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La parabola
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  • 1. LA PARÁBOLA
  • 2. TEMAS :La parábola como lugar geométrico.Ecuaciones ordinarias de la parábola.Ecuación general de la parábola.Ejemplo de la parábola con la aberturahacia la derecha.Ejemplo de la parábola con la aberturahacia abajo.
  • 3. LA PARÁBOLAConsideramos como Parábola a la sección cónica resultante decortar un cono con un plano, de acuerdo a un cierto grado deinclinación.La representación analítica en carácter ya Matemático se debeprincipalmente a lo que conocemos como Ecuacionescuadráticas. Ya que las mismas son colocadas como función y serepresentan gráficamente como parábolas.
  • 4. Ejemplo de representaciónbidimensional
  • 5. CARACTERIZACIONGEOMETRICAConsideramos a la Parábola como lugar geométrico una maneramás abstracta de declarar lo que significa una parábola engeneral como un Objeto-matemático.Cuya definición contempla que la Parábola es el lugargeométrico de un conjunto de puntos equidistantes a una rectatrazada, llamada Directriz y a un punto fijo llamado Foco.Para lo cual, estos dos elementos Directriz y foco se inducencomo elementos de la parábola junto con otros para el procesode determinación del lugar en general.
  • 6. DIRECTRIZ Y FOCO
  • 7. ELEMENTOS ASOCIADOS CONUNA PARABOLAConsideramos como elementos asociados con una parábolaaquellos elementos producto de la construcción en base aabstracciones lógicas, que nos ayudan a definir el lugargeométrico de una parábola.
  • 8. Ladorecto, Foco, Vértice, Directriz,Eje, Parámetro.
  • 9. DEFINIMOS COMO:Lado recto: Como la distancia del Eje a un punto de laparábola, perpendicular al mismo.Foco: Como aquel punto en el cual permanecenconstantes una determinadas distancias en relacióncon los puntos de la misma parábola (Lugargeométrico).Directriz: Como aquella recta sobre la cual, si medimos ladistancia de la misma hacia un punto dela parábola, debe tener el mismo valor que ladistancia comprendida de ese mismopunto al foco.Vértice: Como el punto medio entre el foco y la directriz.Eje: Aquella recta que pasa por el foco y el vértice.Parámetro: Como el indicador que la distancia entre elvértice y la directriz debe ser la misma que la
  • 10. FORMAS DE TRAZO A PARTIR DELA DEFINICION PARABOLAPara disponer a lograr el trazado de una parábola con losinstrumentos correspondientes como lo es el compás y laregla más formalmente, existen varios métodos conocidos aemplear.
  • 11. PASOS PARA EL TRAZADOEn primer instancia debemos idenficar donde estará localizado elfoco de la parábola Punto base, y la directriz. Ambosconformarán nuestra base para el trazado.Cabe destacar que el foco no debe estar sobre la directriz. Yaque de ser así es imposible trazar la parábola.Es recomendable trazar un eje perpendicular a la parábola queintercepte al foco, con el fin de otorgar un marco de referenciamás amigable, esto no es del todo obligatorio en el trazado.Colocamos una esquina de la escuadra sobre la directriz yposicionamos un extremo de la cuerda en el foco.
  • 12. Medimos la distancia ya sea con una regla u otro instrumentodesde el foco hasta la directriz o bien usando la misma cuerda..Cabe destacar que esto debe ser perpendicular ortogonal conrespecto a la directriz.Posicionamos al otro extremo de la cuerda un punto sobre laescuadra.Conforme vayamos deslizando la escuadra, el lápiz tensara lacuerda, la cual de acuerdo a las propiedades de las parábolasdeberá estar a una distancia del foco igual con respecto a ladirectriz.. De tal manera que se ira trazando la parábola..
  • 13. EJEMPLIFICACION
  • 14. ECUACIONES ORDINARIAS DE LAPARÁBOLA.Consideramos como (Ecuaciones ordinarias de la parábola)aquellas ecuaciones cuyo entorno puede contemplar unaparábola con (vértice en el origen o con vértice fuera delorigen) de un sistema de coordenadas.
  • 15. PARÁBOLAS HORIZONTALESCON VERTICE EN EL ORIGEN.
  • 16. OBTENCIÓN DE LOSELEMENTOS A PARTIR DE LAECUACIÓN CENTRO Y ORIGEN.El eje focal horizontal se encuentra sobre el eje ―X‖ como (p >0) la parábola esta hacia un sentido derecho.. Como seobserva:
  • 17. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN APARTIR DE LOS ELEMENTOSCENTRO Y ORIGEN.Consideremos ahora una parábola de vértice en el punto (h, k)de eje paralelo al eje x y cuyo foco está a una distancia p delvértice y a la derecha de él. La directriz paralela al eje y a unadistancia 2p a la izquierda del foco, la ecuación será:(y - k)2 = 4p(x – h) F (h + p, k) Ec. Dir. x = h – p.
  • 18. PARÁBOLAS HORIZONTALES YVERTICALES CON CENTROFUERA DEL ORIGEN.
