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Solución de Sistemas Lineales Método de Cramer
 

Solución de Sistemas Lineales Método de Cramer

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Exposición del metodo de Cramer para la Solución de sistemas lineales.

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    Solución de Sistemas Lineales Método de Cramer Solución de Sistemas Lineales Método de Cramer Presentation Transcript

    • Licenciado Oscar Ardila Chaparro
    • • Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra. Mostró gran precocidad en matemática y ya a los 18 años recibe su doctorado y a los 20 era profesor adjunto de matemática. Profesor de matemática de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Ampliar Información ….
    • • El método de Cramer esta sustentado en el calculo de determinantes, motivo por el cual su aplicación esta restringida a matrices cuadradas. Para calcular el determinante de una matriz 3x3 partimos de la estructura de un sistema de ecuaciones como sigue: a11 * x1 a12 * x2 a13 * x3 b1 Coeficientes a21 * x1 a22 * x2 a23 * x3 b2 Variables resultados a31 * x1 a32 * x2 a33 * x3 b3   A * x b
    • • Tomando la matriz de coeficientes del sistema a11 a12 a13 A a21 a22 a23 Matriz de Coeficientes a31 a32 a33• Calculamos el determinante como sigue: a22 a23 a21 a23 a21 a22 A a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32
    • • Tomando la matriz de coeficientes del sistema replicamos las dos primeras columnas y realizamos las multiplicaciones indicadas por las diagonales y el signo indicado en cada color. Multiplico por el signo (-) a11 a12 a13 a11 a12 El resultado de cada diagonal A a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Multiplico por el signo (+) El resultado de cada diagonal A a11 * a22 * a33 a12 * a23 * a31 a13 * a21 * a32 a31 * a22 * a13 a32 * a23 * a11 a33 * a21 * a12
    • • Siendo A una matriz coeficientes) de nxn perteneciente  (de al sistema A * x b las respuestas del sistema vienen dadas por. Donde D1 , D2 y D3 son matrices construidas a partir D1 del cambio de la columna de la matriz A que indica el  x1 subíndice de x por los valores del vector de resultados b A D2 x2 b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 A D1 b2 a22 a23 D2 a21 b2 a23 D3 a21 a22 b1 b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b1 D3 x3 A
    • • La aplicación de la regla de Cramer se sustenta en cuatro simples procesos: – Primero debemos plantear la matriz de coeficientes y el vector de resultados del sistema. – Después mediante la regla de Cramer planteamos las matrices D1, D2 etc. – Calculamos los valores de los determinantes de cada matriz planteada. – Y por ultimo para obtener las respuestas del sistema reemplazamos los valores calculados realizando las divisiones indicadas en la regla de Cramer.
    • • Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 , empleando la regla de Cramer: 2 * x1 4 * x2 6 * x3 18 Coeficientes 4 * x1 5 * x2 6 * x3 24 Variables resultados 3 * x1 1* x2 2 * x3 4 Primero planteamos la matriz de coeficientes y el vector de resultados. 2 4 6 18  A 4 5 6 b 24 3 1 2 4
    • • Aplicando la opción dos para el calculo de determinantes tenemos. *(-) 2 4 6 2 4 A 4 5 6 4 5 3 1 2 3 1 *(+)• Sumando los resultados de las diagonales: A 20 72 24 90 12 32 6
    • • De igual manera calculamos para D1, D2 y D3 18 4 6 D1 24 5 6 24 4 1 2 2 18 6 D2 4 24 6 12 3 4 2 2 4 18 D3 4 5 24 18 3 1 4
    • • Por ultimo reemplazamos y hallamos las respuestas del sistema: D1 24 x1 4 A 6 D2 12 x2 2 A 6 D3 18 x3 3 A 6
    • Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la comprensión de los conceptos de la asignatura. Licenciado Oscar Ardila Chaparro