )( është i vazhdueshëm për x=a. " Të përdorin në raste të thjeshta teoremat mbi veprimet me funksionet e vazhdueshëm. " Të dallojnë nëse një funksion i dhënë është i zakonshëm. " Të japin shembuj funksionesh të zakonshëm. " Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksioneve të zakonshëm shumë të thjeshtë. " Të gjejnë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion i zakonshëm shumë i thjeshtë.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi18 " Të gjejnë limitin e një funksioni të vazhdueshëm të thjeshtë në një pikë të bashkësisë së përcaktimit. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë saktë përkufizimet e koncepteve kryesore. " Të riprodhojnë saktë e me argumentim vërtetimet e teoremave të dhëna në tekst. " Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të thjeshta të trajtës y= ¯ ® ­  t axpërxg axpërxf )( )( , kur kemi të bëjmë me forma të pacaktuara të thjeshta. " Të përcaktojnë nëse funksionet e sipërpërmendura janë të vazhdueshëm në pikën x=a. " Të gjejnë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion i zakonshëm. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të trajtës y= ¯ ® ­  t axpërxg axpërxf )( )( , kur kemi të bëjmë me forma të pacaktuara jo standarde. " Të përcaktojnë nëse funksionet e trajtës së mësipërme janë të vazhdueshëm për x=a. " Të shkruajnë në mënyrë të përshtatshme një funksion të dhënë kompleks (me anë të veprimeve aritmetike apo përbërjes) për të konkluduar që ai është i vazhdueshëm për x=a. " Të gjejnë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion i zakonshëm jo standard. " Të nxjerrin nga teoremat e njohura rrjedhime logjike dhe t’i vërtetojnë ato. " Të studiojnë shenjën e një funksioni të thjeshtë të vazhdueshëm në [a, b].
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 19 KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë, për funksione shumë të thjeshtë(y=ax+b, y=ax2 +b), derivatin në pikën a, sipas përkufizimit për f ’(a). " Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në zbatime direkte formulat për derivatet e funksioneve: y=ax+b, y=ax2 +bx+c, y= x a , y= xa . " Të gjejnë shpejtësinë e çastit për pikën materiale që kryen lëvizje drejtvizore sipas boshtit Ox, në bazë të një ligji të thjeshtë të njohur. " Të gjejnë shpejtësinë e ndryshimit të madhësisë y, me ndryshimin e x, kur varësia e y nga x jepet me një formulë të thjeshtë. " Nëse f nuk është i vazhdueshëm në pikën x=a, të konkludojnë që f ’(a) nuk ekziston. " Të japin shembuj funksionesh të vazhdueshëm në a, që nuk kanë derivat në pikën a. " Të zbatojnë teoremat mbi derivatin e shumës, prodhimit, raportit, fuqisë për të gjetur, sipas formulave të njohura, derivatin në pikën x të funksioneve të thjeshtë. " Të gjejnë derivatin në pikën x të polinomit konkret me fuqi të çfarëdoshme. " Të përcaktojnë nëse pika a i përket bashkësisë së përcaktimit të funksionit racional thyesor dhe pastaj të gjejnë derivatin e këtij funksioni për x=a. " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut të një funksioni të thjeshtë në pikën x=a. " Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në zbatimet direkte formulat për derivatin në pikën x të funksioneve: y= xogaA , y= nxA , y= x a , y= x e , y=sinx, y=cosx, y=tgx. " Të njehsojnë derivatin e dytë të një funksioni shumë të thjeshtë në pikën x apo në një pikë të dhënë. " Të njehsojnë nxitimin e pikës materiale që kryen lëvizje sipas Ox në bazë të një ligji shumë të thjeshtë të njohur. " Të njehsojnë diferencialin e një funksioni të thjeshtë të derivueshëm në pikën x. " Të gjejnë derivatin në pikën x të funksionit të përbërë me dy hallka.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi20 " Të fiksojnë në kujtesë formulat për derivatet e funksioneve të përbërë kryesorë në trajtën y’(x)= )(')(' xuufu ˜ , p. sh.
    • ' sin xu =cosu·u’(x) etj. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë, sipas përkufizimit, derivatin në pikën x për funksionin: y=ax2 +bx+c, y=ax3 , y= x a , y= xa . " Të gjejnë shpejtësinë e çastit për pikën materiale që kryen lëvizje sipas boshtit Ox, në bazë të ligjit x=f(t), ku f-funksion i zakonshëm. " Të gjejnë për funksione të thjeshtë f ’(a) si axo lim ax afxf   )()( . " Të interpretojnë gjeometrikisht mosekzistencën e f ’(a) kur f nuk është i vazhdueshëm në x=a. " Të riprodhojnë vërtetimet për teoremat e paraqitura në tekst, që shprehin rregullat e derivimit. " Të nxjerrin prej tyre rrjedhime të thjeshta dhe t’i vërtetojnë ato. " Të përdorin rregullat e derivimit për të gjetur derivatet në pikën x të funksioneve të zakonshëm. " Të vërtetojnë barazimin e përafërt f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta. " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut të funksionit f në pikën a, kur f është funksion i zakonshëm. " Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion nuk ka derivat në pikën x=a. " Të përdorin formulat për derivatet e funksioneve logaritmikë, fuqi, eksponencialë, trigonometrikë në situata të thjeshta praktike, sidomos kur shqyrtohet shpejtësia e një procesi apo tangjentja ndaj një vije transhendente. " Të riprodhojnë vërtetimet e dhëna në tekst për disa teorema për derivatet e këtyre funksioneve. " Të njehsojnë derivatin e dytë në një pikë x për një funksion të zakonshëm. " Të njehsojnë nxitimin e pikës materiale që lëviz sipas Ox në bazë të ligjit x=f(t), ku f-funksioni i zakonshëm.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 21 " Të vërtetojnë e të kryejnë shndërrime të thjeshta të diferencialit. [p. sh. )( 1 cxd c dx ; )( 2 1 2 xdxdx etj. ] " Të gjejnë derivatin në pikën x për një funksion të përbërë me tri hallka. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të përdorin faktin që shpejtësia e ndryshimit të y me ndryshimin e x, kur y=f(x) jepet nga f ’(x), në situata reale komplekse e jo standarde. " Të gjejnë f ’(x) si axo lim ax afxf   )()( në raste jo standarde. " Të vërtetojnë teoremën mbi derivatin e raportit. " Të zbatojnë barazimin e përafërt f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) në raste komplekse e jo standarde. " Të zgjidhin problema me kuptimin gjeometrik të derivatit në situata jo standarde. " Të nxjerrin me vërtetim formulat për derivatet e të gjitha funksioneve trigonometrikë. " Të njehsojnë derivatin e dytë të funksioneve të përbërë të thjeshtë dhe ta përdorin atë në situata matematike e reale jo standarde. " Të gjejnë derivatin në pikën x për funksione të përbërë me më shumë se tri hallka. Të zbatojnë njohuritë në situata reale e matematikore jo standarde. KREU 3 ZBATIME TË DERIVATEVE Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka ekstremum për x=a. " Të përcaktojnë intervalet e monotonisë për funksione shumë të thjeshtë (si polinomet e fuqisë II-III), nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit. " Të gjejnë ekstremumet e një funksioni shumë të thjeshtë të derivueshëm (si polinomet e fuqisë II-III) në një interval.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi22 " Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) në segment për funksione shumë të thjeshtë të derivueshëm (si polinomet e fuqisë II-III). " Të modelojnë matematikisht situata shumë të thjeshta (reale apo matematikore) me kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël). " Të zbatojnë në këto situata metodën e përgjithshme të zgjidhjes, që është analizuar në tekst (duke ndjekur hapat sipas radhës). " Të studiojnë përkulshmërinë e grafikut dhe të gjejnë pikat e infleksionit për funksione shumë të thjeshtë (si polinomet e fuqisë II-III), nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të dytë. " Të studiojnë, sipas metodës me 9 hapa, variacionin e një funksioni të fuqisë II dhe të skicojnë grafikun e tij. " Të ndërtojnë tabelën e variacionit të një funksioni në bazë të grafikut të njohur të tij. " Të studiojnë variacionin dhe të skicojnë grafikun e një funksioni të thjeshtë të fuqisë III (kur gjenden lehtë pikëprerjet me boshtin Ox). " Të shkruajnë ekuacionet e asimptotave të një funksioni homografik. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Për funksione të thjeshtë të derivueshëm në I të gjejnë pikën c, që vërteton barazimin e Lagranzhit f(b)-f(a)=f ’(c)·(b-a). " Të bëjnë interpretimin gjeometrik të teoremës së Lagranzhit. " Të përcaktojnë intervalet e monotonisë për funksione të thjeshtë të derivueshëm (përfshirë funksionet racionalë) apo të trajtës y= 2 2 rax x a . " Të gjejnë ekstremumet e funksioneve të tillë. " Të përdorin në raste të thjeshta (përfshirë funksionet trigonometrikë) teoremat për gjetjen e ekstremumeve, duke përdorur derivatin e dytë. " Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) për një funksion të thjeshtë të derivueshëm në segment (përfshirë funksione racionalë e të trajtës y= dcxbxax 2 ). " Të modelojnë matematikisht situata të thjeshta (reale apo matematikore) me kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël).
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 23 " Të studiojnë për funksione të thjeshtë (përfshirë funksione homografikë apo të trajtës y= 2 2 x x ar ) përkulshmërinë e grafikut nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të dytë. " Të gjejnë pikat e infleksionit për funksione të tillë. " Të studiojnë variacionin e një funksioni çfarëdo të fuqisë III ose IV, me anë të metodës me 9 hapa. " Të ndërtojnë grafikun e një funksioni të tillë. " Të studiojnë variacionin dhe të ndërtojnë grafikun e një funksioni homografik y= dcx bax   . " Të skicojnë grafikun e një funksioni çfarëdo, kur njohin tabelën e variacionit të tij. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të nxjerrin dhe të vërtetojnë rrjedhime logjike të teoremës së Lagranzhit. " Të studiojnë monotoninë e një funksioni të zakonshëm, nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit. " Të gjejnë ekstremumet e një funksioni të zakonshëm, duke përdorur derivatin e parë apo të dytë. " Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) në I për një funksion të zakonshëm të derivueshëm në të. " Të studiojnë përkulshmërinë e grafikut dhe të gjejnë pikat e infleksionit për një funksion të zakonshëm. " Të interpretojnë grafikisht numrin dhe shenjat e rrënjëve reale të ekuacionit f(x)=m, ku f-polinom deri tek fuqia IV apo funksion racional i thjeshtë. " Të përcaktojnë nëse pika C (a, b) është qendër simetrie për grafikun e një funksioni të dhënë f. " Të përcaktojnë nëse drejtëza x=a është bosht simetrie për grafikun e një funksioni të dhënë f. " Të modelojnë matematikisht situata të reja e jo standarde me kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi24 KREU 4 RRETHI DHE ELIPSI Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të përshkruajnë kuptimin e ekuacionit të vijës në planin kartezian. " Të dallojnë drejtëzën si vijë që në planin kartezian paraqitet me një ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore. " Të shkruajnë ekuacionin e rrethit kur njihet qendra e tij C (a, b) dhe rrezja r. " Për rrethin x2 +y2 =r2 të përshkruajnë veti të thjeshta (qendra, boshtet e simetrisë, prerjet me boshtet koordinativë). " Të përcaktojnë pozicionin e një pike me koordinata të dhëna në lidhje me rrethin x2 +y2 =r2 . " Të gjejnë prerjen e rrethit x2 +y2 =r2 me një drejtëz. " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në një pikë të rrethit x2 +y2 =r2 dhe ta përdorin në raste të thjeshta. " Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me rrethin x2 +y2 =r2 në raste te thjeshta. " Të përshkruajnë vetinë vatrore të elipsit. " Të shkruajnë ekuacionin e elipsit me qendër origjinën e koordinatave dhe me boshte simetrie Ox, Oy, kur njihen gjysmëboshtet; kur njihet një nga boshtet dhe largësia vatrore. " Të gjejnë për elipsin me ekuacion kanonik 12 2 2 2  b y a x pikëprerjet me boshtet; qendrën; boshtet e simetrisë; vatrat. " Të gjejnë për elipsin 12 2 2 2  b y a x jashtëqendërsinë dhe ekuacionet e vijave drejtuese. " Të skicojnë elipsin 12 2 2 2  b y a x dhe të shqyrtojnë si ndryshon forma e tij kur ndryshon jashtëqendërsia. " Të gjejnë abshisat (ordinatat) e pikave të elipsit kur njihet ordinata (abshisa). " Të gjejnë prerjet e elipsit 12 2 2 2  b y a x me drejtëzën y=kx.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 25 " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj elipsit 12 2 2 2  b y a x në një pikë të tij dhe ta përdorin në raste të thjeshta. " Të përdorin në raste të thjeshta kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 12 2 2 2  b y a x . Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të identifikojnë grafikun e një funksioni numerik f si vijë me ekuacion y=f(x). " Të argumentojnë mënyrën për gjetjen e pikëprerjes së dy vijave me ekuacione të dhëna. " Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e rrethit kur njihet qendra dhe rrezja e tij. " Të gjejnë, kur ekuacioni i rrethit jepet në trajtën x2 +y2 +ax+by+c=0, qendrën dhe rrezen. " Të gjejnë prerjen e rrethit (x-a)2 +(y-b)2 =r2 me një drejtëz (në veçanti, prerjet me boshtet koordinativë). " Të studiojnë vetitë e thjeshta (simetri, vendndodhje) për rrethin (x-a)2 +(y-b)2 =r2 . " Të vërtetojnë saktë kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me rrethin x2 +y2 =r2 . " Të japin saktë përkufizimin e elipsit sipas vetisë vatrore. " Të shkruajnë ekuacionin e elipsit 12 2 2 2  b y a x , kur njihen dy pika të tij. " Të riprodhojnë vetitë e thjeshta, të dhëna në tekst, për simetrinë, vendndodhjen dhe formën e elipsit 12 2 2 2  b y a x . " Të gjejnë prerjen e elipsit 12 2 2 2  b y a x me drejtëzën Ax+By+C=0. " Të përshkruajnë vetinë e vijës drejtuese të elipsit.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi26 " Të përdorin në raste të thjeshta formulat për rrezet vatrore të një pike të elipsit 12 2 2 2  b y a x . " Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e tangjentes në një pikë të elipsit 12 2 2 2  b y a x . " Të nxjerrin me vërtetim kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 12 2 2 2  b y a x e ta përdorin në situata të zakonshme. " Të ndërtojnë praktikisht elipsin me vatra të dhëna e bosht të madh të dhënë. " T’i përdorin njohuritë për modelimin matematik dhe zgjidhjen e problemave të thjeshta nga jeta reale, shkencat e zbatuara dhe vetë matematika. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë në trajta të njëvlershme disa nga teoremat kryesore, duke bërë edhe vërtetimet përkatëse. " Të përcaktojnë kushtet për të cilat ekuacioni x2 +y2 +ax+by+c=0 paraqet rreth. " Të bëjnë studim të plotë për pozitën reciproke të dy rrathëve me qendra e rreze të njohura. " Të shkruajnë ekuacionin kanonik të elipsit 12 2 2 2  b y a x , kur jepen elementë çfarëdo përcaktues të tij. " Të përcaktojnë pozicionin e një pike me koordinata të dhëna lidhur me elipsin 12 2 2 2  b y a x . " Të gjejnë ekuacionin e tangjentes nga një pikë jashtë elipsit 12 2 2 2  b y a x . " Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 12 2 2 2  b y a x në situata të reja, jo standarde.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 27 " Të zgjidhin problema me gjetje të ekuacioneve të vijave të dhëna me kushte gjeometrike, në rastet kur këto vija dalin rrathë apo elipsa. " T’i përdorin njohuritë për modelim dhe zgjidhje të situatave të reja, jo standarde, nga jeta, shkencat e zbatuara dhe matematika. KREU 5 HIPERBOLA DHE PARABOLA Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të përcaktojnë nëse një pikë me koordinata të njohura ndodhet në një vijë me ekuacion të njohur. " Të përshkruajnë vetinë vatrore të hiperbolës. " Të shkruajnë ekuacionin kanonik të hiperbolës 12 2 2 2  b y a x , kur njihen: a) gjysmëboshtet; b) njëri nga boshtet dhe largësia vatrore; c) njëri nga boshtet dhe ekuacionet e asimptotave. " Të gjejnë abshisat (ordinatat) e pikave të hiperbolës 12 2 2 2  b y a x , kur njihet ordinata (abshisa) e tyre. " Të gjejnë, për hiperbolën me ekuacion kanonik 12 2 2 2  b y a x , pikëprerjet me boshtet, boshtet e simetrisë, vatrat, ekuacionet e asimptotave. " Të gjejnë për hiperbolën 12 2 2 2  b y a x jashtëqendërsinë dhe ekuacionet e vijave drejtuese. " Të skicojnë hiperbolën 12 2 2 2  b y a x dhe të shqyrtojnë si ndryshon forma e saj kur ndryshon jashtëqendërsia.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi28 " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes ndaj hiperbolës 12 2 2 2  b y a x në një pikë të saj dhe ta përdorin në raste të thjeshta. " Të përdorin në raste të thjeshta kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 12 2 2 2  b y a x . " Të përshkruajnë vetinë e vijës drejtuese të parabolës. " Të shkruajnë ekuacionin e parabolës me kulm në origjinë e bosht simetrie Ox kur njihet: a) vatra; b) ekuacioni i vijës drejtuese; c) një pikë. " Të bëjnë të njëjtën gjë për parabolën me kulm në origjinë e bosht simetrie Oy. " Të gjejnë, në bazë të ekuacionit të dhënë të parabolës (y2 =2px apo x2 =2py) vatrën, vijën drejtuese, boshtin e simetrisë. " Të skicojnë parabolën dhënë me ekuacion y2 =2px apo x2 =2py. " Të gjejnë për pikën e parabolës y2 =2px apo x2 =2py njërën nga koordinatat, kur njihet koordinata tjetër. " Të gjejnë pikat e prerjes së parabolës (y2 =2px apo x2 =2py) me një drejtëz me ekuacion të dhënë. " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në një pikë të parabolës(y2 =2px apo x2 =2py) dhe ta përdorin në raste të thjeshta. " Të përdorin në raste të thjeshta kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën (y2 =2px apo x2 =2py). Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin saktë përkufizimin e hiperbolës sipas vetisë vatrore. " Të shkruajnë ekuacionin e hiperbolës 12 2 2 2  b y a x , kur njihen: a) dy pika; b) largesa vatrore dhe ekuacionet e asimptotave;
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 29 c) një pikë dhe ekuacionet e asimptotave. " Të riprodhojnë vetitë e thjeshta, të dhëna në tekst, për simetrinë, vendndodhjen dhe formën e hiperbolës 12 2 2 2  b y a x . " Të përshkruajnë vetinë e vijës drejtuese të hiperbolës 12 2 2 2  b y a x . " Të përdorin në raste të thjeshta veti të veçanta të hiperbolës barabrinjëse 2 2 2 2 1 x y a a  . " Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në raste të thjeshta formulat për rrezet vatrore të një pike të hiperbolës 12 2 2 2  b y a x . " Të nxjerrin me vërtetim ekuacionet e tangjentes në një pikë të hiperbolës 12 2 2 2  b y a x . " Të nxjerrin me vërtetim kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 12 2 2 2  b y a x e ta përdorin në situata të zakonshme. " Të japin saktë përkufizimin e parabolës sipas vetisë së vijës drejtuese. " Të riprodhojnë vetitë e thjeshta, të dhëna në tekst, për simetrinë, vendndodhjen dhe formën e parabolës y2 =2px. " Të bëjnë të njëjtën gjë për parabolën x2 =2py. " Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e tangjentes në një pikë të parabolës (y2 =2px apo x2 =2py). " Të nxjerrin me vërtetim kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën (y2 =2px apo x2 =2py) e ta përdorin në situata të zakonshme. " T’i përdorin njohuritë për modelimin matematik dhe zgjidhjen e problemeve të thjeshta nga jeta reale, shkencat e zbatuara dhe vetë matematika. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të vërtetojnë me rrugë të reja disa nga teoremat e njohura.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi30 " Të përcaktojnë kushtet për të cilat drejtëza y=kx+t pret hiperbolën 12 2 2 2  b y a x . " Të shkruajnë ekuacionin kanonik të hiperbolës 12 2 2 2  b y a x , kur jepen elementë çfarëdo përcaktues të saj. " Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 12 2 2 2  b y a x në situata të reja, jo standarde. " Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e parabolës y2 =2px. " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes nga një pikë jashtë parabolës (y2 =2px apo x2 =2py). " Të përdorin kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën (y2 =2px apo x2 =2py) në situata të reja, jo standarde. " Të zgjidhin problema me gjetje të ekuacioneve të vijave të dhëna me kushte gjeometrike, në rastet kur këto vija dalin hiperbola apo parabola. " T’i përdorin njohuritë për modelim dhe zgjidhje të situatave të reja, jo standarde, nga jeta, shkencat e zbatuara dhe matematika. KRERËT 6-7 INTEGRALI I PACAKTUAR; INTEGRALI I CAKTUAR Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin saktë përkufizimin e primitivit së një funksioni. " Të vërtetojnë që nëse F është primitiv i f, atëherë edhe F+c është primitiv i f. " Të përdorin drejt simbolikën ³ dxxf )( . " Të shkruajnë dhe të përdorin në zbatime direkte vetitë e integralit të pacaktuar. " Të përdorin shndërrime të thjeshta të diferencialit (si dx=d(x+a); dx= )( 1 cxd c ), për të gjetur integrale të pacaktuar të thjeshtë.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 31 " Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në zbatime direkte tabelën themelore të integraleve. " Të njehsojnë integralin e pacaktuar të një polinomi konkret. " Të njehsojnë integrale të pacaktuar të formave: ³ axdxsin , ³ axdxcos , dxeax ³ , ³  bax dx . " Të përdorin metodën e zëvendësimit në raste shumë të thjeshta, kur sugjerohet zëvendësimi )(xu M apo x=f(t). " Të përdorin metodën e integrimit me pjesë në raste shumë të thjeshta, duke integruar vetëm një herë e kur jepet sugjerimi )(xu M ; dxxdv )( . " Të shkruajnë dhe të përdorin në zbatime direkte vetitë e thjeshta të integralit të caktuar. " Të përdorin në raste shumë të thjeshta formulën e Njuton-Laibnicit për ³ b a dxxf )( , kur f(x) është polinom, ose sinax, ose cosax, ose ax e . " Të njehsojnë me anën e integralit të caktuar sipërfaqen e trapezit vijëpërkulur, që kufizohet nga boshti Ox, drejtëzat x=a, x=b dhe vija y=f(x), ku f(x)-polinom ose sinax, ose cosax, ose ax e dhe f(x)>0 në [a, b]. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të vërtetojnë që bashkësia e primitivave të një funksioni f jepet nga formula y=F(x)+c, ku F është një primitiv e funksionit f. " Të vërtetojnë vetitë e integralit të pacaktuar. " Të vërtetojnë të gjithë shndërrimet kryesore të diferencialeve dhe t’i përdorin ato sistematikisht, duke kthyer integrale të thjeshtë në integrale tabelorë. " Të vërtetojnë tabelën themelore të integraleve dhe ta përdorin atë sistematikisht në trajtën ³ duuf )( , ku u-funksion i derivueshëm. " Të përdorin metodën e zëvendësimit në raste të thjeshta, duke gjetur vetë zëvendësimin )(xu M .
    • “Matematika 12” Libër mësuesi32 " Të përdorin metodën e integrimit me pjesë, duke integruar vetëm një herë për integrale të trajtave: " ³ ˜ nxdxxP A)( , ³  cxdxbax sin)( , ³  dxebax cx )( (P(x)-polinom). " Të njehsojnë integrale të trajtës ³  dx bax xP )( , duke bërë pjesëtimin e polinomit P(x) me ax+b. " Të japin përkufizimin e integralit të caktuar. " Të vërtetojnë vetitë e thjeshta të integralit të caktuar. " Të përdorin formulën e Njuton-Laibnicit në raste të thjeshta. " Të njehsojnë sipërfaqen e trapezit vijëpërkulur në rastet kur f është funksion i thjeshtë, por që nuk ruan shenjë në [a, b]. " Të njehsojnë sipërfaqen e trapezit vijëpërkulur që kufizohet nga vijat y=f(x), y=g(x), ku f, g janë funksione të thjeshtë. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të kryejnë shndërrime jo standarde të diferencialit për të njehsuar integrale të pacaktuara. " Të pasurojnë tabelën themelore të integraleve me integrale të reja. " Të përdorin metodën e zëvendësimit në raste jo standarde. " Të përdorin metodën e integrimit me pjesë në raste jo standarde, duke integruar edhe më shumë se një herë. " Të njehsojnë integrale të trajtës ³  dx cbxax xP 2 )( , ku P(x)-polinom i fuqisë së parë ose të dytë dhe trinomi ax2 +bx+c ka dy rrënjë reale. " Të vërtetojnë vetitë e integralit të caktuar. " Të përdorin formulën e Njuton-Laibnicit në rastet kur gjetja e primitivës kërkon procedura jo standarde. " Të vërtetojnë formulat për njehsimin e sipërfaqeve të trapezave vijëpërkulur, në rastet e ndryshme teorike. " Të njehsojnë me anë të integralit të caktuar sipërfaqe figurash plane që kanë trajta jo standarde.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 33 KREU 8 KOMBINATORIKË. PROBABILITET. STATISTIKË Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të zbatojnë në raste të thjeshta teknika të ndryshme numërimi. " Të zbatojnë në raste të thjeshta parimin e shumëzimit dhe atë të mbledhjes. " Të përdorin në raste të thjeshta barazimin CC kn n k n  . " Të gjejnë në raste të thjeshta numrin e rezultateve të barasmundshme të një prove. " Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje të thjeshtë me rezultate të barasmundshme, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit. " Të dallojnë në raste të thjeshta ndryshoret e rastit diskrete. " Të zbatojnë në raste të thjeshta formulën për funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit diskrete. " Të zbatojnë në raste të thjeshta formulën për gjetjen e pritjes matematike të një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. " Të zbatojnë në raste të thjeshta formulën për dispersionin e një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. " Të ndërtojnë tabela me dy hyrje duke shprehur dendurinë e çifteve të vlerave të mundshme të dy ndryshoreve, me të dhëna nga jeta reale, në raste të thjeshta. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të zbatojnë në situata të zakonshme teknika të ndryshme numërimi, duke përfshirë edhe diagramën pemë. " Të vërtetojnë barazimin CC kn n k n  e ta përdorin në situata të zakonshme. " Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje të zakonshme me barazmundësi të rezultateve, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit. " Të përkufizojnë ndryshoret e rastit diskrete e t’i dallojnë ato në situata të zakonshme.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi34 " Të zbatojnë në situata të zakonshme formulën për funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit diskrete. " Të zbatojnë në situata të zakonshme formulën për pritjen matematike të një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. " Të zbatojnë në situata të zakonshme formulën për pritjen matematike të një ndryshore të rastit diskrete me një numër të fundëm vlerash. " Të gjejnë në situata të zakonshme dispersionin e një ndryshoreje të tillë. " T’u japin përgjigje pyetjeve që kërkojnë sistemim e përpunim paraprak të informacionit statistikor. " Të ndërtojnë në situata të zakonshme reale tabela me dy hyrje, duke shprehur dendurinë e gjithë çifteve të kategorive të ndryshme të dy ndryshoreve. Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të zbatojnë teknika të ndryshme numërimi në situata të reja, jo standarde. " Të vërtetojnë vetitë kryesore të koeficientëve binomialë e t’i zbatojnë ato në situata të reja, jo standarde. " Të interpretojnë përkufizimin klasik të probabilitetit të një ngjarje. " Të përkufizojnë ndryshoret e rastit të vazhdueshme dhe t’i dallojnë ato në situata të reja, jo standarde. " Të zbatojnë në situata të reja, jo standarde, formulën për funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. " Të zbatojnë në situata të reja, jo standarde, formulën për pritjen matematike të një ndryshore të rastit diskrete me numër të fundëm vlerash. " Të zbatojnë në situata të reja, jo standarde, formulën për dispersionin e një ndryshore të tillë. " Të ndërtojnë tabela me dy hyrje, duke shprehur dendurinë e gjithë çifteve të vlerave apo të kategorive të ndryshme të dy ndryshoreve, në situata të reja, jo standarde. " Të nxjerrin konkluzione për shpërndarjen e ndryshores së rastit diskrete, në bazë të studimit të dispersionit.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 35 KREU 9 ZBATIME TË MATEMATIKËS NË SHKENCAT E TJERA Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të përdorin konceptet dhe shprehitë matematike të mësuara gjatë viteve të gjimnazit, për të zgjidhur problema të thjeshta nga shkencat social-ekonomike dhe ato të zbatuara me një numër të kufizuar metodash, me ndihmën e të tjerëve dhe me gabime ose me mangësi. " Të përdorin sintezën në zgjidhjen e problemave standarde. " Të vërejnë se si ligjësi dhe zbatime matematike kanë ardhur si rezultat i dukurive reale. " Të përdorin gjatë zgjidhjes së problemave arsyetime matematike të thjeshta. " Të zotërojnë elementë nga historiku i matematikës, të cilat lidhen me njohuritë kryesore. " Të njohin kontributin e disa matematicienëve të shquar, që nga lashtësia deri në ditët e sotme. Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të përdorin konceptet dhe shkathtësitë matematike të mësuara gjatë viteve të gjimnazit, për zgjidhjen e problemave të zakonshme, duke përdorur disa strategji bazale, me pak gabime apo mangësi të pjesshme. " Të përdorin analizën gjatë zgjidhjes së problemave të zakonshme. " Të interpretojnë, duke përdorur konceptet dhe shkathtësitë matematike të fituara, informacione të marra nga mjetet e informimit publik. " Të përdorin gjatë zgjidhjes së problemave arsyetime të përshtatshme, me ndihmë të kufizuar. " Të zotërojnë informacion sintetik e të qartë për evolucionin e matematikës ndër vite, duke dalluar etapat e zhvillimit të saj. " Të kenë konceptim të qartë për metodën aksiomatike në matematikë.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi36 Niveli III Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: " Të përdorin konceptet dhe aftësitë matematike të fituara gjatë viteve të gjimnazit, për të zgjidhur problema në situata të reja, duke përshtatur strategji apo duke hartuar strategji, me saktësi. " Të analizojnë dukuri dhe përfundime të nxjerra nga shkencat e tjera, duke përdorur formimin matematik të fituar. " Të bëjnë diskutimin e problemave, duke kaluar në përgjithësime. " Të zgjidhin problemën me disa mënyra, duke përdorur me kreativitet njohuri nga linjat qendrore të lëndës. " Të përdorin gjatë zgjidhjes, arsyetime matematike në mënyrë të pavarur dhe adekuate. " Të kenë konceptim të qartë mbi objektin e matematikës. " Të kenë konceptim të qartë mbi faktorët që çojnë në lindjen dhe zhvillimin e teorive matematike, mbi lidhjen e ndërsjellë midis induksionit e deduksionit në këtë proces. " Të dallojnë qartë matematikën si shkencë nga matematika shkollore.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 37 PLANIFIKIMI I MËSIMIT Plani mësimor ditor është një detajim i parapërgatitur i elementeve të mësimit ditor, të renditura sipas radhës në të cilën do të kryhen. Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimit dhe improvizon vazhdimisht është shumë i ekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësime të cekëta, pa cilësi e rendiment. Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet pa një plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati që do të zgjidhet për hartimin e planit, por fakti që plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik, të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar. Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varet nga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia (pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit. Nganjëherë mësuesit me përvojë e nënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjë mësues nuk mund të përballojë mirë një orë mësimore pa menduar thellë që më parë se çfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimit dhe si do ta mësojnë atë. Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë se cilat janë objektivat e mësimit, cila është përmbajtja që do të trajtohet, cilat do të jenë procedurat që do të ndiqen dhe si do të zbatohen ato. Ka mësues që mendojnë se janë më të suksesshme mësimet e pastrukturuara, të paplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit e gjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetë më mirë në situata të tilla. Kjo tezë është shumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesit e rinj duhet t’u shmangen mendimeve të tilla, sepse mësime të zhvilluara ashtu shpesh përfundojnë në rastësi të padëshirueshme dhe herë-herë në kaos. Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit me përvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve të tyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenë të suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnë planin e mësimit në mënyrë të hollësishme. Planifikimi i kujdesshëm siguron një familjarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jep për këtë arsye mësuesit besim e siguri tek vetja. Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohet lirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë, organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrë racionale kohën.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi38 Elementet kryesore të planifikimit e përgatitjes së mësimit 1. Përzgjedhja e objektivave mësimorë Objektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut, të mësimit) janë tre llojesh: a) Për njohuritë (p.sh. “të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar këta objektiva janë: të gjejnë, të përshkruajnë, të njehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etj. b) Për aftësitë (p.sh. “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlershmërinë për të zgjidhur ekuacione që sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të përdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj. c) Për qëndrimet (p.sh. “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale të funksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të vlerësojnë, të diskutojnë, të debatojnë etj. 2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit 3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim 4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim 5. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve. Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimi I. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë: ) qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit; ) zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës); ) qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit, duke veçuar veprimtarinë kulmore; ) përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren; ) përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion; ) përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit; ) parashikimin e punës me grupe a individë të veçantë. ) parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës apo me lëndët e tjera; ) parashikimin e përdorimit të T. I. K.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 39 II. Gjatë hartimit të planit të mësimit, mësuesi duhet të mbajë parasysh këto parime (pavarësisht nga formati i zgjedhur për planin): ) qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut; ) çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit; ) mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm; ) veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna; ) çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme; Klasifikimi i mësimeve Mësimet ndahen në dy lloje të mëdha: ¾ -Me shtjellim të njohurive të reja ¾ -Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, për përsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj.) Shkurt për përsëritjen Nëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi i ndihmon nxënësit të vendosin rregull në morinë e njohurive të sapomësuara, d.m.th., të nxjerrin në pah konceptet e metodat përshkuese të kapitullit dhe ato njohuri që duhet të ngulen fort në kujtesë. Ka rëndësi shumë të madhe metodologjia e përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnë vetë nxënësve një përmbledhje të kreut, duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë se sa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësit përfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqen të stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetë atë që kanë mësuar për disa orë mësimore; u japin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet e tekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, të mbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanë fort të qartë. Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm një rimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë të madhe për të vërejtur lidhjet midis njohurive, për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet që faktet mbahen mend më gjatë e konceptet rishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato në lidhjet e tyre të brendshme. Por përsëritja shkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturës së brendshme të kreut është i mirë, por jo i mjaftueshëm. Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë të lidhura me njohuritë e kreut paraardhës, me lëndën e zhvilluar në atë vit, me lëndën e zhvilluar në vitet e mëparshme, madje me lëndën e zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesisht përsëritja
    • “Matematika 12” Libër mësuesi40 ajo që e vendos çdo njohuri të re në mozaikun e njohurive të lëndës, të fushës kurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Në mënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnë kohën e përsëritjes apo e kthejnë atë në një farë konsultimi para testimit për një apo disa kapituj. Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasi vetëm nëpërmjet saj nxënësit: o nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore, o përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th., lidhjen midis koncepteve e fakteve themelore), o integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë e mëparshme. Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikimin e mësimeve me shtjellim të njohurive të reja. Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimore Pas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore përcaktohen veprimtaritë mësimore, së bashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre. Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime:  Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mos mbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodat e procedurat.  Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtari zhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmore edhe veprimtari vlerësuese.  Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa janë të mira për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multifunksionale).
