Solución de Sistemas Lineales Método de Gauss

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Exposición del metodo de Gauss para la solución de sistemas lineales

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Solución de Sistemas Lineales Método de Gauss

  1. 1. Licenciado Oscar Ardila Chaparro
  2. 2. • Johann Carl Friedrich Gauss . (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Ampliar Información ….
  3. 3. • El método de Gauss Jordan esta sustentado en las siguientes operaciones entre renglones. – Fila(Renglón ) por un escalar *(a1, a2 , a3 ) a1, a2 , a3 Donde β es un escalar (Numero real). – Suma entre Filas (Renglones) a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3 a1 b1 , a1 b2 , a1 b3
  4. 4. • Teniendo como base un sistema de ecuaciones 3x3 de la forma: a11 * x1 a12 * x2 a13 * x3 b1 Coeficientes a21 * x1 a22 * x2 a23 * x3 b2 Variables resultados a31 * x1 a32 * x2 a33 * x3 b3 Se construye la matriz aumentada como sigue: a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3
  5. 5. • A partir de la aplicación de operaciones entre Filas, el método de eliminación de Gauss Jordán busca la transformación de la matriz aumentada a la forma: 1 0 0 R1 Diagonal Principal con unos 0 1 0 R2 Fuera de la diagonal principal con ceros Resultados para cada variable Xn 0 0 1 R3 Donde X1=R1; X2=R2; y X3=R3
  6. 6. • Para la consecución del resultado esperado el método de Gauss Jordan plantea los siguientes pasos para su aplicación. – Primero debemos hacer garantizar el primer uno como valor para el coeficiente a11. – Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los valores de los elementos restantes de la primera columna (a21, a31). – Después debemos transformar el valor del coeficiente a22 a el valor de 1 . – Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los valores de los elementos restantes de la segunda columna (a12, a32). El proceso se repite para los demás términos de la matriz hasta obtener la matriz deseada.
  7. 7. • Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 , empleando el método de eliminación de Gauss Jordan: 2 * x1 4 * x2 6 * x3 18 Coeficientes 4 * x1 5 * x2 6 * x3 24 Variables resultados 3 * x1 1* x2 2 * x3 4 Primero construimos la matriz aumentada como sigue: 2 4 6 18 4 5 6 24 3 1 2 4
  8. 8. • Para garantizar el primer uno para el coeficiente a11 multiplicamos la primera fila por 1/2. En esta operación se ve afectada la fila uno F1, las demás permanecen sin modificación. 2 4 6 18 1 1 2 3 9 * F1 2 4 5 6 24 4 5 6 24 3 1 2 4 3 1 2 4
  9. 9. • Ahora debemos transformar en ceros los coeficientes restantes de la columna a21, a31 , para tal efecto operamos la fila 1 (F1) por -4 y sumamos el resultado a la fila 2 (F2). De manera similar operamos la fila 1 (F1) por -3 y sumamos el resultado a la fila 3 (F3). 1 2 3 9 4*F1 F2 1 2 3 9 3*F1 F3 4 5 6 24 0 3 6 12 3 1 2 4 0 5 11 23 En esta operación se ven afectada la fila dos F2 y la fila 3 F3, la fila 1 F1 permanece sin modificación.
  10. 10. • Con base en lo expuesto anteriormente seguimos operando la matriz obtenemos el uno en la posición a22. 1 2 3 9 1 1 2 3 9 *F2 3 0 3 6 12 0 1 2 4 0 5 11 23 0 5 11 23
  11. 11. • Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 2. 1 2 3 9 2* F2 F1 1 0 1 1 5*F2 F3 0 1 2 4 0 1 2 4 0 5 11 23 0 0 1 3
  12. 12. • Transformamos a uno el valor de la posición a33 1 0 1 1 1 0 11 1*F3 0 1 2 4 0 1 2 4 0 0 1 3 0 0 1 3
  13. 13. • Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 3. 1 0 11 1*F3 F1 1 0 0 4 2*F3 F2 0 1 2 4 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 1 3• De esta manera tenemos la solución del sistema como sigue: X1=4; X2=-2; y X3=3
  14. 14. Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la comprensión de los conceptos de la asignatura. Licenciado Oscar Ardila Chaparro

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