  • 19. OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS APARTIR DE LA ECUACIÓN CENTROFUERA ORIGEN.Para deducir la ecuación de la parábola, hacemos coincidir lafigura con los ejes coordenados, el vértice V con el origen Oy el eje focal sobre el eje X.P(x, y) es un punto cualquiera de la parábola.PF = PQ (1) por definición de parábola. PF = (x – p)2 + (y– 0)2 aplicando la relación
  • 20. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN APARTIR DE LA ECUACIÓNCENTRO FUERA ORIGEN.La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y pordirectriz la recta x = -p/2viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P delplano, satisface (3) entonces P x PDD-F
  • 21. ECUACIÓN GENERAL DE LAPARABOLADenominamos (Ecuación general de la parábola) a laestructura algebraica:Ax² + By²+Dx+Dy+F=0Donde A=0 B=0 para las parábolas horizontales y B=0 A=0 paralas parábolas verticales.En la actualidad tenemos un formato establecido como(Estándar) al que comúnmente llamamos (Ecuación general de laparábola), dicho es deducido…
  • 22. Del hecho de la idea de la (ecuación canónica trasladada) de laparábola en el eje ―X‖:(y-k)²=4p(x-h)Si desarrollamos la ecuación anterior de acuerdo a laspropiedades de las operaciones, tenemos:y²-2yk+k²=4p(x-h)Agrupando términos, obtenemos:y²-4px-2yk+k² +4ph=0ECUACIÓN GENERAL DE LAPARABOLA
  • 23. Acordando un criterio, tenemos que:D=-4p, E=-2k, F=-K²`+4PHPor tanto la ecuación queda como:Y² + Dx +Ey +F=0Que es la ecuación general de la parábola con eje (X).De igual forma podemos deducir la ecuación en términos del eje ―Y‖tomando el desarrollo anterior solo que basándonos en la ecuacióncanónica trasladada) de la parábola en el eje ―Y‖:(X—h)² =4p(y—k)Obteniendo:(x)ah +Dx+ Ey+F=0Que es la ecuación general de la parábola con eje (Y).ECUACIÓN GENERAL DE LAPARABOLA
  • 24. Como en artículos previos habíamos comentado, consideramosa la ecuación (Forma general) de la parábola el producto deldesarrollo de la ecuaciones de la (Forma ordinaria) tanto en eleje (X o Y), comúnmente llamamos a las mismas también(Ecuaciones en forma canónica).Partimos de la idea de una (Ecuación en forma canónica):(x-h)²=4p(y—k)Desarrollamos e igualamos con respecto a cero y obtenemos:(x—h)² =4p(y—k)X²+h-2xh+h²=py—4pk desarrollamos binomios y productos.CONVERSIÓN DE LA FORMAGENERAL A LA FORMAORDIDARIA
  • 25. CONVERSIÓN DE LA FORMAORDINARIA A LA FORMAGENERALx²-2xh+h²=py—4pk=0 Igualamos con respecto a 0.Ahora en base a que sentido la parábola se encuentre (Verticalo horizontal) es aquella estructura que tomaremos de la(Forma general) tanto para los dos ejes.Por ejemplo:Supongamos que deseamos de la conversión previa, laecuación de la parábola en su forma vertical para estonosotros conocemos ya que la dicha ecuación tiene laestructura:Ax²+Dx+Ey+F=0
  • 26. ECUACIÓN GENERAL DE LAPARABOLAComo en artículos previos habíamos comentado, consideramos a laecuación (Forma general) de la parábola el producto del desarrollo dela ecuaciones de la (Forma ordinaria) tanto en el eje (X o Y),comúnmente llamamos a las mismas también (Ecuaciones en formacanónica).Partimos de la idea de una (Ecuación en forma canónica):Desarrollamos e igualamos con respecto a cero y obtenemos:(X-h)²=4p(y-k)X²-2xh+h²-4py+4pk Desarrollamos binomio y productos.X²-2xh+h²-4py+4pk=0 Igualamos con respecto a 0.
  • 27. CONVERSION DE LA FORMAGENERAL A LA FORMANORDINARIAAhora en base a que sentido la parábola se encuentre (Verticalo horizontal) es aquella estructura que tomaremos de la(Forma general) tanto para los dos ejes.Por ejemplo:Supongamos que deseamos de la conversión previa, laecuación de la parábola en su forma vertical para estonosotros conocemos ya que la dicha ecuación tiene laestructura:Ax²+Dy+Ey+F=0
  • 28. CONVERSIÓN DE LA FORMAGENERAL A LA FORMA ORDINARIAA=1D=-2hE=-4pF=h²+4pkDonde:De igual manera la ecuación de la parábola en su formahorizontal:(y-k)²=4p(x-h).
  • 29. Si desarrollamos la ecuación anterior de acuerdo a laspropiedades de las operaciones, tenemosY-k²4p(x-h)Agrupando términos, obtenemos:Y²4px-2yk+k²+4ph=0Acordando un criterio, tenemos que:D=-4p, E=-2K F=K²+4phCONVERSIÓN DE LA FORMAGENERAL A LA FORMANORDINARIA