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 41  Veprimtaritë në mësim duhet të zgjidhen në përshtatje me mundësitë e nxënësve, elasticitetin e tyre, stilin e të nxënit, sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndaj metodave të ndryshme.  Veprimtaritë mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet e tij.  Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha, hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria.  Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë të përshtatshme për çështjen dhe lëndën që mësohet.  Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimit dhe për çdo objektiv të ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv. Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim; Reflektim) Evokimi Në këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësi motivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësi me njohuritë e reja që do të merren. Realizimi i kuptimit Në këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjitha veprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton, diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj. Reflektimi Është faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Është faza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues, përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri. Formati i planit mësimit Në përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe:
    • “Matematika 12” Libër mësuesi42 " Objektivat " Metodologjia " Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies " Vlerësimi Këto blloqe mund të zbërthehen në disa formate Modeli i propozuar nga IZHA (Instituti i Zhvillimit të Arsimit) 1. Tema e orës së mësimit; 2. Objektivi përkatës i programit mësimor; 3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit; 4. Procedurat që do të ndiqen; 5. Vlerësimi; 6. Detyrat e shtëpisë; 7. Refleksione. Zbatimi i planit të mësimit Rekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, duke shmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla. Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit të mësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë. Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur. 1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë. 2. Kur ka ndodhur (apo ndodh) diçka e rëndësishme para (apo gjatë mësimit). 3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin. Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh, ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin. Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ja vlen të ndiqen në detaje; në rrethana të tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemin e pozuar.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 43 Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi, që imponojnë heqjen dorë nga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mund të ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje direkte me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihen nxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionet para se t’i përvishen punës. Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit janë të thjeshta: " çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit, " çfarë do ta çonte përpara të mësuarit, " ç’domethënie ka ndryshimi për lëndën që zhvillohet? MBI ORGANIZIMIN E PUNËS NË KLASË Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshëm për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet. Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar (real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime. Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th të punës me grup. Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me zakonin që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i presë fjalën
    • “Matematika 12” Libër mësuesi44 nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon. Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet ai që të kopjojë. Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull apo një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (a kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhur). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj në trajtën e një përfundimi përgjithësues, në lëndë si matematika kalohet në vërtetimin e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme rigoroziteti në profile të ndryshme). Më tej kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së pavarur a në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh: a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit? b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar? c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e njohurive për t’i zgjidhur? d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës? Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore situata e modele të botës përreth si p. sh. nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 45 PUNA MBI PROJEKTET KURRIKULARE Projekti kurrikular është një përpjekje për t’i dhënë zgjidhje një situate, për të cilën nxënësit nuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për të cilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxëna shkollore e më tej. Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht në sistemimin e informacioneve të qëmtuara në tekstin shkollor e në burime të tjera; ai përmban edhe punë origjinale, ku shfaqet qëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projekti kurrikular është zbatimi i informacioneve, por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja apo arritja e ndryshimeve përmirësuese. Projekti kurrikular mund të jetë të paktën tri llojesh: Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secili nxënës gjatë tri viteve të gjimnazit duhet të marrë pjesë në projekte të tilla në të paktën 18 orë mësimore. Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnë planit mësimor të mësuesit dhe llogariten në ngarkesën totale të tij në orë mësimore. Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndor ose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund t’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet në disa fusha. Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë, javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brenda një viti shkollor. Projekti kurrikular mund të merret përsipër nga një ose disa mësues. Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikular si një metodë pune për të shtjelluar njohuritë e reja ose për përpunimin e njohurive. Tema e një projekti kurrikular përzgjidhet nëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve me nxënësit. Mirë është që të ketë propozime nga nxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesi duhet të ketë një fond temash, ndër të cilat u lihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjen e temave është mirë që të përfshihen edhe prindërit. Në projektin kurrikular mësuesi është në rolin e lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ai nuk duhet të jetë anëtar a kryetar i grupit të nxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve se çfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione e përgjigje të gatshme. Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se përgjegjësia për suksesin e projektit kurrikular u takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojë pranë për çfarëdo pyetje a shqetësim. Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimit në këtë veprimtari shkon sipas një kurbe zbritëse. Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojë nxënësit gjatë punës së tyre, të vërë paprerë në dukje anët pozitive që vëren.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi46 Nga mësuesi për realizimin e projektit kurrikular kërkohet që:  Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular;  Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit;  Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara;  Të vlerësojë nxënësit. Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesi Formati tip për një plan të tillë ka këto zëra:  Titulli i projektit;  Objektivat e projektit;  Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen a rimerren;  Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse;  Partnerët në projekt (prindër, OJF etj);  Numri i nxënësve apo i klasave që përfshihen në projekt;  Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore(me hapat kryesore, afatet e personat përgjegjës);  Burimet kryesore të informacionit;  Përshkrimi i produktit të projektit;  Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit;  Mënyra e vlerësimit të nxënësve. Në ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikular Një nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin e informacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekë shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar a vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edhe informacionet e gjalla-bisedat. Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketë të qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit. Vlerësimi i nxënësve në projektin kurrikular Bëhet duke patur parasysh këto elemente: plani i paraqitur; zbatimi i planit;
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 47 menaxhimi i informacionit; etika e punës në grup; kontributi në raportin përfundimtar; prezantimi i punë së kryer. Mënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë me peshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%). Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolit të nxënësit. Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohurive Projektet kurrikulare mund të përdoren për përsëritjen (e integruar) të njohurive të një apo disa kapitujve. Por në projektin kurrikular nuk ka objektiva për përvetësimin e njohurive të reja; në të ka objektiva vetëm për përforcimin e njohurive të mësuara më parë. Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për të zgjidhur një situatë problemore, transferimi i njohurive të një lënde për të zgjidhur probleme të një lënde tjetër e sidomos në situata reale, i stërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptet e metodat kryesore të lëndës. Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin e kërkimit të informacioneve, të hasen edhe me njohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por atyre nuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuri që nuk përmbahen në program dhe sidomos nuk duhet të vlerësohen me notë për to. Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesit Projekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por mësuesi nuk është i detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular qysh në fillim të vitit shkollor. Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët e tjera lëndore d.m.th., me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit. Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për: o të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave); o të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin; o prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit; o përgatitje për përfundimin e projektit. Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnë pyetje për mësuesin etj. Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi48 Shembull PROJEKT KURRIKULAR Lënda: Matematikë, Klasa XII Titulli: “Ekuacionet parametrike dhe polare të drejtëzës dhe të konikeve” Sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor 8 Koha: 1, 5 muaj (1 shkurt-15 mars) Objektivat: 1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionet parametrike dhe polare të drejtëzës dhe t’i përdorin në situata të thjeshta matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 2. Të gjithë nxënësit të të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionet parametrike dhe polare të rrethit dhe t’i përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 3. 90% e nxënësve të klasës të jenë të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionet parametrike të elipsit, hiperbolës, parabolës dhe t’i përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 4. 70% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të shkruajnë ekuacionin e përgjithshëm të konikeve në koordinata polare dhe ta përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren 1. Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës në planin kartezian. Ekuacioni i saj kur njihet një pikë dhe vektori drejtues. 2. Ekuacionet i rrethit kur njihet qendra dhe rrezja. 3. Ekuacionet kanonike të elipsit, hiperbolës, parabolës. 4. Vetia e vijës drejtuese të konikeve 5. Kuptimi i parametrit 6. Njohuri mbi koordinatat polare të pikës në plan.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 49 Kontributet e mësuesve bashkëpunues 1. Mësuesi i fizikës (3 orë) o Evidentimi i rasteve të përdorimit të kohës si parametër në lëndën në klasat e gjimnazit; o Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar zgjidhje ekuacionesh parametrike; o Trajektore lëvizje që shprehen thjeshtë me ekuacione në koordinata polare; 2. Mësuesi i teknologjisë (1 orë) - Detale me konture që përshkruhen thjeshtë duke përdorur koordinata polare Partnerë në projekt Prindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla si inxhinierë, teknikë, arkitektë etj. Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës. Veprimtaritë kryesore Nr Veprimtaria Afati Përgjegjësi 1 Hartimi i një liste paraprake njohurish teorike. Java I Mësuesit. 2 Hartimi i një liste paraprake burimesh informacioni (të të gjitha llojeve). Java I Mësuesi me nxënësit. 3 Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin nxënës. Java I Mësuesi. 4 Përdorimi nga nxënësit i literaturës mësimore të rekomanduar. Java II Secili nxënës. 5 Takime për hapje horizonti me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore. Java II Mësuesit. 6 Kërkim në burime të tjera informacioni. Java III Secili nxënës. 7 Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore. Java III Secili nxënës. 8 Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, me evidentimin e mangësive dhe të rrugëve për plotësim. Java III Mësuesi dhe nxënësit. 9 Hartimi i draftit përfundimtar individual nga secili nxënës. Java IV Secili nxënës. 10 Puna për hartimin e draftit përfundimtar përmbledhës me gjetjet kryesore. Java V Mësuesi me nxënësit. 11 Dorëzimi produktit përfundimtar(raportit) si edhe i portofoleve të secilit nxënës. Java VI Nxënësit. 12 Prezantimi i raportit. Java VI 2-3 nxënës të përzgjedhur nga klasa.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi50 Burimet kryesore të informacionit 1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 9, 10, 11); 2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 9, 10, 11); 3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme tekniko-shkencore dhe të ndërtimit; 4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale; 5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj); 6. Përdorim CD të posaçme; 7. Biseda me prindër për probleme jetësore (forma e lulishtes, forma e mobilieve etj). Produkti i pritshëm i projektit Raport i argumentuar ku të përshkruhen ekuacionet kryesore parametrike e polare me të cilat nxënësit e kësaj moshe hasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore, së bashku me rrugët optimale për të përdorur ato sipas situatës. Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor 1. Bisedë për ekuacionet parametrike; 2. Bisedë për koordinatat polare në plan; 3. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, sëbashku me literaturën e rekomanduar mësimore; 4. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore; 5. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit; 6. Ripunimi i tezave kryesore në bazë të vërejtjeve të bëra; 7. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar; 8. Prezantimi i raportit. Mënyra e vlerësimit të nxënësve Bëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura, duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulës 0,5. 0,5.k in n n ku kn është nota e klasës si grup, in është nota e nxënësit si individ.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 51 MBI VLERËSIMIN FORMUES NË MATEMATIKË NË KLASËN XII Tre llojet më të përdorshme të vlerësimit në klasë (pa përfshirë vlerësimin me qëllim klasifikimi) janë: Vlerësimi diagnostikues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese. Vlerësimi formues, i cili mbikëqyr përparimin gjatë procesit të të nxënit, siguron një feedback për të lehtësuar nxënësit dhe për të korrigjuar gabimet. Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit a të ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë certifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor. Vlerësimi formues është vlerësimi i përditshëm dhe i vazhdueshëm që u bëhet nxënësve (e që shprehet me notë) për pyetjet, kërkesat e detyrat që u jepen në klasë, për detyrat e shtëpisë, për përgjigjet për testet kohëshkurtër etj. Ai ka për qëllim kryesor përmirësimin e cilësisë së të mësuarit dhe jo thjesht kontrollin apo diferencimin e nxënësve. Ky vlerësim duhet përdorur për feedback gjatë procesit të mësimdhënies e të nxënies, sepse gjatë këtij lloj vlerësimi mësuesi nxjerr në pah dhe ndreq në mënyrë të shpejtë dobësitë dhe të metat e nxënësve. Përdorimi i këtij vlerësimi diktohet edhe nga fakti që, siç pranohet gjerësisht, ora e mësimit nuk është e motivuar dhe shpesh herë bëhet e pakëndshme, kur nuk përdoret vlerësimi formues, por pritet të mbarojë kreu dhe pastaj të bëhet vlerësimi (qoftë edhe me teste) i nxënësve. Gjatë vlerësimit formues, duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Duke u mbështetur në rezultatet e vlerësimit formues, mësuesit duhet t’i këshillojnë nxënësit se si të përmirësojnë të nxënit. Format më të përdorshme të vlerësimit formues në matematikë, në gjimnaz janë: ; vlerësimi me notë për pyetjet në tabelë, ; vlerësimi për aktivizim në klasë, gjatë zbatimit të materialit të kaluar dhe parashtrimit të materialit të ri, ; vlerësim për aktivizimin me punën në grupe, ; vlerësim me teste kohëshkurtër për përvetësimin e një teme të caktuar, ; vlerësim për kryerjen e detyrave të shtëpisë.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi52 Vlerësimi formues nuk këshillohet të bëhet me të njëjtën teknikë vlerësimi, sepse nxënësit familjarizohen me të dhe i përgatisin përgjigjet pa i kuptuar çështjet. Mendojmë se është e dobishme praktika e të mësuarit të nxënësve të teknikave për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë dhe të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit gjithashtu të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak. Në lëndën e matematikës në gjimnaz konceptet synohet të formohen nëpërmjet trajtimit të situatave problemore. Itinerari i zotërimit të njohurive është menduar të jetë spiral dhe jo linear; ato mendohen të përvetësohen jo me paraqitjen e tyre të parë dhe as me përsëritje të thjeshtë, por pas plotësimeve dhe thellimeve nëpërmjet rimarrjes aktive. Gjatë vlerësimit formues duhet mbajtur parasysh se aktiviteti matematik i nxënësve në secilin profil përfshin observimin (vëzhgimin), abstragimin, eksperimentimin dhe vërtetimin. Parashtrimi i përmbajtjes së re si rregull duhet të artikulohet me studimin e situatave të larmishme, që shërbejnë si motivim, si çështje që kërkojnë zgjidhje apo si mbështetje e zbatim i këtij parashtrimi dhe nxënësi duhet të vlerësohet, në mënyrë të vazhdueshme për sasinë dhe cilësinë e aktivizimit të tij në këto aspekte (të paktën një herë në 6-7 orë mësimi). Gjatë vlerësimit formues kujdes duhet t’i kushtohet përvetësimit të koncepteve dhe metodave kryesore të lëndës, si bazë e formimit matematik të nxënësve. Në këtë kuadër, gjatë vlerësimit formues duhet të mbajmë parasysh se nuk ka rëndësi riprodhimi i vërtetimit të një teoreme dhe zbatimi mekanik i saj në një situatë standarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbin e saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atë në situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta. Si rregull, në çdo orë mësimi kryhen ushtrime (në radhë të parë zbatime të thjeshta) për të kuptuar thelbin e koncepteve dhe metodave matematike dhe si modele të punës së pavarur në shtëpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhe zbatimet në klasë duhet të zërë jo më pak se 40% të kohës së mësimit. Gjatë shtjellimit të materialit mësimor mësuesi duhet të krijojë situata problemore të strukturuara për të vënë në lëvizje mendimin e pavarur të nxënësit. Strukturimi i pyetjeve të shtruara klasës bën që secili nxënës të angazhohet në punë të pavarur, sipas mundësive të veta, me një kohë të mjaftueshme për të përvetësuar përmbajtjen deri në një nivel të caktuar arritjeje, për të cilin ai mund të vlerësohet edhe në vend. Konceptimi i lëndës dhe mënyra e realizimit të saj duhet të thyejë kornizat tradicionale të orës së mësimit. Trajtimi i materialit të ri mësimor jo rrallë duhet të bëhet me tekst përpara, sepse nxënësit duhet të plotësojnë në të kërkesat që janë lënë qëllimisht pa u plotësuar, të zgjidhin ushtrimet apo të analizojnë shembujt.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 53 Në shumicën e temave, ora e mësimit duhet të përbëjë një sintezë të dhënies e të kontrollit të njohurive, të vlerësimit të dijeve e shkathtësive (shprehive) dhe vlerave tek nxënësit. Në këtë këndvështrim format tradicionale të kontrollit e të vlerësimit të nxënësve, që janë mbështetur në riprodhimin gojor të materialit mësimor, të lidhur me binomin mësues-nxënës (në tabelë) dhe me një numër të vogël nxënësish të vlerësuar janë të papranueshme. Kontrolli dhe vlerësimi formues i nxënësve duhet të jetë i larmishëm, i lidhur më tepër me veprimtarinë matematike të nxënësve në klasë, jo i mbështetur kryesisht në riprodhimin gojor të materialit mësimor, jo i kufizuar në një interval kohor të caktuar. Ai përfytyrohet i shkrirë me veprimtarinë matematike të nxënësve, duke siguruar pjesëmarrje të plotë të tyre në punë. Mësuesi duhet të jetë vazhdimisht në kontakt me punën e nxënësve në bankë gjatë gjithë orës së mësimit. Ai duhet të vrojtojë e të vlerësojë jo vetëm çka di nxënësi, por si e mëson, si vepron për ta zbatuar, si nxjerr përfundime etj. Në këtë mënyrë, gjatë këtij lloj vlerësimi nxënësi është më i çliruar nga emocionet dhe nga ana tjetër krijohen mundësi më të mëdha për kontakte e ndihmë të diferencuar tek nxënësit. Natyrisht, format e larmishme të kontrollit të shtrirë në trajtimin e materialit të ri (dhe vlerësimi përkatës) nuk përjashtojnë vlerësimin e nxënësit të ngritur në tabelë apo vlerësimin masiv të pjesshëm (me teste të shkurtra). Nxënësi duhet të regjistrojë në kujtesë një sërë faktesh të rëndësishme matematike. Por kjo nuk do të thotë që në të mësuarit e matematikës kujtesa e tij të ngarkohet tej mase me rregulla e formula të ndryshme, kur këto mund të gjenden nga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandaj vlerësimi nuk duhet të bazohet në kujtesën mekanike; të mbahet parasysh se aftësimi i nxënësve për të kërkuar në këto materiale ndihmëse, formulat dhe faktet që nevojiten për zgjidhjen e ushtrimeve ose për vërtetimin e pohimeve të ndryshme, veçanërisht kur ato i përkasin temave të zhvilluara më parë, pasqyron shkallën e formimit matematik të tij dhe duhet vlerësuar. Procedura e vlerësimit Sistemi i vlerësimit që rekomandohet të zbatohet në gjimnaz është krahasimi me standardet e vendosura. Një nga problemet më të shpeshta dhe më të ndërlikuara me të cilat ndeshen aktualisht dhe do të ndeshen deri në një të ardhme të afërt mësuesit në gjimnaz është gjykimi i statusit dhe i përparimit të nxënësit në intervale të ndryshme kohe, vënia e notave. Është e qartë që vlerësimi duhet të ndjekë qëllimet arsimore, objektivat mësimore, objektivat e vlerësimit. Vlerësimi duhet të mbështetet mbi
    • “Matematika 12” Libër mësuesi54 një sasi të mjaftueshme të dhënash në të cilat duhet të përfshihen edhe këta elementë:  -vlerësimi me notë për përgjigjet në tabelë;  -vlerësimi i aktivizimit nga vendi;  -vlerësimi i ndihmesës gjatë punës në grup;  -testet në fund të kapitullit;  -testet në fund të semestrit;  -testet në fund të vitit;  -provimet vjetore;  -provimi i pjekurisë; Vlerësimi me notë Siç dihet, nota përdoret për të paraqitur rezultatin e arritjeve dhe të përparimit akademik të nxënësit. Ajo ka për qëllim të dëshmojë për arritjet e nxënësit, për të drejtuar te nxënësit e tij, për të drejtuar zhvillimin vetjak të nxënësit deri në diplomimin e tij, për të informuar prindërit për nivelin e përparimit të fëmijëve të tyre etj. Për këto arsye mendojmë që vlerësimi me notë është i domosdoshëm në gjimnaz. Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljeve disiplinore të nxënësit, por vetëm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar në standarde të caktuara dhe në burime të shumta. Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe aktivizimin në klasë shërben listë-kontrolli. Vlerësimi i punës në grup duhet të mbajë parasysh këta elementë: o ndarja e informacionit me të tjerët; o ndihmesa në ide; o ndjekja e udhëzimeve; o shfaqja e iniciativës gjatë zgjidhjes së problemeve në grup; o dhënia e vlerësimeve për pikëpamjet e të tjerëve.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 55 Vlerësimi i përgjigjeve me gojë të nxënësve ka qenë dhe mbetet një sfidë për mësuesin. Për të vlerësuar përgjigjen për një pyetje të strukturuar duhet të mbahen parasysh të gjitha kërkesat në të cilat është ndarë ajo dhe peshën e secilës kërkesë. Në hapin e mëtejshëm vlerësohet realizimi i secilës kërkesë, duke përdorur metodën analitike dhe duke u bazuar në një përgjigje ideale të parapërgatitur (e cila gjithashtu strukturohet sipas kërkesave të pyetjes, duke parashikuar pikët e plota të mundshme për secilën kërkesë). Gjatë vlerësimit elementët e të shkruarit duhen vlerësuar jo të ndara nga përmbajtja. Vlerësimi i nxënësit të pyetur në tabelë Nëse kërkojmë që të pyeturit e një nxënësi në tabelë në lëndën e matematikës të plotësojë synimet e një vlerësimi formues për të, duke qenë edhe në dobi të formimit matematik të klasës, duhet të mbahen parasysh disa kërkesa: 1. Pyetja (çështja që pyetet) duhet të jetë e ndryshme nga ajo që punon klasa në mënyrë të pavarur, por të ketë lidhje me ato çështje që po kontrollohen për klasën. 2. Të kërkojë kohë jo të madhe për t’u zgjidhur (jo më shumë së 10-15 minuta). 3. Të paraqesë interes për klasën dëgjimi i përgjigjes. 4. Të ketë kërkesa jo vetëm për kontrollin e njohurive të kaluara, por të trajtojnë edhe elementë të materialit të ri (në trajtën e punës krijuese të nxënësit). 5. Disa elementë të përgjigjes së nxënësit në tabelë duhet të ndiqen (të dëgjohen) nga klasa (edhe sikur për këtë asaj t’i duhet të ndërpresë punën e vet). 6. Korrigjimet eventuale t’i kërkohen nxënësit për t’i kthyer vetë fillimisht. 7. Vlerësimi i nxënësit me notë mund të bëhet për këtë ushtrim ose duke i dhënë akoma pyetje plotësuese në bangë. Vlerësimi i përgjigjes së nxënësit të pyetjeve në tabelë bëhet në bazë të gjykimit vetjak të mësuesit, por mbi bazën e standardeve të arritjes. Për të patur një vlerësim objektiv është mirë që pyetja të strukturohet në një numër të kufizuar kërkesash. Vlerësimi i përgjigjes të dhënë nga nxënësi që pyetet në tabelë ka si anë pozitive sepse lejon të maten aftësitë për arsyetim matematik (evidentimi i marrëdhënieve shkak-pasojë; zbatimi i aksiomave, teoremave dhe përdorimi i përkufizimeve gjatë argumentimit; aftësimi për të ngritur hipoteza dhe për t’i kontrolluar ato; nxjerrja e përfundimeve; vetëvlerësimi i arsyetimit të ndjekur) si dhe aftësitë për të komunikuar me gojë dhe me shkrim.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi56 TESTET E ARRITJEVE TË NXËNËSVE PËR KAPITUJ TË VEÇANTË NË LËNDËN E MATEMATIKËS Testet janë instrumente matëse, që në fushën e arsimit shërbejnë për matjen e arritjeve dhe të qëndrimeve. Në enciklopedinë “The International Encyclopedia of Education” testi përcaktohet pikërisht si një instrument matës që përdoret për vlerësimin e të nxënit të nxënësve, për vlerësimin e kurrikulave, programeve, metodave të mësimdhënies, faktorëve organizativë etj. Sot përdoren rreth 20 tipe testesh:  teste të arritjeve  teste të aftësive  teste të prirjeve  teste të inteligjencës  teste të qëndrimeve  teste të forcës dhe të shpejtësisë etj. Ky klasifikim i testeve bëhet sipas vlefshmërisë së tyre (d.m.th. çfarë ata matin, përse shërbejnë). Testet e arritjeve janë teste që përdoren gjerësisht në sistemet arsimore të botës, për të vlerësuar rezultatet e mësimdhënies dhe të nxënit të nxënësve. Ato i shërbejnë si vlerësimit formues ashtu dhe atij diagnostikues dhe vlerësimit përmbledhës. Vlerësimi formal kalon nëpërmjet testimit duke filluar nga testet e thjeshta (që i harton vetë mësuesi) deri tek testet e standardizuara. Në këto të fundit procedurat e administrimit udhëzimet e ndryshme që e shoqërojnë testin, mjetet (nëse do të përdoren), sistemi i pikëzimit dhe ai i konvertimit të pikëve në nota janë përzgjedhur prej hartuesit në mënyrë që ato të mund të administrohen dhe të korrigjohen njëlloj nga ekzaminues të ndryshëm në vende dhe në kohë të ndryshme. Këto teste duhet të ruajnë fshehtësinë deri në çastin e administrimit. Testet mund të jenë me shkrim ose teste zbatuese (të cilat të matin se ç’është në gjendje të bëjë nxënësi praktikisht); ato mund të vlerësojnë veprimtari konjitive, afektive ose psikomotore. Testet e arritjes janë instrumenta kryesore për vlerësimin e të nxënit dhe matjen e efektivitetit të mësimdhënies; ato i shërbejnë vjeljes së informacionit për të gjykuar rreth arritjeve të një nxënësi në një drejtim të caktuar. Këto teste, kur hartohen mirë dhe përdoren si duhet dhe kur duhet, shërbejnë për të siguruar të
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 57 dhëna objektive, që duke u kombinuar edhe me përshtypjet subjektive të mësuesit, lejojnë të arrihet në një vlerësim më të plotë të nxënësve. Qëllimi i këtij shkrimi është të shtjellojë njohuritë kryesore të domosdoshme për hartimin nga vetë mësuesi të testeve në lëndën e matematikës dhe kryesisht të testeve që vlerësojnë arritjet e nxënësve për një kapitull të lëndës. Vemë në dukje që hartimi edhe i testeve të tilla është një punë jo e lehtë, mjeshtëria për kryerjen e së cilës nuk zotërohet thjeshtë me marrjen e disa njohurive bazë dhe as me njohjen me një numër sado të madh shembujsh; është i nevojshëm një të ushtruar i mirë dhe një punë kryesisht në grup nga vetë mësuesit. Gjatë ndërtimit të testeve të arritjes për një kapitull të lëndës mësuesi i matematikës duhet të zbatojë disa parime të njohura: ) Numri i pyetjeve në teste varet nga ajo çfarë do të testohet. ) Është mirë që testet të mos hartohen me pyetje të shumë llojeve të ndryshme; në matematikë nuk rekomandohet përdorimi i pyetjeve ese, por i pyetjeve të strukturuara dhe i pyetjeve me përgjigje të shkurtër. ) Pyetjet në test është mirë të rradhiten sipas shkallës së vështirësisë së tyre. ) Numri i pyetjeve të testit varet edhe nga koha në dispozicion; për një kapitull kjo kohë mesatarisht duhet të jetë 45 minuta (ndonëse për ciklin e ulët mund të jetë edhe 25-30 minuta dhe për vitet e fundit të shkollës së mesme edhe 60-90 minuta). ) Gjatë hartimit të një testi është shumë e rëndësishme vlefshmëria e pyetjeve të tij (d.m.th. garantimi i asaj që testi në tërësi duhet të vlerësojë ato koncepte, njohuri, aftësi e shprehi që ne i kemi vënë vehtes si qëllim të kontrollojmë). 1. Hapi i parë për ndërtimin e testit do të jetë përcaktimi i listës së çështjeve që do të testohen me peshën përkatëse (% e pikëve që do të zënë secila çështje në test). 2. Hapi i dytë është përcaktimi i taksonomisë konjitive që do të përdoret (zbatohet) në test. Është e njohur gjerësisht taksonomia që përfshin këtë hierarki të niveleve: ; Njohja. ; Të kuptuarit. ; Zbatimi. ; Analiza. ; Sinteza. ; Vlerësimi.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi58 Në testet e hartuara nga I. E. A ( International Association for the Evaluation of Educational Achievement) dhe të zbatuara gjatë studimit TIMSS në 45 vende të botës, është parapëlqyer një ndarje disi më e ndryshme në nivele: 1. Njohje. 2. Përdorimi i procedurave rutinë. 3. Hetim i situatës problemore. 4. Arsyetim matematik. 5. Komunikim. Në teste e hartuara vitet e fundit nga AVA janë mbajtur parasysh 3 nivele: x Për ciklin fillor të shkollës nëntëvjeçare: 1. Njohja + të kuptuarit 2. Zbatimi 3. Zbatimi në situatë të re. x Për ciklin e lartë të shkollës nëntëvjeçare dhe për gjimnazin: 1. Njohja + të kuptuarit 2. zbatim + arsyetim 3. Zbatim në situatë të re (zgjidhje problemore + arsyetim). Shpërndarja e pyetjeve (pikëve) sipas këtyre niveleve është bërë afërsisht në raportet 2:2:1 ( ose 40%, 40%, 20%). Në taksonominë e reduktuar të Blumit (me 3 nivele) niveli i parë (njohje- të kuptuar) përfshin pyetje ku kërkohet që nxënësi të zbatojë një procedurë rutinë, mjaft të ushtruar në klasë. P. sh. zgjidhja e një ekuacioni të thjeshtë është në fund të fundit një veprimtari ku nxënësi duhet vetëm të tregojë se e ka kuptuar programin e zgjidhjes së këtij tipi ekuacioni dhe di ta zbatojë atë saktë në situata të thjeshta. Por edhe në ushtrime të këtij niveli autorët po futin elemente të një veprimtarie disi komplekse, ku nxënësit disa herë i duhet ta ’’ zhveshë’’ problemën nga pjesët matematike. P.sh. për të testuar ndryshesën ndërmjet numrave me shenjë (CL i nëntëvjeçares) mund të shtrohet një kërkesë: “Gjej ndryshesën ndërmjet numrave 11 dhe -5’’, por do të ishte më e pëlqyeshme që ajo të formulohet ndryshe: “Ndryshimi më i madh i temperaturës në Tiranë është shënuar në një ditë të muajit prill kur temperatura ndryshoi nga -5 në 11 gradë. Sa gradë ndryshoi temperatura?” Për hartimin e pyetjeve të nivelit të parë në testet e arritjeve për një kapitull në lëndën e matematikës, mësuesi paraprakisht duhet të ketë të qartë objektivat
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 59 mësimore minimale për përvetësimin nga nxënësit të këtij kapitulli (këto nxirren nga studimi i standardeve të arritjes dhe standardeve të përmbajtjes, në rast se ato ekzistojnë, ose në bazë të udhëzimeve që jep programi). Niveli i dytë: Arsyetim - Zbatim përfshin pyetje ku nxënësit nuk i mjafton të kujtojë procedura rutinë, as të imitojë zgjidhje standarde. Ai duhet të ndjehet para një situate më komplekse, të cilën, sidoqoftë mund ta zgjidhë duke kombinuar njohuritë që disponon. Nëse mësuesi sapo ka zhvilluar në klasë një problemë të tillë (C L i tetëvjeçares); “Në një trekëndësh dybrinjënjëshëm masa e këndit në kulm është 400 . Gjej masën e këndeve të tjerë të trekëndëshit” dhe e ka përforcuar mirë atë atëherë kur ky problem nëse përfshihet në test, edhe me një ndryshim të masës së këndit në kulm i takon nivelit të parë, sepse nxënësi vetëm duhet të ndjekë një procedurë që ia kanë dhënë të gatshme. Përkundrazi, nëse po kjo problemë jepet në një test në fund të vitit ose shumë orë më pas, kur skema e zgjidhjes tanimë është harruar, atëherë kjo problemë i takon nivelit të dytë. Niveli i parë mund të karakterizohet si niveli i përgatitjes së detyruar. Ai fikson atë minimum të domosdoshëm që duhet të arrijnë të gjithë nxënësit dhe përcakton kufirin më të ulët të lejuar të rezultateve në përgatitjen matematike. Në standardet e arritjes (që janë përpunuar në disa vende) ai karakterizohet nga dhënia e shembujve të ushtrimeve që konceptohen në mënyrë univoke (pa ekuivoke) nga kushdo që është i lidhur me procesin mësimor. Niveli i dytë fikson ato mundësi në përvetësimin e kursit të matematikës që është e detyruar t’u ofrojë shkolla. Ai karakterizon ato rezultate drejt të cilëve mund të synojnë dhe po të kenë dëshirë t’i arrijnë nxënësit që mësojnë kursin e formimit të përgjithshëm. Arritja e tij duhet të sigurohet nga përmbajtja e teksteve dhe cilësia përkatëse e mësimdhënies. Ky hap përfundon me hartimin e një tabele me dy hyrje (për çështjet mësimore dhe nivelet e taksonomisë konjitive). Hartimi i një testi të plotë ka ngjashmëri me ndërtimin e një godine të re. Në fillim ndërtohet kërkesa e testit dhe më pas bëhet mbushja e saj. Projekti më i thjeshtë i një testi paraqitet me anën e një tabele, rreshtat e së cilës evidentojnë çështjet mësimore që do të testohen, ndërsa shtyllat taksonominë e përdorur. 3. Përcaktimi i llojit të pyetjeve që do të përdoren në test është një element tjetër shumë i rëndësishëm. Në testet e arritjeve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës zakonisht nuk përdoren pyetjet - ese të pastrukturuara (ose me fund të hapur). Ndonëse nëpërmjet këtyre pyetjeve mund të vlerësohen aftësitë e larta individuale të nxënësve (ato të analizës, sintezës, përgjithësimit, thellësisë së mendimit, etj. ) gjatë përgjigjes nxënësit shpenzojnë për to një kohë relativisht të madhe për
    • “Matematika 12” Libër mësuesi60 fushën relativisht të vogël të njohurive që kontrollon çdo pyetje e tillë, dhe veç kësaj pikëzimi i përgjigjeve për to është i vështirë dhe subjektiv. Në mësimdhënien e sotme strukturimi i informacionit që jepet dhe strukturimi i pyetjeve gjatë vlerësimit me teste janë kërkesa të pranuara gjerësisht. Strukturimi i një situate (zbërthimi i saj në elemente përbërës) ka të bëjë me karakteristikat kryesore që meritojnë të studiohen. Shkalla me të cilën mësuesit do të zbërthejnë një situatë varet nga natyra dhe kompleksiteti i saj, nga niveli i të mësuarit dhe aftësitë individuale të nxënësve. Kur situata është shumë komplekse dhe aftësitë nuk janë të larta duhet të rritet shkalla e strukturimit. Nga ana tjetër, lloji i situatës në të cilën nxënësi ndodhet kur vlerësohet nuk duhet të jetë krejtësisht i ndryshëm prej asaj në të cilën ai ka qenë gjatë të mësuarit. Një nga funksionet e pyetjeve të strukturuara është që ta mundësojnë këtë afrim, pra lidhjen midis mësimdhënies, të mësuarit dhe vlerësimit të arritjes. Në një pyetje të strukturuar nxënësit i kërkohet të njihet me informacionin që jepet në trungun e përbashkët të pyetjeve dhe më pas t’i përgjigjet një sërë pyetjesh që lidhen me përmbajtjen e këtij trungu dhe që testojnë në mënyrë progresive njohuritë e nxënësit rreth çështjes. Si rregull niveli i vështirësisë së këtyre pyetjeve vjen duke u rritur. Pyetjet duhet të jenë të pavarura nga njëra tjetra dhe përgjigjja e saktë për një pyetje nuk duhet të varet nga përgjigjja e saktë e pyetjes paraardhëse. Kur kjo nuk është e mundur të realizohet (p.sh. në pyetjet e strukturuara që kërkojnë llogaritje), atëherë gabimi që rrjedh prej përgjigjes së gabuar në pyetjen e mëparshme nuk duhet të merret në konsideratë në pikëzimin e përgjithshëm. Shembull: (Kl. XI e gjimnazit) Jepen pikat A(2, 2); B(1, 1); C(3, 5) a) Tregoni që ato nuk janë në një drejtëz. b) Gjeni largesën AB. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB) d) Gjeni largesën e pikës C nga drejtëza (AB). e) Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit ABC. (krahasoni me pyetjen e pastrukturuar. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit ABC). f) Gjeni ekuacionin e vijës që përshkruan pika C kur sipërfaqja e trekëndëshit ABC është 10 njësi katrore. Shpesh strukturimi i një pyetjeje e ndan atë në disa pjesë që janë të niveleve të ndryshme.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 61 Shembull: (Kl. X e gjimnazit). Numri i përgjithshëm i diagonaleve të një n-këndëshi të mysët është ( 3) ku 3. 2 n n n  ! a) Sa është numri i diagonaleve të 6- këndëshit të mysët? (niveli I) b) Në cilin shumëkëndësh të mysët numri i diagonaleve është i barabartë me numrin e brinjëve? (niveli II ) c) A ekziston shumëkëndësh i mysët me 3 diagonale? (niveli II ) d) Vërtetoni që numri i përgjithshëm i diagonaleve të një n- këndëshi të mysët është ( 3) ku 3 2 n n n  ! (niveli III ). Një lloj pyetjesh që rekomandohet të përdoren për testet e kapitujve në matematikë janë pyetje me përgjigje të shkurtër, formulimi i të cilave kërkon një përgjigje të përcaktuar e të përpiktë. Këto pyetje kërkojnë nga 1 deri në 5 minuta kohë për t’u lexuar e për t’u përgjigjur. Këtu hyjnë pyetje në të cilat nxënësit i kërkohet të bëjë një figurë, të kryejë një njehsim, të paraqesë shkurt një argumentim, të plotësojë një pohim etj. Këto lloj pyetje kërkojnë më shumë se një miratim të thjeshtë a një kujtesë mekanike. Ka më pak mundësi që nxënësit ta gjejnë përgjigjen me hamendje në krahasim me pyetjet me zgjedhje të shumëfishtë; ato pikëzohen me më shumë objektivitet se sa pyetjet ese. Megjithatë edhe këto lloj pyetjesh kanë si mangësi se mund të mos nxjerrin në pah aftësitë e plota të nxënësve dhe mund të mos zbulojnë dobësitë që nxënësit mund të kenë në këtë kapitull. Një lloj tjetër pyetjesh që duhet të zënë vend në testet për një kapitull në lëndën e matematikës janë edhe pyetjet objektive me zgjedhje të shumëfishtë. Siç dihet një pyetje është objektive nëse është formuluar në mënyrë të tillë që të merret një përgjigje e saktë e vetme dhe e paracaktuar. Këto lloj pyetjesh e shmangin në shkallë të lartë subjektivitetin në pikëzim. Një pyetje objektive me zgjedhje të shumëfishtë përbëhet nga dy pjesë: x Nga trungu dhe përgjigjet ndër të cilat dallohet përgjigja çelës (përgjigja e vetme e saktë) x Përgjigjet hutuese. Këto pyetje lejojnë të mbulohet vlerësimi i një pjese të madhe të lëndës, mund të pikëzohen dhe korrigjohem më lehtë, mund të hartohen për çdo nivel të aftësive të nxënësve, për përgjigjen e tyre shpenzohet një kohë e shkurtër. Ato kanë mangësi se prej nxënësve kërkohet thjeshtë një akt miratimi dhe sjelljeje ndërmend, në to
    • “Matematika 12” Libër mësuesi62 nuk përfshihen kërkesa dhe arsyetime e shpjegime dhe ekziston mundësia që nëpërmjet përgjigjes me hamendje nxënësit të arrijnë një rezultat më të lartë nga ai që zotërojnë realisht. Në teste që hartohen me pyetje të llojeve të ndryshme rekomandohet që pyetjet të grupohen sipas llojit të tyre p. sh. ato me zgjedhje të shumëfishtë bashkë etj. Zgjedhja e llojit të pyetjeve që do të përdoren në test është mirë të bëhet në përputhje me aparatin pedagogjik të teksteve ekzistuese, pra të bëhen lloje të tilla pyetjesh me formën e të cilave nxënësit janë familjarizuar. 4. Përcaktimi paraprak i kohëzgjatjes së testimit bëhet duke mbajtur parasysh që si rregull në pyetjet me zgjedhje të shumëfishtë për çdo pyetje (1 pikë) llogariten 60 sekonda; për pyetjet e tjera për çdo pikë të dhënë llogariten 90 sekonda. Koha për përgjigjen e testit në tërësi përcaktohet paraprakisht duke mbajtur parasysh moshën e nxënësve, nivelin e shprehive të fituara nga nxënësit, shmangien e kopjimit prej tyre etj. Nëse gjatë testimit do të lejohet përdorimi i mjeteve si p. sh. makinë llogaritëse etj, kjo duhet të përcaktohet më parë dhe të jepen në fletën e testit udhëzimet sa dhe si do të përcaktohen këto mjete. Pyetjet duhet të jenë me një nivel të përshtatshëm vështirësie (kufiri i përshtatshëm është që 20% - 80% e nxënësve t’i përgjigjen saktë pyetjes). 5. Hartimi i testit të plotë 6. Akordimi i pikëve dhe i notës Akordimi i pikëve për përgjigjet e sakta të pyetjeve të një testi është një moment i rëndësishëm dhe mjaft me përgjegjësi. Ai duhet të sigurojë zvogëlimin në minimum të subjektivitetit në vlerësimin e nxënësve dhe të krijojë mundësinë për krahasimin e dijeve të nxënësve. Sistemi i pikëzimit që përdoret më shumë është ai që quhet analitik. Dy nga elementet bazë të këtij sistemi janë: x Caktimi i pikëve për çështjen që testohet. x Skema e pikëzimit (ku jepen kriteret e shpërndarjes së pikëve që janë akorduar për çështjen që do të testohet, duke patur parasysh për bazë përgjigjen e saktë që duhet të jepet për këtë çështje). Konvertimi i pikëve në notë zakonisht bazohet në vënien e notës në përputhje me përqindjet e përgjigjeve të sakta (P. P. S). Sipas këtij sistemi pasi përcaktohet përqindja e pikëve që do të shërbejnë si kufi i poshtëm i mjaftueshëm për kalimin e nxënësve (rekomandohet që ky kufi të
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 63 jetë rreth 25%), caktohen intervalet e pikëve që duhet të marrin nxënësit për secilën prej notave 4-10. Shembull: Supozojmë që maksimumi i pikëve që mund të merret në një test të hartuar është 30 pikë. Atëherë kemi këtë skemë konvertimi të pikëve në nota: Për kufirin e përqindjes maksimale të notës pakaluese (24%) përcaktojmë numrin maksimal të pikëve (30x24% =7, 2 § SLNs
    • . Pra 7 pikë është kufiri maksimal i pikëve për të cilin nxënësi nuk merr notë kaluese ( pra merr notën 4 ). Pikët e mbetura 30-7=23 duhet të ndahen në 6 intervale (për t’u konvertuar me notat 5, 6, 7, 8, 9, 10. ). Kemi 23:6§ RVH  . 4 + 3. Kështu çdo interval përbëhet nga 4 pikë me përjashtim të intervalit të fundit që do të përbëhet nga tre pikë. Kështu që konvertimi i pikëve në notë do të bëhet si më poshtë: Nota Intervalet e pikëve 4 0-7 5 8-11 6 12-15 7 16-19 8 20-23 9 24-27 10 28-30 Shembull Test për kreun III ”Zbatime të derivateve” “Matematika 12”(Bërthama) Koha: 60 minuta 1. Është dhënë funksioni f: y=x3 -3x2 +4 a) Studioni monotoninë (3 pikë) b) Gjeni vlerën më të madhe në [-1, 3] (4 pikë) c) Sa rrënjë ka ekuacioni 3 2 3 4 0x x  =0 në [-2, 0]? (3 pikë) d) Gjeni lim ( ) x f x orf (1 pikë)
    • “Matematika 12” Libër mësuesi64 e) Gjeni pikë prerjet e grafikut me boshtet e koordinatave (4 pikë) 2. Është dhënë funksioni 26 32   x x y a) Gjeni asimptotën horizontale (1 pikë) b) Gjeni asimptotën vertikale (3 pikë) 3. Është dhënë funksioni x ax y 22  (a>0) a) Studioni monotoninë (4 pikë) b) Gjeni vlerën më të vogël në ]0, 1] (4 pikë) 4. Është dhënë funksioni ],0[,sin 2 1 S xxxy a) Studioni monotoninë (4 pikë) b) Gjeni në cilat pika ka ekstremum (2 pikë) 5. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit )( 3 1 22 xaxV S në intervalin ]0, a[ (a>0) (4 pikë) 6. Nga të gjitha konet e drejta rrethore me përftuese a, cili ka vëllimin më të madh? (3 pikë) Konvertimi i pikave në nota: Nota 4 5 6 7 8 9 10 Pikë d10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 65 Argumentimi i testit I. Çështjet kryesore të përmbajtjes me peshat e tyre 1. Studimi i monotonisë me ndihmën e derivatit 37, 5 % 2. Vlera më e madhe(më e vogël) e një funksioni të vazhdueshëm 17, 5 % 3. Gjetja e ekstremumeve të funksionit 15 % 4. Elemente të tjera të studimit të variacionit e të ndërtimit të grafikut 30 % II. Përcaktimi i taksonomisë konjitive Në hartimin e testit janë mbajtur parasysh 3 nivele konjitive: 1. Njohja dhe të kuptuarit 2. Zbatim+arsyetim 3. Zbatim në situatë jo standarde Shpërndarja e pikëve të pyetjeve të testit sipas këtyre niveleve është bërë afërsisht në raportet 2:2:1 (40%; 40%; 20%). III. Llojet e pyetjeve të përdorura Pyetjet e testit janë: a) Të strukturuara, ose b) me përgjigje të shkurtër. Kjo gjë është bërë në përputhje me aparatin pedagogjik të teksteve ekzistues, duke zgjedhur lloje të tilla pyetjesh, me formën e të cilave nxënësit janë familjarizuar. Është patur parasysh gjithashtu që në dhënien e përgjigjes, nxënësit të bëjnë argumentimet e nevojshme, duke kontrolluar arsyetimin dhe aftësimin e tyre për komunikim matematik.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi66 IV. Pikëzimi Sasia totale e pikëve është 40, duke llogaritur që për çdo pikë nxënësit të kenë në dispozicion, për t’u përgjigjur, një rreth 90 sekonda. Shpërndarja e pikëve sipas niveleve dhe çështjeve Çështja /niveli Niveli I Niveli II Niveli III Totali Ç. I 1(a)--3p 3(a)-4p;4(a)-4p 3(b)—4p 15p Ç. II 1(b)—2p;5-2p 6—3p 7p Ç. III 1(b)-2p;5-2p 4(b)—2p 6p Ç. IV 1(d)—1p;1(e)-1p; 2—2p 2—2p;1(e)—3p 1(e)-3p 12p Total 15p 18p 7p 40p Shembull 2 PARATEST Lënda “Matematikë kl. X” Koha 60 minuta 1. a) Kryeni veprimet: aa 8 2 1 2 2 ˜¸ ¹ · ¨ © § (2 pikë) b) m dhe n janë dy numra natyrorë jo zero të ndryshëm. A mund të jetë monomi
    • nm x i fuqisë së katërt? (2 pikë) 2. a) Thjeshtoni shprehjen (x-2)(2x-3)- 2x (x-2) (2 pikë) b) Gjeni vlerën e shprehjes për x=2 (2 pikë) 3. Kryeni pjesëtimin (3x 2 - 2x-1) : (-x + 1) (3 pikë)
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 67 4. Për ç’vlera të ndryshorit nuk ka kuptim shprehja: a) 82 x x (1 pikë) b) 1 1 2 x (2 pikë) 5. Në cilën bashkësi janë identike shprehjet: 3 92   x x dhe x+3 (2 pikë) 6. Plotësoni barazimin: a) yx x  = yx 33 .........  b) 1 ....... 1 5 3  xx (2 pikë) 7. Kryeni veprimet: ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © §  a b b a 1:1 (2 pikë) 8. Faktorizoni shprehjet: a) 252 x (1 pikë) b) x 442  x (1 pikë) c) 6623  xxx (2 pikë) 9. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: a) 35 1  b) 7 7 (2 pikë) 10. Nxirrni faktorët nga shenja e rrënjës: a) 18 b) 2 5a c) 3 16 (3 pikë) 11. a) Gjeni në rrugën më të thjeshtë: 2 4 3  § · ¨ ¸ © ¹ (2 pikë) b) Njehsoni: 3 2 4  (2 pikë)
    • “Matematika 12” Libër mësuesi68 12. a) Jepet: 3 1x Gjeni x. (1 pikë) b) Zgjidhni ekuacionin: 2 1 4x (2 pikë) 13. Plotësoni barazimin: x + a=
    • .....3 1 3 1 ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © §  ax (2 pikë) 14. Gjeni, (-1)n +(-1)n+1 ku nN (2 pikë) Konvertimi i pikëve në nota: Nota 4 5 6 7 8 9 10 Pikë d10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 Argumentimi i testit I. Përcaktimi i çështjeve të përmbajtjes që do të testohen Çështjet mësimore kryesore të kontrolluara, me peshat përkatëse janë: 1. Monomet dhe veprimet me to (të përfshirë dhe vetitë e fuqive me eksponentë natyrorë): 10% 2. Polinomet dhe veprimet me to: 13% 3. Thyesat racionale, vlerat e palejueshme, shndërrimet identike të tyre 15% 4. Veprimet me shprehje racionale 15% 5. Përdorimi i formulave të rëndësishme 7% 6. Rrënja katrore e rrënja me tregues n 15% 7. Fuqitë me eksponentë të plotë 10% 8. Fuqitë me eksponentë racionalë 15% II. Përcaktimi i taksonomisë konjitive Në hartimin e testit janë mbajtur parasysh 3 nivele konjitive: 1. Njohja dhe të kuptuarit 2. Zbatim+arsyetim
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 69 3. Zbatim në situatë jo standarde Shpërndarja e pikëve të pyetjeve të testit sipas këtyre niveleve është bërë afërsisht në raportet 2:2:1 (40%; 40%; 20%). III. Llojet e pyetjeve të përdorura Pyetjet e testit janë: të strukturuara ose me përgjigje të shkurtër. Kjo gjë është bërë në përputhje me aparatin pedagogjik të teksteve ekzistues. IV. Pikëzimi Sasia totale e pikëve është 40, duke llogaritur që për çdo pikë nxënësit të kenë në dispozicion, për t’u përgjigjur, një rreth 90 sekonda. Shpërndarja e pyetjeve dhe e pikëve sipas çështjeve kryesore të përmbajtjes dhe sipas niveleve të taksonomisë konjitive jepet në tabelën e mëposhtme (pikët e pyetjeve të rrethuara rezultojnë të ndara sepse në këto pyetje kemi të bëjmë me ndërthurje të disa koncepteve, aftësive e shprehive). Niveli Çështja I II III Pyetja Pikë Pyetja Pikë Pyetja Pikë Pikë 1. 1 (a) 2 1(b) 2 4 2. 2(a) 2(b) 2 3 3 5 3. 4(a) 2(a)2(b) 2 4(b) 2 5 2 6 4. 6(a) 2(b) 2 7 2 8(c) 2 6 5. 8(a) 8(b) 6(b) 3 3 6. 12(a) 10(b) 2 9 10 (a) 10(c) 4 6 7. 11(a) 2 14 2 4 8. 11(b) 2 12(b) 13 4 6 Pikë 15 17 8 40
    • “Matematika 12” Libër mësuesi70 UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE KREU I VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT Mësimi 1.1 Përsëritje. Limitet e funksioneve kur fox Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë strukturimi i njohurive kryesore teorike mbi limitet e funksioneve kur fox , dhe zhvillimi i mëtejshëm i aftësive të fituara për to në klasën e 11. Zhvillimi i mësimit të bëhet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Duke mbajtur parasysh se kjo është ora e parë e mësimit të matematikës në klasën 12, nxënësit të lexojnë në klasë përmbledhjen e njohurive kryesore teorike që jepet në rubrikën “Për kujtesën tuaj”. Më tej në material ka shembuj të zgjidhur dhe ushtrime. Shembujt të trajtohen nga mësuesi me metodën e bisedës. Për trajtimin e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik, mësuesi të organizojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve. I duhet kushtuar kohë paraqitjes së zgjidhjes së secilit ushtrim dhe analizës së saj. Mësuesi duhet t’i lërë nxënësit të shprehen, të kontrollojnë përgjigjet që japin, të bëjnë vetëkorrigjimin e gabimeve eventuale; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve të shprehura. Nga ushtrimet e rubrikës, të konsiderohen si minimale ato me numrat 1, 4, 7. Mësimi 1.2 Përsëritje. Limiti i funksionit kur ax o . Funksionet p. m. v. kur ax o . Funksionet p. m. m. kur ax o . Synimi kryesor i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë strukturimi i njohurive kryesore teorike, të trajtuara në klasën 11 për limitin e funksionit kur ax o , funksionet p. m. v kur ax o , funksionet p. m. m. kur ax o , si dhe zhvillimi i aftësive të fituara lidhur me to. Nxënësit, nën drejtimin dhe me porosi të mësuesit, duhet të bëjnë një punë të konsiderueshme përgatitore për këtë orë mësimi, duke lexuar paraprakisht në
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 71 shtëpi përmbledhjen e njohurive kryesore teorike të vendosura në fillim të mësimit në rubrikën “Kujtesë”. Mësuesi mund të bëjë një sondazh të shkurtër dhe, po të jetë e nevojshme, të vërë nxënësit në punë për rileximin individual në klasë të kësaj rubrike. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit, dhënë në tekst. Shembujt e zgjidhura të trajtohen nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik të mësimit të konsiderohen pjesë integrale e këtij materiali. Ato të zgjidhen (ndofta jo të gjitha, në varësi të kohës në dispozicion) me punë të pavarur a me grupe të nxënësve. Kjo punë duhet të paraqitet dhe të analizohet. Mësuesi duhet të kërkojë dhe t’i lërë nxënësit të shprehen; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve të shprehura. Ndër ushtrimet e rubrikës me këtë emër të konsiderohen të nivelit minimal ato me numrat 1, 3, 4, 5/a, 6/a, b, c. Mësimi 1.3 Limitet e njëanshme Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Limiti i funksionit kur ax o . Limiti i djathtë (i majtë) i funksionit kur ax o . Asimptota vertikale. b) Veti Funksioni f ka limit kur ax o , atëherë dhe vetëm atëherë kur ai ka limite të njëanshme të barabarta kur ax o . c) Metoda Metodat e gjetjes së limiteve. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë limitet e njëanshme kur ax o për funksione të thjeshta, duke përfshirë edhe funksione të trajtës y= ¯ ® ­  ! axpërxg axpërxh )( )( .
    • “Matematika 12” Libër mësuesi72 " Të përcaktojnë (për funksione të thjeshta) nëse ekziston axo lim f(x), duke gjetur e krahasuar limitet e njëanshme kur ax o . Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst. Formimi i koncepteve dhe zbulimi i vetive bëhet me rrugën induktive, nëpërmjet shembujve e ushtrimeve gjysmë të zgjidhur, duke përdorur mjaft edhe paraqitjet grafike. Nuk është aq i rëndësishëm formulimi i përkufizimeve se sa aftësimi për gjetjen e limiteve të njëanshme për funksione konkretë të thjeshtë. Shembujt e dhënë në tekst të trajtohen plotësisht dhe në radhitjen në të cilën janë vendosur. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik, luajnë rol të rëndësishëm në përpunimin e koncepteve dhe aftësimin për zbatimin e vetive, prandaj duhet të zgjidhen nga nxënësit domosdo brenda orës së mësimit, me punë të pavarur a me grupe, duke organizuar edhe paraqitjen e diskutimin e mënyrës së zgjidhjes. Përfundimi përgjithësues “Funksioni f ka limit kur ax o , atëherë dhe vetëm atëherë, kur limitet e njëanshme, kur ax o ekzistojnë dhe janë të barabartë ” është nxjerrë në bazë të shqyrtimit të shembujve. Për të nuk është dhënë e as nuk duhet të kërkohet vërtetim rigoroz. Shembulli për gjetjen e asimptotave vertikale të grafikut të funksionit y= 2 1 x është mjaft i rëndësishëm për formimin lëndor të nxënësve e nuk duhet lënë pa trajtuar. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3/a, 4, 7, 9. Mësimi 1.4 Përkufizimi i funksionit të vazhdueshëm Njohuri kryesore teorike a) Koncepte Limiti i funksionit kur ax o . Funksioni i vazhdueshëm në pikën x=a. b) Veti Grafiku i funksionit të vazhdueshëm në një interval është një vijë e pandërprerë, pa këputje. c) Metoda Metoda të gjetjes së limiteve. Metoda grafike.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 73 Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të dallojnë nëse një funksion i thjeshtë i dhënë me një formulë, apo në trajtën y= ¯ ® ­  t axpërxg axpërxf )( )( , është i vazhdueshëm në pikën x=a. " Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion është i vazhdueshëm për x=a. " Të japin shembuj funksionesh të vazhdueshëm në pika të dhëna. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit siç është paraqitur në tekst. Ushtrimi hyrës ka një rëndësi të madhe për të arritur tek kuptimi i funksionit të vazhdueshëm në një pikë, prandaj duhet të punohet nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe dhe pastaj rezultatet të diskutohen duke bërë shënime në tabelë. Përkufizimi i funksionit të vazhdueshëm në një pikë zbërthehet mirë nëpërmjet ndarjes në tre kërkesa. Mësuesi mund të sqarojë nxënësit që bashkësia e funksioneve të vazhdueshëm në x=a është nënbashkësi e bashkësisë së funksioneve që kanë limit kur ax o . Për formimin botëkuptimor të nxënësve duhet vënë në dukje se shumë dukuri në natyrë rrjedhin në mënyrë të pandërprerë; kuptimi i vazhdueshmërisë është i nevojshëm për modelimin matematik të këtyre dukurive. Përfytyrimet grafike qartësojnë mjaft kuptimin e funksionit të vazhdueshëm në një pikë, prandaj duhet të përdoren gjerësisht. Është esenciale të vihet në dukje se grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një interval është vijë e pandërprerë. Shembujt e dhënë në materialin teorik duhet të trajtohen patjetër në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 4, 5/a. Mësimi 1.5 Veprime me funksionet e vazhdueshëm Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i vazhdueshëm në pikën x=a. b) Veti Teoremat mbi vazhdueshmërinë e shumës, prodhimit, herësit, përbërjes së funksioneve të vazhdueshëm në një pikë. Vetia e funksionit të vazhdueshëm.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi74 c) Metoda Induksioni dhe deduksioni: axo lim f(x)=f( axo lim ). Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë vazhdueshmërinë e një funksioni në një pikë, duke e paraqitur atë në mënyrë të përshtatshme (si shumë, prodhim, herës a përbërje funksionesh të vazhdueshëm). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Shtjellimi metodik i materialit në tekst kombinon intuitën, arsyetimin induktiv me arsyetimin deduktiv. Është shumë i rëndësishëm ushtrimi hyrës, që synon të ngjallë tek nxënësit një hamendje të caktuar. Për këtë arsye mësuesi duhet të këmbëngulë që ai të punohet nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe. Teorema 1, që është vërtetuar në tekst, mund të trajtohet nga mësuesi në tabelë me metodën e bisedës. Për teoremat 2, 3, 4 nuk jepet dhe nuk duhet të kërkohet vërtetim. Nuk është aq i rëndësishëm formulimi i teoremave, sesa kuptimi i thelbit të tyre, dhe aftësimi i nxënësve për zbatimin e tyre. Është shumë i rëndësishëm për zbatime të mëtejshme, fakti që për funksionin f, të vazhdueshëm në pikën x=a, mund të futim shenjën e limitit brenda shenjës së funksionit. Shënimi përkatës axo lim f(x)=f( axo lim ) nuk kuptohet lehtë nga nxënësit, prandaj mësuesi duhet të ndalet mirë këtu, duke punuar disa shembuj. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3. Mësimi 1. 6 Vazhdueshmëria e funksioneve të zakonshëm Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i zakonshëm. Funksioni i vazhdueshëm në një pikë. b) Veti Funksioni i zakonshëm është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë së përcaktimit.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 75 c) Metoda Përgjithësimi Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: # • Të përcaktojnë nëse një funksion i dhënë është i zakonshëm. # • Nëpërmjet kontrollit për bashkësinë e përcaktimit të përcaktojnë nëse një funksion i zakonshëm është i vazhdueshëm në një pikë të dhënë. Udhëzime për zhvillimin e temës Kuptimi i funksionit të zakonshëm është i njohur për nxënësit qysh nga klasa 11. Mësuesi mund t’u vërë si detyrë paraprakisht nxënësve që të lexojnë (përsërisin) mësimin përkatës të klasës 11, duke evidentuar faktin e njohur që limiti i funksionit të vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë së përcaktimit është i barabartë me vlerën e tij në atë pikë. Pjesa hyrëse e mësimit është një kujtesë e këtyre njohurive. Ajo mund të lexohet individualisht nga nxënësit në klasë, duke e zhvilluar mësimin me libër hapur e duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Pasi është trajtuar kuptimi i funksionit të zakonshëm, është me rëndësi punimi i ushtrimit për vazhdueshmërinë e funksionit y= x xsin + )cos2( xnex  A , i cili synon të ngjallë tek nxënësit hamendjen për përfundimin përgjithësues që do të nxirret më tej; ky ushtrim duhet të punohet nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe. Përfundimi “Çdo funksion i zakonshëm është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë së përcaktimit” synohet të nxirret nga nxënësit. Shembulli që pason të punohet nga mësuesi në tabelë me metodën e bisedës. Mësuesi mund t’u japë më tej nxënësve ushtrime të ndryshme për punë të pavarur a me grupe. Ato mund të nisin në klasë e të përfundohen në shtëpi. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 4, 5, 7.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi76 Mësimi 1. 7 Veti të funksioneve të vazhdueshëm në segment Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i vazhdueshëm në një bashkësi. Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit në bashkësi. b) Veti Dy veti të funksionit të vazhdueshëm në segment [a, b]. (arritja e M, m; anullimi kur f(a)·f(b)<0) c) Metoda Induksioni. Metoda grafike. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të nxjerrin nga grafiku veti të funksioneve të vazhdueshëm në segment. " Të nxjerrin nga teoremat e njohura rrjedhime të thjeshta logjike. " Të përcaktojnë ekzistencën e rrënjëve të një ekuacioni algjebrik në [a, b] kur f(a)·f(b)<0. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Shtjellimi metodik i materialit në tekst përdor përfytyrimet grafike dhe induksionin për nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese që nuk vërtetohen. Është e rëndësishme që ushtrimet para secilës teoremë, që synojnë nxjerrje përfundimesh të caktuara, të punohen nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe. Para formulimit të çdo teoreme, mësuesi mund të japë edhe shembuj të tjerë të ngjashëm, për të përforcuar hamendjen e krijuar. Ndonëse teoremat nuk vërtetohen, për formimin logjik të nxënësve është e dobishme që ata, me punë të pavarur a me grupe, të nxjerrin në klasë rrjedhime të thjeshta logjike të tyre. Shembulli për ekzistencën e të paktën një rrënje për ekuacionin f(x)=0, ku f është i vazhdueshëm në [a, b] kur f(a)·f(b)<0, ka vlera formuese për dobitë e zbatimeve të njohurive brenda fushës së matematikës, prandaj duhet trajtuar me vëmendje nga mësuesi. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 77 KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT Mësimi 2.1 Probleme që çojnë në kuptimin e derivatit. Përkufizimi i derivatit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit në segment. Shpejtësia e çastit në lëvizjen drejtvizore të një pike materiale. Derivati i funksionit në një pikë. b) Veti Shpejtësia e pikës materiale që kryen lëvizje drejtvizore sipas ligjit x=f(t) në çastin a është f ’(a). c) Metoda Metoda për njehsimin e derivatit të f në pikën a sipas përkufizimit f’(a)=lim h afhaf )()(  (5 hapa). Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë në raste të thjeshta (si y=ax+b, y=x2 +a, y=ax2 , y= x a ) derivatin e funksionit në një pikë të dhënë sipas përkufizimit. " Të gjejnë shpejtësinë e çastit për pikën materiale, që kryen lëvizje sipas Ox, sipas një ligji të thjeshtë të njohur. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi ka rastin të evidentojë, në kuadrin e komponentes epistemiologjike të mësimdhënies së matematikës, historikun e shkurtër të lindjes së kuptimit të
    • “Matematika 12” Libër mësuesi78 derivatit, duke nënvizuar se ishin probleme të rëndësishme praktike ato që çuan në krijimin e këtij koncepti dhe midis tyre, padyshim, vend të rëndësishëm ka zënë problemi i shpejtësisë së çastit në lëvizjen drejtvizore të pikës materiale, që ilustrohet gjerësisht në këtë mësim. Përkufizimi i dhënë për konceptin e derivatit është një përkufizim konstruktiv, që lejon njehsimin e tij për një funksion të dhënë, në një pikë të dhënë. Mësuesi duhet të pasqyrojë në tabelë të 5 hapat e metodës. Pas leximit individual në tekst të shembullit të paraqitur, klasa të punojë si ushtrim, me punë të pavarur a me grupe, njehsimin e derivatit të funksionit f : y=x2 në pikën 3 (në pikën a; në pikën x). Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 8/a, b; 9/a, 6. Mësimi 2.2 Derivatet e disa funksioneve të thjeshtë Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në një pikë x. Funksioni i derivueshëm në interval. b) Veti Formulat për derivatet e funksioneve y=ax+b, y=ax2 +bx+c, y= x , y= x 1 . c) Metoda Gjetja e derivatit të funksionit sipas përkufizimit konstruktiv. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë derivatet e funksioneve të thjeshtë y=ax+b, y=ax2 +bx+c, y= x a , y= xa sipas përkufizimit në një pikë x të bashkësisë së përcaktimit. " Të përdorin lirisht këto formula për të gjetur derivate funksionesh konkretë të trajtave të mësipërme në pika të dhëna.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 79 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali mësimor në tekst lejon aktivizimin e masës së gjerë të nxënësve të klasës, me punë të pavarur individuale a me grupe për nxjerrjen e përfundimeve. Në tekst janë dhënë vërtetimet vetëm për dy teorema; trajtimi i tyre duhet të kryhet nga mësuesi në klasë. Një numër teoremash të tjera, për të cilat janë dhënë vetëm formulimet, mund dhe duhet të vërtetohen nga nxënësit; ky numër varet nga niveli i klasës. Mësuesi duhet t’u vërë në dukje nxënësve se përfundimet e teoremave (formulat për derivatet e funksioneve në pikën x) duhet të fiksohen në kujtesë, pasi do të përdoren gjerësisht më tej. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 5, 10/a. Mësimi 2.3 Derivati si shpejtësi e ndryshimit të funksionit. Shpejtësia e çastit në zhvillimin e një procesi Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në një pikë. Shpejtësia e çastit në zhvillimin e një procesi. b) Veti Në relacionin y=f(x), shpejtësia e ndryshimit të y, kur x=a, jepet nga f ’(a). c) Metoda Metoda e përgjithësimit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë shpejtësinë e ndryshimit të madhësisë y, lidhur me x me relacionin y=f(x), si derivat të f(x). " Ta përdorin këtë fakt në situata të thjeshta reale. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi është shumë i rëndësishëm për formimin botëkuptimor të nxënësve, për bindjen e tyre për dobinë e aparatit matematik (në veçanti të njehsimit diferencial) për studimin e dinamikës së proceseve. Pas një rikujtese të shkurtër të rezultateve të arritura në mësimin 1, shqyrtohet problemi i shpejtësisë së ftohjes së një trupi. Shkurtimisht përdoret analogjia për ndonjë proces tjetër të ngjashëm (p. sh. shpejtësia e ndryshimit të masës së substancës që hyn në një reaksion kimik).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi80 Më pas nxirret në mënyrë të natyrshme përfundimi përgjithësues, në fillim në trajtën: “Sa herë që flitet për shpejtësi të zhvillimit të një procesi, kemi të bëjmë me një derivat” e më tej në trajtën më të saktë “Shpejtësia e ndryshimit të y në relacionin y=f(x), kur x=a, jepet nga f ’(a)”. Më tej nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, vihen të zgjidhin ndonjërin nga ushtrimet e tekstit, p. sh. nr. 5. Pas kësaj, të trajtohet problemi i kostos margjinale (që nxënësit mund ta lexojnë në tekst). Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6. Mësimi 2.4 Mënyrë tjetër për njehsimin e derivatit. Vazhdueshmëria e funksionit që ka derivat Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në një pikë. Limitet e njëanshme kur ax o . Funksioni i ndryshueshëm në x=a. b) Veti f’(a)= axo lim ax afxf   )()( . Funksioni që ka derivat në pikën x=a është i vazhdueshëm në pikën x=a. c) Metoda Deduksioni. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë në raste të thjeshta f ’(a) si axo lim ax afxf   )()( . " Të përdorin në arsyetime të thjeshta faktin që nga ekzistenca e f ’(a) rrjedh vazhdueshmëria e funksionit në pikën x=a. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi didaktik i materialit, paraqitur në tekst. Të mbahet parasysh niveli i klasës për trajtimin e shembullit për derivatin e funksionit
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 81 f : y= 2 4 4 2 2 x për x x për x  t­ ® ¯ dhe të ushtrimit pasues për funksionin y= 2 1 1 x për x x për x ­ t ® ¯ në pikën x=1. Shembulli dhe ushtrimi të punohen vetëm me nxënësit e mirë. Përkundrazi, pasi trajtohet vazhdueshmëria e funksionit që ka derivat, t’i jepet klasës për punë të pavarur a me grupe ushtrimi 2, që synon aftësimin e nxënësve për deduksione logjike. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, 2/a, 3, 6. Mësimi 2.5 Rregullat e derivimit Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Shuma, prodhimi i funksioneve. Derivati i funksionit në pikën x. Funksioni i derivueshëm në interval. b) Veti Teoremat për derivatin e shumës e të prodhimit të funksioneve të derivueshëm në interval. Rrjedhimet e tyre. Derivati i funksionit n xy , Nn  . c) Metoda Paraqitja e një funksioni të dhënë si shumë a prodhim dy funksionesh të derivueshëm. Shkathtësi Në mbarim të orës së mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të njehsojnë derivatin, në një pikë të çfarëdoshme, për funksionin që paraqitet si shumë a prodhim dy funksionesh të thjeshtë, me derivat të njohur (y=ax2 +bx+c; y=ax+b; y= x a ; y= xa ). " Të njehsojnë derivatin, në një pikë të çfarëdoshme, për funksionin që paraqitet si fuqi me eksponent natyror f n , ku f është funksion me derivat të njohur.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi82 Udhëzime për zhvillimin e temës Materiali i paraqitur në tekst për këtë orë mësimi ka ngarkesë vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësuesi mund të përdorë metodën e bisedës për nxjerrjen e përfundimeve teorike kryesore (kryesisht për vërtetimin e teoremës mbi derivatin e shumës). Është e rëndësishme që të vihet në dukje dobia e teoremave, të cilat zgjerojnë shumë spektrin e funksioneve, për të cilat mund të gjendet derivati (thjeshtë, pa përdorur përkufizimin e tij). Të punohen shembujt e dhënë në tekst; ushtrimet e paraqitura në materialin teorik t’u jepen nxënësve për t’i zgjidhur në klasë me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2 7, 9. Mësimi 2.6 Rregullat e derivimit (vazhdim) Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në një pikë. Funksioni i derivueshëm në interval. Polinomi. Funksioni racional thyesor. Raporti i dy polinomeve. b) Veti Rregulla për derivatin e polinomit. Teorema për derivatin e raportit. c) Metoda Metoda e induksionit dhe e përgjithësimit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë derivatin e polinomit me fuqi të çfarëdoshme në një pikë të dhënë. " Të gjejnë derivatin e çdo funksioni racional thyesor në pikat e bashkësisë së tij të përcaktimit. " Të zbatojnë teoremën mbi derivatin e raportit në rastet kur numëruesi dhe emëruesi janë funksione të thjeshtë të derivueshëm. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Shtjellimi i mësimit në tekst kombinon intuitën me arsyetimin induktiv të nxënësit, të cilat çojnë në përfundimet përgjithësuese.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 83 Teoremat nuk janë vërtetuar dhe nuk duhet kërkuar nga nxënësit që t’i vërtetojnë ato. Të trajtohen shembujt dhe ushtrimet gjysmë të zgjidhur; të jepen për zgjidhje ushtrimet e vëna në tekst që janë pjesë integrale e materialit teorik (me punë të pavarur a me grupe). Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 6, 7, 9. Mësimi 2.7 Përafrimet e funksioneve Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Limiti kur 0oh . Derivati i funksionit në një pikë. b) Veti Formula e përafërt f(x+h)=f(x)+f ’(x)·h. c) Metoda Metoda e përafrimit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin barazimin f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) për njehsime të përafërta të vlerave konkrete të funksioneve të thjeshtë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi paraprakisht mund t’u ketë dhënë përsëritje nxënësve 0 lim ox f(x). Nxjerrja e formulës së përafërt f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) (për h mjaft afër 0) të kryhet nga mësuesi, duke tërhequr vëmendjen e nxënësve tek kuptimi intuitiv i afrimit pambarim të vlerave të m(h) tek limiti i saj, kur vlerat e h zvogëlohen pambarimisht. Më tej mund të punohet me tekst hapur. Të lexohen shembujt që jepen në tekst dhe të punohen ushtrimet e vendosura në materialin teorik, me punë të pavarur individuale a me grupe. Është me rëndësi t’u tërhiqet vëmendja nxënësve për fiksimin në kujtesë të formulës f(x+h)=f(x)+h·f ’(x) dhe jo të trajtave të veçanta që rrjedhin prej saj për funksione konkretë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 5, 6.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi84 Mësimi 2.8 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe përmirësimi i shkathtësive të zhvilluara në orët paraardhëse të kreut. Mësuesi mund t’u japë më parë nxënësve për detyrë përgatitjen në shtëpi të përmbledhjes së sistemuar të fakteve kryesore, të trajtuara në mësimet 1-7. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke gërshetuar shqyrtimin e shembujve dhe zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në tekst. Pasi të trajtohet nga mësuesi në tabelë zgjidhja e ushtrimit 1, nxënësit me punë të pavarur a me grupe zgjidhin ushtrimet 2 dhe 3. Rezultatet më të spikatura të punës së nxënësve diskutohen me klasën. Nga mësuesi në tabelë trajtohet ushtrimi 6; më pas nxënësit me punë të pavarur a me grupe zgjidhin ushtrimet 7, 8, 9. Mësuesi trajton në tabelë ushtrimin 12 e më pas nxënësit me punë të pavarur a me grupe zgjidhin ushtrimet 13, 14. Për organizimin e punës së diferencuar në klasë të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal mund të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 6, 9/a, b, 12, 13, 14, 18. Mësimi 2.9 Tangjentja në një pikë të vijës (Kuptimi gjeometrik i derivatit) Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Tangjentja në një pikë të vijës. b) Veti Trajta e ekuacionit të tangjentes në një pikë të grafikut të funksionit y=f(x). c) Metoda Metoda e koordinatave. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: ) Të dallojnë pika të grafikut, ku nuk ka tangjente dhe të nxjerrin përfundimin që në abshisat përkatëse funksioni nuk ka derivat. ) Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në pikën e grafikut të funksionit f, në pikën a, kur ekziston f ’(a).
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 85 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në nxjerrjen e përfundimeve përdoret përfytyrimi intuitiv për tangjenten në një pikë të vijës, si pozicion limit i prerëses (AM) kur AM o . Ky moment duhet sqaruar mirë. Pasi të arrihet në përfundimin kt=f ’(a), të vihet në dukje se procesi i gjetjes së tangjenteve në pika të ndryshme të vijave të lëmuara ka qënë pikënisje e fuqishme për zhvillimin e njehsimit diferencial. Shembujt e zgjidhur të dhënë në tekst, nxënësit mund t’i lexojnë me libër hapur e të diskutojnë rreth tyre. Më tej, me punë të pavarur a me grupe, ata duhet të zgjidhin në klasë ushtrimet e inkluduara në materialin teorik, që janë pjesë e këtij materiali, në funksion të përpunimit të koncepteve dhe zhvillimit të shkathtësive. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3 4. Mësimi 2.10 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit, gjatë trajtimit të materialit të vendosur në tekst në këtë orë mësimi, duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i mëtejshëm i shkathtësive të fituara në mësimet e mëparshme dhe kryesisht në mësimin 9. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Gjatë tij duhet të gërshetohet zgjidhja e disa ushtrimeve nga nxënës të ndryshëm në tabelë (përfundimet e arritura prej tyre dëgjohen e diskutohen nga klasa, duke ndërprerë punën e saj) me zgjidhjen e disa ushtrimeve të tjera nga nxënësit e klasës, me punë të pavarur a me grupe. Në tabelë mund të trajtohen ushtrimet nr. 3; nr. 8; nr. 5; nr. 16. Për organizimin e punës së diferencuar me klasën të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal janë ato me numrat 4, 7, 9, 10/a, b, d, 13. Mësimi 2.11 Derivatet e funksioneve logaritmikë, fuqi, eksponencialë, trigonometrikë Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në një pikë. Funksioni logaritmik; fuqi; eksponencial; trigonometrik. b) Veti Formulat për derivatin në pikën x për funksionet: y= xogaA , y= nxA ; y= x a , ( 10 z a ); y= x e , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=cotgx.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi86 c) Metoda Përdorimi i përkufizimeve dhe rregullave të derivimit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përdorin lirisht formulat e mësipërme për gjetjen e derivatit të funksionit të dhënë në një pikë të dhënë. " Të përdorin këto formula në situata të thjeshta praktike, sidomos kur shqyrtohet shpejtësia e një procesi apo tangjentja ndaj një vije transhendente. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i paraqitur në tekst për këtë orë mësimore ka ngarkesë vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Në tekst nuk janë dhënë vërtetime të formulave për derivatet e funksioneve: y= xogaA , y= x a ( 10 z a ) dhe y= D x ( RD ). Mësuesi të kërkojë që nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, të nxjerrin formulat për derivatet e funksioneve: y= nxA , y= x e dhe y= m n x (x>0). Vërtetimi i teoremës për derivatin e funksionit y=sinx të bëhet nga mësuesi me metodën e bisedës. Është i rëndësishëm për formimin konceptual të nxënësve ushtrimi që pason. Ai të zgjidhet nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe dhe rezultatet të diskutohen. Vërtetimi i formulës për derivatin e funksionit y=cosx mund t’u jepet nxënësve për punë në shtëpi. Ushtrimi për derivatin e funksionit y= x x sin cos (d.m.th., y=cotgx) të zhvillohet nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe dhe të diskutohet me klasën. Më tej trajtohet formula për derivatin e funksionit y=tgx. Mirë është që, nëse niveli i klasës e lejon, edhe ajo të nxirret nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6, 7.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 87 Mësimi 2.12 Derivati i rendit të dytë. Diferenciali i funksionit Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i dytë i funksionit f në pikën x. Funksioni f ’. Diferenciali i funksionit. Ndryshesa e funksionit. b) Veti Nxitimi në lëvizjen drejtvizore x=f’(t) jepet d(t)=x’’(t). Diferenciali i funksionit të derivueshëm f në pikën x është df(x)=f’(x)dx. c) Metoda Metoda e shndërrimit të diferencialit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të njehsojnë derivatin e dytë të funksioneve të thjeshtë të dhënë në pika të dhëna. " Të përdorin këto njohuri për njehsimin e nxitimit në lëvizjen gjatë Ox me ekuacion të thjeshtë. " Të njehsojnë diferencialin e një funksioni të thjeshtë të derivueshëm në një pikë të dhënë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi duhet të sqarojë mirë, se duke i lidhur çdo vlere të x nga I, vlerën f’(x) të derivatit të një funksioni të derivueshëm në I, ne marrim një funksion të ri y=f’(x). Pikërisht derivatin e këtij funksioni të ri në pikën x, ne e quajmë derivat të dytë të funksionit f në pikën x. Është i rëndësishëm zbatimi në fizikë. Duke patur parasysh se nxitimi është shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë, arrihet në përfundimin që nxitimi në lëvizjen sipas Ox me ligjin x=f(t) jepet nga barazimi a(t)=f’’(t). Në trajtimin e diferencialit të funksionit është i rëndësishëm vërtetimi i faktit që për funksionin y=x kemi dx=h, gjë që lejon ta shkruajmë diferencialin e funksionit të derivueshëm në pikën x në trajtën df(x)=f’(x)dx. Është me rëndësi vërejtja që evidenton se diferenciali i funksionit f në pikën x na jep një vlerë të përafërt për ndryshesën e funksionit f, kur kalojmë nga pika x në pikën x+h.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi88 Shndërrimet e diferencialeve (si tek shembulli i dhënë në tekst )( 3 1 32 xddxx ˜ ) janë të rëndësishëm për njehsimin e integralit të pacaktuar. Mësuesi mund t’jua japë nxënësve për punë në shtëpi nxjerrjen për shndërrimet e tjera, që janë dhënë në tekst pa vërtetim. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, b; 2; 5; 7; 8; 9. Mësimi 2.13 Derivati i funksionit të përbërë Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i përbërë. b) Veti Formula e derivatit të funksionit të përbërë > @ )(')('' xuxufy ux ˜ . c) Metoda Metoda e analizës. Zbatimi i rregullave të derivimit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të zbërthejnë një funksion të përbërë të thjeshtë në hallkat përbërëse. " Të gjejnë derivatin në pikën x të funksionit të përbërë me dy hallka. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Ne shpesh kemi të bëjmë, gjatë shqyrtimit të situatave praktike apo matematike, me funksione të përbëra. Zotërimi i teknikës për derivimin e tyre është shumë i rëndësishëm, por përvoja tregon që për nxënësit ky proces ka mjaft vështirësi. Rekomandojmë që mësuesi të ndjekë shtjellimin metodik të materialit siç është paraqitur në tekst. Shembulli i hyrjes dhe ushtrimi që pason kanë vlera të pamohueshme për formimin konceptual të nxënësve, prandaj duhen trajtuar gjerësisht. Teorema mbi derivatin e funksionit të përbërë, sipas programit, jepet pa vërtetim. Ndërkaq është i rëndësishëm sqarimi i thelbit të saj (sidomos lidhja e x1 me u1) dhe kësaj i shërben punimi i shembullit që pason. Më tej arrihet në trajtën e përgjithshme. > @ )(')('' xuxufy ux ˜ .
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 89 Vështirësia kryesore që nxënësit hasin për derivimin e funksionit të përbërë është zbërthimi i tij në hallkat përbërëse. Prandaj mësuesi duhet të trajtojë këtu, duke aktivizuar klasën me punë të pavarur a me grupe, raste zbërthimesh të tilla, në fillim me dy e më pas me tre hallka. Nxënësve u vihet në dukje rëndësia e tabelës që pason me derivatet e funksioneve kryesorë, të dhënë në trajtën y=f(u) dhe u vihet si detyrë që ta fiksojnë atë në kujtesë. Më tej të zhvillohen ushtrime, duke u ndalur fillimisht në përbërje me dy hallka. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3/a, c, 4, 5,6, 7. Mësimi 2. 14 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i shkathtësive të fituara në mësimet e mëparshme, sidomos në mësimin 14. Mësimi të zhvillohet me libër hapur dhe nxënësit të lejohen të konsultojnë lirisht tabelën e derivateve të funksioneve kryesorë, të dhënë në trajtën y=f(u). Të mbahet parasysh se nuk ka aq rëndësi sasia e ushtrimeve të trajtuara sesa fakti që ushtrimi punohet në mënyrë të pavarur individuale. Disa ushtrime kanë më tepër se një mënyrë zgjidhje; diskutimi për rrugët e mundshme të zgjidhjes së tyre ka vlera të mirëfillta formuese për nxënësit. Mësuesi duhet të gërshetojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve për zgjidhjen e disa ushtrimeve, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm (kjo zgjidhje duhet të diskutohet me nxënësit e klasës, që ndërpresin përkohësisht punën e tyre). Për organizimin e punës së diferencuar me nxënësit, të mbahet parasysh se si ushtrime të nivelit minimal janë ato me numrat 1, 2, 4, 5/a, 6, 8, 9. Mësimi 2.15 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit duhet të jetë strukturimi i njohurive kryesore teorike të kreut dhe zhvillimi i mëtejshëm i njohurive të fituara gjatë trajtimit të tij. Nxënësit, nën drejtimin dhe me porosi të mësuesit duhet të bëjnë një punë të konsiderueshme përgatitore për këtë orë mësimi, duke përmbledhur, sistemuar e hedhur në letër në mënyrë sintetike njohuritë teorike kryesore (e jo vetëm formulat).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi90 Zhvillimi i mësimit bëhet me libër hapur. Në tekst ka një numër të konsiderueshëm ushtrimesh zbatimi, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Mësuesi nuk duhet të synojë e as të kërkojë zgjidhjen me punë të pavarur (qoftë edhe në shtëpi, pas mësimit) të të gjitha ushtrimeve që figurojnë në tekst, duke u kujdesur të mos shkaktojë mbingarkesë lëndore të pafrytshme tek nxënësit. Në klasë, mësuesi duhet të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve për të zgjidhur disa nga këto ushtrime, me punën në tabelë të nxënësve të ndryshëm, që zgjidhin të tjera ushtrime. I duhet kushtuar kohë paraqitjes së zgjidhjes së secilit ushtrim (si nga grupi në bankë, ashtu edhe nga nxënësi në tabelë) dhe analizës së saj. Mësuesi duhet t’i lërë nxënësit të shprehen, të kontrollojnë përgjigjet që japin, të bëjnë vetëkorrigjimin e gabimeve eventuale; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve të shprehura. Si ushtrime të nivelit minimal (prioritare për trajtim me punë të pavarur nga nxënësit) të konsiderohen ato me numrat 1; 3; 7/a, b, c; 8/a, c, e; 10/a, b,e,f;11/a,b.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 91 KREU 3 ZBATIME TË DERIVATEVE Mësimi 3.1 Teorema Ferma. Teorema e Lagranzhit Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në një pikë. Tangjentja në një pikë të grafikut të funksionit. b) Veti Teorema Ferma. Teorema e Lagranzhit dhe një rrjedhim i saj. c) Metoda Metoda induktive. Metoda grafike. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka ekstremum. " Në pikat ku grafiku ka ekstremum, të dallojnë nga grafiku nëse f’(x)=0 apo f’(x) nuk ekziston. " Të përdorin në raste të thjeshta faktin që kur 0)(' zxf në I, atëherë funksioni nuk ka ekstremum në I. " Të gjejnë për funksionin e derivueshëm (të thjeshtë) në [a, b] pikën C, që vërteton barazimin e Lagranzhit )()(')()( abcfafbf ˜ . Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i parashikuar për këtë orë mësimi ka ngarkesë vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora mësimore, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit që është dhënë në tekst. Ai përdor gjerësisht përfytyrimet grafike dhe induksionin. Një ushtrim i dhënë për zgjidhje (që duhet të punohet në mënyrë të pavarur a me grupe nga nxënësit) synon që tek ata të lindë një hamendje e caktuar. Kjo
    • “Matematika 12” Libër mësuesi92 përforcohet më tej me shembuj gjysmë të zgjidhur, për të arritur në përfundimin përgjithësues. Kjo rrugë është ndjekur në tekst për të arritur në formulimet e teoremës Ferma, po ashtu të teoremës së Lagranzhit. Këto teorema janë dhënë pa vërtetim dhe është e qartë që për to nuk duhet të kërkohet vërtetim. Mësuesi duhet të sqarojë mirë, duke përdorur ushtrimin që figuron në tekst e ndonjë shembull të zgjedhur prej tij, që nga barazimi f ’(a)=0 nuk rrjedh që funksioni ka ekstremum për x=a. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, b, 8. Mësimi 3.2 Studimi i monotonisë së funksionit Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit në pikë. Funksioni rritës (zbritës) në I. b) Veti Dy teoremat mbi monotoninë e funksionit në I, kur derivati i tij ruan shenjë në I. c) Metoda Deduksioni. Studimi i monotonisë së funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së tij. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përcaktojnë për funksionet e thjeshtë të derivueshëm intervalet e bashkësisë së përcaktimit ku ata janë rritës (zbritës) nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst, i cili kombinon induksionin me arsyetimin deduktiv. Ushtrimi i dhënë në fillim të mësimit synon të krijojë tek nxënësit hamendjen për lidhjen midis shenjës së derivatit të funksionit në I dhe monotonisë së tij në I. Ai të punohet nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 93 Teorema 1 “[f ’(x)>0 në I] Ÿ [f rritës në I] ka vërtetim të thjeshtë, që është dhënë në tekst. Në kontrollin e dijes në orën që vijon, mësuesi mund të kërkojë riprodhimin e vërtetimit, por pa e tepruar në këtë kërkesë. Është më shumë produktive kërkesa për vërtetimin në klasë, me punë të pavarur a me grupe të teoremës 2. Shembullin në vijim nxënësit mund ta lexojnë vetë në tekst e pastaj mund të angazhohen në zgjidhjen me punë të pavarur a me grupe të ndonjë ushtrimi tjetër. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, b, 6/a. Mësimi 3.3 Zbatime për përpunim të njohurive Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i derivueshëm në I. Funksioni rritës (zbritës) në I. b) Veti Një rrjedhim i teoremës së Lagranzhit. (Midis dy rrënjëve të funksionit f të derivueshëm në I, ekziston të paktën një rrënjë e derivatit të tij). c) Metoda Studimi i monotonisë së funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të studiojnë monotoninë e funksioneve të thjeshtë racionalë nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit. " Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta rrjedhimin e teoremës së Lagranzhit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Duke përdorur shtjellimin e paraqitur në tekst, vendin kryesor në trajtimin e materialit ta zërë puna e nxënësve në orën e mësimit, individuale a me grupe për zgjidhjen e ushtrimeve. Rezultatet e kësaj pune të analizohen e diskutohen me klasën, për të arritur në përfundimet përgjithësuese. Mësuesi mund t’i japë klasës për zgjidhje brenda orës së mësimit, edhe ushtrime të tjera nga rubrika përkatëse. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 8/a, b.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi94 Mësimi 3.4 Kushte të mjaftueshme për ekzistencën e ekstremumeve Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Maksimumi (minimumi) i funksionit në një pikë. Funksioni i derivueshëm në I. b) Veti Tri teoremat për ekzistencën (mosekzistencën) e ekstremumit në pikën a të funksionit të derivueshëm në një interval që përmban a. c) Metoda Gjetja e ekstremumeve të një funksioni të derivueshëm në I nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë ekstremumet e një funksioni të thjeshtë të derivueshëm në I. Udhëzime për zhvillimin e temës Tri teoremat që përbëjnë bërthamën e këtij mësimi, sipas programit, janë dhënë në tekst pa vërtetim. Për to nuk duhet të kërkohet vërtetim nga nxënësit që ndjekin pjesën e kurrikulës bërthamë. Por është shumë i rëndësishëm ilustrimi grafik i përmbajtjes së tyre, që përbën thelbin e orientimit për t’i zbatuar ato në praktikë. Shembulli i dhënë pas dy teoremave të para mund të trajtohet nga mësuesi në tabelë. Pas tij, pa kaluar tek teorema III, është mirë që të vihen nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur a me grupe, ndonjë ushtrim të marrë nga rubrika përkatëse. Për teoremën III të jepet gjithashtu ilustrimi grafik. Edhe ushtrimi pas teoremës III duhet të synohet të zgjidhet nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 95 Mësimi 3.5 Zbatime për përpunim të njohurive Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni rritës (zbritës). Ekstremumi i funksionit. Derivati i parë dhe i dytë i funksionit. b) Veti Teorema [ Ia  , f ’(x) ekziston në I, f ’(a)=0 dhe f ’’(a) 0z ] Ÿ [f ka ekstremum në x=a]. c) Metoda Studimi i monotonisë dhe gjetja e ekstremumeve të funksionit me anë të studimit të shenjës së derivatit të parë dhe derivatit të dytë. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të studiojnë monotoninë dhe të gjejnë ekstremumet për funksionet e thjeshtë algjebrikë, përfshirë edhe ata të formës dcxbxaxy 2 , nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të parë. " Të përdorin në raste shumë të thjeshta (veçanërisht për funksionet trigonometrikë) teoremën mbi gjetjen e ekstremumeve me anë të derivatit II. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht në të shembullin e parë të zgjidhur. Më tej mësuesi të organizojë zgjidhjen (me punë të pavarur a me grupe) të një ushtrimi nga rubrika përkatëse. Zgjidhja e gjetur të diskutohet me klasën. Pastaj nxënësit të lexojnë shembullin e dytë të zgjidhur. Më tej mësuesi të organizojë zgjidhjen (e më pas diskutimin) e një ushtrimi tjetër, me punë të pavarur a me grupe. Shtrohet para klasës problemi për gjetjen e ekstremumeve të funksionit y=x-sin2x, dhe pastaj sqarohet përmbajtja e teoremës për gjetjen e ekstremumeve të funksionit, duke përdorur derivatin e dytë. Lexohet zgjidhja e shembullit III dhe organizohet zgjidhja e ndonjë ushtrimi të ngjashëm me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, b; 2; 3; 6/a, b.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi96 Mësimi 3.6 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit të vazhdueshëm Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i derivueshëm në I. Ekstremumi i funksionit. Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit në I. b) Veti Funksioni i derivueshëm në [a, b] merr në të vlerën më të madhe (më të vogël), ose në skajet ose në një pikë të brendshme ku ka max (min). Funksioni i derivueshëm në ]a, b[ që ka në të një ekstremum të vetëm, kur ky është max (min), ai përfaqëson vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit. c) Metoda Metodat për gjetjen e M (m) të funksionit të derivueshëm në [a, b] nëpërmjet gjetjes së ekstremumeve të tij në këtë segment. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë M dhe m për një funksion të thjeshtë të derivueshëm në [a, b]. " Të gjejnë M ose m për një funksion të thjeshtë të derivueshëm në ]a, b[ që ka në të një ekstremum të vetëm. Udhëzime për zhvillimin e temës Materiali i parashtruar është i ngjeshur dhe duhet t’i kushtohet e gjithë ora e mësimit. Mësuesi ta nisë mësimin me një shembull grafiku të një funksioni të vazhdueshëm me disa ekstremume në [a, b]. Duke aktivizuar klasën me metodën e bisedës të nxirret thelbi i metodës për gjetjen e M dhe m të funksionit të vazhdueshëm në segment. Më tej mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht shembullin e zgjidhur për funksionin f ; y=2x3 -3x2 -12x+2 në [-2, 0]. Më tej procedohet me ushtrimin e vendosur në materialin teorik, që synon të krijohet hamendja për funksionin e derivueshëm në ]a, b[, që ka në të një ekstremum të vetëm. Ky ushtrim të punohet nga klasa me punë të pavarur a me grupe, dhe pastaj të diskutohet për të nxjerrë përfundimin përgjithësues të shprehur me teoremë. Lexohet më tej në tekst shembulli i zgjidhur për funksionin f : y=4x+ x 1 në @ >f,0 dhe punohet ushtrimi që pason, me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 5.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 97 Mësimi 3.7 Problema në kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël) të funksionit Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë zhvillimi i aftësisë së nxënësve për modulimin matematik të situatave praktike. Veç kësaj, synohet të përforcohen njohuritë dhe të zhvillohen aftësitë e fituara gjatë mësimeve të mëparshme (4-6), e sidomos ato për gjetjen e vlerës më të madhe (më të vogël) të funksionit të derivueshëm në një segment (a interval). Mësimi ka vlera formuese për botëkuptimin e nxënësve. Nëpërmjet tij dhe mësimeve të tjera, nxënësit binden për dobinë praktike të zhvillimit të matematikës. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht në tekst të dy shembujt e zgjidhur. Pastaj mësuesi të evidentojë 5 hapat e metodës për zgjidhjen e problemave, në të cilat kërkohet vlera më e madhe (më e vogël) e një madhësie konkrete z. Më pas të organizohet zgjidhja me punë me grupe e njërit prej ushtrimeve të rubrikës përkatëse, duke e dhënë përfundimin e zgjidhjes si detyrë shtëpie. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3. Mësimi 3.8 Problema për përpunim të njohurive Edhe në këtë orë mësimi synimi i mësuesit duhet të jetë zhvillimi i aftësisë së nxënësve për modelimin matematik të situatave praktike. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të dy shembujt e dhënë janë gjysmë të zgjidhur. Mësuesi të kërkojë nga nxënësit që të lexojnë individualisht pjesën e parë (të zgjidhur) të secilit shembull dhe të vazhdojnë plotësimin e zgjidhjes me punë të pavarur a me grupe. Rekomandohet të niset me këtë mënyrë procedimi zgjidhja e ndonjë ushtrimi nga rubrika përkatëse, duke dhënë si detyrë shtëpie përfundimin e zgjidhjes. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2, 4, 6, 9. Mësimi 3.9 Përkulshmëria e vijës. Pikat e infleksionit Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni i derivueshëm në I. Derivati i dytë i funksionit në një pikë. Vija e lugët; vija e mysët. Pika e infleksionit.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi98 b) Veti Teoremat që lidhin shenjën e derivatit të dytë me përkulshmërinë e grafikut të funksionit. c) Metoda Studimi i përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të dytë të tij. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përcaktojnë, për funksionet e thjeshtë që kanë derivat të dytë në I, intervalet e I, ku grafiku është i mysët (i lugët). " Të gjejnë pikat e infleksionit për grafikët e funksioneve të tillë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi mund ta nisë trajtimin e materialit mësimor nëpërmjet shqyrtimit të një grafiku funksioni të lëmuar, që ka pjesë të mysëta e pjesë të lugëta, për të dalë në konceptet përkatëse. Nuk ka aq rëndësi formulimi i përkufizimeve sesa aftësimi i nxënësve për të dalluar pjesët e lugëta (të mysëta) në një grafik të dhënë, apo për të skicuar pjesë të tilla grafikësh, kur kjo kërkohet. Përpara se të formulohen teoremat përsëri mund të shqyrtohen shembuj funksionesh të thjeshtë të njohur (p.sh.y=x2 ,y=sinx) dhe të vendoset lidhja, për intervale të caktuara, midis përkulshmërisë së grafikut dhe shenjës së derivatit të dytë. Teoremat janë dhënë pa vërtetim; mësuesi as nuk duhet të kërkojë vërtetim të tyre prej nxënësit. Është e dobishme të bëhet paraqitja skematike e tyre, si p. sh. në trajtën x C f ’’(x) + - f Të trajtohen të gjithë shembujt që janë dhënë në tekst. Pastaj klasa, me punë të pavarur a me grupe, të zgjidhë ushtrimin e vendosur në materialin teorik së bashku me ndonjë ushtrim tjetër nga rubrika përkatëse. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, 4, 6.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 99 Mësimi 3.10 Studimi i variacionit të funksionit. Variacioni i funksionit y=ax2 +bx+c Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Variacioni i funksionit. b) Veti Vetitë e funksionit që rrjedhin nga studimi i shenjës së derivatit të parë dhe derivatit të dytë të tij. c) Metoda Metoda e studimit të variacionit të funksionit (me 9 hapa). Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të studiojnë, sipas metodës me 9 hapa, variacionin e një funksioni të çfarëdoshëm të fuqisë së dytë dhe të skicojnë grafikun e tij, duke përdorur pikat karakteristike. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht në të përshkrimin dhe radhitjen e 9 hapave të metodës. Po kështu të lexohet shembulli i zgjidhur për variacionin e funksionit y= 2 2 1 x - x2 + 2 3 . Element i rëndësishëm, por delikat, është kalimi nga tabela e variacionit tek skicimi i grafikut, dhe këtu është e nevojshme ndërhyrja e mësuesit. Më pas klasa të zgjidhë, me punë të pavarur a me grupe, ushtrimin me 4 kërkesa që është vendosur në tekst. Mësuesi të angazhojë pastaj klasën për studimin, me punë të pavarur a me grupe, e variacionit të një funksioni tjetër të fuqisë së dytë; ky studim dhe ndërtimi i grafikut përkatës mund të përfundohen në shtëpi. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 6.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi100 Mësimi 3.11 Variacioni i funksionit y=ax3 +bx2 +cx+d ( 0za ) Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Variacioni i funksionit. Grafiku i tij. b) Veti Veti të funksionit që rrjedhin nga studimi i shenjës së derivatit të parë dhe të dytë të tij. c) Metoda Metoda e studimit të variacionit të funksionit (me 9 hapa). Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të studiojnë variacionin e një funksioni çfarëdo të fuqisë së tretë. " Të ndërtojnë mbi këtë bazë, dhe duke shfrytëzuar pikat karakteristike, grafikun e tij. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të kryejnë me punë të pavarur a me grupe studimin e variacionit dhe ndërtimin e grafikut të funksionit y=x3 -1. Më tej, ata të lexojnë individualisht shembullin e zgjidhur për variacionin dhe grafikun e funksionit y=-x3 +3x-2. Mësuesi duhet të ndërhyjë në dy momente: - Kur gjenden pikat e prerjes së grafikut me boshtin Ox (pra kur zgjidhet ekuacioni –x3 +3x-2=0). - Kur kalohet në ndërtimin e grafikut prej tabelës së variacionit. Më tej nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, të zgjidhin ushtrimin me katër kërkesa që është vendosur në tekst. Shembulli i zgjidhur, i dhënë më tej në tekst, për diskutimin e ekuacionit –x3 +3x-2=m, në bazë të grafikut të funksionit y=-x3 +3x-2, destinohet vetëm për nxënësit e mirë. Mësuesi të udhëzojë që ata ta studiojnë atë individualisht në shtëpi. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2/a, 3/a, 5.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 101 Mësimi 3.12 Variacioni i funksionit y=ax4 +bx2 +c Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Variacioni i funksionit. Grafiku i tij. b) Veti Veti të funksionit që rrjedhin nga studimi i shenjës së derivatit të parë dhe derivatit të dytë të tij. c) Metoda Metoda me 9 hapa për studimin e variacionit të funksionit. Metoda e ndërtimit të grafikut nga tabela e variacionit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të studiojnë variacionin e një funksioni konkret të trajtës y=ax4 +bx2 +c. " Të ndërtojnë grafikë funksionesh të tillë, duke u nisur nga tabela e studimit të variacionit. Udhëzime për zhvillimin e temës Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë individualisht shembullin e zgjidhur për variacionin e funksionit y=-x4 +2x2 +3. Të tërhiqet vëmendja e tyre në respektimin rigoroz të 9 hapave të metodës. Mësuesi duhet të ndërhyjë e të japë sqarime në dy momente: - Kur gjenden pikat e prerjes së grafikut me boshtin Ox, gjë që çon në zgjidhjen e ekuacionit bikuadrat ax4 +bx2 +c=0. - Në ndërtimin e grafikut, në bazë të tabelës së variacionit. Më tej, nxënësit me punë të pavarur a me grupe, zgjidhin dy ushtrime të vendosura në materialin teorik (ushtrimi i dytë është gjysmë i zgjidhur). Rezultatet e kësaj pune analizohen e diskutohen me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2/a, 4, 5/a.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi102 Mësimi 3.13 Variacioni i funksionit y= dcx bax   Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Variacioni i funksionit. Grafiku i tij. Hiperbola. b) Veti Veti të veçanta të funksionit homografik. c) Metoda Metoda me 9 hapa e studimit të variacionit. Metoda e ndërtimit të grafikut nëpërmjet tabelës së variacionit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të shkruajnë ekuacionet e asimptotave të një funksioni homografik të dhënë. " Të skicojnë grafikun e një funksioni homografik të dhënë. Udhëzime për zhvillimin e temës Ushtrimi i hyrjes mund të jepet kështu: a) Me anën e një grafiku të njohur, ndërtoni grafikun e funksionit y= 2 1  x ; b) Nxirrni prej grafikut veti të funksionit dhe ndërtoni tabelën e tij të variacionit. Më tej mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të shembullin e zgjidhur për variacionin e funksionit f : y= 24 12   x x . Mësuesi duhet të ndërhyjë e të japë sqarime në këto momente: a) gjetja e asimptotave vertikale e horizontale të grafikut; b) ndërtimi i grafikut në bazë të tabelës së variacionit. Më tej klasa, me punë të pavarur a me grupe, të zgjidhë ushtrimin për asimptotat e grafikut të funksionit y= 1 12   x x . Shembulli i zgjidhur që pason (për qendrën e simetrisë së grafikut të funksionit y= 24 12   x x ) nuk destinohet për masën e nxënësve që ndjekin kurrikulin bërthamë,
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 103 por vetëm për nxënësit e mirë. Mësuesi mund t’u vërë këtyre si detyrë që ta studiojnë atë individualisht në shtëpi. Është me rëndësi përgjithësimi që jepet në libër për trajtën e grafikut të funksionit homografik y= dcx bax   dhe ekuacionet e asimptotave të tij. Këto fakte duhet të kërkohet që të fiksohen në kujtesë nga nxënësit. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, 4/a. Mësimi 3.14 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë strukturimi dhe përforcimi i njohurive si dhe zhvillimi i aftësive të fituara gjatë shtjellimit të kapitullit. Nxënësit, nën drejtimin dhe me porosi të mësuesit duhet të bëjnë një punë të rëndësishme përgatitore për këtë orë mësimi, duke përmbledhur, sistemuar e hedhur në letër njohuritë teorike kryesore (e jo vetëm formulat). Zhvillimi i mësimit të bëhet me libër hapur. Në të ka ushtrime me karakter zbatimi, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Mësuesi për trajtimin e tyre duhet të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve mbi disa nga këto zbatime, me punën në tabelë të nxënësve të ndryshëm që zgjidhin të tjera ushtrime. I duhet kushtuar kohë paraqitjes së zgjidhjes së secilit ushtrim (si nga grupi në bankë, ashtu edhe nxënësi në tabelë) dhe analizës së saj. Mësuesi duhet t’i lërë nxënësit të shprehen, të kontrollojnë përgjigjet që japin, të bëjnë vetëkorrigjimin e gabimeve eventuale; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve të shprehura. Si ushtrime të nivelit minimal (prioritare për trajtimin me punë të pavarur prej nxënësve) të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 5, 8, 9/a.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi104 KREU 4 VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI Mësimi 4.1 Përkufizimi i rrethit dhe ekuacioni i tij Njohuri teorike kryesore a) Kuptime: Përkufizimi i rrethit. Elementet e rrethit ( qendra, rrezja, diametri, korda). b) Veti: Rrethi si bashkësi pikash të planit të baraslarguara nga një pikë fikse (qendra e tij). Ekuacioni më i thjeshtë i rrethit. Ekuacioni i përgjithshëm i rrethit. Karakteristikat e ekuacionit të rrethit. c) Metoda: Metoda e përdorimit të koordinatave në plan. Largesa ndërmjet dy pikave. Shkathësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin përkufizimin e rrethit si bashkësi pikash. " Të formulojnë karakteristikat e ekuacionit të rrethit. " Të shkruajnë ekuacionin e rrethit kur jepen koordinatat e qendrës dhe rrezja e tij. " Të gjejnë koordinatat e qendrës dhe rrezen e rrethit, kur ai jepet me ekuacionin e vet të përgjithshëm. " Të përcaktojnë pozicionin e pikave të dhëna në lidhje me një rreth të dhënë. ( Pika ndodhet brenda rrethit, në rreth apo jashtë rrethit). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në fillim të këtij kreu, mësuesi duhet të përsëritë disa kuptime themelore lidhur me ekuacionin e vijës në plan. Të tilla janë: kur thuhet se ekuacioni f(x, y)=0 është ekuacion i një vije? ”Ekuacioni i vijës L në një plan koordinativ xOy quhet ekuacioni i trajtës F(x, y)=0 i cili plotëson këto kushte:
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 105 1. Koordinatat e çdo pike të vijës vërtetojnë ekuacionin F(x, y)=0. 2. Çdo pikë, koordinatat e të cilës vërtetojnë ekuacionin F(x, y)=0 ndodhet në vijën L. Siç është trajtuar në mësimet e mëparshme ekuacioni i trajtës F(x, y)=0 ku x dhe y janë në fuqi të parë paraqet drejtëz. Prandaj mësuesi thekson se ekuacioni i rrethit, si dhe ekuacionet e konikeve që do të trajtohen më pas, janë ekuacione me dy të panjohura x dhe y ku të paktën njëra prej tyre është në fuqinë e dytë. Me përkufizimin e rrethit dhe elementet e tij ( qendra, rrezja, diametri, korda, tangjentja etj) nxënësit tashmë janë njohur nga mësimet e mëparshme. Pas nxjerrjes së ekuacionit të rrethit me qendër Q(a, b) dhe rreze r, në trajtën (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1) apo x2 +y2 +Ax+By+C=0 (2) mësuesi duhet të theksojë dy momente: 1. Së pari që ekuacionin (1) e vërtetojnë të gjithë pikat që ndodhen në rreth dhe vetëm ato. 2. Së dyti, karakteristikat e ekuacionit të rrethit ( koefiçientët pranë x2 dhe y2 janë të barabartë dhe mungon kufiza me prodhimin x˜˜y). Nëpërmjet ushtrimeve të zgjidhur, duhet vënë në dukje se këto karakteristika janë vetëm kushte të nevojshme dhe jo të mjaftueshme. P.sh. në ushtrimin 3.d, ekuacioni x2 +y2 +10x+2y+27=0 nuk paraqet rreth ndonëse plotësohen këto kushte. Në ushtrimet lidhur me përcaktimin e pozicionit të pikës në lidhje me rrethin, në varësi të nivelit të klasës kjo mund të realizohet me anën e figurave ndihmëse. Në qoftë se shënojmë me r rrezen e rrethit, në Fig. 4. 1 për pikat M, N dhe S kemi: QM<r; QN=r dhe QS>r. Fig. 4.1
    • “Matematika 12” Libër mësuesi106 Ushtrimet e këtij mësimi janë relativisht të thjeshta. Synimi i mësuesit duhet të jetë zgjidhja e tyre mundësisht nga të gjithë nxënësit. Megjithatë ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3 dhe 4. 4.2 Raste të veçanta të ekuacionit të rrethit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime: Rrethi me qendër në origjinën e koordinatave. Rrethi tangjent me boshtet e koordinatave. b) Veti: Trajtat e veçanta të ekuacionit të rrethit të cilat lidhen me vlerat e a, b, r në varësi të pozicionit të tij. c) Metoda: Vlerat përkatëse të a, b, r në secilin rast nxirren duke u bazuar në figurat 4. 2; 4. 3; 4. 4 dhe 4. 5 të mësimit 4. 2. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të shkruajnë ekuacionin e rrethit të rastet e veçanta 1)a=b=0; 2) a=0; bz0; 3)az0; b=0; 4) a=r; b=0; 5) b=r; a=0; 6)a=b=r. " Të shkruajnë ekuacionin e rrethit kur jepen skajet e një diametri të tij. " Të shkruajnë ekuacionin e rrethit duke u nisur nga paraqitja e tij në figurë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë orë mësimi nuk jepen njohuri të reja teorike. Në themel të organizimit të saj qëndron ideja, që duke u nisur nga rasti i përgjithshëm i pozicionit të rrethit, të jepen trajtat e veçanta të tij. Rekomandojmë që të mos ngulet këmbë (madje do të ishte e gabuar) në faktin që nxënësit të thonë përmendësh ekuacionin e rrethit në rastet e tij të veçanta. I rëndësishëm është fakti, që duke u nisur nga aspekti vizual, nxënësit të arrijnë në përfundimet e mëposhtme:
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 107 Fig. 4. 2/a Fig. 4. 2/b Fig. 4. 2/c Në fg. 4. 2/a kemi Q(0, 0) dhe ekuacioni i rrethit është x2 +y2 =r2 . Në fig. 4. 2/b kemi Q(a, r) dhe ekuacioni i rrethit është (x-a)2 +(y-r)2 =r2 . Në fig. 4. 2/c kemi Q(r, r) dhe ekuacioni i rrethit është (x-r)2 +(y-r)2 =r2 . etj Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 5, 6. 4.3 Ushtrime për përpunim të njohurive Në këtë orë mësimi synohet në dy drejtime: 1) Në përpunimin e njohurive teorike të mësimeve paraardhëse. 2) Në trajtimin dhe zgjidhjen e problemeve më të vështira, të cilat kërkojnë përsëritjen e vetive të rrethit, veti të cilat njihen nga vitet e mëparshme. (Tangjentja me rrethin është pingule me rrezen e tij në pikën e takimit; largesa e qendrës së rrethit nga çdo tangjente e tij është e barabartë me rrezen e rrethit).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi108 Gjithashtu në shembujt e zgjidhur apo ushtrimet, përsëriten veti të tilla të vijave si fakti që pika ndodhet në vijë atëherë dhe vetëm atëherë kur koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin e vijës. Të tre shembujt e zgjidhur të këtij mësimi duhen trajtuar me shumë kujdes. Zgjidhja e tyre të diskutohet me pjesëmarrje sa më të gjerë të nxënësve. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 5, 8. 4.4. Ekuacioni i tangjentes dhe pingules në një pikë të rrethit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime: Tangjentja me rrethin në një pikë të tij. Pingulja me rrethin në një pikë të tij. b) Veti: Vetitë e njohura nga gjeometria: 1) Në çdo pikë të rrethit mund të ndërtohet një dhe vetëm një tangjente. 2) Tangjentja në çdo pikë të rrethit është pingule me rrezen e tij, e cila kalon nga pika e takimit. 3) Prodhimi numerik i dy vektorëve pingulë është i barabartë me zero. Metoda: Nxjerrja e ekuacionit të tangjentes me anën e prodhimit numerik të vektorëve: 0u v u vA œ ˜ G G G G Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në pikën M1(x1, y1) të rrethit me qendër në origjinën e koordinatave. " Të shkruajnë ekuacionin e pingules në pikën M1(x1, y1) të rrethit me qendër në origjinën e koordinatave. " Të dallojnë që pingulja me rrethin në pikën në pikën M1(x1, y1) është vetë rrezja e rrethit. " Të gjejnë pikat e përbashkëta të rrethit dhe drejtëzës.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 109 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që para shpjegimit të mësimit, me të gjithë nxënësit të kujtohet përkufizimi i tangjentes ndaj rrethit dhe vetitë e saj. Gjithashtu kujtohet vetia e prodhimit numerik të vektorëve pingulë: 0u v u vA œ ˜ G G G G . Vëmë në dukje se sipas programit ekuacioni i tangjentes ndaj rrethit shqyrtohet vetëm në rastin e rrethit me qendër në origjinën e koordinatave. Për sa i takon ekuacionit të pingules shfrytëzohet fakti që ajo kalon nga qendra e rrethit (origjina e koordinatave) pra ka ekuacion të trajtës y=k˜x dhe kalon nga pika M1(x1, y1). Për sa i takon ekuacionit të pingules 1 1 y y x x ˜ mund të mos kërkohet të mbahet mend. Në këtë rast, si edhe në raste të tjera që do të vijnë më pas ( lidhur me ekuacionin e pingules tek koniket) për nxjerrjen e ekuacionit të tyre, të gjykohet si ekuacion i një drejtëze që kalon nga një pikë e dhënë M1(x1, y1), pingule me një drejtëz të dhënë. (e cila është tangjentja). Siç e kemi trajtuar në mësimet e mëparshme, ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M1(x1, y1) dhe është pingule me drejtëzën me ekuacion Ax+By+C=0 ka trajtën Bx-Ay+D=0. Vlera e D përcaktohet nga fakti që pingulja kalon nga pika M1(x1, y1). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 8, 9. 4.5 Kushti i tangjencës së drejtëzës me rrethin Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Drejtëz prerëse me rrethin; drejtëz tangjente me rrethin. Drejtëz jo prerëse me rrethin. b) Veti Varësia ndërmjet kuptimit gjeometrik dhe kuptimit algjebrik të gjendjes së ndërsjellë të drejtëzës me rrethin. 1) Drejtëza nuk e pret rrethin œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i rrethit nuk ka zgjidhje. 2) Drejtëza e pret rrethin œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i rrethit ka dy zgjidhje.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi110 3) Drejtëza është tangjente me rrethin œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i rrethit ka vetëm një zgjidhje. Në rastin e fundit kushti përkatës është r2 (k2 +1)=t2 . c) Metoda Zgjidhja e sistemit 2 2 2 x y r y kx t ­  ® ¯ me metodën e zëvendësimit dhe diskutimi i rrënjëve të ekuacionit të fuqisë së dytë në varësi të shenjës së dallorit përkatës. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me rrethin x2 +y2 =r2 . " Të dallojnë pozicionin reciprok të drejtëzës me rrethin, në varësi të shenjës së dallorit të ekuacionit të fuqisë së dytë. " Të përcaktojnë konkretisht në situata problemore kushtin e tangjencës së drejtëzës me rrethin Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kjo orë mësimi ka në themel të saj teknikën e zgjidhjes së sistemit të dy ekuacioneve ku njeri është i fuqisë së parë dhe tjetri i fuqisë së dytë. (Metoda e zëvendësimit). Rekomandojmë që paraprakisht mësuesi me pjesëmarrjen e gjerë të nxënësve të kujtojë këto momente: 1) Formula e thjeshtuar për gjetjen e rrënjëve të ekuacionit të fuqisë së dytë. 2) Përcaktimi i numrit të rrënjëve të ekuacionit të fuqisë së dytë, në varësi të shenjës së dallorit të tij. 3) Për secilin rast ( D>0; D<0; D=0) të realizohet interpretimi gjeometrik e konkretisht: D>0 œsistemi ka dy zgjidhje ( drejtëza e pret rrethin). D<0 œsistemi nuk ka zgjidhje ( drejtëza nuk e pret rrethin). D=0 œsistemi ka vetëm një zgjidhje ( drejtëza është tangjente me rrethin). Para se të zgjidhet shembulli 2, mësuesi duhet të kujtojë kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave ( k1=k2). Shembulli 3 i mësimit është ilustrim i drejtpërdrejtë i aspektit teorik ( 3 rastet).
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 111 Në tekst nuk janë zgjidhur sistemet përkatës. Mësuesi në varësi të nivelit të klasës, e kohës në dispozicion gjykon për zgjidhjen apo jo të tyre. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 5. 4.6 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i kësaj ore mësimi është përforcimi i njohurive të 5 mësimeve të para të kreut duke bërë evidentimin e momenteve kryesore. Duke qenë se problema të ngjashme me ato të realizuara do të trajtohen edhe në mësimet e ardhshme për koniket (elipsi, hiperbola dhe parabola) duhet këmbëngulur veçanërisht në çështjet e mëposhtme: 1) Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë me koeficient këndor të dhënë. 2) Gjetja e pikave të përbashkëta të të dy vijave. 3) Largesa ndërmjet dy pikave. 4) Kushtet e paralelizmit dhe pingultisë së dy drejtëzave. 5) Largesa e një pike nga një drejtëz. 6) Këndi ndërmjet dy drejtëzave. Shembujt e zgjidhur në tekst janë vetëm modele. Nëse gjykohet e arsyeshme nga ana e mësuesit mund të zgjidhen në cilësinë e shembujve ushtrime të tjerë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 2, 5, 8. 4.7 Elipsi dhe ekuacioni i tij Njohuri teorike kryesore a) Kuptime: Elipsi; elementet e elipsit (vatrat, rrezet vatrore; qendra, boshtet; gjysmëboshtet, kulmet). b) Veti: Vetia vatrore e elipsit (bashkësia e pikave të planit shuma e largesave të të cilave nga dy vatrat e tij është madhësi konstante). Ekuacioni më i thjeshtë i elipsit 2 2 2 2 1 x y a b  . Forma e elipsit. (simetria, zona e vendosjes, pikat e prerjes me boshtet).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi112 c) Metoda: 1) Vëzhgim vizual i formës së elipsit. (Është e udhës që forma e elipsit të ilustrohet konkretisht si në tekst, në paragrafin ndërtimi praktik i elipsit). 2) Studimi i formës së elipsit nëpërmjet simetrisë dhe zonës së vendosjes). Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin saktë përkufizimin e elipsit duke u bazuar në vetinë vatrore të tij. " Të shkruajnë ekuacionin më të thjeshtë të elipsit. " Të vizatojnë elipsin me qendër në origjinën e koordinatave kur jepen boshtet e tij. " Të shkruajnë ekuacionin e elipsit në rastet kur jepen disa elemente të tij (të mjaftueshëm). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Pas përkufizimit të elipsit, mësuesi ndërton në tabelë një elips duke përcaktuar më parë vatrat e tij (dy gozhdë të ngulura në tabelë) si dhe boshtin e madh të tij (një fije spango me gjatësi më të madhe se sa largesa ndërmjet dy gozhdëve (vatrave). Përvoja tregon se nxjerrja e ekuacionit të elipsit është një punë relativisht e gjatë dhe pa ndonjë efektivitet. Është kjo arsyeja që me të drejtë programi e mënjanon këtë kërkesë. Kështu që pas formimit të ekuacionit 2 2 2 2 ( ) ( ) 2x c y x c y a     kalohet në ekuacionin më të thjeshtë të tij 2 2 2 2 1 x y a b  . Pas zgjidhjes së dy shembujve të tekstit kalohet në studimin analitik të formës së elipsit. Për konkluzionin përfundimtar të formës së elipsit (fig. 4. 25/b e tekstit) na ndihmon ndërtimi praktik i tij i realizuar më parë. Udhëzojnë që ushtrimet e këtij mësimi të zgjidhen me kujdes në mënyrë që të përvetësohen mirë nga të gjithë nxënësit (sepse ushtrime të ngjashme do të jepen në të ardhmen edhe për koniket e tjera) Rekomandojmë që një nga rastet e ushtrimit 9 të trajtohet në klasë nga mësuesi. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3, 5.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 113 4.8 Ushtrime për përpunim të njohurive Në këtë orë mësimi mësuesi duhet të kujdeset në dy drejtime: 1) Në përvetësimin e saktë të të gjitha elementeve të elipsit, si domosdoshmëri për zgjidhjen e ushtrimeve më të vështira në të ardhmen. 2) Në gjetjen e ekuacionit të elipsit në raste të veçanta, jo të lidhura drejtpërdrejtë me elementet e elipsit që rrjedhin nga përkufizimi i tij. Mjaft i rëndësishëm duhet konsideruar shembulli i dytë. Sistemi përkatës nuk është zgjidhur në tekst. Rekomandojmë që ai të zgjidhet me metodën e eliminimit si më poshtë: 2 2 2 2 3 4 1 12 1 1 a b a b ­ °° ® °  °¯ . Shumëzojmë dy anët e ekuacionit të dytë me 4. Kemi: 2 2 2 2 3 4 1 48 4 1 a b a b ­ °° ® °  °¯ . Nga ekuacioni i dytë zbresim ekuacion e parë. Kemi: 2 2 45 3 15Ÿ a a Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë kemi: 2 2 2 12 1 1 3 1 3. 15 15 b b b  Ÿ  Ekuacioni i elipsit është 2 2 1 15 5 x y  . Në qoftë se mësuesi e gjykon të arsyeshme në vend të shembullit 1 mund të zgjidhet një shembull tjetër. Në shembullin 3 është i nevojshëm të bëhet argumentimi që katër trekëndëshat e formuar (me njërin kulm në origjinën e koordinatave dhe 2 kulme në elips) janë të barabartë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 4.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi114 4.9 Jashtëqendërsia e elipsit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime: Përkufizimi i jashtëqendërsisë së elipsit c e a . Veti Jashtëqendërsia si madhësi që karakterizon formën e elipsit. e<1 ( Sa më e vogël e, aq më pak elipsi ndryshon nga rrethi. “Rrethi është elipsi me jashtëqendërsi të barabartë me zero”). Për e|1 ndryshimi ndërmjet boshteve të elipsit është maksimal. Metoda Përkufizimi dhe diskutimi në rrugë algjebrike i formës së elipsit. Shkathtësi: Në fund të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përkufizojnë jashtëqendërsinë e elipsit. " Të nxjerrin varësinë ndërmjet gjysmëboshteve të elipsit dhe jashtëqendërsisë së tij. " Të përdorin jashtëqendërsinë e elipsit në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Aspekti teorik i kësaj ore mësimi është relativisht i lehtë. Mësuesi duhet të kujdeset për faktin që jashtëqendërsia e elipsit është numër pozitiv më i vogël se 1. Për sa i takon formulës 2 1 b e a  ajo në përgjithësi nuk gjen zbatime në problema. Qëllimi i trajtimit të saj konsiston vetëm në aspektin teorik, për të realizuar një “krahasim” ndërmjet gjysmëboshteve të elipsit në varësi me jashtëqendërsinë së tij. Për këtë arsye ajo nuk duhet kërkuar të mbahet mend. Kujdes i veçantë në këtë orë mësimi i duhet kushtuar shënimit. Në Fig. 4. 3, në trekëndëshin BOF2 vëmë re se OB=b dhe OF2=c. Nga barazimi a2 -b2 =c2 rrjedh se BF2=a.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 115 Fig. 4. 3 Ky është një përfundim mjaft i rëndësishëm që gjen përdorim të gjerë në zgjidhjen e problemave. I tillë është shembulli 2 i zgjidhur në tekst, i cili duhet trajtuar me shumë kujdes në mënyrë që të përvetësohet nga nxënësit. Zgjidhja e tij duhet të shoqërohet me zgjidhjen për detyrë shtëpie të ushtrimeve nr. 6 dhe 7 të këtij mësimi ( njeri nga rastet a ose b). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 4. 4.10 Rrezet vatrore te elipsit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Përkufizimi i rrezeve vatrore te elipsit. ( si largesa të pikës së elipsit nga vatrat e tij). b)Veti Nxjerrja e formulave 1 2 r a ex r a ex ­ ® ¯ b) Metoda Transformime algjebrike të barazimeve që shprehin rrezet vatrore të elipsit 2 2 2 2 1 2( ) dhe ( )r x c y r x c y    . Shkathtësi: Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përkufizojnë rrezet vatrore të çdo pike të elipsit.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi116 " Të mbajnë mend formulat që shprehin gjatësitë e rrezeve vatrore të elipsit në varësi të a dhe c ( a dhe e). " Të zbatojnë këto formula në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Siç vihet re në tekst, mënyra si është operuar për nxjerrjen e formulave, kushtëzohet nga fakti se trajta më e thjeshtë e ekuacionit të elipsit (mësimi 4. 7) merret e gatshme. Është kjo arsyeja që nxjerrja e tyre ndjek një rrugë tërthore. Pasi nxirren formulat për gjatësitë e rrezeve vatrore, duhet theksuar se këto gjatësi varen vetëm nga abshisa e pikës përkatëse në elips ( pra jo nga ordinata). Kujdes duhet treguar edhe në zgjidhjen e problemave të këtij mësimi duke vënë në dukje ndryshimin ndërmjet ekuacioneve të rrezeve vatrore dhe gjatësive të tyre. Gjithashtu nga ekuacionet e rrezeve vatrore të elipsit, duke i mbledhur ato anë për anë përftohet barazimi r1+r2=2a ( përkufizimi i i elipsit). Shembulli i dytë i zgjidhur duhet trajtuar me shumë kujdes pasi do të ndeshet në të ardhmen edhe për hiperbolën. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 5. 4.11 Vijat drejtuese të elipsit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Vijat drejtuese të elipsit (përkufizimi). Përkatësia ndërmjet vatrave dhe vijave drejtuese. b) Veti Përkufizimi i ri i elipsit si bashkësi e pikave, raporti i largesave të të cilave nga vatra dhe vija drejtuese përkatëse është madhësi konstante e barabartë me jashtëqendërsinë e tij. Pozicioni i vijave drejtuese të elipsit. Metoda Llogaritja e raportit r d duke u bazuar në formulat r=arex. Shkathtësi: Në fund të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 117 " Të përkufizojnë vijat drejtuese të elipsit. " Të ndërtojnë praktikisht vijat drejtuese të një elipsi të dhënë. " Të përkufizojnë elipsin bazuar në vetinë e vijave drejtuese të tij. " Të zbatojnë këto njohuri në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Pasi ndërtohet elipsi i Fig. 4. 31 të tekstit, jepet përkufizimi i vijave drejtuese të tij me anën e ekuacioneve a x e r . Me pjesëmarrjen e gjerë te nxënësve, kërkohet së pari përcaktimi i vijave drejtuese si paralele me boshtin e ordinatave. Gjithashtu meqë a a e ! rrjedh se vijat drejtuese të elipsit nuk kanë pika të përbashkëta me te ( ndodhen jashtë zonës së planit ku ndodhet elipsi). Vërtetimi i vetisë r e d në tekst është realizuar vetëm për vijën drejtuese dhe vatrën e djathtë. Nëse mësuesi e gjykon të arsyeshme ajo mund të vërtetohet në mënyrë analoge edhe për vatrën e majtë. Rëndësi e veçantë i duhet kushtuar përkufizimit të elipsit bazuar në vetinë e vijave drejtuese të tij sepse ai do të përdoret në të ardhmen edhe për hiperbolën e parabolën. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 4. 4.12 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe elipsit Njohuri teorike kryesore b) Kuptime Drejtëz prerëse me elipsin; drejtëz tangjente me elipsin. Drejtëz jo prerëse me elipsin. b) Veti Varësia ndërmjet kuptimit gjeometrik dhe kuptimit algjebrik të gjendjes së ndërsjellë të drejtëzës me elipsin. Drejtëza nuk e pret elipsin œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i elipsit nuk ka zgjidhje.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi118 Drejtëza e pret elipsin œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i elipsit ka dy zgjidhje. Drejtëza është tangjente me elipsin œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i elipsit ka vetëm një zgjidhje. Në rastin e fundit kushti përkatës i tangjentes së drejtëzës y=kx+t me elipsin 2 2 2 2 1 x y a b  është a2 k2 +b2 =t2 . d) Metoda Zgjidhja e sistemit 2 2 2 2 1 x y a b y kx t ­ ° ® ° ¯ me metodën e zëvendësimit dhe diskutimi i rrënjëve të ekuacionit të fuqisë së dytë në varësi të shenjës së dallorit përkatës. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me elipsin 2 2 2 2 1 x y a b  . " Të dallojnë pozicionin reciprok të drejtëzës me elipsin, në varësi të shenjës së dallorit të ekuacionit të fuqisë së dytë që përftohet. " Të përdorin konkretisht në situata problemore kushtin e tangjencës së drejtëzës me elipsin. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duke u nisur nga përfytyrime gjeometrike (me anën e ndërtimit të drejtëzave që kanë pozicione të ndryshme ndaj elipsit) arrihet në përfundimin që tri janë pozicionet e mundshme. (fig. 4. 4). Fig.4.4
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 119 Pas kësaj para nxënësve shtrohet problemi: Të gjenden kushtet analitike për secilin rast. Kemi të bëjmë në këtë mënyrë me problemin e gjetjes së pikave të përbashkëta të të dyja vijave, gjë që realizohet duke zgjidhur sistemin përkatës. Vëmë në dukje që në të ardhmen do të përdoret vetëm rasti kur drejtëza është tangjente me elipsin si dhe kushti përkatës. Në qoftë se drejtëza jepet me ekuacionin e përgjithshëm Ax+By+C=0, kushti përkatës është a2 A2 +b2 B2 =C2 , duke ia rekomanduar nxënësve që kjo formulë të mbahet mend. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 2, 3, 4. 4.13 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të elipsit Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Ekuacioni i tangjentes në pikën M1(x1,y1) të elipsit 2 2 2 2 1 x y a b  është 1 1 2 2 1 x x y y a b ˜ ˜  Kuptimi gjeometrik i derivatit të funksionit. Derivati i funksionit të përbërë. b) Veti Tangjentja me elipsin, si drejtëza që kalon nga një pikë e dhënë e elipsit dhe ka koefiçientin këndor të dhënë ( sa derivati i funksionit në ate pikë). c) Metoda Nxjerrja e ekuacionit të tangjentes me arsyetime analitike (ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika e dhënë M1(x1, y1) dhe ka koeficientin këndor k, ka trajtën y-y1=k(x-x1), ku sipas kuptimit gjeometrik të derivatit k=y’(x1). Më pas shfrytëzohet fakti që pika M1(x1, y1) ndodhet në elips prandaj 2 2 1 1 2 2 1 x y a b  . Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes me elipsin në një pikë të çfardoshme të tij. " Të zbatojnë formulën përkatëse në zgjidhjen e problemave.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi120 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Para se të nxjerrë ekuacionin e tangjentes rekomandojmë që mësuesi të trajtojë me nxënësit këto çështje: 1) Cili është kuptimi gjeometrik i derivatit të funksionit në një pikë? 2) Si gjendet derivati i funksionit të përbërë 2 2 2 2 2 b y b x a  ? 3) Cili është ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë me koeficient këndor të dhënë? Pas kësaj nxirret formula që jep ekuacionin e tangjentes në pikën M1(x1, y1) të elipsit 2 2 2 2 1 x y a b  . Shembujt e zgjidhur në tekst realizohen në bashkëpunim të ngushtë me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3, 5. 4.14 Ushtrime për përpunim të njohurive Kjo orë mësimi, (si parapërgatitje për orën e ardhshme të testimit) në themel të saj ka përpunimin (nëpërmjet zgjidhjes së problemeve) të njohurive jo vetëm të këtij kreu, por edhe të atyre që kanë të bëjnë me ekuacionin e vijës në plan (në përgjithësi) si dhe të drejtëzës në plan (në veçanti), si dhe të rrethit e elipsit. Të tillë janë pikat e përbashkëta të të dy vijave, përcaktimi i pozicionit të pikës në lidhje me një vijë, kushtet e paralelizmit dhe pingultisë së drejtëzave, transformimi i ekuacionit të përgjithshëm të rrethit ( elipsit) në ekuacionin më të thjeshtë të tyre, tangjentja me rrethin (elipsin) në një pikë të tij, kushtet përkatëse të tangjencës së drejtëzës me rrethin (elipsin); gjetja e ekuacionit të rrethit (elipsit) në raste të veçanta. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 5, 7, 8, 9. Numri relativisht i madh i ushtrimeve nuk presupozon që ata të zgjidhen detyrimisht të gjitha e detyrimisht nga të gjithë nxënësit. Mësuesi gjykon për ta, në varësi të kushteve të klasës. Testi për orën e ardhshme të mësimit është llogaritur për 90 minuta. Ai është hartuar duke iu afruar mënyrës së hartimit të testit përfundimtar të maturës shtetërore ku 8 pikë (25%) mund të fitohen me përgjigje me alternativa ndërsa 22 pikë janë me zgjidhje me arsyetim. Ushtrimet vetëm se janë rekomanduese në kuptimin e ngarkesës. Mësuesi vetë mund të gjykojë për zëvendësimin apo jo të tyre.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 121 KREU 5 VIJAT E GRADËS SË DYTË. HIPERBOLA DHE PARABOLA 5.1 Hiperbola dhe ekuacioni i saj Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Përkufizimi i hiperbolës. Elementet e hiperbolës (vatrat, rrezet vatrore, qendra, kulmet, boshtet, asimptotat). b) Veti Vetia vatrore e hiperbolës (diferenca e largesave të çdo pike të hiperbolës nga vatrat e saj është madhësi konstante). Ekuacioni më i thjeshtë i hiperbolës 2 2 2 2 1 x y a b  . Forma e hiperbolës ( zona e vendosjes, boshti real dhe boshti imagjinar, asimptotat ). c) Metoda Sikurse edhe tek elipsi, programi nuk e përfshin nxjerrjen e ekuacionit të hiperbolës në trajtën më të thjeshtë. Është kjo arsyeja që pasi shkruhet ekuacioni 2 2 2 2 ( ) ( ) 2x c y x c y a     dilet në përfundimin e gatshëm që pas transformimeve ekuacioni merr trajtën 2 2 2 2 1 x y a b  ku b2 =c2 -a2 . Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin përkufizimin e hiperbolës bazuar në vetinë vatrore të saj. " Të shkruajnë ekuacionin më të thjeshtë të hiperbolës. " Të vizatojnë skematikisht hiperbolën kur jepen boshtet e saj ( real dhe imagjinar). " Të gjejnë ekuacionin e hiperbolës në raste të thjeshta ( kur jepen disa elemente të mjaftueshëm të saj).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi122 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Pas përkufizimit të hiperbolës, për nxjerrjen e ekuacionit të saj bëhet zgjedhja e përshtatshme e boshteve dhe shkruhen gjatësitë e rrezeve vatrore të një pike të çfarëdoshme të hiperbolës. Për thjeshtësi veprimesh është trajtuar rasti r1-r2=2a ( jo r1-r2=-2a) Më pas pasi pranohet që ekuacioni i hiperbolës është 2 2 2 2 ( ) ( ) 2x c y x c y a     , jepet trajta më e thjeshtë e saj 2 2 2 2 1 x y a b  . Pas kësaj këshillojmë që të zgjidhen 2 shembujt e tekstit, proces i cili mund të realizohet në mënyrë të pavarur nga të gjithë nxënësit e klasës. Në studimin e formës së hiperbolës rekomandojmë që të ndiqet ecuria e propozuar në tekst. Në mënyrë të veçantë të theksohet fakti që pikat e hiperbolës ndodhen jashtë brezit të kufizuar nga drejtëzat x=ra. Gjithashtu të theksohet ekzistenca e asimptotave të hiperbolës, një element që nuk ka homologun e vet tek elipsi. Është e udhës që nxënësit të ushtrohen të ndërtojnë hiperbolë në fletore (duke ndërtuar më parë drejtkëndëshin EFKL. (Fig. 5, 2 e tekstit), më pas diagonalet e këtij drejtkëndëshi (asimptotat e hiperbolës) dhe së fundi të dy degët e hiperbolës. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 4, 8. 5. 2 Jashtëqendërsia e hiperbolës. Hiperbola barabrinjëse Njohuri teorikë kryesore a) Kuptime Jashtëqendërsia e hiperbolës c e a . Hiperbola barabrinjëse a=b. Veti 1 c e a ! . Ekuacioni i hiperbolës barabrinjëse (a=b) është 2 2 2 2 2 2 2 1 ose x y x y a a a   . Asimptotat e hiperbolës barabrinjëse y=rx (përgjysmoret e kuadranteve I, III dhe II, IV). Asimptotat e hiperbolës barabrinjëse janë pingule ndërmjet tyre. Jashtëqendërsia e hiperbolës barabrinjëse 2e .
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 123 c) Metoda Analoge me metodën që u përdor tek elipsi. Këshillohet që nxënësit të skicojnë në fletore hiperbolën barabrinjëse duke vënë në dukje barazimin e boshtit real me boshtin imagjinar të saj. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përkufizojnë jashtëqendërsinë e hiperbolës. " Të përkufizojnë hiperbolën barabrinjëse. " Të gjejnë jashtëqendërsinë dhe ekuacionet e asimptotave të hiperbolës barabrinjëse. " Të përdorin jashtëqendërsinë e hiperbolës në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Pasi përkufizohet jashtëqendërsia e hiperbolës, shtrohet para nxënësve problemi i krahasimit të jashtëqendërsisë së hiperbolës dhe numrit 1 dhe arrihet në përfundimin që e>1 (në ndryshim nga elipsi ku e<1) Pas kësaj jepet përkufizimi i hiperbolës barabrinjëse. Nga nxënësit të zbulohet fakti që për këtë hiperbolë, ekuacionet e asimptotave janë y=rx. Pas kësaj është e udhës që nxënësve t’u jepet ky ushtrim: a) Të ndërtohet në fletore një hiperbolë barabrinjëse. b) Të gjenden ekuacionet e asimptotave të saj. c) Të vërtetohet se asimptotat e hiperbolës barabrinjëse janë pingule. d) Të gjendet jashtqendërsia e hiperbolës barabrinjëse. Përsa i takon vërtetimit të faktit që asimptotat e hiperbolës barabrinjëse janë pingule të inkurajohen mënyrë të ndryshme vërtetimi: a) Asimptotat e hiperbolës barabrinjëse janë diagonale të katrorit pra janë pingule me njera tjetrën. b) Drejtëzat me ekuacione y=x dhe y=-x janë pingule me njera tjetrën sepse plotësojnë kushtin k1˜k2=-1. c) Drejtëza y=x formon me boshtin e abshisave këndin D1=450 , ndërsa drejtëza y=-x formon me boshtin e abshisave këndin D2=1350 . Rrjedhimisht këndi ndërmjet tyre është D=D2- D1=1350 -450 =900 etj. Pas kësaj zgjidhen 3 shembujt e tekstit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 5.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi124 Ushtrime për përpunim të njohurive Qëllimi i kësaj ore mësimi është përforcimi i njohurive që janë marrë në 2 mësimet e mëparshme. Kjo arrihet nëpërmjet ushtrimeve ku kërkohen gjetja e elementeve të panjohur të hiperbolës kur jepen disa prej tyre. Kështu në shembullin 1 të zgjidhur jepet jashtqendërsia dhe një pikë e hiperbolës, në shembullin e dytë kërkohet këndi që formojnë asimptotat e hiperbolës kur jepet jashtqendërsia e saj. Në ushtrimet për punë të pamvarur vihet në dukje se mjaftojnë dy të dhëna për gjetjen e ekuacionit të hiperbolës ( ushtrimet me nr. 1, 2, 4, 6, 8). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 2, 4, 7. 5.4 Rrezet vatrore dhe vijat drejtuese të hiperbolës. Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Rrezet vatrore të një pikë të çfarëdoshme të hiperbolës. Vijat drejtuese të hiperbolës (përkufizimi). b) Veti Formulat që shprehin gjatësitë e rrezeve vatrore të çdo pike të hiperbolës. 1 2 r ex a r ex a ­ ® ¯ . Ekuacionet e vijave drejtuese të hiperbolës: 2 a a x e c r r . Largesa ndërmjet vijave drejtuese 2 2a c . Vetia e vijave drejtuese r e d . c) Metoda 1) Nxjerrja e formulave 1 2 r ex a r ex a ­ ® ¯ duke u bazuar në vetinë vatrore të hiperbolës (sipas përkufizimit të saj). Përkufizohen vijat drejtuese të hiperbolës si drejtëza me ekuacione a x e r .
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 125 2) Me arsyetime gjeometrike dhe analitike ( Fig. 5. 6 e tekstit) nxirret vetia r e d . Shkathësi Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: x Të përkufizojnë rrezet vatrore të pikave të hiperbolës. x Të përkufizojnë vijat drejtuese të hiperbolës. x Të përkufizojnë hiperbolën duke u bazuar në vetinë vijave drejtuese të saj. x Të ndërtojnë praktikisht vijat drejtuese të hiperbolës së dhënë me figurë. x Të zbatojnë formulat që shprehin gjatësitë e rrezeve vatrore të hiperbolës, si dhe ekuacionet e vijave drejtuese të saj në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kjo orë mësimi është analoge me orët përkatëse të zhvilluara për elipsin. Transformimet që kryhen këtu janë krejt të njëjta si edhe tek elipsi, prandaj nxjerrja e formulave 1 2 r ex a r ex a ­ ® ¯ mund të realizohet nga vetë nxënësit si punë e pavarur. Pasi nxirren këto formula është e udhës të shkruhen edhe formulat përkatëse të elipsit 1 2 r a ex r a ex ­ ® ¯ , duke zbuluar ngjashmëritë dhe ndryshimet ndërmjet tyre. Për sa i takon vijave drejtuese, ekuacionet e tyre janë krejt njëlloj si edhe tek elipsi. Në rastin e hiperbolës meqë e>1, rrjedh se a a e  , nga ku përcaktohet vendndodhja e vijave drejtuese të saj. ( Ato ndodhen në zonën ndërmjet dy degëve të hiperbolës). Gjithashtu edhe vetia e vijës drejtuese të hiperbolës, duhet vënë në dukje që është e njëjtë si edhe tek elipsi. Pra, raporti i largesave të çdo pike të hiperbolës (elipsit) nga vatra dhe vija drejtuese përkatëse është madhësi konstante e barabartë me jashtëqendërsinë e hiperbolës (elipsit). Gjithashtu si edhe tek elipsi duhet theksuar fakti që gjatësitë e rrezeve vatrore të çdo pike të hiperbolës varen vetëm nga abshisa e kësaj pike dhe jo nga ordinata e saj. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 5.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi126 5.5 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe hiperbolës Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Drejtëz prerëse me hiperbolën; drejtëz tangjente me hiperbolën. Drejtëz jo prerëse me hiperbolën. b) Veti Varësia ndërmjet kuptimit gjeometrik dhe kuptimit algjebrik të gjendjes së ndërsjellë të drejtëzës me hiperbolën. Drejtëza nuk e pret hiperbolën œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i hiperbolës nuk ka zgjidhje. Drejtëza e pret hiperbolën œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i hiperbolës ka dy zgjidhje. Drejtëza është tangjente me hiperbolën œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i hiperbolës ka vetëm një zgjidhje. Në rastin e fundit kushti përkatës i tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 2 2 2 2 1 x y a b  është a2 k2 -b2 =t2 . c) Metoda Zgjidhja e sistemit 2 2 2 2 1 x y a b y kx t ­ ° ® ° ¯ me metodën e zëvendësimit dhe diskutimi i rrënjëve të ekuacionit të fuqisë së dytë në varësi të shenjës së dallorit përkatës. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me hiperbolën 2 2 2 2 1 x y a b  . " Të dallojnë gjendjen e ndërsjellë të drejtëzës me hiperbolën, në varësi të shenjës së dallorit të ekuacionit të fuqisë së dytë që përftohet. " Të përdorin konkretisht në situata problemore kushtin e tangjencës së drejtëzës me hiperbolën.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 127 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duke vizatuar në tabelë (nxënësit në fletore) një hiperbolë të çfarëdoshme u kërkohet nxënësve të përcaktojnë pozicionet e mundshme të drejtëzës dhe hiperbolës (lidhur me numrin e pikave të përbashkëta). Pasi arrihet në përfundimin se ekzistojnë tri pozicione të mundshme (drejtëza dhe hiperbola kanë ose 0, ose 1 ose 2 pika të përbashkëta) shtrohet problemi i gjetjes së këtyre pikave në rrugë analitike. Dhe kjo realizohet duke zgjidhur sistemin përkatës të ekuacioneve. (Kujtojmë që një rrugë e tillë është ndjekur edhe tek elipsi) Kushti që drejtëza Ax+By+C=0 të jetë tangjente me hiperbolën 2 2 2 2 1 x y ba  ( A2 a2 -B2 b2 =C2 ) mund të merret i gatshëm për analogji me elipsin. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 4. 5.6 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të hiperbolës Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Tangjentja në pikën M1(x1, y1) të hiperbolës 2 2 2 2 1 x y a b  dhe ekuacioni i saj 1 1 2 2 1 x x y y a b ˜ ˜  Kuptimi gjeometrik i derivatit të funksionit. Derivati i funksionit të përbërë. b) Veti Tangjentja me hiperbolën, si drejtëza që kalon nga një pikë e dhënë e saj dhe ka koeficientin këndor të dhënë ( sa derivati i funksionit në atë pikë). c) Metoda Nxjerrja e ekuacionit të tangjentes me arsyetime analitike. (Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika e dhënë M1(x1, y1) dhe ka koeficientin këndor k, ka trajtën y-y1=k(x-x1), ku sipas kuptimit gjeometrik të derivatit k=y’(x1). Më pas shfrytëzohet fakti që pika M1(x1, y1) ndodhet në hiperbolë ( 2 2 1 1 2 2 1 x y a b  ) nga ku arrihet në trajtën përfundimtare të ekuacionit të tangjentes 1 1 2 2 1 x x y y a b ˜ ˜  .
    • “Matematika 12” Libër mësuesi128 Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes me hiperbolën në një pikë të çfarëdoshme të saj. " Të zbatojnë formulën përkatëse në zgjidhjen e problemave. " Duke u nisur nga ekuacioni i tangjentes të gjejnë ekuacionin e pingules në pikën M1(x1, y1) të hiperbolës ( duke u nisur nga fakti që koeficientët këndorë të tangjentes kt dhe pingules kp lidhen me relacionin kt˜kp=-1.) Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kjo orë mësimi është analoge me orën përkatëse tek elipsi. Kështu që mësuesi mundet që ekuacionin e tangjentes ta lerë si detyrë për punë të pavarur apo ta marri të gatshëm. Shembulli i parë mësimit mund të zgjidhet nga një nxënës në tabelë, ndërsa për shembullin e dytë mësuesi udhëzon paraprakisht të gjejnë koeficientin këndor të tangjentes (k=tgD) Vihet re se në ushtrimet e këtij mësimi përdoret gjerësisht kushti i tangjencës së drejtëzës me hiperbolën, i cili është nxjerrë në mësimin e mëparshëm. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 6. 5.7 Ushtrime për përpunim të njohurive Qëllimi i kësaj ore mësimi është përforcimi i njohurive për hiperbolën të marra në mësimet e mëparshme. Rekomandojmë që para se të fillojë me zgjidhjen e shembujve (të tekstit apo ushtrime të tjera që i gjykon mësuesi), të përsëriten shkurtimisht konceptet e përkufizimet që kanë të bëjnë me hiperbolën dhe elementet e saj. Gjithashtu mund të rikujtohen koncepte të tillë si këndi ndërmjet dy drejtëzave, ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë paralele ose pingule me një drejtëz të dhënë, largesa e një pike nga një drejtëz, largesa ndërmjet dy drejtëzave paralele etj. Shembulli i dytë i zgjidhur në tekst është relativisht i vështirë. Në varësi të nivelit të klasës mësuesi mund të gjykojë për zëvendësimin e tij. Por edhe nëse ndodh kështu, ai duhet t’i jepet si detyrë qoftë dhe disa nxënësve të klasës (të cilët përparojnë më mirë) Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3/a; 6.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 129 5.8 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e abshisave Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Përkufizimi i parabolës. Elementet e parabolës (vija drejtuese, vatra, kulmi, parametri). b) Veti Vetia e parabolës ( bashkësia e pikave të planit të baraslarguara nga një drejtëz fikse dhe një pikë fikse jashtë kësaj drejtëze). Ekuacioni më i thjeshtë i parabolës (y2 =2px), Forma e parabolës ( simetria, boshti, kulmi, zona e vendosjes). Rastet e vendosjes së parabolës në varësi të pozicionit të vatrës dhe vijës drejtuese. c) Metoda Si edhe tek elipsi dhe hiperbola, nxjerrja e ekuacionit të parabolës realizohet me një zgjedhje të përshtatshme të boshteve koordinative dhe duke kryer transformime në barazimet që shprehin largesën ndërmjet dy pikave si dhe largesën e një pike nga një drejtëz. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin saktë përkufizimin e parabolës. " Të shkruajnë ekuacionin më të thjeshtë të parabolës. " Të vizatojnë me dorë të lirë parabolën me qendër në origjinën e koordinatave, simetrike në lidhje me boshtin e abshisave në vendosur djathtas (majtas) boshtit të ordinatave. " Të shkruajnë ekuacionin e parabolës në raste të thjeshta (kur jepen elemente të mjaftueshëm për gjetjen e saj). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Fillimisht jepet përkufizimi i parabolës dhe pas zgjidhjes së përshtatshme të boshteve (fig. 5.9 e tekstit) shkruhet barazimi: 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 p p x y x   . Kalimi i tij në trajtën y2 =2px është mjaft i thjeshtë dhe realizohet nga vetë nxënësit. Më pas duke shfrytëzuar përvojën e fituar në studimin e formës së elipsit dhe hiperbolës, realizohet studimi i formës së parabolës.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi130 Shembujt e zgjidhur të kësaj ore mësimi janë relativisht të thjeshtë dhe mund të realizohen nga vetë nxënësit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3, 6. 5.9 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e ordinatave Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Përkufizimi i njëjtë me atë të mësimit të mëparshëm. Ndryshon vetëm përzgjedhja e boshteve. b) Veti Vetia e parabolës është po ajo (bashkësia e pikave të planit të baraslarguara nga një drejtëz fikse dhe një pikë fikse jashtë kësaj drejtëze). Ekuacioni më i thjeshtë i kësaj parabole është x2 =2py. Për sa i takon formës së saj, ajo të jepet e gatshme (arsyetimi është analog) nëpërmjet Fig. 5. 12 dhe 5. 13 të tekstit. c) Metoda Për analogji me mësimin e mëparshëm jepet drejtpërdrejtë ekuacioni i parabolës në trajtat x2 =2py apo x2 =-2py ( në varësi të faktit që parabola është e vendosur mbi boshtin e abshisave (x2 =2py) apo nën boshtin e abshisave (x2 =-2py). Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin përkufizimin e parabolës. " Të shkruajnë ekuacionin më të thjeshtë të parabolës me qendër në origjinën e koordinatave, simetrike në lidhje me boshtin e ordinatave të vendosur sipër apo poshtë boshtit të abshisave. " Të shkruajnë ekuacionin e parabolës kur jepen elemente të saj ( të mjaftueshëm). " Të skicojnë një parabolë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Meqë përkufizimi i parabolës është i njëjtë me atë të orës së mëparshme, rekomandojmë që në përfundimin që ekuacioni i kësaj parabole është x2 =2py të arrihet me arsyetimin se në këtë rast ndryshon “roli” i x me y, pra bëhet zëvendësim i njërit me tjetrin.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 131 Kujdes duhet treguar që në këtë rast se edhe në koordinatat e vatrës dhe ekuacionin e vijës drejtuese përsëri ndryshojnë “rolet” Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 5, 6. 5.10. Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe parabolës Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Drejtëz prerëse me parabolën; drejtëz tangjente me parabolën. Drejtëz jo prerëse me parabolën. b) Veti Varësia ndërmjet kuptimit gjeometrik dhe kuptimit algjebrik të gjendjes së ndërsjellë të drejtëzës me parabolën. Drejtëza nuk e pret parabolën œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i parabolës nuk ka zgjidhje. Drejtëza e pret parabolën œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i parabolës ka dy zgjidhje. Drejtëza është tangjente me parabolën œ sistemi i formuar nga ekuacioni i drejtëzës dhe ekuacioni i parabolës ka vetëm një zgjidhje. Në rastin e fundit kushti përkatës i tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën y2 =2px është 2kt=p. (Në rastin kur drejtëza jepet me ekuacionin e saj të përgjithshëm Ax+By+C=0 kushti i tangjencës është 2AC=B2 p) Në rastin kur parabola jepet me ekuacionin x2 =2py, nuk rekomandohet që formulat përkatëse të mbahen mend. Në qoftë se do të kërkohen në ushtrime, ato mund të jepen të gatëshme. c) Metoda Sistemit i ekuacioneve 2 2y px y kx t ­ ® ¯ zgjidhet me metodën e zëvendësimit dhe në mënyrë analoge si edhe tek elipsi dhe hiperbola, numri i pikave të përbashkëta të drejtëzës dhe parabolës gjendet në varësi të shenjës së dallorit të ekuacionit të fuqisë së dytë që përftohet në këtë rast. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë kushtin e tangjencës së drejtëzës y=kx+t me parabolën y2 =2px.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi132 " Të përcaktojnë gjendjen e ndërsjellë të drejtëzës me parabolën, në varësi të shenjës së dallorit të ekuacionit të fuqisë së dytë që përftohet nga zgjidhja e sistemit. " Të përdorin konkretisht në situata problemore kushtin e tangjencës së drejtëzës me parabolën. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në mënyrë analoge si edhe tek elipsi dhe hiperbola rekomandojmë që tre rastet e mundshme të gjendjes së ndërsjellë të parashikohen fillimisht në mënyrë vizuale. Më pas probelemi të zgjidhet në rrugë analitike. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 7, 8. 5.11 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të parabolës Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Tangjentja në pikën M1(x1, y1) të parabolës y2 =2px. Kuptimi gjeometrik i derivatit të funksionit. Derivati i funksionit të përbërë. b) Veti Tangjentja në pikën M1(x1, y1) të parabolës y2 =2px, si drejtëz që kalon nga një pikë e dhënë dhe e ka koeficientin këndor të dhënë ( sa derivati i funksionit në atë pikë). c) Metoda Në ekuacionin e drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë me koeficient këndor të dhënë (y-y1)=k(x-x1) dhe duke shfrytëzuar faktin që pika M1(x1, y1) ndodhet në parabolë, arrihet në përfundimin që ekuacioni i tangjentes është yy1=p(x+x1). Shkathtësi Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të shkruajnë ekuacionin e tangjentes në pikën M1(x1, y1) të parabolës y2 =2px. " Të gjejnë në raste konkrete ekuacionin e pingules me një parabolë të dhënë në një pikë të dhënë ( Duke shfrytëzuar faktin që koeficienti këndor i tangjentes dhe koeficienti këndor i pingules lidhen me relacionin kt˜kp=-1). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi shtjellohet në mënyrë analoge si edhe tek elipsi dhe hiperbola, prandaj mësuesi mund të gjykojë për trajtimin e tij sipas tekstit, apo kjo t’u lihet nxënësve
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 133 për punë të pavarur (duke i udhëzuar ata për të gjetur derivatin e funksionit y2 =2px në pikën M1(x1, y1), e më pas duke zëvendësuar këtë derivat në ekuacionin y-y1=k(x-x1). Më pas shfrytëzohet fakti që pika M1(x1, y1) ndodhet në parabolë prandaj 2 1 12y px . Gjetja e ekuacionit të tangjentes në trajtën yy1=p(x+x1) si edhe kushti përkatës i tangjencës 2kt=p shërbejnë për zgjidhjen e ushtrimeve. Kjo realizohet në shembujt e zgjidhur në tekst, të cilët janë të rëndësishëm dhe duhen përvetësuar nga nxënësit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 7. 5.12 Ushtrime për përpunim të njohurive Qëllimi i kësaj ore mësimi është që nëpërmjet zgjidhjes së disa shembujve, të kujtohen e sistemohen njohuritë dhe konceptet teorike që i takojnë parabolës. Është kjo një nga drejtimet që vetë mësuesi duhet të ketë në konsideratë në zhvillimin e kësaj ore mësimi. Ne rekomandojmë që para së të fillojë me zgjidhjen e shembujve, është e udhës që mësuesi të rikujtojë përkufizimet, elementet dhe vetitë kryesore të parabolës ( vatra, vija drejtuese, kulmi, parametri, forma, gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe parabolës, ekuacioni i tangjentes në një pikë të parabolës, kushti i tangjencës). Veç shembujve të zgjidhur në tekst, mësuesi mund të gjykojë për zgjidhjen e shembujve të tjerë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 4. 5.13 Ushtrime për përpunim të njohurive Kjo orë mësimi zhvillohet para orës së testimit. Në testim përfshihen njohuri për hiperbolën dhe parabolën. Prandaj rekomandojmë që në mënyrë të veçantë të përsëriten disa aspekte teorike dhe elementë të hiperbolës (për parabolën u trajtuan në orën e mëparshme), Në mësim janë zgjidhur dy shembuj (një për hiperbolën dhe një për parabolën). Por vetë mësuesi mund të gjykojë që të zgjidhë edhe ndonjë shembull tjetër për hiperbolën, qoftë edhe duke zëvendësuar shembullin e para që i takon parabolës. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 4, 5, 10, 14. Në këtë orë gjykojmë që mësuesi të trajtojë qoftë edhe shkurtimisht njohuritë historike në fund të këtij kreu.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi134 KREU 6 INTEGRALI I PACAKTUAR Mësimi 6.1 Kuptimi i integralit të pacaktuar Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit. Funksioni primitiv i f. Integrali i pacaktuar ³ dxxf )( . b) Veti Nëse F është primitiv i f, atëherë funksionet y=F(x)+c, ku c-numër real çfarëdo, janë të gjitha dhe të vetmet primitiva të f. ³ dxxf )( =F(x)+c, nëse F’(x)=f(x). c) Metoda Përdorimi i tabelës së derivateve. Përdorimi i tabelës së integraleve themelore. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të dallojnë nëse një funksion i dhënë është primitiv i një funksioni tjetër të dhënë. " Të përdorin direkt tabelën e integraleve themelorë, përfshirë edhe rastet e veçanta ³ 2 x dx , ³ x dx për ³ dxxD ( 1zD ). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Është mirë që mësuesi t’u ketë dhënë paraprakisht nxënësve për përsëritje në shtëpi tabelën e derivateve të funksioneve kryesorë dhe rrjedhimet e teoremës së Lagranzhit. Shtjellimi i materialit të ri duhet të kombinojë intuitën me arsyetimin induktiv e atë deduktiv. Shumica e përfundimeve mund të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe; disa nga shembujt e zgjidhur në materialin teorik mund të jepen në trajtë ushtrimesh.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 135 Mësuesi duhet të këmbëngulë në kuptimin dhe fiksimin e dy fakteve themelorë. 1. Nëse F është një primitiv i f, atëherë të gjitha primitivat e f dhe vetëm ato jepen nga formula y=F(x)+c për vlera të ndryshme reale të c. 2. Që të jetë i vërtetë barazimi ³ dxxf )( =F(x)+c, duhet e mjafton që për çdo x të kemi F ’(x)=f(x). Në klasë nxënësit me kontroll direkt, duke përdorur këtë veti të dytë, mund të verifikojnë disa nga të dhënat e tabelës së integraleve themelorë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, b, c;2; 3/a. Mësimi 6. 2 Veti të integralit të pacaktuar Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Derivati i funksionit. Integrali i pacaktuar. b) Veti Pesë veti të integralit të pacaktuar. c) Metoda Përdorimi i tabelës së integraleve themelorë. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë integrale të pacaktuar të funksioneve shumë të thjeshtë, nëpërmjet përdorimit të vetive të integralit të pacaktuar dhe tabelës së integraleve themelorë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi të angazhojë klasën që, me punë të pavarur a me grupe, të kryhet vërtetimi i vetive I, III, IV. Rezultati i kësaj pune të diskutohet me klasën, duke u krijuar nxënësve mundësinë që të shprehen lirisht e të vetëkorrigjohen. Më tej të vazhdohet me tekst hapur, duke ndjekur shembujt e zgjidhur në të, dhe duke organizuar punën e pavarur a me grupe të nxënësve për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik, të cilat janë pjesë përbërëse e këtij materiali. Nëse koha në dispozicion e lejon, mund të punohen në klasë edhe ushtrime të tjera, të marra nga rubrika “Ushtrime” e tekstit. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi136 Mësimi 6.3 Metoda e zëvendësimit (shndërrime nën shenjën e integralit) Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Diferenciali i funksionit. Integrali i pacaktuar. b) Veti Tabela e integraleve themelorë mbetet e vërtetë edhe kur në të zëvendësojmë, në vend të x një funksion )(xu M çfarëdo të derivueshëm. c) Metoda Përdorimi i shndërrimeve të thjeshta të diferencialit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të kryejnë shndërrime shumë të thjeshta të shprehjes f(x)dx dhe të përdorin më tej tabelën e integraleve themelorë për njehsimin e integralit të pacaktuar. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Është me vlera formuese evidentimi i faktit që shpesh edhe gjetja e primitivave (integraleve të pacaktuar) edhe për funksione shumë të thjeshtë nuk bëhet lehtë, prandaj jemi të detyruar të përdorim mënyra të posaçme. Njëra prej tyre është ajo që transformon në mënyrë të përshtatshme shprehjen f(x)dx, duke përdorur vetitë e diferencialit, për të transformuar integralin e dhënë në integral tabelor me një ndryshore u. Shndërrimet e diferencialit si: )( axddx  , 1 ( )dx d ax a ( 0za ) etj. janë shumë të rëndësishme dhe duhen mësuar të gjitha. Më tej mësimi mund të zhvillohet me tekst hapur, duke ndjekur në të e duke diskutuar shembujt e zgjidhur të dhënë në tekst. Klasa duhet të aktivizohet për të zgjidhur, sipas modeleve të dhëna, me punë të pavarur a me grupe, ushtrime të tjera nga rubrika “Ushtrime”. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 137 Mësimi 6.4 Metoda e zëvendësimit (vazhdim) Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Diferenciali i funksionit. Integrali i pacaktuar. b) Veti Çdo formulë integrimi ruan trajtën e saj kur në të zëvendësojmë x me një funksion )(xu M të derivueshëm. c) Metoda Metoda e zëvendësimit në integralin e pacaktuar. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë integrale të thjeshtë të pacaktuar, duke përdorur metodën e zëvendësimit, kur u sugjerohet zëvendësimi )(xu M . Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi është i lidhur organikisht me mësimin 6.4; në të realizohet përgjithësimi i mënyrave të shqyrtuara në mësimin 6.4. Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst. Është me rëndësi punimi i shembullit 1 dhe ushtrimit të pazgjidhur 1, që lejon të nxirret përgjithësimi vijues, që përbën thelbin e metodës së zëvendësimit në integralin e pacaktuar. Në dy shembujt e tjerë përdoret kjo metodë, duke treguar qysh në fillim zëvendësimin e rekomanduar )(xu M . Është me rëndësi të evidentohet procedura e mëtejshme: nga )(xu M nxirret )(ux Z dhe pastaj nxirret duudx ˜)('Z . Duke bërë zëvendësimin e x me )(uZ dhe të dx me duu ˜)('Z në ³ dxxf )( , marrim një integral ³ duug )( , që mund të njehsohet duke përdorur tabelën e integraleve themelore dhe vetitë e njohura. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2, 3.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi138 Mësimi 6.5 Metoda e integrimit me pjesë Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Diferenciali i funksionit. Integrali i pacaktuar. b) Veti ³udv = vu ˜ - ³vdu . c) Metoda Metoda e integrimit me pjesë. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të zbatojnë metodën e integrimit me pjesë për gjetjen e integraleve të pacaktuar të trajtave dxxeax ³ , ³ axdxxsin , ³ axdxxcos , nxdxx A³ D ( Rba D,, dhe 1zD ). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit siç është paraqitur në tekst. Pas nxjerrjes së barazimit ³ ³˜ vduvuudv është me rëndësi të theksohet se metoda e integrimit me pjesë vlen në rastet kur njehsimi i v si ³dv dhe njehsimi i ³vdu kryhen më thjeshtë se njehsimi i integralit fillestar ³udv . Nxënësit të fiksojnë në kujtesë rekomandimet për zgjedhjen e u dhe të dv në integralet e pacaktuar të tipeve dxxeax ³ , ³ axdxxsin , ³ axdxxcos , nxdxx A³ D ( Rba D,, dhe 1zD ). Të lexohen në tekst shembujt e zgjidhur të dhënë dhe të organizohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës, për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik, dhe që janë pjesë përbërëse e këtij materiali. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, b; 2/a, b; 3/a, ç.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 139 Mësimi 6.6 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive teorike dhe zhvillimi i shkathtësive të fituara në mësimet paraardhëse, sidomos për përdorimin e metodave të zëvendësimit dhe të integrimit me pjesë. Mësimi të zhvillohet me tekst hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht në të zgjidhjen e paraqitur për shembujt 1, 2, 3. Më tej mund të organizohet diskutimi i mënyrave të paraqitura të zgjidhjes. Pastaj klasa, me punë të pavarur a me grupe, punon disa nga ushtrimet e pazgjidhura të rubrikës “Ushtrime”. Rezultatet kryesore të arritura diskutohen me klasën, që ndërpret për këtë qëllim përkohësisht punën e pavarur. Për organizimin e punës së diferencuar të nxënësve të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal mund të konsiderohen ata me numrat 1/a, b, c; 2/a, b; 3/a, b. Mësimi 6.7 Integrimi i thyesave racionale Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Polinomi. Thyesa racionale. Integrali i pacaktuar. b) Veti Pjesëtimi i një polinomi me (ax+b). Vetitë e integralit të pacaktuar. Sjellja e ³  bax dx në trajtën ³ u du . c) Metoda Përdorimi i shndërrimeve të diferencialit dhe i vetive të integralit të pacaktuar. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të njehsojnë ³  bax dx . " Të sjellin thyesën bax xP  )( në trajtën bax c xQ  )( , kur fuqia e P(x) është 1tn .
    • “Matematika 12” Libër mësuesi140 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit që është paraqitur në tekst, në të cilin nëpërmjet zgjidhjes së disa shembujve arrihet në përfundime përgjithësuese, që zbulojnë thelbin e metodës. Është me rëndësi të përforcohet kryerja e pjesëtimit të polinomit P(x) (me shkallë 1tn ) me binomin e fuqisë së parë (ax+b), që lejon sjelljen e integralit ³  dx bax xP )( në tipe të njohur. Mësuesi të këmbëngulë që nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur a me grupe, ushtrimet e pazgjidhura të vendosura në materialin teorik. Edhe shembulli 4 mund të jepet si ushtrim. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3/a, b. Mësimi 6.8 Metoda të kombinuara integrimi Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë zhvillimi i mëtejshëm i shkathtësive, të fituara nga nxënësit në përdorimin e metodës së zëvendësimit dhe të metodës së integrimit me pjesë. Mësimi të zhvillohet me tekst hapur. Në fillim nxënësit të lexojnë individualisht 3 shembujt e zgjidhur, të vendosur në tekst. Rreth mënyrave të paraqitura të zgjidhjes është mirë të organizohet një diskutim me klasën. Pastaj nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, zgjidhin disa nga ushtrimet e pazgjidhura të vendosura në rubrikën “Ushtrime”. Rezultatet kryesore diskutohen me klasën, që ndërpret punën e pavarur për të marrë pjesë në diskutim. Për organizimin e punës së diferencuar me nxënësit, të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal janë ata me numrat 1/a, b, c; 2/a, b, c; 3/a, ç. Mësimi 6.9 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë strukturimi dhe përforcimi i njohurive, si edhe zhvillimi i aftësive të fituara gjatë shtjellimit të kapitullit. Nxënësit, nën drejtimin dhe me porosi të mësuesit, duhet të bëjnë një punë të rëndësishme përgatitore për mësim, duke përmbledhur, sistemuar e hedhur në letër njohuritë teorike kryesore.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 141 Zhvillimi i mësimit mund të bëhet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht tre shembujt e zgjidhur, të dhënë në tekst. Më tej kalohet në zgjidhjen e ushtrimeve të tjera me karakter zbatimi, të zgjedhura nga rubrika “Ushtrime”, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Mësuesi për trajtimin e tyre, duhet të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve, mbi disa nga këto zbatime, me punën në tabelë të nxënësve të ndryshëm, që zgjidhin të tjera ushtrime. I duhet kushtuar koha e duhur paraqitjes së zgjidhjes së secilit ushtrim (si nga grupi në bankë, ashtu edhe nga nxënësi në tabelë) dhe analizës së tij. Mësuesi t’i lërë nxënësit të shprehen, të kontrollojnë përgjigjet që japin, të bëjnë vetëkorrigjimin e gabimeve eventuale; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve të shprehura. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, b; 2/a, b; 3/a, b; 4/a, b; 6/a, b.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi142 KREU 7 INTEGRALI I CAKTUAR Mësimi 7.1 Kuptimi i integralit të caktuar Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Funksioni primitiv. Integrali i caktuar. Kufijtë e integrimit. b) Veti Formula e Njuton-Laibnicit. c) Metoda Përgjithësimi Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbatojnë formulën e Njuton-Laibnicit për njehsimin e integraleve të caktuar të thjeshtë, kur njihet primitiva e funksionit nën shenjën e integralit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst. Është me rëndësi punimi i shembullit për njehsimin e rrugës që kryen një pikë materiale, e cila kryen lëvizje drejtvizore, kur njihet ligji i ndryshimit të shpejtësisë. Mësimi mund të zhvillohet me tekst hapur. Për shembujt nxënësit mund të lexojnë individualisht zgjidhjet e dhëna e të diskutojnë rreth tyre. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik janë pjesë përbërëse e këtij materiali dhe duhet të zgjidhen në klasë, duke organizuar punën e pavarur a me grupe të nxënësve. Ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 143 Mësimi 7.2 Veti të integralit të caktuar Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Integrali i pacaktuar. Integrali i caktuar. b) Veti Tri veti të integralit të caktuar. c) Metoda Përdorimi i metodave për gjetjen e primitivës. Përdorimi i formulës së Njuton- Laibnicit. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të njehsojnë integrale të caktuar të funksioneve të thjeshta, duke përdorur vetitë e integralit të caktuar dhe formulën e Njuton-Laibnicit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Për tri vetitë e integralit të caktuar nuk jepet dhe as nuk duhet të kërkohet vërtetim. Është mirë që nxënësit të binden për vërtetësinë e tyre, duke shqyrtuar integrale të caktuar polinomesh, p. sh. ³ 1 0 2 3 dxx = ³ 1 0 2 3 dxx ; ³  1 0 2 )( dxxx = ³ ³ 1 0 1 0 2 xdxdxx ; ³ 1 1 2 dxx = ³ ³  0 1 1 0 22 dxxdxx . Të diskutohen me klasën shembujt që janë dhënë të zgjidhur në tekst dhe të organizohet zgjidhja e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik, me punë të pavarur a me grupe. Mësuesi duhet të bëjë kujdes për t’u sqaruar nxënësve se vërejtja 2 (gjetja e F(x) dhe b a xF |)( njëherësh) mund të përdoret vetëm në raste shumë të thjeshta. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/1, 2, 3; 2/a, b.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi144 Mësimi 7.3 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në dy orët e mëparshme. Në tekst janë dhënë mjaft shembuj të zgjidhur, të cilët mund të lexohen individualisht nga nxënësit, duke diskutuar me grupe për mënyrat e propozuara në zgjidhje. Por kujdesi kryesor i mësuesit duhet të jetë aktivizimi i klasës për zgjidhjen e ushtrimeve (të vendosura në materialin teorik apo në rubrikën “Ushtrime”), me punë të pavarur a me grupe. Rekomandohet që për punimin e tyre të kombinohet puna në tabelë e disa nxënësve, me punën me grupe nëpër banka të nxënësve të tjerë, që zgjidhin të tjera ushtrime. Rezultatet e arritura nga nxënësit e ngritur në tabelë duhet të dëgjohen dhe të diskutohen nga klasa (duke ndërprerë përkohësisht punën e saj). Si ushtrime të nivelit minimal (që duhet të mbahet parasysh për organizimin e punës së diferencuar) të konsiderohen ata me numrat 1/c, e, d, b. Mësimi 7.4 Llogaritja e sipërfaqeve të figurave plane Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Trapezi vijëpërkulur. Integrali i caktuar. b) Veti Sipërfaqja e trapezit vijëpërkulur të kufizuar nga boshti Ox, drejtëzat x=a, x=b, grafiku i funksionit y=f(x), në rast se 0)( txf ( 0)( dxf ) në [a, b]. c) Metoda Njehsimi i sipërfaqeve të figurave plane, duke përdorur integralin e caktuar. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të njehsojnë sipërfaqe trapezash vijëpërkulur, të kufizuar nga vijat x=a, x=b, y=0, y=f(x) në raste të thjeshta, kur 0)( txf ( 0)( dxf ) në [a, b]. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit, i paraqitur në tekst. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur; në të nxënësit të lexojnë individualisht trajtimin e shembujve të zgjidhur. Klasa duhet të aktivizohet, duke organizuar
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 145 punën e pavarur a me grupe për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosur në materialin teorik. Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë argumentimin e thjeshtë të dhënë në tekst, për faktin që kur 0)( dxf , sipërfaqja e trapezit vijëpërkulur, të kufizuar nga vijat x=a, x=b, y=0, y=f(x) jepet nga ³ b a dxxf )( . Për formimin botëkuptimor të nxënësve vlen të evidentohet dobia e madhe e integralit të caktuar, që lejoi një hap të rëndësishëm në njehsimin e sipërfaqeve të figurave plane, të kufizuara nga vija të përkulta jorrethore. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4. Mësimi 7.5 Llogaritja e sipërfaqeve të figurave plane (vazhdim) Njohuri teorike kryesore a) Koncepte Trapezi vijëpërkulur. Integrali i caktuar. b) Veti 1. Sipërfaqja e figurës së kufizuar nga vijat y=0, x=a, x=b, y=f(x) në rastin kur f(x) ndërron shenjë në [a, b]. 2. Sipërfaqja e figurës së kufizuar nga vijat x=a, x=b, y=f(x), y=g(x), kur )()( xgxf t në [a, b]. c) Metoda Ndarja e figurave. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të njehsojnë sipërfaqe figurash të thjeshta me anë të integralit të caktuar, duke përdorur dy vetitë e mësuara në këtë temë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi mund të zhvillohet me tekst hapur. Pasi nxënësit të njihen me parashtrimin teorik të vetive, kalohet në shqyrtimin dhe diskutimin e shembujve të zgjidhur, të dhënë në tekst.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi146 Mësuesi të kujdeset për aktivizimin e nxënësve, duke organizuar punën e pavarur a me grupe, për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosur në materialin teorik (që janë pjesë përbërëse e këtij materiali) si edhe të marra nga rubrika “Ushtrime”. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 7. Mësimi 7.6 Llogaritja e sipërfaqeve të figurave plane (vazhdim) Ky mësim fokusohet në zbatime të njohurive të trajtuara në dy mësimet paraardhëse por në situata më komplekse. Mësuesi me metodën e bisedës, të trajtojë në tabelë shembullin e zgjidhur 1. Më tej mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht në të shembujt e zgjidhur nr. 2 dhe nr. 3. Rreth tyre është mirë të organizohet një diskutim. Është e rëndësishme që të aktivizohen nxënësit për të zgjidhur, me punë të pavarur a me grupe, ushtrime nga rubrika “Ushtrime”. Rezultatet kryesore të arritura duhet t’i nënshtrohen diskutimit. Për organizimin e punës së diferencuar të nxënësve të konsiderohen si ushtrime të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5, 8. Mësimi 7.7 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i këtij mësimi është përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në kreun 7. Nxënësit, nën drejtimin e mësuesit duhet të bëjnë një punë të mirë përgatitore për këtë mësim, duke skeduar faktet kryesore të mësuara (dhe jo vetëm formulat). Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Pasi mësuesi të trajtojë në tabelë, me metodën e bisedës, shembullin e zgjidhur nr. 1, nxënësit të lexojnë individualisht shembujt e zgjidhur nr. 2 dhe nr. 3. Më tej klasa të angazhohet për të zgjidhur, me punë të pavarur a me grupe, ushtrime nga rubrika “Ushtrime”. Rezultatet kryesore të arritura gjatë kësaj pune diskutohen me klasën. Është me rëndësi të punohen ushtrime për përpunimin e metodave të gjetjes së integralit të pacaktuar, si njohuri që janë më të larguara në kohë. Për organizimin e punës së pavarur të nxënësve të konsiderohen si ushtrime të nivelit minimal ata me numrat 1; 3/a, ç; 4/a; 5/b, c; 9; 12/a.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 147 KREU 8 KOMBINATORIKË. PROBABILITET. STATISTIKË 8.1Përsëritje: Parimi i mbledhjes dhe i shumëzimit. Përkëmbimet dhe dispozicionet. Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Përkëmbim i një bashkësie me n elemente. Dispozicion me k elemente nga bashkësia me n elemente. b) Veti Parimi i mbledhjes; n(A‰B)=n(A)+n(B); Parimi i shumëzimit: n(AxB)=n(A)˜n(B) Formulat: , ! P ! ; D ! ( )! n n k n n k n k˜  . c) Metoda Zgjidhje shembujsh tipikë. Skema njehsuese me kutiza. Shkathtësi Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë përkufizimet e përkëmbimeve dhe dispozicioneve. " Të dallojnë në situata konkrete përkëmbimet dhe dispozicionet. " Të përdorin skemën njehsuese me kutiza, për të llogaritur numrin e përkëmbimeve dhe dispozicioneve.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi148 Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Në këtë orë mësimi nuk jepen njohuri të reja. Me përkëmbimet dhe dispozicionet, nxënësit janë njohur që në klasën e njëmbëdhjetë. Me shembujt e zgjidhur në tekst, mësuesi duhet të kujdeset në mënyrë të veçantë për mënyrat e llogaritjes së dispozicioneve me k elementë nga bashkësia me n elementë që plotësojnë kushte të caktuara ( shembulli 3). Është e rëndësishme që në këtë rast të përcaktohet renditja e plotësimit të kutizave. Në varësi të kushteve të klasës rekomandojmë që mësuesi të diskutojë zgjidhjen e ushtrimit 5 të tekstit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2/a; 3; 4. 8.2 Përsëritje. Kombinacionet Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Kombinacion me k elemente nga bashkësia me n elemente. Nënbashkësia e një bashkësie. b) Veti Formula , , ! ! ! ( )! n k n k D n C k k n k˜  c) Metoda Nëpërmjet shembujve të zgjidhur në tekst realizohet gjetja e nënbashkësive të një bashkësie që plotësojnë një kusht të caktuar. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin përkufizimin e kombinacionit. " Të llogaritin Cn, k për n dhe k të dhëna. " Të dallojnë ndryshimin ndërmjet dispozicionit dhe kombinacionit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Edhe në këtë orë mësim nuk përfshihen njohuri të reja. Qëllimi i kësaj ore mësimi është që nëpërmjet shembujve, nxënësi të përvetësojë teknikën e llogaritjes së numrit të dispozicioneve (kombinacioneve) me k elemente nga një bashkësi me n
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 149 elemente, e në mënyrë të veçantë të dallojë ndryshimin ndërmjet tyre. ( Në një kombinacion nuk ka rëndësi renditja e elementeve, ndërsa në një dispozicion ka rëndësi renditja e elementeve). Pra çiftet (a, b) dhe (b, a) si kombinacione janë të njëjta, ndërsa si dipozicione janë të ndryshëm. Në shumë raste specifikimi dispozicion apo kombinacion ka të bëjë pikërisht me kushtet specifike të problemit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 5, 7. 8.3 Veti të koeficientëve binomialë Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Koeficientët binomialë. Kombinacione me 0 elemente dhe n elemente nga një bashkësi me n elemente. b) Veti Formulat Cn, 0= Cn, n=1; Cn, 1=n; Cn, k=Cn, n-k. c) Metoda Nxjerrja e formulave të mësipërme duke u bazuar në formulën , ! ! ( )! n k n C k n k˜  . Zgjidhje shembujsh tipikë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përdorin kuptimin e përkëmbimit, dipozicionit dhe kombinacionit për zgjidhjen e ushtrimeve. " Të formulojnë vetitë e koeficientëve binomialë dhe t’i përdorin ato në zgjidhjen e ushtrimeve. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë orë mësimi, rekomandojmë që mësuesi në bashkëpunim me klasën, fillimisht të nxjerrë formulat Cn, 0= Cn, n= 1 dhe Cn, 1=n. Pas kësaj të vërtetojë në të dy mënyrat formulën Cn, n-k=Cn, k, duke nënvizuar avantazhet e përdorimit të saj ( Psh C50, 49= C50, 1 dhe llogaritja me formulë e C50, 1 është shumë më e thjeshtë se C50, 49).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi150 Më pas kalohet në zgjidhjen e shembujve të tekstit, ku kujdes i veçantë i duhet kushtuar shembujve 3 dhe 4 (të cilët do të përdoren shpesh më pas). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 10. 8.4 Probabiliteti Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Probabiliteti i ngjarjes. Ngjarje e pamundur; ngjarje e sigurtë; Hapësira e rezultateve. Ngjarja e kundërt e një ngjarje të caktuar. b) Veti ( ) ( ) ; 0 ( ) 1; ( ) ( ) 0; (D ngjarje e pamundur) ( ) 1; ( E ngjarje e sigurtë) ( ) ( ) 1 ( dhe janë ngjarje të kundërta) n A p A p A n H p D p E p A p A A A d d  c) Metoda Nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve, përsëriten njohuritë e trajtuara në vitet e mëparshme. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të njehsojnë probabilitetin e një ngjarje duke u nisur nga përkufizimi i tij. " Të dallojnë në situata konkrete ngjarjen e pamundur, ngjarjen e sigurtë, ngjarjet e kundërta të njëra-tjetrës. " Të përdorin në ushtrime kombinatorikën (përkëmbimet, dispozicionet dhe kombinacionet) për njehsimin e probabilitetit të ngjarjeve. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Pasi kujtohen përkufizimi i probabilitetit të një ngjarje dhe vetitë e tij, kalohet në zgjidhjen e shembujve të tekstit. Ushtrimi i parë i tekstit është i thjeshtë dhe mund e duhet të zgjidhet nga të gjithë nxënësit. Në varësi të nivelit të klasës, pas kësaj mësuesi mund të japë si ushtrim për punë të pavarur ushtrimin nr. 2 të tekstit. Më pas kalohet në shembullin e dytë ku llogaritja e probabilitetit është e lidhur me llogaritjen e kombinacioneve.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 151 Më pas zgjidhet shembulli i tretë. Gjatë zgjidhjes së shembujve është e rëndësishme pjesëmarrja sa më e gjerë e nxënësve. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3, 4. 8.5 Ushtrime për përpunim të njohurive Në këtë orë mësimi nuk jepen njohuri të reja. Synimi i mësuesit gjatë kësaj ore mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive të mëparshme dhe përdorimi i tyre në zgjidhjen e problemeve. Asnjëherë nuk është e tepërt (madje është e këshillueshme) të theksohet që gjetja e probabilitetit të një ngjarje është e lidhur ngushtë me llogaritjen e kombinacioneve apo dispozicioneve me k elemente nga një bashkësi me n elemente. Gjithashtu duhet të theksohet dallimi ndërmjet parimit të mbledhjes dhe atij të shumëzimit (nga pikëpamja gjuhësore i pari shoqërohet me lidhësen ose, ndërsa i dyti me lidhësen dhe). Këto momente nënvizohen në mënyrë të veçantë tek shembulli i dytë i zgjidhur. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 4, 5. 8.6 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Bashkimi i ngjarjeve (A‰B); Probabilieti i bashkimit të ngjarjeve. Ngjarjet e papajtueshme: b) Veti p(A‰B)=p(A)+p(B)-p(AˆB); p(A‰B)=p(A)+p(B), në qoftë se ngjarjet A dhe B janë të papajtueshme ( nuk kanë rezultate të përbashkëta); p(A‰B‰C)=p(A)+p(B)+p(C), në qoftë se ngjarjet A, B dhe C janë dy nga dy të papajtueshme. c) Metoda Kujtohen formulat ( të cilat janë nxjerrë në klasën e njëmbëdhjetë) dhe nëpëmjet shembujve përdoren ato për zgjidhjen e problemeve.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi152 Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të formulojnë përkufizimin e bashkimit të ngjarjeve ( A‰B). " Të dallojnë në situata konkrete ngjarjet e papajtueshme. " Të përdorin formulën e probabilitetit të bashkimit të ngjarjeve të papajtueshme në zgjidhjen e problemeve. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Qëllimi themelor i kësaj ore mësimi është rimarrja dhe thellimi i njohurive përkatëse të trajtuara në klasën e njëmbëdhjetë. Prandaj është e rekomandueshme që ora e mësimit të fillojë pikërisht me kuptimin e ngjarjeve të papajtueshme dhe të bashkimit e prerjes së dy ngjarjeve. Pas kësaj kalohet në zgjidhjen e shembujve të tekstit. Shembulli i dytë dhe i tretë duhet të zhvillohen vetëm pasi të jetë përvetësuar shumë mirë shembulli i parë. Të veçohen me kujdes specifikat e këtyre shembujve. Në shembullin e dytë kemi të bëjmë me ngjarje të pajtueshme (sepse sfera mund ta ketë numrin edhe tek, edhe më të vogël se 7), ndërsa në shembullin e tretë kemi të bëjmë me ngjarje të papajtueshme ( sepse ngjyra e çorapes nuk mund të jetë njëkohësisht edhe blu edhe gri). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 4. 8.7 Probabiliteti i prerjes së ngjarjeve. ngjarjet e pavarura. Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Prerja e ngjarjeve ( AˆB); Probabiliteti i prerjes së ngjarjeve. Ngjarjet e pavarura. b) Veti p(AˆB)=p(A)˜p(B); p(AˆBˆC)=p(A)˜p(B) ˜p(C). c) Metoda Sqarohet me anën e shembujve, kuptimi i ngjarjeve të pavarura (ndodhin në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra; ndodhja ose mosndodhja e njërës nuk ndikon në ndodhjen apo mosndodhjen e tjetrës). Jepet përkufizimi i ngjarjeve të pavarura.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 153 Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të dallojnë në situata praktike dy ngjarje të pavarura. " Të japin praktikisht shembuj ngjarjesh të pavarura. " Të zbatojnë formulën p(AˆB)=p(A)˜p(B) për gjetjen e probabillitetit të prerjes së dy ngjarjeve ta pavarura. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Në të tre shembujt e zgjidhur në tekst synohet aftësimi i nxënësve për zgjidhjen e problemeve në të cilat kërkohet probabiliteti i prerjes së ngjarjeve. Shumë kujdes i duhet kushtuar shembullit të tretë, ku formula e njohur p(A‰B)=p(A)+p(B)-p(AˆB) në rastin kur A dhe B janë ngjarje të pavarura merr trajtën p(A‰B)=p(A)+p(B)-p(A)˜p( B), e cila gjen përdorim të gjerë në ushtrime. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3, 4. 8.8- 8.9 Ushtrime për përpunim të njohurive Synimi i mësuesit në këto dy orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive të trajtuara në katër orët e mëparshme. Prandaj rekomandojmë që paraprakisht nxënësve t’u jepet detyra për të rikujtuar njohuritë e këtyre mësimeve. Këto njohuri përsëriten në fillim të orës së parë të mësimit. Pas kësaj kalohet në zgjidhjen e shembujve të tekstit. Gjithsesi, në qoftë se për klasa të veçanta, mësuesi i konsideron të vështirë shembujt e zgjidhur, mund të trajtojë shembuj të tjerë, që ai i gjykon të arsyeshëm. Si ushtrime për punë të pavarur mund të përdoren njëkohësisht ushtrimet e mësimeve 8. 9 e 8. 10 pa ndjekur renditjen e tyre. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 4, 8 të mësimit 8. 9 dhe 2, 4, 5, 8 të mësimit 8. 10. 8.10 Tabelat me dy ndryshore Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Informacioni statistikor; Tabela me dy ndryshore.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi154 b) Metoda “Leximi” i tabelave me dy ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të “lexojnë” tabela me dy ndryshore. " Të “ndërtojnë” vetë pyetje për tabela të tilla dhe të gjejnë përgjigjet përkatëse. " Të nxjerrin informacionin e kërkuar nga tabela me dy ndryshore dhe ta përpunojnë atë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Në vitet e mëparshme nxënësit janë njohur me tabela statistikore me një ndryshore. Informacioni që jepet me tabelat me dy ndryshore është më i gjerë (informacion i dyfishtë). Qëllimi i kësaj ore mësimi është që nxënësi të mësohet “të lexojë” tabela të tilla. Është e rëndësishme që mbi bazën e të dhënave numerike të tabelës, vetë nxënësit të formulojnë pyetje. Në këtë orë mësimi mund e duhet të zhvillohet puna me grupe. Në varësi të kushteve të klasës, përcaktohet numri i grupeve, të cilët i drejtojnë pyetje njeri tjetrit, e më pas diskutohen përgjigjet e dhëna. Gjithashtu në këtë orë mësimi është e mundur që vetë nxënësit të hartojnë tabela të tilla duke u nisur nga kushtet e zonës ku ata banojnë. Një detyrë e tillë mund të ishte edhe në kuadrin e një projekti kurrikular. 8.11 Përsëritje. Mesatarja; dispersioni; shmangia mesatare katrore Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Mesatarja; dispersioni; shmangia mesatare katrore. b) Veti 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ; ; ( ) n n i i i i i i i x f x x m f x m D D f x N V ˜  ˜¦ ¦
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 155 c) Metoda Me anën e shembujve përsëriten njohuritë e trajtuara në klasën e njëmbëdhjetë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të njehsojnë mesataren e të dhënave për ndryshore të rastit diskrete. " Të njehsojnë dispersionin dhe shmangien mesatare katrore për ndryshore të rastit diskrete. " Bazuar në vlerat e D dhe V të gjykojnë e vlerësojnë shmangien e vlerave të ndryshme nga mesatarja. " Të zbatojnë këto njohuri në situata të thjeshta konkrete. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Qëllimi i kësaj ore mësimi është të rikujtohen njohuritë përkatëse, të trajtuara në klasën e njëmbëdhjetë, të cilat do të përdoren në mësimet e ardhshme (lidhur me madhësitë e rastit). Në tekst kjo realizohet me dy shembujt e zgjidhur. Në këtë orë mësimi është e mundur (madje e këshillueshme) të zhvillohet punë me grupe. Grupet bëjnë llogaritje dhe të dhënat ia komunikojnë njeri tjetrit. Psh. njeri grup llogarit mesataren, grupi i dytë bën veprimet për llogaritjen e vlerave të (x-m), grupi i tretë mbi këtë bazë llogarit (x-m)2 . Mbi këtë të dhënë grupi i katërt llogarit (x-m)2 ˜f(x) dhe së fundi një grup tjetër llogarit D dhe V. Më pas bëhen llogaritë për m-V dhe m+V, si dhe diskutimi përfundimtar. Nëse klasa ka numër të madh nxënësish, një pjesë e tyre mund të punojnë me shembullin e dytë, apo edhe me ushtrime të përfshirë në tekst. 8.12 Ndryshoret e rastit Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Prova; Ndryshoret e rastit. Ligji i shpërndarjes (shpërndarja) e ndryshores së rastit.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi156 b) Veti Tabela e shpërndarjes së ndryshores së rastit. X x1 x2 . . . xn P(X) p1 p2 . . . pn p1+p2+˜˜˜+pn=1 c) Metoda Përkufizimi i ndryshores së rastit dhe shpërndarja e saj. Zgjidhje problemesh. Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përkufizojnë ndryshoren e rastit. " Të përkufizojnë shpërndarjen e ndryshores së rastit. " Të gjejnë shpërndarjen e ndryshores së rastit në situata probelemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Është shumë e rëndësishme që ora e mësimit të fillojë me shembullin e zgjidhur, pra duke i dhënë asaj karakter praktik. Më pas kalohet në përkufizimin e ndryshores së rastit dhe vetëm pas shembullit 2 kalohet në përkufizimin e shpërndarjes së ndryshores së rastit. Rekomandojmë që gjatë orës së mësimit mundësisht në klasë të zgjidhen e diskutohen edhe ushtrimet 1, 2 e 3 të tekstit, të cilët janë ushtrime të nivelit minimal, por shumë të rëndësishëm për ecurinë në mësimet e mëvonëshme. Në ushtrimin 6, fillimisht duhet gjetur numri i sportistëve në secilin sport ( sipas udhëzimit të dhënë në tekst). 8.13 Ndryshoret e rastit (vazhdim) Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Paraqitja e shpërndarjes së ndryshores së rastit grafikisht dhe me histogramë. b) Metoda Nëpërmjet shembujve në situata më të ndërlikuara, gjendet shpërndarja e ndryshoreve të rastit dhe paraqitet ajo grafikisht dhe me histogramë.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 157 Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të gjejnë shpërndarjen e ndryshores së rastit në situata problemore më të ndërlikuara. " T’i paraqesin shpërndarjet grafikisht dhe me histogramë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Qëllimi i kësaj ore mësimi është i dyfishtë. Së pari, gjetja e shpërndarjes së ndryshoreve të rastit në situata problemore më të ndërlikura. Së dyti, paraqitja e shpërndarjes së ndryshoreve të rastit grafikisht dhe me histogramë. Është shumë e rëndësishme që veçanërisht në shembullin e dytë (i cili është i njohur për nxënësit), për llogaritjen e probabiliteteve përkatës gjatë hedhjes njëkohësisht të dy zareve kubikë, të marrin pjesë (të ndarë në grupe) të gjithë nxënësit e klasës. P.sh. një grup njehson probabilitetin e ngjarjes “shuma e pikëve në të dy zaret është 2 ose 3; një grup tjetër probabilitetin e ngjarjes “shuma pikëve në të dy zaret është 4 ose 5 etj). Pastaj krahasohen përfundimet e gjetura nga grupe të ndryshme ( 1 1 (2) (12) ; (3) (11) 36 18 p p p p ) etj. Më pas vetë nxënësit në fletore paraqesin grafikisht (apo me histogramë) shpërndarjen e ndryshores së rastit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 5. 8.14 Ushtrime për përpunim të njohurive Qëllimi i kësaj ore mësimi është që nëpërmjet shembujve të trajtohet edhe njëherë kuptimi ndryshores së rastit dhe shpërndarjes së saj. Gjithashtu nëpërmjet pyetjes b) të shembullit të parë përgatitet terreni për trajtimin e funksionit të shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. Me shumë kujdes duhet trajtuar shembulli i parë i tekstit (gjetja e p(X) kur në rastet kur X=0; ose X=1 ; ose X=2 (X paraqet numrin e sferave të bardha në nxjerra nga kutia) duhet të realizohet në bashkëpunim me klasën.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi158 Arrihet në këtë mënyrë në tabelën X 0 1 2 p(X) 4 25 11 25 9 25 Pas kësaj rekomandojmë që ajo të paraqitet grafikisht me diagramë karteziane dhe me histogramë (nga vetë nxënësit) Shumë rëndësi i duhet kushtuar kërkesës b) të ushtrimit ( p(Xd1) dhe zgjidhjes së saj, ku të vihet në dukje se ngjarjet X=0 dhe X=1 janë të papajtueshme (pse?), prandaj p(Xd1)=p(X=0)+p(X=1). 8.15 Funksioni i shpërndarjes Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Funksioni i shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. b)Veti F(xn)=p(X d xn) c) Metoda Jepet përkufizimi i funksionit të shpërndarjes së ndryshores së rastit dhe mënyra më e thjeshtë e gjetjes së tij me anën e tabelës: X X1 X2 X3 . . . xn p(X) p1 p2 p3 . . . pn F(X) p1 p1+ p2 p1+ p1+p3 p1+ p1+p3+˜˜˜+pn Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: " Të përkufizojnë funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit. " Të gjejnë funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit në situata problemore të thjeshta. " Të paraqesin funksionin e shpërndarjes në mënyrë tabelare dhe grafike.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 159 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që mësimi të trajtohet siç është paraqitur në tekst. Pra fillimisht plotësohet tabela, X 0 1 2 3 P(X) 1 30 3 10 1 2 1 6 e cila paraqet shpërndarjen e ndryshores së rastit “Numri i sferave të bardha që ndeshen kur nga një kuti me 6 sfera të bardha dhe 4 sfera të zeza nxirren njëkohësisht 3 sfera). Ky problem është trajtuar hollësisht në shembullin 2 të mësimit 8.13, por ne rekomandojmë që ai të rizgjidhet. Pas kësaj ndërtohet tabela: X 0 1 2 3 P(X) 1 30 3 10 1 2 1 6 F(X) 1 30 1 3 1 30 10 3  1 1 5 3 2 6  5 1 1 6 6  si dhe ndërtohet histograma e fig. 8. 4. Vetëm pas kësaj jepet përkufizimi i funksionit të shpërndarjes së ndryshores së rastit. Shumë i rëndësishëm është shënimi i cili zgjeron bashkësinë e përcaktimit të funksionit të shpërndarjes për X<x1 dhe X>xn. Pas kësaj jepet paraqitja analitike e funksionit të shpërndarjes si edhe ajo grafike. Në mbarim të zgjidhjes së shembullit të dytë, mund të bëhet diskutimi për rrugën e preferuar në gjetjen e funksionit të shpërndarjes së ndryshores së rastit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi160 8.16 Pritja matematike Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Pritja matematike e ndryshores së rastit. b) Veti 1 1 2 2 1 ( ) n n n i i i E x p x p x p x p x  ˜˜˜ ¦ c) Metoda Nëpërmjet zgjidhjes së shembullit të parë të tekstit arrihet në domosdoshmërinë e futjes së konceptit të pritjes matematike si një tregues sasior. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të përkufizojnë pritjen matematike të ndryshores së rastit. " Të njehsojnë pritjen matematike të ndryshores së rastit në situata problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit: Përvoja tregon se njehsimi i pritjes matematike të ndryshores së rastit nuk është problem i vështirë për nxënësit ( në ndryshim nga koncepti i funksionit të shpërndarjes). Është kjo arsyeja që rekomandojmë që pas zgjidhjes së shembullit të parë, shembulli i dytë dhe i tretë të zgjidhen nga vetë nxënësit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 5. 8.17 Shmangia mesatare katrore. Dispersioni Njohuri teorike kryesore: a) Kuptime Dispersioni. Shmangia mesatare katrore. b) Veti 2 1 ( ) [ ( )] n i i i D X p x E X¦ c) Metoda Nëpërmjet shembullit të zgjidhur, jepet kuptimi i dispersionit, pasi sqarohet domosdoshmëria e futjes së kuptimit të tij.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 161 Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: " Të japin përkufizimin e dispersionit dhe shmangies mesatare katrore. " Të njehsojnë dispersionin dhe shmangien mesatare katrore në situata të thjeshta problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nëpërmjet dy tabelave të para të kësaj ore mësimi, u jepet nxënësve detyrë të njehsojnë pritjet matematike të ndryshoreve të rastit X dhe Y të cilat më pas janë paraqitur grafikisht në Fig. 8. 7 Pas kësaj bëhet diskutimi për pamjaftueshmërinë vetëm të pritjes matematike për të karakterizuar numerikisht një madhësi të rastit, nga ku arrihet në përfundimin për domosdoshmërinë e përfshirjes së treguesve të tjerë numerikë. Pas kësaj kalohet në shembullin e parë ku llogaritjet duhet të realizohen nga vetë nxënësit (individualisht apo në grupe). Së fundi, bëhet krahasimi i dispersioneve. E njëjta gjë realizohet edhe në shembullin e dytë. Futja e kuptimit të shmangies mesatare katrore sqarohet në shënimin përkatës, i cili nuk duhet neglizhuar nga ana e mësuesit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 4. 8.18 Ushtrime për përpunim të njohurive Qëllimi i kësaj ore mësimi është sistemimi i njohurive të këtij kreu, si kuptimi i madhësisë së rastit, shpërndarjes së saj, funksionit të shpërndarjes, pritjes, matematike, dispersionit dhe shmangies mesatare katrore. Kjo realizohet nëpërmjet dy shembujve të zgjidhur në tekst si edhe të ushtrimeve përkatës. Në varësi të kushteve specifike të klasës, mësuesi mund të trajtojë edhe vetëm njërin shembull. E rëndësishme është që gjatë zgjidhjes së tyre, të përsëriten momentet kryesore teorike dhe llogaritëse. (të gjitha veprimet të kryhen nga nxënësit, individualisht ose me grupe) Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi162 HORIZONTI I MËSUESIT PROBLEME TË KURRIKULËS SË MATEMATIKËS NË SHKOLLËN E MESME DHE ASPEKTET HISTORIKE TË TYRE Në shumë vende të Evropës dhe në SH.B.A. po shfaqet një shqetësim në rritje lidhur me uljen e nivelit të matematikës shkollore, ndërsa opinioni publik në përgjithësi e vlerëson fuqishëm nevojën e zhvillimit të kësaj lënde në shkollë. Sipas një ankete të organizuar kohët e fundit nga revista prestigjioze “Science et Vie”, 73% e francezëve vlerëson që kjo lëndë është shumë e dobishme për të formuar shpirtin arsyetues; 57% e tyre mendojnë që njohuritë matematike të marra në shkollë shërbejnë për jetën e mëtejshme dhe vetëm 30% e francezëve ruajnë një kujtim të keq nga matematika që kanë zhvilluar në shkollë. E megjithatë në këtë vend, por edhe në SH. B. A. dhe në të gjithë Evropën, vërehet dukuria e një ulje të nivelit të studentëve që pas mbarimit të shkollës së mesme hyjnë në degët e matematikës në universitete, shoqëruar edhe me uljen e vetë numrit të studentëve që regjistrohen në këtë degë. Ka edhe politikanë të rangjeve të larta, si ish-ministri francez i arsimit, C. Allègre, që mendojnë se matematika shkollore po zhvlerësohet, meqë tashmë ka makina për të bërë njehsimet, për të ndërtuar vija gjeometrike etj. dhe prandaj kursi i saj në shkollën e mesme duhet të reduktohet ndjeshëm. Ja pra, thelbi i problemit: atje ku C. Allègre nuk sheh veçse një disiplinë njehsuese, mekanike dhe utilitare, të tjerët shohin një dije esenciale, që zhvillon njëherësh imagjinatën dhe rigorozitetin logjik dhe luan një rol të rëndësishëm në formimin kulturor të brezit të ri. Për fat të mirë, qëndrime ekstremiste si ai i C. Allègre janë të rralla; e gjithë bota njeh rëndësinë praktike të matematikës. Të dish të numërosh, të lexosh një grafik, të orientohesh në hapësirë janë dije të nevojshme për të gjithë. Zbatimet e matematikës në shkencat e natyrës dhe në ato teknike e bëjnë të paevitueshëm të mësuarit me nivel të matematikës në shkollën e mesme; bëhet fjalë për të përgatitur inxhinierë, informaticienë, ekonomistë, biologë të ardhshëm. Sipas mendimit të përgjithshëm, matematika nuk është vetëm një mjet për jetën praktike (të përditshme dhe profesionale); ajo është gjithashtu një aktivitet
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 163 formues shpirtëror. Të familjarizohesh me abstragimin, të rrokësh universialitetin e një vërtetimi, të dallosh hipotezën nga konkluzioni etj. janë mënyra të menduari esenciale. Por arsyetimi nuk duhet të mbetet steril; është e papranueshme të merresh me propozicione pa interes vetëm me pretekstin që ato janë rigoroze. Midis zbatimit dhe arsyetimit, praktikës dhe kulturës, realitetit dhe abstraksionit, si mund të përmblidhet arsyeja e zhvillimit të lëndës së matematikës? J. P. Kahane, president i një komisioni të posaçëm, të ngarkuar për t’i dhënë autoriteteve zyrtare në Francë si edhe pedagogëve rekomandime për një evolucion të mundshëm dhe të dëshirueshëm të matematikës shkollore, propozon një përgjigje sintetike: “ Të merresh me matematikë në shkollë do të thotë të ndërtosh modele”. Kuptimi fizik i forcës p. sh. modelizohet nga një vektor, që është një objekt matematik i karakterizuar nga një drejtim dhe një gjatësi. Për të përdorur këtë model duhet të dish të mbledhësh dy vektorë etj. , pra të dish përmendësh një numër teknikash, recetash, formulash, rezultatesh etj. që e lejojnë të menduarit të lirohet nga telashet teknike. Por nga ana tjetër, për të interiorizuar modelin në mënyrë të natyrshme dhe intuitive, duhet të ruash në kokë idenë që vektori mund të përfaqësojë një forcë dhe të bësh në mënyrë permanente lidhjen me dukurinë reale të modelizuar. Gjithë interesi i një modelizimi të tillë është që të mundesh të zbatosh në kuadrin e tij një arsyetim rigoroz, një njehsim vektorial pa të meta, në akord me rregullat e logjikës. Për të studiuar p. sh. , efektin e zbatimit të shumë forcave në të njëjtën pikë, mjafton të mbledhësh vektorët që modelizojnë secilën prej tyre. Njëherazi i formalizuar dhe i zbatuar, abstrakt dhe konkret, rigoroz dhe intuitiv, objekti matematik i vektorit merr kështu gjithë rëndësinë dhe vlerën e vet. Është e nevojshme që nxënësit të njohin një numër të madh modelesh dhe ta pasurojnë vazhdimisht gjatë viteve të shkollimit bagazhin e tyre matematik- pranohet nga shumica. Vizioni i paraqitur më lart për të mësuarin e matematikës në shkollë nuk është i ri: kuptimi i modelit ka qenë në qendër të diskutimit në çdo reformë të kursit shkollor të matematikës. Në fillim të shekullit XX, në kohën e reformave të mëdha që tentuan ta adoptojnë shkollën me revolucionin industrial, në Evropë dhe në SH. B. A., C. Bourlet theksonte nevojën që “t’ia nënshtrojmë në shkollë abstraksionet matematike nevojave të realitetit”. Në vitet 60-të, në kohën e futjes masive të të ashtuquajturës “matematikë moderne” në kursin shkollor, André Lichnéroicz (presidenti i komisionit të ngarkuar në Francë për formimin e këtij kursi shkollor) shprehej: “Matematika luan një rol të privilegjuar në kuptimin inteligjent të asaj që ne e quajmë realitet”. Por ndonëse të gjithë janë dakord mbi arsyet kryesore të të mësuarit të matematikës në shkollë, përkthimi konkret i këtyre parimeve, veçanërisht për shkollën e mesme, në programe lëndore, ka ndryshuar shumë gjatë shekullit XX. Nga fillimi i këtij shekulli deri në vitet 60-të të tij kemi kursin klasik të
    • “Matematika 12” Libër mësuesi164 matematikës shkollore, me zhvillimin e disiplinave të veçanta (aritmetikë racionale, algjebër, planimetri, stereometri, trigonometri, elementë të analizës matematike dhe të gjeometrisë analitike). Duke filluar qysh nga vitet 40-të të shekullit XX filluan të hidhen disa propozime për reformimin e kursit të matematikës shkollore mbi bazën teoriko-bashkësiore. Këto propozime inspiroheshin nga përpjekja për ta ndërtuar gjithë matematikën mbi bazën e teorisë së bashkësive, që kishte ndërmarrë grupi i shkencëtarëve francezë i njohur me siglën N. Burbaki. Ata ishin të mendimit që me një aksiomatikë të përshtatshme të teorisë së bashkësive, duke përdorur vetëm operacionet teoriko-bashkësiore (bashkimi e prerja e bashkësive, plotësimi, shumëzimi kartezian e dy bashkësive) mund të përcaktohen të gjitha konceptet kryesore matematike (relacioni, funksioni, veprimi algjebrik, topologjia, radhitja etj.), të formulohen vetitë kryesore të këtyre koncepteve dhe pastaj, mbi këtë bazë, të ndërtohet e gjithë matematika. Metoda “burbakiane” e paraqitjes së matematikës kishte shumë të meta. Në veçanti ajo shpesh çonte në përfytyrime të gabuara për lidhjen e matematikës me botën reale. Një burim tjetër i kësaj lëvizje reformiste ishin teoritë e psikologut zviceran Piaget, që mendonte se kish mundur të zbulonte në të menduarit e njeriut struktura analoge me strukturat e radhitjes, topologjisë, algjebrës etj. , të shfaqura në traktatet Burbaki. Çështja mbi bazat e tjera mbi të cilat duhej ngritur kursi i matematikës shkollore u diskutua në vitin 1955 edhe nga një sërë matematikanësh të mëdhenj si Adamar, Kartan etj. Shumë prej tyre u shprehën kundër konfrontimit të matematikës klasike dhe moderne, kundër shmangies nga problemet që janë lindur dhe lindin prej fakteve të reja të shkencave të natyrës dhe teknike. U vu në dukje se, nëse metoda aksiomatike është e preferueshme për matematikanët profesionistë, puna nuk qëndron kështu nga pikëpamja pedagogjike. Nëse përdoret metoda aksiomatike në parashtrimin e materialit në shkollë, duhet që vazhdimisht të vihet në dukje evolucioni induktiv që i jep jetë kësaj metode si edhe të bëhet interpretimi konkret i termave të përdorura, që lejon të zbatohet ky material në realitetin e përditshëm. Shumë nga pjesëmarrësit në këtë diskutim ishin të mendimit që synimi për të vënë nxënësit në kontakt me mendimin modern matematik, edhe duke gjetur ekuivalentët didaktikë të përshtatshëm, në vetë thelbin e tij ishte një synim shumë pretencioz. Një synim shumë i arsyeshëm, për të cilin askush nuk dyshonte, ishte ai që të mësoheshin nxënësit të arsyetonin, të njehsonin dhe, disa prej tyre, edhe të meditonin. Pavarësisht nga këto gjykime, lëvizja për të afruar stilin e të mësuarit të matematikës në shkollë ndaj të ashtuquajturës matematikë moderne kishte shumë
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 165 përkrahës në mjaft vende evropiane. Në vitin 1959 në qytetin Royamont (Francë) u mbajt një simpozium ndërkombëtar, në të cilin u shpall përmbysja e gjithë kurseve shkollore të zakonshme (duke përfshirë edhe gjeometrinë euklidiane) dhe forcimi i vëmendjes ndaj matematikës abstrakte, si bazë e pjesëve më të rëndësishme të shkencës bashkëkohore. U përqendrua vëmendja tek logjika matematike, strukturat dhe tek kompaktësimi i gjithë matematikës shkollore. Në programet e asaj kohe zunë vend elementët e teorisë së numrave dhe algjebra abstrakte, algjebra lineare dhe gjeometria shumë-dimensionale, topologjia etj. Matematicienët e grupit Burbaki filluan të ndërtojnë gjeometrinë mbi bazën e teorive të hapësirave lineare (me prodhim skalar të futur në to) dhe hodhën sloganin “Poshtë Euklidi”. Në frymën e ideve moderniste u shkruan shumë tekste ku shtjellimi i matematikës shkollore fillonte nga studimi i bashkësive, grafeve dhe grupeve. Në këtë periudhë në Rusi u miratua një program më i moderuar matematike, i përpiluar nga një komision me në krye akademikun Kollmogorov (1968). Në këtë program: ª U mënjanuan nga kursi shkollor i matematikës shumë çështje arkaike, që nuk kishin as vlera shkencore, as zbatuese, as kulturore (p.sh. algoritmi i nxjerrjes së rrënjës katrore; mjaft formula trigonometrike etj.). ª U futën në program koncepte si derivati, integrali, ekuacioni diferencial, vektori, shndërrimi gjeometrik. ª U forcua trajtimi i konceptit të funksionit (mbi bazën e një trajtimi të thjeshtëzuar të konceptit të bashkësisë dhe të relacionit). ª U fut më herët simbolika shkronjore dhe ekuacionet si mënyra kryesore e zgjidhjes së problemeve. ª U futën funksionet trigonometrike të argumentit numerik dhe u forcua drejtimi zbatues i kursit të trigonometrisë. Por tekstet e shkruara në Rusi sipas këtij programi u kritikuan shpejt për një sërë të metash. Në to kishte shtjellime të ndërlikuara për shumë çështje (si p. sh. trajtimi i limitit në gjuhën H, G ); kishte devijime në drejtim të abstraksionit të tepruar, u mbivlerësuan konceptimet teoriko-bashkësiore. Në këto tekste rigoroziteti nga mjet u shndërrua në qëllim në vetvete. Nga fundi i viteve 60-të në Evropën Perëndimore dhe në SH. B. A. filloi kritika e rreptë e tendencave “burbakiste” në mësimdhënien e matematikës. U theksua që tendenca për të studiuar matematikën në shkollën e mesme në një vëllim shumë më të madh se më parë mund të çonte në kërkimin e rrugëve të shkurtra që mund të sillnin (dhe kishin sjellë realisht) më tepër dëm, sesa dobi. Autorët e këtyre kritikave vunë në dukje që programi i shkollës së mesme në matematikë duhet t’i
    • “Matematika 12” Libër mësuesi166 shërbejë kërkesave të gjithë nxënësve, të favorizojë ngritjen kulturore tek nxënësit mesatarë dhe t’u sigurojë një përgatitje të përshtatshme profesionistëve të ardhshëm të matematikës. Të mësuarit prej të gjithë nxënësve e çështjeve që interesojnë vetëm një pakicë nxënësish (matematicienë të ardhshëm) është një humbje kohe që dëshmon për mosmbajtjen parasysh të kërkesave të shoqërisë në tërësi dhe të individit në veçanti. Formalizimi i parakohshëm mund të çojë në shterpësi, futja e parakohshme e abstraksioneve shkakton rezistencën e nxënësve, të cilët “më përpara” se ta pranojnë konceptin, duan të dinë pse ai futet dhe si mund të përdoret. Në matematikë njohuritë kanë vlerë nëse ato përfaqësojnë jo një zotërim të thjeshtë informacioni, por fitimin e aftësive. Prandaj futja e koncepteve të reja pa një rezervë të mjaftueshme faktesh konkrete, futja e koncepteve kompaktësuese kur akoma mungon përvoja për të kompaktësuar është më se e padobishme. Në kongresin e II-të ndërkombëtar për shkollimin matematik (Ekseter, 1972) matematicieni francez R. Thom bëri një kritikë të rreptë të “modernizimit” në mësimdhënien e matematikës. Ai analizoi në vështrimin kritik dy teza kryesore të pedagogjisë moderniste: 1. Nevojën për një ndryshim të plotë të metodikës së mësimdhënies duke kaluar në metodën euristike “krijuese”. 2. Zëvendësimin radikal të programeve- shmangien e gjeometrisë euklidiane dhe futjen e disiplinave të reja si p. sh. teoria e bashkësive, logjika matematike, algjebra abstrakte (moderne). Thom mbrojti tezën që strukturat standarde nuk e ezaurojnë matematikën, përkundrazi; këto struktura përfaqësojnë vetëm aspektet më sipërfaqësore të shkencës. Sipas tij, “problemi i vërtetë me të cilin ndeshet mësimdhënia e matematikës nuk është problem i rigorozitetit, por problemi i të kuptuarit, problemi i justifikimit antologjik të objekteve matematike”. Shpresën e grupit Burbaki për të ngritur të gjitha strukturat matematike mbi bazën e hierarkisë bashkësiore dhe koncepteve të tjera teoriko-bashkësiore, Thom e konsideronte iluzore. Por, në të njëjtën kohë, ai e konceptonte të dobishme për nxënësit (duke filluar qysh nga klasa IV-IV) përdorimin e simboleve H, ‰, ˆ,  dhe futjen e mëvonshme të sasorëve. Me kritikën e teprimeve teoriko - bashkësiore në mësimdhënien e matematikës u bashkuan shkencëtari finlandez R. Nevanlinna, matematicieni hollandez H. Frojdental etj. Kongresi i III-të ndërkombëtar i matematikës shkollore (Karlsruhe, 1976) pranoi se reforma e “modernizimit” të matematikës shkollore nuk i justifikoi plotësisht shpresat që ishin vënë tek ajo. U qartësuan të metat e rrugës së ndjekur, sipas të cilës kuptimet teoriko-bashkësiore futeshin në mënyrë koncentrike në fillim të kursit, kurse të gjitha konceptet e tjera mbështeteshin tek
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 167 ato. U kritikua seriozisht sistemi i studimit të gjeometrisë, që fillonte me gjeometrinë affine, me një futje të mëvonshme të metrikës. Po ashtu u kritikua edhe mbingarkesa e matematikës shkollore me terminologji moderniste dhe simbolikë të rënduar, fetishizimi i metodës aksiomatike, rendja pas rigorozitetit të shtjellimit, i cili kalonte shpesh në pedantizëm dhe në mënyrë të veçantë neglizhimi i realitetit si burim idesh matematike. Pas kësaj kohe, në periudhën 1975-1989 në shumë vende u rishikuan programet shkollore, me synim për t’i bërë ato më të lidhura me jetën, më pak abstrakte dhe të formalizuara. Në këto programe u refuzua rruga teoriko-bashkësiore, si e vetmja rrugë për ndërtimin e kursit; nuk ekzistonte më synimi karakteristik i etapës së mëparshme për përgjithësime të pabazuara dhe rigorozitet të tepruar dhe mbahej parasysh më mirë niveli i të menduarit logjik të nxënësve. Ideatorët e zhvillimit të të menduarit gjeometrik, propozuar nga Van Ilies qysh në vitin 1957, i cili dallonte 5 nivele hierarkike: a) njohja: fëmija mund të dallojë figura (si katrorët dhe drejtkëndëshat) nëpërmjet pamjes së tyre globale. b) analiza: nxënësit në këtë fazë janë të aftë të zbulojnë vetitë e figurave gjeometrike në mënyrë eksperimentale nëpërmjet matjes, palosjes etj. c) radhitja (përshkallëzimi): nxënësit në këtë nivel janë të aftë të klasifikojnë logjikisht familje figurash (p. sh. të njohin rombin si paralelogram i veçantë). d) induksioni: kur ky nivel është arritur, nxënësit kuptojnë rolin e elementëve të ndryshëm të një sistemi aksiomatik (aksioma, përkufizime, teorema) dhe mund të kryejnë vërtetime formale. e) rigoroziteti: nxënësi që vepron në këtë nivel mund të analizojë sisteme deduktive dhe të arsyetojë në gjeometri të tjera. Në këtë periudhë sistemet shkollore në shumë vende euroatlantike, duke u orientuar jo më në mënyrë ekskluzive nga oferta e specialistëve, por nga kërkesat e konsumatorëve të veprimit edukativ (individë, nxënës e prindër, punëdhënës e punëmarrës) dallohen për një larmi drejtimesh të orientuara (profilesh) në shkollën e mesme dhe nga një diversitet i gjerë kurrikulor, midis të tjerave edhe për lëndën e matematikës, sidomos në dy vitet e fundit të këtij niveli shkollimi. E përbashkëta për kurset e nivelit bazal të lëndës për këto dy vite ishte kërkesa për t’i paraqitur problemet para nxënësve në trajtë sa më të natyrshme, që në to të shfaqen situata të afërta me ato realet; nënvijëzimi i nevojës ndaj apelimit sistematik kundrejt fakteve reale, shkencave teknike. U tërhoq vëmendja në përforcimin e veprimtarive të tilla të nxënësit si: përpunimi i informacionit sasior mbi bazën e të dhënave që janë marrë individualisht, vlerësimi paraprak i rezultateve të njehsimeve etj. Po ashtu u propozua të përdoren në të gjitha etapat e
    • “Matematika 12” Libër mësuesi168 mësimdhënies makinat llogaritëse dhe mikrokalkulatorët, duke riorganizuar në mënyrë të përshtatshme procesin e mësimdhënies. Dështimet e rrymës “moderniste” në mësimdhënien e matematikës çuan, në periudhën 1975-1989, në “kundërreformizmin” në kuadrin e të cilit u hodhën ide të reja, ndër të cilat po përmendim: ª Matematika duhet të shqyrtohet si veprimtari e njeriut dhe jo si lëndë e gatshme. ª Matematika duhet të interiorizohet dhe jo të jepet si mbishtesë. ª Të mësuarit e matematikës duhet të ndodhë në formën e zbulimit të përsëritur dhe jo në formën e transmetimit të thjeshtë të ideve. ª Realiteti duhet të jetë në një masë më të madhe burim idesh matematike, sesa fushë zbatimi e tyre. ª Vëmendje e posaçme duhet t’i kushtohet lidhjes midis ideve matematike dhe jo fakteve të izoluara. ª Duhet të tregohet vëmendje për pasurinë përmbajtësore të kursit dhe jo në grumbullimin e problemave. ª Duhet të synohet për krijimin tek nxënësit të figurave mendore të sendeve dhe jo në formimin e koncepteve. ª Duhet të kërkohen rrugë të larmishme drejt koncepteve të reja më tepër sesa të shqyrtohen mishërime të larmishme të këtyre koncepteve. Kryesore në studimin e matematikës është të kuptuarit dhe jo formimi i shprehive. Disa nga këto konceptime e ide janë të diskutueshme. Në periudhën 1989-1999 në luftën me theksimet teoriko-bashkësiore u teprua; në shumë nga kurset shkollore të matematikës u përjashtua plotësisht termi “bashkësi”, ndonëse ai shfaqet në të në mënyrë të maskuar. Po kështu u shmang problemi i klasifikimit, që është i një rëndësie jo të paktë. Të zgjidhin ekuacione ose inekuacione të ndërlikuara, të bëjnë ndërtime artificiale gjeometrike do t’i duhen në të ardhmen vetëm një numri të vogël nga ata që mbarojnë shkollën e mesme, kurse të klasifikojnë objekte apo koncepte në këtë apo në atë formë do t’u duhet të gjithëve. Veç kësaj duhet thënë se mohimi i gjuhës teoriko-bashkësiore vështirëson shtjellimin e një sërë çështjesh të teorisë së ekuacioneve dhe inekuacioneve etj. E gabuar ishte edhe pikëpamja, e shfaqur në këtë periudhë, për të hequr fare nga kursi shkollor i matematikës kuptimin e limitit dhe të vazhdueshmërisë (ndonëse gjerësisht pranohet që studimi i këtyre koncepteve në gjuhën H, G është pothuaj i pamundur në shkollën e mesme). Pa kuptimin e limitit nuk mund të trajtohet në
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 169 shkollë problemi i gjatësisë së rrethit dhe syprinës së qarkut, pa folur për derivatin dhe integralin. Kollmogorov quante të arsyeshëm një përdorim elastik, jo formal, të termit “limit”, i cili qartësohet e përcaktohet vetëm gjatë zgjidhjes së problemeve të veçanta. Në periudhën 1989-1999 në një numër vendesh niveli i kursit të matematikës shkollore u ul ndjeshëm, duke u mjaftuar me kërkesën, për kontigjentin kryesor të nxënësve, e përvetësimit të një farë minimumi kompetencash matematike, në të ushtruarit me kryerjen e njehsimeve e shndërrimeve të thjeshta. Ka qenë i arsyeshëm dhe i nevojshëm një shkurtim rrënjësor i kursit bazë të matematikës p. sh. duhej shkurtuar ndjeshëm studimi i thyesave të zakonshme, sepse ato nuk gjejnë aktualisht dhe nuk do të gjejnë në të ardhmen zbatime të rëndësishme praktike. Po kështu, me vend ka qenë edhe ulja e kërkesës për zotërimin e shndërrimeve të shprehjeve të ndërlikuara algjebrike dhe transhedente si edhe të shprehjeve të zgjidhjes së ekuacioneve dhe inekuacioneve të vështira; këtu në plan të parë duhet të dilnin metodat e përgjithshme numerike të zgjidhjes. Një shkurtim i ndjeshëm është bërë në këtë periudhë edhe për vëllimin e fakteve të studiuara nga analiza matematike (në një numër kursesh bazale të disa vendeve është hequr dorë pothuajse plotësisht nga kuptimi i limitit dhe i vazhdueshmërisë, duke u mjaftuar me trajtimin jo të thelluar të derivatit dhe të integralit, me njohjen e zbatimeve kryesore të tyre për njehsimin e shpejtësisë, koeficientit këndor të tangjentes dhe të syprinës). Por në mënyrë të veçantë është ulur niveli i shtjellimit të kursit shkollor të gjeometrisë. Reforma e “modernizimit” të matematikës shkollore pothuajse e kishte suprimuar krejt gjeometrinë, duke e konsideruar si nënpjesë të algjebrës lineare dhe e shpërfillte gjeometrinë klasike euklidiane si arkaike. Më pas u arrit në një gjeometri të bazuar fort në intuitën. Por komisioni i kryesuar nga J. P. Kahane në Francë, në janar 2000 publikoi qëndrimin e tij, duke vlerësuar që sot “në kolezhin francez bëhet më pak gjeometri se 40 vjet më parë dhe programet e liceut, për sa i takon gjeometrisë, duken të varfra”. Le të shohim p. sh. , si ka evoluar trajtimi i paralelogramit si koncept duke filluar nga epoka “klasike” (1904-1970) deri në periudhën “konstruktiviste” (pas 1989) duke kaluar nëpër periudhën e “modernizimit” (1970-1975). Në periudhën klasike për paralelogramin jepej përkufizimi i njohur “Paralelogram quhet katërkëndëshi që i ka brinjët dy nga dy paralele”. Mbi bazën e këtij përkufizimi, duke përdorur kongruencën e këndeve, brinjëve dhe trekëndëshave nxirreshin të gjitha vetitë e njohura të paralelogramit. Në periudhën “moderniste” për paralelogramin jepej një përkufizim shumë më pak intuitiv:
    • “Matematika 12” Libër mësuesi170 “Thuhet që katërshja e radhitur (A, B, C, D) është paralelogram kur dy pika që zënë dy vende me të njëjtën çiftësi janë homologe në simetrinë që këmben dy të tjerat”. Vetitë e paralelogramit vërtetohen nëpërmjet vetive të relacionit të simetrisë. Në periudhën “konstruktiviste” trajtimi i kuptimit të paralelogramit fillon me ndërtimin e një paralelogrami; përkufizimi i konceptit nuk jepet veçse në fund të kapitullit. Vetitë e figurës vëzhgohen, por nuk demonstrohen. Në periudhën “konstruktiviste” modelet nuk i paraqiten të gatshme në dorë nxënësit, por ky i fundit duhet t’i ndërtojë me ndihmën e eksperiencës dhe të observimit. Programet bazohen gjithmonë mbi këtë parim “Intuita matematike ndërtohet; nxënësit duhet të vihen në aktivitet”. Në programet e periudhës 1988- 1999 në shumë vende ky aktivitet kalon në fillim nëpërmjet ordinatorit. Ordinatori i lejon nxënësve të stimulojnë dhe të eksperimentojnë modelet kryesore matematike të kursit; të rrotullojnë një figurë në hapësirë, të ndryshojnë parametrin e një funksioni apo të stimulojnë një hedhje shorti apo nxjerrje të rastit. Në këto ide dhe praktika ka shumë gjëra të vlershme. Por programet e reja (të pas vitit 1989) kritikohen sot ashpër për vendin që i është lënë në to arsyetimit. “Në gjeometri programet nuk kërkojnë të bëhen fare vërtetime. Nxënësit kënaqen të vëzhgojnë. Ky është një ndryshim fundamental i statusit të vërtetimit në matematik” shprehet Avi Benzekri, themelues i shoqatës “Sauvez les maths” (“Shpëtoni matematikën”) në Francë. Në fakt, udhëzimet për zbatimin e këtyre programeve të botuara në buletinin zyrtar të Ministrisë së Arsimit në këtë vend këshillojnë që “të pranohen, veçanërisht në analizë, argumentime të konceptuara mbi skemat”. Por nuk është vetëm programi që pozon probleme. Përkundrejt një rritje demografike të konsiderueshme, sistemi edukativ francez i pas 1989-ës kritikohet sot për një reduktim të paarsyeshëm të adaptibilitetit të tij, duke bërë një shkurtim të ndjeshëm të numrit të profileve dhe të diversifikimit kurrikular. Kanë ndikuar në uljen e kërkesës për formim matematik të nxënësve edhe proceset politike. Për të arritur objektivin e shpallur vite më parë nga J. P. Chevènement që 80% e të rinjve të të njëjtës moshë të arrijnë të marrin bakalaureatin (provimin e pjekurisë në Francë), kërkesat e këtij programi janë ulur shumë. Provimi nuk vlerëson më një njohje të vërtetë të koncepteve, as sensin kritik, por vetëm teknika algoritmike stereotipe. Në provimin e vitit 2001 të bakalaureatit teza i linte vlerësimit të intuitës vetëm 2. 75 pikë ndër 20 pikë të mundshme; aftësive për të arsyetuar vetëm 2. 75 pikë, ndërsa zbatimit të njehsimeve stereotipe 14. 75 pikë (ndër 20 pikë të mundshme).
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 171 Informatika ka transformuar mënyrën e “bërjes së matematikës” dhe mësimdhënia e kësaj lënde ka tentuar të adaptohet në këtë. Ideatorët e programeve të pas 1989 në disa vende të zhvilluara e kanë parë nxënësin “me një laps në dorë dhe një ordinator anash për të verifikuar gjetjet intuitive të tij”. Është e qartë që ky mjet informatik e bën nxënësin aktiv dhe autonom. Në saje të programeve të posaçme kompjuterike për skicime gjeometrike, për përzgjedhje rastësore, për plotësimin e tabelave etj. ai lejon operacione matematike të evoluara që do të kërkonin njehsime të shumta të sikletshme. Disa programe të disiplinës lëndore nuk e emërtojnë atë më “matematikë”, por “matematikë-informatikë”. Por a i duhet lënë kaq shumë vend mjetit, kur nga shumë anë po kritikohet kursi i matematikës shkollore për karakterin “mekanik” të tij? Sipas Avi Benzebri, ordinatori tashmë, me rolin që i është lënë, nuk mund të konsiderohet si mjet por si objektiv. Nxënësit, sipas tij, nuk bëjnë më matematikë; por ata mësojnë të shtypin butonat dhe të përdorin programe kompjuterike (software) të cilët, sido që të ndodhë, do të jenë të vjetruar pas disa vjetësh. Nëse informatika ka lindur në osmozë me matematikën, ajo ka zhvilluar më tej metodat e saj vetjake. Shumë specialistë janë të mendimit që duhet të ekzistojë një lëndë e veçantë e informatikës, e pavarur nga kursi i matematikës, në të cilën të mësohet programimi, strukturimi i të dhënave dhe logjika binare. Aftësitë themelore matematike (dhe shprehitë) nuk duhen kufizuar vetëm në sferën e njehsimeve. Duhen aftësi për të kryer matje gjeometrike, për të lexuar dhe për të interpretuar tabela, skema, grafikë; për të përdorur metoda matematike për parashikimin e rezultatit, për të kuptuar rolin dhe vlerën e makinës llogaritëse etj. Por njëkohësisht, kursi i matematikës në shkollën e mesme duhet t’i kushtojë vëmendje më të madhe zhvillimit të të menduarit logjik të nxënësve. Në vitet e fillimit të shekullit XX Bershtejn vinte në dukje: “Pa diskutuar kundër faktit që çdo fushë e matematikës mund të shërbejë si shembull i shkëlqyer i mendimit të saktë logjik, unë nuk kam vënë re, megjithatë, që studimi i matematikës në formën e përsëritjes së mendimit logjik të huaj të mund të zhvillonte aftësinë që në mënyrë individuale të arsyetohet korrekt. Në matematikë nuk mund të shtjellohen teori që, ndonëse të përkryera logjikisht, mbeten të huaja në mendjen e fëmijës dhe do të harrohen prej tij pa lënë gjurmë”. Për zhvillimin e të menduarit logjik të nxënësve është e nevojshme të shihet niveli i shtjellimit të kursit shkollor të gjeometrisë - gjykohet në shumë vende. Dhe kjo sepse programet e viteve pas 1989-ës, me justifikimin që arsyetimi gjeometrik është i vështirë e në të nuk mund të përdoret teknika llogaritëse, e kanë kufizuar shumë vendin e gjeometrisë në përmbajtjen e kursit, duke mos u dhënë nxënësve mjetet për të zotëruar këtë pjesë esenciale të të menduarit matematik.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi172 Është e vërtetë që për këtë ulje të nivelit në shumë vende të zhvilluara kanë ndikuar edhe presione sociologjike evidente. Shumica e mësuesve në këto vende ankohen se nxënësit kanë më pak dëshirë se më parë t’i kushtojnë kohën e duhur studimit të matematikës dhe nuk e kanë fort qejf punën e pavarur në këtë lëndë. K. Delvin, kërkues në Universitetin e Stanfordit (Kaliforni) ka vënë në dukje se arsyetimi matematik është një arsyetim “off-line” d. m. th. një arsyetim abstrakt, që synon të gjykojë mbi objektin pa e parë atë, pa e ditur nëse ai ekziston me të vërtetë. Por sipas tij, është e pamundur të aftësohesh për këtë pa patur dëshirë. Prandaj nxënës të mirë në matematikë janë ata që dëshirojnë të dinë diçka më tepër mbi botën abstrakte dhe që pranojnë të hyjnë në këtë botë. Të dëshërosh është një gjë e mirë, por nuk mjafton vetëm kjo: duhet akoma të pajisesh me mjete dhe për këtë duhet të stërvitesh duke shfrytëzuar aftësitë e jashtëzakonshme të magazinimit të informacionit të trurit në të ashtuquajturën “memorie pune”. Por kjo memorie mund të zbehet nga ankthi se mos nuk mund ta zgjidhim një ushtrim të caktuar (siç kanë konstatuar në punimet e tyre Weidenfeld dhe Nicholson), prandaj të qënit nxënës i mirë në matematikë kërkon gjithashtu një farë besim në vetvete. Motivim, trajnim dhe besim në vetvete janë gjëra që mund t’i arrijë kushdo, prandaj B. Mazoyer, specialist i skanimit neurofunksional, shprehet se në aspektin neurobiologjik kushdo mund të jetë i mirë në matematikë. Në ditën e sotme një nga problemet kryesore që shtrohet para specialistëve të përgatitjes së programeve dhe të mësimdhënies së matematikës në shkollë është që, duke ruajtur gjithçka të vyer që dhanë etapat e kaluara në matematikën shkollore, të vendoset një raport më i drejtë midis nivelit të abstraksionit në shtjellimin e materialit, zhvillimit të të menduarit logjik të nxënësve dhe interiorizimit tek ata të njohurive, zhvillimit të aftësive të karakterit konjitiv e zbatues dhe formimit të shprehive të nevojshme për t’i përdorur këto në jetën e përditshme e profesionale dhe për një arsimim të mëtejshëm. Një tjetër problem i rëndësishëm për lëndën e matematikës në shkollën e mesme është përcaktimi i kursit bazal që shpreh kërkesat minimale të shoqërisë për qytetarin, që përfundon këtë nivel shkollimi dhe diversifikimit kurrikular sipas profileve që merr në konsideratë aspiratat, interesat dhe aftësitë individuale të nxënësve. Duke përmbledhur, mund të themi se për shkollat e mesme të shumë vendeve, njëherësh edhe për shkollën tonë të mesme, sot janë me rëndësi problemet: 1. Zgjedhja (seleksionimi) i përmbajtjes dhe i nivelit të shtjellimit të kursit bazal të matematikës d. m. th. të kursit të përbashkët për të gjithë nxënësit e shkollës së mesme. 2. Përpunimi i programeve dhe standardeve të arritjes për profilet e ndryshme të diferencuara. 3. Forcimi i drejtimit praktik të kursit shkollor të matematikës.
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 173 4. Përpunimi i problemeve të studimit kompleks të lëndëve të tilla të kursit shkollor si matematika dhe shkencat e natyrës dhe sidomos matematika e informatika. 5. Përdorimi i gjerë i teknikës llogaritëse në mësimdhënien e matematikës. 6. Humanitarizmi i kursit shkollor të matematikës; në veçanti futja në të e njohurive nga historia e zhvillimit të matematikës, zbatimi i saj në shkencat humanitare etj. 7. Përpunimi i problemeve të mësimdhënies së çështjeve të veçanta të matematikës diskrete në shkollë. 8. Rishikimi i nivelit të shtjellimit të kursit shkollor të gjeometrisë. 9. Rritja e nivelit të kërkesave për të ndërtuar modele matematike të dukurive të ndryshme dhe studimi i këtyre modeleve, duke përdorur mjetet e teknikës llogaritëse. Në veçanti, forcimi i rolit të problemeve në tekst. Për të përmirësuar punën me modelet matematike, komisioni Kahane këshilloi krijimin dhe vënien në funksionim të “laboratorëve të matematikës”. Këto duhet të jenë vende kontakti të lirshëm, salla të rezervuara për matematikë, ku nxënësit do të mund të eksperimentonin modelet. Por kjo zgjidhje nuk është e re; 100 vjet më parë në Francë komisioni i kryesuar nga Emil Borel propozonte po ashtu të krijoheshin “laboratorë të matematikës”, të pajisur natyrisht jo me ordinatorë por me nga një atelie zejtarie ku nxënësit të punonin me grupe të vogla për konfeksionimin e modeleve të aparateve të thjeshta. Probleme komplekse, siç u tha më lart, shtron para metodikës së matematikës futja e informatikës në shkollën e mesme, sepse lidhjet midis këtyre dy lëndëve janë të shumanshme. Ndërsa qeveritë e shumë shteteve në Evropë dhe në Amerikë po shpallin zotërimin e mënyrave të përdorimit të mjeteve të shoqërisë së informacionit si prioritete nacionale, vendi i ordinatorit në klasë në përgjithësi dhe në kursin e matematikës në veçanti ngelet për t’u përcaktuar. Është i nevojshëm një rinovim i kursit shkollor bazal të matematikës në kushtet e kompjuterizimit në shumë fusha. Është evidente se duhet të ndodhë rivlerësimi i shumë kapitujve e krerëve në të; zëvendësimi i shumë algoritmeve të zakonshëm me të tjerë, më të përshtatshëm për realizimin me makina. Kursi i matematikës në klasat e ulëta duhet të përgatisë futjen në të ardhmen e disa koncepteve kryesorë të informatikës, kurse në klasat e larta ai duhet të përdorë dijenitë e shprehitë e fituara në kursin e informatikës (p. sh. për zgjidhjen e përafërt të ekuacioneve).
    • “Matematika 12” Libër mësuesi174 Një problem i veçantë është trajtimi i linjës statistikë-probabilitet në kursin e matematikës të shkollës së mesme. Dihet që statistika lejon të modelosh një popullim objektesh të ndryshme, mjafton që numri i tyre të jetë i madh dhe ata të kenë një veti të përbashkët të matshme. Të dish të mendosh dhe të peshosh riskun është, në ditët e sotme, e domosdoshme për të bërë një analizë kritike të sondazheve, të ngjarjeve të rastit, të problemeve të lidhura me dinamikën e popullimeve. Në shumë vende të zhvilluara autorët e programeve të shkollës së mesme i kanë lënë shumë vend kësaj linje (në Francë p. sh. deri 20%) nisur nga parimi:”Statistika lejon të manaxhosh rastësinë”. Kjo favorizohet edhe nga përdorimi i ordinatorëve që lejojnë kryerjen e njehsimeve të shumta me lehtësi. Por është e vështirë që të ndërtohet në mënyrë rigoroze linja e statistikës në kursin e shkollës së mesme, sepse kërkohen njohuri komplekse matematike (si p. sh. integralet jo të vetë) që mund të studiohen në fund të kursit (ndofta!). Nga ana tjetër lidhjet e thella dhe natyrore midis kësaj linje dhe botës reale kërkojnë që kjo linjë të mos rrudhet në të mësuarit përmendësh të disa formulave dhe kryerjes së njehsimeve me anë të ordinatorit; të trajtohet krahas statistikës deskriptive edhe statistika inferenciale. Por më delikat është problemi i nivelit dhe mënyrës së shtjellimit të kursit shkollor të gjeometrisë. Ndërsa pranohet gjerësisht që të mësuarit e gjeometrisë në shkollën e mesme është një imperativ absolut, ngelet i hapur problemi se si të realizohet kjo mësimnxënie. Është e qartë që kursi i gjeometrisë deri në fund të trungut të përbashkët duhet të përmbajë materialin tradicional planimetrik (vetitë e figurave themelore gjeometrike dhe matjet e madhësive gjeometrike; teoremën e Pitagorës dhe kompleksin e rrjedhimeve të saj; funksionet trigonometrikë të këndeve nga [0, S] dhe zbatimin e tyre në planimetri; një përmbledhje teoremash dhe formulash metrike), algjebrën vektoriale - si mjet i zgjidhjes së problemeve, shndërrimet gjeometrike, metodën e koordinatave në plan, bazat e stereometrisë (trajtim fillestar për të mos u kufizuar me “botën e sheshtë” deri në moshën 16 vjeç), njohuri nga historia e gjeometrisë dhe (ndofta) një vështrim të përgjithshëm të formave gjeometrike në natyrë dhe në art. Materiali, siç shihet, është i gjerë dhe për ta përfshirë në kursin shkollor duhet të fillojë një trajtim sistematik i kursit të gjeometrisë qysh në 1 - 2 vitet e fundit të ciklit të lartë të arsimit bazë, duke kërkuar njëherësh resurse për shkurtim në shkollën e mesme të mirëfilltë. Një rrugë e mundshme është rishikimi i përgjithshëm i qëndrimit ndaj vërtetimit. Sipas traditës, gjeometria është parë si poligoni kryesor për demonstrimin e strukturës logjike të gjithë matematikës (aksioma, përkufizime, teorema etj.). Është fare e qartë, megjithatë, që gjeometria nuk është pjesa e vetme e përshtatshme për këtë sepse në aspektin e thjeshtë logjik ajo është ndofta pjesa më e ndërlikuar e matematikës shkollore. Janë të paevitueshme cenet e një shtjellimi të hershëm aksiomatik të gjeometrisë:
    • Libër mësuesi “Matematika 12” 175 a) nxënësit e klasës 7-8 duke mos patur as nevojë dhe as motivim për bazim dhe as kulturën e nevojshme të dhënies së përkufizimeve e kryerjes së vërtetimeve, nuk mund të zhyten qysh në fillim në sferën e bazimeve të gjeometrisë, që është tepër specifike dhe jo e thjeshtë edhe për matematicienët profesionistë. b) mërzia e pashmangshme e shqyrtimit të teoremave fillestare dhe varfëria e menusë e karakteri artificial i problemeve gjeometrike që lidhen me to, praktikisht përjashtojnë lindjen e intensitetit për gjeometrinë në vitin e parë të shtjellimit sistematik të saj (ky interes lind më vonë, por vetëm tek disa nxënës). c) boshti aksiomatik i kursit kufizon lirshmërinë e shtjellimit, e cila është shumë e nevojshme në pikëpamje të aparatit pedagogjik. Mendoj se ka dy rrugë të mënjanimit të këtyre të metave. Rruga e parë, më tradicionalja, është që të sqarohet kuptimi i aksiomës dhe të jepen disa aksioma fillestare, por të mos synohet as në minimizimin e numrit të tyre, as në plotshmërinë e sistemit të aksiomave. Mundet, p.sh. , të mos përmenden aksiomat e radhitjes dhe referencat ndaj tyre të zëvendësohen me apelime ndaj evidencës konkrete (por aksioma e paraleleve duhet të jepet). Mundet gjithashtu të futen që në fillim aksioma të fuqishme, që e shkurtojnë rrugën për të bërë vërtetime. Ka shumë rëndësi të dallohet prejardhja e aksiomave (përvoja, përfytyrimet konkrete) nga funksioni logjik i tyre. Është gjithashtu e rëndësishme që përfytyrimin për vërtetimet nxënësit ta marrin qysh para fillimit të studimit sistematik të gjeometrisë (p. sh. në shembullin e plotpjestueshmërisë). Rruga e dytë, është ajo që bazohet në dhënien qysh në fillim të fjalive matematike shumë të fuqishme, të pranuara mbi bazën e arsyetimeve konkrete bindëse (p. sh. teorema mbi shumën e këndeve të trekëndëshit, e "vërtetuar” me ndihmën e idesë së njohur të qarkimit sipas konturit etj.), të cilat e tërheqin nxënësin në sferën e gjerë të problemeve me përmbajtje. Gjatë zgjidhjes së këtyre problemeve zhvillohet kultura logjike e nxënësit. Në një moment të caktuar, por të mëvonshëm, të kursit të gjeometrisë, shpaloset programi i ndërtimit logjik të saj dhe njoftohet se më tej mund të përdoret vetëm tërësia e njohur deri në atë moment e koncepteve dhe e fjalive, duke i përkufizuar konceptet e reja dhe duke i vërtetuar teoremat e reja (apo duke vënë në dukje, për disa prej tyre, që ato po pranohen pa vërtetim për shkak të vështirësisë që paraqet pikërisht ky vërtetim). Evidentimi i nevojës për të shqyrtuar konceptet themelore dhe aksioma, shqyrtimi i minimizimit të listës së aksiomave (me referenca historike) është mirë të lihet për vitet e fundit të shkollës së mesme dhe vetëm në profilin matematiko-natyror.
    • “Matematika 12” Libër mësuesi176 Po këtu ndofta mund të preket lehtas edhe problemi mbi plotësinë dhe mungesën e kontradiksionit të aksiomatikës së gjeometrisë euklidiane. Në zgjidhjen e problemeve aktuale të kursit të matematikës të shkollës së mesme duhet të mbahen gjithnjë parasysh fjalët e thëna nga Emil Boreli një shekull më parë: “Është e nevojshme që pikat e kontaktit të matematikës me jetën të vihen në dukje për të gjithë; kjo është e vetmja mënyrë që matematika shkollore të mos humbë arsyen e zhvillimit të saj”.